PARTE 05 - RENATO MADEIRA - SELEÇÃO DE QUESTÕES DE TEORIA DOS NÚMEROS - PGS 97-103

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RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 PARTE 5 – MAGISTÉRIO

SELEÇÃO DE QUESTÕES DE TEORIA DOS NÚMEROS DE PROVAS DE MAGISTÉRIO Renato de Oliveira C. Madeira madematica.blogspot.com Nesse artigo é apresentada uma seleção com 17 questões de teoria dos números extraídas de concursos de magistério do Colégio Pedro II e Institutos Federais. Essas questões também são interessantes para estudantes interessados em aprimorar suas habilidades nesse assunto. Ao final são apresentadas as respostas e a resolução de algumas questões. As resoluções da lista completa estão disponíveis no site da revista. Vamos aos enunciados das questões. 1) (CPII 2002) As senhas de um determinado banco são formadas por seis algarismos não nulos, abcdef , e por um dígito verificador X. Para acessar sua conta, um cliente deve digitar os sete algarismos. O dígito X definido como sendo o resto da divisão do número N = a bc + f de por 7. Por exemplo, na senha 165132, N é 165 + 213 = 8193, portanto o dígito X vale 3. a) Um cliente tem como senha o número 232784. Determine o dígito X para esta senha. b) Um cliente esqueceu sua senha, mas sabe que o primeiro algarismo é 7 e o sexto é 1, isto é, tem a forma 7bcde1 − X . Apesar do esquecimento, ele consegue determinar o dígito X. Qual valor ele encontrou para X? 2) (CPII 2007) Sejam m e n números naturais tais que m = 25200 e n = 3a  7b  114. Sabe-se que m e n possuem a mesma quantidade de divisores. O maior valor que o produto ab pode assumir é: a) 16 b) 10 c) 20 d) 14 3) (CPII 2007) Se p é um número natural maior que 1 e não é divisível nem por 2 e nem por 3, então o maior número pelo qual p 2 − 1 sempre será divisível por: a) 12 b) 36 c) 28 d) 6 4) (CPII 2007) No sistema binário, se multiplicarmos ( 111 )2 por ( 101 )2 , encontraremos: a) ( 10011 )2 b) ( 11011 )2 c) ( 100011 )2 d) ( 110011 )2 5) (CPII 2008) Em 1640, através de uma carta, Fermat comentou com um de seus amigos ter feito a demonstração de um resultado bastante importante para a Teoria dos Números. Porém, nunca o publicou. O mérito coube a Euler que, em 1760, conseguiu uma generalização desse teorema hoje conhecido como Pequeno Teorema de Fermat. Para fazê-la, Euler introduziu a função  conhecida como Indicador de Euler e definida para todo número natural n  1 da seguinte forma:  ( n ) é a quantidade de número naturais primos com n e menores do que n. Então, é correto afirmar que  ( 20 ) é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

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6) (CPII 2008) Se as raízes da equação quadrática x 2 − x + 23 = 0 são inteiras, então a soma dos módulos dos possíveis valores de  é igual a a) 18 b) 32 c) 36 d) 48 7) (CPII 2008) O resto da divisão do número inteiro N = ( 116 + 1717 ) a) 1 b) 4 c) 7 d) 5

21

por 8 é

8) (CPII 2013) Um número inteiro positivo n é chamado de número abundante, se e somente se, a soma de todos os seus divisores positivos, exceto o divisor trivial n, é maior que n. De acordo com esta definição, o menor valor de k em A = 2k  11, de modo que A seja classificado como um número abundante será: a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 9) (CPII 2013) Cresce a cada ano o número de alunos de 6º ao 9º anos que participam da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Por essa razão, o corpo docente dos diversos colégios está cada vez mais comprometido em criar grupos de alunos que se reúnam semanalmente com um professor para o aprofundamento de diversos conteúdos de matemática. Um exemplo de exercício proposto a um desses grupos de alunos do Colégio Pedro II foi: “Seja n um número natural livre de quadrados (que não é divisível por nenhum quadrado perfeito) e considere que n tenha r fatores primos. Então, n tem 2 r divisores.” a) Enuncie o Teorema Fundamental da Aritmética. b) Resolva o problema proposto aos alunos do Colégio Pedro II. 10) (IFF 2009) O sistema quinário ou sistema de numeração na base cinco foi amplamente usado por alguns povos e, ainda hoje, tribos da América do Sul contam com as mãos: “um, dois, três, quatro, mão, mão e um” e assim por diante. A operação ( 1443 )5  ( 213 )5 está indicada abaixo. 1443  213 10434 1443 3441

