Vetores, Produto Interno

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Vetores, Produto Interno Refente aos v´ıdeos cap´ıtulo 1 (Vectors) e cap´ıtulo 7 (Dot Product) do Three Blue One Brown 1. Desenhe os seus pr´ oprios 2-vetores v, w (sem coordenadas) e ilustre graficamente. (a) v + w (b) v − w (c) w − v (d) 3w + 2v (e) 2w + 3v (f) v − 2w (g) 2v + 12 w 2. Desenhe os seus pr´ oprios 2-vetores v, w e z (sem coordenadas) e ilustre graficamente. (a) v + w = w + v (b) (v + w) + z = v + (w + z) (c) 2v + 2w = 2(v + w) 3. Desenhe os seus pr´ oprios 2-vetores v, w (sem coordenadas) e ilustre graficamente (a) 2v (b) −v (c) −5v (d)

1 2v

(e) cv para todo c real. (f) w + 2v (g) w − 5v (h) w + 12 v (i) w + cv para todo c real. 4. (Com coordenadas) Repita os exerc´ıcios 1, 2 e 3 agora no papel quadriculado e com vetores com coordenadas. 5. Desenhe os seus pr´ oprios 2-vetores v, w (sem coordenadas) e ilustre graficamente (a) v + w (b) a m´edia de v e w,

w+v 2

1

(c) (d)

1 3w 2 5w

+ 23 v (uma m´edia ponderada) + 35 v (outra m´edia ponderada)

(e) todas as m´edias ponderadas 6. (Sem coordenadas) Usando a figura abaixo, escreva c como alguma combina¸c˜ ao linear de a e b e ilustre a sua solu¸c˜ao visualmente. c

a b

7. (Com coordenadas no papel quadriculado) Usando a figura abaixo, escreva c como alguma combina¸c˜ao linear de a e b e ilustre a sua solu¸c˜ao visualmente.

2

c

a

b

8. Usando a figura abaixo, escreva z com combina¸c˜ao linear de v e w e ilustre a sua solu¸c˜ ao visualmente.

3

w

z

v

9. Escreva o pseudoc´ odigo de uma fun¸c˜ao que desenha v´arios pontos de uma reta que passa pela origem. Vocˆe pode usar uma fun¸c˜ao plot(x, y) que desenha o ponto (x, y). Dica: pense primeiro o que essa fun¸c˜ao deveria receber de entrada?     −1 −3 10. (Lay) Seja u = ev= . Represente graficamente os seguintes 2 −1 vetores no plano xy: u, v, −v, −2v, u + v, u − v e u − 2v. 11. Usando a figura abaixo,

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(a) desenhe m, o vetor m´edio de a e b. (b) desenhe n o vetor m´edio de a, b, c, e d.

a

c d

b

12. (Boyd) Interpretando esparsidade. Suponha que temos um n-vetor x que ´e esparso (tem poucas entradas n˜ao-nulas). Escreva uma ou duas frases explicando o que isso significa nos contextos a seguir: (a) cada entrada de x representa o faturamento di´ario de uma empresa em n dias. (b) x representa o seu portf´olio de a¸c˜oes, o valor em reais que vocˆe tem das n a¸c˜ oes. (c) x representa o quantidade de chuva em uma cidade em um ano(n = 365). (d) x representa a maneira que um senador votou em n vota¸c˜oes. 13. Desenhe 4 vetores v1 , v2 , v3 , v4 na figura abaixo, tal que v1t w = 0, v2t = 0, v3t = 0 e v4t = 0.

5

w

14. Desenhe as 4 retas: R1 = {x ∈ R2 |wt x = 0}, R2 = {x ∈ R2 |wt x = 1}, R3 = {x ∈ R2 |wt x = 2} e R4 = {x ∈ R2 |wt x = −1}.

6

w

15. Desenhe as 2 retas: R1 = {x ∈ R2 |wt x = 6} e R2 = {x ∈ R2 |v t x = 8}.

7

w

v

16. Seja z a proje¸c˜ ao de v sobre w. Desenhe: (a) z (b) e = z − v (c) r = z − 2v Se poss´ıvel, descreva informalmente em portuguˆes a rela¸c˜ao de v e r. 17. Defina os seus pr´ oprios vetores v, w ∈ R2 e ilustre graficamente (a) u ´e a proje¸c˜ ao ortogonal de w sobre v e (b) o vetor r = v − u. (c) Quanto vale kuk2 + krk2 ? 18. Argumente geometricamente as seguintes propriedades do produdo interno (em portuguˆes) (a) ut v = v t u (simetria) 8

(b) v t (sw) = s(v t w) (c) (v + w)t = v t u + wt u (d) v t v > 0 se v 6= 0 e v t v = 0 se v = 0 19. (Farin) Argumente algebricamente as seguintes propriedades do produdo interno (em portuguˆes) (a) ut v = v t u (simetria) (b) v t (sw) = s(v t w) (c) (v + w)t = v t u + wt u (d) v t v > 0 se v 6= 0 e v t v = 0 se v = 0 20. Defina os seus pr´ oprios vetores v, w ∈ R2 e ilustre graficamente (a) a proje¸c˜ ao ortogonal u de w sobre v e (b) o vetor r = v − u. (c) Quanto vale kuk2 + krk2 ? 21. (Boyd) Produto interno de vetores n˜ ao-negativos. Um vetor ´e n˜ ao-negativo se todas as suas entradas s˜ao n˜ao-negativas. (a) Explique por que o produto interno de dois vetores n˜ao-negativos ´e n˜ ao-negativo. (b) Suponha que o produto interno de dois vetores n˜ao-negativos ´e zero. O que vocˆe pode dizer sobre eles? Sua resposta deve ser em termos do padr˜ ao de esparsidade (quais entradas s˜ao nulas e n˜ao-nulas). (c) Se u e v s˜ ao vetores em R2 , o que podemos dizer sobre o ˆangulo entre eles? Desenhe uma figura para explicar. 22. (Boyd) Determine a tal que at x: (a) ´e igual a quinta entrada do 10-vetor x. (b) ´e m´edia do 5-vetor x. (c) ´e a m´edia ponderada de Criptografia onde a primeira prova vale 20%, a segunda prova vale 40%, e a terceira prova vale 40% e x ´e um 3-vetor das suas trˆes provas. (d) ´e a some das trˆes u ´ltimas entradas do 7-vetor x. 23. (Boyd) Verdadeiro ou falso? Se x e y fazem um ˆangulo agudo, ent˜ao kx + yk ≥ max{kxk, kyk}. 24. (Luziane) Determine, em graus, o valor do ˆangulo formado entre a diagonal de um cubo e um dos extremos laterais do cubo (tanto a diagonal quanto o extremo da lateral considerados iniciam no mesmo ponto extremo).

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25. (Luziane) Teorema de Pit´ agoras. Demostre usando as propriedades do produto interno que, se u, v ∈ Rn s˜ao ortogonais, ent˜ao ku + vk2 = kuk2 + kvk2 . 26. (Luziane) Interprete graficamente em 2D a desigualdade kx − yk ≤ kyk + kxk. 27. (Boyd) Desigualdade triangular. Quais s˜ao as condi¸c˜oes em u e v para que a desigualdade triangular seja uma igualdade, ku + vk = kuk + kvk. (a) Resolva geometricamente. (b) Resolve algebricamente. 28. (Luziane) Seja kuk = 1. Podemos dizer que v t u ≤ kv| (conhecido como desigualdade de Cauchy-Schwarz)? O que isso quer dizer geom´etricamente? 29. (Boyd) (a) Calcule as normais das retas 2x + 3y = 0 e 5x + 2y = 0. (b) Calcule o ˆ angulo entre as retas 2x + 3y = 0 e 5x + 2y = 0. 30. (Luziane) Interprete graficamente no plano a desigualdade kz − xk ≤ kz − yk + ky − xk. 31. (Collier) Prove que as diagonais de um losango s˜ao perpendiculares. 32. Proje¸c˜ ao sobre uma reta. Seja P (x) a proje¸c˜ao de um ponto no plano sobre a reta que passa por (0, 0) e (1, 3). (Implicando que P (x) ´e ponto sobre dessa reta mais pr´oximo de x). Mostre que P ´e uma transforma¸c˜ao linear e escreva a matriz A tal que P (x) = Ax para qualquer x. 33. Prove existe pelo menos duas diagonais do oct´agono regular (um oct´ogono regular tem todos os lados de mesmo tamanho e todos os ˆangulos com a mesma medida) que s˜ ao perpendiculares usando as propriedades do produto interno. 34. Na apostila do professor Collier, https://drive.google.com/file/d/ 0B5iEiCi9OS8gcTFpVTJaYndPS2hobjhURWdGZ3RkNi0yMldV/view, p´aginas 40 a 44, fa¸ca pelo menos os exerc´ıcios 1,2,5,6,7.

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