Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych

SAVE OFFLINE

Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

2019

Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Obliczmy arcsin 12 , Korzystamy z faktu, że

arcsin x = w ⇔ sin w = x i

w ∈ [− π2 , π2 ],

arcsin 12 = w ⇔ sin w =

w ∈ [− π2 , π2 ].

1 2

i

x ∈ [−1, 1],

Rozwiązując równanie trygonometryczne elementarne:

sin w = 12 , otrzymujemy dwie grupy rozwiązań

w=

π 6

+ 2kπ,

k∈Z

lub

w= π−

π 6

+ 2kπ = 56 π + 2kπ,

k ∈ Z,

z których wybieramy tylko to rozwiązanie, które należy do przedziału [− π2 , π2 ], czyli w = π6 .

PRZYKŁAD

Przykład 2: Obliczmy arctg (− √3). Funkcja arctg jest nieparzysta, więc

arctg(−√3) = −arctg(√3). arctg(√3) obliczamy korzystając z faktu, że arctgx = w ⇔ tg w = x i w ∈ (− π2 , π2 ), x ∈ R, arctg√3 = w ⇔ tg w = √3 i w ∈ (− π2 , π2 ). Rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne: tgw = √3. otrzymując w = π3 + kπ, k ∈ Z spośród rozwiązań wybieramy to, które należy do przedziału (− π2 , π2 ), czyli w = π3 ,

ZADANIE

Zadanie 1: Treść zadania:

−−−−−

Pokażemy, że dla x ∈ [−1, 1] prawdziwa jest równość sin(arccos x) = √1 − x2 Rozwiązanie:

Obierzmy dowolną liczbę x ∈ [−1, 1], wówczas liczba α = arccos x należy do przedziału [0, π], więc wartość funkcji sinus dla tej liczby jest nieujemna. Z jedynki trygonometrycznej mamy

sin2 α + cos2 α = 1, sin2 α = 1 − cos2 α,

−−−−−−−− −−−−−−−− sin α = √1 − cos2 α lub sin α = −√1 − cos2 α , −−−−−−−−

Wybieramy wzór sin α = √1 − cos2 α i obliczamy

−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−− −−−−− sin(arccos x) = √1 − cos2 (arccos x) = √1 − [cos(arccos x)]2 =∗ √1 − x2 . ∗ - korzystamy z faktu, że cos(arccos x) = x, dla każdego x ∈ [−1, 1].

ZADANIE

Zadanie 2: Treść zadania:

Obliczymy wartość wyrażenia sin(arccos 12 − arcsin 1). Rozwiązanie:

Obliczamy najpierw arccos 12 , a następnie arcsin 1

arccos 12 = w ⇔ cos w =

1 2

i w ∈ [0, π],

stąd w = π3 .

arcsin 1 = w ⇔ sin w = 1 i w ∈ [− π2 , π2 ], stąd w = π2 . Mamy więc

sin(arccos 12 − arcsin 1) = sin( π3 − π2 ) = sin(− π6 ) = − sin

π 6

= − 12 .

ZADANIE

Zadanie 3: Treść zadania:

Obliczmy wartość wyrażenia sin(arccos 15 − arccos 17 ). Rozwiązanie:

Zauważmy, że postępując podobnie jak w przykładzie 3 czyli obliczając np. arccos 17 , napotkamy pewną trudność w efektywnym rozwiązaniu równania trygonometrycznego cos w = 17 . Możemy tu użyć kalkulatora do znalezienia rozwiązania przybliżonego, ale możemy też zadanie to rozwiązać inaczej.

W tym celu wykorzystamy wzory:

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β, α, β ∈ R. cos(arccosx) = x, dla x ∈ [−1, 1],

−−−−− sin(arccos x) = √1 − x2 , dla x ∈ [−1, 1] (patrz przykład drugi). Obliczamy

sin(arccos 15 − arccos 17 ) = sin(arccos 15 ) ⋅ cos(arccos 17 ) − cos(arccos 15 ) ⋅ sin(arccos 17 ) = −−−−− −−−−− −− 1 − − = 17 √1 − 251 − 15 √1 − 491 = 17 √ 24 − 5 √ 48 = 25 49

√ 24 35

−

√ 48 35

=

2√ 6−4√ 3 . 35

ZADANIE

Zadanie 4: Treść zadania:

Niech f(x) = sin x,

g(x) = arcsin x. Naszkicujemy wykresy złożeń f ∘ g

Rozwiązanie:

Funkcje f , g są podane jedynie za pomocą wzorów, czyli rozpatrujemy je w dziedzinie naturalnej.

f(x) = sin x, Df = R, g(x) = arcsin x, Dg = [−1, 1]. Znajdujemy dziedzinę złożenia

Df∘g = {x ∈ R :

x ∈ Dg

i

g(x) ∈ Df },

x ∈ [−1, 1], (arcsin x) ∈ R. Stąd Df∘g = [−1, 1] Dla x ∈ [−1, 1] obliczamy (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(arcsin x) = sin(arcsin x) = x. Otrzymujemy

(f ∘ g)(x) = x, Df∘g = [−1, 1]. Zatem złożenie f ∘ g jest identycznością w przedziale [−1, 1]. Rysujemy wykres tej identyczności.

Rysunek 1: f ∘ g

ZADANIE

Zadanie 5: Treść zadania:

Niech f(x) = sin x,

g(x) = arcsin x. Naszkicujemy wykresy złożeń g ∘ f .

Rozwiązanie:

g(x) = arcsin x, Dg = [−1, 1],

f(x) = sin x, Df = R. Wyznaczamy dziedzinę złożenia

Dg∘f = {x ∈ R : x∈R i

x ∈ Df

i

f(x) ∈ Dg },

− 1 ≤ sin x ≤ 1.

Nierówność podwójna jest zawsze spełniona, czyli

Dg∘f = R. Zauważymy, że g ∘ f jest funkcją okresową o okresie zasadniczym w = 2π, takim samym jaki ma funkcja wewnętrzna – sinus. W tym celu pokażemy, że spełnione sa dwa warunki definicyjne okresowości.

Dg∘f = R, czyli dla każdej liczby x należącej do dziedziny liczba x + 2π również należy do dziedziny, więc warunek dotyczący dziedziny funkcji okresowej jest spełniony w sposób oczywisty. Musimy pokazać jeszcze, że (g ∘ f)(x + 2π) = (g ∘ f)(x), x ∈ Dg∘f . Obliczamy

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(sin x) = arcsin(sin x), więc

(g ∘ f)(x + 2π) = arcsin(sin x + 2π) = arcsin(sin x) = (g ∘ f)(x). Funkcja g ∘ f jest więc funkcja okresową o okresie 2π.. Aby naszkicować wykres funkcji okresowej g ∘ f , wystarczy znać fragment tego wykresu w przedziale o długości 2π, a następnie „powielić” ten fragment na całą oś liczbową. Dla x ∈ [− π2 , π2 ] mamy (g ∘ f)(x) = arcsin(sin x) = x, więc wykresem jest odcinek leżący na diagonali y = x. Pozostaje

rozważyć przedział [ π2 32 π]. Zauważmy, że dla każdego x ∈ [ π2 , 32 π] możemy znaleźć taką liczbę α ∈ [− π2 , π2 ], że x = π + α. Obliczmy dla x ∈ [ π2 , 32 π]wartość złoż enia (g ∘ f)(x)

(g ∘ f)(x) = arcsin(sin x) = arcsin(sin(π + α)) =∗ arcsin(− sin α) =∗∗ − arcsin(sin α) = −α = −(x − π) = −x + π ∗ - zastosowaliśmy wzór redukcyjny sin(π + α) = − sin α ∗ ∗ - korzystamy z nieparzystości funkcji arkus sinus. Mamy, więc

⎧… ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x (g ∘ f)(x) = ⎨ −x + π ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ …

dla dla dla dla

x < − π2

x ∈ [− π2 , π2 ] x ∈ [ π2 , 32 π] x > 32 π

Możemy naszkicować wykres g ∘ f

Rysunek 2: g ∘ f

ZADANIE

Zadanie 6: Treść zadania:

Wyznaczymy dziedzinę funkcji danej wzorem f(x) = log( π6 − arccos x−5 ). 3 Rozwiązanie:

Liczby x z dziedziny funkcji Df muszą spełniać następujące warunki

| x−5 |≤1 3 π ( 6 − arccos x−5 ) ≥ 0. 3

1. 2.

Ad.1

| x−5 | ≤ 1, 3 |x−5| 3

≤ 1,

|x − 5| ≤ 3, x ∈ [2, 8]. Ad. 2

( π6 − arccos x−5 ) > 0, 3 arccos x−5 < π6 . 3 √3 Podstawiając π6 = arccos 2 mamy

arccos x−5 < arccos 3

√3 . 2

Funkcja arccos jest malejąca, więc rozwiązując tę nierówność cyklometryczną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny x−5 3

>

√3 , 2

x−5 >

3√ 3 , 2

x> 5+

3√ 3 . 2

Z (1) i (2) otrzymujemy x ∈ (5 +

3√ 3 , 8] 2

Odpowiedź

Df = (5 +

3√ 3 , 8). 2

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko

na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 10:07:00 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=24e69b2a81d7ff79a5bd95be6c64283a Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska