Apostila para concurso militar
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PREFÁCIO Este volume corresponde ao primeiro livro virtual lançado pelo Sistema de Ensino Interativo – SEI. O livro trata de lógica, teoria dos conjuntos, relação, produto cartesiano, funções reais, função do 1° grau e 2° grau, modular, exponencial e logarítmica ao longo de 12 capítulos. Cada um dos doze capítulos inicia-se com uma breve introdução do assunto, seguido de questões dos últimos concursos da AFA, EFOMM, Escola Naval, IME e ITA, sendo um total de 345 exercícios. Há ainda um último capítulo onde se encontra o gabarito das questões, bem como a solução daquelas que nos capítulos anteriores possuem sua numeração iniciada com a letra R, totalizando 63 soluções. Os exercícios dos capítulos 10, 11 e 12 que possuem sua numeração iniciada com a letra V serão resolvidos em vídeo aulas e postados no site do livro, www.sistemasei.com.br/editora-sei, regularmente e de maneira gratuita, bem como este livro. Com isto o autor e diretor do Sistema de Ensino Interativo – SEI espera estender a sala de aula do SEI à residência dos que usarem este livro, principalmente daqueles que não podem frequentar um curso preparatório, contribuindo para sua preparação e aprovação. O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, será um prazer receber comentários, correções e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email [email protected].
BOM TRABALHO!
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SOBRE O AUTOR Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM (1994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último. Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática. Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA. Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais, por exemplo, na UFRJ, UFBA, UFAL e USP, e internacionais, como em Warwick (Inglaterra), Cournouaille (França) e PUC- CHILE (Santiago do Chile, Chile) nos quais ministrou algumas palestras. Fundador do Sistema de Ensino Interativo – SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de matemática do SEI Ensina. Atualmente Luciano é Diretor do Sistema de Ensino Interativo – SEI, no qual é coordenador e professor de matemática, além disso, é professor adjunto da UFRJ e professor contratado da Escola Naval.
Luciano Nunes Prudente Diretor do Sistema de Ensino Interativo - SEI
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 1 ÍNDICE 1. Lógica............................................................................................. 2. Teoria dos Conjuntos....................................................................... 3. Produto Cartesiano.......................................................................... 4. Relação.......................................................................................... 5. Conjuntos Numéricos...................................................................... 6. Função........................................................................................... 7. Função Constante............................................................................ 8. Função do 1° Grau.......................................................................... 9. Função do 2° Grau.......................................................................... 10. Função Modular.............................................................................. 11. Função Exponencial........................................................................ 12. Função Logaritmo.......................................................................... 13. Gabarito/Soluções.............................................................................
05 09 19 22 25 32 48 49 62 77 84 94 123
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CAPÍTULO 1 - LÓGICA Construção Axiomática da Ciência A linguagem da Ciência é construída a partir de Termos primitivos e Definições. Termo primitivo é um vocábulo cujo significado não é descrito por outros vocábulos. Definir é a ação de descrever o significado de um vocábulo a partir de outros vocábulos previamente definidos ou de termos primitivos. A introdução de novos vocábulos na Ciência será sempre feita a partir de termos primitivos ou de definições. Proposição ou sentença matemática é uma afirmativa a qual se associa um único valor: verdadeiro ou falso, que representaremos respectivamente por 1 ou 0. Axioma é uma proposição cuja veracidade é assumida por definição e um Teorema é uma proposição cuja veracidade deve ser verificada por meio de outros axiomas ou teoremas. A matemática é construída por meio de Axiomas e Teoremas. Definição: A negação de uma proposição é uma nova proposição cujo valor é o oposto da original. Então dada uma proposição p, temos:
0
p 1
1
0
p
Definição: Conectivo é o elemento utilizado para unir duas proposições. Os conectivos se dividem em primários e secundários. Sejam p e q duas proposições, então: Conectivos Primários 1) Conectivo “e” ( ): p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
p
q
p q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
2) Conectivo “ou” ( ):
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Conectivos Secundários 1) Condicional “se então” ( ):
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2) Condicional “se e somente se” ( ):
Definição: Tautologia é uma proposição que assume apenas o valor verdadeiro. Sejam p, q e r proposições, seguem as principais tautologias: Negação da negação
1. p p Comutatividade do ˄ e do ˅
2. p q q p 3. p q q p Associatividade do ˄ e do ˅
4. p q r p q r 5.p q r p q r Distributividade
6. p q r p q p r 7. p q r p q p r Negação do ˄ e do ˅
8. p q p q 9. p q p q
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Implicação lógica 10. p q p q 11. p q q p 12. p q p q
Equivalência lógica
13. p q p q
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EXERCÍCIOS NÍVEL A ESCOLA NAVAL R1. (EN 1998) Considere a proposição: “Se x > 5 então y = 6”. A proposição equivalente é (A) “Se x < 5 então y 6” (B) “Se y 6 então x < 5” (C) “se y > 5 então x = 5” (D) “Se y 6 então x 5” (E) “Se x 5 então y 6”. 2. (EN 1994) A negação da proposição:
" x 3 e y 2" ,
é: (A) " x 3 e y 2" (B) " x 3 e y 2" (C) " x 3 ou y 2" (D) " x 2 e y 3" (E) " x 3 ou y 2" . 3. (EN 1992) Sabe-se que se x > 4 então y = 2 . Podemos daí concluir que: (A) Se x < 4 então y 2 . (B) Se x 4 então y 2 . (C) Se y = 2 então x > 4 . (D) Se y 2 então x 4. (E) Se y 2 então x < 4.
NÍVEL B ESCOLA NAVAL R1. (EN 1989) Dada a proposição p (q r) ( p q) (p r) podemos afirmar que é: (A) logicamente falsa (B) uma tautologia (C) equivalente a ( p q) r (D) equivalente a ( p q)V r (E) equivalente a p q
NÍVEL C ITA R1. (ITA 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12. II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12. III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas I e II. (C) apenas II e III. (D) apenas I e III. (E) todas. Página | 8
CAPÍTULO 2 - TEORIA DOS CONJUNTOS Elementos Primitivos A Teoria dos Conjuntos tem sua estrutura baseada em três termos primitivos: Elemento, Conjunto e na Relação de Pertinência. Embora termos primitivos intuitivamente sabe-se a diferença entre eles. Considere, por exemplo, as proposições: A é uma Vogal B não é uma vogal Primeiramente sabemos que estas proposições têm valor verdadeiro, ou seja, a letra A é um elemento do conjunto das vogais e a letra B não é um elemento do conjunto das vogais. Note que o elemento se liga ao conjunto pela relação de pertinência, nos exemplos acima esta relação foi feita através do verbo SER, a fim de evitar as limitações da língua, as mesmas proposições podem ser escritas utilizando uma simbologia universal, que respectivamente introduzimos abaixo: A A, E, I, O, U B A, E, I, O, U .
Um conjunto está bem definido quando dado um elemento podemos julgar se este pertence ou não ao conjunto. Variável é o símbolo utilizado para representar um elemento qualquer de um dado conjunto, neste caso, este conjunto é denominado Domínio da variável. Função Proposicional ou Proposição aberta é toda proposição que possui uma variável. Ex.: x A, E, I, O, U É uma proposição aberta, onde x é a variável e o seu domínio é o conjunto
A, E, I, O, U .
