Matemática ensino fundamental 4

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Ensino Fundamental

9 ano

MATEMÁTICA PROFESSOR

4 caderno

Matemática Luiz Roberto Dante

Trigonometria Ponto de partida, 3

Introdução à Trigonometria, 4 1. Introdução, 4 2. Índice de subida, 5 3. As razões trigonométricas, 8 4. Relações entre seno, cosseno e tangente, 15 5. Razões trigonométricas para ângulos de 30º, 45º e 60º, 18 6. A tabela das razões trigonométricas, 22 7. Relações trigonométricas em um triângulo qualquer, 26 8. Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência, 34 Ponto de chegada, 54

2135320 (PR)

1

Eclipse lunar

2

Mariusz S. Jurgielewicz/Shutterstock

MÓDULO

Trigonometria Eclipses são fenômenos astronômicos que acontecem quando um corpo celeste atravessa ou obstrui outro momentaneamente. O eclipse lunar, por exemplo, acontece quando a Lua passa pela sombra da Terra. Esse fenômeno também serviu para um astrônomo e matemático grego, Hiparco, calcular a distância da Terra à Lua. Ele coletou dados sobre os ângulos do satélite terrestre, observado de dois pontos diferentes, e comparou esses elementos. Obteve o resultado de 62 a 74 raios terrestres. Hoje, sabemos que são cerca de 57 a 64 raios terrestres.

360ºº 360 1 diâ d iâme metr tro o luna l unarr 0,5º 5 →x5 diâmetros lunares → x diâ d iâme metr tro o luna l unarr 360ºº 360 0,5º → x 5 720 diâmetros lunares 1.

Ponto de partida 1. Hiparco poderia usar, em seus cálculos, regra de três simples para fazer a mesma determinação. Observe a afirmação e formule o problema: “Um diâmetro lunar é visto da Terra por um ângulo de 0,5º. A circunferência inteira correspondente à órbita da Lua é de 360º, ou 720 diâmetros lunares”. 2. Uma das condições para aplicar a semelhança de triângulos é eles terem as mesmas medidas dos ângulos internos. Converse com a turma e seu professor para aplicar conceitos já estudados em Trigonometria. É importante que os alunos entendam que a semelhança de triângulos pode ser calculada por meio do seno do ângulo. 3

Introdução à Trigonometria • • • •

Objetivos: Conhecer as aplicações da Trigonometria. Entender as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Compreender as relações trigonométricas em um triângulo. Analisar o uso das relações trigonométricas em uma circunferência.

Album/AKG-Images/Latinstock

Hiparco de Niceia (190 a.C.-125 a.C.)

4

Trigonometria

1 Introdução A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri: “três”

gonos: “ângulos”

metron: “medir”

Daí seu significado: “medida dos triângulos”. Inicialmente, a Trigonometria era considerada a parte da Matemática que tinha como objetivo o cálculo das medidas dos elementos de um triângulo (lados e ângulos). Como a Trigonometria estabelece relações entre as medidas dos ângulos e dos segmentos de reta, foi originalmente considerada uma extensão da Geometria. O estudo da Trigonometria nasceu há muito tempo, com a finalidade de resolver problemas práticos relacionados à navegação e à Astronomia, principalmente entre os gregos e os egípcios. Até hoje os conceitos trigonométricos são bastante utilizados, em especial por astrônomos e agrimensores, para medir distâncias muito grandes ou nas situações em que há dificuldade de fazer medições, como determinar a largura de um rio, a altura de uma montanha, etc. Sabe-se que foi o astrônomo grego Hiparco de Niceia, considerado o pai da Astronomia, quem empregou pela primeira vez relações entre lados e ângulos de um triângulo retângulo, por volta de 140 a.C. Por isso ele é considerado o precursor da Trigonometria. Atualmente, a Trigonometria não estuda somente triângulos. Ela está presente em muitos outros campos da Matemática, bem como em outras ciências, como você verá futuramente. Neste módulo, você vai estudar a Trigonometria nos triângulos retângulos e suas aplicações.

2 Índice de subida Você já percebeu como é difícil subir ladeiras muito inclinadas? Observe pessoas Philip and Karen Smith/Iconica/Getty Images

David J. Spurdens/Getty Images

subindo ladeiras com inclinações diferentes.

Casal subindo ladeira.

Pessoa subindo montanha.

Agora, considere as figuras a seguir. Em cada subida, um ponto P é obtido a partir de um percurso, que determina uma altura e um afastamento. P

percurso

P

altura

percurso altura

afastamento

Para construir:

afastamento

Exercícios 1 a 8 (p. 5 a 7)

Exercícios

1.

Examine a rampa desenhada ao lado. Para cada um dos pontos A, B, C e D,

calcule a razão

D

altura correspondente. afastamento

C

Agora, responda: o que você observou em relação às razões que calculou?

6m

B A

1m 1  2m 1  4 m 1  6m  A: 1   ; B: 2  4 m  ; C: 2  8 m  ; D: 2  12 m  2  2 m

1m

4m 2m

2m

A razão é constante: 1 . 2

4m 8m 12 m

índice de subida 5

MATEMÁTICA

A razão entre as medidas da altura e do respectivo afastamento em uma subida chama-se índice de subida. altura afastamento

Trigonometria

5

2.

Examine a rampa desenhada ao lado. Calcule a razão (A, B e C) e encontre o índice de subida dessa rampa.

C

altura nos pontos indicados afastamento B

A: 2 ; B: 4 5 2 ; C: 6 5 2 6 3 3 9 3 O índice de subida é 2 . 3

6 A

4 2

3 6 9

Desenhe as figuras de acordo com os enunciados abaixo.

3.

a) Uma rampa com altura de 6 centímetros e índice de subida 3 . 4 6 cm

6 5 3 8 4

8 cm

b) Uma rampa com afastamento de 6 centímetros e índice de subida 3 . 4 4,5 cm

4,5 5 9 5 3 6 12 4

6 cm

4.

Calcule o valor de x em cada uma das rampas abaixo. a)

b)

x

2

x y

Índice de subida: 1 3

x14

Índice de subida: 3 5

x56

x 5 3 ⇒ 5x 5 3x 1 12 ⇒ x 5 6 x 14 5

6

Trigonometria

x 5 2 10

2 5 1 ⇒y56 y 3 x2 5 62 1 22 ⇒ x 5

40 5 2 10

5.

Que subida é mais íngreme: uma com índice de subida 1 ou uma com índice de subida 1 ? Justifique sua resposta. 3 A de índice 1, pois nesta a altura é igual ao afastamento, e na de índice

6.

1 a altura é a terça parte do afastamento. 3

Em uma subida com índice igual a 1 , se nos afastarmos 45 metros, a quantos metros nos elevaremos do chão? 3 1 5 x ⇒ x 5 45 ; 3 5 15 m 3 45

?

45 m

7.

Para determinada rampa, temos os dados da tabela abaixo. Complete-a e calcule o índice de subida. Dados de uma rampa Ponto

Afastamento

Altura

A

4 metros

8 metros

B

2 metros

4 metros

C

1 metro

2 metros

D

3 metros

6 metros

E

5 metros

10 metros

F

10 metros

20 metros Dados fictícios.

Índice de subida 5 8 5 2; 4 5 2; 2 5 2; 6 5 2; 10 5 2; 20 5 2 4 1 3 5 2 10

Em uma rampa com índice de subida igual a 1 , se nos elevarmos a uma altura de 5 metros, qual será o afastamento corres2 pondente?

5m

1 5 5 ⇒ x 5 10 m 2 x

Na figura do exercício 1, por exemplo, os triângulos formados são todos semelhantes (caso AA). Logo, as alturas e os afastamentos correspondentes são proporcionais.

Bate-papo Converse com um colega sobre esta frase: a proporcionalidade nas medidas do afastamento e da altura é decorrente da semelhança dos triângulos retângulos.

Trigonometria

7

MATEMÁTICA

8.

3 As razões trigonométricas A ideia de tangente

a

a

bid

su

su

Agora, vamos utilizar o que estudamos para resolver a situação a seguir.

bid

40º

30º

Comente que podemos dizer tangente do ângulo ou tangente da medida do ângulo.

Ilustrações: Paulo Manzi/ Arquivo da editora

Observe estas duas representações de ladeiras.

Dizemos que a segunda ladeira é mais íngreme do que a primeira, ou que tem um aclive mais acentuado, pois seu ângulo de subida é maior: 40º . 30º. Usaremos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida com o índice na mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida a ele associado.

Representamos a tangente de um ângulo de subida por tg a. altura tg a 5 5 índice de subida afastamento

altura α afastamento

Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual, entre duas subidas, é mais íngreme? Vamos construir os modelos matemáticos de duas subidas, como mostram as figuras abaixo.

a 4m

5m

3

3m 4

e

b 7m

Índice de subida do primeiro triângulo ou tg a 5 3 . 4

5

7

Índice de subida do segundo triângulo ou tg b 5

5. 7

Mesmo sem conhecer os ângulos, podemos concluir que a primeira subida é a mais íngreme, pois:

3 . 5 4 7 8

Trigonometria

21 . 20 ( 28 28 )

Para construir: Exercícios 9 a 13 (p. 9 e 10)

Exercícios

9.

A diagonal de um quadrado é também a bissetriz do ângulo interno.

,

45° ,

Sabendo disso, responda à pergunta da professora. Qual é a tangente de 45º ? tg 45 º 5 , 5 1 ,

10.

Considere, no triângulo retângulo abaixo, a 5 5 centímetros e b 5 4 centímetros. Calcule a tangente do ângulo de medida a. A

52 5 42 1 c2 ⇒ c2 5 25 2 16 ⇒ c 5 3; tg a 5 3 4 a

c

a C

B

b

Agora, responda: a é maior do que, menor do que ou igual a 45º? 3 Menor, pois 4 , 1.

Observe as medidas do triângulo ABC e responda:

Lembre os alunos de que, neste exercício, estamos usando a recíproca do teorema de Pitágoras, que é verdadeira. Esta é uma boa oportunidade para discutir o que é recíproca de um teorema. C 13 5

B

12

A

a) O triângulo ABC é retângulo? Por quê? Se a resposta for afirmativa, identifique o ângulo reto. MATEMÁTICA

11.

$. Sim; porque 132 5 169 e 122 1 52 5 169; A

$? b) Qual é o valor de tg B 5 12

Trigonometria

9

12.

Dada uma reta em um sistema de eixos, a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x, partindo desse mesmo eixo, no sentido anti-horário, nos fornece a inclinação da reta. Observe a figura e responda: qual a medida a do ângulo de inclinação da reta? y

Não vale medir com o transferidor. Pode haver imprecisões nas medidas.

(0; 5)

a

x 0

(25; 0)

tg a 5 5 5 1; a 5 45º 5

Em um momento em que o Sol estava a 45º em relação ao ponto A, representado na figura abaixo, mediu-se a sombra (AB ) de um prédio. Qual é a altura desse prédio sabendo que sua sombra mediu 28 metros? tg 45 º 5 x 5 1 ⇒ x 5 28 m 28

C

Paulo Manzi/Arquivo da editora

13.

45º A

B

As ideias de seno e de cosseno

Paulo Manzi/Arquivo da editora

Vimos que, para cada subida com ângulo de inclinação de medida a, ficam determinados o percurso, a altura e o afastamento.

percurso altura a afastamento

Estudamos também que existe um valor constante obtido pela razão entre as medidas da altura e do afastamento, que é conhecido por índice de subida ou por tangente de a. 10

Trigonometria

tg a 5

altura afastamento

Além desse valor, podemos determinar o seno de a (sen a) e o cosseno de

a (cos a). Assim como a tg a, também o sen a e o cos a indicam quanto a subida é íngreme. sen a 5

altura percurso

cos a 5 afastamento percurso

Para construir: Exercício 14 (abaixo)

Exercício

14.

Atividade em equipe Discuta com seus colegas sobre estas subidas com percursos iguais e com diferentes ângulos de inclinação. Depois, respondam às questões a seguir. a) Em qual das subidas se alcança maior altura? Na de ângulo maior (a).

5

b) Qual é maior: sen a ou sen b?

(

3 . 2 sen a 5 5

)

α

c) Qual das subidas tem maior afastamento?

3

5

2

β 4

21 a.b

A de ângulo menor (b).

d) Qual é maior: cos a ou cos b?   cos b 

21 . 4   5 5

Para aprimorar:

Desafio

Desafio (abaixo)

Calcule tg 60º, sen 60º e cos 60º.

tg 60 ° 5

, 3 2 , 2

5 2, 3 5 2,

3;

, 3 2 sen 60 ° 5 ,

5 , 3 5 3 ; 2, 2

, cos 60 ° 5 2 5 , 5 1 2 , 2,

30º h

,

60º , 2

MATEMÁTICA

Uma dica: você pode usar um triângulo equilátero e considerar parte dele como uma “rampa” com ângulo de 60º, percurso ,, afastamento , e altura h 5 , 3 . 2 2

Trigonometria

11

Definição de seno, cosseno e tangente para ângulos agudos, usando semelhança de triângulos C a

b

c

B

A

Sabemos que, se ABC é um triângulo retângulo em A, temos: a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto); $ e Cµ são ângulos agudos; B $; AC é o cateto oposto ao ângulo B

• • • • • AB é o cateto adjacente ao ângulo B$ .

µ de medida u, com 0º , u , 90º, Consideremos agora um ângulo AOB

e, a partir dos pontos C, E, G, etc. da semirreta OA, tracemos as perpenA G E

diculares CD, EF , GH , etc. à semirreta OB. Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por ter os mesmos ângulos internos. Podemos, portanto, escrever: CD 5 EF 5 GH 5 ... (constante) OC OE OG

C

O

u D

F

H

B

Essa relação depende apenas de u (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual u é a medida de um dos ângulos agudos) e é chamada seno do ângulo u. Assim, escrevemos: medida do cateto oposto ao ângulo u sen u 5 CD 5 (0º , u , 90º) OC medida da hipotenusa

De modo análogo, da semelhança dos triângulos, obtemos as relações:

•

OD 5 OF 5 OH 5... (constante) OC OE OG

¥

CD 5 EF 5 GH OD OF OH 5 ... (constante)

que também dependem apenas do ângulo u, e definimos como cosseno de u e tangente de u, respectivamente: medida do cateto adjacente ao ângulo u OD cos u 5 OC 5 (0º , u , 90º) medida da hipotenusa

e tg u 5 CD 5 OD

medida do cateto oposto ao ângulo u (0º , u , 90º) medida do cateto adjacente ao ângulo u

As razões sen u 5 CD , cos u 5 OD e tg u 5 CD são chamadas de razões OD OC OC trigonométricas em relação ao ângulo agudo de medida u.

Observações: 1a) Compare essas definições com as relações dadas anteriormente envolvendo afastamento, percurso e altura em uma subida. a 2 ) Como vimos, a semelhança de triângulos é que fundamenta as razões trigonométricas. 12

Trigonometria

Para construir: Exercícios 15 a 19 (p. 13 e 14)

Exercícios

15.

Comente que é possível dizer seno, cosseno e tangente do ângulo ou da medida do ângulo sem haver diferença de sentido.

Atividade em dupla Justifiquem as afirmações a seguir. C hipotenusa ^

cateto oposto a B B

^

cateto adjacente a B

A

$ é um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então: Se B

• sen B$ é um número entre 0 e 1; AC sen Bˆ 5 BC e AC , BC

• cos B$ é um número entre 0 e 1; AB cos Bˆ 5 BC e AB , BC

• tg B$ é um número maior do que 0 e pode ser menor do que, igual a ou maior do que 1. AC tg Bˆ 5 AB e AC pode ser maior do que, menor do que ou igual a AB.

16.

