Matemática - Roberta - 2ª A

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MATEMÁTICA - 2ºA

Profª Roberta

ATIVIDADE 3 (2º Bimestre)

Conteúdo: Sistemas lineares

Aulas: 14

Valor: 3,0 pontos

Habilidades: Saber resolver e discutir sistemas de equações lineares; reconhecer situações-problema que envolvam sistemas de equações lineares (até a 3ª ordem), sabendo equacioná-los e resolvê-los

Procedimentos: 1- Ler o conceito, interpretar os exemplos e fazer os exercícios 2- Para auxiliar, pode assistir as videoaulas: (Aula1): https://youtu.be/E0sm1uxYWss (Aula2): https://youtu.be/9ATZyBcgq4g (Aula3): https://youtu.be/FVJfqZNPnfE (*EM LIBRAS) (Aula4): https://youtu.be/Jg6DOwmYAlM (*EM LIBRAS) (Aula5): https://youtu.be/hP59QyuhTbc (Aula6): https://youtu.be/2DWZj62nruk (Aula7): https://youtu.be/coC_a29Ma2s 3- Anexar uma foto do exercício realizado no google classroom CÓDIGO DA SALA: g5q4wnq Caso ainda tenha dificuldades para entrar no google classroom, pode enviar para o e-mail: [email protected] 4- Enviar até 28/07

Obs. - Na foto deve conter nome e número - As fotos devem estar na posição vertical e legível - Envios fora da data prevista somente com uma justificativa assinada pelo responsável

SISTEMAS LINEARES SISTEMAS DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS(2x2) Resolver um sistema de equações com duas incógnitas é determinar o par ordenado para o qual as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar os dois métodos já estudados: o método da substituição e o método da adição. MÉTODO DA SUBSTIUIÇÃO Exemplo {

x + y = 5 (I) x − y = 3(II)

Isolando o valor de x em (I): x + y = 5(I) x = 5 – y(A) Substituindo x por 5 – y em (II): x – y = 3(II) 5–y–y=3 -2y = 3 - 5 -2y = -2 y = -2/-2 y=1 Substituindo y por 1 em(A): x=5-y x=5–1 x=4 S = {(4, 1)}

MÉTODO DA ADIÇÃO Exemplo {

x + y = 9 (I) x − y = 5(II)

Adicionando as equações x + y/ = 9 + x – /y = 5 2x = 14 x = 14/2 x=7 Substituindo x por 7 em (I): x + y = 9(I) 7+y=9 y=9-7 y=2 S = {(7, 2)}

Exemplos 1- Encontre a solução do sistema. {

2x − 3y = 11 x + 2y = 2

No método da adição, para eliminar o x, devemos: 2x − 3y = 11 (I) x + 2y = 2 (II) 𝐱(−𝟐) 2x - 3y = 11 -2x - 4y = -4 + - 7y = 7 y = 7/-7 y = -1 {

Substituindo y = -1 na equação (I), temos: 2x – 3y = 11 2x – 3(-1) = 11 2x + 3 = 11 2x = 11 – 3 x = 8/2 x=4 S = {(4, -1)}

2- Certo dia, em uma mesma casa de câmbio, Sonia trocou 40 dólares e 20 euros por R$ 225,00 e Lilian trocou 50 dólares e 40 euros por R$ 336,00. Nesse dia qual foi o valor de 1 dólar e 1 euro? Sendo d = dólar e e = euro, temos: 40d + 20e = 225 (I) { 50d + 40e = 336 (II) No método da adição, para eliminar o d, devemos 40d + 20e = 225 (I) 𝐱(𝟓) { 50d + 40e = 336 (II) 𝐱(−𝟒) 200d + 100e = 1125 + -200d - 160e = -1344 -60e = -219 e =-219/-60 e = 3,65 Substituindo e = 3,65 na equação (I), temos: 40d + 20e = 225 40d + 20.3,65 = 225 40d + 73 = 225 40d = 225 – 73 d = 152/40 d = 3,80 Resposta: Nesse dia o valor do euro foi R$ 3,65 e o valor do dólar foi R$ 3,80.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES COM TRÊS INCÓGNITAS(3x3) Observe a seguinte situação-problema: Um revendedor tem em sua loja cem automóveis de três tipos: simples, de luxo e executivo. A soma do número de carros de luxo com o dobro do número de carros executivos é 40; o triplo do número de carros executivos dá 30. Quantos carros há de cada tipo? A questão acima pode ser representada num sistema linear, onde x é o número de carros simples, y é o número de carros de luxo e z indica o total de carros executivos: x + y + z = 100 (I) { y + 2z = 40 (II) 3z = 30 (III) Observando o sistema, podemos concluir que a resolução mais simples consiste em: Achar o valor de z em (III) 3z = 30 z = 30/3 z = 10 Substituir o valor de z encontrado em (II) para achar y y + 2z = 40 y + 2.10 = 40 y = 40 – 20 y = 20 Substituir os valores de y e z em (I) para encontrar o valor de x x + y + z = 100 x + 20 + 10 = 100 x = 100 – 20 – 10 x = 70 Logo, o número de carros simples(x) é 70, o de carros de luxo(y) é 20 e o de carros executivos(z) é 10. Essa resolução simples foi possível porque a terceira equação apresentou apenas uma incógnita; a segunda duas; e a primeira, três incógnitas. Um sistema linear de equações desse tipo é chamado de escalonado. Para obtê-lo, a partir de um sistema dado, usamos o método de eliminação de Gauss, sistematizado pelo matemático alemão Karl Friedrich Gauss(1777-1855) e pelo matemático francês Camille Jordan(1838-1922). Por esse método, facilitamos a resolução de um sistema, transformando-o em outro mais simples e que seja equivalente, isto é, que possua as mesmas soluções.

RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO No sistema escalonado, devemos eliminar a primeira incógnita em todas as equações a partir da equação II; eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da equação III. E assim por diante. Para isso, podemos usar as seguintes operações: • Trocar de lugar duas equações do sistema; • Multiplicar ou dividir os dois membros de uma equação por um número diferente de zero; • Adicionar a uma equação um outra, multiplicada por um número diferente de zero. Exemplos 1- Achar o conjunto solução do sistema linear abaixo, pelo método de eliminação de Gauss: x + y + z = 33 (I) {2x + 3y − 5z = 20 (II) 3x − 3y + z = 23 (III)

Eliminamos os termos que têm a incógnita x em (I) e (II) {

x + y + z = 33 (I) 𝐱(−𝟐) 2x + 3y − 5z = 20 (II)

-2x – 2y – 2z = -66 + 2x + 3y – 5z = 20 y – 7 z = -46 (A) Eliminamos os termos que têm a incógnita x em (I) e (III): {

x + y + z = 33 (I) 𝐱(−𝟑) 3x − 3y + z = 23 (III)

-3x – 3y – 3z = -99 + 3x – 3y + z = 23 -6y – 2z = -76 (B) Eliminamos os termos que têm a incógnita y em (A) e (B): y − 7z = −46 (𝐀) 𝐱(𝟔) { −6y − 2z = −76 (𝐁) 6y – 42z = -276 + -6y – 2z = -76 -44z = -352 z = -352/-44

z=8

Substituindo z em (A): y – 7z = -46 y – 7.8 = -46 y = -46 + 56 y = 10 Logo, S = {(15, 10, 8)}

Substituindo y e z em (I): x + y + z = 33 x + 10 + 8 = 33 x = 33 – 10 – 8 x = 15

2- Examinando o anúncio abaixo, conclua o preço de cada faca, garfo e colher.

R$23,50

R$50,00

R$36,00

Denominando x = faca, y = colher e z = garfo, temos x + 2y + 3z = 23,50 (I) R$23,50 50,00 (II) { 2x + 5y + 6z =R$50,00 R$36,00 2x + 3y + 4z = 36,00 (III)

Eliminamos os termos que têm a incógnita x em (I) e (II) x + 2y + 3z = 23,50 (I) 𝐱(−𝟐) 2x + 5y + 6z = 50,00 (II) -2x – 4y – 6z = -47,00 2x + 5y + 6z = 50,00 + y = 3,00 {

Eliminamos os termos que têm a incógnita x em (I) e (III) {

x + 2y + 3z = 23,50 (I) 𝐱(−𝟐) 2x + 3y + 4z = 36,00 (III)

-2x – 4y – 6z = -47,00 + 2x + 3y + 4z = 36,00 -y - 2z = -11,00 (A) Substituindo y em (A): -y – 2z = -11,00 -3,00 – 2z = -11,00 -2z = -11,00 + 3,00 -2z = -8,00 z = -8,00/-2 z = 4,00 Logo, cada faca custa R$5,50, cada R$4,00.

Substituindo y e z em (I): x + 2y + 3z = 23,50 x + 2.3,00 + 3.4,00 = 23,50 x + 6,00 + 12,00 = 23,50 x =23,50 - 6,00 - 12,00 x = 5,50 colher R$3,00 e cada garfo

Exercícios 1- Determine o valor de x e y nos sistemas abaixo: 4x + y = 7 x+y=6 a) { b) { 3x − 2y = 13 2x − 5y = 9

2- Durante o período de exibição de um filme em uma quermesse, foram vendidos 2000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$ 7600,00. O preço do bilhete para adultos era de R$5,00 e, para criança, era de R$3,00. Qual o número de crianças e adultos nessa quermesse?

3- Determine o valor de x, y e z no sistema: x+y+z = 6 {x + 2y + 3z = 14 x − y + 2z = 5 4- (Caderno do aluno – 2º Bimestre) Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta de dois tipos de eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga: • R$ 590,00 por um forno de micro-ondas e um aspirador em pó; • R$ 1.300,00 por um forno de micro-ondas e uma geladeira; • R$ 1.250,00 por um aspirador em pó e uma geladeira. Quanto a loja está cobrando por cada tipo de aparelho?

5- (Caderno do aluno – 2º Bimestre) Um funcionário recémcontratado por uma empresa recebeu em mãos a seguinte tabela, contendo as quantidades de 3 tipos de produtos, A, B e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa, acompanhadas dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação. Quantidade Valor da transação (em mil R$) Tipo A B C Total Loja 1 3 4 -1 8 Loja 2 4 5 2 20 Loja 3 1 -2 3 6 Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto.