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Aula 16 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)

Autor: Guilherme Neves

Aula 16

24 de Agosto de 2020

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Guilherme Neves Aula 16

Sumário 1.

Intervalo de Confiança .................................................................................................................. 3

1.1.

Intervalo de Confiança para 𝝁 quando 𝝈𝟐 é conhecido ............................................................ 3

1.2.

Intervalo de Confiança para 𝝁 quando 𝝈𝟐 é desconhecido ..................................................... 16

1.3.

Intervalo de Confiança para uma Proporção .......................................................................... 22

1.4.

Intervalo de Confiança para a Variância ................................................................................. 26

Lista de Questões de Concursos sem Comentários.............................................................................. 31 Gabarito sem comentário .................................................................................................................. 45 Lista de Questões de Concursos com Comentários ............................................................................. 46

Exercícios – Intervalos de Confiança para 𝝁 ..................................................................................... 46 300015 Exercícios – Intervalos de Confiança para Proporção ........................................................................ 69 Exercícios – Intervalo de Confiança para a Variância ........................................................................ 81 Considerações Finais ......................................................................................................................... 85

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1.

INTERVALO DE CONFIANÇA

Em Estatística Inferencial, utilizamos uma amostra para inferir conclusões sobre a distribuição de probabilidades da população de onde a amostra foi retirada. Na aula passada, fizemos um estudo minucioso sobre a média amostral 𝑋. &'

Vimos que 𝑋 é uma variável aleatória com média 𝜇 e variância ( , se a população é infinita ou se o processo de amostragem for feito com reposição. No caso de população finita e amostragem sem reposição, deveremos utilizar o fator de correção para população finita para o cálculo da variância. Outro fato importante visto na aula passada foi o seguinte: se X tem distribuição normal, então 𝑋 também terá distribuição normal. Se X não tem distribuição normal, 𝑋 terá uma distribuição aproximadamente normal se 𝑛 for suficientemente grande. Ademais, sabemos que 𝑋 é um estimador não-tendencioso da média populacional 𝜇. Pois bem, além de obter uma estimativa de 𝜇, queremos também obter um indicador da precisão dessa estimativa, ou seja, uma indicação da dispersão do valor do estimador. É aqui que entra o famigerado “intervalo de confiança”. Quando determinamos o intervalo de confiança, dizemos que estamos fazendo uma estimativa por intervalo, em vez de uma estimativa por ponto, como fizemos na aula sobre estimadores.

1.1. Intervalo de Confiança para 𝝁 quando 𝝈𝟐 é conhecido

Suponha que a variância populacional 𝜎 + é conhecida e que desejamos estimar 𝜇 a partir de uma amostra. Só que agora não queremos apenas uma estimativa pontual, queremos obter também um indicador da variabilidade do estimador. Se X tem distribuição normal (ou se 𝑛 é suficientemente grande), então 𝑋 tem distribuição normal (ou aproximadamente normal).

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Neste ponto, não custa lembrar que 𝜎 + e 𝜇 são constantes (são números, são os parâmetros populacionais) e que 𝑋 é uma variável aleatória. Além disso, a média de 𝑋 é 𝜇 e o seu desvio padrão é 𝜎, =

& √(

.

Para transformar a variável aleatória 𝑋, que tem distribuição normal com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎, , em uma variável aleatória com distribuição normal padrão, devemos subtrair a sua média e dividir pelo desvio padrão. Assim, a variável aleatória 𝑍=

𝑋−𝜇 𝜎,

tem distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão igual a 1).

Ora, como 𝑍 é uma variável normal reduzida, então podemos consultar a tabela da variável normal reduzida.

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Imagine que queremos construir um intervalo que contém 95% dos valores de Z. A tabela indica que 𝑃(0 < 𝑍 < 1,96) = 0,4750. Assim, 𝑃(−1,96 < 𝑍 < 1,96) = 0,95 = 95%. Em outras palavras, a área delimitada por −1,96 e 1,96 é 95%. Observe o gráfico a seguir.

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𝑃(−1,96 < 𝑍 < 1,96) = 95% Como 𝑍 =

,>? &@

, então:

𝑃 A−1,96 <

𝑋−𝜇 < 1,96B = 95% 𝜎,

Vamos focar a nossa atenção na desigualdade que está dentro dos parênteses. Vamos multiplicar todos os termos por 𝜎, . 𝑃C−1,96 ∙ 𝜎, < 𝑋 − 𝜇 < 1,96 ∙ 𝜎, E = 95%

Vamos agora subtrair 𝑋 de todos os termos. 𝑃C−𝑋 − 1,96 ∙ 𝜎, < −𝜇 < −𝑋 + 1,96 ∙ 𝜎, E = 95% Vamos agora multiplicar todos os termos por −1. Quando fazemos isso, devemos inverter o sentido das desigualdades. 𝑃C𝑋 + 1,96 ∙ 𝜎, > 𝜇 > 𝑋 − 1,96 ∙ 𝜎, E = 95% Reescrevendo de maneira mais organizada: 𝑃C𝑋 − 1,96 ∙ 𝜎, < 𝜇 < 𝑋 + 1,96 ∙ 𝜎, E = 95% O que isso significa?

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Se considerarmos um número muito grande de amostras, os intervalos que são delimitados por 𝑋 − 1,96 ∙ 𝜎, e 𝑋 + 1,96 ∙ 𝜎, incluirão a média populacional 𝜇 em 95% dos casos.

Vamos a um exemplo para entendermos melhor esse conceito. Consideremos uma população infinita com distribuição normal. Suponha que conhecemos a variância populacional 𝜎 + = 2.500, mas não conhecemos a sua média. Para estimar a média populacional 𝜇, selecionamos uma amostra aleatória simples de tamanho 100. Para essa amostra, a média amostral 𝑋 tem desvio padrão: 𝜎, =

𝜎 √𝑛

=

50 √100

=5

A variável aleatória 𝑋 tem distribuição normal (pois foi retirada de uma população com distribuição normal) com média igual a 𝜇 e desvio padrão igual a 5. Para transformar 𝑋 em uma distribuição normal reduzida, devemos subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. Assim, a variável 𝑍=

𝑋−𝜇 5

tem distribuição normal reduzida (média 0 e desvio padrão unitário). Pela tabela anteriormente mostrada, sabemos que 95% dos valores de Z estão entre -1,96 e 1,96. Fazendo as mesmas manipulações algébricas que fizemos anteriormente, temos: 𝑃C𝑋 − 1,96 ∙ 𝜎, < 𝜇 < 𝑋 + 1,96 ∙ 𝜎, E = 95%

𝑃C𝑋 − 1,96 ∙ 5 < 𝜇 < 𝑋 + 1,96 ∙ 5E = 95%

𝑃C𝑋 − 9,8 < 𝜇 < 𝑋 + 9,8E = 95%

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É importante frisar novamente que 𝑋 é uma variável aleatória. Assim, a expressão acima significa que para um grande número de amostras, o intervalo (𝑋 − 9,8 ; 𝑋 + 9,8) incluirá a média populacional em 95% das vezes. Continuando com nosso exemplo. Retiramos uma amostra de tamanho 100. Suponha que para essa amostra específica, obtivemos o valor 50 para a média. Assim, para ESSA AMOSTRA ESPECÍFICA, temos: 𝑋 = 50 Logo, 𝑋 − 9,8 = 50 − 9,8 = 40,2 𝑋 + 9,8 = 50 + 9,8 = 59,8 Pois bem, o intervalo (40,2 ; 59,8) é denominado intervalo de 95% de confiança para a média populacional 𝜇.

Lembre-se que a média populacional 𝜇 não é uma variável aleatória, ou seja, 𝜇 é uma constante: é a média da população.

Assim, não podemos dizer que a probabilidade de 𝜇 pertencer ao intervalo (40,2 ; 59,8) é 95%. Ora, sendo 𝜇 um número constante, ele pertence ao intervalo ou não. Se ele pertence, a probabilidade de ele estar no intervalo supracitado é 100%. Se não pertence, a probabilidade de pertencer ao intervalo é 0.

A correta interpretação é a seguinte: se realizássemos um grande número de amostras e determinássemos um intervalo de confiança para cada uma dessas amostras, então a média pertenceria a 95% desses intervalos.

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Também é comum indicarmos o intervalo (40,2 ; 59,8) como 40,2 < 𝜇 < 59,8, e isso significa que se construíssemos inequações como essa para um grande número de amostras, a inequação seria verdadeira em 95% das vezes. Assim, repito: é errado dizer que 𝑃(40,2 < 𝜇 < 59,8) = 95%.

