31 LOGARITMO CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA, TEORIA, LOG DECIMAL, LOG NATURAL E MUDANÇA DE BASES

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MATEMÁTICA I

LOGARITMO: CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA, TEORIA, LOG DECIMAL, LOG NATURAL E MUDANÇA DE BASES

INTRODUÇÃO

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Considere três números reais positivos, a, b e c, com a ≠ 1. Os resultados a seguir são consequências imediatas da definição de logaritmo. 1ª) loga1 = 0 De fato, vamos indicar por x o logaritmo da unidade. Assim, loga1 = x Pela definição de logaritmo, loga1 = x ↔ ax = 1 → x = 0 Portanto, loga1 = 0 2ª) logaa = 1

O escocês John Napier (1150 – 1617), criador dos Logaritmos (Disponível em: https://jaquelinejk.wordpress.com/indice-biografico/. Acesso em outubro de 2016)

Definição: sejam a e b dois números reais positivos, com a ≠ 1. Chama-se logaritmo de b na base a, o expoente x tal que ax = b. Em símbolos, escrevemos: loga b = x ↔ ax = b Na sentença logab = x, a é chamado de base x é chamado de logaritmo e b é chamado de logaritmando. É sempre importante lembrar que, 0 < a ≠ 1 e b > 0.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Determine o valor de x tal que log28 = x Resolução: Pela definição de logaritmo, temos que log28 = x ↔ 2x = 8

2 =2 x

3

02. Determine o valor de log25 4 125 Resolução: Vamos chamar de x o valor que queremos encontrar. Assim:

log25 125 = x 4

Da definição de logaritmo, temos: 25x = 4 125 (52)x = 5 = 5 2x

2x =

4

53

3 4

3 4

3 x= 8 3  8 

S=  

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De fato, vamos indicar por x o logaritmo de a na base a. Assim, logaa = x Pela definição de logaritmo, logaa = ↔ ax = a → x = 1 Portanto, logaa = 1 3ª) logab = logac → b = c De fato, vamos indicar por x esses logaritmos. Assim, logab = x e logac = x Mas, da definição de logaritmo, logab = x ↔ ax = b (I) Da mesma forma, logac = x ↔ ax =c (II) De (I) e (II), temos b = c. Portanto, logab = logac ↔ b = c 4ª) alogab = b De fato, vamos indicar por x essa potência. Assim,  alogab = x. Escrevendo essa potência como logaritmo, temos: logax = logab ↔ x = b Portando, alogab = b

SISTEMAS DE LOGARITMOS Chamamos de sistemas de logaritmos de base a, o conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (0 < a ≠ 1). Existem dois sistemas de logaritmos muito importantes. O sistema de logaritmos decimais e o sistema de logaritmos neperianos.

SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMAIS É o sistema de base 10. Considere um número real positivo b. Representamos o logaritmo decimal de b, por log10b. Quando a base é 10, é muito comum representar log10b, simplesmente por log b.

SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS (OU LOGARITMOS NATURAIS) É o sistema de base e. O número e é um número irracional, cujo valor é, aproximadamente, 2,718. Assim, e ≅ 2,718. Considere um número real positivo b. Representamos o logaritmo neperiano de b, por logeb. Quando a base é o número e, é muito comum escrever logeb como ln b.

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MUDANÇA DE BASE

Demonstração:

Em diversas situações, será muito importante mudar a base do logaritmo. Vamos agora estudar como isso pode ser feito.

1º caso:

Considere três números reais positivos a, b e d, com a e d diferentes de 1. Temos que:

Deve-se considerar dois casos: Se b = 1, temos

loga 1 = 0  1 loga 1 ⇒ log n 1 = a log n 1 = 0  n a 

logd b logab = logd a

Demonstração:

Considere três números reais w, j e k, tais que logab = w, logdb = j e logda = k

2º caso: Se b ≠ 1, temos:

1 1 1 1 log n b = n = loga b ⋅ = a logb a n logb a n

Pela definição de logaritmos temos: logab = w ↔ aw = b logdb = j ↔ dj = b logda = k ↔ dk = a

COLOGARITMO

Como dk = a, elevando ambos os membros da igualdade a w, temos: (dk)w = aw = b = dj Assim, d kw = d j → kw = j → w =

onde loga b =

k j

logd b como queríamos demonstrar. logd a

Exemplo: Transformando o log23 para a base 7: log7 3 log23 = log7 2

Sendo assim, teremos algumas consequências da mudança de base: 1º) Se a, b e c são números reais e positivos e a e c diferentes de 1, então:

