Livro Matemática - teoria - Parte I

SAVE OFFLINE

Matemática © 3ª Edição - 2002 R&A Editora Autor: Professor Joselias Santos da Silva Revisão: Silvio Luis Motta Editoração Eletrônica: Valquíria Farias dos Santos Capa: Studio Color Company - ( 3326.8366 Projeto Gráfico: R&A Editora

R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda Rua Sete de Abril, 230 - 11º andar - Bloco B - São Paulo - Cep.: 01044-000 Fone: (011) 3258.8153 - 3259.7703 - Fax: (011) 3214.0182

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfilmicos, fotográficos, repográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e §§ do C.P.), com pena de prisão e multa, busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 à 110 da Lei 9.610 de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais). Impresso no Brasil Printed in Brazil

R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico)

2

Matemática Concursos Públicos

MATEMÁTICA TEORIA Com mais de 500 questões resolvidas e comentadas

Joselias Santos da Silva

São Paulo

3

Matemática Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Silva, Joselias Santos da, 1957Concursos Públicos: matemática : teoria, com mais de 500 questões resolvidas e comentadas / Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos, 1999.

Bibliografia.

1. Matemática - Concursos públicos I. Título

99-2008

CDD-510.76 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Concursos públicos

4

510.76

Matemática

Índice 1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; ........................................... 7 • • • • • • • • • • •

Operações e propriedades com números inteiros ........................................... 8 Números Pares ............................................................................................. 11 Números Ímpares .......................................................................................... 11 Divisibilidade ................................................................................................. 11 Múltiplos e Divisores ...................................................................................... 14 Números Primos ........................................................................................... 14 Números Compostos: .................................................................................... 15 Máximo Divisor Comum (MDC) ..................................................................... 15 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .................................................................... 15 Números Fracionários e Decimais ................................................................ 18 Operações nas Formas Fracionárias e Decimais .......................................... 20

2. Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) ......................................................................... 32 • • • • • •

Sistema Métrico Decimal ............................................................................... 32 Medidas de Superfície (área) ........................................................................ 36 Medida de Volume ......................................................................................... 37 Medidas de Capacidade ................................................................................ 38 Medidas de Massa ........................................................................................ 39 Medidas não decimais ................................................................................... 39

3. Juros e Porcentagem ..................................................................................... 51 • • • •

Conceitos de Matemática Financeira ............................................................ 51 Regime de Capitalização ............................................................................... 53 Capitalização Simples ................................................................................... 55 Porcentagem ................................................................................................. 63

4. Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais .................................................................................. 71 • • • •

Razões e Proporções .................................................................................... 71 Série de Razões iguais ou porporções em série ........................................... 74 Razões .......................................................................................................... 76 Divisões Proporcionais .................................................................................. 76 5

Matemática • Regra de Sociedade ...................................................................................... 80 • Regra de Três Simples .................................................................................. 90 • Regra de Três Composta .............................................................................. 92 5. Sistema do 1º grau ......................................................................................... 98 6. Potenciação e Radiciação ............................................................................ 104 • Potenciação ................................................................................................. 104 • Radiciação .................................................................................................. 105 • Produtos Notáveis ....................................................................................... 105 7. Equação do 2º grau ...................................................................................... 107 • Trinômio do 2º grau ..................................................................................... 107 • Inequação do 2º grau .................................................................................. 110 8. Questões Resolvidas e Comentadas .......................................................... 117 9. Bibliografia .................................................................................................... 285

6

Matemática As quatro operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; MMC e MDC; Divisibilidade. A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números. Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos públicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que o aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos abordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau. Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,... A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamaremos de conjunto dos números naturais, então : N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... }. Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi o grande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civilizações começaram a contar seus rebanhos. A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos os pontos como na figura: ... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ... Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos inteiros positivos, negativos, não positivos e não negativos. Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí: Z = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } Representaremos por Z– o conjunto dos números não positivos. Daí : Z– = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 } Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, teremos a notação Z+. Logo : Z+ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } Obs.: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais?

7

Matemática Vamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é, Z* = Z – { 0 } = {... –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3... } Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a : Z*– = { ... , –3, –2, –1 } Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a : Z*+ = {1 , 2 , 3 , 4 , ... }

OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS A.

ADIÇÃO Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantidades representadas por dois ou mais números. Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”. Ao resultado da adição chamaremos de soma. Exemplo : Seja uma caixa A com 10 canetas Seja uma caixa B com 20 canetas Então, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B representaremos por 10 + 20 = 30. Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultado da adição de 10 canetas com 20 canetas. PROPRIEDADES Sejam os números inteiros: Então: I. a + 0 = a ( Existência do neutro). O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero). II. a + b = b + a A adição é comutativa. III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A adição é associativa. Exemplo: Uma pessoa tinha x livros. Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ? Resposta : ( x + 5 ) livros.

Exemplo: Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00, B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamento da microempresa? 8

Matemática SOLUÇÃO A adição entre 300, 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1.200,00

B.

SUBTRAÇÃO Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. Ao resultado da subtração chamaremos de diferença.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando com 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ? SOLUÇÃO A subtração entre 40 e 30 é 40 – 30 = 10 canetas perdidas. Exemplo: Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se durante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantas canetas acabou o dia ? SOLUÇÃO 50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas

C.

MULTIPLICAÇÃO Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número quantas vezes for o outro. A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. Ao resultado da multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na operação chamamos de fatores. Exemplo: a. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 b. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 c. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60

PROPRIEDADES 1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa). Exemplo: a. 2 × 3 = 3 × 2 = 6 b. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60 2. Associativa 5 × 3 × 4 × 2 = 5 × 12 × 2 = 120 9

Matemática 3. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero. 2×0=0 3×4×0=0 4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número. a×1=a 120 × 1 = 120

D.

DIVISÃO Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor) à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo divisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelo símbolo “ : ”

Exemplo Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13 produza 650. 650 = 50 x 13 1424 3 1 424 3 12 4 4 3 dividendo

quociente

divisor

PROPRIEDADES 1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número: 30 ÷ 1 = 30 27 ÷ 1 = 27 2. Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre igual a 1. 20 ÷ 20 = 1 47 ÷ 47 = 1

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.

Efetue os produtos : a. 9 × 9 = b. 9 × 98 = c. 9 × 987 = d. 9 × 9876 = e. 9 × 987.654.321 = RESPOSTA a. 81 b. 882

10

c. 8883

d. 88.884

e. 8.888.888.889.

Matemática 02.

Efetue os produtos : a. 12.345.679 × 9 = b. 12.345.679 × 18 = c. 12.345.679 × 27 = d. 12.345.679 × 45 = RESPOSTA a. 111.111.111

03.

b. 222.222.222

c. 333.333.333

d. 555.555.555

Efetue a divisão. 888.888.888 ÷ 98.765.432 RESPOSTA 9 (veja exercício 01)

NÚMEROS PARES Chamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8.

NÚMEROS ÍMPARES Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9.

DIVISIBILIDADE Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ). Exemplos: 10 , 24 , 1.208 DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3. Exemplo: a. 36 (3 + 6 = 9) b. 147 (1 + 4 + 7 = 12) DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4. Exemplo: a. 840 (40 é divisível por 4) b. 1.232 (32 é divisível por 4) c. 987.624 (24 é divisível por 4) 11

Matemática DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplo: a. 1.230 b. 1.345 DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplo: a. 324 b. 126 DIVISIBILIDADE POR 7 Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me apresentou. Exemplo: 315 é divisível por 7. Veja como verificar: 1º Sempre separe a casa das unidades. n n 31 n 5 n n 2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismo à esquerda. Logo: 31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21 3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por 7.

Exemplo: 8.638 é divisível por 7. n n 863 n 8 n n 863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847. 12

Matemática n n 84 n 7 n n 84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo 8.638 é divisível por 7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplo: a. 12.160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8. b. 23.800 é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplo: a. 297 é divisível por 9, pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9. b. 1.107 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9. c. 8.883 é divisível por 9, pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplo: a. 12.340 é divisível por 10. b. 987.650 é divisível por 10. DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplo: a. 14.927 é divisível por 11 pois, • soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11.

13

Matemática Exemplo: a. 909.293 é divisível por 11. • soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11.

MÚLTIPLOS E DIVISORES Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outro número inteiro z.

Exemplo: a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3 b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7 c. –9 é múltiplo de 3, pois –9 = 3 . (–3) d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0 Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x . 0, para qualquer número x ∈ Z. Se x , y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z , tal que x = y . z, nestas condições y e z são divisores de x.

Exemplo: a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3 . 7 b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7 . 3 c. 3 é divisor de –9, pois 9 = 3 . (-3) d. 10 é divisor de 0, pois 0 = 10 . 0 Observação: Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x. Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x. D (x) = { d ∈ Z | d divide x } M (x) = { m ∈ Z | m é múltiplo de x } Exemplo: a. D(6) = { –6 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 6 } b. D(3) = { –3 , –1 , 1 , 3 } c. M(5) = { ... –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15,...} d. M(–2) = { ... –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,.... }

NÚMEROS PRIMOS Um número inteiro x , x ≠ 1, 1, –x, x.

14

±1

é primo, se e somente se, seus únicos divisores são –

Matemática Observação: Por esta definição observe que 0 , –1 , 1, não são primos.

NÚMEROS COMPOSTOS: Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores positivos.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por MDC(x , y), é o maior elemento do conjunto D (x) I D (y). Exemplo: Sejam os inteiros 15 e 24 Então, temos: D (15) = { –15 , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , 15 } D (24) = { –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24} O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de D (15) I D (24) = { –3 , –1 , –1 , 3 }, logo: MDC (15 , 24) = 3.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um. Exemplo: 5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5 , 9) = 1

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor elemento positivo do conjunto M (x) I M (y)

Exemplo: Considere os inteiros 6, 8. M (6) = { ... –36 , –30 , –24 , –18 , –12 , –6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... } M (8) = { .... –40 , –32 , –24 , –16 , –8 , 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... } M (6) I M(8) = { .... –24 , 0 , 24 , 48 .... } O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo o MMC (6 , 8) = 24.

15

Matemática Nota importante: Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos. Sendo assim teremos: a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores expoentes b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores expoentes.

Exemplo: Considere os inteiros 40 e 72. 40 20 10 5 1

2 2 2 5

72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 72 = 2³ x 3²

40 = 2³ x 51 Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8 MMC (40, 72) = 2³ x 3² x 51 = 8 x 9 x 5 = 360

Exemplo: Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120) 72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

72 = 2³ x 3² 120 = 2³ x 31 x 51 3 1 MDC (72, 120) = 2 x 3 = 8 x 3 = 24 MMC (72, 120) = 23 x 32 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360

Exemplo: Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois de :

16

Matemática a. b. c. d. e.

16h e 24 min 7h e 48 min 140 min 126 min 8h e 24 min

SOLUÇÃO O tempo de rotação do satélite A = 42 min. O tempo de rotação do satélite B = 72 min. O tempo de rotação do satélite C = 126 min. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a: MMC (42, 72, 126) = 23 x 32 x 71 = 8 x 9 x 7 = 504 min. 42 21 7 1

2 3 7

72 2 126 2 36 2 63 3 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 42 = 21 X 31 X 71 72 = 23 X 32 126 = 21 X 32 X 71 Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente pelo mesmo meridiano. Dai, 504 min

60

24 min

8h

Resposta: 8h e 24 min. “E”

Exemplo: Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a. 1.320 b. 132 c. 120 d. 60 e. 22

17

Matemática SOLUÇÃO O primeiro dá uma volta em 132 seg. O segundo dá uma volta em 120 seg. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá em : MMC (132, 120) = 23 x 31 x 51 x 111 = 1.320 seg. 132 66 33 11 1

2 2 3 11

120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 132 = 22 x 31 x 111 120 = 23 x 31 x 51 MMC (132, 120) = 1.320 seg. 1.320 seg 120 seg

60 22 min Resposta: 22 min. “E”

(

0

NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais.

Cada pedaço representa

18

1 8

(um oitavo) da pizza.

Matemática Logo, os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza ( 3 8 da pizza). Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela (ou várias parcelas) de um todo. Seja então a fração

a . b

Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração. Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração será chamada de fração decimal, caso contrário de fração ordinária.

Exemplo: a.

1 8

fração ordinária.

4

b. 5 fração ordinária. 3

c. 10 fração decimal. 7

d. 100 fração decimal. Quando o numerador for menor que o denominador, a fração será chamada de fração própria, caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista).

Exemplo: 3 4

(própria)

4 5

(própria)

9 5

(imprópria)

10 3

(imprópria) r b

obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma q .

19

Matemática a. 10 = 3 1 3

10

3

(

Exemplo:

1

3

7

4

3

1

3

7

3

(

b. 4 = 1 4 19 4 =3 5 5

19

5

4

3

(

c.

Onde: 3

1 3

lê-se 3 inteiros e 1 terço.

1

3 4

lê-se 1 inteiro e três quartos.

3

4 5

lê-se 3 inteiros e quatro quintos.

OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Devemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depois realizar as operações necessárias.

Exemplo: a. 2 + 4 + 3 3

6

5

• Vamos achar o denominador comum: 3-6-5 2 3-3-5 3 1-1-5 5 1-1-1 MMC (3, 6, 5) = 30 Logo: 2 4 3 2 x 10 + 4 x 5 + 6 x 3 20 + 20 + 18 58 + + = = = 3 6 5 30 30 30

30:3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6 20

Matemática Logo, o resultado é 58 , que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador 30

e denominador por 2). 14 58 29 29 = =1 15 30 15 15

Exemplo: 4 3 2 3 + + − 5 7 21 15

Vamos calcular o denominador comum: 5 - 7 - 21 - 15 3 5-7-7 - 5 5 1-7-7 - 1 7 1 - 1 - 1 - 1 105 MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105 Logo: 105 : 5 = 21 105 : 7 = 15 105 :21 = 5 105 :15 = 7

⇒

4 5

21

+

3 7

+

15

2 21 5

−

3 15

=

4 x 21 + 3 x 15 + 2 x 5 − 3 x 7 = 105

=

84 + 45 + 10 − 21 118 = 105 105

7

Logo, a resposta será a fração: 118 = 1 13 105

105

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema : a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

Exemplo: 4 5 4 x 5 20 = x = 7 8 7 x 8 56

que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o

denominador por 4. 20 5 = 56 14

21

Matemática DIVISÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema: a c a d : = x b d b c

Exemplo: 2 3 2 7 14 : = x = 5 7 5 3 15

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04.

Calcule

3 4

Resposta : 05.

de 160. 3 4

x 160 = 3 x 40 = 120

3

Calcule 5 de 200. Resposta : 3 x 200 = 3 x 40 = 120 5

06.

3

Qual o valor de X para que 5 seja 60. Resposta : ∴ X=

07.

22

3 5

60 x 5 3

X = 60 ∴

X = 20 x 5

∴

X = 100

1  1  1  1  Qual o valor do produto :  1 −   1 −   1 −  L 1 −  3

a.

1 n

b.

2 n

c.

2 (n − 1) n

d.

2 n (n + 1)

e.

3 n (n + 1)

4

5

n

Matemática

08.

Solução:

1  1  1   1 −  1 −  1 −  L 1 −  5  4  3 

Calcular

2 5

de

1 2 3 4 n −1 2 = = ⋅ ⋅ L n 3 4 5 n n

Resposta: “B”

3 4

2 3

6

6

3

Resposta: = 5 ⋅ 4 = 20 simplificando por 2 temos : 20 = 10 09.

Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessa transação 15 do preço de custo; por quanto deveria vender a mercadoria para ganhar ½ do preço de custo? Solução Seja x o preço de custo. 1 5

Logo, x + x representa R$ 1.200,00 portanto, 6x representa R$ 1.200,00 5

6x

Isto é, 5 = 1.200,00 x = 200 . 5 x = R$ 1.000,00

∴ x=

1200 . ⋅5 6

1

O preço de custo é R$ 1.000.00; como quero ganhar 2 do preço de 1

custo  2

 de 1000 .  

, temos que o preço de venda será: R$ 1.000,00 + R$ 500,00

= R$ 1.500,00.

10.

(FUVEST) – Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por : 1

a. 125 b.

1 8

c. 8 d. 12,5 e. 80

23

Matemática Solução: Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso

Logo

11.

1 , 0,0125

1 = 80. Resposta : “E” 0,0125

O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a. 1 b. 3 c. 5 d. 11 e. 15 Solução: Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primos entre si, existe um fator primo comum na decomposição deles. Como x . y = 825 = 3 . 52 . 11, então, o fator primo comum só pode ser 5. Daí o MDC ( x , y ) = 5 Resposta: “C”

12.

Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída ? a. 66, 60, 55 b. 62, 58, 54 c. 60, 55, 50 d. 50, 45, 40 e. 40, 36 e 32 Solução: Corredor A - dá uma volta em 10 segundos. Corredor B - dá uma volta em 11 segundos. Corredor C - dá uma volta em 12 segundos. Dado que partiram juntos, passarão juntos em:

24

Matemática MMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos 10 5 5 5 1 1

-

11 11 11 11 11 1

- 12 2 - 6 2 - 3 3 - 1 5 - 1 11 - 1 660

Logo, em 660 seg. A - dará

660 = 66 voltas 10

B - dará

660 = 60 voltas 11

C - dará 660 = 55 voltas 12

Resposta: “A” 13.

Quantos divisores positivos possui o número 216? Solução: Vamos decompor o número 216 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 216 = 23 . 33 Para achar o número de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los (3 + 1) . (3 + 1) = 4 . 4 = 16 divisores positivos.

14.

Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balas apenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas. Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ? a. 23 b. 25 c. 28 d. 31 e. 34 25

Matemática Solução: Seja x a quantidade de balas em cada caixa. Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas. Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com: 3x + 10 – 24 = 3x – 14 Logo, 3x – 14 é igual a 61. 3x – 14 = 61 3x = 61 + 14 ∴ 3x = 75 75

x = 3 ∴ x = 25 Resposta : ”B” 15.

Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. Os 3 4 dos candidatos do primeiro concurso excedem de 560 os 2 5 dos candidatos do segundo. O número de candidatos de cada concurso é: a. 2.000 b. 1.800 c. 1.600 d. 800 e. 400 Solução: Seja x o número de candidatos em cada concurso. Logo 3 2 x− x = 560 45 54 15x − 8 x = 560 20 7x = 560 20

x=

560 ⋅ 20 7

x = 80 ⋅ 20 x = 1.600 candidatos

Resposta: “C” 16.

O salário do Sr. Agenor é 1 12 vezes o salário do Sr. Antenor. Então, o Sr. Antenor ganha que fração do salário do Sr. Agenor ? a. 1 2

b

1 3

c. 2 3

d. 5 6

26

Matemática Solução: Se o salário do Sr. Agenor é 112 vezes o salário do Sr. Antenor, então, o salário do Sr. Agenor é 3 2 do Sr. Antenor, isto é, o salário do Sr. Agenor = 3 2 salário do Sr. Antenor. Logo, o salário do Sr. Antenor = 2 3 salário do Sr. Agenor. Resposta : “C” 17.

Resolva a expressão: ( –25.308 ) + ( –9.080 ) – ( +767 ) + ( +49 ) – ( –6 ) a. 35.210 b. 15.406 c. –16.952 d. –33.578 e. –35.100 Resposta : “E”

18.

Efetuar os cálculos: ( + 57 ) . ( –722 ) : ( –19 ) a. 13.718 b. 2.166 c. 114 d. 35 e. –684 Resposta : “B”

19.

O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12, 18 e 30 são, respectivamente: a. 6 e 180 b. 1 e 30 c. 2 e 90 d. 60 e 60 e. 3 e 360 Resposta : “A”

20.

Resolver a seguinte expressão :  2 1  2 1   3 1   −  +  :  + − 1  2   4 2  3 6 

a. 3 b. 4 c.

4 11

27

Matemática d.

5 3

e.

3 16

Resposta: “A” 21.

A expressão 5  3a + 6  10

2  15 

é idêntica a :

a. a + 1 4

9

b. 15a + 2 60

15

c. 3a + 10 10

90

d. a + 1 2

3

e. 13 36

Resposta: “A” 22.

23.

Efetuar as operações : 65,90 – ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88 a. 13,83 b. 33,60 c. 37,52 d. 39,44 e. 53,28 Resposta: “B” 8 Calcular : 0,05253⋅ 10

10

a. 52,5 b. 5,25 c. 525 d. 5.250 e. 52.500 Resposta: “D”

28

Matemática 24.

Sabendo-se que A = 2x . 32 . 5 , B = 22x . 3 . 52 e que MMC ( A , B ) tem 45 divisores, o valor de x será: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Resposta : “B”

25.

O terço e a metade de um número fazem juntos 860. Qual é esse número? a. 1.002 b. 1.022 c. 1.032 d. 1.042 e. 1.052 Resposta : “C”

26.

Qual é o número cujo

1 25

aumentado de 600 dá 1.000 como soma ?

a. 100 b. 1.000 c. 10.000 d. 100.000 e. 1.000.000 Resposta : “C” 27.

Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberá de troco? a. R$ 2,28 b. R$ 7,30 c. R$ 7,72 d. R$ 9,43 e. R$ 9,72 Resposta : “C”

28.

João é 4 anos mais velho que seu irmão José. Se em 1995 José completou 22 anos, então João nasceu em: a. 1.969 b. 1.970 c. 1.973 d. 1.975 e. 1.977 Resposta : “A”

29

Matemática 29.

Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Viviane aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Viviane economizou? a. R$ 0,90 b. R$ 4,30 c. R$ 5,40 d. R$ 5,60 e. R$ 25,80 Resposta : “C”

30.

João e Maria são irmãos. Maria nasceu em 1972 e João completou 18 anos em 1995. Qual era a idade de Maria quando João nasceu ? a. 2 anos b. 3 anos c. 5 anos d. 7 anos e. 8 anos Resposta : “C”

31.

Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0,42 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberei de troco ? a. R$ 8,58 b. R$ 8,74 c. R$ 9,04 d. R$ 9,58 e. R$ 9, 74 Resposta : “B”

32.

Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. Se Antonio nasceu em 1971, quantos anos Augusto completou em 1995? a. 17 b. 19 c. 24 d. 31 e. 33 Resposta: “A”

33.

(CESGRANRIO) – Numa cidade de 248.000 habitantes, a razão entre o número de mulheres e de homens é igual a 3 5 . A diferença entre o número de homens e o número de mulheres é de: a. 62.000 b. 124.000 c. 93.000

30

Matemática d. 155.000 e. 208.000 Resposta : “A” 34.

(CESGRANRIO) – Um pequeno agricultor separou para consumo de sua família 18 de sua produção de feijão. Se ainda sobraram 112 Kg para serem vendidos, a produção, em Kg, foi de: a. 128 b. 160 c. 360 d. 784 e. 846 Resposta : “A”

35.

(CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Três ficaram com 18 25 do total e o quarto com o restante. O 1o ficou com o dobro do 3o mais 100 arrobas; o 2o, com a metade do que coube ao lo mais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e ao que comprou menos, respectivamente? a. 612 e 238 b. 612 e 105,5 c. 311 e 195,5 d. 311 e 105,5 e. 238 e 105,5 Resposta : “D”

31

Matemática Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo)

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidade padrão de comprimento chamada de metro, e seus múltiplos e submúltiplos, que são: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores.

MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. Múltiplos do metro Km - quilômetro (1000 metros) hm - hectômetro (100 metros) dam - decâmetro (10 metros) Submúltiplos do Metro dm - decímetro (0,1 metro) cm - centímetro (0,01 metro) mm - milímetro (0,001 metro) Na prática é interessante construir a escada abaixo:

32

Matemática EXEMPLOS: Completar : a. 0,1234 km = ..................... m b. 2,3456 hm = ..................... m c. 0,3678 km = ................... cm d. 789,2 m = ...................... mm e. 1.234,5 mm = ................... m f. 89.765,43 cm = .............. hm g. 765,3 dm = ..................... km h. 23 m = ............................ cm i. 23 m = ............................ hm a.

Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer três graus em nossa escada, e no sentido da direita.

Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a direita. Logo: 0,1234 km = 123,4 m. b.

Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degraus em nossa escada, e no sentido da direita.

Portanto, vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita. Logo: 2,3456 hm = 234,56 m

33

Matemática c.

Observe que vamos transforrnar km em cm, logo, vamos descer cinco degraus em nossa escada e no sentido da direita.

Portanto, vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste caso preenchemos as posições com zero quando necessário, logo: 0,3678 km = 36.780 cm d.

Observe que vamos transformar m em mm, analogamente aos itens anteriores e concluímos que 789,2 m = 789.200 mm

e.

Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir três degraus em nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda.

Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda, logo: 1.234,5 mm = 1,2345 m

34

Matemática f.

Observe que vamos transformar cm em hm, logo, vamos subir quatro degraus em nossa escada, e no sentido da esquerda, é claro.

Portanto, vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda. Logo : 89.765,43 cm = 8,976543 hm g.

é fácil verificar que: 765,3 dm = 0,07653km

h.

é fácil verificar que: 23 m = 2.300 cm

i.

é fácil verificar que: 23 m = 0,23 hm

EXERCÍCIO Calcule em metros. a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m = b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm = c. 0,045 km + 1000 m + 12.345dm = d. 0,25 hm + 200 dm + 1.000cm = e. 12,34 km + 300 m + 13.456 mm = Resposta: a. b. c. d. e.

32 m 24,7 m 2.279,5 m 55 m 12.653,456 m

35

Matemática MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA) A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos por m2. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO km2 - quilômetro quadrado (1000.000 m2) hm2 - hectômetro quadrado (10.000 m2) dam2 - decâmetro quadrado (100 m2) SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO dm2 - decímetro quadrado (0,01 m2) cm2 - centímetro quadrado (0,0001 m2) mm2 - milímetro quadrado (0,000001 m2) Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a duas casas decimais.

