Livro 1 - Matemática

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Manual do Professor

Livro 1

Benedito Cardoso da Silva

Manual do Professor MATEMÁTICA - LIVRO 1

Caro(a) professor(a), Apresentamos a você o Manual do Professor. Este material, em conjunto com os outros itens do Kit do Professor, constitui uma importante ferramenta de auxílio no uso dos livros da coleção do Ensino Médio do Sistema de Ensino Poliedro. Neste Manual, descrevemos a estrutura dos livros, fornecendo observações que podem ajudar em sua dinâmica de ensino. Lembramos que o Sistema de Ensino Poliedro disponibiliza, na área restrita do site www.sistemapoliedro.com.br, outras ferramentas importantes para o uso deste material, como o EDROS, cuja oferta de relatórios, planejamentos, resoluções de exercícios, entre outros, potencializa as aulas e o rendimento dos alunos. Explore cada uma das ferramentas disponibilizadas e conte conosco para quaisquer esclarecimentos. Sistema de Ensino Poliedro Equipe Pedagógica

O SISTEMA DE ENSINO POLIEDRO Se algumas mentes iluminadas formaram-se no decorrer da história foi, seguramente, a despeito do ensino tradicional, e não devido a ele. O Sistema de Ensino Poliedro possui duas orientações básicas: I. afastar-se da educação tradicional e rígida, mais adequada para formar autômatos do que seres pensantes e preparados para a vida. Essa condição formará indivíduos preparados para o exercício da cidadania e para a realização dos bons exames de vestibular, que exigem raciocínio, capacidade interpretativa e outras diversas competências cognitivas. II. negar fundamento às pedagogias pós-modernas que descuidam do conteúdo e enfatizam tênues “habilidades cognitivas”, como se fossem inatas e não tivessem se desenvolvido em relações dinâmicas com o desenvolvimento das ciências, dos códigos, da matemática e da arte. Também rechaça os formuladores de um ensino prático, utilitarista, que desconhecem a necessidade de desenvolvimento da capacidade de abstração dos alunos e desejam mantê-los no estágio do raciocínio operatório. Considerando uma abordagem mais concreta, a aprendizagem significativa pode ocorrer, segundo exemplo do próprio Ausubel, quando “um estudante aprende a Lei de Ohm, a qual indica que, em um circuito, a corrente é diretamente proporcional à voltagem. Entretanto, essa proposição não será aprendida de maneira significativa, a menos que o estudante já tenha adquirido, previamente, os significados dos conceitos de corrente, voltagem, resistência, proporcionalidade direta e inversa (satisfeitas essas condições, a proposição é potencialmente significativa, pois seu significado lógico fica evidenciado), e que tente relacionar esses significados como estão indicados na Lei de Ohm”. Um exemplo contrário à aprendizagem significativa ocorre em muitos manuais de Biologia, que apresentam fórmulas estruturais de compostos bioquímicos antes de o aluno conhecer Química Orgânica e antes de ter aprendido sequer o conceito de ligação covalente. Para desencadear a aprendizagem significativa, é necessário que o material a ser assimilado seja potencialmente significativo, ou melhor, não arbitrário em si; que exista um conteúdo mínimo na estrutura cognitiva do indivíduo, com pré-requisitos suficientes para suprir as necessidades relacionais; que o aprendiz tenha disposição para relacionar significados em vez de simplesmente memorizá-los, muitas vezes até simulando uma associação (ocorrência muito comum entre estudantes acostumados com métodos de ensino, exercícios e avaliações repetitivos e rigidamente padronizados).

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ASPECTOS GERAIS DA COLEÇÃO Um projeto gráfico moderno foi desenvolvido, capaz de compreender de modo satisfatório e aprazível a grande soma de conteúdos, textos e exercícios concernentes ao currículo do Ensino Médio. Uma equipe editorial especializada é responsável pela edição do texto e das imagens, como mapas, gráficos, esquemas e ilustrações. A propósito, as imagens destacam-se em nossos livros, por serem de importância vital para a compreensão de determinados conceitos. Da reunião entre autores, pedagogos e editores decorreram parâmetros para balizar a estrutura de nossos livros para o Ensino Médio. Os livros, em sua maioria, contam com duas frentes ou blocos de conteúdo, divididos de acordo com as especificidades de cada disciplina, e são compostos de capítulos. Seções comuns foram criadas para garantir o desenvolvimento das potencialidades e o aprendizado dos conteúdos, e também para assegurar a unidade da coleção. No entanto, isso não impede que algumas disciplinas apresentem seções ou boxes específicos, necessários para a apresentação de seu conteúdo. Estrutura do livro de Matemática • Leitura inicial: apresenta-se um texto transcrito de portador diverso ou de autoria do próprio autor. O objetivo é testar a compreensão que o aluno obtém dentro de um senso comum e a compreensão dentro das concepções científicas que porventura já possua; perscrutar as concepções espontâneas utilizadas; estabelecer vínculos entre o desenvolvimento teórico que se sucederá e o ambiente no qual o aluno está imerso; em resumo, contextualizar o tema e chamar a atenção para os primeiros pontos importantes da matéria que será estudada. • Fique de olho: deixa-se claro ao aluno o que será estudado no capítulo. O objetivo é comunicar o que se espera que ele saiba ao concluir os estudos – pontos que serão abordados, fórmulas, esquemas, resumos, algumas sugestões de como estudar aquele assunto e, até mesmo, o que há de mais importante no capítulo. • Exercícios propostos: verifica-se a compreensão dos alunos sobre os conceitos. O objetivo é aplicar diversas atividades, como perguntas sobre um texto, a construção de uma frase ou de uma equação química, o reconhecimento de uma estrutura simbólica em uma frase ou equação química, a construção de um gráfico, a representação gráfica das forças que agem sobre um corpo, a localização de coordenadas geográficas em um mapa, o levantamento dos verbos utilizados em um texto sobre a Revolução Francesa, a explicação do comportamento gráfico por meio de palavras, a reelaboração de uma frase mantendo seu sentido etc. • Texto complementar & curiosidades: apresenta-se um texto, transcrito de portador diverso. O objetivo é complementar o assunto do capítulo, oferecendo outras abordagens e parâmetros. • Resumindo: faz-se um breve resumo do assunto do capítulo. O objetivo é apresentar uma visão geral dos conceitos e retomar o que foi esboçado na seção “Fique de olho”. • Sugestão: apresentam-se aos alunos sugestões de livros, sites e filmes concernentes ao capítulo. A seção é flutuante, ou seja, pode ou não aparecer em alguns capítulos. • Exercícios complementares: parte-se para maiores desafios. O objetivo é que o aluno, já totalmente envolvido no conteúdo do capítulo, tenha a oportunidade de trabalhar com questões e problemas complementares, de maior nível de complexidade, e também de resolver questões que já foram contempladas nos principais vestibulares do país.