Examine o triângulo retângulo abaixo e calcule o valor destas razões: b 9

15

a 12

a) sen a 5

9 5 3 15 5

d) sen b 5

12 5 4 15 5

b) cos a 5

12 5 4 15 5

e) cos b 5

9 5 3 15 5

c) tg a 5

17.

f ) tg b 5

9 5 3 12 4

12 5 4 9 3

Os resultados do exercício anterior estão coerentes com as afirmações do exercício 15? Sim.

Calcule o valor de x em cada item a partir dos valores dados. 12

a)

cos b 5 0,6

b)

x 5 6,4 8

x 5 15 x

9 b

0,6 5 9 ⇒ x 5 9 5 15 ou 6 5 9 ⇒ 6x 5 90 ⇒ x 5 15 0,6 x 10 x

a x

sen a 5 3 5 4 cos a 5 5 3 tg a 5 4 MATEMÁTICA

18.

4 5 x ⇒ 5x 5 32 ⇒ x 5 6,4 5 8

Trigonometria

13

µ5 5 c) sen A 13 µ 5 12 cos A 13 5 µ tg A 5 12

A

x

B

d)

B

x 5 24 6 10 A

x53

x

µ5 cos A

3 2

C

C

3 5 y ⇒ 2y 5 6 3 ⇒ y 5 3 3 6 2

5 5 10 ⇒ 5x 5 120 ⇒ x 5 24 12 x

x2 1 (3 3 ) 5 62 ⇒ x2 1 27 5 36 ⇒ x2 5 9 ⇒ x 5 3 2

19.

5 , cos F$ 5 11 e tg F$ 5 5 11 . Em um triângulo EFG, retângulo em E, temos sen F$ 5 6 6 11 F

E

G

a) Se a hipotenusa do nEFG mede 30 centímetros, quanto medem os catetos? sen F$ 5 5 5 EG ⇒ EG 5 25; (EF)2 1 252 5 302 ⇒ EF 5 6 30

275 5 5 11 .

b) Calcule sen Gµ , cos Gµ e tg Gµ . sen Gµ 5

11 ; cos Gµ 5 5 ; tg Gµ 5 6 6

11 . 5

c) Calcule o valor das expressões:

• (sen F$ )

2

2 1 (cos F$ ) 5 1

•

sen F$ 5 cos F$

5 11 5 tg F$ 11

•

sen Gµ 5 cos Gµ

µ d) Compare sen F$ com cos Gµ e cos F$ com sen G. sen F$ 5 cos Gµ e cos F$ 5 sen Gµ .

e) Como são os valores de tg F$ e tg Gµ? São números inversos. O inverso de

11 5 é

5 5 11 11 5 11 .

11 5 tg Gµ 5

• sen

2

Gµ 1 cos2 Gµ 5

1

sen2 G$ é o mesmo que 2 (sen G$ ) ..Usa-se com mais $ frequência sen2 G.

$ f ) Compare os valores encontrados para sen F e tg F$ . Faça o mesmo $ cos F para o ângulo Gµ . Os valores comparados são iguais.

Observação: Os fatos verificados com os ângulos agudos do nEFG neste exercício acontecem sempre com os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo. As demonstrações virão a seguir. 14

Trigonometria

4 Relações entre seno,

cosseno e tangente As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como estudaremos a seguir, considerando ângulos agudos. 1a) Relação trigonométrica fundamental sen2 a 1 cos2 a 5 1

Demonstração: Consideremos um ângulo de medida a, de vértice C em um triângulo CAB, retângulo em A, como mostra a figura. B

a

c

a b

C

A

Lembrando o teorema de Pitágoras, a2 5 b2 1 c2, podemos usá-lo em:

( ) 1 ( ab )

sen2 a 1 cos2 a 5 c a

2

2

5

2 c 2 1 b2 5 a2 5 1 a2 a

Portanto, sen2 a 1 cos2 a 5 1 (0º , a , 90º). sen a

tg a 5 cos a (0º , a , 90º)

2a)

C

a b

a A

c

B

Demonstração: b

sen α 5 a 5 b ; c 5 b ? a 5 b 5 tg a c a a a c c cos α

a

ou

MATEMÁTICA

b tg a 5 b 5 a 5 sen a (dividimos os termos da razão b por a ? 0) c c cos a c a Portanto, tg a 5 sen a (0º , a , 90º). cos a Trigonometria

15

3a)

Daí surgiu o nome “cosseno”: seno do complemento.

Se dois ângulos agudos de medidas a e b são complementares (a 1 b 5 90º), então sen a 5 cos b e cos a 5 sen b (o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento). Além disso, tg a 5 1 . tg β

Demonstração: a e b são medidas de ângulos complementares, isto é, a 1 b 5 90º. Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente no triângulo ao lado, temos: sen a 5 b 5 cos b; portanto, sen a 5 cos b a a

C b b

cos a 5 c 5 sen b; portanto, cos a 5 sen b a tg a 5 b 5 c1 5 1 ; portanto, tg a 5 1 c tg β tg β b

a c

B

A

Observação: Com essas três propriedades, sempre que conhecemos o seno, o cosseno ou a tangente de um ângulo agudo, podemos saber o seno, o cosseno e a tangente desse ângulo e também de seu complemento.

Para construir: Exercícios 20 a 24 (p. 16 e 17)

Exercícios

20.

Usando dois caminhos diferentes, calcule o valor de x na figura ao lado, sabendo que sen a 5 4 . 5 4 5 y ⇒ y 5 12 5 15

y

x

15

( ) 1 cos a 5 1 ⇒ cos a 5 259 ⇒ cos a 5 35

15

2

2

2

3 5 x ⇒x59 5 15

21.

Complete, para a e b agudos: a) Se sen a 5

22 5

3 , então cos a 5 5

e tg a 5

66 22

sen2 a 1 cos2 a 5 1 ⇒ 3 1 cos2 a 5 1 ⇒ cos2 a 5 22 ⇒ cos a 5 25 25 tg a 5 sen a 5 cos a

3 5 22 5

5

3 5 22

. 22 5

66 22

b) Se tg a 5 3 , então tg (90º 2 a) 5 8

8 ou 2 2 3 3

.

3 Se tg a 5 8 e sabendo que a 1 b 5 90º e, consequentemente, b 5 90º 2 a, então: tg (90º 2 a) 5 tg b 5

16

Trigonometria

1 5 1 5 8 ou 2 2 3 tg a 3 3 8

y

a

x2 1 122 5 152 ⇒ x 5 9 ou sen2 a 1 cos2 a 5 1 ⇒ 4 5

a

x

c) Se tg b 5 0,75 e cos b 5 0,8, então sen b 5

0,6

.

sen b 5 0,75 ⇒ sen b 5 0,8 ? 0,75 5 0,6 0,8

Veja como Ana descobriu os valores aproximados de sen 40º, cos 40º e tg 40º. Com régua e transferidor, Ana construiu um triângulo retângulo no qual um dos ângulos tem 40º e escolheu 5 centímetros para a medida da hipotenusa. Mediu os dois catetos e obteve os valores aproximados 3,2 centímetros e 3,8 centímetros. Em seguida, efetuou alguns cálculos e obteve os valores desejados. Use os procedimentos desenvolvidos por Ana, efetue os cálculos e determine os valores aproximados de sen 40º, cos 40º e tg 40º.

Paulo Manzi/Arquivo da editora

22.

3,8   3,2  sen 40º . 0,64  3,2  ; cos 40º . 0,76  ; tg 40º . 0,84   5   3,8   5 

Com os valores obtidos no exercício anterior, você pode descobrir o valor do seno, do cosseno e da tangente de outro ângulo. Que ângulo é esse e quais são esses valores? 50º (90º 2 40º); sen 50º 5 0,76; cos 50º 5 0,64; tg 50º .

24.

1 ou 3,8 ou 0,76 . 1,19 0,64 3,2 0,84

No triângulo retângulo ao lado, temos cos a 5 12 . 13 a) Calcule sen a e tg a.

16 m

x a

16 m a

sen2 a 1 cos2 a 5 1 ⇒ sen2 a 1 144 5 1 ⇒ sen2 a 5 25 ⇒ sen a 5 5 169 169 13 5 13 tg a 5 sen a 5 5 5 12 12 cos a 13

MATEMÁTICA

23.

b) Determine a medida da hipotenusa. sen a 5 5 5 16 ⇒ 5x 5 208 ⇒ x 5 41,6 13 x Medida da hipotenusa: 41,6 m

Trigonometria

17

Para aprimorar: Conexões (p. 20 e 21)

5 Razões trigonométricas

para ângulos de 30º, 45º e 60º Você estudou que, em todo triângulo equilátero, cada um dos três ângulos internos mede 60º. Se , é a medida de cada lado, a altura mede l 3 . 2 Quando traçamos uma das alturas de um triângulo equilátero, obtemos dois triângulos retângulos com lados de medidas ,, , e , 3 e ângulos de medidas 90º, 2 2 60º e 30º. Usando o triângulo da direita, podemos obter as razões trigonométricas para os ângulos de 30º e 60º.

30º ,

,

, 3 2

60º

,

60º

60º , 2

, 3 2

, 2

, 2

,

Escolhendo outro triângulo retângulo conveniente, também podemos determinar as razões trigonométricas para os ângulos de 45º. Observe a figura abaixo.

45º x

x 2

45º x

Veja na tabela abaixo os valores que são obtidos. Razões trigonométricas para ângulos de 30º, 45º e 60º

18

Trigonometria

sen

cos

tg

30º

1 2

3 2

3 3

45º

2 2

2 2

1

60º

3 2

1 2

3

Para construir: Exercícios 25 a 28 (abaixo)

Exercícios

25.

Use os triângulos retângulos a seguir, calcule seno, cosseno e tangente de 30º, 60º e 45º e confira com os valores da tabela dada na página anterior. l sen 30º 5 cos 60º 5 2 5 l ? 1 5 1 l 2 l 2 cos 30º 5 sen 60º 5 l 2 tg 30º 5 l 3 2

26.

, 3 2 ,

tg 60º 5

5 , 3 ? 1 5 2 ,

5 l ? 2 5 2 l 3

1 5 3

3 2

3 3

, 3 2 , 2

5 , 3 ? 2 5 2 ,

sen 45º 5 cos 45º 5 tg 45º 5 x 5 1 x

x 5 x 2

,

3

1 5 2

2 2

, 3 2

ou

45º x

60º x

(2x)2 5 x2 1 52 ⇒ x2 5 25 (x . 0) ⇒ x 5 5 5 5 3 3 3 3 Faça o mesmo no triângulo abaixo e calcule o valor de x por dois caminhos diferentes. sen 45º 5 3 2

x 2

, 2

3 5 5 ⇒x5 5 5 5 3 3 x 3

x

x

60º

Observe o triângulo retângulo ao lado. Veja que podemos calcular o valor de x por dois caminhos diferentes: tg 60º 5

45º

30º

2x

5

2 5 x ⇒ 2x 5 6 ⇒ x 5 3 2 3 2

ou x2 1 x2 5 (3 2 ) ⇒ 2x2 5 18 ⇒ x2 5 9 ⇒ x 5 3 2

45º

27.

Copie a tabela da página anterior, mas preencha-a com os valores aproximados na forma de número decimal. Use calculadora. Razões trigonométricas para ângulos de 30º, 45º e 60º sen 0,5 0,705 0,865

30º 45º 60º

tg 0,577 1 1,73

Utilize estes valores aproximados: 2 5 1,41 e 3 5 1,73.

Uma corda BC forma um ângulo de 30º com o diâmetro da circunferência representada abaixo. Qual é o comprimento da corda, sabendo que o raio da circunferência mede 1,5 centímetro? Use a tabela do exercício anterior. C x 30¼ A

B

MATEMÁTICA

28.

cos 0,865 0,705 0,5

BC . 2,6 cm AB 5 2 ? 1,5 5 3; cos 30º 5 x 5 0,865 ⇒ x 5 0,865 ? 3 5 2,595 3

(

)

Trigonometria

19

Conexões Ciências Humanas e suas Tecnologias Ciências da Natureza e suas Tecnologias Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

Visitantes do Cristo Redentor geram energia para iluminar o cartão-postal Zé Martinusso/Opção Brasil Imagens

Matemática e suas Tecnologias

Cristo Redentor, Rio de Janeiro, RJ. Foto de 2014.

Resposta pessoal. Espera-se que o aluno perceba a importância da utilização do uso de energia sustentável, limpa e também renovável por trazer benefícios ao meio ambiente por não poluir nem degradar os recursos naturais. Aproveite para questionar os alunos quanto à utilização de energia sustentável. Verifique se eles percebem que o alto custo e as dificuldades de instalação são fatores que impedem o uso para grande parte da população. O documento “Um futuro com energia sustentável: iluminando o caminho”, disponível em (acesso em: 23 jan. 2015), poderá ajudá-lo a permear a discussão entre a turma. 2. Solicite que as pesquisas sejam realizadas individualmente ou separe a classe em grupos e peça que cada grupo pesquise sobre um tipo de energia renovável. O conteúdo do link (acesso em: 23 jan. 2015) poderá ajudá-lo na escolha dos temas. 20

Trigonometria

Um dos maiores cartões-postais do país agora usa energia limpa e sustentável na sua iluminação. A iluminação do Cristo Redentor está sendo gerada por meio de piso especial, em que a energia do movimento de pessoas é convertida em energia elétrica. A tecnologia aplicada no Cristo é conhecida como EcoPiso, os nove módulos instalados geram 250 watts-hora, o suficiente para carregar 50 celulares ou quatro televisores de 32 polegadas por hora ou, ainda, uma lâmpada fluorescente por 25 horas. A energia é armazenada em baterias de lítio especiais. A instalação é resistente à chuva e suporta veículos de todos os portes, podendo ser utilizada em estacionamentos, estradas e praças de pedágio. A iluminação gerada deixa a estátua na cor verde, com um coração pulsante, incentivando o uso de energia limpa e em homenagem às pessoas que passaram por lá e transformaram seu movimento em luz. LAET, João. Ambiente Energia. Disponível em: . Acesso em: 12 mar. 2016.

1.

2.

Você considera importante o uso de energia sustentável? Por quê? Converse com seus colegas.

Pesquise sobre fontes de energia limpa e em seguida escreva uma redação sobre esse assunto.

Cristo Redentor - histórico da construção Uma visão deslumbrante encanta turistas e cariocas, ao chegar na cidade do Rio. Lá do alto, ainda no avião, ou mesmo do chão, é possível avistar uma estátua, no topo do morro do Corcovado, em meio ao Parque Nacional da Tijuca. [...] Esse “jovem” monumento [...] situado a 710 metros acima do mar, que surpreende por sua exuberância e pela visão panorâmica da cidade [...]. Inaugurado no dia 12 de outubro de 1931, esse que se tornou um dos principais cartões-postais do Rio de Janeiro, e um dos símbolos do turismo brasileiro, agora figura entre as Sete Novas Maravilhas do Mundo. A ideia da construção da estátua veio muito antes da década de trinta. Data do século XIX, quando em 1859, numa visita à cidade, o padre Pedro Maria Boss sugeriu que fosse erguido no topo do morro do Corcovado – à época Pináculo da Tentação - um monumento religioso. [...] Em 1923, através de um concurso, foi escolhido o projeto do engenheiro Heitor da Silva Costa. A estátua foi desenhada pelo artista plástico Carlos Oswald e projetada pelo arquiteto francês Paul Landowsky, trazido da Europa especialmente para a execução do projeto, em particular para a construção da cabeça e das mãos [...]. Para a estrutura foi decidido utilizar cimento armado, ao invés de armação metálica, e para o revestimento foi escolhido pedra-sabão, material muito resistente às variações climáticas. [...] Toda a montagem durou cinco anos. [...] Em 12 de outubro de 1931 finalmente é inaugurado o monumento do Cristo Redentor, que anos depois se consagrou como símbolo do turismo brasileiro. [...] Empresa de Turismo do Município do Rio de Janeiro - RIOTUR. Disponível em: . Acesso em: 12 mar. 2016.

