14Sistema Linear 2x2

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Matemática Matemática

Elementar ElementarII

Caderno de Atividades

Autor Leonardo Brodbeck Chaves

2009 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

C512

Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

CDD 510

Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR www.iesde.com.br

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Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.

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Sumário Contagem | 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11 2. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 17 1. A adição | 17 2. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 21 1. A multiplicação | 21 2. A divisão | 23

Frações (I) | 25 1. As frações | 25 2. Resolução de problemas com frações | 28 3. Frações próprias e impróprias | 30 4. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicação com frações | 40 5. Divisão com frações | 41

Potenciação | 43 1. Potenciação | 43

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Expressões numéricas | 47 1. Introdução | 47 2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 53 1. Polígono | 53 2. Ângulos | 55 3. Triângulo | 55 4. Quadrilátero | 56 5. Perímetro de um polígono | 57 6. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 65 1. Unidade de área | 65 2. Áreas de figuras planas | 66 3. Volumes | 70

Razão e proporção | 75 1. Razão | 75 2. Proporção | 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85 1. Grandezas diretamente proporcionais | 85 2. Grandezas inversamente proporcionais | 88

Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95 1. Proporcionalidade composta | 95 2. Regra de três composta | 97 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

Porcentagem e juro | 105 1. Porcentagem | 105 2. Juro | 111

Equações do 1.o grau | 117 1. Introdução | 117

Equações do 2.o grau | 125 1. Noção de equação do 2.o grau | 125 2. Forma geral | 125 3. Solução de uma equação do 2.o grau | 127 4. Resolução de problemas do 2.o grau | 137 5. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138

Sistemas lineares 2 x 2 | 143 1. Introdução | 143 2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144 3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

Radiciação | 159 1. Introdução | 159 2. Quadrados perfeitos | 160 3. Raiz quadrada | 161

Gráfico e função | 163 1. Plano cartesiano | 163 2. Função afim | 164 3. Função quadrática | 168

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Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.

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Sistemas lineares 2 x 2 1. Introdução Uma equação do 1.º grau com duas incógnitas pode ser reduzida à forma geral ax + by = c, em que a, b e c são números reais quaisquer. Note que esta equação não determina os valores de x e de y que a verificam; pode-se tomar qualquer uma das 2 incógnitas, y, por exemplo, e para cada valor de y correspondente, um valor de x. Dizemos que esta equação é indeterminada. Exemplo: seja a equação x – 3y = 7. Se atribuirmos valores a y e calcularmos os valores correspondentes de x, teremos: x – 3y = 7 x = 7 + 3y y

x = 7 + 3y

0

x=7+3.0=7+0=7

1

x = 7 + 3 . 1 = 7 + 3 = 10

2

x = 7 + 3 . 2 = 7 + 6 = 13

3

x = 7 + 3 . 3 = 7 + 9 = 16

4

x = 7 + 3 . 4 = 7 + 12 = 19

5

x = 7 + 3 . 5 = 7 + 15 = 22

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

2. Sistema de equações lineares 2 x 2 No sistema de equações lineares simultâneas 2 x 2, temos duas equações lineares a duas incógnitas, que são satisfeitas pelos mesmos valores das incógnitas; esses valores formam uma solução do sistema de equações simultâneas. Assim, a forma geral de um sistema 2 x 2 é de forma:

ax + by = c  a'x + b'y = c' Em que a, a', b, b', c, c' são números reais quaisquer. O sistema é dito 2 x 2, pois apresenta duas equações e duas incógnitas. Por exemplo, as equações:

x + 3y = 5  4x – y = 7 Formam um sistema de duas equações lineares 2 x 2. Vamos trabalhar com métodos para resolver sistemas lineares 2 x 2: método gráfico, método da substituição, método da comparação e método da adição. Mas antes vamos entender a solução gráfica do sistema anterior.