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ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS Por que duas frentes de trabalho? Tradicionalmente, cada turma tem um professor de Matemática. Esse fato traz algumas consequências: o alegado “excesso de conteúdos” previsto para um dado nível de escolaridade ou a demora no tratamento de alguns itens do “programa” acaba “atrasando a matéria” e prejudicando o cumprimento das metas propostas no início do ano. No ano seguinte, o assunto não é mais tratado, porque “é matéria do ano anterior”. Nessa ciranda anual de argumentos, itens importantes para a formação do aluno acabam não sendo estudados, prejudicando o aluno e o bom nome da escola. A divisão em duas frentes de trabalho traz inúmeras vantagens. Além de levar em consideração os problemas citados, cria duas vertentes de informações para os alunos, duas visões diferentes, permitindo um entrelaçamento entre as frentes no qual os resultados de uma podem ser aproveitados pela outra, propiciando exercícios de maior abrangência e aprofundamentos até então impossíveis. Além disso, há maior fluxo de conteúdos, aumentando constantemente a oportunidade de mais entrosamento com outras disciplinas, como Física, Química e Biologia, que ficavam à espera de importantes ferramentas matemáticas ou precisavam enfrentar sozinhas a tarefa de criar tais ferramentas. O planejamento aula por aula cria um plano que tem dupla finalidade: distribuir o tempo de modo proporcional para satisfazer às exigências dos conteúdos previstos e proporcionar ao professor sugestões para melhor aproveitamento de suas aulas. O livro procura seguir algumas propostas dos PCN, que recomendam uma “leitura instigante em linguagem simples que induz o aluno a raciocinar, participando da construção do conhecimento”. A metódica exposição dos conteúdos é completada por uma série de numerosos exercícios de níveis variados. Há exercícios de fixação, exercícios de aplicação e do tipo desafio, que exigem um pouco mais de reflexão. Foram também inseridos exercícios dos mais variados vestibulares do país. Sabemos, contudo, que o livro não passa de um campo de trabalho. Como se orientar nesse campo é decisão exclusiva do professor. Ele escolhe o que estudar, a ordem em que vão ser apresentados os assuntos, a estratégia a ser aplicada e a forma de fixar os resultados. Nossas propostas são apenas sugestões baseadas em experiências bem-sucedidas em nosso ambiente. O importante é que o professor, antes de entrar em aula, esteja convicto de qual a finalidade dessa aula e como atingi-la, pois isso será a justificativa de seu comportamento pedagógico.

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FRENTE A Capítulo 1 Interpretação de dados na resolução de problemas Duração: 1 semana/3 aulas Aulas 1 a 3

Essas aulas permitem desenvolver habilidades de leitura, interpretação e processamento dos diversos tipos de dados com os quais o aluno terá contato. Mostre como interpretar esses dados e criar relações matemáticas para calculá-los. Tratar diferentes problemas que envolvam o uso de raciocínio lógico ou que trabalhem outros aspectos cognitivos. O texto complementar será direcionado à importância da leitura, não apenas no que tange aos processos inferenciais, mas também sua importância para a própria vida do estudante. Exercícios sugeridos para: sala: propostos de 1 a 4 e de 6 a 9. estudo: complementares de 1 a 7. Capítulo 2 Produtos notáveis Duração: 1 semana/3 aulas Aula 4

Essa é a primeira das três aulas destinadas aos produtos notáveis; sugerimos que os exercícios iniciais sejam bem simples para que o aluno se empenhe na memorização dos casos. A finalidade desta aula é apresentar expressões que contenham quadrado de binômio e expressões conjugadas. Sugerimos ao professor fazer:

( x - 3) ( x - 3)

a)

x 2 - 3x - 3x + 9 x 2 - 6x + 9  2 Precisa aprender 2 ( x - 3)  Passar direto → x - 6 x + 9

Em seguida, o professor faz diretamente: b ) ( - x - 5)

2

c) ( -3x + 4)

(

d ) 3x - 2x 2 3

2

)

2

Depois, libera os alunos para fazerem: 1 (x – 5)2 2

(3x – 4)2

3

(–3x + 5)2

4

(

5

(3x2 – 7x)2

2 x - 3x 3 2

)

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 3x 2 y 2 xy 2   4 - 3 

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Corrigidos os exercícios anteriores, o professor mostra expressões conjugadas.

1.

x 2 - 3x + 3x - 9 x2 - 9  direto ( x - 3)( x + 3) → x 2 - 9

Em seguida, o professor faz diretamente: 2. (x – 8)(x + 8) 3. (–x – 5 )( –x + 5) Depois, libera os alunos para fazerem os exercícios: 1

(x + 8)(x – 8)

2

(–x + 5 )( –x – 5)

3

(x – 5)2 – (x + 4)(x – 4)

4

(–3x – 2)2 – (2x + 3)(2x – 3)

Exercícios sugeridos para: sala: propostos de 15 a 20 e de 27 a 31.

Aula 5

Introduzir quadrado de trinômio e cubo de binômio. No início da aula, tirar dúvidas sobre tarefas da aula anterior. Na sequência, apresentar: Quadrado de trinômio

(a + b + c)(a + b + c)

a 2 + ab + ac ba + b 2 + bc ca cb + c 2  2 caminho 2    → + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac a + b + c a ( ) breve

1.

Em seguida, o professor faz diretamente: 2. (x + y – z)2 3. (–2x + 3y – z)2, explicitando a lei de formação dos termos.

1

Depois, libera os alunos para resolverem: (x + y + 5)2

2

(x + y – 3)2

3

(x2 – x + 5)2

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(3x2 – 4x – 5)2 Após corrigir os exercícios anteriores, o professor apresenta:

Cubo de binômio

1.

( x - 2 ) ( x - 2 )2 ( x - 2) ( x 2 - 4 x + 4)

x 3 - 4 x 2 + 4 x - 2 x 2 + 8x - 8  3 caminho 2   → x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 x ( ) breve Em seguida, repetindo a lei de formação dos termos, o professor faz: 2. (–x – 2)3 3. (–2x + 4)3

1

Depois, deixa para os alunos fazerem em sala: (x + y – z)3

2

(x – y + 2)3

3

(–x2 – x + 3)2 Enquanto eles fazem, o professor propõe exercícios para casa.

Exercícios sugeridos para: sala: propostos de 21 a 26 e de 43 a 48.

Aula 6

Conjuntamente, falar dos produtos notáveis. Nos minutos iniciais, o professor tira a dúvida sobre as tarefas de casa e faz os exercícios nos quais mistura os casos: 1. (x – 2)2 – (x + 5)(x – 5) 2. (x – 3)3 – (x – 5)2 3. (x + y – 3)2 – (x + y)(x – y) Em seguida, propõe para os alunos: 1 P = (x – 3)2 – (x – 5)(x + 5) 2

A = (x – 5)3 – (x2 – 3x + 5)2

3

 2 x 3x   4 x 3x   4 x 3x  M= -  - +  -   3  2 2 5  2 5

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E outros exercícios em que irá inserir os casos já vistos. Exercícios sugeridos para: sala: propostos de 8 a 14.

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Manual do Professor MATEMÁTICA - LIVRO 1 Capítulo 3 Fatoração Duração: 1 semana/3 aulas São três aulas destinadas à fatoração. É bom lançar bases sólidas sobre o assunto. Muitos alunos esbarram nas seguintes dificuldades: • Não reconhecem expressões fatoradas. • Não sabem quando parar o processo de fatoração. Aula 7

Para essa aula, sugerimos dois casos: fatoração por evidência e fatoração por agrupamento. Propor vários exercícios, incluindo simplificação de frações e cálculo de valor numérico, mas sempre abrangendo os dois casos. Sugestão: Mostrar a evidência do fator comum. 1. x2 − 6x →x (x − 6) 2. x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y) 3. x(a – b) – y(a – b) = (a – b)(x – y) Depois, instruir os alunos a fazerem: 1 x2 + x 2

3x2 – 3x

3

4(x – y) – a(x – y)

4

6x2y – 3xy2

5

x2 – 7xy

6

Simplificar:

a)

x 2 - xy x-y

b)

x 2 - 9x x 3 - 9x 2

c)

x 2 - 5x 4x 2 - 4x 2 Dar o valor numérico de y =

x 2 - 4x para x = 2005. x-4

Corrigidos os exercícios anteriores, apresentar o caso do agrupamento, fazendo: 1. ax + ay + bx + by 2. 2x2 + 8x – 3xy – 12y Propor aos alunos: x3 + x2 + x + 1 E outras de agrupamento que o professor poderá escolher nos exercícios do livro. Depois, resolver exercícios e propor o trabalho para casa.

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Aula 8

Nessa aula, incluiremos a diferença de quadrados aos casos já estudados. É possível também retomar os exemplos de exercícios anteriores. Isso não deixa de ser uma revisão e um reforço. Entre os exercícios, pode figurar, por exemplo, resolver as equações: a) x2 – 25 = 0 b) 7x2 = 14x c) x2 – 7x + 10 = 0 Sugestão: x2 – 7x + 10 = 0 fica x2 – 2x – 5x + 10 = 0 ou seja, x(x – 2) – 5(x – 2) = 0 x−2=0 ainda (x – 2)(x – 5) = 0. Daí, ou x=2

x −5= 0 x =5

1. x2 – 16 1 2. − x2 25 3. (x – 3)2 – x2 4. x2 + 2xy + y2 – t2 5. x2 – 6x + 9 – y2 6. a4 – 1 Em seguida, corrigir os exercícios anteriores e propor os próximos: 4 2 6 + x + 1 x - 1 x2 - 1

1

2 Simplificar

a+b b-a 4ab + - 2 a - b a + b a - b2

Aula 9

Incluiremos, nessa aula, quadrado de binômio e cubo de binômio. Tratar do caso de cubo, cubo das somas e diferença de cubos, além do caso do produto de Stevin e as aplicações de fatoração. a 2 + 2ab + b 2 \ / \

/

( a ± b )2 Depois propor: 1 x2 – 6x + 9 2 9x2 – 12x + 4 3 x2 + 10x + 25 4 4x2y2 – 25xy + 25 5 Simplificar:

x 2 − 6x + 9 4 x 2 − 24 x + 36

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Corrigir os exercícios anteriores e apresentar o cubo de binômio a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Propor aos alunos: 1 x3 – 6x2 + 12x – 8 2

y3 + 3y2 + 3y + 1

3

8x3 + 12x2 + 6x + 1

4

x3 + 3x2 – 3x + 1

5

Simplificar: y =

x 3 − 3x 2 + 3x − 1 x 2 − 2x + 1

Por fim, resolver exercícios misturando os casos de fatoração. Capítulo 4 Teoria dos conjuntos Duração: 1 semana/3 aulas Aula 10

É a primeira das três aulas destinadas ao estudo de conjuntos. Nessa primeira aula, devemos mostrar: • A diferença entre “elemento pertence” (∈) e “conjunto contido” (⊂). • Como descrever conjuntos por enumeração e por compreensão. • De que modo usar os diagramas de Euler.

1 a) b) c) d)

Tudo isso pode ser apresentado com exercícios desse tipo: “Dado A = {{2}, 5, {2, 7}, 3}, classificar como verdadeiro (V) ou falso (F).” {2}∈A 7∈A {2,7}⊂ A 2⊂A

2 a) Dar por enumeração os elementos de A, sendo A = {x / x∈,x ≤ 4}. b) Dar uma descrição para o conjunto B = {4,6,8,10}. Resposta: a) A = {0,1,2,3,4} b) B = {x ∈ ¥/ x é par e 2 < x 3x +11} O conjunto x1 ∩ x2 é: {x ∈R / 2 < x < 7} {x ∈R / 3 < x < 6} {x ∈R / 1< x < 5} {x ∈R / 0 < x < 8} {x ∈R / −2 < x < 7}

(a) (b) (c) (d) (e)

Capítulo 5 Razões e proporções Duração: 4 semanas/12 aulas Aulas 13 a 15

Razões e proporções Dispomos de três aulas para o estudo de grandezas proporcionais. Propomos o estudo da seguinte maneira: • Sucessões diretamente proporcionais – sucessões inversamente proporcionais. • Estudo das médias. • Porcentagem (cálculo). • Porcentagem (fator de aumento, fator de redução). Para essa primeira aula, propõe-se estudar: a) O conceito de razões b) Propriedades das proporções Há uma farta lista de exercícios no livro. Razão entre grandezas de mesma espécie. 1. Razão entre 10 m e 2 m; razão de 5 m para 5 cm. Grandezas compostas de quociente 1. grama/litro 2. km/h 3. pessoas/m2 Manual do Professor

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Exercícios sugeridos para: sala: propostos 2, 3, 4, 8, 12 e 13. Proporções. Mostrar que na proporção

8 6 = têm-se as propriedades: 4 3

a) fundamental: 3 · 8 = 4 · 6 b) composição:

8+6 8 = 4+3 4

c) decomposição:

8−6 6 = 4−3 3

15 x  = Usá-las para resolver o sistema:  8 y  x − y = 49  Exercícios sugeridos para: sala: propostos de 14 a 20 e de 23 a 29.

Aulas 16 a 18

Muito usado em Estatística, o estudo das médias tem sido cada vez mais frequente nos vestibulares. O professor pode escolher os exercícios na extensa lista do livro. Proposta: 1. Obter a média aritmética entre 6, 3, 8, 2. 2. Obter a média aritmética ponderada entre 6 (peso 1), 3 (peso 2), 8 (peso 3), 2 (peso 1). 3. Comentar os resultados. Propor: ε × 7 (GV) ε × 8 ε × 9 ε × 10 Corrigir e propor os exercícios complementares 1, 2 e 4. Corrigir os exercícios, incluindo média geométrica e média harmônica. Aulas 19 a 21

Sucessões porporcionais e regra de três. Exercícios gerais envolvendo grandezas proporcionais. Aulas 22 a 24

Porcentagem Falar sobre porcentagem/cálculo de porcentagem. Fator de aumento/fator de redução. O tema, que apresenta uma parte teórica muito fácil, costuma apresentar problemas complexos, principalmente se o aluno insistir em resolvê-los por regra de três. Procuremos acostumá-los com os fatores de aumento e de redução. No livro, há numerosos exercícios para fazer em sala; recomendamos alguns extras, que destacaremos a seguir, lembrando:

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Porcentagem Sendo I (I > 0) o valor inicial de uma quantia, então:

P   Após um aumento de p%, o valor final F será: F = I 1 +   100  P   Após uma redução de p%, o valor final F será: F = I 1 −   100  Exercícios: 1 Uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo depois, outro aumento de 20%. Para encontrar o preço da mercadoria após esses aumentos, basta multiplicar o preço inicial por: (a) 1, 45 (b) 0,45 (c) 1,50 (d) 0,50 (e) 3,75 Solução: Seja P o preço da mercadoria. Primeiro aumento: P1 = 1,25 P Segundo aumento: P2 = 1,2 P1 P2 = 1,2 · 1,25 P P2 = 1,5 P Portanto, o preço após os dois aumentos pode ser obtido multiplicando-se o preço inicial por 1,5. Resposta: C. 2 Uma mercadoria teve um aumento de 20% e, em seguida, um desconto de 10%. Em relação ao preço inicial, houve: (a) um aumento de 10%. (c) uma redução de 10%. (e) n.d.a. (b) um aumento de 8%. (d) uma redução de 8%. Solução: Seja P o preço inicial: Temos: Aumento de 20% → P1 = 1, 2P Desconto de 10% → P2 = 0, 9 ⋅ P1 P2 = 0, 9 ⋅ 1, 2P P2 = 1, 08P Portanto, em relação ao preço inicial, houve um aumento de 8%. Resposta: B. Sendo P igual a x% de A, tem-se: P =

x ⋅ A. 100

3 Calcule: a) 20% de 200 Solução:

20 ⋅ 200 = 40 100

b) 20% de 10% Solução:

20 10 2 ⋅ = = 2% 100 100 100

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Manual do Professor MATEMÁTICA - LIVRO 1 4 Calcule: a) (20%)(10%) Solução:

20 10 2 ⋅ = = 2% 100 100 100

b) (10%)2 2

2

1  10   1 Solução:  = 1% =  =   100   10  100 c)

4% Solução:

4 4 2 20 = = = = 20% 100 100 10 100

5 Quanto é 30% de 10% de 600? Solução:

30 10 ⋅ ⋅ 600 = 18 100 100

6 Qual é o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um aumento de 40%? Solução: Preço = 80, 00 +

40 ⋅ 80, 00 = 80, 00 + 32 = 112, 00 100

7 Em uma sala de 75 alunos, 30 alunos foram aprovados. Portanto, nessa sala os reprovados foram de: (a) 20% (b) 40% (c) 60% (d) 80% (e) 85% Solução: Reprovados: 75 – 30 = 45, portanto: 45 =

