GA AP 4 PRODUTO DE VETORES

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GEOMETRIA ANALÍTICA PRODUTOS DE VETORES

21/0 /03/2016 Profª. M. Helena Marciano

A. Produto Escalar Chama-se Produto Escalar (ou Produto Interno Usual) de dois vetores u = x1 ı + y1 ȷ + z1 k e v = x2 ı + y2 ȷ + z2 k, e se representa por u · v, ao número real

·

= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

Ex: Dados os vetores u = 3ı – 5ȷ + 8k e v = 4ı –2ȷ – k, tem-se u · v = 3·4 + (– 5)· (– 2) + 8(– 1) 12 + 10 – 8 = 14

u· v=

B. Módulo de um Vetor

Ex: Se

+

+

2 z

|u| =

2 y

2 x

v v Módulo de um vetor u = (x, y, z) e representado por |u|, é o número real não negativo |u| = u ⋅ u ou

= (2, 1, – 2), então |u| =

(2 )2 + (1)2 + (− 2 )2

=

9 = 3.

Versor de um vetor: Se o versor do vetor do exemplo acima for designado por , tem-se: r u 1 2 1 2 = r = (2, 1, − 2 ) =  , , −  . SALA: “Mostrar que o versor é um vetor unitário (Módulo 1).” u 3  3 3 3 C. Ângulo de dois Vetores: Já vimos (Ap. 1) que o ângulo entre dois vetores varia entre 0° e 180°. Vamos verificar que o produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formado. Se u ≠ 0 e v ≠ 0 e se θ é o ângulo dos vetores u e v, então · = | | | | cos θ. θ v v u ⋅v u v

Podemos então calcular o ângulo entre dois vetores com a fórmula: cos θ = v v OBS: a. Se

·

> 0, então cos > 0, isto significa que 0°≤ θ < 90°.

b. Se

·

< 0, então cos < 0, isto significa que 90°< θ ≤ 180°.

EX: Calcular o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = (– 1, 2, 2). (RESOLUÇÃO EM SALA)

D. Condição de ortogonalidade de dois vetores: Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo. E. Projeção de um Vetor sobre outro: Sejam os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles. Vamos decompor o vetor v, tal que

=

+

, sendo

//

e

As duas situações possíveis estão ilustradas nas figuras abaixo: r r v v r v2

θ

r v1

r v1

r u

⊥ .

r v2

θ

r u

e indicado por = projr v . (Mostrar em Sala) u r v v ⋅ u v r v = proj r v =  r r  u u 1 u⋅ u O comprimento do vetor projeção ortogonal de v sobre u é expresso pelo módulo desse vetor, isto é v⋅u . projr v = u u

O vetor

é chamado Projeção Ortogonal de

sobre

EX: Determinar o vetor projeção de v = (2, 3, 4) sobre u = (1,– 1, 0)

v · u = 2 · 1 + 3 · (– 1) + 4 · 0 = – 1 u · u = |u |2 = 12 + (– 1)2 + 02 = 2 v r v ⋅ u v  1  1 1  Logo: proj r v =  r r  u =  −  (1, − 1, 0 ) =  − , , 0  u  2  2 2  u⋅ u A medida do comprimento desse vetor é: |v · u | = | - 1| = 1 e |u | =

r 1 2 2 , então v1 = = . 2 2

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: 1. Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (– 1, – 4, – 1). Calcular: a. (u + v) · (2u – v) = R: – 2 b. u · u = R: 14

c. 0 · u =

R: 0

2. Sendo | u | = 4 e |v | = 2 e u · v = 3, calcular (3u – 2v) · (– u + 4v). R: – 38 3. Determinar α para que o vetor

1 1 11  =  α , − ,  seja unitário. R: α = ± 2 4 4 

4. Dados os vetores u = (4, , – 1) e v = ( , 2, 3) e os pontos A(4, – 1, 2) e B(3, 2, – 1), determinar o valor de tal que u · (v + BA) = 5 R: α = 7/3 5. Mostrar se os seguintes pares de vetores são ortogonais: a. u = (1, – 2, 3) e v = (4, 5, 2). b. ı e ȷ

6. a. b. c.

Ache x de modo que os vetores sejam perpendiculares: u = (x, 0, 3) e v = (1, x, 3) R: – 9 u = (x, x, 4) e v = (4, x, 1) R: – 2 u = (x, –1, 4) e v = (x, – 3, 1) R: não existe

7. Determine u ortogonal a v = (4, –1, 5) e a w = (1, – 2, 3), e que satisfaz u · (1, 1, 1) = – 1. R:

= (1, -1, -1)

8. Sabendo que a distância entre os pontos A (– 1, 2, 3) e B(1, – 1, m) é 7, calcular m. R: m = 9 ou m = – 3 9. Ache a medida do ângulo entre os vetores u = (1, 10, 200) e v = (–10, 1, 0). R: 90° 10. Sendo | u | = 2 e |v | = 3 e 120° o ângulo entre u e v, calcular: a. u · v = R: – 3 b. | u + v | = R: 7

c. | u – v | = R:

19

11. Sabendo que o vetor v = (2, 1, – 1) forma um ângulo de 60° com o vetor AB determinado pelos pontos A (3, 1, – 2) e B(4, 0, m), calcular o valor de m. R: – 4 12. Provar que o triangulo de vértices A (2, 3, 1), B(2, 1, – 1) e C(2, 2, – 2) é um triangulo retângulo. 13. Determinar um vetor w ortogonal aos vetores u = (1, – 1, 0) e v = (1, 0, 1). 14. Dados os vetores v = (1, 3, – 5) e u = (4, – 2, 8), decompor v como v = v1 + v2 , sendo v1 // u e v2 ⊥ u. Mostre que v é mesmo perpendicular a u. 15. Sejam os pontos A (1, 2, –1), B(–1, 0, –1)) e C(2, 1, 2). Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A. 16. Dados |u | = 3 e |v | = 2 e o ângulo entre eles de 60°, determinar: a. A medida da projeção do vetor v sobre u. R: 1 b. |u + v | R: 19 17. Seja o vetor v = (m + 7) ı + (m + 2) ȷ + 5 k. Calcular m para que | v | =

38 . R: m = – 4 ou m = - 5

18. Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores v = (– 3, 1, n) e k. R: 19. Sejam A (2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) vértices de um triangulo. a. Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? R: m= 3

b. Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. R:

2 21 7

30