Solução da Função Proposicional é todo elemento pertencente ao Domínio da variável que dá valor verdadeiro à proposição aberta. Ex.:
A A, E, I, O, U (V) E A, E, I, O, U (V) x A, E, I, O, U I A, E, I, O, U (V) . O A, E, I, O, U (V) U A, E, I, O, U (V)
Conjunto Solução da Função Proposicional ou Conjunto Verdade da Função Proposicional é o conjunto de todas as soluções de uma Função Proposicional. Ex.: x A, E, I, O, U S A, E, I, O, U . Definição: O Quantificador Universal para todo é utilizado quando todos os elementos do Domínio da variável pertencem ao Conjunto Solução da Função Proposicional. Ex.: x IR , x 2 0.
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Definição: O Quantificador Existencial existe é utilizado quando existe um elemento do Domínio da variável pertencente ao Conjunto Solução da Função Proposicional. Ex.: x IR : x 2 0.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, define-se a relação de inclusão por: AB
x , x A x B .
Neste caso dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B. Definição: Conjunto Universo é o conjunto maximal definido pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que contêm todos os outros. Assim,
A,A U. Definição: Conjunto Vazio é o conjunto minimal dado pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que está contido em todos os outros. Representa-se o conjunto vazio por . Assim,
A , Em particular temos que: Ex.: Dado A 1, 2, 3 então
A .
x , x U x .
A , 1 A, 2, 3 A e 1, 2 , 3 A.
Definição: Conjunto das Partes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou seja, (A) :
B : B A
Ex. A 1, 2, 3 (A) , 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 2, 3 , 3,1 , 1, 2 , 3
Obs.: Seja n (C) é o número de elementos de um conjunto C, então
n((A) ) : 2 n (A) . Observe no exemplo acima que n(A) 3 e n((A) ) 8.
Definição: Seja A um conjunto o seu Complementar é definido por
AC
x:
x A .
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então AB
x,
x A x B .
Ou equivalentemente A B
A B
B A .
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Operações entre conjuntos Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a União entre A e B é um terceiro conjunto definido por: AB
x:xA
x B .
Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A B 1, 2, 3, 4, 5
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Interseção entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B x : x A x B. Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A B 2, 3
Teorema 1. Sejam A e B conjuntos quaisquer então n(A B) n(A) n(B) n(A B) .
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A \ B x : x A x B. Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A \ B 1 e B \ A 4, 5
Teorema 2. Sejam A e B conjuntos quaisquer então
n(A B) n(A) n(B). Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença simétrica entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A B B A . Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A B 1, 4 , 5 .
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, seguem as principais propriedades das operações entre conjuntos. 1. Complementar do complementar
A
C C
2. Comutatividade
A.
A B B A . A B B A .
3. Associatividade A B C (A B) C . A B C (A B) C . Página | 11
4. Distributividade A
B C A B A C .
A B C A B A C .
5. Complementar da união e da interseção
A B C A C B C . A B C A C B C . 6. Complementar de Sobconjuntos
A B BC A C . 7. Diferença
A B A BC .
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EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R1. (EFOMM 2010) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: • n(A B C) = 25, • n(A – C) = 13, • n(B – A) = 10, • n(A C) = n(C – (A B)). O maior valor possível de n(C) é igual a (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 R2. (EFOMM 2010) Analise as afirmativas abaixo. I - Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui lados opostos paralelos}; L = {x K / x possui 4 lados congruentes}; R = {x K / x possui 4 ângulos retos}; e Q = {x K / x possui 4 lados congruentes e 2 ângulos com medidas iguais}. Logo, L R = L Q. II - Seja o conjunto A = {1,2,3,4}, nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. III- Observando as seguintes relações entre conjuntos: {a, b, c,d} U Z = {a, b, c, d, e}, {c,d} U Z = {a, c, d, e} e {b, c, d} Z = {c}; pode-se concluir que Z = {a, c, e}. Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 3. (EFOMM 2007) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é (A) 116 (B) 142 (C) 166 (D) 176 (E) 194. 4. (EFOMM 2006) Sejam os conjuntos U = {1,2,3,4} e A = {1,2}. O conjunto B tal que BA = {1} e BA = U é (A) 0 (B) {1} (C) {1,2} (D) {1,3,4} (E) U.
AFA 5. (AFA 1998) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? Página | 13
(A) 31 (B) 37 (C) 47 (D) 51. R6. (AFA 1998) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20. 7. (AFA 1995) Assinale a afirmação correta. (A) A intersecção de conjuntos infinitos pode ser finita. (B) A intersecção infinita de conjuntos não vazios é vazia. (C) A reunião infinita de conjuntos não vazios tem infinitos elementos. (D) A intersecção dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B. 8. (AFA 1995) Analisando-se uma amostra populacional, com relação à altura, determinou-se: - 95% tem altura maior ou igual a 1,62m; - 8% tem altura menor ou igual a 1,62m. Qual o percentual de indivíduos com, exatamente, 1,62m? (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 13
ESCOLA NAVAL R9. (EN 2009) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 26 (D) 30 (E) 32. 10. (EN 1989) Considere os conjuntos A={x} e B={x,{A}} e as proposições: I - {A} B II- {x} A III- A B IV- B A V- {x , A} B As proposições FALSAS são: (A) I , III e V (B) II , IV e V (C) II , III , IV e V (D) I , III , IV e V (E) I , III e IV 11. (EN 1991) Sejam A, B e C conjuntos. A condição necessária e suficiente para que A(B∩C) = (AB)∩ C é: (A) A = B = C (B) A∩C = ∅ (C) A – C = ∅ (D) A = ∅ (E) AC = B Página | 14
ITA R12. (ITA 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a,b,c, d,e, f , g, h}. Sabendo que (BC A)C = {f, g, h}, BC A = {a, b} e AC \B = {d, e}, então, n(P( A B)) é igual a (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 4. (E) 8. 13. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. U e n(U) = 10. II. U e n(U) = 10. III. 5 U e {5} U. IV. {0, 1, 2, 5} {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) (A) apenas I e III. (B) apenas II e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas IV. (E) todas as afirmações.
NÍVEL B ITA R1. (ITA 2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que: n(AB)= 23, n(B–A)=12, n(C–A)=10, n(B C)= 6 e n(A B C)= 4, então n(A), n(A C) , n(A B C), nesta ordem, (A) formam uma progressão aritmética de razão 6. (B) formam uma progressão aritmética de razão 2. (C) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11. (D) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. (E) não formam uma progressão aritmética. R2. (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A então, o número máximo de elementos que S pode ter é: (A) 2n- 1 (B) n/ 2, se n for par, e (n + 1)/ 2 se n for ímpar (C) n + 1 (D) 2n – 1 (E) 2n – 1 + 1. 3. (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a: (A) 12 (B) 17 (C) 20 (D) 22 (E) 24. 4. (ITA 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A U, B U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que: I. Se A B = , então B AC. II. B\AC = B A. Página | 15
R5. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P() é igual a (A) 8. (B) 16. (C) 20. (D) 17. (E) 9. 6. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A B)= 8,n(A C)= 9, n(B C)= 10, n(A B C) = 11 e n (A B C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a (A) 11 (B) 14 (C) 15 (D) 18 (E) 25.
