LA #19 (Gabarito) [4.69; 4.70; 4.71]

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LISTA DE AULA #19

MECÂNICA DOS FLUÍDOS I

4.69: Ar supersônico faz um giro de compressão de 5°, como mostrado na Figura. Calcule a pressão e o número de Mach a jusante e o ângulo da onda.

M2,P2 P1 = 100 kPa M1 = 3 5°

Fig. E-4.69

Solução:

P1 = 100 kPa  Dados do problema: M1 = 3 θ = 5° 

P2 = ?  M2 = ?

Da Tabela 4.1 (do polígrafo) obtemos as propriedades do ar, k = 1,4 e R = 286,9 J/kgK. Note que, δ = 5°, é o semiângulo da cunha, que é igual ao ângulo de deflexão, θ = 5°, para casos em que desconsidera-se o atrito (ausência de camada limite). Para poder resolver este problema devemos utilizar as Tabelas de Choque Oblíquo, que se encontram na pasta polígrafo do Moodle. Observe que, neste caso, M1 = 3 e θ = 5°. As páginas 9 a 12 dessa tabela fornecem o ângulo de choque, β, para M1 e θ conhecidos. A primeira coluna da tabela lista o número de Mach à montante do choque, M1, e a primeira linha desta tabela mostra o ângulo de deflexão, θ. Vários valores, de M1 e θ, foram considerados para a elaboração desta tabela. Para o problema em questão, obtemos β = 23,13° (Da Tabela). Com este valor podemos encontrar a componente normal do M1, Mn1 = M1 sen β

Mn1 = 3 ⋅ sen23,13° Mn1 = 1,178 A pressão à jusante, P2,

 2kMn21 − ( k − 1 )  P2 = P1   k +1  

 2 (1,4 )(1,178 )2 − (1,4 − 1 )  P2 = 100   1,4 + 1   P2 = 145,23 kPa A componente normal do M2, ( k − 1) Mn21 + 2 Mn22 = 2kMn21 − ( k − 1 )

(1,4 − 1)(1,178 ) + 2 2 2 (1,4 )(1,178 ) − (1,4 − 1 ) 2

Mn22 =

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MECÂNICA DOS FLUÍDOS I

Mn2 = 0,856 Finalmente, o número de Mach à jusante, Mn2 M2 = sen ( β − θ )

M2 =

0,856 sen ( 23,13 − 5 )

M2 = 2,751 Observe que o número de Mach à jusante é maior que 1, isto representa um escoamento supersônico após o choque.

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MECÂNICA DOS FLUÍDOS I

4.70: Quando um escoamento ao nível do mar aproxima-se de uma rampa de ângulo de 20°, forma-se uma onda de choque oblíqua, como na Figura abaixo. Calcule (a) M1, (b) P2, (c) T2 e (d) v2. É um choque forte ou fraco?

2 1

40° 20°

Fig. E-4.70 Solução:

θ= 20°  β= 60°

Dados do problema: 

M1 = ?  P2 = ?

T2 = ?  v2 = ?

Da Tabela 4.1 (Polígrafo) obtemos as propriedades do ar, k = 1,4 e R = 286,9 J/kgK. Da Tabela 1.5 (Polígrafo), as propriedades da atmosfera padrão a nível do mar, (z = 0 m), temos, T1 = 288,2 K e P1 = 101,325 kPa. Denomina-se um choque forte quando o escoamento torna-se subsônico, M < 1, ao atravessar a onda de choque. Em contrapartida, um choque fraco ocorre quando o escoamento sai supersônico, M > 1, após a onda de choque. As condições do escoamento, à jusante do choque, dependerão tanto do número de Mach quanto do ângulo de deflexão. Das tabelas de choque obliquo, com θ e β conhecidas, temos, M1 = 1,87 (Da Tabela). Com este valor podemos encontrar a componente normal do M1, Mn1 = M1 sen β

Mn1 =1,87 ⋅ sen60° Mn1 = 1,619 A pressão à jusante, P2,

 2kMn21 − ( k − 1 )  P2 = P1   k +1  

 2 (1,4 )(1,619 )2 − (1,4 − 1 )  P2 = 101,325   1,4 + 1   P2 = 292,966 kPa A temperatura à jusante, T2, 2kMn21 − ( k − 1 )  2 + ( k − 1 ) Mn21  T2 = T1 2 ( k + 1) Mn21

2 (1,4 )(1,619 )2 − (1,4 − 1 )  2 + (1,4 − 1 )(1,619 )2    T2 = 288,2  2 2 (1,4 + 1) (1,619 )

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MECÂNICA DOS FLUÍDOS I

T2 = 403,805 K A componente normal do M2, ( k − 1) Mn21 + 2 Mn22 = 2kMn21 − ( k − 1 )

(1,4 − 1)(1,619 ) + 2 2 2 (1,4 )(1,619 ) − (1,4 − 1 ) 2

Mn22 =

Mn2 = 0,663 O número de Mach à jusante, M2, Mn2 M2 = sen ( β − θ )

M2 =

0,663 sen ( 60 − 20 )

M2 = 1,031 Cálculo da velocidade em (2), v2 = M2 kRT2

v2 = 1,031 (1,4 )( 286,9 )( 403,805 )

v2 = 415,395 m/s

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MECÂNICA DOS FLUÍDOS I

4.71: Sabe-se que, para k = 1,4, a máxima deflexão possível causada por uma onda de choque oblíqua ocorre para um número de Mach de aproximação infinito é θmax = 45,58°. Considerando gás perfeito, qual é θmax para (a) Argônio e (b) Dióxido de carbono. Solução: Da Tabela 4.1 (Polígrafo) obtemos as propriedades do argônio, k = 1,67 e do Dióxido de carbono, k = 1,30. Cálculo da deflexão máxima, 12

v  v  = θmax tan  n1  − tan−1  n1   v n2   v n2  Onde, ( k + 1) M12 sen2 β v n1 = vn2 2 + ( k − 1 ) M12 sen2 β

−1 2

−1

Como se trata de calcular a deflexão máxima para os gases acima, é necessário estimar vn1/vn2 para quando M1 → ∞. Logo, 2 2 vn1 ( k + 1 ) M1 sen β ≈ 2 2 vn2 ( k − 1 ) M1 sen β

v n1 ( k + 1 ) ≈ v n2 ( k − 1 )

Para o Argônio, vn1 (1,67 + 1 ) = vn2 (1,67 − 1 )

v n1 = 3,985 v n2 Logo,

= θmax tan−1 ( 3,985)

12

− tan−1 ( 3,985 )

−1 2

= θmax 36,784° Para o CO2, vn1 (1,3 + 1 ) = vn2 (1,3 − 1 )

v n1 = 7,667 v n2 Logo,

= θmax tan−1 ( 7,667 )

12

− tan−1 ( 7,667 )

−1 2

= θmax 50,285°

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