TMV E DERIVADA-2012

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CÁLCULO II ProfªAna Scardino TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO Vamos iniciar nosso estudo com alguns exemplos: a) Função y = 2x, onde x pode representar o deslocamento na horizontal e o y na vertical de uma pessoa subindo uma rampa

A taxa média de variação vai ser dada como 2, ou seja a cada uma unidade na horizontal, a pessoa sobe 2 na vertical. A função cresce 2 unidades para cada unidade acrescida em x b) Podemos supor que a função f(x) = 2000x represente a receita de um produto e x , representa a quantidade. Então , temos que a cada 1 unidade vendida ,há um crescimento na receita de R$2000,00, e que a taxa de variação da função é igual ao coeficiente angular , que é igual a 2000. Quando y e x têm variações diretamente proporcionais, ou seja , quando ao variar x de uma unidade , o valor correspondente de y varia sempre de um valor constante de unidades, temos uma função de 1º grau, cujo coeficiente angular mede a taxa de variação da função. Lembrando que o coeficiente angular pode ser obtido calculando-se a tgα ,então ao calcular essa inclinação da reta estamos calculando a taxa de variação da função .Essa taxa de variação pode ser dada pela fórmula abaixo: â tgα = â

∆Y = f(X0 + ∆X|) - f(x0) ∆X

∆x

Quando temos uma função que não seja do 1º grau, as grandezas x e y não têm variações diretamente proporcionais. Portanto a rapidez com que y varia com x depende do intervalo de x considerado. Consideremos , por exemplo, a função f(x) = x2 ,onde podemos novamente considerar uma outra espécie de bactérias que têm seu crescimento dado pela função de 2º grau Nº de bactérias

Tempo(dias) Vamos estudar a taxa média de variação no intervalo: t= 1s até t =3 s t = 1s e t=2 s t= 1s e t= 4s Comparando, o que muda em relação à função de 1º grau? Para uma função f(x) qualquer, a TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO entre 2 pontos quaisquer x0 e x ( com x maior que x0) é a taxa de variação da função determinada pela reta que passa pelos pontos considerados: TMV =

∆Y = f(X0 + ∆X|) - f(x0) ∆X

∆x Tomemos outros exemplos: c) Seja a função f tal que f(x) = x +1 Sejam x0 =1 e x0 + ∆x = 4 → ∆x = 3 TMV =

∆Y = f(X0 + ∆X|) - f(x0) = ∆X

∆x

1

d)Seja a função y = 3x2 Vamos construir uma tabela das variações de x0 e ∆x x0 f(x1) ∆x=x1-x0 f(x0) x1 ∆y=f(x1)-f(x0) 0 1 1 0 3 3 1 2 1 3 12 9 2 3 1 12 27 15 0 3 3 0 27 27 Para x0=0 e ∆x =3 ∆y = 1/3(3 +9 +15) =9 ∆x e) Seja a função f tal que f(x) = x2 + 5 Se x0 = 2 e X0 + ∆X = 4 temos ∆X=2 ∆Y = f(X0 + ∆X|) - f(x0) ∆X

∆x

Exercícios

= 21 - 9 = 12 =6 2

2

1- Um tanque contém, inicialmente, 10 litros de água. Uma torneira ao ser aberta despejará água no tanque a uma razão constante de 5 l a cada minuto. Escreva a função que representa o volume (l) x tempo(minutos), e determine a T.M.V 2- Determine a TMV em cada caso : a) y = x+1 entre os pontos 1 e 4 b) y = -4x entre os pontos 2 e 3 c) y= 2x2 + 3x + 4 entre os pontos 0 e 2 d) f(x) = x3 -1 e) y = -x Relembrando: 1. Quadrado da soma de dois termos (a+b)² = a² + b² + 2ab

2. Quadrado da diferença de dois termos (a-b)² = a² + b² - 2ab 3. Diferença de potências (ordem 2) a² - b² = (a+b)(a-b) 4. Cubo da soma de dois termos (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 5. Cubo da diferença de dois termos (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 6. Soma de dois cubos na forma fatorada a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) 7.Diferença de dois cubos na forma fatorada a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²).

DERIVADAS Para caracterizar a rapidez com que uma função y = f(x) varia em um ponto x0, utilizamos a noção de taxa média de variação no ponto ou DERIVADA. Nas proximidades de um ponto x0, a curva ,que representa o gráfico de uma função, pode ser aproximada por uma reta . A derivada de f no ponto x0 pode ser definida como: É o valor aproximado da taxa média de variação da função f para valores pequenos de ∆x. ∆x f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) = ∆y ∆x ∆x → 0

lim

Indicações da derivada: f'(x0) ; df(x0) ; dy(x0) ; y'(x0) dx dx Podemos entender a idéia da rapidez com que uma função varia em um ponto, através da definição geométrica da derivada, que é a medida da inclinação da reta tangente à curva no ponto x0. y

x TMV no ponto x0 = y’ = coeficiente angular da reta = cat.oposto a α cat.adj. a α Exemplo: a) Calcular a taxa média de variação da função y = x2 entre os intervalos: i) 1 e 2 ii) 2 e 3 ∆y = 4-2 = 2 ∆x 1

∆y = 9-4 = 5 ∆x 1 b) Calcular o valor da derivada da função y = x2 no ponto x0 = 2

y'(2) = tgα = cateto oposto ao ângulo alfa = 4 cateto adjacente ao ângulo alfa Interpretação: A taxa média da variação de uma função nas proximidades do ponto x0 =2 é aproximadamente 4 c) Calcular o valor da derivada no ponto x0= 4 Exercícios: 1- Calcule a derivada em cada ponto da função: a) y =5 ; x0 =4 b) y=3x; x0 =2 c) y = x2 + 4 ; x0 = 1/2 d) y = 3x2 + 10x -1 ; x0 = 1 2- Sabemos que a velocidade em um Mov. Retilíneo uniformemente variado , num instante t, é a taxa de variação da posição S em relação ao tempo t, ou seja dS/dt. Seja um movimento expresso pela equação S = 12+10t -t2, sendo S em metros e t em segundos. a) Construa o gráfico da função no intervalo de tempo de 0 a 8 s b) Determine o valor da velocidade no instante t =2 s e no instante t = 4 s. c) Determine o valor da velocidade no instante t = 5s d) Em que intervalo de tempo a função é crescente? e) Em que intervalo de tempo a função é decrescente? Obs. Para uma função de 1º grau: Se a derivada é positiva, então a função é crescente Se a derivada é negativa, então a função é decrescente

Se a derivada é nula, então a função é constante. Para uma função f qualquer as conclusões são análogas se consideramos a derivada positiva ou negativa em todo o intervalo considerado. CONCAVIDADE DAS FUNÇÕES: Duas funções podem ter derivadas positivas em todos os pontos de um intervalo, embora seu crescimento possa ter características diferentes. Exemplo:

1º caso

2º caso

Observa-se que no 1º caso o crescimento é mais rápido que no 2º caso. No 1º caso, quando o valor de x cresce, o valor da derivada também cresce No 2º caso, quando o valor de x cresce, o valor da derivada decresce. Quando uma função cresce a taxas crescente, seu gráfico tem concavidade para cima, e quando a função cresce a taxas decrescente, seu gráfico tem concavidade para baixo. REGRAS DE DERIVAÇÃO: FUNÇÕES SIMPLES K xα ax+b lnx ax ex senx cosx

DERIVADA y' 0 αxα-1 a 1/x axlna ex cosx -senx

• Operações (u + v)' = u' + v' (u.v)' = uv' + u'v (ku)' = k u' (u/v)' = v u' - uv' v2 Exemplos: a) y = x3 Æ y’ = 3x2 b) y= x2 Æ y’ = 2x c) y= x10Æ y’ = 10x9 d) y = xÆ y’ = 1 Exercícios: Calcular as derivadas: 1- y =x2 -3x +5.......................y' = 2x -3 2- y =20..................................y'=0 3- y = 3x3 + 2........................y' =9x2 4- y = 12 .x0,5........................y' =12.0,5.x-0,5 = 6/x1/2 5- y =x4 -3x2+6x-5.................y'=4x3 -6x +6 6- y = 5ex..............................y' = 5ex 7- y= 5 lnx...........................y' = 5.1/x =5/x 8- y = x2lnx.........................y'=2x.lnx + x2.1/x = 2xlnx + x 9- y = 2x/x2+1 ..................y' = (x2+1).2 - 2x(2x) = 2x2+2 -4x2 (x2+1)2 (x2+1)2 LISTA EXERCÍCIOS DERIVADAS 1a) b) c)

Calcule a derivada de f(x) = 5x2 – 3 nos pontos onde : x= 2 x=3 x=-1

2a) b) c) d) e) f) g) h)

Calcule a derivada no ponto x=1 das funções: y = -3x2 +11 y = 10 – 4x4 y = 3x7 – 7x3 y = ex y = lnx y = 3 ex + 4. 2x y = x2 –5x + 6 y = 3x+2

i) y = 3 lnx – 2x j) y = 23

GABARITO 1a) 20 b) 30 c) –10 2a) –6 b) –16 c) 0 d) 2,72 e) 1 f) 13,68 g) –3 h) 3 i) 1 j) 0