Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO Seja P a imagem de um ângulo θ no ciclo trigonométrico. Já vimos que o seno do ângulo θ é definido como a ordenada de P, ou seja, sen   OPy . Assim, para obter o seno de θ,devemos projetar P sobre o eixo vertical Oy, denominado eixo dos senos.

A análise do seno no ciclo trigonométrico permitiu identificar os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos de máximo e mínimo. Vamos estudar a segunda derivada da função para identificar a sua concavidade. f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x ⇒ f’’(x) = –sen x Assim, no 1º e no 2º quadrantes, onde a função seno é positiva, a segunda derivada será negativa e a concavidade da função estará voltada para baixo. Já no 3º e no 4º quadrantes, onde a função seno é negativa, a segunda derivada será positiva e a concavidade da função estará voltada para cima. Nos arcos de imagem A e A’ ocorrem mudanças de concavidade, ou seja, esses pontos são pontos de inflexão da função seno. A partir dessa análise, vamos construir um esboço do gráfico da função seno.

sen   OPy

FUNÇÃO COSSENO A função seno é a função de  em  definida por f(x) = sen x. O domínio da função seno é Dsen =  e a imagem Imsen = [-1,1]. A função seno é periódica de período 2π.

Seja P a imagem de um ângulo θ no ciclo trigonométrico. Já vimos que o cosseno do ângulo θ é definido como a abscissa de P, ou seja, cos   OPx . Assim, para obter o cosseno de θ, devemos projetar P sobre o eixo horizontal Ox, denominado eixo dos cossenos.

Vamos analisar o gráfico da função seno, estudando os valores do seno de um ângulo de 0 a 2π. Assim, observe o que acontece com o segmento orientado OPy conforme o ponto P dá uma volta no ciclo trigonométrico.

 1º) De A até B, ou seja, de θ = 0 até   , o seno cresce de f(0) 2   = sen0 = 0 até f    sen  1 . 2  2  2º) De B até A’, ou seja, de   até θ = π, o seno decresce de 2   f    sen  1 até f(π) = sen π = 0. 2  2 3 , o seno decresce de 3º) De A’ até B’, ou seja, de θ = π até   2 3  3  f(π) = senπ = 0 até f    sen  1 . 2  2  3 até θ = 2π, o seno cresce de 4º) De B’ até A, ou seja, de   2 3  3  f    sen  1 até f(2π) = sen2π = 0. 2  2 

cos θ = OP x

A função cosseno é a função de  em  definida por f(x) = cos x. O domínio da função cosseno é Dcos =  e a imagem Imcos = [–1,1]. A função cosseno é periódica de período 2π. Vamos analisar o gráfico da função cosseno, estudando os valores do cosseno de um ângulo de 0 a 2π. Assim, observe o que acontece com o segmento orientado OPx conforme o ponto P dá uma volta no ciclo trigonométrico.

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

 1º) De A até B, ou seja, de θ = 0 até   , o cosseno decresce de 2   f(0) = cos 0 = 1 até f    cos  0 . 2  2  até θ = π, o cosseno decresce 2º) De B até A’, ou seja, de   2   de f    cos  0 até f(π) = cos π = –1. 2  2 3 , o cosseno cresce de 3º) De A’ até B’, ou seja, de θ = π até   2 3  3  f(π) = cos π = –1 até f    cos  0. 2  2  3 4º) De B’ até A, ou seja, de   até θ = 2π, o cosseno cresce 2 3  3  de f    cos  0 até f(2π) = cos 2π = 1. 2  2  A análise do cosseno no ciclo trigonométrico permitiu identificar os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos de máximo e mínimo. Vamos estudar a segunda derivada da função para identificar a sua concavidade. f(x) = cos x ⇒ f’(x) = –sen x ⇒ f’’(x) = –cos x Assim, no 1º e no 4º quadrantes, onde a função cosseno é positiva, a segunda derivada será negativa e a concavidade da função estará voltada para baixo. Já no 2º e no 3º quadrantes, onde a função cosseno é negativa, a segunda derivada será positiva e a concavidade da função estará voltada para cima. Nos arcos de imagem A e A’ ocorrem mudanças de concavidade, ou seja, esses pontos são pontos de inflexão da função cosseno. A partir dessa análise, vamos construir um esboço do gráfico da função cosseno.