Exemplo: Completar: a. 0,001234 km2 = ................... m2 b. 0,002356 km2 = ................... m2 c. 0,000036 hm2 = .................. cm2 d. 0,789 m2 = ........................ mm2 e. 87.965,4 cm2 = .................. hm2 Respostas: a. b. c. d. e.

36

1.234 m2 2.356 m2 3.600 cm2 789.000 mm2 0,000879654 hm2

Matemática MEDIDA DE VOLUME A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m3. Teremos, então, múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO ( 1.000.000.000 m3 ) km3 - quilômetro cúbico 3 hm - hectômetro cúbico ( 1.000.000 m3 ) 3 dam - decâmetro cúbico ( 1.000 m3 ) SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO dm3 - decímetro cúbico (0,001 m3) cm3 - centrímetro cúbico (0,000001m3) mm3 - milímetro cúbico (0,000000001 m3) Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a três casas decimais.

EXEMPLO: Completar a. 0,000.123.4 km3 = ............................... m3 b. 0,000.234 km3 = .................................. m3 c. 0,000.000.036 hm3 = ......................... cm3 d. 0,000.789 m3 = .................................mm3 e. 879.656,4 cm3 = .................................. m3 Resposta: a. 123.400 m3 b. 234.000 m3 c. 36.000 cm3 d. 789 000 mm3 e. 0,8.796.564 m3

37

Matemática MEDIDAS DE CAPACIDADE A unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por l . Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO LITRO kl - Quilolitro (1.000 litros) hl - Hectolitro (100 litros) da l - Decalitro (10 litros) SUBMÚLTIPLOS DO LITRO dl - decilitro (0,1 do litro) - centilitro (0,01 do litro) cl m l - mililitro (0,001 do litro) Analogamente, teríamos:

Obs.: A relação entre a medida de capacidade e de volume é : 1 l = 1 dm3

Exemplo: Completar a. 2 l = ................................................... dm3 b. 3 dm3 = ................................................. l c. 3.243 l = ............................................. m3 d. 8.426,7 m3 = ...................................... dm3 e. 5.000 l = ............................................. m3 Resposta: a. b. c. d. e. 38

2 dm3 3l 3,243 m3 8,4267 dm3 5 m3

Matemática MEDIDAS DE MASSA A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g. Análogamente, temos os múltiplos e submúltiplos MÚLTIPLOS Quilograma (kg) - 1.000 g Hectograma (hg) - 100 g Decagrama (dag) - 10 g SUBMÚLTIPLOS Decigrama (dg) - 0,1 g Centigrama (cg) - 0,01 g Miligrama (mg) - 0,001 g

MEDIDAS NÃO DECIMAIS TEMPO 1 Dia = 24 Horas 1 Hora = 60 min. 1 Minuto = 60 Seg. Ano Comercial = 360 Dias Ano Civil = n° exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias) Mês Comercial = 30 Dias Mês Civil = n° exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 dias

EXEMPLO: Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60 segundos ? Solução: v = 2m/s t = 60 seg. s = v⋅ t s = 2 ⋅ 60 s = 120 m s = 12.000 cm O número de passos é 12.000 = 150 passos 80

39

Matemática EXEMPLO: Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25dam3 + 150m3 + 22.000dm3 + 3.000.000cm3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml . Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, qual o número de latas de soja que a indústria produzirá ? Solução: 0,25 dam3 = 250.000 dm3 = 250.000 l 150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000 l 22.000 dm3 = 22.000 dm3 = 22.000 l 3.000.000 cm3 = 3.000 dm3 = 3.000 l Total = 425.000 dm3 = 425.000 l 1% de perda Resta

=

4.250 l 420.750 l

Distribuímos em latas de 900 m l . Teremos: 420.750 l : 900 m l = 420.750 l : 0,9 l = 467.500 latas.

EXEMPLO: 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = Solução: 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m3

EXEMPLO: Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura, tem uma porta de 2,40 m2 de área e uma janela de 2m2 de área. Sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2, indique a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda, inclusive o teto. Solução: Dados do problema: comprimento: 0,007 km = 7 m largura: 80 dm = 8 m altura: 400 cm = 4 m Então a área total da sala, sem considerar o chão, é: 2x7x4+2x8x4+8x7= = 56 + 64 + 56 = 176 m2 Deduzindo a área da porta e janela, temos: 176 m2 – 2,40 m2 – 2 m2 = = 171,6 m2 a ser pintado. 40

Matemática O problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2 (4 m2 ), fazendo a regra de três, temos: 1 l _____ 4 m2 x l _____ 171,6 m2 x=

1716 , 4

x = 42,9 litros

EXEMPLO: Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escala em que 1 km : 300 km. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m que são necessárias para fazer tal mapa? Solução: 20 km x 15 km Mapeada a região 20 km ⋅ 15 km 300

300

que usa 0,06666 km x 0,05 km isto é: 66,666 m x 50 m Folhas de papel 5 m x 2 m Se considerarmos 5 m x 2 m, teremos: 14 x 25 = 350 folhas Se considerarmos 2 m x 5 m, teremos: 34 x 10 = 340 folhas Resposta: 340 folhas

EXEMPLO: Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60Km/h, leva: Solução: Ponte: 100m Trem: 200m v=

60.000 m 50 = m/s 3.600 s 3

s = v⋅t t=

300 ⋅ 3 50

⇒

t= ⇒

s v t=

900 50

t = 18 s

41

Matemática EXEMPLO: Se 300 cm3 de uma substância têm uma massa de 500g, quanto custarão 75 dl dessa substância, sabendo-se que é vendida R$ 25,50 o quilograma? Solução: Obs.: 1 l = l dm3 , logo: 300 cm3 = 0,3 dm3 = 0,3 l = 3d l Capacidade Massa 3 dl 0,5 kg 75 d l x kg 3 0,5 = 75 x

x = 12,5 kg Logo, o custo total será: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75

EXEMPLO: Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de : Solução: Distância percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 m Distância percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 m Distância percorrida no terceiro dia: 12.500 cm = 125 m logo: 605 m + 720 m + 125 m = 1.450 m

EXEMPLO: 1 Num mapa, cuja escala é a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular, 3.000.000 em km, a distância real.

Solução: 1 cm no mapa equivale a 3.000.000 cm na estrada logo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.000 cm na estrada. Portanto, a distância é 201.000.000 cm; transformando para km: temos 2.010 km.

42

Matemática EXEMPLO: Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte, de 729 km, em 7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média? Solução: Velocidade média =

^ distancia tempo

Velocidade média =

729 km 7,5h

Velocidade média = 97,2 km/h

EXEMPLO: Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e 12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largura de 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala é : Solução: Na planta, temos: largura: 9cm comprimento: 12cm Na construção, temos: largura: 7,5m comprimento: x Trata-se de um problema de regra de Três. largura comprimento 9 cm 12 cm 7,5 m xm x=

12 ⋅ 7,5 9

x = 10m

43

Matemática EXEMPLO: Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial ? Solução: V1 = 80 Km/h t1 = 1,5 h S1 = v1 ⋅ t1 S1 = 80 x 1,5 S1 = 120 km S2 =

3 ⋅ 120 5

S2 = 72 km V2 = 25% ⋅ 80 V2 = 20 km/h T2 =

S2 V2

⇒

T2 =

72 20

T2 = 3,6 h Logo: T2 = 3 h + 0,6 h T2 = 3 h + 0,6 x 60 min. T2 = 3h e 36 min.

EXEMPLO: Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para 2.000 litros de capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, o construtor fez o lado igual à altura planejada. Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a nova altura mede : Solução: A caixa de água planejada:

Como a capacidade era 2.000 litros Temos: capacidade = 2.000 l = 2.000 dm3 = 2 m3 capacidade = 2 m3 44

Matemática logo: capacidade =

2x ⋅ x2 = 2 m3 2x3 = 2 m3 x3 = 1 m3 x=1m Conclusão: a altura planejada era 2x, portanto:

altura planejada = 2m A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada,

logo: a capacidade é 22 ⋅ y = 2 4y = 2 y=

2 4

y = 0,5 m Obs.: Entendemos como lado, a aresta da base.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.

Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg., quantos quilômetros ele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3.600 segundos). a. 129,60 b. 130 c. 132,50 d. 135 e. 148,40 Resposta: A

02.

As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por 12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, a largura do segundo terreno é? (em metros) a. 9 b. 10 45

Matemática c. 12 d. 15 e. 18 Resposta: D 03.

(BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a. 1.320 b. 132 c. 120 d. 60 e. 22 Resposta: E

04.

O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56m de largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as árvores a mesma distância, que deve ser a maior possível. Determinar o número de pés de eucaliptos, sabendo que se planta um pé em cada canto. a. 40 b. 38 c. 35 d. 29 e. 18 Resposta: A

05.

Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64 metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento. Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terreno é: a. 3/5 b. 7/9 c. 5/7 d. 6/8 e. 4/6 Resposta: B

46

Matemática 06.

Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferíssemos, para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambas ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água contém cada vasilha? a. 30 e 6 b. 29 e 7 c. 28 e 8 d. 27 e 9 e. 31 e 5 Resposta: A

07.

Dois viajantes estão distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja de primeira classe e o outro de segunda classe, quanto deverá viajar cada um para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o preço, por km, é R$ 75.000,00 para a primeira classe e R$ 50.000,00 para a segunda classe. a. 160 km e 240 km b. 150 km e 250 km c. 140 km e 260 km d. 130 km e 270 km e. 120 km e 280 km Resposta: A

08.

Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina consumiria? a. 40 l b. 60 l c. 38 l d. 55 l e. 72 l Resposta: A

09.

Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficará cheia em : a. 18 horas b. 12 horas c. 06 horas d. 03 horas e. 08 horas Resposta: A 47

Matemática 10.

(TTN) - Uma caixa de água com capacidade de 960 litros, possue uma tubulação que a enche em 7 horas. Possue um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficará cheia? a. 16h e 8min. b. 14h e 8min. c. 16h e 28min. d. 16h e 48min. e. 14h e 48min. Resposta: D

11.

Um gramado de 720 m2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias? a. 2.160 b. 2.560 c. 2.060 d. 2.000 e. 2.560 Resposta: A

12.

(TTN) - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado composto de uma área calçada e outra não calçada, destinado aos alunos. A área calçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nos seus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área total do pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede: a. 36m b. 24m c. 18m d. 32m e. 30m Resposta: E

13.

(TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60s? a. 240 b. 180 c. 150 d. 120 e. 90 Resposta: C

48

Matemática 14.

Uma roda faz 4.590 rotações em 27 minutos. Quantas rotações fará em 2horas e 24 minutos? a. 24.480 voltas b. 28.440 voltas c. 24.840 voltas d. 24.880 voltas Resposta: A

15.

Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5 horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque? a. 3h e 54 min b. 3h e 45 min c. 4h e 53 min d. 4h e 35 min e. 5h e 34 min Resposta: B

16.

(MPU) - Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o comprimento do menor corte foi de: a. 20 metros b. 40 metros c. 30 metros d. 48 metros e. 64 metros Resposta: B

17.

(MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros são proporcionais, respectivamente, aos números 10, 6 e 2, nessas condições a medida da largura desse depósito é de: a. 8 metros b. 12 metros c. 40 metros d. 16 metros e. 24 metros Resposta: E

49

Matemática 19.

50

(TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10 km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300 metros de comprimento? a. 1min e 48seg b. 2min e 24seg c. 3min e 36seg d. 4min e 12seg e. 5min Resposta: D

Matemática Juros e Porcentagem CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1 INTRODUÇÃO O pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunos de Matemática Financeira em classe, além da necessidade de oferecer aos candidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou o nascimento desse material. Nas próximas páginas, o leitor terá a oportunidade de conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e, conseqüentemente, analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções com o decorrer do tempo.

1.2 DEFINIÇÕES JURO(J) Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um recurso financeiro, isto é, podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ou recebido) pelo uso de um recurso financeiro. Por exemplo, suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000,00 ao Banco da Praça, para pagamento de 10% de juro daqui a um mês . É evidente que o dinheiro não é nosso, porém ele está a nossa disposição e podemos fazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No fim do mês devemos devolver a quantia de R$ 1000,00 e pagar pela disponibilidade dessa quantia nesse período; este pagamento , da disponibilidade, é chamado de juro. (neste caso é R$ 100,00) CAPITAL(C) Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. No exemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00. TAXA DE JURO(i) É o valor do juro, em uma unidade de tempo, e será expresso como porcentagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidade de tempo. Sendo assim, teremos: a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro é igual a 10% do capital, por dia. b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por ano.

51

Matemática Sendo assim, teremos: J = Juro C = Capital i = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital. Daí, pela definição, temos: i =

J C

Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é o produto do capital pela taxa de juro, isto é: J = C . i MONTANTE(M) Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M, isto é: M= C+J Resumo a. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro. b. Observamos a definição taxa de juro(no singular), em uma unidade de tempo, isto é, taxa de juro é definida para uma unidade de tempo.

EXEMPLO Qual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.000,00, durante um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.? Solução: Como a taxa de juro está expressa no período anual temos: C= R$ 1.000,00 i= 25% a.a. Logo o juro em um ano será J = C.i J = 1000 . 25% J = 1000 .

25 100

J = 10 . 25 J = R$ 250,00 • montante será M=C+J M = 1.000 + 250 M = R$ 1.250,00

52

Matemática REGIME DE CAPITALIZAÇÃO Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui através de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremos dois conceitos: a. Regime de Capitalização Simples É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período.

EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples? Solução: Seja J1 o juro no fim do primeiro mês: J1 = 1.000 x 10% J1 = R$ 100,00 Seja J2 o juro no fim do segundo mês: J2 = 1.000 x 10% J2 = R$ 100,00 Seja J3 o juro no fim do terceiro mês: J3 = 1.000 x 10% J3 = R$ 100,00 Assim teremos o Juro Total (J): J = J1+J2+J3 J = 100,00 + 100,00 + 100,00 J = R$ 300,00 O montante (M) será: M = C+J M = 1.000,00 + 300,00 M = R$ 1.300,00 b. Regime de Capitalização Composta É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juros no período atual.

EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta.

53

Matemática No fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante: J1 = 1.000 x 10% J1 = R$ 100,00 M1 = R$ 1.100,00 No fim do 2º mês teremos o Juro e o Montante: J2 = 1.100 x 10% J2 = R$ 110,00 M2 = R$ 1.210,00 No fim do 3º mês teremos o Juro e o Montante: J3 = 1.210 x 10% J3 = R$ 121,00 M3 = R$ 1.331,00 FLUXO DE CAIXA É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro relativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma: a. Coloca-se na linha horizontal o período considerado b. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as saídas com setas de sentido para baixo. c. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista.

EXEMPLO Um carro, que custa RS 500.000,00 é vendido a prazo por 5 prestações mensais e iguais a R$ 120.000,00, com a primeira prestação vencendo 1 mês após a venda. No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e o valor do carro, corresponde aos juros relativos à aplicação de R$ 500.000,00, também representada no gráfico.

C = R$ 500.000,00 No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e o valor do carro, corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$ 500.000,00, também representada no gráfico

54

Matemática C = R$ 500.000,00

R$ 120.000,00

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1.

CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um prazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Conforme vimos no capítulo anterior, os juros serão iguais em todos os períodos, e, portanto, teremos:

Onde: J1 = J2 = J3 = ... = Jn = C.i daí, o Juro total nos n períodos será J = J1 + J2 + J3 + ... = Jn J = C.i + C.i + C.i + ... + C.i J = C.i.n Para o Montante teremos M = C+J M = C + C.i.n M = C.[ 1 + i . n]

EXEMPLOS Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 5% ao mês? Solução: C = R$ 2.000,00 i = 5% a.m. n = 3 meses

55

Matemática J=C.i.n J = 2.000 . 5% . 3 J = 2.000 .

5 100

.3

J = 20 . 5 . 3 J = R$ 300,00 Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples, rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada. Solução: C = R$ 500. 000,00 n = 5 meses J = R$ 10.000,00 J=C.i.n 10.000 = 500.000 . i . 5 2.500.000 . i = 10.000 i=

10.000 2.500.000 1

i = 250 = 0,004 i = 0,4% a.m. Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 5% a.m. Solução: C = R$ 100.000,00 n = 6 meses i = 5% a.m. M=C.[1+i.n] M = 100.000 . [1 + 5% . 6] M = 100.000 . [1 + 30%] M = R$ 130.000,00

2.

TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem. Assim, a taxa i1 a . n1 é proporcional à taxa i2 a . n2 se, e somente se: i1 n1 = i2 n2

56

Matemática EXEMPLO Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.? Solução: i1 n1 = i2 n2

1 i1 = 36% 12

i1 = 3% a.m.

3.

TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. Sejam: i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1 ik: a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário

 1    k

do período

.

Se i e ik são equivalentes, temos: J = C.i e J = C.ik.k

então:

ik =

i k

EXEMPLO Qual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.? ik =

i k

ik =

36% 12

∴ ik = 3% a.m.

Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.? i = ? a.s. ik =10% a.m. K = 1 semestre = 6 meses i = ik . k 57

Matemática i = 10% . 6 i = 60% a.s. Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais.

EXEMPLO Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durante o prazo de 6 meses C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m. Logo: J=1.000 . 3% . 6 J = 1.000 .

3 100

.6

J = R$ 180,00

4.

JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO) Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos a taxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques: a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o número real de dias. b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias. Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos. Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ou ordinários).

EXEMPLO Qual o juro exato de uma aplicação de R$ 365.000,00, à taxa simples de 10% a.a. durante 10 dias? Solução: C = R$ 365.000,00 i = 10% a.a. n = 10 dias

58

Matemática Taxa diária equivalente a 10% a.a. =

10% 365

a.d.

10%

J = 365.000. 365 . 10 J = 1.000 . 10% . 10 J = R$ 1.000,00

5.

VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL Chamamos de Valor Nominal de um título, ao valor dele na data de vencimento. Também é conhecido como valor face. Chamamos de Valor Atual de um título, ao valor dele em qualquer data anterior ao seu vencimento. No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor que aplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu vencimento, produzirá como montante o valor nominal do título. Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de antecipação teremos:

Dessa forma: N = V . [1 + i.n] V=

N 1+ i. n

EXEMPLO O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento ocorrerá daqui a 3 meses. Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor atual do título hoje.

59

Matemática Solução: N = R$ 1.600,00 i = 20% a.m. n = 3 meses de antecipação V=

N 1+ i. n

V=

1600 . 1 + 20%.3

V = R$ 1.000,00

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.

Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas: a. 300% a.a. b. 90% a.s. Solução: a. b.

i=

300% 12

= 25% a.m.

90

i = 6 = 15% a.m. Respostas: a. 25% a.m. b. 15% a.m. 2.

60

Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de 120% a.a.. Calcule: a. O juro obtido b. O montante Solução: C = R$ 800.000,00 i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.) n = 4 meses a. J = C.i.n J = 800.000 . 10% . 4 J = R$ 320.000,00 b. M=C+J M = 800.000 + 320.000 M = R$ 1.120.000,00 Respostas: a. J = R$ 320.000,00 b. M = R$ 1.120.000,00

Matemática 3.

Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simples utilizada é 5% a.m.? Solução: C = R$ 12.000,00 J = R$ 1.800,00 i = 5% a.m. J=C.i.n 1.800 = 12.000 . 5% . n n=

1800 . 12.000 ⋅ 5%

= 3 meses

Resposta: 3 meses 4.

Calcule a taxa de juros simples de uma aplicação, sabendo que apliquei R$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses. Solução: C = R$ 5.200, 00 M = R$ 6.448, 00 n = 4 meses J = R$ 1.248, 00 (por que ?) J=C.i.n 1.248 = 5200 . i . 4 1248 .

i = 5200 ⋅ 4 i = 0,06 i = 6% a.m. Resposta: 6% a.m. 5.

Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., a juros simples, renderá juro necessário para a formação de um montante de R$ 953.120,00? Solução: C = R$ 740.000,00 M = R$ 953.120,00 i = 3,6% a.m. J = R$ 213.120,00 (por que?) J=C.i.n 213.120 = 740.000. 3,6% . n 213 ⋅ 120

n = 740.000 ⋅ 3,6% = 8 meses Resposta: 8 meses

61

Matemática 6.

Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que prazo? Solução: C = Capital aplicado M = 3 C (por que ?) i = 8% a.m. J = 2 C (por que ?) Como: J=C.i.n 2C = C . 8% . n 8% . n = 2 n=

200 8

= 25 meses

Resposta: 25 meses 7.

Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicação de R$ 300.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa aplicação? Solução: M = R$ 480.000,00 C = R$ 300. 000,00 i = 10% a.m. J = R$ 180.000,00 (por que ?) J=C.i.n 180.000 = 300.000 . 10% . n 180.000

n = 300.000 ⋅ 10% n = 6 meses Resposta: 6 meses 8.

Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que é resgatável daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples corrente de mercado é de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje? Solução: N = R$ 1.300.000,00 n = 3 meses (período de antecipação) i = 10% a.m. N

1300 . .000

V = 1+ i n V = 1 10% 3 ⋅ + ⋅ V = R$ 1.000.000,00 Resposta: R$ 1.000. 000,00 62

Matemática PORCENTAGEM A porcentagem nada mais é do que uma notação ( % ) usada para representar uma parte de cem partes. Isto é, 20% – lê-se “20 por cento”, que representa a fração

20 100

30

30% – lê-se “30 por cento”, que representa a fração 100

EXEMPLO: Calcule: a. 10% de 200 b. 15% de 300 c. 25% de 400 Solução: a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto. 10% de 200 =

b. 15% de 300 =

10 ⋅ 200 = 20 100 15 4.500 ⋅ 300 = = 45 100 100 25

10.000

c. 25% de 400 = 100 ⋅ 400 = 100 = 100 Agora vamos ver como são simples os problemas que envolvem porcentagem. Estes problemas geralmente são encontrados no nosso cotidiano.

EXEMPLO: A média de reprovação em concurso é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas em um concurso público com 6.500 inscritos ? Solução: Se a média de reprovação é de 82%, vamos concluir que a média de aprovação é de 18%. Logo, basta calcular : 18% de 6.500 =

18 ⋅ 6.500 = 1170 . aprovados 100

63

Matemática EXEMPLO: Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vendê-lo por R$ 25.000,00, qual será a minha porcentagem de lucro? Solução: Lucro:R$ 25.000,00 – R$ 20.000,00 Lucro:R$ 5.000,00 Logo, para achar a porcentagem basta dividir o lucro pela base, isto é, dividir R$ 5.000,00 por R$ 20.000,00: 5.000 25 = 0,25 = = 25% 20.000 100

EXEMPLO: Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com um abatimento de R$ 1.600,00, encontrar a taxa usada na operação. Solução: Basta dividir o abatimento pelo preço do produto, isto é : 1600 . 3,2 = 0,032 = = 3,2% 50.000 100

EXEMPLO: Um produto foi vendido, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante é de: Solução: Vamos supor, sem perda de generalidade, que o preço inicial do produto é 100. Preço inicial - 100 Preço de venda com lucro de 20% – 120 Despesa (10% de 120) – 12 Preço com lucro líquido = 120 – 12 = 108 Logo, lucro líquido = 108 – 100 = 8 Logo, % do lucro líquido =

8 100

= 8%

EXEMPLO: João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00 incluindo o Imposto sobre Produtos Industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15%, ad valorem, o valor do imposto foi de: 64

Matemática Solução: Seja : x o valor do produto x +15%x = 322.000 x + 0,15x = 322.000 1,15x = 322.000 x=

322.000 115 ,

x = R$ 280.000,00 Logo, o valor do imposto é: R$ 322.000,00 – R$ 280.000,00 = R$ 42.000,00

EXEMPLO: Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um .... : Solução: Preço de custo = 100 (un.) Preço de venda s/desc = 120 (un.) Preço de venda c/desc. = 120 x 80% = 96 (un.) Comparando o preço de custo com o preço de venda c/ desconto, temos: 96 − 100 = −4% 100

Houve um prejuízo de 4%

EXEMPLO: Maria vendeu um relógio por R$18.167,50 com prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por: Solução: Preço vendido: R$ 18.167,50 Preço de compra: x 84,5%x = 18.167,50 x=

18.167,50 0,845

x = 21.500 Para ter um lucro de 25%, Teremos: 21.500 x 1,25 = R$ 26.875,00

65

Matemática EXEMPLO: A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesas com transporte sobre o custo da mercadoria, com o imposto. Sabendo-se que na venda de “A” a empresa obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço de aquisição da mercadoria com o imposto foi de R$: Solução: x . (1,10 . 1,30 . 0,20) = 143 x=

143 110 , ⋅ 130 , ⋅ 0,2

x = R$ 500,00 (preço da mercadoria) Impostos (10%) = R$50,00 Preco de aquisição da mercadoria + imposto: R$ 550,00

EXEMPLO: Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a. 10% b. 15% c. 20% d. 25% e. 36% Solução: Seja x - preço de custo preço de venda sem prejuízo = x . 1,44 preço de venda com 80% = 1,80 . x x ⋅ 144 ,

Logo, x ⋅ 180 = 0,8% = 80% , Portanto, preço de venda sem prejuízo = 80% do preço de venda com 80% de acréscimo. Daí, o desconto máximo será de 20%. 66

Matemática EXEMPLO: João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264.000,00 o preço de venda foi de: Solução: Seja: x - preço de venda Como teve prejuízo de 10% sobre o preço de venda, temos: Preço de compra = preço de venda + 10% preço de venda 264.000 = x + 10% . x 264.000 = x + 0,1 . x 264.000 = 1,10 . x 1,10 . x = 264.000 x=

264.000 110 ,

= 240.000

O preço de venda foi de R$ 240.000,00

EXEMPLO: Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de: SOLUÇÃO Se um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com 10% de lucro, então o preço inicial foi de: 16.500 = 15.000 110 ,

Logo, o lucro total foi: 20.700 − 15.000 15.000

5.700 = 0,38 = 38% 15.000

67

Matemática EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.

A fração

0,0104 0,65

é equivalente a :

a.

1 250

b.

2 125

c.

1 50

d.

3 125

7

e. 250 Resposta: B 02.

Efetuando-se 12 ⋅ 1,70 + 8 ⋅ 1,80 + 10 ⋅ 1,86 , obtém-se: 30

a. 1,72 b. 1,74 c. 1,75 d. 1,78 e. 1,79 Resposta: D 03.

Pelo pagamento atrasado da prestação de um carnê, no valor de R$ 1.200,00, recebeu-se uma multa de 7,5 % do seu valor. O total pago foi : a. R$ 1.250,00 b. R$ 1.275,00 c. R$ 1.290,00 d. R$ 1.680,00 e. R$ 2.100,00 Resposta: C

04.

Se uma pesssoa já liquidou os 16 do valor de uma dívida, a porcentagem dessa dívida que ainda deve pagar é : a. 56,25% b. 56,5% c. 58,25% d. 58,5% e. 62,25% Resposta: A

7

68

Matemática 05.

Um lojista comprou 180 canetas de um mesmo tipo e vendeu 120 delas pelo mesmo preço total pago pelas 180. Se vender cada uma das 60 canetas restantes ao preço unitário das outras 120, a porcentagem de lucro desse lojista, pela venda de todas as canetas, será de: a. 40% b. 50% c. 52% d. 55% e. 60% Resposta: B

06.

Um título, no valor de R$ 80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedência, sofrendo um desconto comercial simples de R$ 1.500,00. A taxa anual do desconto foi : a. 7,75% b. 7,5% c. 7,25% d. 6,5% e. 6,25% Resposta: B

07.

(BANESPA) - Um pequeno silo de milho perdeu 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores, era: a. 61 b. 75 c. 87,5 d. 90 e. 105 Resposta: B

08.

(TTN) - Num clube 2/3 dos associados são mulheres. Se 3/5 das mulheres são casadas e 80% das casadas têm filhos, o número de associados do clube, sabendo-se que as mães casadas são em número de 360, é de: a. 4.500 b. 1.752 c. 750 d. 2.250 e. 1.125 Resposta: E

69

Matemática 09.

Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com abatimento de R$ 1.600,00, encontrar a taxa utilizada na operação. a. 3,2% b. 3,5% c. 3,8% d. 4,2% e. 2,3% Resposta: A

10.

Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro. A taxa é de: a. 8,0% a.a b. 7,5% a.a c. 7,1% a.a d. 6,9% a.a e. 6,2% a.a Resposta: B

11.

Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: a. 20% b. 60% c. 40% d. 50% e. 70% Resposta: D

12.

(TTN) - Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeuos a R$ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi de: a. R$ 12,00 b. R$ 75,00 c. R$ 60,00 d. R$ 40,00 e. R$ 15,00 Resposta: C

70

Matemática Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais. RAZÕES E PROPORÇÕES Sejam quatro números a, b, c, e d (todos diferentes de zero). Dizemos que a, b, c, e d formam uma proporção se a razão

a b

é igual a razão

c d

. Então indicaremos a

proporção por: a c = b d

lê-se: a está para b; assim como c está para d.

Obs.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios da proporção. Além disso dizemos que a e c são antecedentes da proporção; b e d são conseqüentes da proporção.

EXEMPLO: 1

3

Na proporção 1, 2, 3, e 6 temos: 2 = 6 lê-se: 1 está para 2 assim como 3 está para 6. antecedentes: conseqüentes: meios: extremos:

1 2 2 1

e e e e

3 6 3 6

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

EXEMPLO: a.

a c = b d

então ad = bc

b.

1 3 = 2 6

então 1 x 6 = 3 x 2

71

Matemática EXEMPLO: Verifique se os itens abaixo são ou não proporções: a.

3 12 = 4 16

b.

2 6 = 3 7

Solução: a.

3 12 = 4 16

, como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios

temos: 3 . 16 = 48 = 4 . 12. Logo, b.

2 6 = 3 7

3 12 = 4 16

é uma proporção.

, observe que o produto dos extremos não é igual ao produto dos meios, 2

6

isto é, 2 . 7 = 14 ≠ 3 . 6 = 18. Logo, 3 = 7 não é uma proporção.

EXEMPLO: Calcule x nas proporções: a.

3 x = 4 20

b.

2 8 = 3 x

Solução: a.

3 x = 4 20

, como o produto dos meios tem que ser igual ao produto dos extremos,

temos, 4x=3.20 4x = 60 ∴ x= b.

2 8 = 3 x

72

x = 15

, como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios,

temos 2x = 3 . 8 2x = 24 x=

60 ∴ 4

24 ∴ x = 12 2

Matemática PROPRIEDADE Quando somamos (ou subtraímos) os antecedentes e os conseqüentes a proporção não se altera. Isto é: Se

a c = b d

é uma proporção, então:

a c a+c a−c = = = b d b+d b−d

EXEMPLO: Calcular x e y na proporção

x y = 2 6

, sabendo que x + y = 4 .

Solução: x

y

x

y

x+y

Se 2 = 6 é uma proporção, então, 2 = 6 = 2 6 + Logo: x y x+y = = 2 6 8 x y 4 = = 2 6 8

Logo: x 4 8 = ∴ 8x = 4.2 ∴ 8x = 8 ∴ x = ∴ x =1 2 8 8 y 4 24 = ∴ 8y = 6.4 ∴ 8y = 24 ∴ y = ∴ y=3 6 8 8

EXEMPLO: Calcular x e y na proporção

x y = 36 12

, sabendo que x – y = 6 .

Solução: x

y

x

y

x-y

Como 36 = 12 é uma proporção, temos: 36 = 12 = 36 - 12 x y x-y = = 36 12 24 x y 6 = = 36 12 24

Daí x 6 = ∴ 24x = 36.6 36 24

∴ 24x = 216 ∴ x =

y 6 = ∴ 24y = 12.6 12 24

∴ 24y = 72 ∴ y =

216 ∴ x=9 24

72 ∴ y=3 24

73

Matemática SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS OU PROPORÇÕES EM SÉRIE Chamamos de série de razões a igualdade de várias razões. a c m = = ... b d n

EXEMPLO: 1.

2 4 6 8 = = = 1 2 3 4

2.

3 4 5 6 7 = = = = 9 12 15 18 21

PROPRIEDADE Seja a série de razões então:

a c m = = ... = b d n

a c m a + c +...+m = = ... = = n b d b + d+...+n

EXEMPLO: Calcule x , y , z , na série de razão

x y z = = 3 5 1

, sabendo que x + y + z = 180

Solução: x y z x+y+z = = = 3 5 1 3 + 5 +1

Logo x y z 180 = = = 3 5 1 9 x 180 = ∴ 9x = 3.180 3 9

∴ 9x = 540 ∴ x =

540 ∴ x = 60 9

y 180 = ∴ 9y = 5.180 5 9

∴ 9y = 900 ∴ y =

900 ∴ y = 100 9

z 180 = ∴ 9z = 1.180 1 9

∴ 9z = 180 ∴ z =

180 ∴ z = 20 9

74

Matemática EXERCÍCIOS 01.

Calcular x, tal que Resposta:

02.

x = 120

x = 20;

x = 35;

x y = 5 3

, sabendo que x – y = 14

y= 21

y= 24;

Calcular a e b na proporção Resposta:

07.

, sabendo que x + y = 45.

Calcular x , y , z e w na série de proporção

+ y + z + w = 114 Resposta: x = 30; 06.

x y = 4 5

y= 25

Calcular x e y, na proporção Resposta:

05.

144 x = 12 10

Calcular x e y, na proporção Resposta:

04.

x = 150

Calcular o valor de x, tal que Resposta:

03.

x 5 = 510 17

a = 38;

a = 20;

z=18 e

a b = 19 17

, sabendo que x

w=42

, sabendo que a + b = 72

b= 34 a b = 4 3

Calcular a e b na proporção Resposta:

x y z w = = = 5 4 3 7

, sabendo que a – b = 5

b= 15 x

y

08.

Calcular x e y na proporção 12 = 3 , sabendo que x2 + y2 = 68 Resposta: x = 8; y= 2 ou x=-8 e y=-2

09.

Calcular x e y na proporção

10.

Resposta: x = 4; y= 2 ou x=-4 e y=-2 Calcular a, b e c sabendo que 8ab = 5ac = 2bc e a + b + c = 150 Resposta: a = 20; b= 50; c=80

11.

Calcule x, y e z na série de proporção Resposta:

12.

x = 2;

x y = 10 5

y= 4;

Calcular x ,y e z na proporção Resposta:

x = 4;

y= 6;

, sabendo que x2 – y2= 12

1 2 4 = = x y z

, sabendo que x . y . z = 64

z=8 x y z = = 2 3 4

, sabendo que 2x + 3y + 4z = 58

z=8

75

Matemática x y z = = 1 2 3

13.

Calcular x, y e z na proporção

, sabendo que 4x + 3y + 2z = 48

14.

Resposta: x = 3; y= 6; z= 9 Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18 Resposta: x = 8; y= 6; z=4

RAZÕES Chamamos de razão entre dois números a e b (b # 0) ao quociente de a por b. a

Denotamos: b ou a : b ( lê-se a está para b )

EXEMPLO: 1

a.

A razão de 1 está para 2 é 2 ou 0,5.

b.

A razão de 9 está para 3 é

c.

A razão de 24 está para 4 é

9 3

ou 3. 24 4

ou 6.

Obs.: Sendo assim chamaremos de razão entre duas grandezas à razão entre suas medidas.

EXEMPLO: a.

A razão entre 2m de um fio e 5m de uma linha é: Solução: 2m 2 = = 0,4 5m 5

b.

Um carro percorre 20Km em 30 minutos. Então a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto é: Solução: 20km 2 = km / min 30min 3

DIVISÕES PROPORCIONAIS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais, quando a razão entre seus valores é sempre constante.

76

Matemática EXEMPLO: Sejam x e y duas grandezas, tal que: x:2,3,5 y : 6 , 9 , 15 logo, x e y são diretamente proporcionais, pois :

2 3 5 = = 6 9 15

INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o produto entre seus valores é sempre constante.

EXEMPLO: Sejam x e y duas grandezas, tal que: x: 1,2,3 y : 12 , 6 , 4 logo, x e y são inversamente proporcionais, pois: 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4

EXEMPLOS DE DIVISÕES PROPORCIONAIS Vamos iniciar esta seção com um exemplo.

EXEMPLO: Dividir o número 80 em três partes diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5. Solução: Como vamos dividir o número 80 em três partes. Sejam, x , y e z essas partes, daí temos: x + y + z = 80 Como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5 temos, que a razão entre os valores das grandezas é constante. Isto é,

x y = k, =k e 2 3

z =k 5

Portanto, temos: x =k 2

⇒ x = 2k

(1)

y =k 3

⇒ y = 3k

(2)

z =k 5

⇒ z = 5k

(3)

77

Matemática Somando as equações (1), (2) e (3) temos: x = 2k y = 3k + z = 5k x + y + z = 10k ⇒ 10k = x + y + z ⇒ 10k = 80 ∴ k=

80 ∴ k=8 10

O k é chamado de constante de proporcionalidade. Como queremos os valores de x, y e z, basta substituir k = 8, nas equações (1), (2) e (3). Logo: x = 2k x=2x8 x = 16 ⇒ ⇒ y = 3k y=3x8 y = 24 ⇒ ⇒ z = 5k z=5x8 z = 40 ⇒ ⇒

EXEMPLO: Dividir 120 em três partes diretamente proporcionais a: 3 , 4 e 5. Solução: Já observamos que se x , y e z são as partes procuradas, temos: x + y + z = 120 Analogamente, como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais às grandezas 3, 4 e 5 temos, que a razão entre seus valores é sempre constante, daí: x = k ⇒ x = 3k 3

(1)

y = k ⇒ y = 4k 4

(2)

z = k ⇒ z = 5k 5

(3)

Somando (1), (2) e (3), temos: x = 3k y = 4k + z = 5k 120 = 12k 12k = 120 ∴ k = 10 Substituindo k =10 em (1), (2) e (3) temos: x = 3 . 10 ∴ x = 30 y = 4 . 10 ∴ y = 40 z = 5 . 10 ∴ z = 50 Então o aluno já percebeu que, os problemas de divisões proporcionais são simplesmente as aplicações de grandezas proporcionais. Vamos agora ver os casos de inversamente proporcionais.