Guilherme, tudo bem. Só achei meio complicado o passo a passo para construir o intervalo de confiança. Opa, calma meu amigo. Esse lenga lenga foi apenas para você entender o fundamento da coisa. Doravante, utilizaremos um procedimento bem mais rápido.

O intervalo de confiança sempre será delimitado pelos seguintes valores: 𝑋 ± 𝑍N ∙ 𝜎,

Em que 𝑋 é o valor específico obtido para a média amostral, 𝜎, é o desvio padrão da média & amostral, ou seja, 𝜎, = e 𝑍N é o valor da distribuição normal padrão associado à confiança pedida para o intervalo.

√(

Por exemplo, para uma confiança de 95%, devemos utilizar 𝑍N = 1,96, pois a área delimitada por −1,96 e 1,96 na distribuição normal reduzida é 95%.

Perceba que, para construir um intervalo de confiança, colocamos como centro do intervalo a estimativa obtida na amostra. Em seguida, adicionamos e subtraímos 𝑍N vezes o desvio padrão do estimador. É muito comum que se peça a amplitude do intervalo de confiança. Para o nosso exemplo, a amplitude do intervalo foi 59,8 − 40,2 = 19,6.

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De uma maneira geral, a amplitude do intervalo é a diferença entre o limite superior do intervalo e o limite inferior do intervalo. Sendo 𝐴 a amplitude do intervalo, temos: 𝐴 = C𝑋 + 𝑍N ∙ 𝜎, E − C𝑋 − 𝑍N ∙ 𝜎, E

𝐴 = 𝑍N ∙ 𝜎, + 𝑍N ∙ 𝜎,

𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝜎,

No nosso exemplo, a amplitude fica: 𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ 5 = 19,6

É muito comum que os exercícios perguntem qual é o erro máximo cometido na estimativa de 𝜇. O erro máximo é justamente a metade da amplitude.

𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 =

𝐴 = 𝑍N ∙ 𝜎, 2

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É comum que os exercícios indiquem que a confiança do intervalo é de 1 − 𝛼. Assim, a área entre os valores críticos 𝑍N e −𝑍N será igual a 1 − 𝛼. Consequentemente, a soma das áreas das caudas será 𝛼. Logo, cada cauda terá uma área igual a 𝛼/2. Observe:

Por isso, é comum dizer que o valor crítico de 𝑍 associado a uma confiança de 1 − 𝛼 é 𝑧Z/+ .

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(FCC 2019/Prefeitura do Recife – Analista de Gestão Contábil) Considere que na curva normal padrão (Z) a probabilidade 𝑷(−𝟐 ≤ 𝒁 ≤ 𝟐) = 𝟗𝟓%. Uma amostra aleatória de tamanho 400 é extraída de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito. Dado que a variância desta população é igual a 64, obtém-se, com base na amostra, um intervalo de confiança de 95% para a média da população. A amplitude deste intervalo é igual a

a) 0,8. b) 6,4. c) 1,6. d) 12,8. e) 3,2. Comentário

A questão informou que para um nível de confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 2. A variância populacional é 64. Logo, 𝜎 = √64 = 8. A amostra tem tamanho 400, ou seja, 𝑛 = 400. Assim, o desvio padrão da média amostral é: 𝜎, =

𝜎 √𝑛

=

8 √400

=

8 = 0,4 20

A amplitude do intervalo é: 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝜎, 𝐴 = 2 ∙ 2 ∙ 0,4 = 1,6 Gabarito: C

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Na aula passada, eu indiquei que alguns exercícios poderiam ser resolvidos de uma forma mais rápida com a teoria estudada em intervalos de confiança. Observe:

(FCC 2017/TRT 11ª Região) Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e variância 4(%)2. Uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho n, 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 , é selecionada da distribuição de X. Sendo 𝑿, a média amostral dessa amostra, o valor de n para que 𝑿 não se distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 96% é igual a

a) 64 b) 100 c) 121 d) 81 e) 225 Comentário Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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Vou copiar primeiro a resolução que fiz na aula passada. Vamos tratar % como a unidade da variável X. Sabemos que 𝑋 tem distribuição normal padrão com média 𝜇 e variância 4. Assim, seu desvio padrão é igual a √4 = 2. Selecionamos uma amostra aleatória com reposição. Desta forma, a média amostral 𝑋 também segue uma distribuição normal (porque X tem distribuição normal). A média de 𝑋 é 𝜇 e sua variância é 𝜎, =

&' (

d

= (. Logo, o desvio padrão de 𝑋 é

2 √𝑛

Queremos que 𝑋 não se distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 96%.

Queremos que a área acima seja 96%. Se a área da região azul é 96%, então cada região branca (nas caudas) comporta 2%. Pelos dados no enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 2,05) = 0,98. Como a área total abaixo da distribuição normal é igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 2,05) = 0,02. Assim, concluímos que o valor 𝜇 + 0,41 da distribuição de 𝑋 corresponde a 2,05 na distribuição normal padrão. A distribuição de 𝑋 é normal, mas não é a distribuição normal padrão. Para transformá-la na distribuição normal padrão, devemos subtrair a sua média (que é igual à média da população 𝜇) e dividir pelo desvio padrão (que é igual a

+

√(

).

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𝑍=

𝑋−𝜇 2 √𝑛

Como o valor 𝜇 + 0,41 da distribuição de 𝑋 corresponde a 2,05 da distribuição normal padrão, então: 2,05 =

(𝜇 + 0,41) − 𝜇 2 √𝑛

2,05 =

0,41 2 √𝑛

2,05 = 0,41 ×

√𝑛 2

2,05 = 0,205 ∙ √𝑛 √𝑛 = 10 𝑛 = 100

Vamos agora resolver de uma forma mais rápida. Observe o trecho final do enunciado: “Sendo 𝑋, a média amostral dessa amostra, o valor de n para que 𝑋 não se distancie de sua média por mais do que 0,41% com probabilidade de 96% é igual a”. Assim, queremos que o erro máximo de estimativa seja igual a 0,41 (%). 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑍N ∙ 𝜎, 0,41 = 2,05 ×

𝜎 √𝑛

0,41 2 = 2,05 √𝑛 1 2 = 5 √𝑛

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√𝑛 = 10 𝑛 = 100 Gabarito: B

1.2. Intervalo de Confiança para 𝝁 quando 𝝈𝟐 é desconhecido

No tópico anterior, construímos um intervalo de confiança para o caso em que a variância populacional é conhecida. Entretanto, normalmente o valor de 𝜎 + não é conhecido. Vimos que ∑C𝑋h − 𝑋E 𝑠 = 𝑛−1

+

+

é um estimador não-tendencioso de 𝜎 + . Além disso, 𝑋 é um estimador não-tendencioso de 𝜇. O número 𝑛 − 1 é denominado “número de graus de liberdade”. À medida que o valor de 𝑛 aumenta, o número de graus de liberdade aumenta e a distribuição de 𝑠 + tende a se concentrar em torno da variância populacional. Só que agora não conhecemos a variância populacional. Ora, se não sabemos o valor de 𝜎 + , então não podemos calcular 𝜎,+ . Assim, se a população for infinita ou se fizemos a amostragem com reposição, então a estimativa da variância de 𝑋 é dada por: 𝑠,+ =

𝑠+ 𝑛

Se a amostragem for feita sem reposição, temos:

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𝑠,+

𝑠+ 𝑁 − 𝑛 = ∙i k 𝑛 𝑁−1

Neste caso, o procedimento para a construção do intervalo de confiança será bem parecido, mas não utilizaremos a tabela da distribuição normal: utilizaremos a tabela da distribuição T de Student. Vimos que se X tem distribuição normal, então 𝑍=

𝑋−𝜇 𝜎,

==493ef==

tem distribuição normal reduzida. Se utilizarmos 𝑠, como estimativa de 𝜎, , então a variável: 𝑡=

𝑋−𝜇 𝑠,

Terá distribuição T de Student com 𝑛 − 1 graus de liberdade.

Assim como a distribuição normal, a distribuição t-Student também é simétrica e tem um gráfico com a forma de sino. Entretanto, as caudas são mais largas, ou seja, a distribuição t-Student é mais dispersa. Observe o gráfico a seguir comparando a curva normal padrão e a distribuição t de Student com 1 grau de liberdade.

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À medida que o número de graus de liberdade vai aumentando, a curva t-Student vai se aproximando cada vez mais da normal. Observe os gráficos a seguir (curva t-Student com 2, 3 e 9 graus de liberdade, respectivamente).