A função tangente é a função de Dtg em  definida por f(x) = tg x.  O domínio da função tangente é Dtg  x   | x   k, k   2 e a imagem Im = .





tg

A função tangente é periódica de período π.

Vamos analisar o gráfico da função tangente, estudando os valores da tangente de um ângulo de 0 a 2π. Assim, observe o que acontece com o segmento orientado AP1 conforme o ponto P dá uma volta no ciclo trigonométrico.

 1º) De A até B, ou seja, de θ = 0 até   (exclusive), a tangente 2 cresce de f(0) = tg0 = 0 até +∞.  (exclusive) até θ = π, a tangente 2º) De B até A’, ou seja, de   2 cresce de –∞ até f(π) = tgπ = 0. 3 3º) De A’ até B’, ou seja, de θ = π até   (exclusive), a 2 tangente cresce de f(π) = tgπ = 0 até +∞. 3 (exclusive) até θ = 2π, a 2 tangente cresce de –∞ até f(2π) = tg2π = 0. 4º) De B’ até A, ou seja, de  

A análise da tangente no ciclo trigonométrico permitiu identificar os intervalos de crescimento e os pontos de descontinuidade. Vamos estudar a segunda derivada da função para identificar a sua concavidade. f(x) = tgx ⇒ f’(x) = sec² x ⇒ f’’(x) = 2tgx · sec² x Assim, no 1º e no 3º quadrantes, onde a função tangente é positiva, a segunda derivada será positiva e a concavidade da função estará voltada para cima. Já no 2º e no 4º quadrantes, onde a função tangente é negativa, a segunda derivada será negativa e a concavidade da função estará voltada para baixo. Nos arcos de imagem A e A’ ocorrem mudanças de concavidade, ou seja, esses pontos são pontos de inflexão da função tangente. Nos arcos de imagem B e B’ também há mudança de concavidade antes e depois, mas eles são pontos de descontinuidade. A partir dessa análise, vamos construir um esboço do gráfico da função tangente.

FUNÇÃO TANGENTE Já vimos que, no ciclo trigonométrico, o eixo paralelo ao eixo Oy com a mesma orientação que este, e passando pelo ponto A, é denominado eixo das tangentes.

  k   , k ∈ , 2 tem imagem no ciclo trigonométrico P, então a tangente de θ é a medida algébrica do segmento AP1, onde P1 é a interseção da reta OP com o eixo das tangentes. Vimos também que, se um ângulo θ tal que  

FUNÇÃO COTANGENTE Já vimos que, no ciclo trigonométrico, o eixo paralelo ao eixo Ox com a mesma orientação que este e passando pelo ponto B é denominado eixo das cotangentes.

tg   AP1

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Vimos também que, se um ângulo θ tal que θ ≠ k · π, k ∈ ,tem imagem no ciclo trigonométrico P, então a cotangente de θ é a medida algébrica do segmento BP2, onde P2 é a interseção da reta OP com o eixo das cotangentes.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

cotg   BP2

FUNÇÃO SECANTE   k   , k ∈ , e cuja imagem 2 no ciclo trigonométrico é P. A secante de θ é a medida algébrica do segmento OP’, onde P’ é a interseção da reta tangente ao ciclo trigonométrico em P com o eixo dos cossenos. Seja θ um ângulo tal que  

A função cotangente é a função de Dcotg em  definida por f(x) = cotg x. O domínio da função cotangente é Dcotg = {x ∈  | x ≠ kπ, k ∈ } e a imagem Imcotg = . A função cotangente é periódica de período π. Vamos analisar o gráfico da função cotangente, estudando os valores da cotangente de um ângulo de 0 a 2π. Assim, observe o que acontece com o segmento orientado BP2 conforme o ponto P dá uma volta no ciclo trigonométrico.

 1º) De A até B, ou seja, de θ = 0 (exclusive) até   , a cotangente 2   decresce de +∞ até f    cotg  0 . 2  2  até θ = π (exclusive), a 2º) De B até A’, ou seja, de   2   cotangente decresce de f    cotg  0 até –∞. 2  2 3 , a 3º) De A’ até B’, ou seja, de θ = π (exclusive) até   2 3  3  cotangente decresce de +∞ até f    cotg  0. 2  2  3 até θ = 2π (exclusive), a 4º) De B’ até A, ou seja, de   2 3 3     cotangente decresce de f    cotg  0 até –∞. 2  2  A análise da cotangente no ciclo trigonométrico permitiu identificar os intervalos de decrescimento e os pontos de descontinuidade. Vamos estudar a segunda derivada da função para identificar a sua concavidade. f(x) = cotg x ⇒ f’(x) = –cossec² x ⇒ f’’(x) = 2 cotg x · cossec² x Assim, no 1º e no 3º quadrantes, onde a função cotangente é positiva, a segunda derivada será positiva e a concavidade da função estará voltada para cima. Já no 2º e no 4º quadrantes, onde a função cotangente é negativa, a segunda derivada será negativa e a concavidade da função estará voltada para baixo. Nos arcos de imagem B e B’ ocorrem mudanças de concavidade, ou seja, esses pontos são pontos de inflexão da função cotangente. Nos arcos de imagem A e A’ também há mudança de concavidade antes e depois, mas eles são pontos de descontinuidade. A partir dessa análise, vamos construir um esboço do gráfico da função cotangente.

sec θ = OP'

A função secante é a função de Dsec em  definida por f(x) = sec x.  O domínio da função secante é Dsec  x   | x   k, k   2 e a imagem Imsec = ]–∞,–1] ∪ [1,+∞[ =  – ]–1,1[ .





A função secante é periódica de período 2π. Vamos analisar o gráfico da função secante, estudando os valores da secante de um ângulo de 0 a 2π. Assim, observe o que acontece com o segmento orientado OP’ conforme o ponto P dá uma volta no ciclo trigonométrico.

 1º) De A até B, ou seja, de θ = 0 até   (exclusive), a secante 2 cresce de f(0) = sec 0 = 1 até +∞.  2º) De B até A’, ou seja, de   (exclusive) até θ = π, a secante 2 cresce de –∞ até f(π) = secπ = –1. 3 3º) De A’ até B’, ou seja, de θ = π até   (exclusive), a secante 2 decresce de f(π) = sec π = –1 até –∞. 3 (exclusive) até θ = 2π, a 2 secante decresce de +∞ até f(2π) = sec 2π = 1. 4º) De B’ até A, ou seja, de  

A análise da secante no ciclo trigonométrico permitiu identificar os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de descontinuidade.

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Vamos estudar a segunda derivada da função para identificar a sua concavidade. f(x) = sec x ⇒ f’(x) = sec x · tg x ⇒ f’’(x) = sec x · (tg² x + sec² x) Assim, no 1º e no 4º quadrantes, onde a função secante é positiva, a segunda derivada será positiva e a concavidade da função estará voltada para cima. Já no 2º e no 3º quadrantes, onde a função secante é negativa, a segunda derivada será negativa e a concavidade da função estará voltada para baixo. A partir dessa análise, vamos construir um esboço do gráfico da função cotangente.

 2º) De B até A’, ou seja, de   até θ = π (exclusive), a cossecante 2   cresce de f    cossec  1 até +∞. 2  2 3 , a 3º) De A’ até B’, ou seja, de θ = π (exclusive) até   2 3  3  cossecante cresce de –∞ até f    cossec  1 . 2  2  3 4º) De B’ até A, ou seja, de   até θ = 2π (exclusive), a 2 3  3  cossecante decresce de f    cossec  1 até –∞. 2  2  A análise da cossecante no ciclo trigonométrico permitiu identificar os intervalos de crescimento, decrescimento, os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de descontinuidade. Vamos estudar a segunda derivada da função para identificar a sua concavidade. f(x) = cossec x ⇒ f’(x) = –cossec x · cotg x ⇒ f’’(x) = cossec x · (cotg² x + cossec² x) Assim, no 1º e no 2º quadrantes, onde a função cossecante é positiva, a segunda derivada será positiva e a concavidade da função estará voltada para cima. Já no 3º e no 4º quadrantes, onde a função cossecante é negativa, a segunda derivada será negativa e a concavidade da função estará voltada para baixo.

FUNÇÃO COSSECANTE Seja θ um ângulo tal que θ ≠ k · π, k ∈ , e cuja imagem no ciclo trigonométrico é P. A cossecante de θ é a medida algébrica do segmento OP’’, onde P’’ é a interseção da reta tangente ao ciclo trigonométrico em P com o eixo dos senos.

A partir dessa análise, vamos construir um esboço do gráfico da função cotangente.

ESTUDO DOS GRÁFICOS cossec   OP"

Vamos estudar os gráficos de funções trigonométricas da forma f(x) = A sen (Bx + C) + D. Para isso vamos analisar a influência de cada um dos coeficientes separadamente. Observe que o desenvolvimento feito para a função cosseno se aplica de maneira similar às outras funções trigonométricas.

REFLEXÃO EM RELAÇÃO AO EIXO OX A função cossecante é a função de Dcossec em  definida por f(x) = cossec x. O domínio da função secante é Dcossec = {x ∈  | x ≠ kπ, k ∈ } e a imagem Imcossec = ]–∞,–1] ∪ [1,+∞[ =  – ]–1,1[ . A função cossecante é periódica de período 2π. Vamos analisar o gráfico da função cossecante, estudando os valores da cossecante de um ângulo de 0 a 2π. Assim, observe o que acontece com o segmento orientado OP’’ conforme o ponto P dá uma volta no ciclo trigonométrico.

 1º) De A até B, ou seja, de θ = 0 (exclusive) até   , a cossecante 2   decresce de +∞ até f    cossec  1 . 2  2

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A função f(x) = –sen x possui gráfico simétrico ao gráfico de g(x) = sen x em relação ao eixo Ox.

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AMPLITUDE

DESLOCAMENTO HORIZONTAL

A função g(x) = sen x tem amplitude 1 e imagem Img = [–1,1]. A função f(x) = A sen x, com A > 0, tem amplitude A e imagem Imf [–A,A].

O gráfico da função f(x) = sen(Bx + C) é igual ao gráfico igual ao C  C gráfico de g(x) = senBx deslocado na horizontal de − . Se     0,  B B  C o gráfico se desloca para a direita e, se     0 , o gráfico se desloca  B para a esquerda.

Exemplo 1: O gráfico da função f(x) = 2 sen x tem amplitude A = 2 e imagem Im = [–2,2].

Observação Para encontrar o deslocamento na horizontal da função f(x) = sen C (Bx + C), devemos fazer Bx  C  0  x   . Se o resultado B for positivo, o deslocamento é para a direita e, se for negativo, o deslocamento é para a esquerda. Exemplo 1:

  A função f  x   sen  x   tem gráfico igual ao de f(x) = sen x 4  π deslocado de unidades para a esquerda. 4

Exemplo 2:

1 1 O gráfico da função f  x   sen x tem amplitude A = e 2 2  1 1 imagem Im    ,  .  2 2

Exemplo 2:

  A função f  x   sen  x   tem gráfico igual ao de f(x) = sen x 4   π deslocado de unidades para a direita. 4

PERÍODO A função f(x) = sen Bx possui período T  Exemplo 1: A função f(x) = sen 2x possui período T 

2 . B 2  . 2

Exemplo 3:

  A função f  x   sen  2x   tem gráfico igual ao de f(x) = sen x 4  π deslocado de unidades para a direita. 8

Exemplo 2: A função f  x   sen

2 x possui período T   4 . 12 2

DESLOCAMENTO VERTICAL O gráfico da função f(x) = sen x + D é igual ao gráfico de f(x) = sen x deslocado na vertical de D unidades. Se D > 0, o gráfico se desloca para cima e, se D < 0, o gráfico se desloca para baixo.

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Exemplo 1: A função f(x) = sen x + 1 tem gráfico igual ao de g(x) = sen x deslocado de 1 unidade para cima.

CÁLCULO DO PERÍODO Exemplo 2: A função f(x) = sen x – 1 tem gráfico igual ao de g(x) = sen x deslocado de 1 unidade para baixo.

Seja f(x) uma função periódica de período P, então o período da P função g(x) = A · f(Bx + C) + D é T = . B Note que as funções seno, cosseno, secante e cossecante são periódicas de período 2π e as funções tangente e cotangente são periódicas de período π. Exercício Resolvido 01. Calcule o período das seguintes funções. a) y = sen 2x

x b) y = cos 2 c) y = tg 3x d)

y = cotg

x 3

O gráfico de f(x) = Asen (Bx + C) + D é tal que:

  e) y  sec  x   3 

•

|A| é a amplitude;

Resolução:

•

T

ProBizu

•

•

2 é o período; B

 C    é o número de fase, ou seja, o deslocamento na  B horizontal (para direita, se positivo, ou para a esquerda, se negativo); e D indica o deslocamento vertical (para cima, se positivo, ou para baixo, se negativo).

a)

T

b)

T

c)

T

d)

T

2   2 2   4 12   3    3 13

f)

  y  cossec  2x   6 

x  g) y  2 tg  3  6  h)

e) f) g) h)

2   cos  3x   3  1  y 2

2  2 1 2 T  2  T  6 16 2 T 3 T

Exemplo:

  Construa o gráfico de f  x   2 sen  2x    1 . 4  1º) Constrói-se f1(x) = sen x. 2º) Constrói-se f2(x) = –sen 2x, a partir de f1, com período 2  . 2   3º) Constrói-se f3  x   sen  2x   , a partir de f2, deslocando-se 4  π na horizontal para a direita. 8  4º) Constrói-se f4  x   2 sen  2x   , a partir de f3, com 4  amplitude 2.

T

 5º) Constrói-se f  x   2 sen  2x    1 , a partir de f4, deslocan4  do-se 1 na vertical para cima.

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Sejam f1(x) e f2(x) duas funções periódicas de período P1 e P2, P n respectivamente, com P1 ≠ P2. Se 1 = 1 , onde n1 e n2 são inteiros P2 n2 positivos e primos entre si, então as funções (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) e (f1 · f2)(x) = f1(x) · f2(x) são periódicas de período P = n2P1 = n1P2. Exercício Resolvido 02. Calcule o período das seguintes funções. a) y = tg 3x + cos 4x b)

x y  sen  cos 3x 2

c)

y = sec x – sen x

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Resolução: a)

b)

2   ; cos 4 x : P2   ; 4 2 3 P1  3 2      T  3  2   P2  2 3 3 2

tg 3x : P1 

2 x 2 ; sen : P1   4  ; cos 3x : P2  3 2 12 P1 4 6 2  4    T  1 4   6  P2 2 3 1 3

c)

y = sec x – sen x: P1 = P2 = 2π 1 1 1  2 sen x cos x 1  sen 2x 1 1 sen x cos x 2 2 y  sec x  sen x   sen x    cos x cos x cos x cos x 1 1 1  2 sen x cos x 1  sen 2x 1 sen x cos x 2 2 en x    cos x cos x cos x

2 1 1 sen 2x : P1    ; cos x: P2 – 2π; 2 2 1 P1     T  2    1 2  2 P2 2 2

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Vamos agora estudar as funções trigonométricas inversas. Todas as funções trigonométricas que nós estudamos não são bijetoras. Para podermos definir suas funções inversas, vamos restringir o domínio das funções de maneira conveniente a fim de obter uma função bijetora. O gráfico das funções trigonométricas inversas pode ser obtido refletindo-se o gráfico da função trigonométrica em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares).

FUNÇÃO ARCO SENO    Seja f :   ,    11 ,  tal que f(x) = sen x uma função bijetora,  2 2    1 então a sua inversa é f :  11 ,     ,  tal que f-1 (x) = arcsen x.  2 2 Assim, temos:

FUNÇÃO ARCO COSSENO Seja f: [0,π] → [–1,1] tal que f(x) = cos x uma função bijetora, então a sua inversa é f-1: [–1,1] → [0,π] tal que f-1(x) = arccos x. Assim, temos: y = f(x) = cos x ⇔ x = f-1(y) = arccos y Propriedade fundamental:

  arc cotg k, k    cotg   k    0, 

Propriedades:

arccos   x     arccos x, x   11 ,  cos  arccos x   x; x   11 ,  arccos  cos y   y; y  0,  A figura seguinte mostra o gráfico da função arco cosseno.

y = f(x) = sen x ⇔ x = f-1(y) = arcsen y Propriedade fundamental:

     arctg k, k    tg   k      ,   2 2

Propriedades:

arcsen   x    arcsen x, x   11 ,  sen  arcsen x   x; x   11 ,     arcsen  sen y   y; y    ,   2 2 A figura seguinte mostra o gráfico da função arco seno.

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

FUNÇÃO ARCO TANGENTE    Seja f :   ,    tal que f(x) = tg x uma função bijetora,  2 2    então a sua inversa é f 1 :     ,  tal que f-1(x) = arctg x. Assim,  2 2 temos: y = f(x) = tg x ⇔ x = f-1(y) = arctg y Propriedade fundamental:

     arctg k, k    tg   k      ,   2 2

Propriedades:

arctg   x    arctg x, x   tg  arctg x   x; x      arctg  tg y   y; y    ,   2 2 A figura seguinte mostra o gráfico da função arco tangente.

FUNÇÃO ARCO SECANTE     tal que f : 0,    ,    , 1  1,   2 2  f(x) = sec x uma função bijetora, então a sua inversa é     f 1 : , 1  1,   0,    ,   tal que f-1(x) = arcsec x.  2 2  Assim, temos: Seja

y = f(x) = sec x ⇔ x = f-1(y) = arcsec y Propriedade fundamental:

      arcsec k, k    sec   k    0,    ,    2 2 

Propriedades:

arcsec   x     arcsec x, x   sec  arcsec x   x; x  , 1  1, 

FUNÇÃO ARCO COTANGENTE Seja f: ]0,π[ →  tal que f(x) = cotg x uma função bijetora, então a sua inversa é f-1:  → ]0,π[ tal que f-1(x) = arccotg x. Assim, temos:

    arcsec  sec y   y; y  0,    ,    2 2  A figura seguinte mostra o gráfico da função arco secante.

y = f(x) = cotg x ⇔ x = f-1(y) = arccotg y Propriedade fundamental:

  arc cotg k, k    cotg   k    0,  Propriedades:

arc cotg   x     arc cotg x, x   cotg  arc cotg x   x; x   arc cotg  cotg y   y; y  0,  A figura seguinte mostra o gráfico da função arco cotangente.

FUNÇÃO ARCO COSSECANTE      tal que f :   , 0    0,   , 1  1,   2   2 f(x) = cossec c uma função bijetora, então a sua inversa é      f 1 : , 1  1,     , 0    0,  tal que f-1(x) = arccossec x.  2   2 Assim, temos: Seja

y = f(x) = cossec x ⇔ x = f-1(y) = arccossec y

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

x∈

y = arcsec x

x ∈ ]–∞,–1[ ∪ [1,+∞[

y = arccossec x

x ∈ ]–∞,–1] ∪ [1,+∞[

       arccossec k, k    cossec   k      , 0    0,   2   2 Propriedades:

y ∈ ]0,π[

y = arccotg x

Propriedade fundamental:

arccossec  x    arccossec x, x   cossec  arccossec x   x; x  , 1  1, 

y  0,  

  2

   y    ,   0  2 2

Exercício Resolvido

     arccossec  cossec y   y; y    , 0    0,   2   2

03. Calcule o valor das expressões a seguir:

A figura seguinte mostra o gráfico da função arco cossecante.