Podemos concluir que o resultado final desta conta é: a) ( 102114 )5 b) ( 302314 )5 c) ( 312414 )5 d) ( 430014 )5

e) ( 442214 )5

11) (IFAL 2010) Sabe-se que o número de 7 algarismos 21358ab, em que a é o dígito das dezenas e b das unidades, é divisível por 99. Determine a e b. a) 3 e 5 b) 1 e 7 c) 4 e 6 d) 2 e 4 e) N.D.A. 12) (IFAL 2013) Três irmãos estão iniciando um passeio de bicicleta, na mesma direção, em torno de uma praça circular. Para dar uma volta completa, um deles demora 20 segundos. O segundo, 24 segundos e o terceiro demora 27 segundos. Sabendo que eles partem juntos e combinam parar o passeio quando os três se encontrarem pela primeira vez no ponto de partida, quanto tempo depois de partirem eles se encontrarão?

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a) 120 segundos d) 1080 segundos

b) 360 segundos e) 1440 segundos

c) 540 segundos

13) (IFAL 2013) De acordo com as afirmações relacionadas aos números primos. I. Dado um número primo, existe sempre um número primo maior que ele. II. Se dois números são primos entre si, um deles é ímpar. III. Um número primo é sempre ímpar. IV. O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de um primo. V. A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três, em que três é primo. Podemos AFIRMAR que: a) Todas são verdadeiras. b) Apenas as afirmações I, II, IV e V são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I, II e III são verdadeiras. d) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. e) Apenas as afirmações I, II e V são verdadeiras. 14) (IFAL 2013) De acordo com as afirmações relacionadas abaixo: I. 34  1( mod 5 ) II. O resto da divisão de ( 297  684  128 ) por 5 é 4. III. 19  7 ( mod 2 ) IV. Dados três números naturais, seu produto é igual ao produto do seu MMC pelo seu MDC. Podemos AFIRMAR que: a) Apenas as afirmações I, II e IV são verdadeiras. b) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I, II e III são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras. 15) (IFAL 2013) Considere a sequência de afirmações. I. Se a e b são números naturais então mmc ( a;b )  mdc ( a;b ) = a  b . II. Se a e b são números inteiros com mdc ( a;b ) = 1 então mdc ( a + b;a − b ) = 1 ou 2. III. O número 165928 não é divisível por 7. IV. Se a e b são números inteiros e a = qb + r , onde q e r são números inteiros e 0  r  b , então mdc ( a;b ) = mdc ( b;r ) . V. Se n  , então n 2 + n + 41 é primo. Associando-se V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se respectivamente: a) VFVFV b) VVVFV c) VVFVF d) FVFFV e) FFFVV 16) (IFAL 2013) Considere a sequência de afirmações. I. O resto da divisão de 2015 por 31 é 2. II. Dados três números inteiros a; b; c, não nulos, então mmc ( a;b;c ) = mmc ( mmc ( a;b ) ;c ) . III. Sejam a, b e x números inteiros, não nulos, então mdc ( a;b ) = mdc ( a;b − ax ) . IV. O resto da divisão de 20162013 por 5 é 1.

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V. Seja p um número primo e a um número natural. Se p divide a, então a p −1  1( mod p ) . Associando-se V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se respectivamente: a) FVFVF b) FVVVF c) VVFVV d) VFVFV e) FFVFV 17) (CEPERJ 2010) Considere o conjunto formado pelos inteiros p para os quais p2 + 5 também é um número inteiro. O número de elementos desse conjunto é: p+2 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

A seguir, encontram-se as respostas das questões e algumas resoluções. 1) a) 5; b) 1 a) Se a senha é 232784, então a = 2, bc = 32, f = 4 e de = 78. Assim, temos: N = 232 + 478 = 232 + ( 22 )

78

= 232 + 2156

Vamos analisar o resto de N = 232 + 478 , quando dividido por 7. Devemos estudar os restos das potências de 2 na divisão por 7. 20  1 ( mod 7 ) 21  2 ( mod 7 ) 22  4 ( mod 7 )

23  1( mod 7 ) 232  ( 23 )

10

2156  ( 23 )

 22  110  22  4 ( mod 7 )

52

 152  1( mod 7 )

 N = 232 + 2156  4 + 1  5 ( mod 7 )  X = 5 b) Se a senha é 7bcde1, então a = 7 e f = 1, o que implica N = 7bc + 1de = 7bc + 1. Vamos identificar o resto de N na divisão por 7. N = 7bc + 1  0 + 1  1( mod 7 )  X = 1

2) b; 3) a; 4) c; 5) d; 6) d; 7) d 8) c Soma dos divisores naturais 2 k Se n = p11  p  p 2  k é a decomposição canônica do inteiro positivo n  1, então a soma dos divisores positivos de n é dada por: s(n) =

2 +1 − 1 p11 +1 − 1 p  2  p1 − 1 p2 − 1



k +1 − 1 p k . pk − 1

Demonstração: Basta notar que todos os divisores aparecem como termos do desenvolvimento de:

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(

s(n) = 1 + p1 + p12 +

)(

+ p11  1 + p 2 + p 22 +

)

+ p 2 2 

(

 1 + p k + p 2k +

+ p k k

)

e que cada fator é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A soma dos divisores naturais de A = 2k  11 é 2k +1 − 1 111+1 − 1 ( k +1 s( A ) =  = 2 − 1 )  12 = 12  ( 2  2k − 1 ) 2 −1 11 − 1 Para que A seja abundante, devemos ter s ( A ) − A  A  s ( A )  2A  12  ( 2  2k − 1 )  2  ( 2k  11 )  24  2k − 12  22  2k  2k  6 Logo, o menor valor de k que satisfaz a inequação e, consequentemente, que faz com que A seja abundante, é k = 3. 9) a) Teorema Fundamental da Aritmética (TFA): Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos. b) “Seja n um número natural livre de quadrados (que não é divisível por nenhum quadrado perfeito) e considere que n tenha r fatores primos. Então, n tem 2 r divisores.” Se n não é divisível por nenhum quadrado perfeito então cada fator primo aparece uma única vez na fatoração de n, ou seja, todos eles têm expoente 1. Considerando que n tem r fatores primos, então n é da forma n = p1  p2   pr . A quantidade de divisores naturais de n é d ( n ) = ( 1 + 1 )  ( 1 + 1 ) 

 ( 1 + 1 ) = 2 r.

r fatores

10) d Para fazer essa multiplicação, devemos observar que quando o resultado de uma soma for superior a 5 (na base 10) devemos retirar múltiplos de 5 até que o resultado seja um algarismo da base 5 e “vão” tantas unidades quantos forem os múltiplos de 5 retirados. 1443

 213 10434 1443 3441 ( 430014 )5

Observe as seguintes operações que foram realizadas, onde os números entre aspas representam os números resultantes do “vai” 1: 3 + 3 = 1 e “vai” 1 4 + 4 + 1 + "1" = 0 e “vão”2 4 + 4 + "2" = 0 e “vão” 2 1 + 1 + 4 + "2" = 3 e “vai” 1 3 + "1" = 4

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11) e Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é divisível por 9. Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é divisível por 11. Para que o número 21358ab seja divisível por 99, ele deve ser divisível simultaneamente por 9 e por 11. 9 | 21358ab  9 | ( 2 + 1 + 3 + 5 + 8 + a + b )  a + b + 19  0 ( mod 9 )