3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico Se construirmos o gráfico no plano cartesiano (eixo x e eixo y), cada equação determina uma reta, e o ponto de interseção dessas duas retas é a solução do sistema.

x + 3y = 5  4x – y = 7 a) x + 3y = 5

Para x = 0, temos:



0 + 3y = 5 y=



5 5  5  ponto ⇒  0, y= P  0,  3 3 3 3 5

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Sistemas lineares 2 x 2



Para y = 0, temos:



x+3.0=5



x=5

145

⇒ ponto Q (5,0) b) 4x – y = 7

Para x = 0 temos:



–y=7



y=–7

⇒ ponto R (0,– 7)

Para y = 0, temos:



4x – 0 = 7



4x = 7 x=



7 4

7   , 0 4

7 7  ⇒ ponto x = S  , 0 4 4 

Construindo o gráfico, temos: Y

5 3 P I

1

Q

S –7

7 4

2

5

X

R

O ponto I (2, 1), que é o ponto de interseção, é a solução do problema; portanto, x = 2 e y = 1.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição Para resolver um sistema linear 2 x 2 pelo método da substituição, isola-se o valor de x ou y de uma das equações e substitui esse valor na outra equação. Exemplo:

2x + 3y = 7  4x – 5y = 3 a) Isola-se x na primeira equação:

2x + 3y = 7



2x = 7 – 3y



x=

7 – 3y 2

b) Substituindo x na segunda equação, temos: 4x – 5y = 3  7 – 3y  4. – 5y = 3  2  2 . (7 – 3y) – 5y = 3 14 – 6y – 5y = 3 –6y – 5y = 3 –14 –11y = –11. (–1) 11y = 11 11 y = ∴ y = 1 11 c) E, voltando na expressão de x, substituindo o valor y = 1 para obter o valor de x: x=

7 – 3y 2

x=

7–3.1 2

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Sistemas lineares 2 x 2

x=

7–3 2

x=

4 ∴x=2 2

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Resposta: a solução é x = 2 e y = 1. Agora, acompanhe a resolução de um sitema de equações lineares 2 x 2 através do método da susbstituição e do método gráfico comparando os resultados.

– 2x + y = 7  3x + 5y = 9 • Método da substituição: a) Isola-se o y na primeira equação:

– 2x + y = 7



y = 7 + 2x

b) Substituindo-se y na segunda equação:

3x + 5y = 9



3x + 5 . (7 + 2x) = 9



3x + 35 + 10x = 9



13x = 9 – 35



13x = –26



x=–

26 ∴x=–2 13

c) E, voltando na expressão de y, substituindo o valor x = –2 para obter o valor de y: y = 7 + 2x y = 7 + 2 . (–2) y=7–4∴y=3 Resposta: A solução é x = – 2 e y = 3.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

• Método gráfico: a) – 2x + y = 7





Para x = 0:

Para y = 0:



– 2 . 0 + y = 7



–2.x+0=7



y = 7



– 2x = 7 . (–1)



⇒ ponto P (0,7)





2x = –7 7 x=– 2 ⇒ ponto Q ( – 7 , 0 ) 2



b) 3x + 5y = 9

Para x = 0:



Para y = 0:



3 . 0 + 5y = 9



3x + 5 . 0 = 9



5y = 9 9 y= 5



3x = 9 9 x= =3 3

9 ⇒ ponto R (0, ) 5



⇒ ponto S (3,0)



Y P

I –7 2

3 R

Q

–2

0

7

9 5 S 3

X

Note que o ponto de interseção I (–2, 3) é a solução gráfica do sistema.

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Sistemas lineares 2 x 2

Exemplo:

2x + y = 9  x – 2y = 7 Solução: a) Isolando-se x na primeira equação:

2x + y = 9



y = 9 – 2x

b) Substituindo-se y = 9 – 2x na equação, temos:

x – 2y = 7



x – 2 . (9 – 2x) = 7



x – 18 + 4x = 7



x + 4x = 7 + 18



5x = 25



x=

25

5 x=5 c) Substituindo-se x = 5 em y = 9 – 2x, temos:

y = 9 – 2x



y = 9 – 2. 5



y = 9 – 10



y = –1



Resposta: a solução do sistema é x = 5 e y = –1.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

Exercícios 1. Determine a solução dos sistemas a seguir pelo método gráfico.

2x + 3y = 7

a) 

x – y = 1

4x – y = – 2

b) 

x – 3y = 5

x + y = 6

c) 

– 3x + 2y = 12

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Sistemas lineares 2 x 2

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5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação



O método da comparação consiste em isolar o valor da mesma incógnita de cada uma das equações do sistema e igualar esses valores. Exemplos:

1.