3.

Quem era presidente do Brasil na época da inauguração da estátua do Cristo Redentor? A estátua do Cristo Redentor foi inaugurada em 1931, portanto o presidente na época era Getúlio Vargas.

Considere que um observador esteja localizado a aproximadamente 22 metros de distância da base do Cristo Redentor. Trace um triângulo retângulo imaginário, formando um ângulo de 60º dos pés do observador até o ponto mais alto da estátua, e calcule a altura do Cristo Redentor. Posteriormente, faça uma pesquisa e verifique se seu resultado está correto. Amplie sua pesquisa e procure alguma curiosidade sobre o Cristo e o Corcovado.

608

MATEMÁTICA

Aproximadamente 38 metros; tg 60º 5 1,7 5 h ⇒ h 5 37,5. 22 Comente com a turma que o resultado é aproximado e que o Cristo Redentor tem 38 metros de altura contando com sua base. A estátua possui 30 metros, portanto 8 metros são de base. Oriente os alunos na pesquisa sobre alguma curiosidade histórica interessante e estimule-os a contar aos colegas o que pesquisaram.

Paulo Manzi/Arquivo da editora

4.

22 m

Trigonometria

21

6 A tabela das razões

trigonométricas Oleksiy Mark/Shutterstock/Glow Images

Para resolver alguns problemas com triângulos retângulos, é preciso conhecer as razões trigonométricas dos ângulos agudos desse triângulo. Para facilitar os cálculos, há alguns séculos foi montada uma tabela que fornece os valores aproximados do seno, do cosseno e da tangente de ângulos de 1º a 89º, na forma de número decimal. Veja abaixo como é essa tabela. Tabela de razões trigonométricas

Nas calculadoras científicas, geralmente as teclas de seno, cosseno e tangente são indicadas por sin, cos e tan.

22

Trigonometria

Ângulo

sen

cos

tg

Ângulo

sen

cos

tg

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 45º

0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707

1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707

0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 0,194 0,213 0,231 0,249 0,268 0,287 0,306 0,325 0,344 0,364 0,384 0,404 0,424 0,445 0,466 0,488 0,510 0,532 0,554 0,577 0,601 0,625 0,649 0,675 0,700 0,727 0,754 0,781 0,810 0,839 0,869 0,900 0,933 0,966 1,000

46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º

0,719 0,731 0,743 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866 0,875 0,883 0,891 0,899 0,906 0,914 0,921 0,927 0,934 0,940 0,946 0,951 0,956 0,961 0,966 0,970 0,974 0,978 0,982 0,985 0,988 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000

0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500 0,485 0,469 0,454 0,438 0,423 0,407 0,391 0,375 0,358 0,342 0,326 0,309 0,292 0,276 0,259 0,242 0,225 0,208 0,191 0,174 0,156 0,139 0,122 0,105 0,087 0,070 0,052 0,035 0,017

1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,332 4,705 5,145 5,671 6,314 7,115 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57,290

Para construir: Exercícios 29 a 40 (p. 23 a 25)

Exercícios Sempre que necessário, utilize a tabela de razões trigonométricas da página anterior.

29.

Calcule o valor de x em cada triângulo. Use calculadora para efetuar as operações. a)

10

18º

b) x

y

40º

x

5

27º

cos 40º 5 0,766 5

40o

tg 18º 5 0,325 5 x ⇒ x 5 10 ? 0,325 ⇒ x 5 3,25 10

y

x

5

3,83 ⇒ x ⇒ x 5 3,83 ; 0,454 . 8,4

sen 27º 5 0,454 5 27o

30.

y ⇒ y 5 3,83 5

Uma rampa faz um ângulo a com a horizontal. Um carro percorreu 6 metros na rampa e atingiu uma altura de 3,27 metros. Qual Casa de Tipos/Arquivo da editora

é a medida do ângulo a? 33º 6

3,27

a

sen a 5 3,27 5 0,545

6

Consultando a tabela, o ângulo cujo seno é 0,545 é o de 33º.

a O

31.

nível do solo (horizontal)

Você estudou que um triângulo com os lados medindo 3, 4 e 5 unidades é triângulo retângulo, pois vale a relação 52 5 32 1 42. Calcule a medida aproximada dos ângulos agudos do triângulo abaixo. C

A

$ . 37º sen B $ 5 3 5 0,6 ⇒ B $ . 37º ; B 5 µ C . 53º (90º 2 37º)

4

B

Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 metros de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? 30 m 10º

MATEMÁTICA

32.

)

(

5 3

sen 10º 5 h ⇒ 0,174 5 h ⇒ h 5 5,22 30 30 O caminhão se eleva a 5,22 m.

Trigonometria

23

Na figura abaixo, temos a 5 28º, b 5 62º e h 5 10. Calcule o valor de x 1 y. b

a

tg 28º 5 0,532 5 x ⇒ x 5 5,32 10 y tg 62º 5 1,881 5 ⇒ y 5 18,81 10 x 1 y 5 5,32 1 18,81 5 24,13

h

x

34.

y Lusoimages/Shutterstock/Glow Images

33.

Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas como as mostradas na imagem ao lado. O “caimento” do telhado é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que em cada lado da casa foram construídos 6 metros de telhado e que até a laje do teto a casa tem 3 metros de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. 6

6

20¼ 3

Parte de um telhado.

6

6

x

20¡

3

Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela segmentos de reta de 4 centímetros e 9 centímetros (projeções dos catetos sobre a hipotenusa). Determine a medida aproximada do ângulo formado pela altura e pelo cateto menor desse triângulo.

a

x2 5 4 ? 9 5 36 ⇒ x 5 6 tg a 5 4 5 0,666... 6 Como tg 33º 5 0,649 e tg 34º 5 0,675, então a . 33,5º.

x

4

36.

9

De um ponto O situado no chão, avista-se o topo de um prédio sob um ângulo de 60º. Calcule a altura desse prédio sabendo que a distância que o separa do ponto O é de 20 metros. Use calculadora.

60º O

24

20 m

Trigonometria

Ilustrações: Paulo Manzi/ Arquivo da editora

35.

sen 20º 5 0,342 5 x ⇒ x 5 6 ? 0,342 5 2,052 6 3 m 1 2,052 m 5 5,052 m

x

60o O

22 m

tg 60º 5 1,735 5 x ⇒ x 5 20 ? 1,732 5 34,64 20 Altura do prédio: aproximadamente 35 m.

37.

Em uma circunferência, um segmento de reta tangente que mede 5 centímetros e um segmento de reta secante que passa pelo centro formam um ângulo de 58º. Determine o raio dessa circunferência e o comprimento do segmento de reta secante. 5

r r

58

r

o

x

38.

tg 58º 5 1,6 5 r ⇒ r 5 8 5 52 1 82 5 x2 ⇒ x 5 89 r 1 x 5 8 1 89 Raio: 8 cm; segmento de reta secante: 8 1 89 cm.

Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo colocou o teodolito (aparelho de medir ângulos) a 100 metros da base e obteve um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito estava a 1,70 metro do solo, qual era aproximadamente a altura da torre?

tg 30º 5 0,577 5 h ⇒ h 5 57,7 100 H 5 57,7 1 1,70 5 59,40 Altura da torre: aproximadamente 59,4 m.

30º

100 m

39.

Um avião decola do aeroporto (A) e sobe segundo um ângulo constante de 15º com a horizontal. Na direção do percurso do avião, a 2 quilômetros do aeroporto, existe uma torre retransmissora de televisão de 40 metros de altura. Verifique se existe a possibilidade de o avião se chocar com a torre. (Nesse caso, ele deveria desviar-se da rota.)

d

h A

15º

h h tg 15º 5 2 000 ⇒ 0,268 5 2 000 ⇒ h 5 536 m 536 . 40 Logo, não há possibilidade de o avião se chocar com a torre.

2 km 5 2 000 m

Miguel é topógrafo e quer saber a distância ø de A até B, conforme a figura ao lado. Para isso, adotou o seguinte procedimento: • Considerou dois pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada margem do rio. • Determinou um ponto C, distante 8 metros de A, onde fixou o teodolito, de tal modo que o ângulo no ponto A fosse reto. µ . • Obteve uma medida de 70º para o ângulo ACB Calcule a distância ,.

B

,

Aproximadamente 22 m; tg 70º 5 , ⇒ 2,747 5 , ⇒ , 5 21,976. 8 8

C

70 70°

MATEMÁTICA

40.

A

Trigonometria

25

Para aprimorar:

Desafio

Desafio (abaixo)

Um carro andou 9 quilômetros em linha reta de B até A. A seguir, virou 90º à esquerda e andou mais 10 quilômetros em linha reta de A até C. Qual é o ângulo que o carro deve girar, à esquerda, para voltar pela estrada que liga C e B? ? C

Aproximadamente 138º. 10 km

B

9 km

$ 5 10 ; tg Cµ 5 9 5 0,9 ⇒ Cµ . 42º; 180º 2 42º 5 138º tg B 9 10

A

7 Relações trigonométricas Casa de Tipos/Arquivo da editora

em um triângulo qualquer O 120º

45º A

100 m

Examine a seguinte situação: Como medir a distância entre as árvores A e B? Não é possível fazer a medida direta de A e B, dada a existência B de uma lagoa entre elas. Um topógrafo mediu dois ângulos (120º e 45º) e a distância de 100 metros, medidas que estão indicadas na figura e que podem ser feitas. O triângulo AOB é obtusângulo, e a solução deste problema está em encontrar a medida do lado AB. Como o triângulo não é retângulo, não podemos usar as relações trigonométricas já estudadas. Para casos como esse, precisamos conhecer a lei dos senos e a lei dos cossenos.

Seno e cosseno de ângulos obtusos Neste item precisaremos, em alguns momentos, obter os valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi estudado — não existem ângulos obtusos nos triângulos retângulos —, aprenderemos neste momento apenas como lidar com eles na prática. Futuramente, você estudará a parte teórica que fundamenta o que faremos agora. Usaremos as seguintes propriedades:

• sen 90º 5 1 e cos 90º 5 0 • os senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos, ou seja: sen x 5 sen (180º 2 x)

• os cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos, ou seja: cos x 5 2cos (180º 2 x)

26

Trigonometria

Exemplo: Vamos obter o valor de: b ) cos 120º. a ) sen 120º; O suplemento de 120º é 60º (180º 2 120º 5 60º). Assim: sen 120º 5 sen 60º 5

3 2

cos 120º 5 2cos 60º 5 2 1 2 Para construir: Exercícios 41 a 43 (abaixo)

Exercícios Obtenha o valor de: a) sen 135º 5

42.

43.

2 2

b) cos 135º 5

2

2 2

c) sen 150º 5

1 2

d) cos 150º 5

Use a tabela da página 22 e determine: a) cos 130º 5 20,643

c) sen 175º 5 0,087

e) sen 151º 5 0,485

b) sen 110º 5 0,940

d) cos 138º 5 20,743

f ) cos 100º 5 20,174

Sem usar a tabela, determine o valor de x em: a) x 5 sen 20º 2 sen 160º 1 cos 44º 1 cos 136º x 5 sen 20º 2 sen 20º 1 cos 44º 2 cos 44º 5 0

2

3 2

b) x 5 sen 10º ? cos 50º 1 cos 130º ? sen 170º x 5 sen 10º ? cos 50º 2 cos 50º ? sen 10º 5 0

MATEMÁTICA

41.

Trigonometria

27

Lei dos cossenos Consideremos um triângulo ABC qualquer com lados cujas medidas são a, b e c. Vamos demonstrar a relação abaixo, conhecida como lei dos cossenos: a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos Aˆ

µ é o ângulo oposto ao lado de medida a. em que A Traçamos sempre a altura BH e consideramos os seguintes casos: µ a ) A é um ângulo agudo B

c

A

a

h

x

C

H b

O nBHC é retângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: I a2 5 h2 1 (b 2 x)2 ⇒ a2 5 h2 1 b2 2 2bx 1 x2 O nBHA também é retângulo e temos: c 2 5 h2 1 x2 ou h2 5 c2 2 x2 II Substituindo h2 de II em I , temos: a2 5 c 2 2 x2 1 b2 2 2bx 1 x2 ⇒ a2 5 b2 1 c 2 2 2bx µ µ temos: a2 5 b2 1 c 2 2 2bc ? cos A. Como x 5 c ? cos A,

µ é um ângulo obtuso b) A

B

h

H

a c

x

A

b

C

O nBHC é retângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: I a2 5 h2 1 (b 1 x)2 ⇒ a2 5 h2 1 b2 1 2bx 1 x2 O nBHA também é retângulo e temos: c 2 5 h2 1 x2 ou h2 5 c 2 2 x2 II Substituindo h2 de II em I , temos: a2 5 c 2 2 x2 1 b2 1 2bx 1 x2 ⇒ a2 5 b2 1 c 2 12bx µ e o cosseno de um ângulo é igual ao oposto do cosseno do Como x 5 c ? cos BAH µ )), temos: µ 5 2cos (180º 2 A seu suplemento (cos A µ ou a2 5 b2 1 c 2 22bc ? cos A µ a2 5 b2 1 c 2 12b ? c ? cos BAH, Observações: 1a) O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, que ocorre quanµ é ângulo reto, pois cos 90º 5 0. do A µ ⇒ a2 5 b2 1 c 2 A a2 5 b2 1 c 2 22bc ? cos E55F 0 2a) De forma análoga ao que foi feito com a e Aˆ , é possível demonstrar também que: $ b2 5 a2 1 c 2 22ac ? cos B c 2 5 a2 1 b2 22ab ? cos Cµ 28

Trigonometria

3a) A lei dos cossenos possui muitas aplicações em Geometria. Por exemplo, conhecendo os lados de um triângulo, podemos calcular seus ângulos (por meio de seus cossenos), suas alturas, etc. Veja um exemplo em que é aplicada a lei dos cossenos. Vamos determinar a medida do lado AB do triângulo abaixo. A

x

5 cm 60º 8 cm

C

B

Pela lei dos cossenos, temos: x2 5 82 1 52 22 ? 5 ? 8 ? cos 60º ⇒ x2 5 64 1 25 280 ? 1 ⇒ 2 ⇒ x2 5 89 2 40 5 49 ⇒ x2 5 49 ⇒ x 5 6 49 ⇒ x 5 67 Como se trata de medida de um segmento de reta, a raiz negativa é desprezada. Logo, x 5 7 centímetros.