45 ⋅ 100 x = 60 ⋅ 75 ⇒ x = 100 75

Resposta: C. Outras sugestões: 1 Simplifique: a) (20%)2 b)

81%

2 Qual é o preço de uma mercadoria que custava R$ 130,00 e teve um aumento de 5%? 3 Qual era o salário de Luís, sabendo que após um aumento de 40% tornou-se igual a R$ 56.000,00? 4 Fuvest A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12.800. Calcule: a) o número de fumantes da cidade. b) o número de não fumantes da cidade. 5 Fuvest Um lote de livros foi impresso em duas tipografias, A e B, sendo que A imprimiu 70% e B imprimiu 30% do total. Sabe-se que 3% dos livros impressos em A e 2% dos livros impressos em B são defeituosos. Qual a porcentagem de livros defeituosos do lote?

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Capítulo 6 Equação do primeiro grau Duração: 1 semana/3 aulas Aulas 25 a 27

Equação do primeiro grau Três aulas são dedicadas ao estudo de equações e problemas do primeiro grau. Nossa sugestão é que nessas aulas sejam apresentados: • Princípios da igualdade. • Regras práticas de transposição. • Resoluções de equações, realçando o uso dos princípios. Sugestão: Falar sobre os princípios e as regras de transposição, resolvendo os exercícios: 1 5x + 40 = 4x + 70 2

x x+2 + = x-2 2 4

3

3(x 1) + 4(2 + x) = 12

4

(x + 3) 7(x + 2) + 9 = 0

5

x -1 x 1 + = 2 3 4

6

2x + 1 x -1 = 3 2

7 A raiz da equação é um número: (a) par. (b) maior que 12. 8

9

(c) múltiplo de 3.

(d) menor que – 3.

(e) n.r.a.

Resolva: 3(x² + 1) = x(x + 6) + 2x² Resolver na incógnita x a equação mx + x = n com m ≠ – 1.

Equações e problemas do primeiro grau Mais problemas que envolvem equação do primeiro grau. 1

Qual é o número que somado com o seu dobro mais o seu triplo e mais a sua metade dá resultado igual a 65? Solução: Seja x o número. Temos: x x + 2 x + 3x + = 65 2 6 x x 65 + = 1 2 1 12 x + x 130 = → 13x = 130 ⇒ x = 10 2 2

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2 A soma de três números consecutivos é 27. Calcular esses números. Solução: Sejam os números: x, x + 1, x + 2. Temos: x + x + 1 + x + 2 = 27 3x + 3 = 27 3x = 24 x=8 Resposta: 8, 9 e 10. 3 A idade de um menino é o dobro da idade de seu irmão. Se daqui a 10 anos a soma das duas idades for 29 anos, quais são as idades atuais? anos Solução: Presente 10 → Futuro Irmão x x + 10 Menino 2 x + 10 Então: x + 10 + 2x + 10 = 29 3x = 9 x=3 Resposta: 3 anos e 6 anos. 4 Fuvest Um pai tem 32 anos a mais do que seu filho. Daqui a 24 anos, sua idade será o dobro da de seu filho. Quais são as idades atuais? Solução: Pai Filho

anos Presente 24  → Futuro 32 + x 32 + x + 24 x x + 24

Então: 32 + x + 24 = (x + 24) x + 56 = 2x + 48 x=8 Resposta: 8 e 40 anos.

Outras sugestões: 5 Fuvest A soma de um número com a sua quinta parte é 2. Qual é esse número? 6 Obtenha dois números consecutivos tais que o dobro do menor menos o maior seja igual a 12. 7 A idade de uma pessoa é o dobro da idade de outra. Há 5 anos, a soma das idades era 20 anos. Quais as idades atuais das duas pessoas? 8 Três irmãos têm, juntos, 72 anos. O mais velho tinha 2 anos quando o segundo nasceu, e este tinha 5 anos quando o mais novo nasceu. Ache a idade do mais velho. 9 Em uma família, o pai tem 49 anos, e seus 4 filhos têm, respectivamente, 21, 18, 15 e 13 anos. Determine quando a idade do pai foi igual à soma das idades de seus filhos. 10 Faap Uma pessoa gasta do dinheiro que tem e, em seguida, gasta mais do que restou, ficando ainda com R$ 50,00. Calcule quanto foi gasto.

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Capítulo 7 Equação do segundo grau Duração: 3 semanas/9 aulas Aulas 28 a 30

Nessas primeiras aulas, recomendamos: • Resolver equações do tipo ax2 = b, a ≠ 0. • Resolver equações por fatoração: ax2 + bx = 0, (x – a) (x – b) = 0. • Resolver as equações pela fórmula de Bhaskara: x2 – 7x + 10 = 0 e – 2x2 – 5x + 3 = 0. Recomendamos ainda: • Obter m na equação n2 – 4mn + 4m2 = 0. • Obter n na equação n2 – 4mn + 4m2 = 0. Aula 31

Dar soma e produto de raízes. Como vimos que as raízes de uma equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 são dadas por: x=

-b ± D , onde D = b 2 - 4ac 2a

Chamando: x1 =

-b + D -b - D e x2 = 2a 2a

Temos que: x1 + x 2 = -

b c e x1 ⋅ x 2 = a a

Exercícios: 1 Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, obtenha: a) x1 + x2 Solução: x1 + x 2 = -

b -6 ==3 a 2

b) x1 · x2 Solução: x1 ⋅ x 2 = c)

c 1 = a 2

1 1 + x1 x 2 Solução:

1 1 x 2 + x1 3 = =6 + = 1 x1 x 2 x1 x 2 2

d) x12 + x 22 Solução: x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) - 2 x1x 2 = 32 - 2 ⋅ 2

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1 = 9 -1 = 8 2

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2 Determine k na equação x2 – 9x + k = 0 para que uma raiz seja o dobro da outra. 1 = 2x2 → 3x 2 = 9 → x 2 = 3 e, então, x1 = 6. Solução: x1 + x 2 = 9 x Daí: x1x 2 = k 6 ⋅ 3 = k → k = 18

(

)

3 Resolver a equação: x 2 - 2 + 2 x + 2 2 = 0 Solução: Sejam x1 e x2 as raízes: x1 + x 2 = 2 + 2 x1 ⋅ x 2 = 2 2

{

S = 2, 2

imediato → x1 = 2 e x 2 = 2

}

Outros exercícios: 1 Se o produto das raízes de uma equação do segundo grau é negativo, então o discriminante dela é positivo. 2 Determine k de modo que a equação x2 + x + 2k – 6 = 0 tenha raízes de sinais contrários. Resposta: k < 3 (nota: basta fazer p < 0) 3 Compor uma equação do segundo grau cujas raízes sejam +5 e +3. Aulas 32 e 33

Exercícios sobre equações do segundo grau. Estudo da discriminante. Discussão: Como vimos na aula passada, as raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 são dadas por: -b+ D x= em que D = b 2 - 4ac 2a O número D = b 2 - 4ac é chamado discriminante da equação e dependendo desse valor, teremos: D > 0 ⇔ a equação possui raízes reais e distintas. D = 0 ⇔ a equação possui duas raízes reais e iguais. D < 0 ⇔ a equação não possui raízes reais. Exercícios: 1 Determinar m real para que a equação do segundo grau mx2 – 2x + 1 = 0 tenha duas raízes reais e distintas. Solução: Equação do segundo grau → m ≠ 0. Daí: D > 0 ⇒ b 2 - 4ac > 0 ( -2)2 - 4 ⋅ m ⋅1 > 0 - 4m > - 4 4m < 4 → m < 1 Resposta: m < 1 e m ≠ 0. 2 Determinar m real para que a equação (m + 3) x2 – 2x + 1 = 0, admita duas raízes reais e iguais. Solução: Equação do segundo grau: m + 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ -3 Daí: D = 0 → b 2 - 4ac = 0 ( -2)2 - 4 ( m + 3) ⋅1 = 0 4 - 4m - 12 = 0 -4m = 8 m = -2

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3 Para que valores reais de k a equação x2 + 2x – k + 2 = 0 admite raízes reais? (a) k ≥ 1 (b) k ≤ 1 (c) k > 1 (d) k < 1 (e) k ≥ –1 Solução: devemos utilizar sen D ≥ 0 D = 22 - 4 (1) ( - k + 2) ≥ 0 4 - 4k - 3 ≥ 0 4k - 4 ≥ 0 4k ≥ 4 k ≥1 Resposta: A. 4 Para que valores reais de m a equação x2 – 2x + m = 0 não admite raízes reais? Solução: D < 0 → b 2 - 4a ⋅ c < 0 ( -2)2 - 4 ⋅1⋅ m < 0 4 - 4m < 0 -4m < -4 4m > 4 m >1 Resposta: m > 1. Outras sugestões: 1 Determinar m real de modo que a equação mx2 – 2x + 1 = 0 admita duas raízes e iguais. Resposta: m < 1 e m ≠ 0. 2 Determinar m real de modo que a equação x2 + 2x + m – 1 = 0 admita raízes reais e distintas. 3 Dar os valores reais de k para que a equação x2 = 2k – 1 não admita raízes reais. 4 Obtenha m real para que a equação x2 – mx – 1 = 0 admita raízes reais. Solução: D ≥ 0 ⇒ m 2 + 4 ≥ 0 Resposta: ∀m, m ∈ R . Aula 34

Equações biquadradas ax 4 + bx 2 + c = 0, {a , b, c} ∈ R, a ≠ 0 Resolver em R: x4 – 5x2 + 4 = 0

U={+1, – 1, + 2, – 2}

Incluir também algumas equações do tipo: 1. x6 – 4x3 = 32 2. 2x10 – 3x5 = 28

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Aula 35

Equações irracionais Realçar a necessidade de verificação das raízes. Sugestões: Resolver em R 2 x + 3 = 6 - x → S = {3} 1. 2.

x - 5 - x = 10 - x → S = {5}

3.

x - 7 + x + 1 = 2 → S = {8}

Aula 36

O professor pode usar essa aula explorando assuntos que envolvam equações do segundo grau direta ou indiretamente. Seguem algumas sugestões: 1. Resolver em R: a) x2 – 2x – 3 = 0 b) 6x2 + 8,6x + 1,955 = 0 x -1 x - 2 8 c) = x - 2 x -1 3 x-4 2 1 d) + =0 2 x - 4 x ( x - 2) x ( x + 2) e) 5x4 + 6x2 – 8 = 0 f) x4 – 5x2 – 36 = 0 g) (a + b + c) x2 – (2a + b + c) x + a = 0 h) x - 25 - x 2 = 1 i) j)

x + 7 + x - 5 = 2 x + 18 42 x2 + x + 1 = 2 x +x

2. problemas envolvendo soma e produto das raízes. 3. problemas envolvendo o discriminante. 4. problemas cuja solução depende de uma equação do segundo grau. Capítulo 8 Funções Duração: 2 semanas/6 aulas Aula 37

A finalidade desta aula é introduzir as noções de função, domínio, contradomínio e a notação x → f(x). Para isso, propomos: 1. Mostrar exemplos de funções na prática, já usando os diagramas de flechas. 2. Dar a definição de função, falando apenas de domínio e contradomínio. Para isso, aproveitar as flechas da lousa. 3. Introduzir a notação.

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Por exemplo, na associação, a seguir, tem-se uma função de A em B em que:

4. 5.

A

B

0

0

3

6

5

10

f(0) = 0 f(3) = 6 f(5) = 10 o domínio é A e o contradomínio é B.