78

Matemática EXEMPLO: Dividir o número 52 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4. Solução: Sejam x, y e z as três partes procuradas. Daí temos: x + y + z = 52 Como as grandezas x, y e z são inversamente proporcionais as grandezas 2 , 3 , e 4, temos, que o produto dos seus valores são constantes, daí: 2x = k 3y = k 4z = k Daí teremos: x=

k 2

(1)

y=

k 3

(2)

z=

k 4

(3)

Logo, somando (1) , (2) e (3) temos: x+y+z= 52 =

k k k + + 2 3 4

k k k + + 2 3 4

k k k + + = 52 2 3 4 6k + 4k + 3k = 52 12 52.12 13k = 52 ∴ k = ∴ 13 12

k=48

k é chamado de constante de proporcionalidade. Substituindo k = 48 em (1), (2) e (3) temos: x=

48 ∴ 2

x = 24; y =

48 ∴ 3

y = 16; z =

48 ∴ 4

z = 12

79

Matemática EXEMPLO: Dividir o número 94 em três partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. Solução: Analogamente, sejam x, y e z as partes procuradas, daí, x + y + z = 94 Como x, y e z são inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 temos que o produto entre os valores é constante, daí: 3x = k

⇒

x=

k 3

(1)

4y = k

⇒

y=

k 4

(2)

5z = k

⇒

z=

k 5

(3)

Somando (1), (2) e (3) temos: x+y+z= 94 =

k k k + + 3 4 5

k k k + + 3 4 5

k k k + + = 94 3 4 5 20k + 15k + 12k = 94 60 k=

94.60 47

∴

∴

47k = 94 60

k=120

logo, a constante de proporcionalidade é k = 120. Substituindo k = 120 em (1), (2) e (3) temos: x=

120 ∴ x = 40 3

y=

120 ∴ y = 30 4

z=

120 ∴ z = 24 5

REGRA DE SOCIEDADE Geralmente, os problemas de divisões proporcionais que envolvem divisões de lucros, prejuízos, capitais e etc., recebem o nome de regra de sociedade.

80

Matemática EXEMPLO: (TTN) – Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio A foi de: a. R$ 8.000,00 b. R$ 10.000,00 c. R$ 12.000,00 d. R$ 14.000,00 e. R$ 16.000,00 Solução: Este é um problema típico de regra de sociedade. x = a parcela de lucro do sócio A. y = a parcela de lucro do sócio B. Então: x + y = 28.000 Como o sócio A ficou na empresa 1 ano e 3 meses (15 meses) e empregou R$ 9.000,00, temos que x é diretamente proporcional a 15 e 9.000, logo : x = 9.000 x 15 k x = 135.000 k (1) Analogamente, o sócio B ficou na empresa 1 ano (12meses) e empregou R$ 15.000,00, temos então, que y é diretamente proporcional a 12 e 15.000 , logo : y = 15.000 x 12 k y = 180.000 k (2) Se: x + y = 28.000 x = 135.000 k y = 180.000 k x + y = 315.000 k 315.000 k = 28.000 k=

28.000 315.000

Substituindo k =

4 45

∴

k=

28 315

∴

k=

4 45

em (1) e (2), temos

x = 135.000.

4 ∴ x = 12.000 45

y = 180.000.

4 ∴ y = 16.000 45

Resposta: C

81

Matemática EXEMPLO: Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo-se que participaram da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um? Solução: Sejam : x – a parcela do 1° sócio. y – a parcela do 2° sócio. z – a parcela do 3° sócio. Como o lucro é diretamente proporcional ao tempo na sociedade, temos que: x + y + z = 13.500 x = 3k (1) y= 5k + (2) z= 7k (3) 13.500 = 15 k k = 900 Logo, substituindo em (1), (2) e (3) temos: x = 3 x 900 ⇒ x = R$ 2.700,00 (lucro do 1° sócio). y = 5 x 900 ⇒ y = R$ 4.500,00 (lucro do 2° sócio). z = 7 x 900 ⇒ z = R$ 6.300,00 (lucro do 3° sócio).

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.

Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5? (R$) Solução: x = k, k+

k 2

+

y= k 2

+

k 3

k 2

+

, k 5

z=

k 2

,

v=

k 3

= 152.000

30k + 15k + 15k + 10k + 6k = 152.000 30 76k = 152.000 30

82

∴ k=

152.000 ⋅ 30 76

∴ k = 60.000

,

w=

k 5

Matemática x = R$ 60.000,00 y = R$ 30.000,00 z = R$ 30.000,00 v = R$ 20.000,00 w = R$ 12.000,00 2.

(1° jogador). (2° jogador). (3° jogador). (4° jogador). (5° jogador).

Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses. Solução: x = 9 x 80.000 k y = 11 x 20.000 k x + y = 28.200 Logo: x = 720.000 k y = 220.000 k 28.200 = 940.000 k k=

28.200 940.000

⇒

k=

3 100

Logo:

3.

x = 720.000.

3 100

∴ x = R$ 21.600,00

y = 220.000.

3 100

∴ y = R$ 6.600,00

Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia, sendo que o capital da lª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses. Se o lucro auferido for de R$ 400.000, quanto receberá a 1ª pessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% de lucro, conforme contrato? Solução: Sejam : x = 24 k y = 36 k z = 20 k x + y + z = 360.000 80 k = 360.000 k = 4.500 A 1ª pessoa receberá: x = 24 x 4.500 = 108.000 mais 40.000, portanto, receberá: R$ 148.000,00

83

Matemática 4.

Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.000,00 dividida em partes inversamente proporcionais a 2

1 2 ,1 4 3

e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será

de: Solução: Observe que : 2

1 2 ⋅ 4 +1 9 = = 4 4 4

2 1⋅ 3 + 2 5 1 = = 3 3 3

Logo: x=

k 9

, y=

4

x=

4⋅k 9

y=

3⋅k 5

z=

k 12 ,

k 5

3

, z=

k 1,2

Portanto:

84

x+y+z=

4k 3k k + + 9 5 1,2

507.000 =

24k + 32,4k + 45k 54

∴ k = 270.000

x=

4 ⋅ 270.000 ∴ x = R$ 120.000,00 9

y=

3 ⋅ 270.000 ∴ y = R$ 162.000,00 5

z=

270.000 ∴ z = R$ 225.000,00 12 ,

Resposta: R$ 120.000,00

Matemática 5.

Duas pessoas devem dividir entre si a importância de R$ 180.000,00. A primeira pretende receber 23 da importância total e a segunda acha que tem direito a receber R$ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a importância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quanto recebeu cada uma? Solução: 2

Primeira pessoa (x): de 3 180.000.00 = 120.000 Segunda pessoa (y): 72.000 Assim temos: x = 120.000 k y = 72.000 k x + y = 180.000 = 192.000 k k=

180.000 15 ∴ k= 192.000 16

x = 120.000 ⋅ y = 72.000 ⋅

6.

15 ∴ x = 112.500 16

15 ∴ y = 67.500 16

João resolveu fazer um bolão para jogar na sena. Convidou inicialmente Pedro e depois Antônio, tendo João contribuído com R$ 12,00 e seus amigos com R$ 6,00 e R$ 18,00, respectivamente. Sabendo-se que a repartição do prêmio, a João, Pedro e Antônio, foi feita diretamente proporcional às importâncias desembolsadas e inversamente proporcional aos números 2, 3 e 6, respectivamente, e que Antônio ganhou R$ 12.000,00, mais que Pedro. O valor do prêmio foi de R$: Solução: João

–

J = 12 ⋅

Pedro

–

P = 6⋅

Antônio

–

A = 18 ⋅

18 ⋅

1 k ∴ J = 6k 2

1 k ∴ P = 2k 3 1 1 k = 6 k + 12.000 6 3

1 1 k = 6 k + 12.000 6 3

3k = 2k + 12.000 3k - 2k = 12.000

∴ k = 12.000

85

Matemática teremos: João = 6k = 6 x 12.000 = 72.000 Pedro = 2k = 2 x 12.000 = 24.000 Antônio = 2k + 12.000 = 2 x 12.000 + 12.000 = 36.000 Total do prêmio = 132.000 7.

Dois amigos constituem uma sociedade participando o 1° com R$ 10.000,00 e o 2° com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o 1° sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data o 2° sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00. Ao 2° sócio coube a participação no lucro de: (R$). Solução: x = R$ 10.000 . 10 + R$ 15.000 . 14 ∴ x = 310.000 k y = R$ 8.000 . 12 + R$ 6.000 . 12 ∴ y = 168.000 k x + y = 478.000 k 23.900 = 478.000 k k=

23.900 ∴ k = 0,05 478.000

logo: y = 168.000 x 0,05 8.

Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá ? Solução: x=

2 9k ⋅ 3 4

y=

4 21k ⋅ 7 2

x + y = 135 logo: x=

3k 2

y = 6k 135 =

3k + 6k 2

15k 135 ⋅ 2 = 135 ⇒ k = 2 15

k = 18

86

y = R$ 8.400,00

Matemática Logo: x=

3k 2

x = 27 y = 6k y = 108 9.

3 ⋅ 18 2

⇒ x=

⇒

y = 6 . 18

Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte vale: Solução: Sejam as partes x , y e z Logo : x 4 = y 5

⇒ x=

y 6 = z 12

4 y 5

⇒ y=

6 z z= 12 2

x + y + z = 570 Logo: x=

4 4 z 2 y= ⋅ ∴ x= z 5 5 2 5

Se: x + y + z = 570 2 z z + + z = 570 5 2 4z + 5z + 10z = 570 10 19 570 ⋅ 10 z = 570 ⇒ z = 10 19

z = 300 10.

Uma herança de R$ 200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordo com suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos receberam R$ 150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos, a idade do irmão mais novo, contada em anos é:

87

Matemática Solução: t1 , t2 , e t3 as idades dos irmãos, e x, y e z as respectivas parcelas, onde: t1 < t2 < t3 Então temos: x + y + z = 200.000 y + z = 150.000 logo: x = 50.000 Temos ainda que: t1 + t2 + t3 = 40 Como “ao mais velho caberia a maior parcela“ temos que a divisão é diretamente proporcional as idades. Logo x = k t1 (1) y= k t2 (2) z= k t3 (3) Somando (1), (2) e (3) x + y + z = k . ( t1+ t2 + t3 ) ∴ 200.000 = k . 40 ∴ 40 . k = 200.000 k = 5.000 Voltando em (1) x = k . t1 50.000 = 5.000 . t1 5.000 . t1 = 50.000 t1 =

50.000 ∴ t1 = 10 5.000

Portanto, a idade do mais novo é 10 anos. 11.

Três amigos “A”, “B” e “C” constituem uma sociedade que, após um ano, apura um lucro de R$ 48.000,00, cabendo ao sócio “B” R$ 16.000,00 e a “C” o valor correspondente a 13 de “A”. Sabendo-se que o capital de “C” é R$ 24.000,00 menor do que do “B”, o capital da empresa é de R$: Solução: Solução - Regra de sociedade lucro do 1° — x lucro do 2° — y = 16.000 lucro do 3° —

88

x 3

Matemática lucro total: x + 16.000 + 4x = 32.000 3

⇒ x=

x 3

= 48.000

32.000 ⋅ 3 4

x = 24.000 Portanto, teríamos : lucro do 1° sócio = 24.000 = k . c1 (1) lucro do 2° sócio = 16.000 = k . c2 (2) lucro de 3° sócio = 8.000 = k . (c2 – 24.000) (3) Dividindo (2) por (3), temos : 16.000 kc 2 = 8.000 k ⋅ (c 2 - 24.000) c2 =2 c 2 - 24.000

∴

c 2 = 2c 2 - 48.000

c2 = 48.000 Daí substituindo c2 em (2), temos : k . c2 = 16.000 48.000 . k = 16.000 k=

16.000 1 ∴ k= 48.000 3

Substituindo k em (1), temos: k . c1 = 24.000 1 c1 = 24.000 ⇒ c1 = 24.000 ⋅ 3 3

∴ c1 = 72.000

Portanto, temos: Capital do l° sócio R$ 72.000,00. Capital do 2° sócio R$ 48.000,00. Capital do 3° sócio RS 24.000,00. Total R$ 144.000,00

89

Matemática REGRA DE TRÊS SIMPLES Chamamos de problemas de regra de três ao tipo de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Vamos iniciar esta seção com um exemplo simples:

EXEMPLO: 24 operários fizeram 60 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas condições, farão 90 metros do mesmo muro? Solução: O caminho para resolver será mais fácil se você se concentrar nas variáveis, veja então que as variáveis são operários e metros do muro. Analise então que, quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos, mais (menos) operários serão necessários. Observamos que quanto mais cresce (ou diminue) a variável metros do muro mais cresce (ou diminue) a variável operários. Isto é, quanto maior for o muro mais operários serão necessários. Logo, as duas variáveis tem o mesmo sentido. Neste caso, com o mesmo sentido, fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja a figura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura. Operários

Metros de Muro

Agora colocamos os dados Operário Metros de Muro 60 90

24 x

Como o sentido é o mesmo, mantemos a razão: 24 60 = x 90

Agora é só resolver 60x = 24 x 90 x = 36 operários Agora vamos criar um algoritmo para resolver. 1°.

