LISTA 6 - SETOR 113 - ADIÇÃO DE ARCOS - 2020

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LISTA DE EXERCÍCIOS – ADIÇÃO DE ARCOS – EQUIPE DE MATEMÁTICA – ESCOLA SEB LAFAIETE 1. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que AB  AM  MC. Então, tgθ é igual a

4. (Uefs 2018) No triângulo retângulo ABC, AB  4 cm e ˆ em dois ângulos o segmento AD divide o ângulo BAC de medidas α e β. D é um ponto do cateto BC, tal que CD  3 cm e DB  2 cm, conforme mostra a figura.

a) 1 2. b) 1 3. c) 1 4. d) 1 5.

 

2. (Ufpr 2019) Sejam x, y   0, sen (y) 

π 4 , tais que cos (x)  e  2 5

5 . Podemos concluir que tg (x  y) é igual a: 13

a) 1 2. b) 7 6. c) 8 9. d) 25 52. e) 56 33.

Dada a identidade trigonométrica tg(α  β)  o valor de tgβ é a) b) c) d)

3. (Eear 2019) Simplificando a expressão sen(2π  x)  sen(3 π  x), obtém-se a) sen x b) sen x c) 2 sen x d) 2 sen x

tgα  tgβ , 1  tgα  tgβ

e)

2 7 3 8 4 9 5 11 6 13

5. (Espcex (Aman) 2018) Considere o triângulo com ângulos internos x, 45 e 120. O valor de tg2 (x) é igual a a) 3  2. b) 4 3  7. c) 7  4 3. d) 2  3. e) 2  4 3.

LISTA DE EXERCÍCIOS – ADIÇÃO DE ARCOS – EQUIPE DE MATEMÁTICA – ESCOLA SEB LAFAIETE 6. (Uerj 2017) No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.

8. (Udesc 2016) O grado é uma unidade de medida de ângulos em que uma das vantagens é facilitar as operações envolvendo ângulos retos. Neste sistema, a circunferência é dividida em 400 partes iguais e cada parte é denominada 1 gon. Na figura abaixo, observa-se a divisão dos quatro quadrantes usando este sistema.

A medida θ do ângulo CAP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica: tg(α  β) 

tg(α )  tg(β) 1  tg(α )  tg(β)

O valor da tangente de θ é igual a: a) 0,65 b) 0,60 c) 0,55 d) 0,50

Desta forma, o seno do ângulo de a)

7. (Col. naval 2017) Observe a figura a seguir. b) c) d) e)

3 2 2 4 2 4 2 2 2 2

6 3

6 6

A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 6 cm, com base menor medindo 13 cm, um dos ângulos internos da base maior medindo 75 e lado transversal oposto a esse ângulo igual a 12 cm. Qual a área, em cm2 , desse trapézio? a) 120 b) 118 c) 116 d) 114 e) 112

GABARITO: 1. B 2. E 5. C 6. B

3. D 7. D

4. E 8. B

350 gon é igual a: 3

LISTA DE EXERCÍCIOS – ADIÇÃO DE ARCOS – EQUIPE DE MATEMÁTICA – ESCOLA SEB LAFAIETE RESOLUÇÕES:

tg α  tg β 5  1  tg α  tg β 4

Resposta da questão 1: [B]

1  tg β 5 2  1 4 1   tg β 2 1 1    4    tg β   5   1  tg β  2   2  5 2  4tg β  5  tg β 2 5 4tg β  tg β  5  2 2 13 tg β  3 2 6 tg β  13

Como AB  AM, podemos concluir que o triângulo ABM é retângulo isósceles, ou seja, ABM  BMA  45. Ademais, AB  AM  MC implica em AC  2AB. Portanto, do triângulo ABC, temos tg(45  θ) 

tg 45  tg θ 2AB  1  tg 45 tg θ AB AB 1  tg θ  2 1  tg θ

AC



 tg θ 

1 . 3

Resposta da questão 2: [E]

Resposta da questão 5: [C]

Sendo x e y agudos, considere os triângulos retângulos pitagóricos de lados 3, 4, 5 e 5, 12, 13. Logo, temos

Do enunciado,

5 3 tg x  e tg y  . 12 4

x  60  45

x  45  120  180



tgx  tg 60  45

A resposta é tg x  tg y tg(x  y)  1  tg x  tg y 3 5   4 12 3 5 1  4 12 56  . 33

Resposta da questão 3: [D]

tgx  tgx 

sen  2π  x   sen  3 π  x   0  cos x  sen x  1  0  cos x  sen x   1

tg2 x  tg2 x 

Resposta da questão 4: [E]

tg2 x 

No triângulo ACB, 5 tg  α  β   4

Daí,

1 3 1 2

3  2  3  1  12 1  2  1 3  3

tg2 x 

2 4 1 tg α  2

3 1

2

tg2 x 

sen  2π  x   sen  3 π  x   2sen x

tg α 

1  tg60  tg45

 3  1 tg x    1  3   

sen  2π  x   sen  3 π  x   sen x  sen x

No triângulo ADB,

tg60  tg45

2

De sen  2π  x   sen  3 π  x  , temos: sen  2π  x   sen  3 π  x   sen 2π  cos x  sen x  cos 2 π  sen 3 π  cos x  sen x  cos 3 π



tg2 x 

2

42 3 42 3

  2  2  3  2 2  3

2 3 2 3 2 3 2 3  2 3 2 3 22  2  2  3  3 22  3

2

2

tg2 x  7  4 3

Resposta da questão 6: [B] 3r 1 3r r 1 β  PÂB  tg β   4r 4 α  CÂB  tg α 

θ  α  β  tg θ  tg (α  β) 

1 1 4  tg θ  3  4  tg θ  3  0,6 4 5 5 1  1 1 4

LISTA DE EXERCÍCIOS – ADIÇÃO DE ARCOS – EQUIPE DE MATEMÁTICA – ESCOLA SEB LAFAIETE Resposta da questão 7: [D]

sen

7π 5π  sen 12 12 π π  sen    4 6 π π π π  sen cos  sen cos 4 6 6 4 

Na figura acima, temos: tg75 

6 x

tg(45  30) 

6 x

tg45  tg30 6  1  tg30  tg45 x 3 3 6 x 3 1 1 3 1

3 3 3 3 x



6 x

6  (3  3 ) 3 3

x  12  6  3

Calculando, agora, o valor de y, temos: y2  62  122  y  6  3

Portanto, a medida da base maior do trapézio será dada pela soma abaixo: x  13  y  12  6  3  13  6  3  25

Logo sua área A será dada por: A

(25  13)  6  114 cm2 2

Resposta da questão 8: [B] Desde que 350 350 π 7π gon   rad  rad, 3 3 200 12

temos

6 2 . 4