Cologab = - logab com b > 0 e 1 ≠ a > 0

PROEXPLICA Estima-se que a cada ano ocorra cerca de 500  mil terremotos gerados por encontros de placas tectônicas, falhas geológicas e atividades vulcânicas em todo o globo. Cada abalo sísmico possui a sua magnitude e a energia liberada pode ser calculada por meio de funções logarítmicas como veremos na questão a seguir.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. (ENEM) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:

loga b = logc b · loga c

M w =−10,7 +

Demonstração: Transformando o logc b para a base a: logc b ⋅ loga c =

loga b ⋅ loga c = loga b loga c

2º) Se a e b são números reais positivos e diferentes de 1, então: loga b =

1 logb a

Demonstração: Transformando o loga b para a base b: logb b 1 log = = ab logb a logb a 3º) Se a e b são números reais positivos com a diferente de 1 e n um número real não nulo, então: 1 log n b= ⋅ loga b a n

2

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2 ⋅ log10 (M0 ) 3

Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3. (U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em 1 maio 2010 [adaptado]).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe em (dina.cm)? a) 10-5,10

b) 10-0,73

c) 1012,00

d) 1021,65

e) 1027,00

Resolução: E Fazendo Mw = 7,3, temos: 2 7,3 = −10,7 + ⋅ logM0 3 2 18= ⋅ log MO 3 27= log MO → MO = 1027

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03. (MACKENZIE)

EXERCÍCIOS

PROTREINO

a) 1

01.Calcular os valores de: a)

Se a, b e c são números reais positivos e logb a ⋅ loga c é igual a logc b

diferentes de 1, e logb c = k, então

b)

log2 64

02. Determinar o valor do log 1 16

( 2)

4

1 k

b)

log0,0001

c) k

.

d) 2k

03. Encontre entre quais números inteiros está o log4 20.

e) k2

04.Calcule o valor de x:

04. (PUCRJ) Se log1/2 x = -3, então

x = log2 8

a) 3/4

05.Determine o resultado de:

05. (UECE) Se os números positivos e distintos log w, log x, log y, log z formam, nesta ordem, uma progressão geométrica, então, verifica-se a relação

a) log6 . log6 10 b) log3 8 . log2 3

01. (ENEM) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por E  2 M = log   , 3  E0  sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre E1 e E2?

c) E1 = 103 · E2

c) 28

d) 50

e) 66

f) logw x + logy z = 0

h) logw z · logx y = 1

g) logw x - logy z = 0

i) logw z = logx y.

A tabela mostra o cálculo do índice de risco de cinco eventos diferentes.

PROPOSTOS

b) E1 = 102 · E2

x + x2 vale:

06. (UNESP) Um banco estabelece os preços dos seguros de vida de seus clientes com base no índice de risco do evento assegurado.

EXERCÍCIOS

a) E1 = E2 + 2

b) 6

3

Evento (E)

Risco de morte (1 em n mortes)

Log n

Índice de risco de E (10 – log n)

Atingido por relâmpago

1 em 2.000.000

6,3

3,7

Afogamento

1 em 30.000

4,5

5,5

Homicídio

1 em 15.000

4,2

5,8

Acidente de motocicleta

1 em 8.000

3,9

6,1

Doenças provocadas pelo cigarro

1 em 800

2,9

7,1

Sabe-se que, nesse banco, o índice de risco de morte pela prática do evento BASE jumping é igual a 8.

9

E1 10 7 ⋅ E2 d) = e) E1= 9 ⋅ E2 7

02. (ENEM PPL) Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de  A  um terremoto, medida pela escala Richter, é R = log   , em que  A0  A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, A0 é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é a) 1,28

b) 2,0

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9

c) 10 7

d) 100

e) 109 - 107

O risco de morte para praticantes desse esporte, segundo a avaliação do banco, é de a) 2,5%. b) 2%. c) 1%. d) 1,5%. e) 0,5%.

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07. (FEEVALE) O número de partidos políticos registrados no Tribunal Superior Eleitoral (TSE) em abril de 2017, no Brasil, está representado na equação a seguir por x, onde x = 25 + log 1.000.

solução apresentou pH 5, podemos dizer que a concentração hidrogeniônica vale

Esse número é

a) 10-3.

d) 10-9.

b) 10-5.

e) 10-11.

a) 32

d) 35

b) 33

e) 36

c) 10-7.

c) 34

13. (IFBA) O valor da expressão M = log2 0,25 + log 3 27 + colog4 8 é:

08. (IFAL) Num determinado mês, a quantidade vendida Q de um certo produto, por dia, em uma loja, em função do dia d do mês, é representada pela função Q = log2 d. Qual a quantidade vendida desse produto no dia 16 desse mês?

a) 1

d) 5/2

b) -3/2

e) 3

a) 0

d) 3

b) 1

e) 4

c) 2

c) 2 14. (IFSC) O valor CORRETO da expressão E =log2 8 +

0,001  1  +  10000  2 

−3

é:

a) 10000.

09. (UFRGS) O número log2 7 está entre

b) 11,0000001.

a) 0 e 1.

d) 3 e 4.

c) 11·10–7.

b) 1 e 2.

e) 4 e 5.

d) 11.

c) 2 e 3.

e) –1.