IME Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação , definida por X Y = (X – Y) (Y – X). Pode-se afirmar que (A) (X Y) (X Y) = Ø (B) (X Y) (X – Y) = Ø (C) (X Y) (Y – X) = Ø (D) (X Y) (X – Y) = X (E) (X Y) (Y – X) = X 7. (IME 2009)
NÍVEL C ESCOLA NAVAL R1. (EN 1988) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock , quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? (A) 5% (B) 10% (C) 20% (D) 45% (E) 70%.
ITA R2. (ITA 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) U (B\A) = A 3. (ITA 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C B \ A}) = 128. Então, das afirmações abaixo: I – n(B) – n(A) é único; II – n(B) + n(A) ≤ 128; III – a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única. É (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) nenhuma.
Página | 16
4. (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma. 5. (ITA 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, n(B\C) = 3n(B C) = 6n(A B), n(A B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(C) b) Determine n(P(B\C)). 6. (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X – Y ) Z) = {7, 8}, X W Z = {2, 4}. Então o conjunto [X (Z W)] – [W (Y Z)] é igual a (A) {1, 2, 3, 4, 5} (B) {1, 2, 3, 4, 7} (C) {1, 3, 7, 8} (D) {1, 3} (E) {7, 8}.
Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y = , W (X –
7. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: (A) 28 – 9. (B) 28 –1. (C) 28 – 26. (D) 214 – 28. (E) 28. R8. (ITA 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A 1,...,Am} P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. Ai ≠ , i = 1 ,... , m II. Ai Aj = , se i ≠ j, para i, j = 1, ... , m III. A = A1 A2 ∙∙∙ Am Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A b) O número de partições de A que têm ordem 2 9. (ITA 2004) Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. b) Denotando P1(A)=P(A) e Pk + 1(A) = = P(Pk(A)), para todo número natural k 1, determine o menor k, tal que n(Pk(A)) 65000, sabendo que n(A) = 2.
NÍVEL C IME R10. (IME 2010) Sejam os conjuntos P1, P2 , S1 e S2 tais que (P2 S1) P1, (P1 S2) P2 E (S1 S2) (P1 P2). Demonstre que (S1 S2) (P1 P2).
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11. (IME 2011) Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C então A C. II. Se A B e B C então A C. III. Se A B e B C então A C. Estão corretas: (A) nenhuma das alternativas (B) somente a alternativa I (C) somente as alternativas I e II (D) somente as alternativas II e III (E) todas as alternativas 12. (IME 2000) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes. a) em 28 saiu uma face preta para o jogador I; b) em 25 saiu uma face branca para o jogador II; c) em 27 saiu uma face branca para o jogador III; d) em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II; e) em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I; f) em 4 saíram faces pretas para os três jogadores; g) em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III. Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. R13. (IME 1986-1987) Dados dois conjuntos A e B, define-se A B (A B) ( B A) . Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z X (Y Z) (X Y) (X Z).
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CAPÍTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO Definição: Sejam A, B IR , o produto cartesiano entre A e B é definido por: A B x, y : xA x B .
O Plano Cartesiano é obtido pelo produto cartesiano da reta por ela mesma, ou seja,
IR 2 IR IR x, y : x IR y IR . A representação gráfica do plano cartesiano é dada por um par de eixos perpendicurales, chamados eixos coordenados, cujo ponto em comum é chamado de origem do plano cartesiano. O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas e seus pontos são representados por x, 0, x IR . Quando x 0 o ponto localiza-se à direita da origem, caso contrário à esquerda,. O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas e seus pontos são representados por 0, y, y IR . Quando y 0 o ponto localiza-se acima da origem, caso contrário abaixo. Assim a origem é o ponto de coordenadas 0, 0 . Os pontos não pertencentes a nenhum dos eixos serão representados por x, y , x, y IR \ 0 , onde os valores de x e y são obtidos pelas coordenadas dos pontos de interseção das perpendiculares traçadas pelo ponto x, y aos eixos coordenados. Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões disjuntas chamadas quadrantes, desta forma define-se:
x 0 e y 0 x, y 1 Quadrante
x 0 e y 0 x, y 2 Quadrante x 0 e y 0 x, y 3 Quadrante x 0 e y 0 x, y 4 Quadrante
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As retas y x e y x são chamadas respectivamente de bissetrizes dos quadrantes ímpares e pares.
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EXERCÍCIOS NÍVEL C ITA R1. (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: I- Se (E x G) (F x H), então E F e G H. II- Se (E x G) (F x H), então (E x G) (F x H) = F x H. III- Se (E x G) (F x H) = F x H, então (E x G) (F x H) Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira (B) Apenas a afirmações (II) é verdadeira (C) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras (D) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras (E) Todas as afirmações são verdadeiras. 2. (ITA 1989) Sejam A, B e C subconjuntos de IR , não vazios, e A–B = {p IR; p A e p B}. Dadas as igualdades: 1-(A–B)xC = (AxC) – (BxC) 2-(A–B)xC = (AxB) – (BxC) 3-(A B)–A (A B) – B 4-A–(BC) = (A–B) (A–C) 5-(A–B)(B–C) = (A–B)(A–B) Podemos garantir que: (A) 2 e 4 são verdadeiras. (B) 1 e 5 são verdadeiras. (C) 3 e 4 são verdadeiras. (D) 1 e 4 são verdadeiras. (E)1 e 3 são verdadeiras.
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CAPÍTULO 4 - RELAÇÃO Definição: Sejam A, B IR , uma Relação R de A em B é um subconjunto qualquer de A B . Em particular, uma Relação R de IR em IR é um subconjunto qualquer de IR 2 . Assim, a região abaixo é um exemplo de um gráfico de uma relação de IR em IR.
Definição: O Domínio e a Imagem de uma relação R de A em B são definidos por: D R x :
x, y R .
Im R y : x, y R .
Definição: Seja R uma Relação de A em B, a Relação Inversa R 1 de B em A é definida por:
R 1 y, x : x, y R . Em particular, o gráfico de um relação e da sua relação inversa são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares.
Definição: Uma Relação de A em B é dita Reflexiva se e somente, se:
x A,
x, x R . Página | 22
Definição: Uma Relação de A em B é dita Simétrica se e somente, se:
x , y R y, x R . Definição: Uma Relação de A em B é dita Antissimétrica se e somente, se:
x , y R y, x R
x, y y, x .
Definição: Uma Relação de A em B é dita Transitiva se e somente, se:
x,y R x, z R . y,z R Definição: Uma Relação de A em B é dita de Equivalência se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Simétrica e Transitiva. Definição: Uma Relação de A em B é dita uma Relação de Ordem se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Antissimétrica e Transitiva.
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EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R1. (EFOMM 2006) Dados A = {2,3,4} e B = {1,6,8,12}, a relação R1 = {(x,y) A x B y = x + 4} de A em B é dada por: (A) {(3,6), (4,8)} (B) {(2,6), (4,8)} (C) {(6,2), (8,4)} (D) {(2,6), (3,12), (4,8)} (E) {(2,1), (3,6), (4,8)}
NÍVEL C IME R1. (IME 1986) Seja N* o conjunto dos números naturais não nulos e n N*. Mostre que a relação Rn = {((a, b) a, b N* e a – b é múltiplo de n } é uma relação de equivalência. R2. (IME 1984) Dada a matriz M = (mij )
1 0 M= 1 1
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
e o conjunto A = {a1; a2; a3; a4}, define-se em A uma relação R por: ai R aj m i j = 1 Verifique se R é uma relação de equivalência. 3. (IME 1983) Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relação m por Rm = {(i; j) i = j + km; k inteiro}. Mostre que m é uma relação de equivalência.
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CAPÍTULO 5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS OPERAÇÃO Uma operação definida em um conjunto é uma relação que associa a dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou seja, *: A A B
a1 , a 2 * a1 , a 2 : a1 * a 2
Quando o resultado da operação for um elemento de A, a operação é dita fechada, assim, *: A A A
a1 , a 2 * a1 , a 2 : a1 * a 2
É uma operação fechada.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 1-Números Naturais: IN
0,1, 2, 3, ..... .
IN * 1, 2, 3, .... . A soma e a multiplicação de dois números naturais são exemplos de operações fechadas neste conjunto, logo: : IN IN IN
a , b a , b : a b
e : IN IN IN
a , b a , b : a b
Em particular, a soma e a multiplicação gozam das seguintes propriedades: a, b e c IN , temos:
1.1-Associatividade (Adição):
a
b
ca
b c .
1.2- Comutatividade (Adição):
a b b a. 1.3- Existência de elemento neutro (Adição): e s IN : a e s e s a a , a IN .
Em relação aos números naturais o elemento neutro da adição é o número zero. 1.4- Associatividade (Multiplicação):
a b c a bc . Página | 25
1.5- Comutatividade (Multiplicação):
a b b a . 1.6 - Existência de elemento neutro (Multiplicação):
e p IN : a e p e p a a , a IN . Em relação aos números naturais, o elemento neutro da multiplicação é o número um. 1.7- Distributividade da multiplicação em relação à adição: a b c a b a c .
1.8- Não existem divisores de zeros: a 0 a , b IN : a b 0 ou . b 0
2-Números Inteiros: Z
..., 2, 1, 0,
Z*
1, 2, .... .
..., 2, 1, 1, 2, ... .
Repare que IN Z , porém existem números inteiros que não são números naturais, cuja necessidade se percebe quando se tenta resolver, por exemplo, a seguinte sentença:
x 2 0. De fato, suponha que haja solução natural, então,
x IN x 0 x 2 2 0 x IN. Definindo a soma e a multiplicação de maneira natural, defini-se a operação de subtração por: : Z Z Z
a , b a , b : a b a (b ).
As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas em relação ao conjunto dos números inteiros, além disso, estas operações gozam das mesmas propriedades dos números naturais e da seguinte: 2.1- Inverso aditivo: a Z, b Z : a b b a 0, b a .
3-Números Racionais:
p Q : p Z q Z* . q p Q * : p Z* q Z* . q Página | 26
Repare que IN Z Q , porém existem números racionais que não são números inteiros, cuja necessidade é percebida quando se tenta resolver a seguinte sentença:
2x 1 0 . De fato, suponha por absurdo que haja solução inteira, então, x Z 2x 1 impar x Z.
Definindo a soma, a multiplicação e a subtração de maneira natural, define-se a operação de divisão por: : Q Q* Q
a , b a , b : a b a 1 a . b
b
O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão, sempre que definida, e goza das mesmas propriedades dos números inteiros e da seguinte: 3.1- Inverso Multiplicativo:
a Q* , b Q : a b b a 1, b a 1 . 4-Números Reais: A esta altura o leitor pode se perguntar se todo número pode ser escrito sob a forma de fração, a resposta para esta pergunta é não. Existe a necessidade de outros tipos de números, isto é percebido, por exemplo, quando se tenta resolver a equação:
x2 2 . De fato, suponha que a solução desta equação seja um número racional, dito isto, sabemos que x pode ser escrito como a razão de dois números inteiros, sejam p e q inteiros com q não nulo e tais que:
p x , p Z e q Z* , mdc (p, q) 1 q Então 2
p x 2 2 p 2 2q 2 2 | p 2 2 | p p 0 Z : p 2p 0 . q 2
Logo,
2p0 2 2q 2 q 2 2p0 2 2 | q 2 2 | q q 0 Z : q 2q 0
O que implica mdc(p, q) 2.
O que é um absurdo uma vez que por hipótese p e q são primos entre si. Logo há a necessidade que existam números que não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. Estes números serão chamados de números Irracionais. Define-se o conjunto dos números reais como a união do conjunto dos números racionais e dos números irracionais. Geometricamente os números reais IR podem ser representados pela reta, o que define uma bijeção entre estes conjuntos, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real da mesma forma que a cada número real corresponde um único ponto da reta. Esta bijeção está definida a menos de um ponto fixo chamado origem que representa o número zero e de uma escala que define o sistema de unidade, em particular, esta escala também define os números naturais e os números inteiros. Página | 27
Os números racionais podem ser obtidos construindo-se primeiramente os racionais positivos menores que um, a partir de construções geométricas, depois estes são levados a toda a reta a partir de translações. Diante do que foi dito acima temos que IN Z Q IR . O conjunto dos números reais é fechado em relação às quatros operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, esta última estando definida. Além disso, o conjunto dos números reais goza das mesmas propriedades relativas a adição e multiplicação que os números racionais. O conjunto dos números reais munido das operações soma e produto é chamado de corpo dos números reais. 4.1-Intervalos:
a, b x IR :
axb
a, b x IR :
axb
a, b x IR : a x b a, b x IR : a x b a, x IR : a x
a, x IR : a x , a x IR : x a , a x IR : x a Definem-se também os seguintes conjuntos: Inteiros Positivos:
Z* 1, 2, 3, ... . Inteiros não-negativos:
Z 0, 1, 2, 3, ... . Inteiros negativos:
Z* ..., 3, 2, 1 . Inteiros não-positivos: Z ...., 3, 2, 1, 0 .
Racionais Positivos: p p Q* Q : 0 . q q
Racionais não-negativos:
p p Q Q : 0 q q Página | 28
Racionais negativos:
p p Q* Q : 0 . q q Racionais não-positivos: p p Q Q : 0 . q q
Reais Positivos:
IR * x IR : x 0 . Reais não-negativos:
IR x IR : x 0 . Reais negativos:
IR * x IR : x 0 . Reais não-positivos:
IR x IR : x 0 .
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EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R1. (AFA 2011) Se α = 2. 2 2. 2 2 2 . 2 2 2 , então (A) α (IR – IN) (B) α pode ser escrito na forma α = 2k, k Z (C) α [(Q – Z) (IR – Q)] (D) [(Z ∩ Q) ∩ (IR – IN)] α 2. (AFA 2008) Analise as alternativas abaixo e marque a correta. (A) Se = B {m ∈ N | m² < 40}, então o número de elementos do conjunto B é 6. 1 1 (B) Se α = , então α ∈[(IR − Q) ∩ (IR − Z)] 2 1 2 1 (C) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente. (D) Se A =]1, 5[ e B =]−3,3[, então B−A=]−3,1[. R3. (AFA 2005) Considere um subconjunto A contido em N * e constituído por y elementos dos quais: 13 são múltiplos de 4 7 são múltiplos de 10 5 são múltiplos de 20 e 9 são números ímpares. É correto dizer que y é um número: (A) par menor que 19. (B) múltiplo de 12. (C) ímpar entre 10 e 20. (D) primo maior que 21.