1 2

a)

arcsen

b)

arccos

c)

arctg 3

2 2

d) arc cotg 1 e) arc sec 2

OUTRAS PROPRIEDADES cos  arc sen x   1 x 2 , x   11 ,  sen  arccos x   1 x 2 , x   11 , 

2 3 3

f)

arccossec

g)

 1 arcsen     2

h)

 3 arccos     2 

i)

arctg(–1)

j)

arc cotg   3 

Resolução:

 arcsen x  arccos x  , x   11 ,  2  arctg x  arc cotg x  , x   2  arcsec x  arccossec x  , x  , 1  1,  2

a)

arcsen

b)

arccos

c)

1   2 6

2   2 4  arctg 3  3  arc cotg1  4  arcsec 2  3

 1 arcsen x  arccossec   ; x   11 ,   0 x

d)

 1 arccos x  arcsec   ; x   11 ,   0 x

e)

 1 arctg x  arc cotg   ; x  * x

f)

arccossec

 1 arctg x  arc cotg    ; x  * x

g)

  1 arcsen      6  2

QUADRO RESUMO

h)

FUNÇÃO INVERSA

DOMÍNIO

IMAGEM

i)

y = arcen x

x ∈ [–1,1]

   y   ,   2 2

j)

y = arccos x

x ∈ [–1,1]

y ∈ [0,π]

y = arctg x

x∈

   y   ,   2 2

2 3   3 3

 3  5 arccos     2  6  arctg  1   4 5 arc cotg   3   6

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349

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

x 02. Seja f : ( −π, π) →  definida por f(x) = cos   , então, é  2 verdade que

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Devemos lembrar que as funções inversas resultam em ângulos. Fazendo uma analogia a máquina de funções temos que as funções trigonométricas inversas tem em sua entrada número e na sua saída ângulo. Veja por exemplo a equação abaixo. π arccosx + arccos2x = 3 Sabemos que

arccosx

e

a) A função é crescente no intervalo (–π,0], decrescente no intervalo [0,π) e não possui raízes reais. b) A função é crescente no intervalo (–π,0], decrescente no intervalo [0,π) e possui duas raízes reais. c)

A função é decrescente no intervalo (–π,0], crescente no intervalo [0,π) e possui duas raízes reais.

d) A função é decrescente no intervalo (–π,π) e não possui raízes reais.

arccos2x

são ângulos, assim π arccosx = α e arccos2x = β , assim temos que α + β = . Sabemos 3 que cos ( arccosx ) = x e cos ( arccos2x ) = 2x . Assim vamos aplicar a função cosseno em ambos os lados da igualdade.

e) A função é crescente no intervalo [0,π) e possui uma raiz real. 03. Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

π cos ( α + β ) = cos   3 cosα.cosβ − senα.senβ =

1 2

Como vimos cos ( arccosx ) = x e cos ( arccos2x ) = 2x porém sen ( arccosx ) e sen ( arccos2x ) ? Vamos utilizar a relação fundamental. Sendo cosα =x termos que sen2α = 1 − x 2 ⇒ senα = mesma forma se cosβ =2x teremos sen β = 1 − 4x ⇒ senβ = 2

cosα.cosβ − senα.senβ= 2x 2 −

2

1 − x 2 e da

1 − 4x 2 .