2°.

90

Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas. Operários Metros de Muro Veja em que sentido elas variam, fazendo uma pergunta, por exemplo “ quanto mais metros de muro temos que fazer, mais ou menos operários precisamos?”. Resposta: “mais operários” . Logo, verifica-se que têm o mesmo sentido, as variáveis.

Matemática 3°.

Desenhe o sentido das variáveis, Operários

4°.

Coloque agora os dados. Operários Metros de Muro 60 90

24 x

5°.

Metros de Muro

Escreva a razão da variável que possui a incógnita e o sinal de “ = ”. 24 = x

6°.

Se possui o mesmo sentido mantenha a razão da outra. 24 60 = x 90

7°.

Agora resolva a operação 60x = 24 x 90 x = 36 operários

EXEMPLO: Um funcionário recebeu R$ 960,00 por 24 dias de trabalho. Quanto deveria receber se trabalha-se 30 dias ? Solução: 1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas. Salário Dias 2°. Quanto mais dias se trabalha, mais ou menos salários devemos receber ? Resposta: mais salários; logo, temos o mesmo sentido para as variáveis. Salário 3°.

Vamos colocar os dados. Salário Dias 960

24 30

x

4°.

A razão da variável que possui a incógnita (Salário) e o sinal de “=” 960 x

5°.

Dias

=

Como as variáveis possuem o mesmo sentido, mantemos a razão da outra variável. 960 24 = x 30

91

Matemática 6º.

24x = 960 x 30 x=

960 ⋅ 30 24

x = R$ 1.200,00

EXEMPLO: 24 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo serviço? Solução: 1°. Escreva as variáveis Operários Dias 2°. Quanto mais operários trabalham, menos dias vão levar para terminar. Logo, observe que o sentido é oposto, logo escolha um sentido para cada variável. Operários 3°.

Coloque os dados: Operários Dias 24 30

4°.

Dias

40 x

Escreva a razão da variável que possui a incógnita e "=" 40 = x

5°.

Como o sentido é "contrário", inverta a razão da outra variável e iguale 40 30 = x 24

logo: 30x = 40 x 24 ∴ 30x = 960 ∴ x = 32 dias

REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis, são conhecidos como problemas de regra de três composta.

EXEMPLO: Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimento por 9 metros de largura. Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento, em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 metros de largura.

92

Matemática Solução: 1º. Primeiramente vamos escrever as variáveis envolvidas no enunciado. DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 2º.

Vamos colocar os dados e a incógnita do problema. DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 30 24 960 9 20 x 600 10

3°.

Vejamos qual a variável que possui a incógnita e a relação (direta ou inversa) entre ela e as outras variáveis. • Quanto mais dias tenho de prazo, menos operários preciso. (Relação inversa). • Quanto mais comprido for o asfaltamento mais operários preciso para realiza-lo. • Quanto mais largo for o asfaltamento mais operários eu preciso.

4º.

Vamos escrever a razão da variável "operários" e considerar as outras razões, no produto delas, conforme a relação direta ou inversa. DIAS

OPERÁRIOS

30 20

COMPRIMENTO 960 600

24 x

LARGURA 9 10

24 20 960 9 = ⋅ ⋅ x 30 600 10

Simplificando: 24 2 96 9 = ⋅ ⋅ x 3 60 10

Simplificando, ainda temos: 8

24 2 9624 9/ 3 = ⋅ ⋅ / x 31 6015 5 10 24 2 ⋅ 8 ⋅ 3 = x 5 ⋅ 10

⇒

24 48 = x 50

48x = 24 x 50 48x = 1.200 x = 25 operários

93

Matemática EXEMPLO: Um gramado de 720m2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas por dia durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias. Solução: Vejamos as variáveis e os dados do problema. GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS 720 2 6 2 x 3 8 3 Vejamos as relações entre a variável Gramado e as outras. • Quanto mais Gramado podado mais homens serão necessários. • Quanto mais horas por dia os homens trabalharem mais Gramado seria podado. •

Quanto maior for o Gramado, mais dias de trabalho serão necessários.

GRAMADO

HOMENS

HORAS POR DIA

DIAS

2 3

6 8

2 3

720 x

720 2 6 2 = ⋅ ⋅ x 3 8 3 720 24 = x 72

24x = 720 x 72 x = 2.160 m2

EXEMPLO: 24 operários fazem 2 5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de 1 hora por dia. Solução: Vejamos as variáveis. OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO Antes de colocar os dados, veja que se terminar a obra, logo: OPERÁRIOS 24 20

94

DIAS 10 x

2

5

do serviço foi feito, então falta

HORAS POR DIA 7 6

SERVIÇO 2 3

5 5

3

5

para

Matemática 10 20 6 = ⋅ ⋅ 24 7 x

2 3

5 5

Calculando: 2 3

5

=

5

2 5/ 2 ⋅ = 5/ 3 3

10 20 6 2 = ⋅ ⋅ x 24 7 3

⇒

10 10 = x 21

x = 21 dias

EXEMPLO: Se 2 3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em quantos dias? Solução: Evidente que teremos OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS POR DIA 2

5 x

3 1 3

8 6

6 10

Observe que: • Quanto maior for a obra mais dias serão necessários. • Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários. • Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários. 5 = x

2

3 1 3

⋅

6 10 ⋅ 8 6

5 2 6 10 = ⋅ ⋅ x 1 8 6 5 120 = x 48

120x = 5 . 48 x = 2 dias

EXEMPLO: Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando-se a obra com 12 operários, trabalhando 6 horas dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que colocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais:

95

Matemática Solução: Regra de três composta. OBRA DIAS 1 2

OPERÁRIOS

30 20

3

HORAS/DIA

12 8

6 x

6 1 20 8 = ⋅ ⋅ x 2 3 30 12

6 8 = x 12

⇒ 8x = 72

x = 9 horas/dia Portanto, a empresa deve prorrogar o turno por mais 3 horas.

EXEMPLO: Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em: Solução: TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA 10 96 6 10 x 8 Trata-se de regra de três, quanto mais horas/dias, será preciso menos dias. Daí teremos: TRABALHADORES 10 10

Logo:

96 10 8 = ⋅ x 10 6

DIAS

HORAS/DIA

96

6 8

x

⇒ x=

96 ⋅ 6 ∴ x = 72dias 8

EXEMPLO: 12 pedreiros constroem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro? Solução: PEDREIROS MURO DIAS HORAS/DIA 12 16

8 16 27 24 = ⋅ ⋅ x 12 36 30

96

27 36

30

8

24

x

Matemática 8 4 = x 5

x = 10 horas/dia

EXEMPLO: Um criador sabe que 900 frangos consomem, em 30 dias, 8,1 toneladas de ração. Ele adquiriu 1.000 frangos e 10,5 toneladas de ração. Considerando-se que o agricultor pretende abater essas aves daqui a 40 dias, quando elas estiverem no peso ideal, o criador para que não falte alimento as aves, deve comprar, adicionalmente, a quantidade de ração em Kg. de: Solução: FRANGOS DIAS RAÇÃO 900 1000 .

8,1 900 30 = ⋅ x 1000 . 40 8,1 27 = x 40

30 40

⇒

8,1 x

8,1 9 3 = ⋅ x 10 4

∴ 27x = 8,1⋅ 40

x = 12 toneladas ou x = 12.000 kg. Deve o agricultor adicionar : 12.000 – 10.500 = 1.500 kg.

97

Matemática Sistema do 1º grau Um sistema de equações do 1º grau com n variáveis, é um conjunto de equações do tipo ai1 . x1 + ai2 . x2 + ... ain . xn = bi

onde i ∈ Ν * e ai1 , ai2 ... ain são números reais.

Vamos concentrar nossa atenção somente nos sistemas com duas variáveis.

EXEMPLOS: a.

x − y = 1  x + 2y = 7

b.

2x + 4y = 10  12x − 4y = 4

Queremos, no caso de duas variáveis, achar os valores de x e y que satisfazem a todas as equações, simultaneamente.

MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 1º.

Método da substituição Expressamos uma das variáveis em função da outra, então substituímos esta função na outra equação. Teremos então uma equação com apenas uma incógnita. Resolvendo esta equação chegamos a solução parcial do sistema, bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial para encontrar a solução final. Exemplo Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. x − y = 1  x + 2y = 7

Vamos expressar a variável x em função da variável y, na primeira equação x − y = 1  x + 2y = 7

⇒

x = 1+ y

(*)

Substituindo a expressão da variável x na segunda equação teremos x + 2y = 7 1 + y + 2y = 7 1 + 3y = 7 ∴ 3y = 7-1 ∴ 3y = 6 y=

98

6 3

∴

y=2

Matemática Encontramos o valor da incógnita y (y=2). Substituindo y = 2 na equação (*) temos x = 1+y x = 1+2 x=3 Logo, a solução do sistema é: x = 3 e y = 2

EXEMPLO: Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau. 2x + 4y = 10  12x − 4y = 4

⇒ 2x = 10 - 4y

⇒ x=

10 − 4y 2

⇒ x = 5 - 2y (*)

Substituindo (*) na segunda equação temos: 12x - 4y = 4 12 (5-2y) - 4y = 4 60 - 24y - 4y = 4 60 - 28y = 4 ∴ -28y = 4-60 ∴ -28y = -56 y=

−56 −28

∴

y=2

Substituindo o valor de y (y=2) na equação (*) temos: x = 5-2y x=5-2×2 ∴ x=5-4 x=1 ∴ Logo, a solução do sistema é: x = 1 e y = 2 2º.

Método da comparação Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos as expressões. Encontramos assim uma das incógnitas. Para encontrar a solução da outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressões anteriores.

EXEMPLO: Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. x − y = 1  x + 2y = 7

⇒ x = 1+ y (*) ⇒ x = 7 - 2y

⇒ 1 + y = 7 − 2y

1+y+2y=7 ∴ 1+3y=7 ∴ 3y=7-1 ∴ 3y = 6

∴

y=

6 3

∴

y=2

99

Matemática Substituindo y = 2 em (*) temos x = 1+y ∴ x=1+2 ∴ x=3 Logo a solução é: x = 3 e y = 2

EXEMPLO Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. 2x + 4 y = 10  12 x − 4y = 4

⇒ ⇒

10 - 4y 2 4 + 4y x= 12 x=

x = 5 - 2y (*)  ⇒  1+ y x = 3 (**) 

Igualando (*) e (**) temos 5 − 2y =

1+ y 3

3(5-2y) = 1 + y 15 - 6y = 1 + y -7y = -14

∴

y=

−14 −7

∴

y=2

Substituindo y=2 em (*) teremos x = 5 - 2y x=5-2×2 x=5-4 x=1 Solução: x = 1 e y = 2 3º.

Método de redução ao mesmo coeficiente Comparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficiente para a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim a solução da outra. Após obter esta solução procedemos como no caso anterior. Alguns exemplos para facilitar a compreensão. Exemplo: x − y = 1  x + 2y = 7

Multiplicando a primeira equação por 2 teremos: 2x − 2y = 2  x + 2y = 7

100

Matemática Somando as equações: 2x − 2y = 2 +   x + 2y = 7 3x = 9 ∴ x = 3

Substituindo x = 3 na primeira equação: x-y=1 3-y=1 - y = 1-3 - y = -2 y=2 Solução x = 3 e y = 2

EXEMPLO 2x + 4y = 10  12x − 4y = 4

Somando as duas equações: 2x + 4y = 10 +  12x − 4y = 4 14x = 14 ∴ x = 1

Substituindo x = 1 na primeira equação: 2x + 4y = 10 2×1 + 4y = 10 2 + 4y = 10 4y = 10 - 2 4y = 10 - 2 4y = 8 ∴ y = 2 Solução x = 1 e y = 2

EXEMPLO 2x + 6y = 18  x + 4y = 11

Calculando o MMC (6,4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3. Obtemos então 4x + 12y = 36  3x + 12y = 33

101

Matemática Subtraindo as equações temos 4 x + 12y = 36  3x + 12y = 33 x=3

Substituindo na 1ª equação Obtemos 2x + 6y = 18 2×3 + 6y = 18 ∴ 6y = 12

∴

6 + 6y = 18

∴

6y = 18 - 6

y=2

TIPOS DE SISTEMA a.

Sistema possível e determinado É o sistema que possui apenas uma solução possível. Podemos representá-lo por duas retas concorrentes.

b.

Sistema possível e indeterminado O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado da multiplicação da outra por uma constante. Neste caso cada equação representa a mesma reta. Há infinitas soluções.

c.

