9 - MTM BÁSICA - PRODUTOS NOTÁVEIS

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PRODUTOS NOTÁVEIS Os produtos notáveis são multiplicações formadas por fatores que são expressões algébricas. Expressões algébricas são expressões que possuem números, letras e operações. As letras são usadas para representar um número desconhecido e os números que estão na frente das letras são chamados de coeficientes. Exemplos de expressões algébricas: a. 𝑥 + 3

b. 2𝑥 − 8

c. 𝑏2 − 4𝑎𝑐

d. 3𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦6 − 8𝑥10 𝑦

Os produtos notáveis recebem denominações especiais e é o que veremos em cada um dos casos a seguir:

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS É escrito da seguinte forma: (𝑎 + 𝑏)2, isso quer dizer que (𝑎 + 𝑏) deve ser multiplicado com ele mesmo duas vezes. Sendo assim, utilizando a propriedade distributiva, temos: (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

Adicionando os termos semelhantes:

Isso quer dizer que:

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Dessa forma, fica estabelecido que o quadrado da soma de dois termos ((𝑎 + 𝑏)2) é igual ao quadrado do primeiro termo (𝑎2), somado à duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo (2𝑎𝑏), somado com o quadrado do segundo termo (𝑏2). Exemplo:

(𝑥 + 2)2 = 𝑥2 + 2 · 𝑥 · 2 + 22 www.biologiatotal.com.br

(𝑥 + 2)2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

1

Produtos Notáveis

QUADRADA DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É escrito da seguinte forma: (𝑎 − 𝑏)2, isso quer dizer que (𝑎 − 𝑏) deve ser multiplicado com ele mesmo duas vezes. Sendo assim, utilizando a propriedade distributiva, temos: (𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2

Adicionando os termos semelhantes:

Isso quer dizer que:

𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Dessa forma, fica estabelecido que o quadrado da diferença de dois termos ((𝑎 − 𝑏)2) é igual ao quadrado do primeiro termo (𝑎2), subtraído à duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo (2𝑎𝑏), somado com o quadrado do segundo termo (𝑏2). Exemplo:

(𝑥 − 5)2 = 𝑥2 − 2 · 𝑥 · 5 + 52 (𝑥 − 5)2 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É escrito da seguinte forma: (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏). Sendo assim, utilizando a propriedade distributiva, temos: (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2

Subtraindo os termos semelhantes:

Isso quer dizer que:

𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2 (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Dessa forma, fica estabelecido que o produto da soma pela diferença de dois termos ((𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏)) é igual ao quadrado do primeiro termo (𝑎2), menos o quadrado do segundo termo (𝑏2). Exemplo:

(𝑥 + 6) · (𝑥 − 6)= 𝑥2 − 62

(𝑥 + 6) · (𝑥 − 6) = 𝑥2 − 36

2

É escrito da seguinte forma: (𝑎 + 𝑏)3, isso quer dizer que (𝑎 + 𝑏) deve ser multiplicado com ele mesmo três vezes. Sendo assim, utilizando a propriedade distributiva, temos: (𝑎 + 𝑏)3 = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏)) · (𝑎 + 𝑏)

((𝑎 + 𝑏) · (𝑎 + 𝑏)) · (𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) · (𝑎 + 𝑏)

Produtos Notáveis

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 ou seja

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Desta forma fica estabelecido que o cubo da soma de dois termos (𝑎 + 𝑏)3 é igual ao cubo do primeiro termo (𝑎3), adicionado a 3 vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo (3𝑎2 𝑏), adicionado a 3 vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo (3𝑎𝑏2), adicionado ao cubo do segundo termo (𝑏3). Exemplo:

(𝑥 + 4)3 = 𝑥3 + 3 · 𝑥2 · 4 + 3 · 𝑥 · 42 + 43

𝑥3 + 3 · 𝑥2 · 4 + 3 · 𝑥 · 42 + 43 = 𝑥3 + 12𝑥2 + 48𝑥 + 64 (𝑥 + 4)3 = 𝑥3 + 12𝑥2 + 48𝑥 + 64

O CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

É escrito da seguinte forma: (𝑎 − 𝑏)3, isso quer dizer que (𝑎 − 𝑏) deve ser multiplicado com ele mesmo três vezes. Sendo assim, utilizando a propriedade distributiva, temos: (𝑎 − 𝑏)3 = ((𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏)) · (𝑎 − 𝑏)

((𝑎 − 𝑏) · (𝑎 − 𝑏)) · (𝑎 − 𝑏) = (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2) · (𝑎 − 𝑏)

(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2) · (𝑎 − 𝑏) = 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3 ou seja

𝑎3 − 𝑎2 𝑏 − 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

Desta forma fica estabelecido que o cubo da diferença de dois termos (𝑎 − 𝑏)3 é igual ao cubo do primeiro termo (𝑎)3, subtraído a 3 vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo (3𝑎2𝑏), adicionado a 3 vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo (3𝑎𝑏2), subtraído ao cubo do segundo termo (𝑏)3. www.biologiatotal.com.br

3

Produtos Notáveis 4

Exemplo: (𝑥 − 2)3 = 𝑥3 − 3 · 𝑥2 · 2 + 3 · 𝑥 · 22 − 23

𝑥3 − 3 · 𝑥2 · 2 + 3 · 𝑥 · 22 − 23 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8 ANOTAÇÕES

(𝑥 − 2)3 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8