Resumindo, falaremos apenas do seguinte: • A relação cada → único • O domínio e o contradomínio. • A notação x → f(x) Tudo isso usando apenas os diagramas de flechas. Aula 38

Nessa aula, podemos aprofundar o estudo da notação x → f(x). Aula 39

Para essa aula sugerimos: Estudo da determinação de domínio de uma função. Estudo de gráficos. Propomos que se comece assim: Uma outra maneira de se indicar que o valor 4 está associado ao valor 2 é escrever o par (2, 4) e representá-lo no plano cartesiano: y

P

4

2

x

O valor 4 é chamado imagem ou valor local da função quando x = 2. Em seguida, colocar mais pontos no gráfico, até obter gráficos “contínuos”. Assim:

Aproveitar os gráficos anteriores para falar de domínio, contradomínio, imagem, conjunto imagem, raízes da função, sinais da função e crescimento.

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Os exercícios propostos sobre o assunto estão nos números 4, 6, 23, 24, 28, 29 e 32 e nos exercícios complementares nos números 25 e 26. Para crescimento de funções, temos os propostos: 12, 27, 30 e 35. Para funções par e ímpar, temos os propostos 5, 11 e 13 e os complementares 4, 9 e 10. Aulas 40 e 41

Função injetora – função sobrejetora – função inversa. Para funções injetoras e sobrejetoras, há os exercícios 9, 10 e 33. Para inversão de funções, podem ser usados os propostos 3, 4 e 35 e o complementar número 12. Aula 42

Função composta. Capítulo 9 Função do primeiro grau Duração: 1 semana/3 aulas Aula 43

São três aulas destinadas ao estudo das funções do primeiro grau. Para esta primeira aula pode-se: 1. Apresentar os tipos de função do primeiro grau. 2. Representar graficamente a função do primeiro grau e dar o significado de a e b em f(x) = ax + b. Exercícios sugeridos para: sala: propostos 1, 2 e 3. estudo: complementares 1, 4, 5 e 8. Aula 44

Estudo de sinal da função do primeiro grau e aplicações em inequações do primeiro grau. Exercícios sugeridos para: sala: propostos 4 a 8. estudo: complementares 2, 3, 6 e 7. Aula 45

Use essa aula para completar o estudo de funções do primeiro grau. Capítulo 10 Função do segundo grau Duração: 3 semanas/9 aulas Aulas 46 a 48

Definir função do segundo grau. Definir os tipos: constante; linear; identidade. Aulas 49 a 51

Estudo do sinal da função do segundo grau pelos gráficos. Construir os gráficos usando as três abscissas notáveis. Aulas 52 a 54

Resolver inequações do segundo grau.

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FRENTE B Capítulo 1 Introdução à Geometria Duração: 1 semana/2 aulas Aulas 1 e 2

Introdução à Geometria Nessas aulas devemos apresentar as noções primitivas, seus postulados e alguns entes definidos. Seguimos a sequência: • Ponto – reta – plano e seus postulados. Salientar a importância dos postulados como uma espécie de “oficialização” de nossos argumentos intuitivos. • Apresentar as noções de semirreta, segmento retilíneo, reta suporte, figuras colineares, consecutivos etc. Para evitar a monotonia de uma aula cheia de definições, sugerimos propor exercícios e tirar deles as definições dos novos entes geométricos. Sugestões: Dado P, Q, R, S quatro pontos distintos de uma reta r, quantos e quais são os segmentos que eles determinam em r? Dados P, Q, R, S, T, cinco pontos distintos e coplanares, quantos e quais são os segmentos que eles determinam no plano? Dados 4 pontos distintos A, B, C, D, no espaço, quantos e quais são os segmentos que eles determinam? Quando é que AB + BC = AC, se são segmentos distintos? Nos exercícios seguintes, classificar como verdadeiro (V) e falso (F). 1

a) ( ) Dados 4 pontos distintos em uma reta, eles determinam dois segmentos colineares. b) ( ) Dados 4 pontos distintos em uma reta, eles determinam somente dois segmentos colineares.

2

a) b) c) d) e)

( ( ( ( (

) ) ) ) )

Se AB + BC = AC e AB = 5 cm, BC = 3 cm, então AC = 8 cm. Se AB + BC = AC, então A, B e C são colineares. Se AB = 5 cm, BC = 3 cm e AC = 7 cm, então A, B e C são não colineares. Se AB = 14 cm, BC = x cm e AC = 8 cm, então para x = 22, A, B, C são colineares. Se AB = 14 cm, BC = 8 cm, então pode medir 6 cm para A, B e C serem colineares.

Recomendar aos alunos a leitura do capítulo 1. Na leitura, por meio de exercícios resolvidos, terão as seguintes noções: figura côncava, figuras congruentes, segmentos adjacentes, ponto médio e partes do teorema (hipótese, tese, demonstração). Capítulo 2 Ângulo geométrico Duração: 3 semanas/6 aulas Aulas 3 e 4

Nessas aulas, sugerimos a seguinte sequência: • Conceituar ângulo geométrico e deixar claro ao aluno que “ângulo geométrico é o que se obtém nos triângulos”. Sendo assim, ficará bem claro, porque estão excluídos ângulo nulo e o de 180º. • Conceituar os elementos dos ângulos. Falar sobre a bissetriz. • Dar os tipos de ângulo. • Mostrar ângulos de soma 180º e de soma 360º. • Treinar o aluno em operações no sistema sexagesimal.