Lei dos senos Consideremos um triângulo ABC qualquer com lados de medidas a, b e c opostos, respectivamente, a Aˆ , Bˆ e Cˆ . Vamos demonstrar a relação dada abaixo, conhecida como lei dos senos.

a 5 b 5 c sen n Aˆ ssen Bˆ sen Cˆ Faremos essa demonstração considerando os tipos de triângulo separadamente. a) nABC é acutângulo B

c

A

a

h

C

H b

a 5 b . sen Aˆ sen Bˆ

MATEMÁTICA

Traçamos a altura relativa a um dos ângulos, Bˆ por exemplo. No nAHB temos sen Aˆ 5 h ou h 5 c ? sen Aˆ . c h ˆ No nCHB temos sen C 5 ou h 5 a ? sen Cˆ . a ˆ ˆ I Então c ? sen A 5 a ? sen C , e daí tiramos a 5 c . sen Aˆ sen Cˆ Se a altura traçada for relativa ao ângulo Cˆ , obteremos a igualdade II

De I e II concluímos que triângulo acutângulo ABC.

a 5 b 5 c em todo sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ

Trigonometria

29

b ) nABC é obtusângulo B

h

a c

A

H

b

C

Neste caso, consideramos inicialmente a altura relativa ao ângulo Bˆ . No nBHC, sen Cˆ 5 h ou h 5 a ? sen Cˆ . a No nBHA, sen ( 180º 2 Aˆ ) 5 h ; como sen ( 180º 2 Aˆ ) 5 sen Aˆ , então sen Aˆ 5 h c c

ou h 5 c ? sen Aˆ . Se h 5 a ? sen Cˆ e h 5 c ? sen Aˆ , então a ? sen Cˆ 5 c ? sen Aˆ , e daí tiramos

a 5 c . sen Aˆ sen Cˆ

III

Considerando a altura relativa ao ângulo Aˆ , chegamos a

b 5 c . sen Bˆ sen Cˆ

IV

De III e IV concluímos que em todo triângulo obtusângulo ABC temos

a 5 b 5 c . sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ Essa relação também é válida para os triângulos retângulos (veja exercício 46 da página seguinte). Podemos então enunciar a lei dos senos: Em qualquer triângulo ABC a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a ele é constante, ou seja,

a 5 b 5 c , sendo a, b e c medidas n Aˆ ssen Bˆ sen sen Cˆ

dos lados opostos a Aˆ , Bˆ e Cˆ , respectivamente.

Exemplos de aplicação da lei dos senos: a ) Vamos determinar o valor de x no triângulo abaixo usando a lei dos senos e a tabela da página 22.

60º x

70º 12

12 x 12 5 x ⇒ x . 13 5 ⇒ sen 60° sen 70° 0,866 0,94 30

Trigonometria

µ em um nABC sab ) Vamos determinar o valor aproximado da medida do ângulo A µ bendo que AB 5 7 cm, BC 5 3 cm e C mede 100º. AB 5 BC ⇒ 7 7 5 3 5 3 ⇒ ⇒ ˆ ˆ ˆ sen 100º 0,985 sen A sen Aˆ sen A sen C Z na tabela procuramos sen 80º 5 sen 100º

Acesse o portal e veja o conteúdo “Aplicação da lei dos senos”.

⇒ sen Aˆ . 0,422 ⇒ m ( Aˆ ) . 25º Z

na tabela procuramos sen 25º 5 0,423

Para construir: Exercícios 44 a 51 (p. 31 e 32)

Exercícios

44.

Determine a medida x do lado BC do triângulo abaixo. 72 5 x2 1 32 2 2 ? 3 ? x ? cos 60º ⇒ 49 5 x2 1 9 2 3x ⇒ ⇒ x2 2 3x 2 40 5 0 ⇒ x 5 8 ou x 5 25 (não serve)

A 7 cm

3 cm 60¼ x

C

45.

B

Em um nABC, temos AB 5 6 centímetros, AC 5 5 centímetros e BC 5 7 centímetros. A medida do ângulo Aˆ está mais próxima de 58º, 68º ou 78º? (Consulte a tabela da página 22.) 78º (72 5 62 1 52 2 2 ? 6 ? 5 ? cos Aˆ ⇒ cos Aˆ 5 0,2; consultando a tabela: cos 78º 5 0,208, cos 58º 5 0,530 e cos 68º 5 0,375)

Determine a medida da diagonal maior do paralelogramo da figura a seguir. 10 120º 5 cm

5

120º x

x2 5 102 1 52 2 2 ? 10 ? 5 ? cos 120º ou x2 5 102 1 52 1 2 ? 10 ? 5 ? cos 60º x = 5 7 cm

10 cm

MATEMÁTICA

46.

Trigonometria

31

47.

Mostre que, se um nABC é retângulo, também temos B

$= b ⇒ b sen B =a $ a sen B

a

c

b

A

a 5 b 5 c . Lembre-se: sen 90 5 1. º sen Aˆ sen Bˆ sen Cˆ

µ 5 1 ⇒ a ? sen A µ 5a? 1⇒ a = sen A

C

a µ sen A

sen Cµ 5 c ⇒ C 5 a a sen Cµ Comparando as três razões, temos:

48.

Determine o valor de x na figura abaixo. O

100 m 120º

100 x = ⇒ 100 = sen 45 ° sen 120 ° 2 2 ⇒ x = 100 3 = 100 6 = 50 6 2 2

B

45º

x

A

49.

sen 135º 5 sen 45º 5

2 x 5 ⇒ sen 30º sen 135º y 2 5 ⇒ 1 sen 15º 2

2 5 1 2

x 2 2

135º

2

y 2 5 ⇒ y . 0,73 1 0,259 2

Determine a medida aproximada da diagonal menor do losango da figura a seguir.

50º

6 cm

65º 65º

6 cm 50º

50º 6 cm

65º 65º

6 cm

6 x = ⇒ sen 50 ° sen 65 ° 6 x ⇒ = ⇒ x ? 5,07 0,766 0,906

Considerando a figura dada, calcule o valor da expressão x2 1 5y. y 4 5 ⇒ sen 45º sen 30º

y

5 4 ⇒ y 54 2 1 2 2 2

2 ⇒ x2 5 41 2 20 2 2 x 2 1 5 y 5 41 2 20 2 1 20 2 5 41 x2 5 42 1 52 2 2 ? 4 ? 5 ?

32

5 122, 47

⇒ x 52

6 cm

51.

⇒

15º y

2 2

x 3 2

x

No triângulo ao lado, determine as medidas x e y. 180º 2 (135º 1 15º) 5 30º

50.

a 5 b 5 c . sen B$ sen Aµ sen Cµ

Trigonometria

105º y

4

4 x

45º 5

Outras situações envolvendo a lei dos cossenos e a lei dos senos Medida da distância de um ponto A (onde está o observador) a um ponto P inacessível Vamos supor que um observador esteja no B A ponto A e queira saber a distância de A a P, que é o ponto onde se localiza uma árvore do outro lado de um rio, conforme representado na figura ao lado. O observador se locomove de A para B, de P onde pode ver também o ponto P. Vejamos, então, como pode ser encontrada a distância de A até P, sabendo que a distância de A até B é 1 quilômetro, a medida do ö é igual a 40º. ângulo BÂP é igual a 130º e a medida do ângulo ABP Aplicando a lei dos senos no triângulo ABP e indicando a distância de A até P por x, temos:

Casa de Tipos/Arquivo da editora

Vejamos um exemplo de aplicação da lei dos senos:

1 x 1 5 x ⇒ 5 ⇒ 0,174x 5 0,643 ⇒ x . 3,7 km sen 10° sen 40° 0,174 0,643 Assim, a distância do observador até a árvore do outro lado da margem é de aproximadamente 3,7 quilômetros. Agora, aplique as leis estudadas em mais algumas situações.

Para construir: Exercícios 52 a 56 (p. 33 e 34)

Exercícios

52.

Determine a medida (a) aproximada do ângulo  no triângulo abaixo. A a 4

2

3

B

C

“Resolver um triângulo” é determinar as medidas dos seus três lados e dos seus três ângulos internos. “Resolva o triângulo” abaixo.

42º y

x

(

a 5 68º; x . 12,65; y . 12,47 42º 1 70º 1 a 5 180º ⇒ a 5 68º;

y 9 x 5 5 sen 42º sen 70º sen 68º

)

MATEMÁTICA

53.

32 5 22 1 42 2 2 ? 2 ? 4 ? cos a; cos a 5 11 . 0,688 ⇒ a . 47º 16

70º a 9

Trigonometria

33

54.

No triângulo abaixo, determine o valor da medida x. x a

105º

45º 1 105º 1 a 5 180º ⇒ a 5 30º;

100

100 5 x ⇒ x 5 100 2 sen 30º sen 45º

45º

55.

No triângulo abaixo são dados a 5 4, b 5 3 2 e m (Cö ) 5 45º. Determine c. A

b

c

10 (c2 5 16 1 18 2 2 ? 4 ? 3 2 ? cos 1 4245º 4 3 5 34 2 24 5 10 ⇒ c 5

c5

10 )

2 2

B

56.

a

C

Dois lados de um triângulo medem 10 centímetros e 6 centímetros e formam entre si um ângulo de 120º. Determine a medida do terceiro lado. a2 5 36 1 100 2 2 ? 6 ? 10 ? cos 120º 5 36 1 100 1 120 ? cos 1 4260º 4 3 5 136 1 60 5 196 ⇒ a 5 14 cm 1 2

8 Uso das relações trigonométricas

em polígonos regulares inscritos em uma circunferência D 54º

,

r

E

O

72º

54º r

C

Observe o pentágono regular ao lado, com lados de medida ,, inscrito em uma circunferência de centro O e raio de medida r. Analise algumas características desse polígono: • Ligando o centro O a todos os vértices, obtemos cinco triângulos (por exemplo: nAOB).

• Cada ângulo central mede 72º, medida que se obtém fazendo 360º ; 5 (por exemplo: µ mede 72º). AOB

• Cada um dos cinco triângulos obtidos é isósceles, com lados medindo r, r e , (por A

H

B

exemplo: nCOD).

• Cada um desses triângulos isósceles tem ângulos de 72º, 54º ( 180º 22 72º ) e 54º. • A altura de cada um desses triângulos isósceles é chamada de apótema do polígono regular (por exemplo : OH no nAOB ) . • O apótema é também mediana e bissetriz, pois os triângulos são isósceles (por µ H > BOH µ ). µ reto, AH > HB e AO exemplo: no nAOB, temos OHB

Bate-papo Converse com um colega e analisem cada uma das seis afirmações relacionadas ao pentágono regular acima.

34

Trigonometria

Para construir: Exercícios 57 e 58 (abaixo)

Exercícios Considerando o octógono regular abaixo, determine: ,

F

E

,

,

G

D O

, r

I

a

, r

C

,

, A

µ ): a) m( AOB

(

45º 360 º 8

58.

H

B

(

)

µ ): d) m( OHB

µ ): c) m( HOB

µ ): b) m( OAB 67,5º 180 º 2 45 º 2

( )

)

22,5º 45 º 2

90º

Complete a tabela abaixo referente a ângulos de polígonos regulares de 3, 4 e 6 lados, inscritos em uma circunferência de centro O. Considere OH um apótema.

A

H

O

O

O B

A

H

B

A

H

B

Ângulos de polígonos regulares Polígono regular

µ ) m( AOB

µ B)) m(OAB)

µ ) m(HOB

µ ) m(OHB

Triângulo (equilátero)

120º

30º

60º

90º

Quadrilátero (quadrado)

90º

45º

45º

90º

Hexágono

60º

60º

30º

90º

MATEMÁTICA

57.

Trigonometria

35

Medidas do raio (r), do lado (,) e do apótema (a) em um polígono regular Quando consideramos a medida r do raio da circunferência em que o polígono regular está inscrito, a medida , do lado do polígono e a medida a do apótema desse polígono, podemos estabelecer várias relações entre essas medidas. Como devemos realizar os cálculos? Analise o exemplo no qual temos um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo raio mede 8 centímetros.

r58 ,5? a5?

O 8 A

a 8

H ,

B

Se você tem uma das medidas (r, , ou a), pode descobrir as outras duas. Para isso, há vários caminhos. Um deles é usar as relações trigonométricas nos triângulos retângulos.

µ ) 5 30º, m (HBO $ ) 5 60º e m (OB ) 5 No nHOB, retângulo em H, temos m (HOB 5 8 centímetros. Então: O , sen 30º 5 1 5 2 ⇒ 2 ? , 5 8 ⇒ , 5 8 cm 30º 2 8 2 8 a

cos 30º 5

3 5 a ⇒ 2a 5 8 3 ⇒ a 5 4 3 cm 2 8

Não se esqueça: em todo hexágono regular, temos , 5 r.

60º H

, 2

B

Esse é um dos caminhos que podemos seguir. Veja, agora, esta outra forma de resolução: o nAOB é isósceles e equilátero, pois seus três ângulos medem 60º. Então, , 5 r 5 8 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras no nHOB, escrevemos:

( )

2 a2 1 l 5 r2 ⇒ a2 1 42 5 82 ⇒ a2 5 64 2 16 5 48 (a . 0) 2

⇒ a 5 48 ⇒ a 5 4 3 cm

36

Trigonometria

Para construir: Exercícios 59 e 60 (abaixo)

Exercícios

59.

Nestas atividades, é importante a resolução por caminhos diferentes para relacionar diversos assuntos que foram estudados anteriormente.

Determine a medida do lado (,) e do raio (r) em um hexágono regular inscrito na circunferência sabendo que seu apótema mede a 5 6 centímetros.

r

6

,

( ) e r 5 , ⇒ , 5 36 1 ,4

r2 5 62 1 , 2

2

r 5 4 3 ou cos 30º 5

60.

2

2

3 5 6 ⇒ 2 r

2 ⇒ ,2 2 , 5 36 ⇒ 4,2 2 ,2 5 144 ⇒ 3,2 5 144 ⇒ ,2 5 144 ⇒ , 5 4 3

3 r 5 12 ⇒ r 5

144 5 12 5 12 3 5 4 3 3 3 3

12 5 12 3 5 4 3 ⇒ , 5 4 3 cm; r 5 4 3 cm 3 3

Em um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r, a medida do lado é , 5 12 centímetros. Calcule as medidas do raio (r) e do apótema (a).

a

r

12

r 5 1 da diagonal 5 1 ? (12 2 ) 5 6 2 2 2

Outra solução:

a

45o

r

tg 45º 5 1 5 6 ⇒ a 5 6 a cos 45º 5

2 5 6 ⇒ r 2 5 12 ⇒ r 5 12 5 6 2 2 r 2

r 5 6 2 cm; a 5 6 cm 6

MATEMÁTICA

a5 1 , ⇒a56 2

Trigonometria

37

Generalizações Você percebeu que podemos estabelecer importantes relações em polígonos regulares inscritos em uma circunferência com base nas medidas do lado, do apótema e do raio. Vamos ver algumas dessas relações válidas nos hexágonos regulares, nos quadrados e nos triângulos equiláteros. Como esses três polígonos são regulares, para diferenciá-los, neste estudo, vamos indicar a medida de seus lados destacando o número de lados de cada polígono. • Medida do lado do hexágono regular: ,6 • Medida do lado do quadrado: ,4 • Medida do lado do triângulo equilátero: ,3 Da mesma forma, indicaremos as medidas dos respectivos apótemas: a6 para o hexágono, a4 para o quadrado e a3 para o triângulo equilátero.

Hexágono regular Em um hexágono regular de lado com medida ,6, inscrito em uma circunferência de raio com medida r e apótema com medida a6, podemos fazer algumas afirmações que valem para todos os hexágonos regulares. ,6 5 r , pois ,6, r e r são as medidas dos lados de um triângulo equilátero. a6 5 r 3

2

r

a6

r

, pois cos 30º 5

3 5 a6 ⇒ 2a 5 r 3 ⇒ a 5 r 3 . 6 6 2 r 2

Observação: nas igualdades ,6 5 r e a6 5 r 3 , dizemos que os valores ,6 e a6 estão 2 escritos em função de r.

,6

Quadrado e triângulo equilátero

Para praticar:

Da mesma forma como foi feito para o hexágono regular, podemos expressar os valores de ,4 e a4, para o quadrado, e de ,3 e a3, para o triângulo equilátero, em função de r (medida do raio da circunferência em que esses polígonos estão inscritos). As relações obtidas aparecem abaixo e serão demonstradas nos exercícios a seguir.

