APOSTILA - MATEMÁTICA ISOLADA - AULA 10

SAVE OFFLINE

Curso Professor Clemilson

GEOMETRIA ESPACIAL PROF. WAGNER FILHO

TEORIA CLASSIFICAÇÃO

CILINDROS

Cilindro Circular Obliquo

Cilindro Circular Reto

As geratrizes são oblíquas aos planos das bases

As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases

DEFINIÇÃO Considere um círculo de centro O e raio r, situado num plano α, e um segmento de reta PQ, não nulo, não paralelo e não contido em α. Chama-se cilindro circular, ou (apenas) cilindro, a união dos segmentos congruentes e paralelos a P Q, com extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semiespaço dos determinados por α.

Observação: o cilindro circular reto também é chamado cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

ELEMENTOS       

Bases - dois círculos congruentes C1(O, r) e C2(O′, r); Geratrizes - segmentos com uma extremidade em C1 e a outra no ponto correspondente em C2; Eixo - segmento OO′; Raio - raio r dos círculos das bases Altura - distância entre os planos das bases; Superfície lateral - união de todas geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por AL . Superfície total - união da superfície lateral com os dois círculos da base. A área dessa superfície é chamada área total e indicada por At.

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

SECÇÕES NO CILINDRO Secção Transversal: é a intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.

Secção Meridiana: é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros das bases.

A secção transversal é um círculo congruente às bases.

Quando o cilindro é reto, a secção meridiana é um retângulo de dimensões iguais a 2r e h.

133

#noCPCvocêsegarante

Observação: caso a medida da altura de um cilindro reto seja igual à medida do diâmetro da base, isto é, h = 2r, o cilindro será denominado “cilindro equilátero”. ÁREAS DO CILINDRO CIRCULAR RETO

ÁREA DAS BASES (AB): As bases de um cilindro circular são dois círculos congruentes de raio r, logo: AB = r². SUPERFÍCIE LATERAL (AL): A superfície lateral de um cilindro reto é um retângulo de dimensões iguais a 2r e h, logo: AL = 2rh.

ELEMENTOS      

ÁREA TOTAL (AT): É a soma das áreas das bases com a área lateral: At = 2AB + Al.



Base – círculo C1(0, r). Vértice – ponto V oposto à base. Geratrizes – segmentos com uma extremidade em C1 e a outra no vértice V. Raio (da base) – raio r do círculo da base. Altura – distância do vértice V à base C1. Superfície lateral – união de todas geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por AL . Superfície total  união da superfície lateral com a área da superfície circular da base. A área dessa superfície é chamada área total e indicada por At.

VOLUME DO CILINDRO Volume (V): é a capacidade de armazenamento de um sólido geométrico. O volume do cilindro é dado por: V = r²h.

CONES DEFINIÇÃO Cone circular (limitado de uma folha) é o sólido obtido pela união de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em V e a outro num círculo que está num plano que não contém o vértice V.

84 134

CLASSIFICAÇÃO Cone Circular Obliquo

Cone Circular Reto

As geratrizes são oblíquas ao plano da base.

As geratrizes são perpendiculares ao plano da base.

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

Observação: o cone circular reto também é chamado cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Observação: Caso a medida da geratriz de um cone reto seja igual à medida do diâmetro da base, isto é, g = 2r, o cone será denominado “cone equilátero”.

Veja que: g² = h² + r².

Observação: A secção meridiana de um cone equilátero é um triangulo equilátero de lado igual a 2r.

SECÇÕES NO CONE Secção Transversal: é a intersecção do cone com um plano paralelo à base.

Secção Meridiana: é a intersecção do cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base.

A secção transversal forma um círculo congruente à base.

Quando o cone é reto, a secção meridiana é um triangulo isósceles de base 2r, lados iguais a g e altura h.

ÁREAS DO CONE CIRCULAR RETO

ÁREA DA BASE (AB): ÁREA TOTAL (AT): A base de um cone circular reto é um círculo de raio r, logo: AB = r². SUPERFÍCIE LATERAL (AL): A superfície lateral de um cone circular reto é setor circular de raio g e comprimento 2r, logo: AL = rg.