1 1 ⇒ x.2x − 1 − x 2 . 1 − 4x 2 = ⇒ 2 2

1 1 = 1 − x 2 − 4x 2 + 4x 4 ⇒ 4x 4 − 2x 2 + =1 − x 2 − 4x 2 + 4x 4 ⇒ 2 4 3x 2 =

3 1 1 ⇒ x2 = ⇒ x = ± 4 4 2

Disponível em: http:en.wikipedia.org. Acesso em: 22 abr. 2014 (adaptado).

A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t.Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

Porém como resolvemos uma equação irracional devemos verificar se alguma, ou mais de uma, das raízes que encontramos é ou são “raízes estanhas”. Testando a raiz x = −

1 teremos 2

 1  1  1 arccos  −  + arccos2  − =  arccos  −  + arccos ( −1) =  2  2  2 π 4 π 2π π ≠ = += . 3 3 3 1 . 2 Para resoluções de equações trigonométricas inversas é de suma importância lembrarmos o domínio e a imagem das funções, ou seja, saber bem o quadro resumo do tópico QUADRO RESUMO. Logo a única raiz da nossa equação é x =

FIXAÇÃO 01. Considere a função real de variável real f(x) = 3 − 5 sen (2x + 4). Os valores de máximo, mínimo e o período de f(x) são, respectivamente, a)

−2, 8, π.

d)

π, 8, − 2.

b)

8, − 2, π.

e)

8, π, − 2.

c)

π. − 2, 8.

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= a) f(t) 80 sen(t) + 88 = b) f(t) 80 cos(t) + 88 = c) f(t) 88 cos(t) + 168 = d) f(t) 168 sen(t) + 88 cos(t)

EXERCÍCIOS DE

350

A expressão da função altura é dada por

= e) f(t) 88 sen(t) + 168 cos(t) 3 . Se M e m são 04. Seja f :  →  definida por f(x) = 2 sen + respectivamente os valores máximo e mínimo quexa função f assume, o valor do produto M · m é a) 2,0.

c)

b) 3,5.

d) 1,5.

3,0.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

05. A atração gravitacional que existe entre a Terra e a Lua provoca, entre outros fenômenos, o da chamada maré astronômica, que se caracteriza pelo periódico aumento e diminuição do nível do mar. Medindo e tabulando essas variações, os estudiosos do assunto podem descrever matematicamente o comportamento do nível do mar em determinado local por meio de uma função.A fórmula a seguir corresponde a medições feitas na cidade de Boston, no dia 10 de fevereiro de 1990.

10. O gráfico abaixo representa uma função real de variável real.

π  h(t) = 1,5 + 1,4 ⋅ cos  ⋅ t  6  Nessa função, h(t) (em metros) corresponde à altura do nível do mar, e t, ao tempo transcorrido desde a meia-noite (em horas). Com base nessas informações, quantas horas se passaram desde o início da medição até que o nível do mar tenha atingido 2,2 metros pela primeira vez? a) 2 horas

d) 5 horas

b) 3 horas

e) 6 horas

c)

4 horas

Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico. a)

f(x) = −2cos x

b)

f(x) = 2 cos

c)

f(x) = 2 sen x

06. Os gráficos das funções reais f(x) = cos(x) e g(x) = sen (x) não coincidem. Entretanto, a partir de uma transformação, é possível fazer o gráfico de g(x) coincidir com o gráfico de f(x). Essa transformação é a função π sen x. 2

a)

h(x) =

b)

π  h(x) = sen  x  . 2 

π  c) = h(x) sen  x +  . 2  π  d) = h(x) sen  x −  . 2 

07. A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em repouso. Suponhamos que a variação da pressão arterial (em mmHg) de um cidadão portoalegrense em função do tempo (em 8π  segundos) é dada por P(t) = 100 − 20 ⋅ cos  ⋅ t  . Diante disso,  3  os valores da pressão diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a

c)

08. Os valores de x (x ∈ ), para os quais a função = f(x) não é definida, são

b) c)

3π + kπ, k ∈  4

a) x = (2k + 1)π, k ∈ 

c)

b) x = (k ± 1/6)π, k ∈ 

d) x = (2k ±1/3)π, k ∈ 

a)

0