Tratamento da informação (p. 42 a 44) Outros contextos (p. 45 a 48) Praticando um pouco mais (p. 49 a 51) Revisão cumulativa (p. 52 e 53)

Quadrado

r

a4

,4

Triângulo equilátero

,4 5 r 2

a4 5

,4 5 r 2 2 2

a3

,3

r

,3 5 r 3 a3 5

r 2

Reforce para os alunos que não há necessidade de decorar essas fórmulas. Quando necessitarem delas poderão obtê-las como simples aplicações do teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas. 38

Trigonometria

Para construir: Exercícios 61 a 67 (p. 39 a 41)

Exercícios

61.

Demonstre as relações dadas para as medidas do lado e do apótema em função de r em um quadrado e em um triângulo equilátero inscritos em uma circunferência de raio r. Triângulo equilátero:

Quadrado:

r

a

45

a

a

( )

2 5r ⇒a 1a 5r ⇒a 5 r ⇒a5 2

2

2

2

2

2

, 2

,

sen 30º 5 1 5 a ⇒ 2a 5 r ⇒ a 5 r 2 r 2

, 5a 2 2

r 30o

, 2

,

a 1 , 2

60o

r 45o

2

r

a

o

cos 30º 5

r 5 r 2 2 2

, 3 5 2 2 r

⇒ 2 ? , 5r 3 ⇒ ,5 r 3 2

, 5 r 2 ⇒,5 r 2 2 2

Complete estas tabelas. Use as relações estudadas anteriormente. Quadrado

Triângulo equilátero ,

r

a

10 3

10

5

10

10 3 3 20

20 3

,

r

a

10 2

10

5 2

5 3 3

10

5 2

5

10

20

10 2

10

Hexágono regular ,

r

a

10

5 3

10

10

5 3

20 3 3

20 3 3

10

10

MATEMÁTICA

62.

Trigonometria

39

63.

Veja como as relações estudadas facilitam os cálculos determinando as medidas pedidas abaixo. a) a3 e ,3 de um triângulo equilátero de medida de raio r 5 16 centímetros. a3 5 16 ⇒ a3 5 8 cm 2 ,3 5 16 3 cm

b) r e ,6 de um hexágono regular de apótema com medida a6 5 12 decímetros. a 5 r 3 ⇒ 12 5 r 3 ⇒ r 3 5 24 ⇒ 2 2 3 24 ⇒ r 5 8 3 dm ⇒ r5 ? 3 3 ,6 5 8 3 dm

c) a4 e r de um quadrado com lado medindo ,4 5 18 centímetros. a4 5 18 ⇒ a4 5 9 cm 2 18 5 r 2 ⇒ r 5 18 5 18 2 2 2 ⇒ r 5 9 2 cm

64.

⇒

Use a tabela de razões trigonométricas e calcule os valores aproximados das medidas do apótema e do lado de um polígono regular de 9 lados inscrito em uma circunferência com raio que mede 10 centímetros.

o a 20 r 5 10

, 2

65.

360 ; 9 5 40 40 ; 2 5 20 cos 20º 5 0,94 5 a ⇒ a 5 9,4 cm 10 , 2 sen 20º 5 0,342 5 ⇒ , 5 6,84 cm 10

Na figura a seguir, temos um quadrado circunscrito a uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. Se o lado do triângulo tem 6 3 centímetros, quanto mede o lado do quadrado? r 30o 3 3

3 5 3 3 ⇒r56 2 r O lado do quadrado circunscrito mede o dobro da medida do raio: 2 ? 6 cm 5 12 cm.

cos 30º 5

40

Trigonometria

66.

Em um octógono regular inscrito em uma circunferência de centro O, um dos lados é PQ , e OA é um apótema, para A [ PQ . a) Qual é a medida de cada ângulo interno desse polígono? Si 5 (8 2 2) ? 180º 5 1 080º 1 080º ; 8 5 135º O

P A

Q

µ . µ , OAQ µ e AOP µ , PQO b) Calcule as medidas dos ângulos POQ µ o POQ : 360 5 45º 8 µ OAQ : 90º o µ : 180o 2 45o PQO 5 135 5 67,5º ou 67º 309 2 2

µ 45o 5 22,5º ou 22º 309 AOP 2

c) Use a tabela de razões trigonométricas da página 22 e determine as medidas aproximadas do lado e do apótema quando o raio mede 10 centímetros. , sen 22,5º . 0,38 . 2 ⇒ , . 3,8 ⇒ , . 7,6 cm 10 2 cos 22,5º . 0,92 . a ⇒ a . 9,2 cm 10

d) Determine a medida do raio quando o lado mede 20 centímetros. sen 22,5º . 0,38 5 10 ⇒ r 5 10 ; 0,38 . 26,3; 26,3 cm r

67.

Projeto em equipe: trabalhando com a Trigonometria Reúna-se com seus colegas e: • Pesquisem mais sobre a história da Trigonometria. Com essa pesquisa, é possível descobrir novos fatos interessantes. • Usem a Trigonometria para resolver algum problema de ordem prática, como medir a altura de uma árvore bem alta nas proximidades de sua escola.

Para aprimorar:

Raciocínio lógico

Raciocínio lógico (abaixo)

Uma folha de papel quadrada é cortada ao meio. Cada região retangular resultante tem perímetro de 12 centímetros. Qual é a área da região quadrada original? MATEMÁTICA

O perímetro da região retangular cortada é igual a 3 vezes a medida do lado da folha quadrada. Assim, o lado da folha quadrada mede 4 cm e sua área é de 16 cm2.

Trigonometria

41

Tratamento da informação 68.

Pecuária no Brasil e no mundo O Brasil é um dos países que mais se destacam na pecuária. Segundo dados do USDA (sigla em inglês para Departamento de Agricultura dos Estados Unidos), em 2012 o país possuía o segundo maior rebanho de gado bovino do mundo, com 197,5 milhões de cabeças de gado, atrás apenas da Índia, que apresentava um rebanho de 323,7 milhões de cabeças. Na pecuária de corte (para produção de carne, aproveitando-se também outras partes do boi, como o couro), o Brasil também ganha destaque na economia mundial. Em 2012, era o segundo maior produtor de carne bovina do mundo (9,2 milhões de toneladas), antecedido pelos Estados Unidos, que lideravam a produção com 11,7 milhões de toneladas. A pecuária leiteira (destinada à produção de leite e derivados) é bastante desenvolvida, colocando o Brasil entre os dez maiores produtores mundiais em 2012, como mostra a tabela abaixo.

Luis Salvatore/Pulsar Imagens

Gado para produção de leite.

Principais países produtores de leite no mundo em 2012 Posição no ranking

País

Quantidade produzida (em toneladas)

Porcentagem do total

1o

Estados Unidos

90 865 000

14,6%

2o

Índia

54 000 000

8,7%

3o

China

37 767 991

6,1%

4o

Brasil

32 304 421

5,2%

5o

Rússia

31 576 047

5,1%

6o

Alemanha

30 506 929

4,9%

7o

França

23 983 197

3,9%

8o

Nova Zelândia

20 053 000

3,2%

9o

Turquia

15 977 837

2,6%

10o

Reino Unido

15 884 000

2,2%

Total dos países selecionados

352 918 422

56,6%

Total mundial

620 361 802

100%

Fonte: DairyCo. Disponível em: . Acesso em: 12 mar. 2016.

42

Trigonometria

Veja, agora, na tabela abaixo, como evoluiu a produção de leite no Brasil de 1997 a 2012. Produção de leite, vacas ordenhadas e produtividade animal no Brasil – 1997 a 2012 Ano

Quantidade de leite produzida (em litros)

Vacas ordenhadas

Produtividade anual (em litros por vaca)

1997

18 666 000

17 048

1 095

1998

18 694 000

17 281

1 082

1999

19 070 000

17 396

1 096

2000

19 767 000

17 885

1 105

2001

20 510 000

18 194

1 127

2002

21 643 000

18 793

1 152

2003

22 254 000

19 256

1 156

2004

23 475 000

20 023

1 172

2005

24 621 000

20 820

1 183

2006

25 398 000

20 943

1 213

2007

26 134 000

21 122

1 237

2008

27 585 000

21 599

1 277

2009

29 105 000

22 435

1 297

2010

30 715 000

22 924

1 340

2011

32 091 000

23 227

1 381

2012

32 304 000

22 803

1 416

Fonte: IBGE e SEAB/DERAL. Disponível em: . Acesso em: 12 mar. 2016.

Considerando o texto e os dados das tabelas da página anterior e acima, faça o que se pede a seguir. Use calculadora quando necessário. Rogério Reis/Pulsar Imagens a) Em 2012, quantas cabeças de gado a Índia possuía a mais do que o Brasil? 323,7 2 197,5 5 126,2. Portanto, a Índia possuía 126,2 milhões de cabeças de gado a mais do que o Brasil.

b) Sabendo que a população brasileira em 2012 era de 199 242 462 habitantes, se fosse distribuída toda a carne produzida no país nesse ano para toda a população, qual seria a quantidade aproximada de carne, em média, para cada pessoa? 9 200 000 toneladas: 199 242 462 pessoas . 0,04617 toneladas/pessoa → → 46,17 kg/pessoa.

Média:

Ordenha mecânica de vacas.

27 585 000 1 29 105 000 1 30 715 000 1 32 0 9 1 000 1 32 304 000 5 30 360 000 5

Mediana: 30 715 000 litros (produção de 2010). Não existe moda.

Média: 30 360 000 litros; mediana: 30 715 000 litros (produção de 2010); não existe moda para essa amostra estatística.

d) Qual é a porcentagem aproximada de vacas ordenhadas em 2012 em relação ao rebanho total do Brasil nesse ano? 22 803 em 197 500 000 → aproximadamente 0,012%.

Trigonometria

43

MATEMÁTICA

c) Qual é a média anual de litros de leite produzidos no Brasil de 2008 a 2012? Qual é a mediana? Qual é a moda?

e) Construa um gráfico de barras sobre a quantidade de leite produzida (em toneladas) pelos 10 principais produtores mundiais em 2012.

Quantidade de leite produzida pelos 10 principais produtores mundiais em 2012 Quantidade de leite produzida (em toneladas) 100 000 000 80 000 000

90 865 000 54 000 000 37 767 991

23 983 197 31 576 047 32 304 421 20 053 000 30 506 929

60 000 000

15 884 000

15 977 837

40 000 000 20 000 000

País 0

Estados Unidos

Índia

China

Brasil

Rússia Alemanha França

Nova Turquia Zelândia

Reino Unido Dados coletados na questão.

f ) Elabore um gráfico de setores com as porcentagens dos 10 maiores produtores mundiais de leite de 2012 em relação à produção mundial total. Utilize “Outros” para os países que não foram selecionados para compor a tabela. Porcentagem dos 10 maiores produtores mundiais de leite em 2012 em relação à produção mundial total Estados Unidos – 14,6% Índia – 8,7% Outros – 43,5%

China – 6,1% Brasil – 5,2% Rússia – 5,1% Alemanha – 4,9%

Reino Unido – 2,2% Turquia – 2,6%

França – 3,9%

Nova Zelândia – 3,2% Dados coletados na questão.

g) Construa um gráfico de segmentos sobre a produtividade de leite anual brasileira (em litros por vaca) de 2001 a 2012. Produtividade anual brasileira de leite de 2011 a 2012 Produtividade anual (litros por vaca) 1 450

1 416

1 400

1 381

1 350 1 297

1 300 1 250

1 213

1 200 1 150 1 100

1 340

1 277 1 152

1 156 1 172

1 237

1 183

1 127

1 050 1 000

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

2011

2012

Ano

Dados coletados na questão.

44

Trigonometria

Outros contextos A formiga e as varetas A distância entre duas varetas fincadas verticalmente em um terreno é de 70 centímetros. Uma dessas varetas mede 10 centímetros e a outra mede 4 centímetros. Uma formiga está situada no ponto P e vê as duas varetas com a mesma altura por conta de uma ilusão de óptica. C D

10 cm

4 cm A

P

B

70 cm

Observação: dois objetos aparentam ter o mesmo formato (altura) para certo observador quando os ângulos de visão desse observador são iguais para ambos os objetos. a) Qual é a distância entre a formiga e a vareta menor? Fazendo AP 5 x, temos PB 5 70 2 x. µ são iguais, então as suas tangentes são iguais. µ e BPD Como os ângulos APC

4 µ 5 tg BPD µ ⇒ 10 5 tg APC ⇒ 10 ? (70 2 x) 5 4x ⇒ 700 2 10x 5 4x ⇒ 14x 5 700 ⇒ x 5 50 x 70 2 x Se x 5 50 cm, a distância entre a formiga (P) e a vareta menor (B) é dada por: 70 2 50 5 20 Ou seja, PB 5 20 cm.

b) Existe outro ponto sobre a reta AB em que ocorre esse mesmo fenômeno. Localize esse ponto no desenho. Depois, determine sua distância em relação à vareta maior. Esse ponto se encontra na reta AB, à direita do ponto B. Seja Q esse ponto e x a distância dele ao ponto B. Como o ângulo de visão é o mesmo, temos a seguinte figura: C D

10 cm

4 cm A

P

B

x

Q

70 cm

10 4 5 ⇒ 4 ? (70 1 x) 5 10x ⇒ 280 1 4x 5 10x ⇒ 6x 5 280 ⇒ x 70 1 x ⇒ x 5 46,66 Arredondando, temos x 5 46,7 cm. Assim, a distância do ponto Q à vareta maior é de 46,7 cm 1 70 cm 5 116,7 cm.

MATEMÁTICA

69.

Trigonometria

45

70.

Fabian von Poser/Easypix Brasil

A bandeira de Israel Israel é um país situado no continente asiático, no Oriente Médio. A bandeira desse país foi oficialmente adotada em 28 de outubro de 1948, cinco meses após a formação do Estado de Israel (14 de maio de 1948). No centro da bandeira, em um fundo branco e entre duas faixas azuis, está um hexagrama, figura também conhecida como Estrela de Davi. O hexagrama é uma figura geométrica que lembra uma estrela de seis pontas. Observe, nas figuras a seguir, que a Estrela de Davi é formada a partir de um triângulo equilátero. Com esse triângulo original, construímos outro triângulo, congruente ao primeiro. Para obter o segundo triângulo, aplicamos uma reflexão ou uma rotação. Logo em seguida, sobrepomos os triângulos, obtendo o hexagrama. Triângulo original

Bandeira de Israel.

Triângulo após reflexão ou rotação

Triângulos sobrepostos formando hexagrama

Observe que as pontas do hexagrama correspondem aos vértices de seis triângulos equiláteros e que, no interior, há um hexágono regular. Se o apótema desse hexágono regular mede 5 3 centímetros, qual é o perímetro (externo) do hexagrama? Usando relações trigonométricas: a 5 , 3 ⇒ 5 3 5 , 3 ⇒ , 5 10 2 2 Como o hexagrama tem 12 lados congruentes, temos: 12 ? 10 5 120. Ou, aplicando o teorema de Pitágoras:

,

( )

2

5 3

,

46

Trigonometria

2 ,2 5 , 1 (5 3 ) ⇒ , 5 10 2 12 ? 10 5 120 Perímetro do hexagrama: 120 cm.

Aterrissagem de aviões Um avião se encontra em voo a 1 200 metros de altitude (em relação ao ponto O), próximo ao aeroporto, e se prepara para aterrissar. Na descida em linha reta em direção à pista de pouso, ele forma um ângulo de descida de 30º em relação à linha do horizonte artificial, como mostra a figura. Casa de Tipos/ Arquivo da editora

71.

30º 1 200 m

P

O

a) Qual é a distância entre o avião e o início da pista de pouso (ponto P)?

30o

cos 60º 5 1 200 ⇒ 1 5 1 200 ⇒ x 5 2 400 m x 2 x

x

P

1 200 m

y

O

b) Qual é a distância entre o ponto O e o início da pista de pouso? sen 60º 5

y 3 5 ⇒ y 5 1 200 3 m 2 2 400

O terreno de seu Antônio Seu Antônio tem um terreno cujo desenho aparece abaixo, com algumas medidas indicadas.

32,8 m 40º

MATEMÁTICA

72.

y ⇒ 2 400

Ele pretende anexar mais uma parte a esse terreno, conforme indicado abaixo. 15º

32,8 m

40º

Trigonometria

47

Quanto seu Antônio vai pagar pela parte a ser anexada, se o metro quadrado está sendo vendido a R$ 180,00? Use calculadora e as razões trigonométricas indicadas abaixo. Registre os cálculos com duas casas decimais.

E

sen 15º 5 0,26

sen 40º 5 0,64

sen 55º 5 0,82

cos 15º 5 0,97

cos 40º 5 0,77

cos 55º 5 0,57

tg 15º 5 0,27

tg 40º 5 0,84

tg 55º 5 1,43

A

B

Para encontrar a área do DEAD, precisamos determinar a medida da base (EA), pois conhecemos a medida da altura (EF 5 32,8 m). No DEFD, retângulo em F, temos:

40o

32,8 m 32,8 m 15o D

40o

F

C

sen 55º 5 EF ⇒ 0, 82 = ED No DEAD, temos: EA ED = ⇒ sen 15o sen 40o Área do DEAD 5

32, 8 ⇒ ED = 40 ED

EA = 40 ⇒ EA = 16, 25 0,64 0,26

16, 25 ? 32, 8 2

5266, 5 m2

266,5 ? R$ 180,00 5 R$ 47 970,00

73.

Experimento de Física Luís Paulo, um jovem estudante de Física, decidiu fazer um experimento e, para isso, construiu uma maquete formada por um triângulo retângulo e um quarto de circunferência, como mostra a figura a seguir. O principal objetivo desse experimento era avaliar o impulso que deve ser dado à bola no ponto de partida P para que ela inicie o movimento sobre o arco de circunferência com velocidade praticamente nula, ou seja, em queda livre. Entre outros cálculos, Luís Paulo pretendia, também, avaliar a velocidade média da bola durante o percurso PQT e, para tanto, necessitava calcular a distância a ser percorrida pela bola. Calcule essa distância. Adote p 5 3,14. A medida da hipotenusa PQ do triângulo:

Q

4 4 cos 30o = 4 ⇒ PQ = = = 4, 62 PQ 0, 866 cos 30o h 30º T

4,0 m

P

O arco de circunferência QT é a quarta parte de uma circunferência cujo raio r é igual à altura h do triângulo retângulo. Calculando h (ou r):

tg 30o 5 h ⇒ h 5 4 ? tg 30 ° 5 4 ? 0, 577 5 2, 31 4 Então, o comprimento do arco QT é igual a: 2?π?r 2 ? 3, 14 ? 2, 31 5 5 3, 63 4 4 Logo, a distância percorrida pela bola do ponto de partida P ao ponto T é igual a: PQ 1 comp. arco (QT) 5 4,62 m 1 3,63 m 5 8,25 m.

48

Trigonometria

Praticando um pouco mais 1.

(UFSM-RS) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de: a) 2 km. b) 3 km. sen 30º 5 x ⇒ 1 5 x ⇒ x 5 4 X c) 4 km. 2 8 8 d) 5 km. e) 6 km.

x

30º

(Unifor-CE – Adaptada) O Edifício Joelma tornou-se conhecido nacional e internacionalmente quando, em fevereiro de 1974, um incêndio provocou a morte de 188 pessoas. Foi inaugurado em 1971 e continha vinte e cinco andares, sendo dez de garagens. Hoje é denominado Edifício Praça da Bandeira. Suponha que cada andar tem 2 metros de altura e um carro de bombeiro tenha se posicionado em frente ao prédio incendiado. Se a inclinação máxima da escada é 45º e o seu tamanho máximo é 60 m, qual será o último

Ilustrações: Casa de Tipos/Arquivo da editora

2.

8 km

andar atendido pela escada? Considere 2 . 1,4. a) 5o andar b) c) d) X e)

3.

7o andar 8o andar 15o andar 22o andar

(UEL-PR) Um engenheiro fez um projeto para a construção de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a construção, foi necessária a utilização de rampas para transporte de material do chão do andar térreo até os andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de comprimento, fazendo ângulo de 30º com o plano horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira transportará material, no máximo, até o piso do: a) 2o andar.

X b)

3o andar.

c) 4o andar. d) 5o andar. e) 6o andar.

4.

(PUCC-SP) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y

T

a) 30 m b) 32 m X c)

34 m

d) 36 m

60º A

30º X

Y

e) 38 m Trigonometria

49

MATEMÁTICA

sob ângulos de 30º e 60º com a horizontal, como mostra a figura ao lado. Se a distância entre os observadores é de 40 m, qual é aproximadamente a altura da torre? (Se necessário, utilize 2 5 1,4 e 3 5 1,7 .)

5.

(Fuvest-SP) Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo a com a reta s. t

a

P

s

Q

Se PQ 5 2R, então cos a vale:

X

6.

a)

2 . 6

b)

2 . 3

c)

2 . 2

d)

2 2 . 3

e)

3 2 . 5

(Furg-RS) Na figura abaixo, as retas r e s representam duas estradas que se cruzam em C, segundo um ângulo de 30º. Um automóvel estacionado em A dista 80 m de um outro estacionado em B. r

B

C

s

A

ö é 90º, a distância mínima que o automóvel em A deve percorrer até atingir o ponto B seguindo por s e r é: Sabendo que o ângulo BAC a) 80 m. b) 160 m. c) 80 ( 1 1 3 ) m. X d)

80 (2 1 3 ) m.

e) 240 3 m.

7.

50

(Mack-SP – Adaptada) Num retângulo de lados 1 cm e 3 cm, o seno do menor ângulo formado por uma diagonal e a base é: a)

4 10 . 5

b)

3 10 . 5

X c)

10 . 10

d)

10 . 3

e)

2 10 . 3

Trigonometria

8.

(Enem-Inep) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura. Considere que a base do reservatório tenha raio r 5 2 3 m e que sua lateral faça um ângulo de 60º com o solo. Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de: a) 12p m2.

X b)

108p m2.

c) (12 1 2 3 )2 p m2 . 60¼

d) 300p m2. e) (24 1 2 3 ) p m . 2

9.

2

(Unifor-CE) Na figura abaixo têm-se os triângulos retângulos ABC, BCD e BDE. E 1 cm D 1 cm C 1 cm

A

B 2 cm

Se os lados têm as medidas indicadas, então a medida do lado BE, em centímetros, é: X a) 7. b) c)

6. 5.

d) 2. e)

10.

3.

(Mack-SP) Na figura, se A 5 (m, 0); B 5 (n, 0) e C 5 (4, 0), então 3n 2 m é igual a: y

D

60º

30º A

B

C

x

15 . 2 X b) 8.

MATEMÁTICA

a)

c) 5 3 . d) 9. 25 . e) 3 Trigonometria

51

Revisão cumulativa 1.

Usando a tabela abaixo, calcule o valor de x em cada caso. Razões trigonométricas

a)

sen

cos

tg

30º

1 2

3 2

3 3

45º

2 2

2 2

1

60º

3 2

1 2

3

60º

12

x

30º

A

B

B

x56

b)

C

c)

C

A

x56

3 2

A

6 3

x

B

d)

C

30º

5 3

A

x

x 45º

B

C

x 5 10

x56

2.

O nABC é retângulo com lados de 10 cm, 24 cm e 26 cm. O nEFG tem área de 270 cm2 e é semelhante ao nABC. O perímetro do nEFG é de: X a) 90 cm. b) 135 cm. c) 40 cm. d) 120 cm.

3.

No bloco retangular da figura, a medida de FC é: F

G

E B

X

52

4m

H

A

10 m

6m

D

C

a) 2 38 cm.

c) 3 10 cm.

b) 5 4 cm.

d) 10 3 cm.

Trigonometria

µ mede: (Fuvest-SP) Os vértices de um triângulo ABC no plano cartesiano são: A(1, 0), B(0, 1) e C (0, 3 ). Então, o ângulo BAC a) 60º. b) 45º. c) 30º. d) 18º. X e) 15º.

4.

5.

Um triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência cujo comprimento mede 6p centímetros. O perímetro desse triângulo é de: a) 3 3 cm. X c) 9 3 cm. b) 6 3 cm.

d) 12 3 cm.

6.

(Unifor-CE) O numeral 5120,555... é equivalente a: 5 X a) 32. (29 ) 9 5 25 5 32 b) 16 2 . c) 2. d) e)

7.

5

2. 2.

A equação 4x2 1 bx 1 c 5 0 tem como raízes os números 25 e 2. Então, o valor de b 1 c é igual a: a) 28. 228. c) 14.

X b)

2 b 523 e c 5210 4 4

d) 214.

8.

(Vunesp) A figura abaixo representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. µ mede 30º, então a medida da extensão de cada degrau é: A Se AB 5 2 metros e BCA a) 2 3 m. 3 b)

2 m. 3

c)

3 m. 6

d)

3 m. 2

X e)

3 m. 3

C

Resolva este problema consultando a tabela de razões trigonométricas. De um ponto O, vê-se o topo de uma torre sob um ângulo de 35º. Avançando 10 metros em direção à torre, o ângulo passa a ser de 58º. Determine a altura da torre. Aproximadamente 12,4 m.

58º

35º 10 m

MATEMÁTICA

9.

B

O

Trigonometria

53

Ponto de chegada A Matemática nos textos O cálculo do raio da Terra Erastótenes, matemático grego, por volta de 240 a.C., descobriu que a Terra não era plana e calculou seu raio, ou seja, sua extensão calculada por um segmento de reta que vai do centro a qualquer ponto de uma circunferência. Ele teve acesso a documentos da biblioteca de Alexandria que diziam que em Siena, Egito, em um dos dias do ano, os objetos não produziam sombra, ou seja, naquele momento, o Sol estaria em seu auge. Porém, isso não acontecia em Alexandria no mesmo período. Foi quando suspeitou que a Terra não fosse plana. A partir disso, também conseguiu calcular o raio da Terra. Primeiro, mediu o ângulo produzido pela sombra de uma vareta enterrada no solo e concluiu que tinha 7,2º, ou 1 da circunfe50 rência. Depois, mediu a distância entre as duas cidades, aproximadamente 5 040 estádios (equivalente a 800 quilômetros). Chegou à conclusão de que o raio era de 252 mil estádios (equivalente a 40 mil quilômetros). Trabalhando com os textos

1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. O texto fala sobre o uso da Trigonometria na medição do raio da Terra e como mesmo antes de ser conhecida com tal nome já era utilizada na Grécia antiga.

2. Calcule o raio da Terra utilizando o que aprendeu neste módulo (raio da circunferência: 2pr; comprimento da circunferência da Terra: 40 mil quilômetros).

C 5 2pr → 40 000 5 2pr → r 5 r 5 5 400 km.

54

40 000 40 000 40 000 ? 7 → r 5 → r 5 2π 2 ? 22 22 2 7

( )

Verifique o que estudou • Apesar de sua grande resistência, um tronco de bambu perpendicular ao solo quebrou-se durante um vendaval, assumindo a forma mostrada na figura. Sua extremidade mais alta passou a tocar o solo, a 4 3 metros de sua raiz, formando com ele um ângulo de 60º.

Paulo Mazi/Arquivo da Editora

Calcule a altura do bambu antes de quebrar. (12 1 8 3 ) m

ATENÇÃO!

S Ar ury qu ar iv a B o da ern ed ard ito i/ ra

MATEMÁTICA

Retome os assuntos que você estudou neste módulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse com seu professor, buscando formas de reforçar seu aprendizado.

55

Quadro de ideias

Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo Gerência editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello Edição: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno e André Luiz Ramos de Oliveira (estag.) Colaboração: Anderson Félix Nunes, Elizangela Marques, Mariana Almeida

Trigonometria

Organização didática: Patrícia Montezano Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva

Introdução à Trigonometria

Edição de arte: Catherine Saori Ishihara Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Roberta Freire Lacerda (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin (tratamento de imagem) Ilustrações: Casa de Tipos, Giz de Cera, Mauro Souza, Paulo Manzi e Suryara Bernardi

Índice de subida

Relação entre seno, cosseno e tangente

Licenças e autorizações: Patrícia Eiras Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, Márcio Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Allmaps Capa: Daniel Hisashi Aoki Ilustração de capa: Roberto Weigand Projeto gráfico de miolo: Andréa Dellamagna (coord. de criação)

Razões trigonométricas

Relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência

Tangente, seno e cosseno

Editoração eletrônica: Casa de Tipos, Dito e Feito Comunicação e JS Design Comunicação Visual (guia do professor) Todos os direitos reservados por SOMOS Educação S.A. Avenida das Nações Unidas, 7221 – Pinheiros São Paulo – SP – CEP 05425-902 (0xx11) 4383-8000 © SOMOS Sistemas de Ensino S.A. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Raio, lado e apótema

Relações trigonométricas em um triângulo

Dante, Luiz Roberto Sistema de ensino ser : ensino fundamental II, 9º ano : caderno 4 : matemática : professor / Luiz Roberto Dante. -- 1. ed. -- São Paulo : Ática, 2016. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.

16-02796

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Lei dos cossenos e dos senos

2016 ISBN 978 85 08 18025-7 (AL) ISBN 978 85 08 18016-5 (PR) 1ª edição 1ª impressão

Impressão e acabamento

Uma publicação

MATEMÁTICA GUIA DO PROFESSOR Luiz Roberto Dante Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo. Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp de Rio Claro, SP. Ex-professor da rede estadual dos Ensinos Fundamental e Médio de São Paulo. Autor de vários livros, entre os quais: Formulação e resolução de problemas de Matemática: teoria e prática; Didática da Matemática na pré-escola; Projeto Ápis: Natureza e Sociedade, Linguagem e Matemática (Educação Infantil – 3 volumes); Projeto Ápis Matemática (1ºº- ao 5ºº- ano); Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único); Projeto Múltiplo – Matemática (Ensino Médio – 3 volumes).

Ensino Fundamental – 9º- ano Trigonometria – 15 aulas

Trigonometria

• •

Plano de aulas sugerido Carga semanal de aulas: 5 Número total de aulas do módulo: 15

Introdução à Trigonometria Aula 1

• •

Páginas: 3 e 4

algumas hipóteses, represente-as na lousa, para que os alunos possam validá-las ou não. Converse com a turma sobre algumas aplicações da Trigonometria em outras áreas de conhecimento, como na Engenharia Civil, Acústica, Mecânica, Eletricidade, etc. Questione os alunos se eles já viram algum profissional realizando a medida de terrenos. Em caso afirmativo, peça que descrevam o que observaram. Comente que esse profissional é chamado de engenheiro agrimensor e que o equipamento que ele utiliza é chamado de teodolito. Esclareça que a função desse instrumento é medir ângulos, tanto no plano horizontal quanto no plano vertical.

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades: 1. Faça uma pesquisa sobre um projeto que possibilite a construção de um teodolito artesanal. Anote os materiais utilizados e os passos para a construção.

TEMAS: “Ponto de partida” e “Introdução”. CONTEÚDO TRABALHADO: Introdução às ideias iniciais sobre a Trigonometria.

Resposta pessoal.

Objetivo

2. Como você estudou, Hiparco de Niceia foi um astrônomo

• Introduzir as ideias iniciais sobre Trigonometria.

da Antiguidade que muito contribuiu para a construção dos conhecimentos sobre a Trigonometria.