Resumindo: quando não conhecemos a variância populacional, devemos utilizar a variância da amostra para estimar 𝜎,+ . Além disso, deveremos utilizar a distribuição T de Student para construir o intervalo. Dessa forma, quando 𝜎 + é desconhecido, os limites do intervalo de confiança para 𝜇 são 𝑋 ± 𝑡N ∙ 𝑠, Lembre-se que para consultar a tabela da distribuição T, o número de graus de liberdade é 𝑛 − 1, em que 𝑛 é o tamanho da amostra. Da mesma forma, a amplitude do intervalo de confiança é 𝐴 = 2 ∙ 𝑡N ∙ 𝑠, O erro máximo na estimativa de 𝜇 fica: 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 =

𝐴 = 𝑡N ∙ 𝑠, 2

É comum que os exercícios indiquem que a confiança do intervalo é de 1 − 𝛼. Assim, a área entre os valores críticos 𝑡N e −𝑡N será igual a 1 − 𝛼. Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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Consequentemente, a soma das áreas das caudas será 𝛼. Logo, cada cauda terá uma área igual a 𝛼/2. Observe:

Por isso, é comum dizer que o valor crítico de 𝑇 associado a uma confiança de 1 − 𝛼 é 𝑡Z/+ .

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(FCC 2018/TRT 14ª Região) Uma variável aleatória X tem distribuição normal, variância desconhecida e com uma população de tamanho infinito. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a média 𝝁 da população com base em uma amostra aleatória de tamanho 9 extraída dessa população e considerando a distribuição t de Student. Nessa amostra, observou-se que a média apresentou um valor igual a 5 e a soma dos quadrados dos 9 elementos da amostra foi igual a 243.

O intervalo de confiança encontrado foi igual a

a) [4,055; 5,945]. b) [4,070; 5,930]. c) [4,300; 5,700]. d) [3,845; 6,155]. e) [3,870; 6,130]. Comentário

A média da amostra é igual a 5. 𝑋=5 Sabemos que a soma dos quadrados dos 9 elementos é igual a 243. Assim, a média dos quadrados é

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𝑋+

∑𝑋h+ 243 = = = 27 𝑛 9

Assim, a variância da amostra é: +

𝑠 + = p𝑋 + − C𝑋E q ∙

𝑠 + = [27 − 25] ∙

𝑛 𝑛−1

9 = 2,25 8

Consequentemente, 𝑠 = t2,25 = 1,5 Assim, temos: 𝑠, =

𝑠 √𝑛

=

1,5 √9

=

1,5 = 0,5 3

Como 𝑛 = 9, então a distribuição T de Student associada terá 9 − 1 = 8 graus de liberdade. Observe a tabela dada no enunciado.

Lembre-se que a distribuição T também é simétrica em relação a 0. Como queremos um intervalo de confiança de 95%, então deveremos utilizar 𝛼 = 0,025. Por quê? Ora, a tabela nos fornece 𝑃(𝑡 > 𝑡Z ) = 𝛼. Se 𝛼 = 0,025 = 2,5%, então 𝑃(−𝑡Z < 𝑡 < 𝑡Z ) = 95%.

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Assim, para 𝛼 = 2,5% = 0,025 e 8 graus de liberdade, temos que 𝑡N = 2,31. Os limites do intervalo de confiança são: 𝑋 + 𝑡N ∙ 𝑠, = 5 + 2,31 × 0,5 = 6,155 𝑋 − 𝑡N ∙ 𝑠, = 5 − 2,31 × 0,5 = 3,845 Gabarito: D

1.3. Intervalo de Confiança para uma Proporção

Estamos agora interessados em obter um intervalo de confiança para uma proporção. O processo é muito parecido com a obtenção do intervalo de confiança para a média. Vimos que o intervalo de confiança para a média (quando a variância populacional é conhecida) é 𝑋 − 𝑍N ∙ 𝜎, ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑍N ∙ 𝜎,

Só que agora não queremos estimar 𝜇. Estamos interessados em estimar a proporção. Vamos substituir 𝜇 por 𝑝. Também vamos substituir a média amostral 𝑋 pela proporção amostral 𝑝̂ . Finalmente, vamos substituir o desvio padrão da média amostral pelo desvio padrão da proporção amostral.

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Ficamos com: 𝑝̂ − 𝑍N ∙ 𝜎wx ≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑍N ∙ 𝜎wx Lembrando que o desvio padrão da proporção amostral é dado por: 𝑝𝑞 𝜎wx = y 𝑛 Assim, o intervalo de confiança para a proporção fica: 𝑝̂ − 𝑍N ∙ y

𝑝𝑞 𝑝𝑞 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑍N ∙ y 𝑛 𝑛

Entretanto, como não conhecemos 𝑝, não podemos calcular o seu desvio padrão 𝜎wx . Assim, substituímos 𝜎wx pela sua estimativa 𝜎xwx . 𝑠wx = {

𝑝̂ 𝑞x 𝑛

E o intervalo de confiança fica: 𝑝̂ − 𝑍N ∙ {

𝑝̂ 𝑞x 𝑝̂ 𝑞x ≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑍N ∙ { 𝑛 𝑛

É claro que isso não é uma demonstração matemática. É apenas um processo mnemônico para que você consiga “deduzir” o intervalo de confiança para a proporção. A ideia é exatamente a mesma para o intervalo de confiança da média: 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 ± 𝑍• ∙ 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟

É também importante notar que a amplitude do intervalo de confiança é 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝑠wx O erro máximo na estimativa de 𝜇 fica: 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 =

𝐴 = 𝑍N ∙ 𝑠wx 2

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(FCC 2015/CNMP) Uma pesquisa é realizada em uma grande cidade com uma amostra aleatória de 300 habitantes em que 75% deles manifestaram-se favoráveis à implantação de um projeto para melhorar o atendimento ao público de sua cidade. Com base nesta amostra, deseja-se obter um intervalo de confiança de 95% para esta proporção, considerando que a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis ao projeto é normal. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) que as probabilidades P(Z > 1,96) = 0,025 e P(Z > 1,64) = 0,050, este intervalo de confiança é, em %, igual a

a) [71,68 ; 78,32]. b) [71,34 ; 78,66] c) [70,90 ; 79,10]. d) [70,40 ; 79,60]. e) [70,10 ; 79,90]. Comentário

Os limites do intervalo de confiança da proporção são dados por: 𝑝̂ 𝑞x 𝑝̂ ± 𝑍N ∙ { 𝑛 O enunciado informou que 𝑝̂ = 75% = 0,75. Logo, 𝑞x = 1 − 𝑝̂ = 1 − 0,75 = 0,25. Já que 𝑃(𝑍 > 1,96) = 0,025, então 𝑃(−1,96 < 𝑍 < 1,96) = 1 − 2 × 0,025 = 0,95. Logo, para um intervalo de confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96. 𝑝̂ ± 𝑍N ∙ {

𝑝̂ 𝑞x = 𝑛

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= 0,75 ± 1,96 ∙ {

0,75 × 0,25 300

= 0,75 ± 1,96 ∙ {

0,1875 300

= 0,75 ± 1,96 ∙ {

1 1.600

= 0,75 ± 1,96 ∙

1 40

= 0,75 ± 0,049 Assim, o intervalo de confiança é: [0,75 − 0,049 ; 0,75 + 0,049]

[0,701 ; 0,799] Como a questão pede o intervalo em %, temos: [70,1%; 79,9%] Gabarito: E

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1.4. Intervalo de Confiança para a Variância Vamos agora construir um intervalo de confiança para a variância 𝝈𝟐 , quando é dada uma amostra aleatória com 𝒏 observações de uma variável aleatória X com distribuição normal. O procedimento da obtenção do intervalo de confiança para a variância será um pouco diferente dos casos anteriores. Isso porque, para determinar os intervalos de confiança para 𝝁 e 𝒑, trabalhamos com a distribuição normal e a distribuição T de Student, que são distribuições simétricas. Para determinar o intervalo de confiança para a variância, deveremos utilizar a distribuição quiquadrado, que é uma distribuição assimétrica. Sabemos que podemos obter uma distribuição qui-quadrado a partir da variância amostral. 𝑛−1 + 𝜒(>… = i + k ∙ 𝑠+ 𝜎 (>…

Em outras palavras, † &' ‡ ∙ 𝑠 + tem distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de liberdade. Imagine, por exemplo, que estamos interessados em obter um intervalo de confiança de 95% para a variância. Como a distribuição qui-quadrado é assimétrica, precisaremos buscar na tabela da distribuição qui-quadrado (com 𝒏 − 𝟏 graus de liberdade) dois valores críticos 𝝌𝟐𝟏 e 𝝌𝟐𝟐 que delimitem a área estabelecida pela confiança desejada no intervalo.