Sistema impossível Neste caso o sistema não possui solução. As equações representam retas paralelas.

102

Matemática

EXERCÍCIOS 01.

Resolva os sistemas: x + y = 7

a. x − y = 1 

x + 2y = 11

b. x − y = 2 

x + 4y = 18

c. 2x + 3y = 21  3x − 7y = 23

d. 2x + 3y = 23  2x + 5y = 13

e. 3x + y = 13 

f.

x + y + z = 6 z + u + x = 3   y + z + u = 4 u + x + y = 5 x + y = 3

g. xy = 2 

x + y = 5

h. xy = 6 

i.

j.

α + β = 10  αβ = 25 x + y = 4 x + u = 3   y + z = 3 z + u = 8

Resposta: x=4 e y=3 Resposta: x=5 e y=3 Resposta: x=6 e y=3 Resposta: x=10 e y=1 Resposta: x=4 e y=1

Resposta: x=2; y=3; z=1 e u=0

Resposta: x=1 e y=2 ou x=2 e y=1 Resposta: x=2 e y=3 ou x=3 e y=2 Resposta: α = 5 e β = 5

Resposta: Impossível

103

Matemática Potenciação e Radiciação POTENCIAÇÃO Seja “a” um número real diferente de zero e n um número natural positivo. Então, an = 1 a . a44 . a2 . a ....... a 4 43 n vezes

POR DEFINIÇÃO a1 = a

a0 = 1

e

EXEMPLO a. b.

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024 1

a-n = an

EXEMPLO a.

2−3 =

b.

4 −3 =

1 23 1 43

=

1 8

=

1 64

PROPRIEDADES: 1. 2.

m

n

m+n

a .a =a am an

= am − n

3.

(am )n = am.n

4.

(ab)n = an. bn

5.

an  a   = n  b b

6.

 a    b

n

104

−n

 b =   a

n

a

∈

R, a ≠ 0 m, n

∈

N

Matemática EXEMPLO 36

= 36 − 4 = 32 = 9

a.

22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32

b.

c.

(3 )

= 34 = 81

d.

(2.3)3 = 23 . 33 = 8 x 27 = 216

e.

62 36  6 =9   = 2 =  2 4 2

f.

 3    5

2 2

2

34

−2

2

52 25  5 =  = 2 =  3 9 3

RADICIAÇÃO Seja a ∈ R e n ∈ N, n > 1 chamamos n a de raiz n-ézima de a, tal que n a = b ⇔ a = bn onde b ∈ R. Exemplo a.

3

8 =2

pois 8 = 2³

b.

3

−64 = −4

pois -64 = (-4)³

PROPRIEDADES m

1.

n

am = a n

2.

n

a

n

3.

a

n

b

4.

nm

n

b = n ab

=n

a b

a = nm a

EXEMPLO a. c.

12

4

212 = 2 4 = 23 = 8

3

2

3

3

=

3

2 3

b.

4

d.

34

16 ⋅ 4 81 = 4 16 ⋅ 81

= 2.3 = 6

10 = 12 10

PRODUTOS NOTÁVEIS Sejam a e b números reais então: 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. (a + b) (a - b) = a² - b² 4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 5. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 105

Matemática 6. 7.

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

EXERCÍCIOS 1.

Fatore: a. x² - 9 b. x² - 2xy + y² c. a² + 6a + 9 d. ab + ac + bc + b² e. m²x² - n²y² f. x2m - y2n g. x5 - 1 h. x5 + 1 i. x² + 2x + 1 - y² j. x4 - y4

Solução a. b. c. d.

x² - 9 x² - 2xy + y² a² + 6a + 9 ab + ac + bc + b²

e. m²x² - n²y² f. x2m - y2n g. x5 - 1

h. x5 + 1

i. x² + 2x + 1 - y² j. x4 - y4

106

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

(x-3) (x+3) (x - y)2 (a + 3)2 a (b+c) + b(c+b) = a (b+c) + b(b+c) = (a+b) (b+c) (mx - ny) (mx + ny) (xm - yn) (xm + yn) x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x - 1 = x5 - x4 + x4 - x3 + x3 - x2 + x2 - x + x - 1 = x4 (x - 1) + x3 (x - 1) + x2 (x - 1) + x (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) [x4 + x3 + x2 + x + 1] x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1 = x5 + x4 - x4 - x3 + x3 + x2 - x2 - x + x + 1 = (x5 + x4) - (x4 + x3) + (x3 + x2) - (x2 + x) + (x + 1) = (x+1) [x4 - x3 + x2 - x + 1] (x+1)2 - y2 = (x + 1 - y) (x + 1 + y) (x2 - y2) (x2 + y2) = (x - y) (x + y) (x2 + y2)

Matemática Equação do 2º grau TRINÔMIO DO 2º GRAU Chamamos de trinômio do 2º grau a função y = a x2 + bx + c, a ≠ 0. Chamamos os valores de x para o qual ax2 + bx + c = 0 de raízes da equação do segundo grau. Chamamos de discriminante ao termo b2 - 4ac, e representamos por ∆ , isto é, ∆ = b2 - 4ac. • Se ∆ > 0, então existem duas raízes reais e distintas. Neste caso as raízes são xI =

•

−b − ∆ 2a

xII =

−b + ∆ 2a

Se ∆ = 0, então existem duas raízes reais e iguais Neste caso as raízes são xI = xII =

•

e

−b 2a

Se ∆ < 0, não existem raízes reais.

EXEMPLO Calcule as raizes de: a. x2 - 3x + 2 = 0 a = 1 b = -3 c = 2 ∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.1.2 = 9-8 = 1 ∆ = 1 > 0 existem duas raízes reais e distintas Logo

b.

xI =

−b − ∆ −(−3) − 1 3 − 1 2 = = = =1 2a 2.1 2 2

xII =

−b + ∆ −(−3) + 1 3 + 1 4 = = = =2 2a 2.1 2 2

Resposta {1, 2} 4x2 - 4x + 1 = 0 a = 4 b = -4 c = 1 2 2 ∆ = b - 4ac = (-4) - 4.4.1 = 16 - 16 = 0 ∆ = 0, existem duas raízes reais e iguais Logo xI = xII =

−b −(−4) 4 1 = = = 2a 2.4 8 2

Resposta

 1 1  ;  2 2

107

Matemática 9x2 + 6x + 6 = 0 a=9 b=6 c=6 ∆ = b2 - 4ac = 62 - 4.9.6 = 36 - 216 = -180 ∆ = -180 < 0 então não existem raízes reais

c.

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES Seja ax2 + bx + c = 0, com xI e xII raízes. Então a soma das raízes é: S = xI + xII = −

b a

O produto das raízes é: c

P = xI . xI = a

EXEMPLO Qual a soma e o produto das raízes: a. x2 - 5x + 6 = 0 (−5)

b

S = −a = − 1 = 5 c

6

P= a = 1 =6 4x2 + 4x + 1 = 0

b.

b a

S= − = − P=

c a

=

4 4

= -1

1 4

GRÁFICOS DO TRINÔMIO DO 2º GRAU CASO I - (a>0 e ∆ > 0) Neste caso teremos uma parábola de mínimo, onde o vértice será

y

b

∆

V ( − 2a , − 4a ) C

b 2a 0 D 4a

108

x

x

I

V

II

x

Matemática CASO II - (a>0 e ∆ =0) Neste caso teremos também uma parábola de mínimo, onde o vértice será

y

b

V ( − 2a , 0 ) C

0

x

b = x I = xII 2a

CASO III - (a>0 e ∆ < 0) Neste caso teremos também uma parabólica de mínimo, onde o vértice será

y

b

∆

V ( − 2a , − 4a )

C

∆ 4a

x

0

b 2a CASO IV - (a 0) y

Neste caso teremos uma parábola de máximo, onde o vértice será b

∆

V ( − 2a , − 4a ) ∆ 4a 0

C

V

xI

xII

b 2a

x

109

Matemática CASO V - (a 0 Se ∆ > 0 então existem duas raízes reais e distintas (xI e xII) então sinal de a

sinal contrário de a xI

sinal de a xII

Isto é, Entre as raízes sinal contrário ao de a, fora do intervalo das raízes sinal de a. 110

Matemática EXEMPLO Calcule x2 - 3x + 2 > 0 Observe que a = 1, b = -3, c = 2 Calculando as raízes teremos xI = 1 e xII = 2 como o sinal de a é positivo teremos logo +

— 1

x2

2º Caso ∆ < 0 Como ∆ < 0, então não existem raízes reais, daí o trinômio sempre terá o sinal de a.

EXEMPLO Seja y = x2 + 2x + 2 a=1 b=2 c=2 2 2 ∆ = b - 4ac = 2 - 4.1.2 = 4 - 8 = -4 ∆ = -4 < 0 Como a = 1 > 0 e ∆ < 0 então y = x² + 2x + 2 sempre é positivo. Exemplo Resolva x2 - 5x + 6 < 0 Vamos achar as raízes a = 1>0 b = -5 c = 6 as raízes são xI = 2 e xII = 3 logo + 2 logo: 2 < x < 3

—

+ 3

111

Matemática EXEMPLO x 2 − 7 x + 12 x −1

>0

x2 - 7x + 12 > 0 Raízes de x2 - 7x + 12 = 0 são xI = 3 e xII = 4 Raiz de x-1=0 é x=1 1

3

4

x-1

-

+

+

+

x2 - 7x + 12

+

+

-

+

x 2 − 7 x + 12 x −1

-

+

-

+

Resposta 1< x < 3 ou x > 4

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.

Se o gráfico da função y = ax2 + bx + c (sendo a, b, c, números reais) for tangente ao eixo dos x, então pode-se afirmar que: a. b2 > 4 ac b. b2 < 4 ac c. b = 4a + ac d. 4 ac = b2 e. c = 0 Resposta “D”

02.

O gráfico do trinômio do 2º grau ax2 - 10x + c é o da figura:

y 5 0

-9

112

x

Matemática Podemos concluir que: a. a = 1 e c = 16 b. a = 1 e c = 10 c. a = 5 e c = 10 d. a = -1 e c = 10 e. a = -1 e c = 16 Resposta “A” 03.

(FMU/FIAM) Dada a função f(x) = ax2 + bx + c com a < 0 e c> 0, podemos concluir que o gráfico desta função: a. intercepta o eixo dos x em um único ponto b. é tangente do eixo horizontal c. não intercepta o eixo dos x d. é secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissas positivas ambas e. corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positiva e negativa. Resposta “E”

04.

(MACK) Considere a função, de R em R, definida por y = ax2 + bx + c, onde b2 - 4ac < 0 e a < 0. Então: a. y > 0 se x for interior ao intervalo das raízes b. y > 0 se x for exterior ao intervalo das raízes c. y < 0 para todo 0 x ∈ R d. y > 0 para todo 0 x ∈ R e. existe um único x ∈ R tal que y = 0 Resposta “C”

05.

(CESESP) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x, para 2x

1

os quais a função f: R ⇒ R e f(X) = − 3 + é sempre negativa: 4 a. ∀x ∈ℜ b. x ≥

3 8 3

c. x > 8 d. x ≠ 0 e.

∃/ x ∈ℜ −

2x 1 + 1 d. toma valores não negativos, qualquer que seja o valor atribuído a x e. toma valores não positivos, qualquer que seja o valor atribuído a x Resposta “B”

07.

(PUC) O trinômio -x² + 3x - 4: a. é positivo para todo número real x b. é negativo para todo número real x c. muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais d. é positivo para 1 < x < 4 e. é positivo para x4 Resposta “B”

08.

(CESESP) Seja f a função quadrática definida por f(x) = -3x² + 6x - 3. Qual dentre as seguintes alternativas é verdadeira? a. Qualquer que seja o valor atribuído a x, a função toma sempre um valor menor ou igual a zero b. a função toma valores positivos para os valores de x tais que -2 < x < 1 c. a função toma valores positivos para os valores de x tais que x < -2 ou x > 1 d. para qualquer valor atribuído a x, a função toma sempre um valor maior ou igual a zero e. a função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que -1 < x 3 d. x ≠ 2 e. x < 3 e x ≠ 2 Resposta “E” 13.

(USP) A solução da inequação (x-3) (-x² + 3x + 10) < 0 é: a. -2 < x < 3 ou x > 5 b. 3 < x < 5 ou x < -2 c. -2 < x < 5 d. x > 6 e. x < 3 Resposta “A”

14.

(USP) Os valores de x que satisfazem a inequação (x² - 2x + 8) (x² - 5x + 6) (x² - 16) < 0 são: a. x < -2 ou x > 4 b. x < -2 ou 4< x 4 d. -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e. x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 Resposta “D” 115

Matemática 15.

(LONDRINA) Seja a função definida por f(x) = ax² + bx + c, representada na figura. Então: a. a.b < 0 b. b.c > 0 c. a.c > 0 d. a - b > 0 e.

b c