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Sugestões: 1 Efetuar as operações: a) (30º18’) – (12º42’17’’) b) (36º48’53”) + (12º37’18’’) – (14º47’41”) c) (17º5’27”) ÷ 3 2 Apresentar os pares de ângulos:

Adjacentes suplementares

OPV

Alternos internos r

β β

α

α

β

α

α + β = 180°

α =β

s //r α =β

3 Resolver exercícios do tipo a seguir:

a)

b)

c)

r x

x+

° 80

2x – 10°

x + 5°

x + 40°

60° 2x – 10° = x + 5° 2x – x = 5° + 10° x = 15°

(x + 80°) + (x + 40°) = 180° 2x + 120 = 180° 2x = 60° x = 30°

x + 60° = 180° x = 180° – 60° x = 120°

s //r

b)

2x

a)

α=

β = 3x + 10°

α = 2x + 30°

+3 0°

• Calcule a e b • Dê o valor x nas figuras:

β = 3x + 50°

(2x + 30°) + (3x + 10°) = 180° 5x + 40° = 180° 5x = 140° x = 28°

3x – 50° = 2x – 30° 3x – 2x = 50° – 30° x = 20°

Extras: 1 As medidas de dois ângulos OPV são expressas em graus por (4m + 5°) e (7m – 25°). Quanto vale m? E cada ângulo? 2 A figura mostra dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC. Sendo m(AÔB) = 58° e m(BÔC) = 42°, o ângulo formado por suas bissetrizes mede: C

B A

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(a) 48° (b) 49° (c) 50° (d) 51° (e) 52°   3 Na figura, ED é paralela a BC. Sendo = 74° = 41°, o valor de x é: A x E

D

B

C

(a) 105° (b) 110° (c) 115° (d) 120° (e) 125° 4 Sabendo que 1° = 60’ e 1’ = 60”, obter: a) o complemento de 18°12’18” b) o suplemento de 37°48’19” c) a metade do suplemento de 36°18’36” 5 Qual a medida do ângulo cuja metade do suplemento é o dobro do complemento? 3 6 Mackenzie A medida de um ângulo a é 12°40’50”. Então, a vale: 2 (a) 20°1’30”

(b) 18°

(c) 20°12’30”

(d) 19°1’15”

(e) 18°20’30”

7 Dois ângulos são suplementares. A medida do menor é igual ao complemento da quarta parte maior. Calcule o complemento do menor e o suplemento do maior. 8 Fatec Calcule y.

2x

x + 15° y

9 Na figura, se AB//DE, então a vale:

A

α

B

C

3α

112° D

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E

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Manual do Professor MATEMÁTICA - LIVRO 1 (a) 36° (b) 34° (c) 30° (d) 32° (e) 28° 10 Na figura, as retas a e b são paralelas entre si. O valor de a é: a

25° 85°

α

b

65°

(a) 105° (b) 110° (c) 115° (d) 120° (e) 125° Aulas 5 e 6

Pares de ângulos Nessas aulas, o aluno vai lidar com pares de ângulos. Pretendemos que o aluno saiba, ao fim, reconhecer ângulos complementares e usar a terminologia; reconhecer ângulos suplementares e usar a terminologia; reconhecer ângulos adjacentes, ângulos OPV, bem como saber usar suas propriedades. Achamos que, paulatinamente, vai haver familiarização com a linguagem geométrica e com as propriedades das figuras. Sugestões: 1 Dois ângulos são adjacentes e o maior mede o triplo do menor. Calcular sabendo que a soma deles é 72º. 2 A soma das medidas de dois ângulos é 160º e a diferença é 30º. Calcule-as. 3 A diferença entre as medidas de dois ângulos adjacentes é 20º. O ângulo formado por suas bissetrizes mede 50º. Calcule as medidas dos ângulos. 4 Na figura, as bissetrizes dos ângulos de medidas a e b formam um ângulo de 28º. Calcular a e b sabendo que a é o triplo de b. Observação: A aula anterior já permite uma ligeira demonstração dos teoremas a e b. No caso do teorema c, apresentá-lo apenas prometendo a demonstração para aula 14. Daí, o importante é fixar as propriedades expostas através dos exercícios. a) Teorema angular de Tales b) Propriedade do ângulo externo c) Triângulo isósceles

β α

γ α + β + γ = 180°

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a

β

E

α E =α+β

β

b

α a =b ⇔ α =β

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5 Calcule a, a medida do menor ângulo de cada figura:

a

6a

a 2a

3a

 ) = 8º 4 ' e m ( B  ) = 6º 12 ', calcule x = 6 Sendo m ( A

b

 ) + 3m ( B ) 2m ( A 3

Definições e pares de ângulos Ângulos OPV e ângulos em um sistema formado por duas retas paralelas e uma transversal. Sugestões: 1. Qual a medida do ângulo que é o triplo de seu suplementar? 2. Sendo 5x – 50° e 2x – 10° as medidas dos ângulos OPV, indicados na figura, calcule m(AÔB).

5x − 50° A

0

2x − 10° B

Sugerimos a seguinte sequência para o desenvolvimento destas aulas: • conceituar transversal em relação às duas retas. • denominar os ângulos presentes. • dar as propriedades dos ângulos presentes no sistema de paralelos e transversal. • fazer os exercícios. Sugestões: 1 Calcular o valor de x c a)

d // c a

140º

b // a

b)

85º

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Este exercício já força o aluno a criar uma reta paralela à base. 60º

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30º

c)

a

x 70º d)

b // a

a

x

20º

b // a

2 Mostrar que a + b + g = 180° β α

γ

3 Mostrar que e = a + b β

e

α

4 Calcule x nas figuras:

b)

a) 70°

c)

x

70°

100°

30°

x

x + 70° + 30° = 180° x = 80°

° 30

20°

x

2 0°

x = 100° + 20° x = 120°

Resolução do item c:

70° a 30° a = 70° + 30° a = 100°

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100° x

20° x = 100° + 20° x = 120°



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5 Fuvest Na figura, AB = BD = CD . Então: (a) y = 3x (b) y = 2x (c) x + y = 180° Resposta: A.

(d) x = y

(e) 3x = 2y

Extras 1 Fuvest Na figura a seguir, AB = AC, CB = CD e A = 36°. C

36°

A

D

B

 e ADC  . a) Calcule os ângulos DCB b) Prove que AD = BC. 2 Em um triângulo isósceles, um dos ângulos mede 50°, logo, outro ângulo desse triângulo pode medir: (a) 45° (b) 55° (c) 65° (d) 75° (e) 85° 3 GV O ângulo a (a