10. (INSPER) Uma calculadora tem, além das teclas das operações usuais, quatro outras teclas, marcadas com os seguintes símbolos:

15. (UFRGS) Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:

a=

a) -3

c) -1

d) 0

e) 1

16. (UFF) No dia 6 de junho de 2000, um terremoto atingiu a cidade de Ankara, na Turquia, com registro de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus na escala Richter.

b= c= ab = c Se uma pessoa digita a=, insere o número 3, depois digita b=, insere o número 2 e digita a tecla ab = c, a calculadora devolve c = 9. Ou seja, dados dois dos valores a, b ou c, a calculadora devolve automaticamente o terceiro valor que torna a igualdade ab = c verdadeira, quando a tecla que tem esse símbolo é pressionada. Para que a calculadora devolva o resultado de log16 625, uma possibilidade de sequência de teclas a serem pressionadas é a) Digitar a=, inserir o número 625, depois digitar b=, inserir o número 8 e digitar a tecla ab = c. b) Digitar a=, inserir o número 25, depois digitar c=, inserir o número 4 e digitar a tecla ab = c. c) Digitar c =, inserir o número 25, depois digitar a=, inserir o número 4 e digitar a tecla ab = c. d) Digitar b =, inserir o número 625, depois digitar c=, inserir o número 8 e digitar a tecla ab = c. e) Digitar c =, inserir o número 625, depois digitar a=, inserir o número 4 e digitar a tecla ab = c. 11. (PUCRS) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua primeira prova no Ensino Médio: Um dos valores de x que soluciona a equação log 2 (-x² + 32) = 4 é igual ao número de centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é a) 3

d) 6

b) 4

e) 7

c) 5 12. (IFAL) Nas análises químicas de soluções, o pH é muito utilizado e, através dele, o químico pode avaliar a acidez da solução. O pH de uma solução, na verdade, é uma função logarítmica dada por:

Considere que m1 e m2 medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r1 e r2, respectivamente. Sabe-se que estes valores estão relacionados pela fórmula r1 - r2 = log10 (m1/m2) Considerando-se que r1 seja o registro do terremoto da Turquia e r2 o registro do terremoto do Japão, pode-se afirmar que (m1/m2) é igual a: a) 10-1

c) 10/0,1

d) 1/0,1

a) 0,5 b) 1,5 c) 100,5 d) 101,5 18. (PUCRJ) Os valores de x tais que o logaritmo de 2x² + 1 na base 10 é igual a 1 são: a) 1 e -1 b)

1 1 e − 2 2

c) 3 e -3 3 3 e − 2 2

d)

Onde: [H+] é a concentração de H+ na solução (concentração hidrogeniônica). Tendo em vista essas informações, se uma

e) 1 e -2

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b) (0,1)10

17. (PUCMG) As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala E  Richter, estão relacionadas pela fórmula R1 - R2 = log10  1  , em que  E2  E1 e E2 medem as respectivas energias, liberadas pelos terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é correto afirmar que a razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a:

pH = − log [H+ ]

4

b) -2

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1 2 19. (FUVEST) Se log2 y =− + log2 x, para x > 0, então 2 3 a) b) c)

x2 2

01. C

05. B

09. C

13. D

17. D

02. D

06. C

10. C

14. B

18. D

03. E

07. D

11. B

15. C

19. A

x3 y= 2

04. E

08. E

12. B

16. B

20. D

y=

3

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 01.

1 3 2 − + x y= 2

d) = y e)

a)2 b)-15/2

2 ⋅ 3 x2

y = 2x

c)7

3

02. a) 68%

20. (IFAL) Calcule o valor do log8 16. a) 1/2

b) 1

c) 2/3

b)t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos

d) 4/3

e) 2

EXERCÍCIOS DE

APROFUNDAMENTO

05.

01.Simplifique as expressões abaixo: a) log0,25 16 + 3log10 − log3 b)

GABARITO EXERCÍCIOS PROPOSTOS

(  2 · log

c) 10log5 +

1 3

03. S= { 11; 2}

04.  y = 1+ 5 x

2

1 1  , ,64  16 4 

05.  S = 

ANOTAÇÕES

)

0,1 − log4 4 4 · log4 8 log100 − log1 log9 9

02. (UFPR) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificavase quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão S = -18· log (t+1) + 86. a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%? 03. (FUVEST) Determine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações 6  logy ( 9x − 35 ) =  3 log3y ( 27x − 81) = 04. (UERJ) Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir: Log9 x = log6 y = log4 (x+y) Calcule a razão y . x 05. (Ita)

Determine as soluções reais da equação em x, log 16x = 0. (log4 x ) − log4 x4 − 3 10 log100 16 3

( )

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