2x + 5y = 24 (I)

Resolver o sistema 

5x + 7y = 21 (II)

a) Isolando-se x em ambas as equações: (I) 2x + 5y = 24

2x = 24 – 5y 2 4 – 5y x = 2

(II) 5x – 7y = 21

5x = 21 + 7y x =

2 1+ 7y 5

b) Igualando as equações I e II, temos: 24 – 5y

2

=

21+ 7y 5

c) Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

(24 – 5y) . 5 = 2 . (21 + 7y)



120 – 25y = 42 + 14y



– 25y – 14y = 42 – 120



– 39y = – 78 . (–1)



39y = 78 78 y= ∴y=2 39



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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

d) Substituindo-se y = 2 na equação I do item a, temos: 24 – 5 . 2 x= 2 24 – 10 x= 2 14 ∴x = 7 x= 2 Resposta: x = 7 e y = 2. 2.

A soma de dois números vale 9. Se o dobro de um dos números menos o segundo vale 12, quais são esses números?

x + y = 9 (I)  2x – y = 12 (II) a) Isolando-se x nas duas equações: (I) x + y = 9

x=9–y

(II) 2x – y = 12

2x = 12 + y 12 + y x= 2

b) Igualando as equações I e II, temos: 12 + y 9–y = 2 c) Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

(9 – y) . 2 = 12 + y



18 – 2y = 12 + y



– 2y – y = 12 –18



– 3y = – 6 . (–1)



3y = 6 6 y= ∴y=2 3



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Sistemas lineares 2 x 2

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d) Substituindo y = 2 na equação I do item a:

x=9–y



x=9–2



x=7



Resposta: os números são 7 e 2.

6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição



O método da adição consiste em somar as duas equações, de tal forma que o termo de uma das incógnitas seja eliminado.



Acompanhe os exemplos a seguir: a) Resolva o sistema:



3x + y =1(I)  2x – y = 9 (II)



Adicionando a equação (I) com a equação (II), temos: 3x + y = 1 (I)  ⊕  2x − y = 9 (II) 5x = 10 x=



10 5

x=2

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades



Substituindo x por 2 na equação (I), obtemos: 3x + y = 1 3.(2) + y = 1 6+ y =1 y = 1− 6



y = –5

Logo, a solução é x = 2 e y = -5. b) Resolva o sistema:



x − 5y = 10 (I)  3x + y = 14 (II)



Adicionando a equação (I) com a equação (II), temos: x − 5y = 10 (I) ⊕  3x + y = 14 (II)



4x − 4y = 24



Perceba que a equação resultante: 4x – 4y = 24 continua a apresentar termos com as duas incógnitas. Nesse caso, antes de adicionar as equações, devemos multiplicar uma das duas por um número adequado.



Retomando o exemplo:



x − 5y = 10 . ( − 3)  3x + y = 14

Multiplicando a equação (I) por (–3):  −3 x + 15 y = −30  3 x + y = 14

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Sistemas lineares 2 x 2

A seguir, adicionamos as duas equações:  −3x + 15y = −30    3x + y = 14

⊕

16y = −16 y=–

16 16

y = –1



Substituindo y por (–1) na equação (I):

3x + y = 14



3x + (– 1) = 14



3x – 1 = 14



3x = 15 15 x= 3 x=5



Logo, a solução é x = 5 e y = -1.

Exercícios 2.

Resolva os sistemas a seguir pelo método da comparação ou pelo método da adição:

x – y = 9

a) 

2x + y = 0

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155

156

Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

x – 3y = 2

b) 

x + 2y = – 8

x + y = 1

c) 

x + 3y = 7

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Sistemas lineares 2 x 2

3.

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Resolva os seguintes problemas: a) O triplo de um número menos o dobro de outro número é igual a 23. Se a soma desses números é 11, quais são os números?

b) Um número mais o dobro de outro número é igual a 14. Se a diferença entre o segundo e o primeiro é de 4, quais são os números?

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c) A metade do primeiro número mais o dobro do segundo número vale 11. Se a diferença entre o segundo e o primeiro vale 3, quais são os números?

d) A metade de um número mais outro é igual a 1. Se a soma desses números é igual a 3, quais são esses números?

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Gabarito

Gabarito Sistemas lineares 2 x 2 1.

a) x = 2 e y = 1 b) x = –1 e y = –2 c) x = 0 e y = 6

2.

a) x = 3 e y = –6 b) x = –4 e y = –2 c) x = –2 e y = 3

3.

a) 9 e 2 b) 2 e 6 c) 2 e 5 d) –1 e 4

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Anotações

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