Álgebra Linear - quântica

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Especialização em Física Contemporânea

Álgebra Linear em Mecânica Quântica Prof. Sérgio Vizeu Lima Pinheiro

Belém Julho de 2009

1.1 - Primeiro Postulado da Mecânica Quântica “Na Mecânica Quântica um “estado físico” é representado por um “vetor de estado” no espaço vetorial dos complexos” “Todas as informações físicas que eu posso ter do sistema está contida neste “vetor de estado” “. • Observações: Fisicamente podem ser entendidos analogamente à “Equação de estado” na mecânica estatística. Fundamentalmente em nada diferente das Grandezas vetoriais já conhecidas, como velocidade, força, deslocamento ou torque. Admitem, por exemplo, soma entre eles, multiplicação por escalar e etc... Vamos definir uma nova notação; vamos designar estes “vetores de estado” por “ |V ² “ que chamaremos de “KET” Onde mora tal vetor? 1.2 - Espaço Vetorial Definiçao:

Um espaço vetorial V é uma coleção de objetos, |V1 ² , |V2 ² , |V3 ² , ...,

| Vn ² , ..., chamados vetores, para os quais deve existir

a) Uma regra definida para formar o vetor soma, denotado por | V ² + | W ²

b) Uma regra definida para a multiplicação por escalares a, b, ..., denotado por a | V ² como segue Operações entre Vetores • Propriedade de fechamento

∀ |V ² e |W ² ∈ V , ∃ | X ² =| V ² + | W ² | | X ² ∈ V • Propriedade associativa na soma de vetores

∃ |W ² , |V ² e | X ² ∈ V | (| V ²+ | W ² ) + | X ² =| V ² + (| W ²+ | X ² )

• Propriedade comutativa na soma de vetores

∃ |W ² , |V ² e | X ² ∈ V | (| V ²+ | W ² ) = (| V ²+ | W ² ) • Elemento Neutro na soma (Vetor Nulo)

∀ |V ² ∈V ∃ | 0² | | V ²+ | 0² =| V ²

• Elemento Inverso na soma

∀ |V ² ∈V ∃ |V ² | | V ²+ | V ² =| 0² Operações entre Escalares • Propriedade Comutativa entre Escalares

a+b =b+a

• Propriedade Comutativa entre Escalares

ab = ba

• Distribuitividade da Soma de Escalares

a ( b + c ) = ab + ac • Elemento Neutro para a Soma de Escalares

∃0| a+0= a

• Elemento Neutro para o Produto de Escalares

∃ 1 | 1a = a

• Elemento Inverso para a Soma de Escalares

∀a , ∃ a | a + a = 0

• Elemento Inverso para o Produto de Escalares

∀a , ∃ 1 | a 1 = 1 a a Operações Híbridas • Propriedade Distribuitiva de Escalares

∀ |V ² e |W ² ∈ V , a (| V ²+ | W ² ) = a | V ² + a | W ² • Propriedade Distribuitiva de Vetores

∀ |V ² e |W ² ∈ V , ( a + b ) | V ² = a | V ² + b | V ² • Propriedade Associativa

( ab ) | V ² = a ( b | V ² ) Exemplo de Espaços Vetoriais: a) O conjunto R (dos reais) é um espaço vetorial sobre  . b) O conjunto C (dos complexos) é um espaço vetorial sobre  e sobre  . c) O conjunto de vetores definidos por meio de seguimentos orientados é um espaço vetorial sobre  . d) O conjunto

M m×n ( 

) (das matrizes de ordem m × n ) é um espaço

vetorial. e) O conjunto Pn

(  ) ou Pn (  ) (dos polinômios de grau n sobre os reais,

ou complexos) é um espaço vetorial sobre C ou R. 1.3 - Sub-espaços Vetoriais. Definição: Sendo V um espaço vetorial vetorial sobre C ou R, um sub-espaço vetorial de V é um sub-conjunto W ⊂ V , tal que a) b) c)

0∈W ∀ | V ² e |W ² ∈W , | V ²+ | W ² ∈ W ∀ a ∈  (ou  ) e ∀ |V ² ∈W , a | V ² ∈W .