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Queremos que a área acima delimitada por 𝝌𝟐𝟏 e 𝝌𝟐𝟐 seja igual a 95%. Ora, para estabelecer uma área de 95% entre 𝝌𝟐𝟏 e 𝝌𝟐𝟐 , basta seleciona 𝝌𝟐𝟏 e 𝝌𝟐𝟐 tais que 𝑷C𝝌𝟐 < 𝝌𝟐𝟏 E = 𝟐, 𝟓% e 𝑷C𝝌𝟐 > 𝝌𝟐𝟐 E = 𝟐, 𝟓%.

Queremos que a probabilidade de 𝝌𝟐 estar entre 𝝌𝟐𝟏 e 𝝌𝟐𝟐 seja de 95%. 𝑷C𝝌𝟐𝟏 < 𝝌𝟐 < 𝝌𝟐𝟐 E = 𝟗𝟓% (>…

+ Como 𝜒(>… = † &' ‡ ∙ 𝑠 + , então:

𝑷 i𝝌𝟐𝟏 < i

𝒏−𝟏 k ∙ 𝒔𝟐 < 𝝌𝟐𝟐 k = 𝟗𝟓% 𝝈𝟐

Lembrando que 𝝌𝟐𝟏 e 𝝌𝟐𝟐 serão obtidos na tabela de qui-quadrado com 𝒏 − 𝟏 graus de liberdade. Pois bem, queremos escrever o intervalo acima na forma 𝒌𝟏 ≤ 𝝈𝟐 ≤ 𝒌𝟐 . Vamos fazer algumas manipulações algébricas. Vamos dividir todos os termos por (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 . 𝝌𝟐𝟏 𝟏 𝝌𝟐𝟐 𝑷A < < B = 𝟗𝟓% (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 𝝈𝟐 (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 Invertendo, temos: (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 𝟐 𝑷A < 𝝈 < B = 𝟗𝟓% 𝝌𝟐𝟐 𝝌𝟐𝟏

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Perceba que como 𝝌𝟐𝟐 é maior do que 𝝌𝟐𝟏 , então a fração da esquerda é menor do que a fração da direita (porque tem um denominador maior). Pois bem, chegamos ao intervalo de confiança para a variância de 95% (ou outra confiança desejada). (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 𝝌𝟐𝟐

< 𝝈𝟐 <

(𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 𝝌𝟐𝟏

Isso quer dizer que se fizéssemos um grande número de amostras, os intervalos construídos incluiriam a variância populacional em 95% dos casos, ou ainda, se fizéssemos um grande número de amostras, a inequação construída seria verdadeira em 95% dos casos. Para construir um intervalo de confiança para o desvio padrão, basta calcular a raiz quadrada dos termos acima.

(CONSULPLAN 2017/TRF 2ª Região) Um agricultor desconfia que a variabilidade da quantidade total de leite produzida diariamente por suas vacas foi alterada após ele mudar a ração que utilizava para alimentar os animais de sua fazenda. Considere que X é uma variável aleatória que representa a quantidade de leite produzida diariamente pelas vacas desse agricultor. Ele coletou uma amostra aleatória simples de tamanho 50 durante certo período de tempo e através dessa amostra ele descobriu que X segue uma distribuição normal com média de 300 litros de leite por dia e desvio-padrão 10.

Assinale a alternativa que apresenta um intervalo com 95% de confiança para o desvio-padrão populacional.

a) [8.05; 11.89].

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b) [8.35; 12.46]. c) [69.78; 155.28]. d) [68.60; 151.46] Comentário

A amostra tem tamanho 50, ou seja, 𝑛 = 50. Logo, devemos buscar os valores críticos em uma distribuição qui-quadrado com 50 − 1 = 49 graus de liberdade. Para delimitar uma área de 95%, vamos colocar 2,5% à esquerda do primeiro valor crítico e 2,5% à direita do segundo valor crítico.

+ A tabela dada no enunciado afirma que 𝜒N,N+‹,dŒ = 31,555, ou seja, a área à esquerda de 31,555 em uma distribuição qui-quadrado com 49 graus de liberdade é 0,025 = 2,5%.

Já encontramos o nosso primeiro valor crítico. Vamos ao segundo. Queremos que a área à direita do segundo valor crítico seja 2,5%. Assim, a área à sua esquerda será 97,5% = 0,975. A tabela informa que a área à esquerda de 70,222 em uma distribuição quiquadrado com 49 graus de liberdade é 0,975. Logo, 70,222 é o nosso segundo valor crítico. Sabemos ainda que o desvio padrão amostral vale 10. Logo, a variância amostral é 𝑠 + = 10+ = 100. O intervalo de confiança para a variância fica: (𝑛 − 1) ∙ 𝑠 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑠 + + < 𝜎 < 𝜒++ 𝜒…+

49 ∙ 100 49 ∙ 100 < 𝜎+ < 70,222 31,555

Para obter o intervalo de confiança para o desvio padrão, precisamos calcular a raiz quadrada. {

4.900 4.900 𝟏, 𝟔) = 𝟎, 𝟎𝟓, tem-se que o valor de 𝝈 é igual a

a) 5,6. b) 1,4. c) 2,8. d) 3,5. e) 7,0. Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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3. (FCC 2018/TRT 14ª Região) Um intervalo de confiança com um nível de (𝟏 − 𝜶) foi construído para a média 𝝁𝟏 de uma população 𝑷𝟏 , normalmente distribuída, de tamanho infinito e variância populacional igual a 144. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho 36 obteve-se esse intervalo igual a [25,3; 34,7]. Seja uma outra população 𝑷𝟐 , também normalmente distribuída, de tamanho infinito e independente da primeira. Sabe-se que a variância de 𝑷𝟐 é conhecida e que por meio de uma amostra aleatória de tamanho 64 de 𝑷𝟐 obteve-se um intervalo de confiança com um nível de (1 − α) para a média 𝝁𝟐 de 𝑷𝟐 igual a [91,54; 108,46]. O desvio padrão de 𝑷𝟐 é igual a

a) 28,80. b) 19,20. c) 23,04. d) 38,40. e) 14,40.

4. (FCC 2018/TRT 14ª Região) Uma variável aleatória X tem distribuição normal, variância desconhecida e com uma população de tamanho infinito. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a média 𝝁 da população com base em uma amostra aleatória de tamanho 9 extraída dessa população e considerando a distribuição t de Student. Nessa amostra, observou-se que a média apresentou um valor igual a 5 e a soma dos quadrados dos 9 elementos da amostra foi igual a 243.

O intervalo de confiança encontrado foi igual a

a) [4,055; 5,945].

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b) [4,070; 5,930]. c) [4,300; 5,700]. d) [3,845; 6,155]. e) [3,870; 6,130].

5. (FCC 2018/TCE-RS) Seja uma população normalmente distribuída, de tamanho infinito e apresentando uma variância populacional igual a 10,24. Um intervalo de confiança igual a [21,30 ; 22,70] foi obtido para a média 𝝁 da população a um nível de confiança de (1 − 𝜶) com base em uma amostra aleatória de tamanho 64. Caso haja uma opção para obter um outro intervalo de confiança para 𝝁 a um nível de confiança (1 − 𝜶), porém com uma outra amostra aleatória independente da primeira de tamanho 100, significa que o novo intervalo apresentará uma amplitude igual a

a) 1,40 b) 1,12 c) 1,32 d) 1,48 e) 1,26

6. (FCC 2018/TRT 2ª Região) Em uma grande região de um país, uma empresa (𝑬𝟏 ) foi contratada para elaborar uma pesquisa referente a um atributo X, correspondente a uma população considerada normal, de tamanho infinito, média 𝝁 desconhecida e variância populacional igual a 144. Considerando uma amostra aleatória de tamanho 64, esta empresa apurou um intervalo de confiança com um nível de confiança (1 − 𝜶) para 𝝁 igual a [99,0; 105,0]. Uma outra empresa (𝑬𝟐 ) trabalhando independentemente da primeira, na mesma região, também elaborou uma pesquisa referente ao atributo X utilizando uma amostra de tamanho 400 e encontrando uma média amostral igual a 104,5. O intervalo de confiança para 𝝁 com um nível de confiança (1 − 𝜶) encontrado por 𝑬𝟐 foi de

a) [101,5; 107,5]

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b) [103,0; 106,0] c) [103,9; 105,1] d) [102,7; 106,3] e) [103,3; 105,7]

7. (FCC 2018/SEFAZ-SC) Sabe-se que, em determinada cidade, o desvio padrão da altura de crianças da primeira série do ensino fundamental é 4 cm. Uma amostra aleatória de tamanho maior do que 30, com reposição, de n crianças, foi colhida do conjunto de todas essas crianças e obteve-se um intervalo de confiança para a média desse conjunto dado por (129,02 cm; 130,98 cm) com coeficiente de confiança de 95%. Uma nova amostra de tamanho m será colhida e deseja-se que a amplitude do novo intervalo seja a metade daquela obtida com a amostra de tamanho n, com a mesma confiança. Nessas condições, o valor de m deverá ser igual a Dados: Se Z tem distribuição normal padrão:

P(Z < 0,84) = 0,8 P(Z < 1) = 0,841 P(Z < 1,96) = 0,975 a) 64 b) 100 c) 121 d) 81 e) 256

8. (FCC 2017/TRT 11ª Região) Uma amostra aleatória de tamanho 64 é extraída de uma população de tamanho infinito, normalmente distribuída, média 𝝁 e variância conhecida 𝝈𝟐 . Obtiveram-se com base nos dados

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desta amostra, além de uma determinada média amostral 𝑿, 2 intervalos de confiança para 𝝁 aos níveis de 95% e 99%, sendo os limites superiores destes intervalos iguais a 20,98 e 21,29, respectivamente. Considerando que na curva normal padrão (Z) as probabilidades P(|Z| > 1,96) = 0,05 e P(|Z| > 2,58) = 0,01, encontra-se que 𝝈𝟐 é igual a

a) 16,00 b) 6,25 c) 4,00 d) 12,25 e) 9,00

9. (FCC 2016/ISS-Teresina) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 1,64) =0,950; P(Z 1,96) = 0,025, P(Z > 1,64) = 0,05 e P(Z > 1,28) = 0,10, obtém-se que o intervalo, em %, é igual a

a) [77,44 ; 82,56]. b) [78,36 ; 81,64]. c) [78,04 ; 81,96]. d) [76,08 ; 83,92]. e) [76,72 ; 83,28].

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20. (FCC 2012/TRE-SP) Em uma pesquisa eleitoral realizada com 600 eleitores escolhidos aleatoriamente, 360 mostraram-se favoráveis ao candidato X. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X com base nessa amostra. Para isto, considerou-se normal a distribuição da frequência relativa dos eleitores que são favoráveis ao candidato X, a população de tamanho infinito e que na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(|Z| ≤ 1,96) = 95%. A amplitude deste intervalo é igual a

a) 7,84%. b) 6,86%. c) 5,88%. d) 4,90%. e) 3,92%.

21. (FCC 2012/TRF 2ª Região) Uma pesquisa realizada com 8.400 habitantes de uma cidade, escolhidos aleatoriamente, revelou que 70% deles estavam satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes satisfeitos com o desempenho do prefeito e que, na curva normal padrão Z, a probabilidade P(Z>1,96) = 0,025. Considerando a cidade com uma população de tamanho infinito, o intervalo de confiança para esta proporção ao nível de confiança de 95%, com base no resultado da amostra, é

a) [65,10% ; 74,90%]. b) [66,08% ; 73,92%]. c) [67,06% ; 72,94%]. d) [68,04% ; 71,96%]. e) [69,02% ; 70,98%].

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22. (FCC 2010/SEFAZ-RO) Em uma pesquisa realizada numa grande região, apurou-se que 90% dos habitantes eram favoráveis à implantação de uma indústria. O tamanho da amostra desta pesquisa foi de 1.600 e considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes da região a favor desta implantação. O intervalo de confiança de 95,5% encontrado para a proporção foi igual a [88,5% ; 91,5%]. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 2.500 e apurando-se a mesma proporção anterior, tem-se que a amplitude do intervalo de 95,5% seria de

a) 1,2% b) 2,4% c) 3,6% d) 4,8% e) 6,4%

23. (FCC 2010/TRT 8ª Região) Uma pesquisa realizada em uma região, por meio de uma amostra piloto, revelou que 80% de seus habitantes são favoráveis à realização de uma obra. Deseja-se obter um intervalo de confiança de 95% para esta proporção, com base em uma amostra de tamanho 256, considerando a população de tamanho infinito e que a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis à obra é normal. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P(Z > 1,96) = 0,025, o intervalo de confiança apresenta uma amplitude igual a

a) 9,8%. b) 8,4%. c) 7,6%. d) 6,4%. e) 4,9%.

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24. (FGV 2018/TJ-AL) Para estimar a variância de determinada população, através de um intervalo, é extraída uma amostra de tamanho 𝒏 = 𝟐𝟎 e empregada a distribuição 𝝌𝟐 . Por meio das observações amostrais 𝟐

tem-se ∑𝑿𝟐𝒊 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 e 𝒏 ∙ 𝑿 = 𝟐𝟒𝟎. Sabe-se que

𝑷C𝟕 < 𝝌𝟐𝟏𝟗 < 𝟑𝟔E = 𝑷C𝟖 < 𝝌𝟐𝟐𝟎 < 𝟑𝟕E = 𝑷C𝟖 < 𝝌𝟐𝟐𝟏 < 𝟑𝟖E = 𝟎, 𝟗𝟖 Logo, o intervalo para 𝝈𝟐 , com 98% de confiança, é dado por:

a) 32 < 𝜎 + < 190 b) 35 < 𝜎 + < 180 c) 36 < 𝜎 + < 200 d) 40 < 𝜎 + < 290 e) 26 < 𝜎 + < 136

25. (CONSULPLAN 2017/TRF 2ª Região) Um agricultor desconfia que a variabilidade da quantidade total de leite produzida diariamente por suas vacas foi alterada após ele mudar a ração que utilizava para alimentar os animais de sua fazenda. Considere que X é uma variável aleatória que representa a quantidade de leite produzida diariamente pelas vacas desse agricultor. Ele coletou uma amostra aleatória simples de tamanho 50 durante certo período de tempo e através dessa amostra ele descobriu que X segue uma distribuição normal com média de 300 litros de leite por dia e desvio-padrão 10.

Assinale a alternativa que apresenta um intervalo com 95% de confiança para o desvio-padrão populacional.

a) [8.05; 11.89]. b) [8.35; 12.46]. c) [69.78; 155.28]. d) [68.60; 151.46] Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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GABARITO SEM COMENTÁRIO

01. C 02. A 03. A 04. D 05. B 06. E 07. E 08. A 09. E 10. D 11. C 12. E 13. E 14. E 15. B 16. E 17. E 18. D 19. D 20. A 21. E 22. B 23. A 24. B 25. B

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LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS

Exercícios – Intervalos de Confiança para 𝝁 1. (FCC 2019/Prefeitura do Recife – Analista de Gestão Contábil) Considere que na curva normal padrão (Z) a probabilidade 𝑷(−𝟐 ≤ 𝒁 ≤ 𝟐) = 𝟗𝟓%. Uma amostra aleatória de tamanho 400 é extraída de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito. Dado que a variância desta população é igual a 64, obtém-se, com base na amostra, um intervalo de confiança de 95% para a média da população. A amplitude deste intervalo é igual a

a) 0,8. b) 6,4. c) 1,6. d) 12,8. e) 3,2. Comentário

A questão informou que para um nível de confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 2. A variância populacional é 64. Logo, 𝜎 = √64 = 8. A amostra tem tamanho 400, ou seja, 𝑛 = 400. Assim, o desvio padrão da média amostral é: 𝜎, =

𝜎 √𝑛

=

8 √400

=

8 = 0,4 20

A amplitude do intervalo é: 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝜎, 𝐴 = 2 ∙ 2 ∙ 0,4 = 1,6 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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Gabarito: C

2. (FCC 2019/AFAP) Para obtenção de um intervalo de confiança de 95% para a média 𝝁 de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito, utilizou-se uma amostra aleatória de tamanho 64 dessa população. Sabe-se que o desvio padrão populacional 𝝈 é conhecido e o intervalo encontrado foi igual a [298,6 ; 301,4]. Considerando os dados da curva normal padrão (Z) que as probabilidades 𝑷(𝒁 > 𝟐) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 e 𝑷(𝒁 > 𝟏, 𝟔) = 𝟎, 𝟎𝟓, tem-se que o valor de 𝝈 é igual a

a) 5,6. b) 1,4. c) 2,8. d) 3,5. e) 7,0. Comentário

Como 𝑷(𝒁 > 𝟐) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓, então 𝑷(−𝟐 < 𝒁 < 𝟐) = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟓. Assim, para um intervalo de confiança de 95%, devemos utilizar 𝒁𝟎 = 𝟐. A amplitude do intervalo obtido é: 𝑨 = 𝟑𝟎𝟏, 𝟒 − 𝟐𝟗𝟖, 𝟔 = 𝟐, 𝟖 A amplitude do intervalo é dada por: 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙ 𝝈𝑿 = 𝟐, 𝟖 𝟐×𝟐× 𝟒×

𝝈 √𝒏

𝝈 √𝟔𝟒

= 𝟐, 𝟖

= 𝟐, 𝟖

𝟒𝝈 = 𝟐, 𝟖 𝟖

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𝝈 = 𝟐, 𝟖 𝟐 𝝈 = 𝟐 × 𝟐, 𝟖 = 𝟓, 𝟔 Gabarito: A

3. (FCC 2018/TRT 14ª Região) Um intervalo de confiança com um nível de (𝟏 − 𝜶) foi construído para a média 𝝁𝟏 de uma população 𝑷𝟏 , normalmente distribuída, de tamanho infinito e variância populacional igual a 144. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho 36 obteve-se esse intervalo igual a [25,3; 34,7]. Seja uma outra população 𝑷𝟐 , também normalmente distribuída, de tamanho infinito e independente da primeira. Sabe-se que a variância de 𝑷𝟐 é conhecida e que por meio de uma amostra aleatória de tamanho 64 de 𝑷𝟐 obteve-se um intervalo de confiança com um nível de (1 − α) para a média 𝝁𝟐 de 𝑷𝟐 igual a [91,54; 108,46]. O desvio padrão de 𝑷𝟐 é igual a

a) 28,80. b) 19,20. c) 23,04. d) 38,40. e) 14,40. Comentário

As amplitudes dos intervalos obtidos são: 𝑨𝟏 = 𝟑𝟒, 𝟕 − 𝟐𝟓, 𝟑 = 𝟗, 𝟒 𝑨𝟐 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟔 − 𝟗𝟏, 𝟓𝟒 = 𝟏𝟔, 𝟗𝟐 Vamos dividir uma amplitude pela outra: 𝝈 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙ 𝟐 𝑨𝟐 √𝒏𝟐 = 𝑨𝟏 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙ 𝝈𝟏 √𝒏𝟏

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Guilherme, de onde você teve essa ideia de dividir um pelo outro? Ora, como os intervalos são construídos com a mesma confiança, então 𝒁𝟎 é o mesmo para os dois casos. Assim, dividindo um pelo outro cancelaremos 𝒁𝟎 . Simplificando, temos: 𝝈𝟐 𝑨𝟐 √𝒏𝟐 = 𝝈 𝟏 𝑨𝟏 𝒏 √ 𝟏

𝑨𝟐 𝝈𝟐 √𝒏𝟏 = × 𝑨𝟏 √𝒏𝟐 𝝈𝟏 Agora é só substituir os valores: 𝟏𝟔, 𝟗𝟐 𝝈𝟐 √𝟑𝟔 = × 𝟗, 𝟒 √𝟔𝟒 𝟏𝟐 𝟏, 𝟖 =

𝝈𝟐 𝟔 × 𝟖 𝟏𝟐

𝟏, 𝟖 =

𝝈𝟐 𝟏𝟔

𝝈𝟐 = 𝟏𝟔 × 𝟏, 𝟖 = 𝟐𝟖, 𝟖 Gabarito: A

4. (FCC 2018/TRT 14ª Região) Uma variável aleatória X tem distribuição normal, variância desconhecida e com uma população de tamanho infinito. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a média 𝝁 da população com base em uma amostra aleatória de tamanho 9 extraída dessa população e considerando a distribuição t de Student. Nessa amostra, observou-se que a média apresentou um valor igual a 5 e a soma dos quadrados dos 9 elementos da amostra foi igual a 243.

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O intervalo de confiança encontrado foi igual a

a) [4,055; 5,945]. b) [4,070; 5,930]. c) [4,300; 5,700]. d) [3,845; 6,155]. e) [3,870; 6,130]. Comentário

A média da amostra é igual a 5. 𝑋=5 Sabemos que a soma dos quadrados dos 9 elementos é igual a 243. Assim, a média dos quadrados é 𝑋+ =

∑𝑋h+ 243 = = 27 𝑛 9

Assim, a variância da amostra é: +

𝑠 + = p𝑋 + − C𝑋E q ∙

𝑠 + = [27 − 25] ∙

𝑛 𝑛−1

9 = 2,25 8

Consequentemente,

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𝑠 = t2,25 = 1,5 Assim, temos: 𝑠, =

𝑠 √𝑛

=

1,5 √9

=

1,5 = 0,5 3

Como 𝑛 = 9, então a distribuição T de Student associada terá 9 − 1 = 8 graus de liberdade. Observe a tabela dada no enunciado.

Lembre-se que a distribuição T também é simétrica em relação a 0. Como queremos um intervalo de confiança de 95%, então deveremos utilizar 𝛼 = 0,025. Por quê? Ora, a tabela nos fornece 𝑃(𝑡 > 𝑡Z ) = 𝛼. Se 𝛼 = 0,025 = 2,5%, então 𝑃(−𝑡Z < 𝑡 < 𝑡Z ) = 95%.

Assim, para 𝛼 = 2,5% = 0,025 e 8 graus de liberdade, temos que 𝑡N = 2,31. Os limites do intervalo de confiança são:

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𝑋 + 𝑡N ∙ 𝑠, = 5 + 2,31 × 0,5 = 6,155 𝑋 − 𝑡N ∙ 𝑠, = 5 − 2,31 × 0,5 = 3,845 Gabarito: D

5. (FCC 2018/TCE-RS) Seja uma população normalmente distribuída, de tamanho infinito e apresentando uma variância populacional igual a 10,24. Um intervalo de confiança igual a [21,30 ; 22,70] foi obtido para a média 𝝁 da população a um nível de confiança de (1 − 𝜶) com base em uma amostra aleatória de tamanho 64. Caso haja uma opção para obter um outro intervalo de confiança para 𝝁 a um nível de confiança (1 − 𝜶), porém com uma outra amostra aleatória independente da primeira de tamanho 100, significa que o novo intervalo apresentará uma amplitude igual a

a) 1,40 b) 1,12 c) 1,32 d) 1,48 e) 1,26 Comentário

A amplitude do primeiro intervalo é 𝐴… = 22,70 − 21,30 = 1,40. Seja 𝐴+ a amplitude do segundo intervalo. Dividindo as amplitudes, temos: 𝝈 𝑨𝟐 √𝒏𝟐 = 𝑨𝟏 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙ 𝝈 √𝒏𝟏 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙

Observe que como as amostras foram retiradas da mesma população, o desvio padrão populacional é o mesmo nas duas situações. 𝟏 𝑨𝟐 √𝒏𝟐 = 𝟏 𝑨𝟏 √𝒏𝟏

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𝑨𝟐 𝟏 √𝒏𝟏 = × 𝑨𝟏 √𝒏𝟐 𝟏 Substituindo os valores, temos: 𝑨𝟐 √𝟔𝟒 = 𝟏, 𝟒𝟎 √𝟏𝟎𝟎 𝑨𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟎 ×

𝟖 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝟏𝟎

Gabarito: B

6. (FCC 2018/TRT 2ª Região) Em uma grande região de um país, uma empresa (𝑬𝟏 ) foi contratada para elaborar uma pesquisa referente a um atributo X, correspondente a uma população considerada normal, de tamanho infinito, média 𝝁 desconhecida e variância populacional igual a 144. Considerando uma amostra aleatória de tamanho 64, esta empresa apurou um intervalo de confiança com um nível de confiança (1 − 𝜶) para 𝝁 igual a [99,0; 105,0]. Uma outra empresa (𝑬𝟐 ) trabalhando independentemente da primeira, na mesma região, também elaborou uma pesquisa referente ao atributo X utilizando uma amostra de tamanho 400 e encontrando uma média amostral igual a 104,5. O intervalo de confiança para 𝝁 com um nível de confiança (1 − 𝜶) encontrado por 𝑬𝟐 foi de

a) [101,5; 107,5] b) [103,0; 106,0] c) [103,9; 105,1] d) [102,7; 106,3] e) [103,3; 105,7] Comentário

A amplitude do primeiro intervalo é 𝐴… = 105 − 99 = 6. Seja 𝐴+ a amplitude do segundo intervalo. Dividindo as amplitudes, temos:

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𝝈 𝑨𝟐 √𝒏𝟐 = 𝑨𝟏 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙ 𝝈 √𝒏𝟏 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙

Observe que como as amostras foram retiradas da mesma população, o desvio padrão populacional é o mesmo nas duas situações. 𝟏 𝑨𝟐 √𝒏𝟐 = 𝟏 𝑨𝟏 √𝒏𝟏 𝑨𝟐 𝟏 √𝒏𝟏 = × 𝑨𝟏 √𝒏𝟐 𝟏 Substituindo os valores, temos: 𝑨𝟐 √𝟔𝟒 = 𝟔 √𝟒𝟎𝟎 𝑨𝟐 = 𝟔 ×