ESCOLA NAVAL R4. (EN 1993) Sejam A = [0,2], B = (–1,2] e C = (1,3). O complemento de A(B–C) em relação ao conjunto B é igual a: (A) (–1,0) [1,2] (B) (–1,2) (C) (–1,0] [1,2] (D) (–1,1] (E) (–1,0) (1,2]
NÍVEL B ITA R1. (ITA 2004) Seja o conjunto S = {r Q : r 0 e r2 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I.
5 7 S e S 4 5
II. {x IR : 0 x
2 }S=
III. 2 S. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) I (E) II Página | 30
NÍVEL C ITA 1. (ITA 2012) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1−r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações: I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) I, II e III.
IME 2. (IME 1993) Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta. a) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais; b) Existe um número em Q (racionais) cujo quadrado é 2; c) O ponto correspondente a
66 55 77 na escala dos números reais R está situado entre os pontos e . 77 66 88
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CAPÍTULO 6 - FUNÇÃO Definição: Sejam A, B IR , uma Função de A em B é uma Relação de A em B tal que a cada elemento de A é associado um único elemento de B. Representa-se uma Função de A em B por:
f :A B
x f x O gráfico de uma Função de A em B é a representação dos pontos da função no plano cartesiano, em particular: G f x, f x : x A A B
Em seguida o gráfico de uma função e o gráfico de uma relação.
De fato, existem pontos no domínio da circunferência tais que a reta perpendicular ao eixo das abscissas intercepta o seu gráfico em mais de um ponto. O Domínio e o Contradomínio e a Imagem de uma Função de A em B, são definidos por: Df A CDf B
Im f f A
y B : x A , f x y
.
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Classificação de Funções: Função Injetora: Uma função é injetora se e somente, se quaisquer dois elementos distintos do seu domínio possuírem imagens distintas, ou seja, f é injetora x1 , x 2 A : x1 x 2 f x1 f x 2 .
O gráfico abaixo é um exemplo de gráfico de função injetora.
Já o próximo não é um exemplo de gráfico de função injetora, uma vez que existe ponto na imagem tal que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.
Função Sobrejetora: Diremos que uma função é sobrejetora se e somente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio, ou seja, f é sobrejetora Im f CDf
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Seja
f : a, b c, d
dependendo do conjunto imagem f pode ser uma função sobrejetora,
Ou não:
No segundo caso existem pontos no contradomínio tais que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas por estes pontos não intercepta o gráfico da função. Função Bijetora: Diremos que uma função é bijetora se e somente se for injetora e sobrejetora, ou seja, f é Bijetora f é Injetora e Sobrejetora
Em seguida o gráfico de uma função bijetora.
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Classificação de Funções quanto ao crescimento: Função Crescente: Seja f : A B f é crescente
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
Função Decrescente: Seja f : A B f é decrescent e
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
Obs.: Estas funções também podem ser chamadas de funções estritamente crescentes ou estritamente decrescentes. Obs.: Toda função crescente ou decrescente é injetora. Função não Crescente: f é não crescente
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
Função não Decrescente: f é não decrescent e
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
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Função Monótona:
f é crescente ou f é de crescente f é monótona ou f é não crescente ou f é não de crescente
Classificação de Funções quanto à Paridade: Função Par: Seja f : A B
f é par x A , f x f x
Obs.: O gráfico de uma função par é simétrico em relação aos eixos das ordenadas. Função Ímpar: Seja f : A B
f é ímpar x A , f x f x
Obs.: O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema de coordenadas.
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Classificação de Funções quanto à Periodicidade: Função Periódica: Seja f : A B
f é periódica T 0 : x A , f x T f x
O Período de uma função periódica é definido por:
P mín T : TIR * , f x T f x , x A
Em seguida o gráfico de uma função periódica:
Obs.: Existem funções periódicas que não possuem período, por exemplo, as funções constantes,
f :A B x f (x) b
Função Composta: Sejam f : A B , g : C D funções, e os conjuntos B e C tais que, B C , define-se A Função Composta de f por g por:
gf : A D x y : g f ( x ) g ( f ( x ) )
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Função Inversa: Uma vez que uma função f : A B é uma relação, sempre existe a sua relação inversa R f : B A . O Teorema seguinte dá condições para que a relação inversa de uma função também seja uma função. Teorema: Seja f : A B uma função, então: f é bijetora R f 1 : B A é função
Se f : A B é uma Função Bijetora, então a Relação Inversa de B em A é uma função e é chamada de Função Inversa de B em A f 1 : B A . Em particular,
f f 1 y y , y B f f 1 id B
f 1 f x x , x A f 1 f id A
Onde idA é a função identidade restrita ao conjunto A. Obs.: Caso f : IR IR então
f f 1 f 1 f id Ou seja,
f f 1 (x) f 1 f (x) x , x IR Teorema: O gráfico de uma função bijetora e o gráfico da sua função inversa são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta y x .
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EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA 1. (AFA 2009) Um estudo sobre a concentração de um candidato em provas de memorização indicou que, com o tempo decorrido, sua capacidade de reação diminui. 2t 1 A capacidade de reação (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em horas, podem ser expressos pela relação E = . 1 t 3 Sendo assim, é INCORRETO afirmar que (A) a concentração tende a ser máxima por volta de 20 minutos do início da prova. (B) a cada intervalo de 1h de prova há uma queda de 33, 3 % na capacidade de reação. (C) a capacidade de reação nunca é menor que 2 (D) se a capacidade de reação é 24, então o tempo t decorrido é maior que 24 minutos. R2. (AFA 2005) Observe os gráficos abaixo, das funções f e g, definidas no intervalo [ 0 , 1 ]
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Com base nos gráficos, assinale a alternativa FALSA. (A) g(f (0,4)) g(f (x)) , x [ 0 , 1 ] . (B) g(f (0,6)) g(f (1)) . (C) g(f (0,05)) g(f (0,1)) . (D) g(g(x)) x , x [ 0,3 ; 0,8 ] . R3. (AFA 2001) Se f e g são funções de IR em IR definidas por f(3x+2) = (A)
x4 5
3x 2 e g(x – 3) = 5x – 2, então f(g(x)) ;e: 2
5x 9 2 (C) 5x + 13 (B)
(D)
5x 11 . 5
4. (AFA 2001) Os números inteiros do domínio da função real f (x) (5 2x) (2 3x) são as raízes da equação g(x) 0 . Uma expressão analítica da função g( x ) é: (A) x 3 x 2 2x (B) x 3 x 2 2x 3 2 (C) x 3x 2x 3 2 (D) x 3x 2x .
R5. (AFA 1999) Seja D = 1,2,3,4,5 e f: D R, a função definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Então, pode-se afirmar que f (A) é bijetora. (B) é somente injetora. (C) é somente sobrejetora. (D)possui conjunto imagem com 3 elementos.
ESCOLA NAVAL R6. (EN 2011) Considere f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n + 2) = 3 + f(n), n N, f(0) = 10 e f(1) = 5. Qual o valor de f (81) f (70) ? (A) 2 2 (B) 10 (C)2 3 (D) 15 (E) 3 2
R7. (EN 1993) Sejam h(x) = x3, t(x) =
1 , x –1 e, f(x) = t(h(2x)). O valor de f-1(1/9) é: 1 x
(A) –2 (B) –1 (C) 1 (D) 2 (E) 3 8. (EN 1990) Se, para todo x real, f(2x + 3) = 3x + 2 então f [f(x)] é igual a: (A) x
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x3 2 3x 5 (C) 2 9x 25 (D) 4 (E) 9x + 4
(B)
9. (EN 1989) Sabendo que f , g e h são funções reais de variável real e que f e g não se anulam, considere as afirmações abaixo : I - fo (g + h) = fog + foh II - (g + h) of = gof + hof III -
1 1 og fog f
1 1 fo fog g Podemos afirmar que: (A) todas as afirmativas acima são verdadeiras. (B) somente I a II são verdadeiras (C) somente a IV é falsa (D) somente II e III são verdadeiras. (E) somente I é falsa. IV -
R10. (EN 1988) Seja x {-1, 0, 1}. Se f1 (x) = (A) (B) (C) (D) (E)
x 3 x 1 x x3 1 x 3 x x 1 x3 . x 1
x 3 x 1
e fn+1 (x) = f1 f n (x) para todo n natural, então f1988(x) igual a:
NÍVEL B ITA R1. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: I. {0} S e S U II. {2} S\ U e S T U = {0, 1} III. Existe uma função f : S Tinjetiva. IV. Nenhuma função g : T Sé sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas IV. (C) apenas I e IV. (D) apenas II e III. (E) apenas III e IV.
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IME R2 (IME 2007) Seja f : IR IR, onde IR é o conjunto dos números reais, tal que: f (4) 5 f ( x 4) f ( x ) . f (4)
O valor de f(–4) é: (A) –
4 5
1 4 1 (C) – 5 1 (D) 5 4 (E) . 5
(B) –
R3. (IME 2006-2007) Considere os conjuntos A={(1,2),(1,3),(2,3)} e B={1,2,3,4,5}, e seja a função f : A B =x+y É possível afirmar que f é uma função: (A) injetora (B) sobrejetora (C) bijetora (D) par (E) ímpar.
tal que: f(x,y)
NÍVEL C EFOMM R1. (EFOMM 2009_2010) Seja f: R R uma função estritamente decrescente, quaisquer xl e x2 reais, com xl < x2 tem-se f(xl) > f(x2) Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. I - f é injetora . II - f pode ser uma função par. III- Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. Assinale a opção correta. (A) Apenas as afirmativas I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
ITA R2. (ITA 2005) Seja D = R \ {1} e f : D D uma função dada por f(x) =
x 1 . Considere as afirmações: x 1
I. f é injetiva e sobrejetiva II. f é injetiva, mas não sobrejetiva 1 x
III. f(x) + f = 0,para todo x D, x 0 IV. f(x) . f(–x) 1 , para todo x D Então, são verdadeiras
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(A) apenas I e III. (B) apenas I e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas I, III e IV. (E) apenas II, III e IV. R3. (ITA 2003) Considere uma função f : IR IR não- constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y), x, y IR. Das afirmações: I. f(x) > 0, x IR. II. f(nx) = [f(x)]n, x IR, n IN*. III. f é par. é (são) verdadeira(s): (A) apenas I e II. (B) apenas II e III. (C) apenas I e III. (D) todas. (E) nenhuma. 4. (ITA 2003) Mostre que toda função f : IR \ {0} IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. 5. (ITA 2002) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por: f(x) =
ax b , –c < x < c. xc
Então f(x), para – c < x < c, é constante e igual a (A) a + b. (B) a + c. (C) c. (D) b. (E) a. R6. (ITA 2010) Seja f : IR IR bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f –1 : IR IR também é ímpar. 7. (ITA 2010) Sejam f, g : R R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações I. f . g é ímpar, II. f g é par, III. g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e II (E) todas. 8. (ITA 2009) Seja f: IR → IR \ {0} uma função satisfazendo às condições: f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y IR e f(x) ≠ 1, para todo x IR \ {0}. Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f (0) =1. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x IR. é(são) falsa(s) apenas (A) I e III. (B) II e III. (C) I e IV. (D) IV. (E) I.
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9. (ITA 2009) Seja f : IR \ {–1} → IR definida por f(x) =
2x 3 x 1
a) Mostre que f é injetora. b) Determine D= {f(x), x IR \ {−1}} e f −1 : D → IR\ {−1}. R10. (ITA 2001) Se f : ] 0,1 [ IR é tal que, x ] 0, 1[ ,
f (x)
1 e 2
1 x x 1 f f 4 2 2 então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é: 1 1 (A) f ( x ) n 2 2 1 1 (B) n f ( x ) 2 2 1 1 f (x) (C) n 2 2 1 1 (D) f ( x ) n 2 1 (E) f ( x ) n . 2 f(x) =
11. (ITA 1999) Sejam f, g, h: R R funções tais que a função composta h o g o f:R R é a função identidade. Considere as afirmações: I– A função h é sobrejetora. II– Se xo R é tal que f(x0) = 0, então f(x) 0 para todo x R com x x0. III– A equação h(x) = 0 tem solução em R. Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. (B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. (C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são falsas. 12. (ITA 1997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f , g : R R definidas por: 0, se x Q f (x) 1, se x I 1, se x Q g( x ) 0, se x I
Seja J a imagem da função composta f o g: R R. Podemos afirmar que: (A) J = R (B) J = Q (C) J = {0} (D) J = {1} (E) J = {0, 1}. R13. (ITA 1997) Seja f, g : R R funções tais que g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3, para todo x R. Então f[g(x)] é igual a (A) (x – 1)3 (B) (1 – x)3 (C) x3 (D) x (E) 2 – x. Página | 44
14. (ITA 1996) Seja f : R * R uma função injetora tal que f (1) = 0 e f (x . y) = f (x) + f (y) para todo x > 0 e y > 0. Se x 1, x2, 5
x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que f ( x i ) = 13 f (2) i 1
4
x + 2 f (x1) e f( i ) = – 2 f (2 x1), então, o valor de x1 é: xi 1 i 1 (A) –2 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 1. 15. (ITA 1993) Seja f: IR IR uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes informações: I. f(p) 0 II. f(–x) = –f(x–p), x IR III. f(–x) = f(x–p), x IR IV. f(x) = –f(–x), x IR Podemos concluir que: (A) I e II são falsas (B) I e III são falsas (C) II e III são falsas (D) I e IV são falsas (E) II e IV são falsas R16. (ITA 1992) Dadas as funções f:IR IR e g: IR IR, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog. Então podemos afirmar que: (A) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (B) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (C) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível. (D) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. (E) n.d.a 17. (ITA 1991) Considere as afirmações: I- Se f: IR IR é uma função par e g: IR IR uma função qualquer, então a composição gof é uma função par. II- Se f: IR IR é uma função par e g: IR IR uma função ímpar, então a composição fog é uma função par. III- Se f: IR IR é uma função ímpar e inversível então f -1: IR IR é uma função ímpar. Então: (A) Apenas a afirmação I é falsa; (B) Apenas as afirmações I e II são falsas; (C) Apenas a afirmação III é verdadeira; (D) Todas as afirmações são falsas; (E) n.d.a. 18. (ITA 1990) Seja a função f: IR – {2} IR – {3} definida por f(x) =
2x 3 1 . Sobre sua inversa podemos garantir que: x2
(A) não está definida pois f é não injetora. (B) não está definida pois f não é sobrejetora.