É a soma das áreas da base com a área lateral: At = AB + Al. VOLUME DO CONE CIRCULAR RETO Volume (V): é a capacidade de armazenamento de um sólido geométrico. O volume do cone circular reto é dado por:

V

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

r 2h 3

135

#noCPCvocêsegarante

ESFERAS

FÓRMULAS d² + R’² = R² Área Secção = πR’² FUSO E CUNHA ESFÉRICA

TEORIA R = raio da Esfera. (O raio da esfera parte do centro da mesma). Toda circunferência que contém o centro da esfera a divide em dois hemisférios (semiesferas).

TEORIA R = raio da Esfera. Fuso  casca da fatia de uma esfera. Cunha  é uma fatia da esfera.

FÓRMULAS FÓRMULAS Área Superficial (A) = 4πR²

4. .R ³ Volume (V) = 3

Área do Fuso (Afuso) 4πR² -------------- 360° (2π rad) Afuso -------------- α Volume da Cunha (Vcunha)

4. .R ³ ------------- 360° (2 π rad) 3 Vcunha

------------ α

Área Total da Cunha (Acunha) Acunha = Afuso + πR²

TRONCOS DE CONES SECÇÃO ESFÉRICA SECÇÃO DE UM CONE POR UM PLANO PARALELO À BASE Seccionando um cone por um plano paralelo à base, separamos este cone em dois sólidos:  

O sólido que contém o vértice que é um novo cone, semelhante ao original (ideia análoga de semelhança de pirâmides); O sólido que contém a base do cone dado que é um tronco de cone de bases paralelas.

TEORIA R = raio da Esfera. R’ = raio da secção. d = distância entre os centros O e O’.

136

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

VOLUME DO TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO Volume (V): é a capacidade de armazenamento de um sólido geométrico. O volume do tronco de cone circular reto é dado por: V 

h  (R 2  r 2  R  r ) . 3

PRATICANDO COM O PROFESSOR CONES SEMELHANTES

QUESTÃO 01 (ESPCEX (AMAN) 2018) O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e

2 é

Razões de Semelhanças:

h g r   K H G R Ab Al At    K2 Áreas: AB AL AT

Lineares:

Volumes:

v  K3 V A)

Elementos: G e g são as geratrizes.

B)

R e r são os raios das bases.

C)

H e h corresponde às alturas dos cones. D) K é a constante de proporcionalidade linear de semelhança. E) TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO

13 a. 12 7 a. 6 5 a. 4 4 a. 3 17 a. 12

QUESTÃO 02 (G1 - IFBA 2017) Um metalúrgico utilizou, num determinado trabalho, uma folha de metal retangular de dimensões 20 cm e 30 cm, com o intuito de formar um cilindro, unindo os lados da folha de metal de mesma dimensão, e verificou que existiam duas possibilidades: A: Utilizar o lado de 20 cm como altura do cilindro; B: Utilizar o lado de 30 cm como altura do cilindro. ÁREAS DO TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO Área das Bases (Ab e AB): a área das bases de um tronco de um cone é dada pela área da superfície circular que a forma. Logo: Ab = r² e AB = R². Área Lateral (AL): a área lateral pode ser obtida pela subtração da área lateral do cone original pela área lateral do novo cone. Ao final, obteremos: AL    (R  r )  g . Área Total (At): é a soma das áreas das bases com a área lateral: At = AB + Ab + Al.

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

Considerando π  3, e chamando de VA o volume da possibilidade A, e VB o volume da possibilidade B, podemos afirmar que: A) VA  VB  1.000 . B) VA  VB  1.500 . C) VA  1.000 e VB  1.500 . D) VA  2.000 e VB  3.000 . E) VA  1.500 e VB  1.000 .

137

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 03 Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto de raio da base 4 cm e altura 10 cm. O queijo é ralado na base do cone e fica acumulado em seu interior (figura 1). Deseja-se retirar uma fatia de um queijo com a forma de cilindro circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da base do queijo e formando um ângulo α (figura 2), de forma que o volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador. O volume da parte do cilindro sem os dois cones é igual __________ soma dos volumes desses cones. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna acima. A) à. B) ao dobro da. C) à metade da. D) a um terno da. E) a dois ternos da. QUESTÃO 06 Nas condições do problema, α é igual a A) 45°. B) 50°. C) 55°. D) 60°. E) 65°.

(C2-H8) - (UFJF-PISM 2 2016) Considere uma esfera de raio 2 cm com área total A e volume V. Suponha que os valores

y, A, V formem uma progressão geométrica nessa ordem. Em centímetros, quanto vale y ? A)

QUESTÃO 04 B) (ESPCEX (AMAN) 2018) A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de 0,5 mm s até que o volume seja igual a 500 mm3 , então, o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é A) 10. B) 10 3

5 . π

C) 10 3

2 . π

C) D) E)

QUESTÃO 07 (C2-H6) (ESPCEX (AMAN) 2016) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu

A)

D) 10 3 π. E) 10 3

3 . π

B) C)

QUESTÃO 05 D) Uma ampulheta tem a forma de dois cones circulares retos idênticos (mesmo raio e mesma altura) no interior de um cilindro circular reto, conforme mostra a figura.

138

3π . 2 8π . 3 8π . 24π . 96π .

E)

9 R, então, o raio da esfera mede 16

2 R. 3 3 R. 4 4 R. 9 1 R. 3 9 R. 16

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 08

QUESTÃO 10

(C2-H7) - (ENEM 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém, um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

(UPF 2016) Um reservatório de água tem formato de um cilindro circular reto de 3 m de altura e base com 1,2 m de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1,2 m e 0,6 m respectivamente, e altura 1m, como representado na figura a seguir.

Considere:

4 Vesfera    R3 3

e Vcone 

1 2 R h 3

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de A) 1,33. B) 6,00. C) 12,00. D) 56,52. E) 113,04. QUESTÃO 09 (C2-H7) - (UERJ 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 3

1 cm s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido.

Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça

1 do 3

seu volume por semana.

Considerando

a

aproximação

π3

e

sabendo

que

3

1 dcm  1 , esse vazamento é de:

A) 4.320 litros. B) 15,48 litros. C) 15.480 litros. D) 12.960 litros. E) 5.160 litros.

PRÁTICA INDIVIDUAL

QUESTÃO 01 (C2-H9) (ENEM 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Admitindo π  3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por: A) h  43 t . B) h  23 t . C) h  2 t . D) h  4 t . GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

Nela, identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são A) um tronco de cone e um cilindro. B) um cone e um cilindro. C) um tronco de pirâmide e um cilindro. D) dois troncos de cone. E) dois cilindros.

139

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 02 (PUCRS 2015) Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi colocada em um suporte com formato de um cilindro, cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme a figura.

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a A) B) C) D) E)

168. 304. 306. 378. 514.

QUESTÃO 05 (PUCSP 2017) O volume de um cilindro de 8 cm de altura equivale a 75% do volume de uma esfera com 8 cm de 2

diâmetro. A área lateral do cilindro, em cm , é O volume da parte da casquinha que está no interior do cilindro, 3

em cm , é

A) 42 2π .

πa2 . 2

B) 36 3π .

A) B)

πa2 . 3

D) 24 3π . E) 24.

π a3 . 2

QUESTÃO 06

C)

π a3 D) . 3 E)

π a3 . 6

QUESTÃO 03 (ENEM PPL 2015) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.

C) 32 2π .

(ENEM CANCELADO 2009) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625  cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume do cone: Vcone =

r 2h . 3

Qual é a profundidade, em metros, desse poço? A) 1,44. B) 6,00. C) 7,20. D) 8,64. E) 36,00. QUESTÃO 04 (C2-H7) (ENEM 2014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.

Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? A) 5 CM. B) 7 CM. C) 8 CM. D) 12 CM. E) 18 CM.

Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π.

140

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 07

QUESTÃO 09

(C2-H6) (ENEM PPL 2014) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.

(C2-H7) (ESPCEX (AMAN) 2013) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

3

O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.

3

Dados:

4 O volume de uma esfera de raio r é  π  r 3 ; 3 O volume do cilindro de altura h e área da base S é S  h; 1 O volume do cone de altura h e área da base S é  S  h; 3 Por simplicidade, aproxime π para 3. A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é A) B) C) D) E)

45. 48. 72. 90. 99.

12 h. 2 3 23 h. D) 2 3 23 E) h. 3 C)

QUESTÃO 10 (C2-H6) (ENEM PPL 2012) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos: - copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4cm e 1,8cm e altura igual a 3,6cm; - copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6cm e 2,4cm e altura igual a 8,0cm.

QUESTÃO 08 (C2-H9) (ENEM CANCELADO 2009) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera. Volume da esfera: Vesfera =

7 h. 2 3 7 B) h. 3 A)

4r 3 . 3

Analisando as características das figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a A) 15. B) 12. C) 24. D) 3 3 60 . E) 6 3 30 .

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água. Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são, respectivamente, iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

Vtroncodecone 

πh 2 2 (R  r  Rr) 3

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y 2 seja, no mínimo, igual a A) 2,664 cm. B) 7,412 cm. C) 12,160 cm. D) 14,824 cm. E) 19,840cm.

141

#noCPCvocêsegarante

PRATICANDO EM CASA

QUESTÃO 03 (FGV 2018) Um telhado retangular ABCD tem área igual a

QUESTÃO 01 (UNESP 2018) Os menores lados de uma folha de papel retangular de 20 cm por 27 cm foram unidos com uma fita

120 m2 e está conectado a uma calha de escoamento de água da chuva. A calha tem a forma de um semicilindro reto, de diâmetro AF  DE  0,4 m e capacidade igual a 720 litros.

adesiva retangular de 20 cm por 5 cm, formando um cilindro circular reto vazado. Na união, as partes da fita adesiva em contato com a folha correspondem a dois retângulos de 20 cm por 0,5 cm, conforme indica a figura.

Considerando DG  5 m e adotando π  3, a medida do

ˆ ângulo agudo CDG, indicada na figura por α, é igual a A) B) C) D) E) Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e adotando π  3,1, o volume desse cilindro é igual a

75. 60. 45. 30. 15.

QUESTÃO 04

3

A) 1.550 cm . B) 2.540 cm3 . C) 1.652 cm3 . D) 4.805 cm3 . E) 1.922 cm3 . QUESTÃO 02 (G1 - IFPE 2018) Milena é aluna do curso de Saneamento no campus Afogados da Ingazeira e convenceu seu pai a construir um tanque de tratamento da água do esgoto no quintal de sua casa. Como o espaço disponível não é tão grande, o tanque tem por base um setor circular de um quarto de volta com 1 metro de raio e 2,5 metros de profundidade. Se o tratamento utilizado por Milena consegue reaproveitar 80% da água, estando o tanque completamente cheio, quantos litros de água poderão ser reaproveitados? ( π  3,14). A) B) C) D) E)

6.280 litros. 7.850 litros. 2.000 litros. 2.512 litros. 1.570 litros.

142

(PUCRS 2018) Um recipiente cilíndrico tem 3 cm de raio e

24 cm de altura. Estando inicialmente cheio d’água, o recipiente é inclinado até que o plano de sua base faça 45 com o plano horizontal. Nessa posição, o volume de água que permanecerá no recipiente será igual a __________ do volume inicial. A) um oitavo. B) um sexto. C) sete oitavos. D) cinco sextos. E) três oitavos. QUESTÃO 05 (FUVEST 2017) Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a

12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

Dados: - π é aproximadamente 3,14. - O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base

r é V A) B) C) D) E)

4 5 5 6 6

1 2 π r h. 3

horas e horas e horas e horas e horas e

50 20 50 20 50

minutos. minutos. minutos. minutos. minutos.

Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na

QUESTÃO 06

metade da altura do funil , (FCMMG 2017) Em um experimento de laboratório, foi realizada uma filtragem simples, com auxílio de um funil e de um papel de filtro circular, conforme representado na figura. Durante o processo, a mistura de sólido com líquido, de

H , o nível do óleo no recipiente 2

cilíndrico corresponderá ao ponto K na geratriz AB. A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:

3

aproximadamente 270 cm , foi imediatamente despejada até a altura máxima do funil coberta pelo papel de filtro, formando um cone de 18 cm de diâmetro. A)

B)

C)

D) QUESTÃO 08 2

A área (A) em cm , do filtro de papel utilizado no procedimento é, aproximadamente:

(UFPR 2014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo.

A) A  81π . B) A  181π . C) A  100 π . D) A  81π  100 π . E) A = 100𝜋. QUESTÃO 07 (UERJ 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal β.

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 72π.

13  2. C) 3 2. A)

B) 3. D) 2 5.

E) 4.

143

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 09

QUESTÃO 12

(FMP 2017) Um recipiente cilíndrico possui raio da base medindo 4 cm e altura medindo 20 cm. Um segundo recipiente tem a forma de um cone, e as medidas do raio de sua base e de sua altura são iguais às respectivas medidas do recipiente cilíndrico.

(UFU 2018) Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de raio de base r cm, possui um líquido solvente em seu interior. A altura h desse solvente presente no recipiente é igual a

16 cm, conforme ilustra a Figura 1. 3

Qual é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico e o volume do recipiente cônico? A) B) C) D) E)

1 . 2 1 . 5 3. 4. 5.

QUESTÃO 10 (UNESP 2018) Observe a figura da representação dos pontos

M e N sobre a superfície da Terra.

Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente até encostar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a esfera, conforme ilustra a Figura 2. Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a A) 4 3. B) 2 7. C) 5 2. D) 3 6. E) 5. QUESTÃO 13

Considerando a Terra uma esfera de raio 6.400 km e adotando π  3, para ir do ponto M ao ponto N, pela superfície da Terra e no sentido indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida sobre o paralelo 60 Norte será igual a

(G1 - IFPE 2017) Maria Carolina resolveu sair um pouco do seu regime e foi saborear uma deliciosa sobremesa composta por três bolas de sorvete e 27 uvas, conforme a imagem abaixo. Suponha que as bolas de sorvete e as uvas tenham formatos esféricos e que Maria Carolina comeu toda a sua sobremesa.

A) 2.100 km. B) 1.600 km. C) 2.700 km. D) 1.800 km. E) 1.200 km. QUESTÃO 11 (UEG 2018) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 8 metros de diâmetro e teto no formato de hemisfério. Sabendo-se que a empresa responsável por 2

construir o teto cobra R$ 300,00 por m , o valor para construir esse teto esférico será de (Use π  3,1 )

Usando π  3, sabendo que os raios de cada bola de sorvete têm 4 cm e, de cada uva, 1cm, podemos afirmar que ela consumiu, nessa sobremesa, em centímetros cúbicos, um total de

A) R$ 22.150,00 . B) R$ 32.190,00 . C) R$ 38.600,00 . D) R$ 40.100,00 . E) R$ 29.760,00 .

144

A) B) C) D) E)

108. 768. 876. 260. 900. GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 14

QUESTÃO 16

(FMP 2018) A figura mostra um retângulo ABCD cujos lados medem 7 cm e 3 cm. Um cilindro será formado girando-se o

(FAMERP 2017) Um desodorante é vendido em duas embalagens de tamanhos diferentes, porém de formatos matematicamente semelhantes. A figura indica algumas das medidas dessas embalagens.

retângulo ABCD em torno da reta definida pelo seu lado AB.

Se a capacidade da embalagem maior é de 100 mL, a capacidade da embalagem menor é de A medida do volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é mais próxima de

A) 64,0 mL. B) 48,6 mL. C) 56,4 mL.

A) B) C) D) E)

750 . 441. 63 . 126 . 190 .

D) 80,0 mL. E) 51,2 mL. QUESTÃO 17

QUESTÃO 15 (ENEM 2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas.

(ESC. NAVAL 2014) A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY na figura abaixo, em unidade de área, é

No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas: Modelo I II III IV V

Comprimento

Largura

Altura

(cm)

(cm)

(cm)

8 8 18 20 24

8 20 5 12 8

40 14 35 12 14

A) 9 πa2 . B) 9 2πa2 . C) 9 3πa2 . D) 6 3πa2 . E) 6 2πa2 .

Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa? A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V.

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

145

#noCPCvocêsegarante

QUESTÃO 18

QUESTÃO 20

(Mackenzie 2014) Para construir um funil a partir de um disco de Alumínio de centro O e raio R  16 cm, retira-se do disco

(UFRGS 2017) Considere um cubo de aresta a. Os pontos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCFG,

um setor circular de ângulo central θ  225.

DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme representado na figura abaixo.

Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r  1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC e BD. O processo de construção do funil está representado nas figuras abaixo.

A medida da altura do funil é A) 2 39 cm .

15 39 B) cm . 8 C)

55 cm . 8

D) 2 55 cm . E)

15 55 cm . 8

QUESTÃO 19 (ESC. NAVAL 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade em litros desse reservatório?

O octaedro regular, cujos vértices são os pontos I, J, K, L, M e

N, tem aresta medindo A) a 3. B) a 2.

a 3 . 2 a 5 . D) 2 a 2 . E) 2 C)

GABARITO COMENTADO

Resposta da questão 1: [A] Seja r a medida do raio da base do cilindro. Desde que o comprimento da circunferência da base mede 31cm, temos

31 2  3,1  r  5cm.

31  2π  r  r 

A) B) C) D) E)

40 2 10 π . 3 19 5 10 π . 2 49 10 π . 3 49 4 10 π . 3 19 3 10 π . 3

146

2

3

Portanto, a resposta é 3,1 5  20  1.550 cm . Resposta da questão 2: [E]

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

Fazendo a razão:

V2 189 π 7   V2  V1. V1 216 π 8 Resposta da questão 5: [C] De acordo com o enunciado:

Considerando que é possível aproveitar apenas 80% da água, o volume de água que será aproveitado é dado por:

V  0,80 

π  12  2,5  0,20  3,14  2,5  1,57 m3  1570 L 4

Resposta da questão 3: [B] Calculando: π   0,2 

Considerando:

2

V  volume total do cone v '  volume cheio (tronco) v ''  volume vazio (topo) H  12  altura total h  6  altura topo / altura tronco

 AD  0,72  AD  12 m

2 DC  12  120  DC  10 5 1 cos CDG    CDG  60 10 2

Resposta da questão 4: [C]

Pode-se calcular: 3

A figura ilustra a situação descrita.

3

V H V  12       V  8v '' v ''  h  v ''  6  V 7 v ' v ''  V  v '  V  v '  V 8 8 1 1 2 2 V   π  R  H   3,14  4  12  V  200,96 3 3 7 7 v '  V   200,96  v '  175,85 m3 8 8 Tempo : 500 L / min  0,5 m3 / min 1min t

0,5 m3 175,85 m3

t  351,7 min  5h e 50 min

De início, convém lembrar que o volume de um cilindro com

Resposta da questão 6: [D]

base de diâmetro D e altura H é dado por

V

π D2 . 4

Na figura 1, com o cilindro cheio, o volume de água é igual ao volume do cilindro.

V1 

π62 24  V1  216 π cm3 . 4

Na figura 2, o volume de água que permanecerá no recipiente corresponde ao volume do cilindro menos o volume de água derramado, que corresponde à metade do volume de um cilindro de raio da base igual a 6 cm e altura 6 cm. Assim:  π62   1  π62   V2   24     6    V2   216 π  27 π  cm3  V2 189 π cm3 .    4   2  4  

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

Considerando o cone formado pelo filtro, temos:

2R  18  R  9 cm

147

#noCPCvocêsegarante

Logo, o maior valor de x é 4.

Como o volume é 270 cm3 , podemos escrever que:

1 10  π  92  h  270  h  cm. 3 π

Resposta da questão 9: [C]

Utilizando o Teorema de Pitágoras para calcular a medida g da geratriz do cone, temos: 2

 10  g2  h2  R2  g2     92  π

Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, sabendo que os dois sólidos possuem o mesmo raio da base e a mesma altura, tem-se que a resposta é dada por

π r 2h  3. 1 2 πr h 3

A área do círculo será dada por:   10 2   100  A  π  g2  A  π      92   A    81 π  cm2  π   π    

Resposta da questão 7: [A]

Resposta da questão 10: [B] Considere a figura, em que O é o centro da Terra e P é o pé da perpendicular baixada de N sobre OB.

Volume do cilindro: V Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi Daí, temos: 3

H Vi  2  V     Vi  V H 8     Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: V 

V 7V  , ou seja, 87,5% do volume do 8 8

cilindro, portanto a alternativa [A] é mais adequada. Resposta da questão 8: [E]

Sabendo que AON  60, temos NOP  30 e, portanto, vem

senNOP 

NP ON



1 NP  2 6400

 NP  3200km Ademais, como MPN  2  15 

π rad, encontramos 6

MN  MPN  NP π  3200 6  1600km. 

No triângulo retângulo da figura temos: r 2  25  x2

(I)

Resposta da questão 11: [E]

O volume do prisma será dado por

π  r 2  2x  72π  r 2  x  36 (II) Substituindo ( I ) em ( II ), temos:

25  x   x  36  x 2

3

 25x  36  0

Utilizando o teorema das raízes racionais concluímos que uma de suas raízes é 4. Logo, a equação fatorada será da forma

(x  4),(x2  4x  9)  0 Logo, suas raízes são x = 4, x  2  13

ou x =

Calculando a área A do teto do reservatório, temos:

x  2  13.

148

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

#noCPCvocêsegarante

A

4  π  42  32  π 2

32  3,1  99,2 m2

Sendo v o volume da embalagem menor, temos 3

v  40    v  51,2mL. 100  50 

Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será:

valor  99,2  R$ 300  R$ 29.760,00

Resposta da questão 17: [A]

Resposta da questão 12: [D] O volume de solvente deslocado corresponde ao volume do cilindro de raio r cm e altura igual a 2  3 

16 2  cm. Logo, 3 3

temos

π  r2 

2 4   π  33  r  3 6 cm. 3 3

A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY é formada pela área lateral de dois troncos de cone (lados BC e AB) e pela área da base de uma coroa circular (lado AC). Portanto, sendo r igual ao raio e g igual a geratriz de cada superfície, pode-se escrever: Lado BC  rmaior  a 

Lado AB  rmaior  2a ;

Para calcular basta calcular três vezes o volume das bolas de sorvete somados aos da 27 uvas, logo:   4πr23    27    3  

rmenor  a ;

ga

5 πa 2  3a  SBC  π  a    a   SBC  2  2 

Resposta da questão 13: [C]

 4πr13 A  3   3 

a ; 2

 



π  32  7  3,14  63  198 cm3 .

ga





S AC  π   2a   a2  S AC  3 πa2

Resposta da questão 14: [E] A resposta é dada por

a ; 2

3a  7 πa 2  S AB  π  a   2a    S AB  2 2   Lado AC  rmaior  2a ; rmenor  a

   4  3  43  9  4  3  13  876 cm3  



rmenor  a 

Stotal 

2

2

2

5 πa 7 πa   3 πa2  Stotal  9 πa2 2 2

Resposta da questão 18: [E] Tem-se que

Resposta da questão 15: [D]

AOB  360  θ  360  225  135 

3π rad. 4

O número máximo de potes em cada caixa é dado por Logo,  8   8   40   4    4    6   2  2  6  24,  8   20  14   4    4    6   2  5  2  20, 18   5   35   4    4    6   4  1 5  20,  20  12  12   4    4    6   5  3  2  30

AB  AOB  AO 

3π  16  12π cm 4

e

CD  AOB  OC 

3π 3π 1  cm. 4 4

Daí, se R é o raio maior do funil e r é o raio menor do funil, então

e

2πR  12π  R  6cm

 24   8  14   4    4    6   6  2  2  24.

e 2πr 

3π 3  r  cm. 4 8

Portanto, ele deve adquirir o modelo IV. Observação: [x] denota o maior inteiro menor do que ou igual a x.

Portanto, sendo h a altura do funil e AC  OA  OC  15cm a sua geratriz, pelo Teorema de Pitágoras, vem

Resposta da questão 16: [E]

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10

149

#noCPCvocêsegarante

2

3 2025  h2  152   6    h2  225  8 64  h h

22375 64 15 55 cm. 8

Resposta da questão 19: [D]

ΔADE ~ ΔABC 

x 3   x  15 x  10 5

O volume V pedido (em m3) é a diferença entre os volumes dos cones de raios 5m e 3m, respectivamente.

V

1 1 490π 3 49 4  π  52  25   π  33  15  m  10 πL. 3 3 3 3

Resposta da questão 20: [E]

Admitindo x a medida do lado do octaedro da figura podemos escrever que: 2

a a x2       2 2

2

2  a2 4 a 2 x 2

x2 

150

GEOMETRIA ESPACIAL – AULA 10