Estratégias Inicie a aula com o texto e as atividades da seção Ponto de partida (página 3), que tem como objetivo introduzir o estudo das razões trigonométricas a partir da aplicação na Astronomia e a relação com a semelhança de triângulos. Caso julgue conveniente, faça uma revisão sobre os casos de semelhança de triângulos destacando o caso AAA e a razão de proporcionalidade. Retome alguns exemplos em que a semelhança de triângulos é utilizada para encontrar medidas desconhecidas. Apresente os conceitos trigonométricos como a relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo e seus lados. Prossiga pedindo à turma que leia o texto da página 4. Para ampliar as discussões sobre o conteúdo, elabore alguns questionamentos, como: De que forma vocês imaginam que os conceitos trigonométricos podem ser utilizados para medir distâncias muito grandes? Após levantarem 2

Trigonometria

O astrônomo Hiparco de Niceia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado “o pai da Trigonometria”, pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em 12 livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Disponível em: . Acesso em: 9 mar. 2016.

Com base no trecho em destaque, faça uma pesquisa e responda: O que é uma tábua de cordas? Uma tábua de cordas (relação entre as medidas das cordas, arcos e ângulos de uma circunferência) é equivalente a uma tabela de senos.

Aula 2

• •

Páginas: 5 a 7

TEMA: “Índice de subida”. CONTEÚDO TRABALHADO: Índice de subida.

Objetivo

Estratégias

• •

Páginas: 8 a 10

TEMA: “As razões trigonométricas”. CONTEÚDO TRABALHADO: A ideia de tangente.

Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa. Faça uma breve avaliação dos projetos para a construção dos teodolitos artesanais que os alunos pesquisaram, considerando quantidade e tipo de materiais requeridos, facilidade na construção e eficiência. Considere todas as propostas e esclareça que, em momento oportuno, eles construirão o teodolito e farão experimentos de medições com seu uso. Em seguida, informe que iniciarão os estudos sobre razões entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo e o índice de subida. Explore as informações contidas na página 5 e peça aos alunos que observem as imagens dessa página. Questione-os em qual delas as pessoas realizam maior esforço para subir. Após os alunos exporem as opiniões, mostre que cada uma das situações retratadas pode ser representada por um modelo matemático, nesse caso, por triângulos retângulos. Peça que relacionem as ilustrações com os elementos identificados no triângulo, o percurso, a altura e o afastamento. Organize a turma em duplas e peça que façam a atividade 1 da seção Exercícios (página 5). Questione sobre o porquê de a razão assumir um valor constante. Nesse caso, é importante que os alunos verifiquem que se trata de triângulos semelhantes. Logo, a razão apresentada é de proporcionalidade. Posteriormente, consolide o conteúdo sobre índice de subida. Os alunos devem observar que, quanto maior esse índice, maior é a inclinação de uma ladeira. Por fim, solicite que façam as atividades 2 a 8 da seção Exercícios (páginas 6 e 7).

Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, apresente a ideia de tangente. Lembre os alunos de que eles aprenderam a calcular o índice de subida de uma ladeira. Nesta aula, associarão esse valor à razão trigonométrica tangente. Para explorar esse conteúdo, utilize as informações da página 8. Solicite aos alunos que observem as imagens com as duas representações de ladeira. É importante que constatem que, quanto maior o ângulo, mais íngreme é a ladeira. Aproveite para formalizar a definição de tangente de um ângulo como igual ao valor do índice de subida. Faça o questionamento proposto nessa página aos alunos: “Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual, entre duas subidas, é mais íngreme?”. Motive-os a levantar hipóteses e a compartilhar as ideias. É importante que observem que não é necessário conhecer o valor dos ângulos de subida para determinar qual subida é mais íngreme. Basta determinar qual possui o índice de subida ou tangente maior. Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 9 a 13 da seção Exercícios (páginas 9 e 10). Acompanhe-os na resolução, dando especial atenção à atividade 9, na qual será introduzida a ideia de valor de tangente associada a um valor de ângulo, e à atividade 10, que reforça a ideia de que o valor da tangente de um ângulo é calculado a partir de triângulos retângulos. Resolvidas as questões, consolide as ideias iniciais sobre tangente de um ângulo.

Para casa

Para casa

Solicite a realização da seguinte atividade: Você já ouviu a expressão “Para descer todo santo ajuda, mas para subir a coisa muda”? Considera essa afirmação verdadeira? Estabeleça uma relação com o que estudou em sala de aula sobre “índice de subida”. Espera-se que os alunos estabeleçam a relação entre o índice de subida e sua influência no esforço exercido tanto na subida quanto na descida de uma ladeira.

Objetivo

• Introduzir a ideia de tangente. Estratégias

Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Rampas são alternativas às escadas quando existem desníveis e é necessário garantir o acesso de quem tem dificuldades de locomoção. Para construí-las, é necessário consultar a norma NBR9050. Nela, a inclinação de uma rampa é definida em porcentagem. Por exemplo, uma rampa com 6% de inclinação é aquela em que o valor da altura corresponde a 6% do valor do comprimento. Trigonometria

3

MATEMÁTICA

• Definir índice de subida.

Aula 3

Sabendo que nas rampas a seguir foi adotada a inclinação de 8,33% de acordo com a norma, calcule as alturas x e y indicadas na figura.

6m

y

x 0m

1,2 0m

3,6

1,2 0m

Adaptado de: . Acesso em: 9 mar. 2016.

x ? 100 3,6 ? 8,33 3,6 5 →x5 → x ù 0,3 m 8,33 100 65

(y 2 0,3) ? 100

→ 65

100y 2 30 → 8,33

8,33 6 ? 8,33 1 30 → y5 → y ù 0,8 m 100

2. Com base no exercício anterior, responda por que a rampa

Desenhe diferentes triângulos retângulos na lousa, variando os tamanhos dos segmentos referentes ao percurso, à altura e ao afastamento. Indique pares de triângulos nos quais os alunos deverão comparar os valores do seno, do cosseno e da tangente em cada um, estabelecendo a relação dessas razões de acordo com qual apresenta a subida mais íngreme. É importante que a turma observe que, assim como a tangente de um ângulo, o seno e o cosseno desse mesmo ângulo indicam o quanto a subida é íngreme. Por fim, solicite aos alunos que façam a atividade 14 da seção Exercício (página 11). Em sala ou em casa, peça que realizem também a atividade da seção Desafio (página 11). Acompanhe a resolução, esclarecendo possíveis dúvidas.

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Calcule o valor do seno e do cosseno dos triângulos retângulos a seguir, que possuem a mesma medida de afastamento. Descreva qual é a relação dos valores que você calculou com o triângulo que possui o maior valor de índice de subida. a)

foi dividida em dois segmentos? Espera-se que os alunos concluam que a divisão em segmentos foi aplicada para diminuir o espaço ocupado pela rampa, pois, para atender a especificação da norma para construir uma rampa com inclinação de 8,33%, sendo sua altura igual a 0,8 metro, seu comprimento seria de aproximadamente 9,6 metros.

15 9

a 12

Aula 4

• •

9 3 5 5 0,6 15 5 12 4 5 5 0,8 cos a 5 15 5 9 3 5 5 0,75 tg a 5 12 4 sen a 5

Páginas: 10 e 11

TEMA: “As razões trigonométricas”. CONTEÚDO TRABALHADO: As ideias de seno e de cosseno. b)

Objetivo

• Introduzir as ideias de seno e de cosseno. Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, com base no conteúdo das páginas 10 e 11, explique que, além da tangente, outras razões trigonométricas podem ser estabelecidas em triângulos retângulos: seno e cosseno. 4

Trigonometria

13 5 b 12

5 ù 0,38 sen b 5 13 12 ù 0,92 cos b 5 13 5 ù 0,42 tg b 5 12

Comparando os dois triângulos com referência aos ângulos de mesma posição (a e b), observa-se que o triângulo com maior índice de subida possui o maior valor de seno e o menor valor de cosseno.

3 2. Encontre os valores de x e y, sabendo que sen a 5 e 5 3 tg a 5 . 4

Por fim, solicite que façam as atividades 15 a 19 da seção Exercícios (páginas 13 e 14). Se julgar necessário, organize a turma em duplas para que as discutam de forma colaborativa.

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Assista ao vídeo “A Trigonometria do triângulo – Teleaula y

40 – Matemática – Ensino Médio”, disponível em: . Depois, responda às questões. a) No vídeo, a Trigonometria foi utilizada para resolver que tipo de situação?

x

a

Para encontrar as medidas corretas em um projeto de uma peça que seria moldada em um torno.

2

x5

b) Como o personagem Freitas fez para obter o valor da tg 25?

3 5 e y5 2 2

Consultou em uma tabela trigonométrica.

• •

2. De acordo com o que você estudou, ao definirmos o seno,

Páginas: 12 a 14

o cosseno e a tangente de ângulos agudos usando semelhança de triângulos, garantimos que as relações trigonométricas dependam apenas da medida dos lados ou dos ângulos dos triângulos retângulos?

TEMA: “As razões trigonométricas”. CONTEÚDO TRABALHADO: Definição de seno, cosseno e tangente para ângulos agudos a partir da semelhança de triângulos.

Apenas da medida dos ângulos agudos (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual o ângulo é a medida de um dos ângulos agudos).

Objetivo

• Definir seno, cosseno e tangente para ângulos agudos a partir da semelhança de triângulos.

Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, com base no conteúdo da página 12, apresente as definições de seno, cosseno e tangente para ângulos agudos, usando semelhança de triângulos. Anteriormente, os alunos estabeleceram a relação entre a tangente, o seno e o cosseno de um ângulo com a inclinação de uma subida. Agora, poderão constatar que a semelhança de triângulos é que fundamenta as razões trigonométricas. É importante que os alunos observem, a partir da semelhança de triângulos, que, ao mudarmos os ângulos de um triângulo retângulo, mudam também as proporções entre as medidas de seus lados, compreendendo assim que a Trigonometria relaciona medidas de lados com medidas de ângulos.

Aula 6

• •

Páginas: 15 a 17

TEMA: “Relações entre seno, cosseno e tangente”. CONTEÚDO TRABALHADO: Relações entre seno, cosseno e tangente.

Objetivo

• Compreender as relações entre seno, cosseno e tangente. Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, explore as informações das páginas 15 e 16 para apresentar as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo. Se possível, discuta com os alunos as demonstrações apresentadas no texto. É importante que eles tenham contato com a linguagem matemática formal, bem como saibam como utilizá-la para fundamentar ou refutar hipóteses, habilidade essencial para o desenvolvimento do raciocínio lógico matemático. Trigonometria

5

MATEMÁTICA

Aula 5

Antes de apresentar as demonstrações descritas nas páginas indicadas, registre as três propriedades na lousa e motive os alunos a encontrar uma forma de demonstrá-las com base no que já conhecem. Dê dicas, caso apresentem dificuldade em iniciar as demonstrações. Essa é uma forma de incentivá-los a prosseguir e valorizar os conhecimentos já construídos. Por fim, solicite que façam as atividades 20 a 24 da seção Exercícios (páginas 16 e 17).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Explique por que os valores do seno e do cosseno de qualquer ângulo agudo estão entre 0 e 1. Porque a medida dos catetos é sempre menor do que a medida da hipotenusa.

2. Por que nas relações entre seno, cosseno e tangente que você estudou o intervalo de ângulos está definido entre 0 e 90? As relações trigonométricas estudadas têm como base triângulos retângulos cujos ângulos diferentes de 90 são agudos, por isso estão definidos nesse intervalo.

Aula 7

• •

Páginas: 18 a 21

TEMA: “Razões trigonométricas para ângulos de 30, 45 e 60”. CONTEÚDO TRABALHADO: Razões trigonométricas para ângulos de 30, 45 e 60.

Objetivo

• Definir as razões trigonométricas para ângulos de 30, 45 e 60.

Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, explore o conteúdo da página 18 para apresentar o cálculo do seno, cosseno e tangente para ângulos de 30, 45 e 60. Se possível, peça aos alunos que construam, utilizando régua e transferidor, dois triângulos semelhantes aos apresentados na página 18 e, em seguida, calculem o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 30, 45 e 60 com base na medida dos lados dos triângulos feitos. Solicite que socializem os valores encontrados e anote-os na lousa. Aproveite para orientá-los a utilizar a cal6

Trigonometria

culadora para obter os valores do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos. Faça aproximações de duas casas decimais e compare com os valores encontrados pelos alunos. Peça àqueles que obtiveram as medidas mais precisas que socializem como efetuaram as construções e os cálculos. Por fim, solicite que façam as atividades 25 a 28 da seção Exercícios (página 19). Se julgar necessário, forme duplas para discutirem-nas. Em sala ou em casa, peça que realizem também as atividades da seção Conexões (páginas 20 e 21). Para a próxima aula, solicite aos alunos que tragam o projeto discutido na segunda aula e o material para construção do teodolito artesanal. Esse instrumento será utilizado para realizar medições com base nos conhecimentos já construídos sobre as razões trigonométricas de triângulos retângulos. Organize a turma em grupos. Cada grupo terá o próprio teodolito.

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. No estudo da Trigonometria, os ângulos de 30, 45 e 60 recebem um nome especial. Qual é esse nome e por que são assim chamados? São chamados de ângulos notáveis, por aparecerem frequentemente em cálculos.

2. Retrate a situação a seguir por meio de um modelo matemático e calcule o que se pede. Duas pessoas estão medindo a altura de uma torre de transmissão. A pessoa mais próxima da base da torre está em um ponto B, a uma distância y, e forma um ângulo de 60 em relação a seu topo. A pessoa mais afastada está em um ponto A, distante a 100 metros do ponto B, e forma um ângulo de 30 em relação ao topo da torre. Com base nessas informações, calcule a altura da torre (Obs.: A altura das pessoas pode ser desprezada.).

x

60

30 A

100 m

B

y

x 5 altura da torre y 5 distância do ponto B à base da torre

 3  x x I 5   tg 30° 5 100 1y 100 1y  3  5    3 5 x II  tg 60° 5 x   y y  

()

()

De (II), temos: x 3 5 → x 5 3y y Substituindo (II) em (I), temos: 3y 3 ⇒ 5 3 100 1 y

(

⇒ 100 1 y

)

3 5 3y ⇒ 3

⇒ 100 3 1 3 ⇒

3y 5 3y ⇒ 3

nal. Reúna os grupos para a construção desse instrumento. Incentive a participação de todos. Depois, proponha a medição de objetos na sala de aula, como altura da parede, do quadro, ou leve-os ao pátio da escola para obterem a medida da altura do prédio, de árvores, torres, etc. Acompanhe as estratégias utilizadas pelos alunos para obterem as medidas. É aconselhável coletar previamente os valores reais para compará-los posteriormente com os coletados por eles. Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 29 a 40 da seção Exercícios (páginas 23 a 25). Em sala ou em casa, solicite que realizem também a atividade da seção Desafio (página 26).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

100 3 1 3 y 53 3y ⇒ 3

1. Represente com detalhes por meio de uma figura a medi-

⇒ 100 3 1 3 y 5 3 3 y ⇒ ⇒

ção que seu grupo realizou durante a aula utilizando o teodolito artesanal. Anote as medidas obtidas.

3 y 2 3 3 y 52100 3 ⇒

Resposta pessoal.

⇒ 22 3 y 52100 3 ⇒ ⇒ y5

2100 3 22 3

2. Uma pessoa quer cercar com tela o jardim da varanda

5 50m

onde mora. Calcule o perímetro do jardim para determinar a quantidade de tela a ser adquirida. (Dica: faça os cálculos utilizando somente as razões trigonométricas.)

Substituindo o valor de y em (II), temos: x 3 = → x 5 50 3 m. 50

Aula 8

• •

Páginas: 22 a 26

5m

TEMA: “A tabela das razões trigonométricas”.

37

CONTEÚDO TRABALHADO: Tabela das razões trigonométricas de ângulos de 1 a 89.

