7º BLOCO DE ATIVIDADES 4º BIMESTRE.2020 (1) - Documentos Google

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Logo da escola E.E. Professor Jacomo Stávale 7º Bloco de Atividades - Roteiro de Estudo de (DISCIPLINA) OU (INOVA) Apresentação e Orientação Inicial: Olá, estudante! Espero que esteja bem!!! Durante a quarentena, que tal organizar os estudos? Dicas: 1º) Organize seu tempo de estudo, de preferência dentro do seu horário escolar; 2º) Procure um local adequado para realizar suas atividades; 3º) Anote suas dúvidas, escreva o que você já concluiu e o que você precisa finalizar.

Enviar as atividades para o CANAL DE COMUNICAÇÃO (e-mail) DO SEU PROFESSOR. Data limite de entrega das atividades para os professores por e-mail:

09/11/2020

Observação: Continue a acessar o CMSP e acompanhe as vídeo aulas referente a seu ano ou série.

Canal de comunicação com o professor para envio das atividades [email protected] Disciplina: Matemática Professor

Professor: Marcelo Ramalho

Ano/Série/ Turma: 2º E, F e G

Atividades referentes a: Semana: 01/10 a 16/10/20 Semana: 19/10 a 30/10/20 Prazo para devolução das atividades:

09/11/20 por e-mail. Quantidade de aulas: 25 Título da Atividade:Geometria métrica espacial - Posições de Retas e Planos no Espaço

Habilidades: ● Compreender os fatos fundamentais relativos ao modo geométrico de organização do conhecimento (conceitos primitivos, definições, postulados e teoremas); Onde eu encontro o conteúdo: https://www.stoodi.com.br/materias/matematica/posicoes-de-retas-e-planos-no-espaco/revisao-de -geometria-espacial-de-posicao/ https://www.todamateria.com.br/geometria-espacial/ Atividades – (conforme grade curricular, referente ao 4º BIMESTRE/2020) Prezado (a) aluno (a),

Nestas primeiras aulas do 4º bimestre de geometria métrica espacial de posição,

você conhecerá os conceitos primitivos de introdução a esse importante tema da matemática. Aprenderá o que é um ponto, uma reta, uma semi-reta, um segmento de reta, um plano e um espaço. Verá também alguns postulados e axiomas sobre a geometria espacial de posição. Ainda neste módulo, entenderá o que são pontos, retas e planos. Verá as possíveis posições relativas entre retas: coincidentes, paralelas, concorrentes (perpendiculares ou oblíquas) e reversas (ortogonais ou não). Vai conhecer também as possíveis posições relativas entre planos: coincidentes, paralelos ou secantes (perpendiculares ou não). Por fim, verá que uma reta pode estar contida num plano ou não, gerando as possíveis posições relativas entre retas e planos: paralelas ou secantes (perpendiculares ou não). Sugestão: Você pode começar lendo o conteúdo abaixo e, se preferir, para entender melhor assistir as vídeo aulas acessando o site https://www.stoodi.com.br/materias/matematica/posicoes-de-retas-e-planos-no-espaco/conceitos-primitivos, para feforçar o aprendizado.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE !!!

“Não se esqueça de resolver os exercícios de fixação no final de cada aula copiar em seu caderno somente os exercícios e resolvê-los manualmente. Ao terminar tirar uma foto de cada folha de seu caderno e encaminhe no e-mail do professor, anexando folha por folha.” Não se assuste com o tamanho do conteúdo, pois o conteúdo deste 4º bimestre é longo e com muitas definições. Bons estudos e boa sorte !!!

Geometria Espacial Introdução: A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões. De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço. Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia (cerca de 1000 anos a.C.). Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os conhecimentos acerca do tema até os seus dias.

Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”. Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: medida) o cálculo de volume, em 1615. Características da Geometria Espacial A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles: ● prisma ● cubo ● paralelepípedo ● pirâmide ● cone ● cilindro ● esfera Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles. Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos, a saber: ● Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização. ● Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos determinados. ● Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma. ● Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções. Conceitos Primitivos Ponto: Adimensional; Reta: Possui pontos infinitos; Semirreta: Um ponto divide uma reta em duas semirretas;

Segmento de reta: Dois pontos distintos são extremos de um segmento de reta; Plano: Possui infinitos pontos e retas. Postulado da existência ● Em uma reta existem infinitos pontos, dentro e fora dela; ● Em um plano existem infinitos pontos, dentro e fora dele. Postulado da determinação ● Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

● Três pontos não colineares ou uma reta e um ponto fora dela, determinam um único plano que passa por eles.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) CEFET-CE 2004 - Observe as afirmações: I) 0 espaço é o conjunto de todos os pontos. II) Dois pontos distintos determinam uma reta. III) Três pontos não-pertencentes a uma mesma reta deflnem um plano. É correto concluir que: a. somente I é verdadeira b. apenas I e II são verdadeiras c. apenas II e III são verdadeiras d. todas são falsas 2) Observe as alternativas abaixo e assinale a verdadeira: a.Três pontos colineares determinam um único plano. b.Uma reta e um ponto que não pertence à reta determinam um único plano. c.Dois pontos determinam uma reta. d.Dois pontos dividem um plano em dois semi-planos. e.Um ponto divide uma reta em dois segmentos de reta. f. todas as afirmações são verdadeiras

3) Complete os espaços tracejados nos itens abaixo conforme o que você estudou sobre conceitos primitivos: a. Ponto é………………..; A Reta possui………………....pontos; Em uma Semirreta, um……….. divide uma……………... em duas………………………..; b. Em um Segmento de reta,.................pontos distintos são……………... de um segmento de………….. c. Um Plano………………. infinitos…………. e……………… d. No Postulado da existência, em uma…………. existem infinitos…………..., dentro e …………... dela. e. Em um plano existem………………………….., ……………. e …………….. dele. f. No Postulado da determinação, dois………………………. determinam uma única……………………. que passa por eles. g. Três pontos não…………………….ou uma…………………... e um……………….. fora dela, determinam um único………………………….. que passa por eles. Posição Relativa entre Retas Considere duas retas distintas. Coplanares: pertencem ao mesmo plano. ● Concorrentes: possuem um único ponto em comum. ○ Perpendiculares: formam ângulos retos entre si. ○ Oblíquas: não formam ângulos retos entre si.

● Paralelas: ○ Distintas: não possuem pontos em comum. ○ Coincidentes: possuem todos os pontos em comum.

Reversas: não pertencem ao mesmo plano. ● Ortogonais: formam ângulos retos entre si. ● Não ortogonais: não formam ângulos retos entre si.

*Ângulo de duas retas: Tem vértice arbitrário e seus lados tem sentidos respectivamente concordantes com os sentidos das retas. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4) UEL 1996 (Adaptada) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na figura a seguir.

5) Sobre a situação dada, assinale a afirmação INCORRETA: a.r e s são retas paralelas b.r e s são retas reversas c.r e s são retas ortogonais d.não existe plano contendo r e s e.elas não se interceptam 6) FAAP 1996 - Duas retas são reversas quando: a.não existe plano que contém ambas b.existe um único plano que as contém c.não se interceptam d.não são paralelas e.são paralelas, mas pertencem a planos distintos 7) Complete os espaços tracejados nos itens abaixo conforme o que você estudou sobre Posição Relativa entre Retas: a. Duas retas distintas………………………. pertencem ao mesmo plano. b. Duas retas distintas………………………. possuem um único ponto em comum. c. Duas retas distintas………………………. formam ângulos retos entre si. d. Duas retas distintas……………………….,não formam ângulos retos entre si. e. O Ângulo de duas retas tem…………...arbitrário e seus……………. tem sentidos respectivamente…………………... com os sentidos das……………....

Posição Relativa entre Planos Considere dois planos distintos. Secantes: possuem uma única reta em comum. ● Perpendiculares: baseia-se em uma única reta perpendicular a um plano.

Paralelos: ● Distintos: não possuem pontos em comum. ● Coincidentes: possuem todos os pontos em comum.

Teorema: Se três planos distintos são, dois a dois secantes, segundo três retas, ou essas retas são paralelas duas a duas ou passam por um mesmo ponto.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 8) Quando dois planos possuem apenas uma reta em comum, quer dizer que os planos são: a.Paralelos b.Iguais c.Secantes d.Coplanares 9) Complete os espaços tracejados nos itens abaixo conforme o que você estudou sobre Posição Relativa entre Planos: a. Dois planos distintos Secantes possuem uma ……………………. em……………....assim como Perpendiculares baseia-se em uma única…………………………. a um……………………….. b. Os planos paralelos distintos…………….possuem………….. em comum. Já os ………………... possuem…………………. os …………. em comum. c. No teorema, se três…………………………………. são, dois a………... secantes, segundo três retas, ou essas retas são………………... duas a duas ou passam por um mesmo…………... Posição Relativa entre Reta e Plano Considere uma reta e um plano.