1.4 - Espaço Dual Definição:

A cada espaço vetorial V sobre C é possível associar um novo espaço vetorial como uma projeção conjugada/transposta deste. Denotaremos os vetores do “Espaço Dual” como “ ¢V | ” que chamaremos de “BRA” Observações: • Uma vez que os vetores ¢V | formam um espaço vetorial, eles devem obedecer todas as propriedades antes requeridas para o espaço vetorial “comum”. • Existe uma correspondência bionívoca entre os vetores do espaço “KET” e do espaço “BRA” (dual), ou seja,

| V ² ⇔ ¢V |

sendo esta correspondência chamada “correspondência dual”. Logo

| V ²+ | W ² ⇔ ¢V | +¢W | a | V ² + b | W ² ⇔ a∗ ¢V | +b∗ ¢W | • O espaço dual, é o espaço das funções lineares (de vetores) que associam vetores a escalares. 1.5 - Funções Lineares Definição: São funções que associam vetores (como argumentos) à escalares, ou seja,

f (| V ² ) = escalar . Com a seguinte propriedade:

f ( a | V ² + b | W ² ) = af | V ² + bf | W ² . • Neste ponto é oportuno introduzir uma nova notação

f |V ² Ÿ ¢ f |V ²

¢ f | V ² como uma aplicação da função f sobre um vetor |V ² tendo como resultado um escalar

Sendo que devemos entender

Observações: • A propriedade acima define a linearidade da função. • Esta notação acima sugerida foi introduzida por P. Dirac, chamada de “BRACKET”, onde comumente os “BRAS” são funções lineares e os “KETS” são vetores. • As funções lineares formam um espaço vetorial. 1.6- Produto Escalar ou Produto Interno Definição: Seja V um espaço vetorial sobre C (ou R). Entende-se por produto interno, ou produto escalar sobre V uma aplicação que transforma cada par ordenado ¢V | W ² em um escalar C (ou R), conforme o caso, obedecendo às seguintes propriedades (Axiomas): a)

Conjugação

¢V1 | V2 ² = ¢V2 | V1 ² ∗ (a) (b) ou seja, (a) e (b) são o complexo conjugado um do outro. • Desta propriedade podemos concluir que

¢V1 | V1 ² = ¢V1 | V1 ² ∗ = Número Real b) Métrica Positiva

na qual se

¢V | V ² ≥ 0

¢V | V ² = 0 Ÿ| V ² = 0 .

• O produto de um vetor por ele mesmo é chamado de NORMA do vetor, e é denotado por || V || . Esta propriedade é essencial na interpretação probabilística da Mecânica Quântica

c)

Linearidade à Direita

¢V1 | aV2 + bV3 ² = ¢V1 | aV2 ² + ¢V1 | bV3 ² = a ¢V1 | V2 ² + b¢V1 | V3 ²

Uma vez definidos estes três postulados (Axiomas) temos ainda as seguintes propriedades decorrentes destes d)

¢ aV1 | V2 ² = ¢V2 | aV1 ² ∗ = a∗ ¢V2 | V1 ² ∗ = a∗ ¢V1 | V2 ²

d) Anti-Linearidade à Esquerda

¢ aV1 + bV2 | V3 ² = ¢ aV1 | V3 ² + ¢bV2 | V3 ² = ¢V3 | aV1 ² ∗ + ¢V3 | bV2 ² ∗ = a ∗ ¢V3 | V1 ² ∗ + b∗ ¢V3 | V2 ² ∗ = a ∗ ¢V1 | V3 ² + b∗ ¢V2 | V3 ²

Observações Gerais sobre Produto Interno (Escalar) • Dois “Kets” |V ² e |W ² são ortogonais se:

¢V | W ² = 0 • Dado um “Ket”não nulo |V ² , pode-se escrever |V ² normalizado, |V ² , como

§ 1  |V ² = ¨ ¨ ¢V | V ² ©

· ¸¸ | V ² ¹

• Uma vez normalizado podemos escrever que

¢V | V ² = 1 ¢V | U ² pode ser visto como para identificando o espaço vetorial dos vetores |V ² com o espaço vetorial das funções lineares f .