12 m

Aula 9

Objetivos

• Conhecer e saber utilizar a tabela com razões trigonométricas de ângulos de 1 a 89.

• Resolver problemas com triângulos retângulos. Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, apresente a tabela das razões trigonométricas na página 22. Oriente os alunos a calcular as razões trigonométricas utilizando a calculadora, conforme ilustração na mesma página. Anteriormente, foi solicitado aos alunos que trouxessem os materiais para a confecção de um teodolito artesa-

MATEMÁTICA

2m

• •

Páginas: 26 e 27

TEMA: “Relações trigonométricas em um triângulo qualquer”. CONTEÚDOS TRABALHADOS: Seno e cosseno de ângulos obtusos.

Objetivo

• Obter o valor do seno e do cosseno de ângulos obtusos. Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, explore as informações das Trigonometria

7

páginas 26 e 27 para discorrer sobre o cálculo de seno e cosseno de ângulos obtusos. É importante observar que a parte teórica que fundamenta as razões trigonométricas para ângulos obtusos será abordada futuramente. Nesse momento, serão apresentadas algumas propriedades para auxiliar na obtenção do valor do seno e do cosseno desses ângulos. Anote na lousa as propriedades mostradas. Ilustre-as com alguns exemplos de cálculos e oriente os alunos a utilizar a calculadora para comparar os valores obtidos. Por fim, solicite que façam as atividades 41 a 43 da seção Exercícios (página 27).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Atribua V (verdadeira) ou F (falsa) para as afirmações a seguir. Corrija as falsas. a) ( ) O sen 172 é igual ao sen 8. V

b) ( ) O cos 122 é igual ao cos 58. F. O cos 122 é igual ao – cos 58.

c) ( ) O cos 132 é igual a – cos 48. V

d) ( ) O sen 36 é igual a – cos 144. F. O sen 36 é igual ao – cos 126.

2. Dê um exemplo de ângulo obtuso para cada item a seguir. 1 a) O seno igual a . 2 b) O cosseno é igual a

1 . 2

Resposta possível: 120.

c) O cosseno é igual a 20342. Resposta possível: 110.

2 . 2

Resposta possível: 135.

Aula 10

• •

Páginas: 28 e 29 e 31 e 32

TEMA: “Relações trigonométricas em um triângulo qualquer”. CONTEÚDO TRABALHADO: Lei dos cossenos.

Objetivo

• Definir e aplicar a lei dos cossenos. 8

Trigonometria

Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, utilize o conteúdo das páginas 28 e 29 para apresentar a lei dos cossenos. Caso julgue conveniente, proponha a construção de triângulos semelhantes aos mostrados nessas páginas e oriente os alunos a efetuar cálculos utilizando a lei dos cossenos e comparando os resultados com os valores atribuídos para as medidas de seus lados e ângulos. Cite alguns exemplos de situações em que a solução só é possível por meio da lei dos cossenos. Ao propor uma situação-problema, antes de enunciar a lei dos cossenos, peça aos alunos que encontrem a solução com base no que já conhecem. É importante levá-los a avaliar criticamente os dados do problema, aliando a necessidade de novas ferramentas para solucioná-lo. Com esse raciocínio, compreenderão a Matemática como uma ciência que evoluiu da necessidade da construção de novos conhecimentos para resolver problemas do cotidiano ou de outras ciências. Por fim, solicite que façam as atividades 44 a 46 e a atividade 50 da seção Exercícios (páginas 31 e 32).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Assista ao vídeo “Demonstração da lei dos cossenos”, dis-

Resposta possível: 150.

d) O seno é igual a

Estratégias

ponível em: . Depois, responda às questões: a) Com base no vídeo, qual a importância em demonstrar a lei dos cossenos? Espera-se que os alunos observem que as demonstrações possibilitam criar generalizações e diminuir a dependência de memorização de fórmulas.

b) A demonstração que você assistiu é a mesma que explorou em aula? O que você pode concluir? Espera-se que os alunos observem que em Matemática existem diferentes maneiras de resolver determinada situação, o que dependerá da ferramenta aplicada para isso.

2. Resolva a seguinte situação-problema: Um avião foi detectado por uma torre de controle A em dois pontos, B e C. Sendo a distância AB igual a 6 quilômetros, a distância AC igual a 10 quilômetros e a m(CÂB) 5 120, represente a situação por meio de um modelo matemático e determine a distância percorrida pelo avião do ponto B ao C.

x

B

6 km

120

2. Assista ao vídeo “Teleaula – Distâncias inacessíveis – Ma-

C

temática – Aula 44”, disponível em: . Depois, responda às questões. a) De acordo com o vídeo, para que serve um teodolito?

10 km

Para medir ângulos horizontais e verticais. A

Aula 11

• •

Páginas: 29 a 34

Resposta possível: 1o-) Adotaram um ponto de referência do outro lado do rio, um cano de água, e o chamaram de Y. 2o-) O personagem Vicente se afastou do ponto onde estava o teodolito e fincou uma estaca. Esse ponto foi chamado de Z. 3o-) Os personagens mediram o ângulo formado entre os pontos Z e Y utilizando a escala horizontal do teodolito, marcaram 0 no ponto Z, giraram o equipamento até o ponto Y e obtiveram o valor da medida igual a 88. 4o-) Marcaram o local onde estava o teodolito com uma estaca e chamaram de X. Levaram o equipamento até o ponto Z e realizaram a medição do ângulo formado por X e Y. Obtiveram o valor da medida igual a 65. 5o-) Mediram a distância entre X e Z com uma trena e obtiveram o valor da medida igual a 50 metros. 6o-) Aplicaram a lei dos senos para encontrar o valor da medida da largura do rio Pinheiros naquele ponto e obtiveram aproximadamente 99 metros.

TEMA: “Relações trigonométricas em um triângulo qualquer”. CONTEÚDO TRABALHADO: Lei dos senos e outras situações envolvendo a lei dos cossenos e a lei dos senos.

Objetivos

• Definir a lei dos senos. • Conhecer outras situações que envolvem a lei dos cossenos e a lei dos senos.

Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, utilize o conteúdo das páginas 29 a 31 para apresentar a lei dos senos. Caso julgue conveniente, proponha a construção de triângulos semelhantes aos mostrados nessas páginas e oriente os alunos a efetuar cálculos utilizando a lei dos senos, comparando os resultados com os valores atribuídos para seus lados e ângulos. Desenhe no quadro, com a ajuda da turma, o triângulo descrito no exemplo b da página 30. É importante verificar se os alunos realizam corretamente a conversão de registro da linguagem matemática para a figural. Na sequência, utilize o conteúdo da página 33 para falar sobre outras aplicações das leis dos cossenos e dos senos. Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 47 a 49, a atividade 51 e as atividades 52 a 56 das seções Exercícios (páginas 32 a 34).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Pesquise ou elabore uma situação real que possa ser resolvida aplicando a lei dos senos. Justifique a escolha com cálculos. Resposta pessoal.

Y

?

88 X

Aula 12

• •

65 50 m

Z

Páginas: 34 e 35

TEMA: “Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência”. CONTEÚDO TRABALHADO: Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

Objetivo

• Usar as relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência.

Trigonometria

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MATEMÁTICA

b) Descreva, de forma resumida, os passos que os personagens seguiram para medir a largura do rio Pinheiros em um determinado ponto. Desenhe o modelo matemático utilizado pelos personagens para realizar os cálculos e informe a medida obtida.

A distância percorrida, x, pelo avião é igual a 14 quilômetros.

Estratégias

Objetivo

Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, discorra sobre as relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência com base no conteúdo da página 34. Conforme sugerido no boxe Bate-papo (página 34), forme duplas ou grupos para que analisem cada uma das afirmações relacionadas à figura do pentágono regular inscrito em uma circunferência na mesma página. Acompanhe os alunos durante as discussões, esclarecendo dúvidas. Caso necessário, revise os conceitos sobre bissetriz, mediana, triângulos isósceles, entre outros termos que aparecem nas afirmações em discussão. Se possível, faça questionamentos para se certificar de que os alunos estão compreendendo cada uma das características. É importante que eles saibam identificá-las em um polígono regular e justificá-las. Por fim, solicite que façam as atividades 57 e 58 da seção Exercícios (página 35).

• Estabelecer relação entre o valor das medidas do raio (r),

Para casa Solicite a realização da seguinte atividade: Com base no exercício 58 da página 35, preencha a tabela a seguir para os polígonos regulares indicados. Considere OH o apótema de um dos lados representado como AB . Supondo que um colega lhe entregue essa tabela preenchida, sem refazer os cálculos, como você faria para verificar se os valores estão corretos? Polígono regular

ˆB) m(AO

ˆB) m(OA

ˆB) m(HO

ˆB) m(OH

Eneágono

40

70

20

90

Dodecágono

30

75

15

90

Pentadecágono

24

78

12

90

Resposta possível: m(OHˆB), em todos os casos, deve ser igual a ˆB) devem ser complementares e a multipli90; m(OAˆB) e m(HO ˆ cação da m(AO B) pelo número de lados do polígono deve ser igual a 360.

Aula 13

• •

Páginas: 36 e 37

TEMA: “Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência”. CONTEÚDOS TRABALHADOS: Relações entre o valor das medidas do raio (r), do lado (l) e do apótema (a) de um polígono regular inscrito em uma circunferência.

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Trigonometria

do lado (l) e do apótema (a) de um polígono regular inscrito em uma circunferência.

Estratégias Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, utilize o conteúdo da página 36 para explicar como estabelecer uma relação entre o valor das medidas do raio (r), do lado (l) e do apótema (a) de um polígono regular inscrito em uma circunferência. Destaque que, ao estudar um polígono regular inscrito em uma circunferência, é possível estabelecer relações entre as medidas dos lados e do apótema desse polígono, bem como de seus ângulos. Proponha aos alunos solucionarem a situação proposta de duas maneiras diferentes, com base nos conhecimentos já construídos sobre as relações trigonométricas no triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras. Em seguida, apresente as resoluções dessa página destacando os textos nos balões de diálogo. Desafie os alunos a estabelecer relações entre os diferentes polígonos regulares. Por exemplo, eles aprenderam que em um hexágono regular a medida de seu lado é igual à do raio da circunferência em que está inscrito. Questione-os se, com base nessa constatação, podemos afirmar que em um dodecágono regular, polígono com o dobro de lados de um hexágono, a medida de seu lado é igual à metade do valor da medida do raio da circunferência em que está inscrito. Após levantarem algumas hipóteses, faça os cálculos para que constatem que essa afirmação é verdadeira. É importante motivá-los a estabelecer relações e observar regularidades entre os objetos matemáticos estudados, capacitando-os a classificá-los por meio de suas propriedades. Por fim, solicite que façam as atividades 59 e 60 da seção Exercícios (página 37).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

1. Calcule a área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio igual a 3 cm. 27 3 cm2 . 2

2. Calcule o perímetro de um hexágono regular, A, inscrito em uma circunferência de raio igual a 5 cm e de outro he-

1. Na atividade 67 da página 41, é solicitada uma pesquisa

xágono regular, B, inscrito em uma circunferência de raio igual a 3 cm. Após os cálculos, o que você pôde observar?

sobre a história da Trigonometria. Em sua opinião, no passado, quais áreas de conhecimento foram beneficiadas com essas descobertas?

Perímetro hexágono regular A 5 30 cm; perímetro hexágono regular B 5 18 cm. É possível observar que o valor da medida do lado de um hexágono regular é igual ao raio da circunferência.

• •

2. Faça uma pesquisa sobre a construção do heptadecágono. Quem foi o matemático que desenvolveu o processo exato para realizar essa tarefa com régua e compasso? Qual era o grande desafio para realizar essa construção?

Páginas: 38 a 41

TEMA: “Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência”. CONTEÚDOS TRABALHADOS: Generalizações das relações em polígonos regulares inscritos em uma circunferência com base nas medidas dos lados, do apótema e do raio: hexágono regular, quadrado e triângulo equilátero.

Objetivo

• Generalizar as relações em polígonos regulares inscritos

em uma circunferência com base nas medidas dos lados, do apótema e do raio: hexágono regular, quadrado e triângulo equilátero.

Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo eventuais dúvidas. Em seguida, utilize o conteúdo da página 38 para explicar como generalizar as relações em hexágonos regulares, quadrados e triângulos equiláteros inscritos em uma circunferência com base nas medidas dos lados, do apótema e do raio. Na aula anterior, os alunos calcularam o valor da medida dos lados, dos ângulos e do apótema de um hexágono regular, um quadrado e um triângulo equilátero em que uma dessas medidas foi fornecida. Agora, representarão a relação entre essas medidas por meio de fórmulas, criando, dessa forma, generalizações para todos os polígonos que se enquadram nessas categorias. Converse com a turma sobre a importância das generalizações como uma das competências essenciais para o raciocínio lógico matemático. Peça aos alunos que façam as atividades 61 a 67 da seção Exercícios (páginas 39 a 41). Em sala ou em casa, solicite que realizem também a atividade da seção Raciocínio lógico (página 41).

Para casa Solicite a realização das seguintes atividades:

Foi o matemático Gauss. O grande desafio era dividir a circunferência em 17 partes iguais.

Aula 15

• •

Páginas: 42 a 44

TEMA: “Tratamento da informação”. CONTEÚDOS TRABALHADOS: Interpretação de dados organizados em tabelas e construção de gráficos: barra, setor e segmento.

Objetivos

• Interpretar dados organizados em tabelas. • Construir gráficos de barras, setores e segmentos. Estratégias Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo possíveis dúvidas. Em seguida, solicite aos alunos que façam, em grupos, as atividades da seção Tratamento da informação (páginas 42 a 44). Explique que eles interpretarão dados organizados em tabelas e construirão gráficos de barras, setores e segmentos. Peça que leiam atentamente o texto da atividade 68 (página 42). Elabore questões acerca desse texto, se possível, trabalhando com o professor de Geografia sobre as implicações e o que representa para o Brasil assumir a posição de destaque na pecuária no cenário mundial. Solicite aos alunos que explorem as informações da tabela na mesma página. Incentive-os a interpretar as informações de forma crítica, por exemplo, observar que dez países são responsáveis por 56,6% da produção mundial de leite, sendo o Brasil o 4o- colocado. Prossiga a aula com a exploração da tabela da página 43 e solicite aos alunos que continuem fazendo as atividades da seção. Acompanhe o trabalho da turma durante a construção dos gráficos de barras, setores e segmentos. Caso haja sala de informática, construa os gráficos com o auxílio de um software de planilha eletrônica. Trigonometria

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MATEMÁTICA

Aula 14

Resposta pessoal.

Para casa Solicite a realização das atividades das seções Outros contextos (páginas 45 a 48), Praticando um pouco mais (páginas 49 a 51) e Revisão cumulativa (páginas 52 e 53). Se julgar necessário, acrescente as seguintes atividades:

1. Explore as informações do site IBGE Países, disponível em: . Nele, existem informações sobre todos os países do mundo agrupadas em sete temas principais: síntese, população, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente e objetivos do milênio. Faça uma tabela com as informações que chamaram sua atenção e escreva um pequeno texto interpretando seus dados. Caso seja necessário, pes-

ANOTAÇÕES

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Trigonometria

quise sobre as informações que coletou para fundamentar seu texto. Resposta pessoal.

2. Com base na tabela que você criou na atividade anterior, crie um gráfico de setor, barras ou segmentos. Resposta pessoal.

Referências bibliográficas CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. 3. ed. Lisboa: Gradiva, 2000. DIENES, Zoltán P. As seis etapas do processo de aprendizagem em Matemática. São Paulo: EPU, 1975. FLETCHER, Trevor James. Ensino moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1972. 4 v.

MATEMÁTICA

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ANOTAÇÕES

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