Paralelos: não possuem nenhum ponto em comum.

Secantes: possuem um único ponto em comum. ● Perpendiculares: a reta forma ângulos retos com quaisquer retas contidas no plano. ● Oblíquas: não são perpendiculares.

Contida: todos os pontos da reta estão contidos no plano.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 10) FATEC 1999 - Seja A um ponto pertencente à reta r, contida no plano . É verdade que: a.existe uma única reta que é perpendicular a reta r no ponto A. b.existe uma única reta, não contida no plano , que é paralela à reta r. c.existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao plano , que contém a reta r. d.existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares ao plano e que contém a reta r. e.existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano e que são paralelas à reta r.

11) FAAP 1996 - Considere as proposições: I. Dois planos paralelos a uma mesma reta são paralelos II. Um plano paralelo a duas retas pertencentes a outro plano é paralelo a este III. Um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a este IV. Um plano paralelo a uma reta de outro plano é paralelo a este Nestas condições: a.nenhuma das proposições é verdadeira b.somente as proposições I e III são verdadeiras c.uma única proposição é verdadeira

d.todas as proposições são verdadeiras e.uma única proposição é falsa 12) PUCCAMP 1995 - Considere as afirmações a seguir. I. Duas retas distintas determinam um plano. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro. É correto afirmar que: a.apenas II é verdadeira. b.apenas III é verdadeira. c.apenas I e II são verdadeiras. d.apenas I e III são verdadeiras. e.I, II e III são verdadeiras. 13) Complete os espaços tracejados nos itens abaixo conforme o que você estudou sobre Posição Relativa entre Reta e Plano: a. Uma reta e um plano paralelos………...possuem nenhum …………….. em comum. b. Uma reta e um plano secantes…………. um único……………... em comum. c. Uma reta e um plano……………………….a………………. forma……………….. retos com quaisquer…………………. contidas no plano. d. Uma reta e um plano oblíquo…………...são…………………………………… e. Uma reta e um plano………………...,todos os pontos da reta estão……………….. no plano. Projeção Ortogonal sobre Plano Projeção de Reta ● Perpendicular ● Não perpendicular

Projeção de uma figura

Projeção de Reta ● Perpendicular ● Não perpendicular

Projeção de um segmento ● Paralelo ● Oblíquo

14) Considere o bloco retangular da figura a seguir:

É incorreto afirmar que: a. A projeção ortogonal do ponto F sobre o plano ABCD é o ponto B. b. A projeção ortogonal do segmento EB sobre o plano DCGH é o segmento HC. c. A projeção ortogonal do segmento DG sobre o plano FGHE é o segmento GH. d. A projeção ortogonal do triângulo EHG sobre o plano DCGH é o segmento GH. e. AB é a projeção ortogonal do segmento HG sobre o plano ABCD. 15) Assinale V para verdadeiro e F para falso sobre Projeção Ortogonal sobre Plano das figuras abaixo: Projeção da figura a

Projeção de uma figura b

Projeção de uma figura c

Projeção da figura d

a. Trata-se da Projeção de um segmento Paralelo Oblíquo; Projeção de Reta Perpendicular e b.

c.

d.

e.

Não perpendicular consecutivamente. Trata-se da projeção de uma Projeção de um segmento; Projeção de uma figura; Projeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular consecutivamente. Projeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular; Projeção de uma figura; Projeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular; Projeção de um segmento Paralelo Oblíquo, consecutivamente. Projeção de uma figura; Projeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular; Projeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular; Projeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular; Projeção de um segmento Paralelo Oblíquo, consecutivamente. Projeção de um segmento Paralelo OblíquoProjeção de Reta Perpendicular e Não perpendicular, consecutivamente.

Vistas Vistas são imagens de um mesmo objeto visualizadas a partir de ângulos diferentes. Cada ângulo possibilita uma perspectiva diferente. Por exemplo, a imagem abaixo vista de cima, de frente e a direita.

Mais um exemplo retratando o mesmo objeto visto a partir de ângulos diferentes. Pirâmide do Egito vista de um ângulo.

Vista de cima

Uma cadeira vista de frente

Agora a mesma cadeira, fechada, vista de lado.

De modo geral, devemos pensar nas possíveis situações encontradas ao analisar os objetos, com os elementos que os constituem, por diferentes ângulos. Cada ângulo possibilita uma imagem.