𝟖 = 𝟐, 𝟒 𝟐𝟎

Assim, metade da amplitude é 2,4/2 = 1,2. A média amostral é 104,5. Assim, o limite superior do intervalo é 𝟏𝟎𝟒, 𝟓 + 𝟏, 𝟐 = 𝟏𝟎𝟓, 𝟕 e o limite inferior é 𝟏𝟎𝟒, 𝟓 − 𝟏, 𝟐 = 𝟏𝟎𝟑, 𝟑. Gabarito: E

7. (FCC 2018/SEFAZ-SC) Sabe-se que, em determinada cidade, o desvio padrão da altura de crianças da primeira série do ensino fundamental é 4 cm. Uma amostra aleatória de tamanho maior do que 30, com reposição, de n crianças, foi colhida do conjunto de todas essas crianças e obteve-se um intervalo de confiança para a média desse conjunto dado por (129,02 cm; 130,98 cm) com coeficiente de confiança de 95%. Uma nova amostra de tamanho m será colhida e deseja-se que a amplitude do novo intervalo seja a metade daquela obtida com a amostra de tamanho n, com a mesma confiança. Nessas condições, o valor de m deverá ser igual a Dados: Se Z tem distribuição normal padrão:

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P(Z < 0,84) = 0,8 P(Z < 1) = 0,841 P(Z < 1,96) = 0,975 a) 64 b) 100 c) 121 d) 81 e) 256 Comentário

O enunciado afirma que 𝑷(𝒁 < 𝟏, 𝟗𝟔) = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓. Assim, 𝑷(𝒁 > 𝟏, 𝟗𝟔) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓. Consequentemente, 𝑷(−𝟏, 𝟗𝟔 < 𝒁 < 𝟏, 𝟗𝟔) = 𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟓. Assim, para uma confiança de 95%, devemos utilizar 𝒁𝟎 = 𝟏, 𝟗𝟔. A amplitude do primeiro intervalo é: 𝟏𝟑𝟎, 𝟗𝟖 − 𝟏𝟐𝟗, 𝟎𝟐 = 𝟏, 𝟗𝟔 Queremos que a amplitude do novo intervalo seja a metade. 𝟏, 𝟗𝟔 𝝈 = 𝟐 ∙ 𝒁𝟎 ∙ 𝟐 √𝒎 𝟏, 𝟗𝟔 𝟒 = 𝟐 ∙ 𝟏, 𝟗𝟔 ∙ 𝟐 √𝒎 Podemos cortar 1,96. 𝟏 𝟖 = 𝟐 √𝒎 √𝒎 = 𝟐 × 𝟖 = 𝟏𝟔 𝒎 = 𝟏𝟔𝟐 = 𝟐𝟓𝟔

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Gabarito: E

8. (FCC 2017/TRT 11ª Região) Uma amostra aleatória de tamanho 64 é extraída de uma população de tamanho infinito, normalmente distribuída, média 𝝁 e variância conhecida 𝝈𝟐 . Obtiveram-se com base nos dados desta amostra, além de uma determinada média amostral 𝑿, 2 intervalos de confiança para 𝝁 aos níveis de 95% e 99%, sendo os limites superiores destes intervalos iguais a 20,98 e 21,29, respectivamente. Considerando que na curva normal padrão (Z) as probabilidades P(|Z| > 1,96) = 0,05 e P(|Z| > 2,58) = 0,01, encontra-se que 𝝈𝟐 é igual a

a) 16,00 b) 6,25 c) 4,00 d) 12,25 e) 9,00 Comentário

A questão indica que para uma confiança de 95%, devemos utilizar 𝑍… = 1,96 e para uma confiança de 99% devemos utilizar 𝑍+ = 2,58. O limite superior de um intervalo de confiança para a média é dado por: 𝑋 + 𝑍N ∙

𝜎 √𝑛

O que muda de um intervalo para o outro é apenas o valor crítico de Z. Assim, se subtrairmos um limite superior do outro, eliminaremos a média amostral. Seja 𝐿… o limite superior do primeiro intervalo e 𝐿+ o limite superior do segundo intervalo. 𝐿+ − 𝐿… = i𝑋 + 𝑍+ ∙

𝜎 √𝑛

𝐿+ − 𝐿… = 𝑍+ ∙

k − i𝑋 + 𝑍… ∙

𝜎 √𝑛

− 𝑍… ∙

𝜎 √𝑛

k

𝜎 √𝑛

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Substituindo os valores, temos: 21,29 − 20,98 = 2,58 ∙

0,31 =

𝜎 √64

− 1,96 ∙

𝜎 √64

2,58𝜎 − 1,96𝜎 8

8 × 0,31 = 0,62𝜎

𝜎=

8 × 0,31 8 = =4 0,62 2

Logo, 𝜎 + = 4+ = 16 Gabarito: A

9. (FCC 2016/ISS-Teresina) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 1,64) =0,950; P(Z 1,6) = 0,055 = 5,5%. Logo, 𝑃(−1,6 < 𝑍 < 1,6) = 100% − 2 × 5,5% = 89%. Assim, o valor crítico é 𝑍N = 1,6. Queremos que o erro máximo de estimativa da média seja igual a 2. 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑍N ∙ 𝜎,

𝜎

2 = 1,96 ∙

2 = 1,6 ∙

√𝑛 =

√𝑛

10 √𝑛

16 2

√𝑛 = 8

𝑛 = 64 Gabarito: E

13. (FCC 2015/TRT 3ª Região) Se Z tem distribuição normal padrão, então:

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P(Z < 0,5) = 0,591; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,15) = 0,8951; P(Z < 1,17) = 0,879; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,06) = 0,98; P(Z < 2,4) = 0,997.

Instrução: O enunciado a seguir refere-se à questão.

Considere que X é a variável aleatória, que representa as idades, em anos, dos trabalhadores de certa indústria. Suponha que X tem distribuição normal com média de 𝝁 anos e desvio padrão de 5 anos. Uma amostra aleatória, com reposição, de 𝒏 trabalhadores será selecionada e sejam

𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝟏𝟔 as idades observadas e 𝑿 =

∑𝟏𝟔 𝟏 𝑿𝒊 𝒏

a média desta amostra.

Desejando-se que o valor absoluto da diferença entre 𝑿e sua média seja menor do que 6 meses, com probabilidade de 95,4%, o valor de n deverá ser igual a

a) 225. b) 100. c) 256. d) 196. e) 400. Comentário

Já havíamos resolvido essa questão na aula sobre estimadores. Vamos resolvê-la de uma forma mais rápida. Vamos calcular o valor crítico. Pelos dados no enunciado, sabemos que 𝑃(𝑍 < 2) = 0,977. Como a área total abaixo da distribuição normal é igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 2) = 0,023 = 2,3%. Assim, 𝑃(−2 < 𝑍 < 2) = 100% − 2 × 2,3% = 95,4%. Logo, 𝑍N = 2. Queremos que o erro máximo da estimativa da média seja igual a 6 meses = ½ ano.

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𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑍N ∙ 𝜎,

0,5 = 𝑍N ∙

0,5 = 2 ∙

√𝑛 =

𝜎 √𝑛

5 √𝑛

10 0,5

√𝑛 = 20

𝑛 = 400 Gabarito: E

14. (FCC 2014/TRT 16ª Região) Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z 1,96) = 0,025, então 𝑃(−1,96 < 𝑍 < 1,96) = 1 − 2 × 0,025 = 0,95. Logo, para um intervalo de confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96. 𝑝̂ ± 𝑍N ∙ {

𝑝̂ 𝑞x = 𝑛

= 0,75 ± 1,96 ∙ {

0,75 × 0,25 300

= 0,75 ± 1,96 ∙ {

0,1875 300

= 0,75 ± 1,96 ∙ {

1 1.600

= 0,75 ± 1,96 ∙

1 40

= 0,75 ± 0,049 Assim, o intervalo de confiança é: [0,75 − 0,049 ; 0,75 + 0,049]

[0,701 ; 0,799] Como a questão pede o intervalo em %, temos: [70,1%; 79,9%]

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Gabarito: E

18. (FCC 2014/TRT 19ª Região) Para uma pesquisa piloto, realizada em uma grande cidade, escolheu-se aleatoriamente 300 habitantes e 75% deles estavam favoráveis à construção de uma ponte. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis à construção da ponte e que na curva normal padrão (Z) têm-se as probabilidades P(Z > 1,96) = 0,025 e P(Z > 1,64) = 0,05. A amplitude do intervalo de confiança para a proporção correspondente à pesquisa, ao nível de 95%, é, em porcentagem, igual a

a) 7,4. b) 7,0. c) 8,2. d) 9,8. e) 9,0. Comentário

Para uma confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96.

A amplitude do intervalo de confiança é 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝑠wx

𝑝̂ 𝑞x 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ { 𝑛

𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ {

0,75 × 0,25 300

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0,1875 𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ { 300

1 𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ { 1.600

𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙

1 = 0,098 = 9,8% 40

Gabarito: D

19. (FCC 2014/TRT 16ª Região) Em uma grande cidade é realizada uma pesquisa com 400 eleitores, escolhidos aleatoriamente, sobre o nível de satisfação do atual prefeito e 80% deles classificaram como “Bom”. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para esta proporção com base neste levantamento supondo que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos eleitores que consideram o nível de satisfação como “Bom”. Dado que na distribuição normal padrão Z as probabilidades P(Z > 1,96) = 0,025, P(Z > 1,64) = 0,05 e P(Z > 1,28) = 0,10, obtém-se que o intervalo, em %, é igual a

a) [77,44 ; 82,56]. b) [78,36 ; 81,64]. c) [78,04 ; 81,96]. d) [76,08 ; 83,92]. e) [76,72 ; 83,28]. Comentário

Para uma confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96. Temos que 𝑝̂ = 0,80. Logo, 𝑞x = 1 − 0,80 = 0,20. Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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O intervalo de confiança fica: 𝑝̂ ± 𝑍N ∙ {

𝑝̂ 𝑞x = 𝑛

= 0,80 ± 1,96 ∙ {

0,80 × 0,20 400

0,16 = 0,80 ± 1,96 ∙ { 400

= 0,80 ± 1,96 ∙

0,4 20

= 0,80 ± 0,0392

Para marcar a resposta, precisamos apenas do limite superior (ou do limite inferior).

= 0,80 + 0,0392 = 0,8392 = 83,92% Gabarito: D

20. (FCC 2012/TRE-SP) Em uma pesquisa eleitoral realizada com 600 eleitores escolhidos aleatoriamente, 360 mostraram-se favoráveis ao candidato X. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X com base nessa amostra. Para isto, considerou-se normal a distribuição da frequência relativa dos eleitores que são favoráveis ao

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candidato X, a população de tamanho infinito e que na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(|Z| ≤ 1,96) = 95%. A amplitude deste intervalo é igual a

a) 7,84%. b) 6,86%. c) 5,88%. d) 4,90%. e) 3,92%. Comentário

Para uma confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96. ¤¥N

Temos que 𝑝̂ = ¥NN = 0,60. Logo, 𝑞x = 1 − 0,60 = 0,40. A amplitude do intervalo de confiança é: 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝑠wx

𝑝̂ 𝑞x 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ { 𝑛

𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ {

0,60 × 0,40 600

0,24 𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ { 600

𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ {

0,04 100

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𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙

0,2 = 0,0784 10

𝐴 = 7,84% Gabarito: A

21. (FCC 2012/TRF 2ª Região) Uma pesquisa realizada com 8.400 habitantes de uma cidade, escolhidos aleatoriamente, revelou que 70% deles estavam satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes satisfeitos com o desempenho do prefeito e que, na curva normal padrão Z, a probabilidade P(Z>1,96) = 0,025. Considerando a cidade com uma população de tamanho infinito, o intervalo de confiança para esta proporção ao nível de confiança de 95%, com base no resultado da amostra, é

a) [65,10% ; 74,90%]. b) [66,08% ; 73,92%]. c) [67,06% ; 72,94%]. d) [68,04% ; 71,96%]. e) [69,02% ; 70,98%]. Comentário

Para uma confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96. Temos que 𝑝̂ = 0,70. Logo, 𝑞x = 1 − 0,70 = 0,20. O intervalo de confiança fica: 𝑝̂ ± 𝑍N ∙ {

𝑝̂ 𝑞x = 𝑛

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= 0,70 ± 1,96 ∙ {

0,70 × 0,30 8.400

= 0,70 ± 1,96 ∙ {

= 0,70 ± 1,96 ∙ {

0,21 4 × 2.100

1 4 × 10.000

= 0,70 ± 1,96 ∙

1 200

= 0,70 ± 0,0098 Para marcar a resposta, precisamos apenas do limite superior (ou do limite inferior).

= 0,70 + 0,0098 = 0,7098 = 70,98% Gabarito: E

22. (FCC 2010/SEFAZ-RO) Em uma pesquisa realizada numa grande região, apurou-se que 90% dos habitantes eram favoráveis à implantação de uma indústria. O tamanho da amostra desta pesquisa foi de 1.600 e considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes da região a favor desta implantação. O intervalo de confiança de 95,5% encontrado para a proporção foi igual a [88,5% ; 91,5%]. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 2.500 e apurando-se a mesma proporção anterior, tem-se que a amplitude do intervalo de 95,5% seria de

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a) 1,2% b) 2,4% c) 3,6% d) 4,8% e) 6,4% Comentário

A amplitude do primeiro intervalo foi de 0,915 – 0,885 = 0,03. Vamos dividir uma amplitude pela outra. 𝐴… 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝑠… wx = 𝐴+ 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝑠+ wx

𝐴… 𝑠… wx = 𝐴+ 𝑠+ wx

𝑝̂ 𝑞x 𝐴… y 𝑛… = 𝐴+ 𝑝̂ 𝑞x y 𝑛+

𝐴… 𝑝̂ 𝑞x 𝑛+ ={ ×{ 𝐴+ 𝑛… 𝑝̂ 𝑞x

𝐴… 𝑛+ ={ 𝐴+ 𝑛… Substituindo os valores, temos:

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0,03 2.500 ={ 𝐴+ 1.600

0,03 50 = 𝐴+ 40

50𝐴+ = 40 × 0,03

50𝐴+ = 1,2

𝐴+ = 0,024 = 2,4% Gabarito: B

23. (FCC 2010/TRT 8ª Região) Uma pesquisa realizada em uma região, por meio de uma amostra piloto, revelou que 80% de seus habitantes são favoráveis à realização de uma obra. Deseja-se obter um intervalo de confiança de 95% para esta proporção, com base em uma amostra de tamanho 256, considerando a população de tamanho infinito e que a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis à obra é normal. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P(Z > 1,96) = 0,025, o intervalo de confiança apresenta uma amplitude igual a

a) 9,8%. b) 8,4%. c) 7,6%. d) 6,4%. e) 4,9%. Comentário Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z) www.estrategiaconcursos.com.br

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Para uma confiança de 95% devemos utilizar 𝑍N = 1,96. Temos que 𝑝̂ = 0,680. Logo, 𝑞x = 1 − 0,80 = 0,20. A amplitude do intervalo de confiança é: 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ 𝑠wx

𝑝̂ 𝑞x 𝐴 = 2 ∙ 𝑍N ∙ { 𝑛

𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ {

0,80 × 0,20 256

0,16 𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙ { 256

𝐴 = 2 ∙ 1,96 ∙

0,4 16

𝐴 = 0,098

𝐴 = 9,8% Gabarito: A

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Exercícios – Intervalo de Confiança para a Variância 24. (FGV 2018/TJ-AL) Para estimar a variância de determinada população, através de um intervalo, é extraída uma amostra de tamanho 𝒏 = 𝟐𝟎 e empregada a distribuição 𝝌𝟐 . Por meio das observações amostrais 𝟐

tem-se ∑𝑿𝟐𝒊 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 e 𝒏 ∙ 𝑿 = 𝟐𝟒𝟎. Sabe-se que

𝑷C𝟕 < 𝝌𝟐𝟏𝟗 < 𝟑𝟔E = 𝑷C𝟖 < 𝝌𝟐𝟐𝟎 < 𝟑𝟕E = 𝑷C𝟖 < 𝝌𝟐𝟐𝟏 < 𝟑𝟖E = 𝟎, 𝟗𝟖 Logo, o intervalo para 𝝈𝟐 , com 98% de confiança, é dado por:

a) 32 < 𝜎 + < 190 b) 35 < 𝜎 + < 180 c) 36 < 𝜎 + < 200 d) 40 < 𝜎 + < 290 e) 26 < 𝜎 + < 136 Comentário

Primeiro, precisamos calcular a variância amostral. A média dos quadrados é dada por: 𝑋+

∑𝑋h+ 1.500 = = = 75 𝑛 20

O quadrado da média: +

𝑛 ∙ 𝑋 = 240

+

𝑋 =

240 240 = = 12 𝑛 20

Assim, a variância amostral é dada por:

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Guilherme Neves Aula 16 300015 +

𝑠 + = p𝑋 + − C𝑋E q ∙

𝑠 + = [75 − 12] ∙

𝑛 𝑛−1

20 1260 = 19 19

O intervalo de confiança para a variância fica: (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒔𝟐 𝝌𝟐𝟐

𝟐