 a + b + 1  0 ( mod 9 ) 11 | 21358ab  11 | ( ( b + 8 + 3 + 2 ) − ( a + 5 + 1 ) )  11 | ( 7 + b − a )  b − a + 7  0 ( mod11 )  b − a  −7  4 ( mod11 ) Os números a e b são algarismo na base 10, então 0  a  9 e 0  b  9. a + b + 1  0 ( mod9 )  a + b = 8  a + b = 17 b − a  4 ( mod11 )  b − a = −7  b − a = 4 A soma a + b = 17 só ocorre para um dos números igual a 8 e outro 9, o que não é compatível com nenhuma das diferenças. Além disso, a + b e a − b têm a mesma paridade, então a única possibilidade é a + b = 8 b=6  a=2  b − a = 4 12) d; 13) b; 14) c 15) c I. Verdadeira Você pode verificar que essa propriedade é verdadeira lembrando que o mmc de dois números é obtido, a partir das suas fatorações canônicas, pelo produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes, e o mdc, pelo produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes. Assim, o produto do mmc pelo mdc terá todos os fatores de a e b, logo será igual a a  b. II. Verdadeira Vamos supor que a + b e a − b tenham um fator comum k  . Assim, a + b = n  k, n  , e a − b = m  k, m  . Somando e subtraindo as duas igualdades, temos: 2a = ( m + n )  k e 2b = ( n − m )  k. Logo, k | mdc ( 2a, 2b ) = 2  mdc ( a, b ) = 2  k = 1  k = 2, o que implica que mdc ( a + b;a − b ) = 1 ou 2. III. Falsa Um número é múltiplo de 7, se a soma de suas classes ímpares menos a soma das classes pares é múltipla de 7. A soma das classes ímpares menos a soma das classes pares do número 165928 é 928 − 165 = 763 = 7  109 que é múltiplo de 7. IV. Verdadeira Esse é o teorema que respalda o algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC). Teorema: O mdc de dois números positivos é igual ao mdc do menor e do resto da divisão desses dois números. a = b  q + r, 0  r  b  mdc ( a, b ) = mdc ( b, r ) Demonstração: Se mdc ( a, b ) = d, então d | a e d | b, donde d | ( a − qb ) , ou seja, d | r. Logo, d é divisor comum de b e r. Se c é um divisor comum de b e r, então 99

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c | ( bq + r ) , ou seja, c | a , isto é, c é divisor comum de a e b, donde c  d. Logo, mdc ( b, r ) = d. (CQD) V. Falsa Contraexemplo: n = 41  n 2 + n + 41 = 412 + 41 + 41 = 41  ( 41 + 2 ) = 41  43 que é composto. 16) b I. Falsa Como 31 é primo e 31 não é divisor de 20, então, pelo corolário do pequeno teorema de Fermat, temos: 31 | ( 2030 − 1 )  31 | ( 2015 + 1 )( 2015 − 1 )

mdc ( 2015 + 1, 2015 − 1 ) = mdc ( 2015 − 1, 2 ) = 1  31 | ( 2015 + 1 )  31 | ( 2015 − 1 )

2015 + 1  0 ( mod 31 )  2015  −1  30 ( mod 31 ) ou 2015 − 1  0 ( mod 31 )  2015  1( mod 31 )

Portanto, o resto de 2015 por 31 pode ser 1 ou 30. II. Verdadeira Seja P = mmc ( mmc ( a, b ) ,c )  mmc ( a, b ) | P  c | P a | mmc ( a, b )  mmc ( a, b ) | P  a | P b | mmc ( a, b )  mmc ( a, b ) | P  b | P Logo, P é um múltiplo comum de a, b e c. Precisamos provar que P divide qualquer múltiplo comum de a, b e c, pois isso implica que P é o mínimo múltiplo comum de a, b e c. Seja Q um múltiplo comum de a, b e c. Isso implica que Q é um múltiplo comum de a e b, então mmc ( a, b ) | Q. Isso implica que Q é um múltiplo comum de mmc ( a, b ) e c, então P = mmc ( mmc ( a, b ) ,c ) | Q. Portanto, mmc ( mmc ( a, b ) ,c ) = mmc ( a, b,c ). (CQD) III. Verdadeira A demonstração é similar à apresentada para a afirmativa IV da questão 16. IV. Verdadeira 20162013  12013  1( mod 5 ) V. Falsa p | a  a p −1  0 ( mod p ) A afirmação se aproxima do enunciado do corolário do pequeno teorema de Fermat, mas o correto seria p não divide a. 17) c

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