• O produto

Assim podemos identificar

{| V ²} → {¢ f |} . Esta correspondência dos vetores acima é chamada de “Isomorfismo” 1.7 - A Desigualdade de Schwarz Sejam dois vetores |U ² e |V ² pertencentes a um espaço vetorial, podemos afirmar que

| ¢U | V ² |2 = ¢U | V ².¢U | V ² ∗ ≤ ¢U | U ².¢V | V ² Prova: Vamos considerar o vetor genérico |W ² dado por

| W ² =| U ² − a | V ² logo:

¢W | W ² = ¢U + aV | U + aV ² = ¢U + aV | U ² + ¢U + aV | aV ² = ¢U | U ² + ¢ aV | U ² + ¢U | aV ² + ¢ aV | aV ² = ¢U | U ² + a∗ ¢V | U ² + a¢U | V ² + a∗a ¢V | V ² = ¢U | U ² + a∗ ¢V | U ² + a ¢U | V ²+ | a |2 ¢V | V ²

escolhendo

a=−

¢V | U ² , ¢V | V ²

logo,

a∗ = −

¢U | V ² . ¢V | V ²

Substituindo, temos

¢W | W ² = ¢U | U ² −

¢U | V ² ¢V | U ² + ¢V | V ²

¢V | U ² | ¢V | U ² |2 − ¢U | V ² + ¢V | V ² ≥ 0 2 ¢V | V ² | ¢V | V ² |

¢W | W ² = ¢U | U ² −

¢U | V ² ¢U | V ² ∗ + ¢V | V ²

¢U | V ² ∗ | ¢V | U ² |2 − ¢U | V ² + ≥0 ¢V | V ² ¢V | V ² ou ainda,

¢U | V ² ¢W | W ² = ¢U | U ² − ¢U | V ² ∗ ≥ 0 ¢V | V ² e finalmente obtemos

| ¢U | V ² |2 ≤ ¢U | U ²¢V | V ² sendo esta a “Desigualdade de Schwarz”. • Observe que esta expressão é analoga a

2 2 2 | a | + | b | ≥| a.b | no espaço real Euclidiano. 1.5 - Base e Dimensão Vamos considerar um dado espaço vetorial V sobre o corpo dos reais ou dos complexos.

Definição:

L = {| V ²

| V ²}

1 , |V2 ² , ..., n ⊂V é Dizemos que um conjunto linearmente independente (L.I.) se, e somente se, uma igualdade do tipo

a1 | V1 ² + a2 | V2 ² + ... + an | Vn ² = 0 ai pertencente a  an = 0 .

com os

ou



a só for possível para 1

= a2 = ... =

Definição:

L = {| V ² |V ²

| V ²}

1 , n 2 , ..., ⊂V é Dizemos que um conjunto linearmente dependente (L.D.) se, e somente se, L não é L. I., ou seja, é possivel uma igualdade do tipo

a1 | V1 ² + a2 | V2 ² + ... + an | Vn ² = 0 a = a2 = ... = an = 0 . sem que 1

1.8 - Base e Dimensão Vamos considerar um dado espaço vetorial V sobre



ou



.

Definição: Dizemos que um conjunto

L = {| V1 ² , |V2 ² , ..., | Vn ²} ⊂ V

é

linearmente independente (L.I.) se, e somente se, uma igualdade do tipo

a1 | V1 ² + a2 | V2 ² + ... + an | Vn ² = 0

ai pertencente a  an = 0 .

com os

ou



só for possível para a1

= a2 = ... =

Definição:

L = {| V1 ² , |V2 ² , ..., | Vn ²} ⊂ V é linearmente dependente (L.D.) se, e somente se, L não é L. I., ou seja, é Dizemos que um conjunto

possível uma igualdade do tipo

a1 | V1 ² + a2 | V2 ² + ... + an | Vn ² = 0 sem que a1

= a2 = ... = an = 0 .

Definição: Chamamos de Base de um espaço vetorialV um subconjunto que os elementos de B sejam Linearmente Independentes.

B ⊂ V tal

Ou seja, todos os seus componentes são ortogonais entre si. Sendo o conjunto

B = {| V1 ² , |V2 ² , ..., | Vn ²} uma base, então

¢V1 | V2 ² = ¢V1 | Vn ² = ... = ¢Vn | Vm ² = ... = 0

Base é um conjunto de vetores L.I. suficiente para expandir qualquer vetor do Espaço Vetorial Definição: Chama-se de Dimensão de um Espaço Vetorial V ( denotado por: dim V ), o número de vetores de uma qualquer de suas bases. Teorema da Invariância: Se V for um Espaço Vetorial, então duas bases quaisquer de necessariamente o mesmo número de vetores.

V

tem

Observações: • Sempre é possível escrever (expandir) qualquer vetor de um dado espaço vetorial em termos de uma base deste espaço vetorial, ou seja,



| V ² = ¦ vi | ui ² i =1

na qual

vi são as i componentes do vetor |V ² na direção i. | ui ² são os vetores da Base.

• Ortonormalidade Um caso mais restrito, especialmente importante para a Mecânica Quântica, é o caso em que além dos vetores da Base sejam Ortogonais entre si (condição necessária para ser Base), eles sejam também normalizadas. Diz-se, neste caso, que são Ortonormalizadas. Assim temos que

¢ui | u j ² = δ ij na qual δ ij é o Delta de Kroner definido da forma

δ ij = 1 quando i=j δ ij = 0 quando i ≠ j Cada uma das componentes de um vetor | V ² pode ser obtida multiplicando escalarmente o vetor pela Base respectiva, ou seja,

¢ui | V ² = ¢ui | ¦ v j | u j ² j

= ¦ v j ¢ui | u j ² j

= ¦ v jδ ij = vi j

Portanto um vetor | V ² pode ser escrito como

| V ² = ¦ vi | ui ² i

= ¦ ¢ui | V ² | ui ² i

= ¦ | ui ²¢ui | V ² i

logo

¦ | u ²¢u | = 1 i

i

i

Propriedade esta conhecida como Completeza, ou, Propriedade de Fechamento. Vamos considerar o produto escalar de dois vetores |V ² e termos da mesma Base, ou seja

| V ² = ¦ vi | ui ²

|W ²

escritos em

| W ² = ¦ wi | ui ²

e

i

i

a Correspondência Dual nos garante que

| V ² = ¦ vi | ui ² ⇔ ¢V |= ¦ vi ¢ui | ∗

i

i

| W ² = ¦ wi | ui ² ⇔ ¢W |= ¦ wi ¢ui | ∗

i

i

logo temos que

¦ v ¢u | ¦ w | u ² = ¦¦ v w ¢u | u ² = ¦¦ v w δ ¢V | W ² = ¦ v w ∗

¢V | W ² =

i

i

j

i

i

j

j

i

∗ i

j

∗ i

j

i

j

j

ij

j

∗ i

i

i

Ou seja, obtemos um resultado conhecido porém um pouco mais abrangente, pois aqui leva-se em conta a possibilidade dos coeficientes da combinação linear sejam números complexos

1.9 – Operadores Lineares Definição: Operadores, são objetos que identificam um vetor a um outro vetor, ou seja, sendo A um operador, temos que

A | V ² =| V ² ,

com a seguinte propriedade

A ( a | V ² + b | U ² ) = aA | V ² + bA | U ² Exemplos: a) | U ²¢V | , pois aplicado em um vetor |W ² nos fornece

| U ²¢V | W ² = ¢V | W ² | U ² escalar vetor

vetor

§ N · b) ¨ ¦ | ui ² aij ¢ v j | ¸ , pois aplicado em um vetor | wi ² temos © ij ¹ N § N · ¨ ¦ | ui ² a j ¢ v j | ¸ | wi ² = ¦ | ui ² a j ¢v j | wi ² ij © ij ¹ N

= ¦ | ui ² a jδ ij ij N

= ¦ ai | ui ²

vetor

i

Algumas Propriedades e Definições

A e B são ditos iguais se ∀ |V ², A |V ² = B |V ² Um certo operador A é dito “operador nulo” se ∀ | V ² , A | V ² =| 0²

• Dois operadores •

• Operadores podem ser somados, e são associativos pela soma, ou seja, sendo A , B e C operadores, então

•

A + ( B + C ) = ( A + B) + C Um objeto do tipo ¢ f | A é uma Função Linear, pois, aplicado sobre um vetor |V ² temos ¢ f | A | V ² = ¢ f | V ² escalar

• Pela Correspondência Dual, podemos garantir que

A | V ² ⇔ ¢V | A† †

sendo que o operador A é chamado de Hermitiano Adjunto, ou, simplesmente, Adjunto do operador A . Definição: Um operador é dito Hermitiano quando

A = A†

ou seja, quando sua representação adjunta coincide com sua representação “original”. • O produto de operadores, em geral, não é comutativo, ou seja, AB | V ² ≠ AB | V ² . ou ainda, temos

AB | V ² − BA | V ² = 0 ( AB − BA) | V ² ≠ 0

( AB − BA) também é um operador linear, e é chamado de Comutador de A e B , e denotaremos por [ A, B ] . Se [ A, B ] = 0 , diz-se que A e B comutam O termo entre parênteses

[ A, B ] ≠ 0 , diz-se que A e B não comutam • Os operadores satisfazem, no entanto, a propriedade de associatividade,

A ( BC ) | V ² = ( AB ) C | V ² • Observe portanto que

AB | V ² = A ( B | V ² ) pela Correspondência Dual podemos escrever que

AB | V ² = A ( B | V ² ) ⇔ ( ¢V | B † ) A† = ¢V | B † A† e concluímos que

( AB )

†

= B † A†

1.10 – Bases e Operadores Sabemos que uma vez definida uma Base de um dado Espaço Vetorial V , é possível escrever qualquer vetor deste espaço como uma combinação linear dos vetores que compõem a Base, ou seja, 

| V ² = ¦ vi | ui ² i =1

sendo que a componente vi será obtida multiplicando |V ² escalarmente por ¢ui | , obtendo-se

vi = ¢ui | V ² . Multiplicando (aplicando em) |V ² o operador P{S} = ¦ | ui ²¢ui | i∈{S }

obtemos a componente

vi

multiplicado pela “direção”

P{S} é chamado de Operador Projeção sobre um sub-espaço {S}. • Propriedade do Operador Projeção

P{2S} = P{S} Prova:

P{2S} | V ² =

¦¦

i∈{S } j∈{S }

| ui ²¢ui |u j ²¢u j |

| ui ² .

O operador

=

¦¦

| ui ²δ ij ¢u j |

i∈{S } j∈{S }

=

¦ | u ²¢u | = P{ } i

i

S

i∈{S }

Representação Matricial de um Operador Considere a aplicação de um operador genérico |V ² , definida por

A sobre um certo vetor

A | V ² =| W ² que pode ser escrita ainda como

| W ² = A¦ | ui ²¢ui | V ² i

uma dada com componente de um vetor |W ² pode então ser escrita da forma

¢u j | W ² = ¢u j | ¦ A | ui ²¢ui | V ² i

= ¦ ¢u j | A | ui ²¢ui | V ² i

Aij

Elemento de Matriz

§ ¢u1 | W ² · § ¢u1 | A | u1 ² ¢u1 | A | u2 ² ¨ ¢ u | W ² ¸ ¨ ¢u | A | u ² ¢ u | A | u ² 1 2 "2 ¨ 2 ¸=¨ 2 ¨  ¸ ¨   ¨ ¸ ¨ © ¢un | W ² ¹ © ¢un | A | u1 ² ¢un | A | u2 ²

 ¢u1 | A | un ² ·§ ¢u1 | V ² · ¸  ¢u2 | A | un ² ¸¨ ¢ u | V ² 2 ¸¨ ¸ ¸¨  ¸   ¸¨ ¸  ¢un | A | un ² ¹© ¢un | V ² ¹

Forma Matricial do Operador

A

¢ui | V ² do vetor |V ² na componente do ¢ui | W ² do vetor | W ²

Esta matriz transforma a componente

• Matriz Transposta Conjugada

Sendo A um operador Hermitiano, sabemos que podemos escrever, pela Correspondência Dual que

A | V ² =| V ² ⇔ ¢V |= ¢V | A∗ Fazendo o produto escalar de um dado vetor ¢U | por A | V ² que ¢U | A | V ² = ¢U | V ² = ¢V | U ² ∗ = ¢V | A† | U ² ∗ Escrevendo na forma matricial a igualdade acima, temos

§ · ∗ † ∗ v A u = u A v ¦ij j ( ) ji i ¨© ¦ k kl l ¸ kl ¹

∗

= ¦ uk Akl∗ vl∗ kl

= ¦ vl* Akl∗ uk kl

k → i e l → j , e escrever que ui = ¦ v*j Aij∗ui

sendo k e l índices mudos, podemos fazer ∗ † v A ( ¦ j ) ij

ji

ij

de onde concluímos que

Aij† = A*ji resultado já esperado da teoria de matrizes. • Algumas Propriedades Gerais Importantes a)

Vamos fazer o produto escalar de um vetor por ele próprio, expandido em uma dada Base, ou seja,

¢V | V ² = ¢V | ¦ | u ²¢u | V ² u

= ¦ ¢V | u ²¢V | u ² ∗ u

= ¦ | ¢V | u ² |2 u

sendo que, quando | V ² for normalizado

¦ | ¢V | u² | = 1 2

u

Propriedade esta fundamental para a Mecânica Quântica, ela nos garante que a soma de todas as probabilidades de ocorrência de um estado seja 1 b)

Usando a igualdade

¢U | A | V ² = ¢V | A† | U ² ∗

(1)

conjugando a expressão inteira temos que

¢V | A† | U ² = ¢U | ( A† )† | V ² ∗

(2)

de (1) podemos escrever que

¢U | A | V ² ∗ = (¢V | A† | U ² ∗ )∗ = ¢V | A† | U ²

(3)

observando que (2) e (3) são iguais, temos que † †

¢U | A | V ² = ¢U | ( A ∗

)

| V ²∗

da qual concluímos que † †

A=(A

)

A diz-se que se A† = A → o operador é dito Hermitiano A† = − A → o operador é dito Anti-Hermitiano

c)

Para um dado operador

d)

Todo operador sempre pode ser escrito em uma parte Hermitiana e outra Anti-Hermitiana da forma

A + A† A − A† A= + 2 2 Hermitiana Anti-Hermitiana

e) •

Existem várias relações entre comutadores com o intuito de facilitar os cálculo, por exemplo

[ A, BC ] = B [ A, C ] + [ A, B ] C

Prova:

[ A, BC ] = ABC − BCA + BAC − BAC = B ( AC − CA) + ( AB − BA)C = B [ A, C ] + [ A, B ] C • •

[ AB, C ] = A[ B, C ] + [ A, C ] B [ A, BC ] = { A, B} C − B { A, C} sendo que aqui definimos o Anti-comutador como

• •

{ A, B} = AB + BA [ AB, C ] = A{B, C} − { A, C} B [ AB, CD ] = A{C , B} D − AC {D, B} + + {C , A} DB − C { D, A} B

1.11- Autovetores e Autovalores Definição: Seja uma equação de aplicação de um dado operador vetor | V ² da forma

A

em um certo

A |V ² = a |V ². Esta equação é conhecida como Equação de Autovalor, e neste caso chamamos a de Autovalor e | V ² de Autovetor. Propriedades: • Se A é Hermitiano, então seus autovalores são reais. Prova:

Seja a seguinte equação de autovalores

A |V ² = a |V ²

pela Correspondência Dual, temos

¢V | a∗ = ¢V | A† multiplicando escalarmente ambas por ¢V | ou |V ² , conforma o caso, temos ¢V | A | V ² = ¢V | a | V ² = a ¢V | V ² (1) ¢V | a∗ | V ² = ¢V | A† | V ² ¢V | A† | V ² = a∗ ¢V | V ² (2) † observe que sendo A Hermitiano, A = A , logo (1) e (2) são iguais e podemos escrever

a∗ ¢V | V ² = a ¢V | V ² Ÿ a∗ = a →

a é Real • Autovetores correspondentes a autovalores diferentes são Ortogonais (para operadores Hermitianos). Prova: Sejam as Eq. de autovalores

A |V ² = a |V ²

(1)

e

A | V ² = a | V ² (2) multiplicando (1) por ¢V | temos que ¢V | A | V ² = ¢V | a | V ² = a ¢V | V ² . (3) Pela Correspondência Dual, usado a Hermiticidade de A , podemos escrever

(2) como

¢V | A = ¢V | a multiplicando esta por |V ² temos que

¢V | A | V ² = ¢V | a | V ² = a ¢V | V ² .

(4)

Subtraindo, por fim, (3) e (4) temos

( a − a )¢V | V ² = 0 excluindo o caso trivial em que |V ² ou |V ² sejam nulos, a igualdeda acima é satisfeita se a = a .

Para cada estado temos um autovalor associado O caso particular em que dois estados diferentes possuem o mesmo autovalor também existe em Mecânica Quântica, este caso é chamado Degenerado • Diagonalização Seja a seguinte equação de Autovalores

A |V ² = a |V ²

Lembramdo da propriedade de Completeza, ou seja, que

¦ | u ²¢u |= 1 i

i

i

Podemos escrever a equação de autovalores como

¦

A | ui ²¢ui | V ² = ¦ a | ui ²¢ui | V ²

i

i

¢u j | temos que ¦ ¢u j | A | ui ²¢ui | V ² = ¦ a¢u j | ui ²¢ui | V ²

tomando o produto escalar por

i

i

Aij

δ ij

vi

¦ A a = aa ¦ ( A − aδ )a = 0 ij i

j

i

ij

i

ij

i

vi

para que esta equação tenha uma solução diferente da trivial é necessário que

Det ª¬ Aij − aδ ij º¼ = 0 Esta conclusão pode ser obtida mais rapidamente fazendo

( A − a) |V ² = 0 novamente, para termos uma solução diferente da trivial ( | V ² = 0), devemos ter

Det [ A − aI ] = 0 esta equação é conhecida como Equação Secular. • Propriedade Importante Dados dois operadores Hermitianos

[ A, B ] = 0

se, e somente se,

A e B é possível afirmar que A e B podem ser diagonalizados

simultaneamente. Entende-se que “diagonaliza-los simultaneamente” significa que eles podem ser expandidos na mesma Base (possuem o mesmo conjunto de autovetores) Prova: (Ida: partindo da premissa que | n² é autoestado simultâneo de mostrar que eles comutam) Sejam as seguintes equação de autovalores

A | n² = an | n²

(1)

B | n² = bn | n² Aplicando B em (1) temos BA | n² = an B | n² = an bn | n² Aplicando A em (2) temos AB | n² = bn A | n² = bn an | n²

(2)

e

Subtraindo estas expressões, temos que

A e B,

AB | n² − BA | n² = bn an | n² − an bn | n² [ A, B ] | n² = ( bn an − anbn ) | n² = 0

[ A, B ] | n² = 0 Ÿ [ A, B ] = 0 (volta: partindo da premissa que A e B comutam, mostrar que | n² é autoestado simultâneo ambos) Seja,

A | n² = an | n² A | m² = am | m²

e

[ A, B ] | n² = 0 Vamos tomar esta última expressão e fazer o produto escalar com

¢ m | [ A, B ] | n² = ¢ m | AB − BA | n² = 0

am ¢ m | B | n² − an ¢ m | B | n² = 0

(am − an )¢ m | B | n² = 0 an ≠ am , logo implica que ¢ m | B | n² = 0

se não tivermos degenerescência,

de maneira que a única maneira desta igualdade ser satisfeita é

bn ¢ m | n² = 0

δ mn = 0 Ÿ| n² ≠| m² porém, para tanto, foi necessário supor que

¢ m | temos

B | n² = bn | n² o que implica que | n² é autoestado também de

B.

A Construção da Mecânica Quântica Postulados da Mecânica Quântica Primeiro Postulado A cada estado de um sistema quântico associamos um vetor sobre o corpo dos complexos, chamado de Vetor de Estado Segundo Postulado A cada variável dinâmica (observável físico) associamos um operador linear Hermitiano Terceiro Postulado Em uma medida (de uma dada grandeza), os valores possíveis desta são os autovalores do operador correspondente à grandeza (observável) em questão Quarto Postulado Os autovetores das variáveis dinâmicas formam uma base do espaço vetorial Quinto Postulado A probabilidade de obter o estado

¢ a | em | V ² é

Pa =| ¢ a | V ² |2

dado por

A Relação de Incerteza de Heisenberg • Elementos de Probabilidade O Valor Esperado de uma dada medida em um certo estado | V ² é definido por

A = ¢ A² = ¢V | A | V ² que pode ser escrito como

A = ¦¦ ¢V | a '²¢ a ' | A | a²¢ a | V ² a'

a

sendo | a² um autovetor de

A , podemos escrever que A = ¦¦ ¢V | a '² a ¢ a ' | a²¢ a | V ² a'

a

δ aa '

A = ¦ a ¢V | a²¢ a | V ² = ¦ aPa a

a

ou seja, o Valor Esperado de um operador é o valor médio da medida de uma dada grandeza física, supondo que ou se medir a variável dinâmica relativa ao operador sejam encontrados vários resultados diferentes. O Desvio de uma medida é definido como

∆A = A − ¢ A²

A Média do Desvio é

¢ ∆A² = ¢ A − ¢ A²² = ¢ A² − ¢¢ A²² = ¢ A² − ¢ A² = 0

Sendo sempre nulo a Média do desvio, vamos definir a Média do Quadrado do Desvio, ou Desvio Médio Quadratico, ou Dispersão, ou ainda Variância, como 2

¢ ∆A2 ² = ¢( A − ¢ A² ) ²

= ¢( A2 − 2 A¢ A² + ¢ A² 2 )² = ¢ A2 ² − 2¢ A²¢ A² + ¢ A² 2

¢ ∆A2 ² = ¢ A2 ² − ¢ A² 2 Vamos então definir

∆A | V ² =| α ² ∆B | V ² =| β ²

com com

∆A = ∆A† ∆B = ∆B †

Pela desigualdade de Schwarz sabemos que

| ¢α | β ² |2 ≤ ¢α | α ².¢ β | β ² logo, usando as definições acima, temos

| ¢V | ∆A∆B | V ² |2 ≤ ¢V | ∆A∆A | V ².¢V | ∆B∆B | V ²

¢∆A2 ²

¢∆B 2 ²

¢ ∆A2 ²¢ ∆B 2 ² ≥| ¢V | ∆A∆B | V ² |2 ∆A∆B − ∆B∆A ∆A∆B + ∆B∆A ¢ ∆A2 ²¢ ∆B 2 ² ≥| ¢V | + | V ² |2 2 2 1 ¢ ∆A2 ²¢ ∆B 2 ² ≥ | ¢V | [ ∆A, ∆B ] + {∆A, ∆B} | V ² |2 4 1 ¢ ∆A2 ²¢ ∆B 2 ² ≥ | ¢V | [∆A, ∆B ] | V ² |2 4 ∆A∆B ≥

| ¢V | [ A, B ] | V ² | 2

Ÿ Relação Geral de Incerteza

Para ilustrar a relação de incerteza vamos considerar que os operadores gerais A e B em

∆A∆B ≥

| ¢V | [ A, B ] | V ² | 2

sejam os operadores posição X e momento linear comutador entre estes dois operadores é dado por

P.

Sabendo que o

[ X , P ] = i substituindo acima teremos

2 ∆X ∆P ≥ 4

Volume do Espaço de Fase

• Grandezas que não comutam são ditas Complementares, ou Não Compatíveis • Quando duas grandezas não comutam elas não podem ser medidas simultaneamente com precisão absoluta • Este resultado é exclusivamente da Mecânica Quântica, foi proposto por Karl Werner Heisenberg em 1927, com 28 anos de idade.