y2 , y 3. y3 y5 (D) está definida por f-1 (y) = – 1, y 3. y3 2y 5 (E) está definida por f-1 (y) = , y 3. y3 (C) está definida por f-1 (y) =
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IME (19) (IME 2011_2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real, f (x) a
2
(x b) (x c) 2 (x c) (x a) 2 (x a) (x b) b c , obtém –se f(x) igual a : (a b) (a c) (b c)(c a) (c a)(c b)
(A) x2 – (a + b + c)x + abc (B) x2 + x – abc (C) x2 (D) –x2 (E) x2 – x + abc 20. (IME 2009) Sejam f uma função bijetora de uma variável real, definida para todo conjunto dos números reais e as relações h e g, definidas por: h : IR 2 IR 2
x, y h x, y x 3 , x f y e g : IR 2 IR 2
x, y g x, y x 3 , x f y Pode-se afirmar que (A) h e g são sobrejetoras. (B) h é injetora e g sobrejetora. (C) h e g não são bijetoras. (D) h e g não são sobrejetoras. (E) h não é injetora e g é bijetora. R21. (IME 2004) Seja uma função f : IR – {0} IR, onde IR representa o conjunto dos números reais, tal que f(a / b) = f(a) – f(b) para a e b pertencentes ao domínio de f. Demonstre que f é uma função par. n
R22. (IME 2007) Seja f : IN IR uma função tal que
(n 1)
f (k) 2008 (n 2) , onde N e IR são, respectivamente, o conjunto k 0
dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de 1 . f (2006)
R23. (IME 1996) Seja f uma função real tal que x, a IR : f(x + a) =
1 + 2
f ( x ) [f ( x )]2 , f
é periódica? Justifique.
24. (IME 1992-1993) 2. Considere uma função
L:IR IR que satisfaz: 1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 x y L x L y . 2. L xy L x L x , x, yIR . Mostre que: a) L 1 0 ;
1 x
b) L L x , x IR ;
x c) L L x L y , x e y IR ; y Página | 46
d) L x n nL x , x IR e n IN ; e) L
x n1 L x , xIR n
e n IN, n 2 ;
f) 0 x 1 y L x 0 L y L.
R25. (IME 1987) Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por h :IR 2 IR 2
x, y h x, y x 3 , x f y Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que g h x, y x, y , x, y IR
h g x, y x, y , x, y IR
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CAPÍTULO 7 - FUNÇÃO CONSTANTE Definição: Seja b IR , a relação:
f : IR IR x f ( x ) b, é uma função, chamada função constante. Definida a função temos D f IR CDf IR
Im f b .
Gráfico:
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CAPÍTULO 8 - FUNÇÃO DO 1° GRAU Definição: Sejam a IR * e b IR , a relação: f : IR IR x f ( x ) a x b,
é uma função, chamada Função do 1° Grau ou Função Afim, denomina-se o parâmetro a por coeficiente angular e o parâmetro b por coeficiente linear. Definida assim temos: D f IR CD f IR Im f IR .
Gráfico: O gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que se determine a sua raiz, bem como seu comportamento. A raiz de uma função é o valor de x tal que f ( x ) 0 , em particular, a raiz de uma função do 1° grau é obtida resolvendo-se a equação do 1° grau associada. Ou seja, b .. a O próximo passo é determinar o comportamento da função do 1° Grau, que é dado pelo coeficiente angular. f ( x ) 0 ax b 0 , a 0 ax b x
Se a 0 então a função do 1° Grau é crescente. De fato f ( x1 ) f ( x 2 ) a x 1 b a x 2 b a x1 a x 2 x 1 x2 . Analogamente se a 0 a Função do 1° Grau é decrescente. Resumindo:
b a
O gráfico de uma função do 1° grau tem em comum com o eixo das abscissas o ponto de coordenadas ( , 0 ) e com o eixo das ordenadas o ponto de coordenadas ( 0, b ) e o seu comportamento é dado pelo sinal do coeficiente angular, caso este seja positivo a função será crescente, caso contrário, será decrescente.
Em particular a função do 1 ° grau é sobrejetora, pois, CDf Im f e é injetora, pois, f ( x1 ) f ( x 2 ) a x 1 b a x 2 b a x1 a x 2 x 1 x 2 , a 0.
A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do 1° grau, nos diferentes casos. Página | 49
1° Caso: a < 0 e b > 0
2°Caso: a < 0 e b < 0
3° Caso: a > 0 e b < 0
4°Caso: a > 0 e b > 0
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Analisando os gráficos acima concluímos que o sinal da função do 1° grau é obtido de acordo com o sinal do coeficiente angular, ou seja, com o sinal de a. Resumindo: À direita da raiz a função do 1° grau tem o mesmo sinal do coeficiente angular.
Obs.: Se b 0 a função do 1° grau pode ser chamada de função linear, neste caso o gráfico contém a origem do plano cartesiano.
Obs.: Nem toda relação cujo gráfico é uma reta é uma função do 1° grau, em particular podemos ter uma função constante Página | 51
f : IR IR x f (x) b
Ou simplesmente uma relação R : ( c, y ) : y IR
x
EQUAÇÃO DO 1° GRAU * Definição: Sejam a IR , b IR , a equação do 1° grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente à:
a x b 0. Discussão de equações do tipo ax b 0 : Seja ax b 0 onde a , b IR , então: Se a 0 a equação ax b 0 é uma equação do 1° grau, neste caso a equação é classificada como possível e determinada e
b S . a
a 0 A equação ax b 0 se reduz à: Página | 52
0x b 0 Assim temos dois casos a analisar b 0 e b 0 . Se a 0 e b 0 a equação se reduz a
0x 0 0 Assim S IR já que todo número real é solução, neste caso a equação é classificada como possível e indeterminada. Se a 0 e b 0 a equação se reduz a 0 x b 0 e neste caso S equação é classificada como impossível.
já que nenhum número real é solução, neste caso a
Resumindo:
a 0 Equação Possível e det er min ada a 0 e b 0 Equação Possível e in det er min ada a 0 e b 0 Equação Im possível
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU * Definição Sejam a IR , b IR , uma inequação do 1° grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente a
a x b 0 ou a x b 0 ou ax b 0 ou a x b 0 A solução de uma inequação do 1° grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do 1° grau correspondente.
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EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R1. (AFA 2012) Para angariar fundos de formatura, os cadetes do 1º ano da AFA vendem camisas de malha com o emblema da turma. Se o preço de venda de cada camisa é de 20 reais, eles vendem por mês 30 camisas. Fizeram uma pesquisa e verificaram que, para cada 2 reais de desconto no preço de cada camisa, são vendidas 6 camisas a mais por mês. Dessa forma é correto afirmar que (A) é possível fazer mais de 10 descontos de 2 reais. (B) tanto faz vender as camisas 12 reais cada uma ou 18 reais cada uma que o faturamento é o mesmo. (C) o máximo faturamento ocorre se são vendidas menos de 40 camisas por mês. (D) se o preço de venda de cada camisa é de 14 reais, então o faturamento é maior que 680 reais.
R2. (AFA 2010) Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis α , β e γ para x quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções.
Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando x ]m, + ∞[ , m IR. O menor valor possível para m é (A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 90 3. (AFA 2009) Considere as funções reais f : IR → IR dada por f(x) = x + a, g : IR → IR dada por g(x) = x – a, h : IR → IR dada por h(x) = – x – a Sabendo-se que a < 0, é INCORRETO afirmar que (A) h(x) f(x) < g(x) x –a (B) ∄x IR g(x) f(x) (C) se x < a, então f(x) < g(x) < h(x) (D) se a < x < – a, então f(x) < h(x) < g(x).
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R4. (AFA 2008) " A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e ao aumento da alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em bilhões de reais por ano)".
Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico acima é linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y% representa o aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto afirmar que y é um número do intervalo: (A) [8, 9[ (B) [9, 10[ (C) [10, 11[ (D) [11, 12[ 5. (AFA 2008) Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à Receita federal no ano de 2007 – ano base 2006 (valores arredondados para facilitar os cálculos). Rendimento para base de cálculos (R$) até 14.999,99 de 15.000,00 a 30.000,00 acima de 30.000,00
Alíquota (%) Isento 15 27,5
Parcela a deduzir (R$) – 2.250,00 6.000,00
Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. Esse rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 50.000,00 teve direito às seguintes deduções: R$ 4.400,00 com o total de gastos em educação, R$ 5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$ 1.500,00 por dependente. Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este trabalhador, no ano de 2007, foi de R$ 3.515,00, o número de dependentes considerado foi: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 R6. (AFA 2005) Seja: 24 A x N* | n e nN x Seja: 3x 4 B x Z | 1 0 2 x 9 É incorreto afirmar que: (A) A B tem 8 elementos. (B) A B . (C) B A 0 . (D) A B B .
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7. (AFA 2005) Seja f a função real cujo gráfico se apresenta a seguir:
Analisando o gráfico, é INCORRETO afirmar que: (A) f (f (1)) f (0,5) . (B) f (0) f (x) , x R . 5 (C) se g(x) f (x) 1 , então g(2) f . 2 (D) f (x) 1 0 , x R .
8. (AFA 2003) Analise o gráfico abaixo das funções f e g e marque a opção correta.
(A) O gráfico da função h(x) = g(x) – f(x) é uma reta ascendente. (B) O conjunto imagem da função s(x) = f(g(x)) é IR (C) f(x) . g(x) 0 x t (D) g(f(x)) = g(x) x IR. x 1, se x 1 R9. (AFA 2003) Considere a função f: IRIR tal que f ( x ) e assinale a alternativa verdadeira. 1 x, se x 1 (A) f é sobrejetora. (B) f é par. (C) f não é par nem ímpar. (D) Se f é definida de IR em IR + , f é bijetora.
10. (AFA 2003) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função real f em que f(x) representa o preço, pago em reais, de x quilogramas de um determinado produto. (Considere f(x) IR)
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De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar que (A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 18,00. (B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas do produto. (C) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas do produto. (D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333... quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto.
R11. (AFA 2002) Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte.
Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais, (A) menor que 4500 (B) maior que 4500 e menor que 7000 (C) múltiplo de 7500 (D) um número que NÃO divide 12000. R12. (AFA 1999) Seja f uma função real do primeiro grau com f(0) = 1 + f(1) e f(–1) = 2 – f(0). Então, o valor de f(3) é (A) –3. (B) –2,5. (C) –2. (D)–1,5. R13. (AFA 1994) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dólares e daqui a 5 anos 1.000 dólares, o seu valor em dólares, daqui a 3 anos, será: (A) 3600 (B) 4200 (C) 4600 (D) 5000
ESCOLA NAVAL 1 R14. (EN 1993) Temos < 2 se e somente se: x (A) x > 1/2 (B) x < 1/2 (C) 0 < x < 1/2 (D) x < 0 ou x > 1/2 (E) x < 0
NÍVEL B EFOMM
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R1. (EFOMM 2010) O gráfico das três funções polinomiais do 1° grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(x), b(x) e c (x) estão representadas abaixo.
Nessas condições, o conjunto solução da inequação
(a(x))5 .(b(x))6 0 (c(x))3
(A) (–4;–1) U [3;+) (B) [–4;–1] U [3;+ ) (C) (–;–4) U [–1;+ ) (D) [4;+ ) (E) R – {4} 2. (EFOMM 2007) Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Cláudio na B e obtiveram o mesmo valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9.
AFA 3. (AFA 2011) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas.
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender (A) no mínimo 2 bolsas. (B) pelo menos 1 bolsa. (C) exatamente 3 bolsas. (D) no mínimo 4 bolsas. Página | 58
5. (AFA 2002) “O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia 1 o de junho começa o plano de racionamento de energia.” “O modelo energético brasileiro é baseado quase que exclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida no país. Sem chuva, entra em colapso”. Revista Veja – 16/05/01 No gráfico abaixo, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica.
Analise as alternativas e marque a opção correta. (A) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. (B) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes até o ano 2000. (C) Após o ano de 2000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. (D) No período de 1995 a 2000, o nível da água só diminuiu. 6. (AFA 1995) A função linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a condição f(5x + 2) = 5f(x) + 2. Então (A) a = 2b (B) a = b + 2 (C) a = 2b + 1 (D) a = 2(b + 1)
ESCOLA NAVAL R7. (EN 1991) Representemos por min (a , b) o menor dos números a e b, isto é, a , se a b min (a , b) = b, se a b A solução da inequação min (2x + 3, 3x – 5) < 4 é: (A) x < 1/2 (B) x < 3 (C) 1/2< x < 3 (D) x > 1/2 (E) x > 3
NÍVEL C AFA
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1. (AFA 2007) No gráfico abaixo estão representadas as funções reais f e g sendo A = f g
É FALSO afirmar sobre as mesmas funções que (A) (fog)(x) 0 g(x) –2
1
(B) se s(x) =
100
[f ( x )]
101
.[g( x )]
, então o domínio de s é dado por IR * –{–2}
(C) o gráfico da função j definida por j(x) =
f 1 ( x )
possui pontos no 4º quadrante g 1 ( x ) (D) se h: IR → B tal que h(x) = f(x) . g(x), então h será bijetora se B = [–2, +[
ESCOLA NAVAL 2. (EN 1991) Determine o conjunto-imagem da função (fog) para: 0 se x 0 f (x) 2x se 0 x 1 0 se x 1
e
1 se x 0 g(x) x / 2 se 0 x 1 1 se x 1
(A) [0 , 1] {2} (B) (–∞ , +∞) (C) [0 , 1] (D) [0 , +∞) (E) {1}
ITA 0 x 1/ 2 2x, . 2x 1, 1/ 2 x 1
R3. (ITA 2006) Seja f : [0, 1) IR definida por f(x) =
1 / 2 x 0 f ( x 1 / 2 ), Seja g : (-1/2, 1/2) IR dada por g(x) , 0 x 1 / 2 1 f ( x 1 / 2), com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
4. (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real com 0 < m < 1, considere as afirmações:
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I.(f o g)(x) = (g o f)(x), para algum x R. II. f(m) = g(m). III.Existe a R tal que (f o g)(a) = f(a). IV.Existe b R tal que (g o f)(b) = mb. V.0 < (g o f)(m) < 3. Podemos concluir que: (A)todas são verdadeiras (B)apenas três são verdadeiras (C)apenas uma é verdadeira (D)apenas quatro são verdadeiras (E)apenas duas são verdadeiras.
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CAPÍTULO 9 - FUNÇÃO DO 2° GRAU * Definição: Sejam a IR , b , c IR , a relação:
f : IR IR x
f ( x ) a x 2 bx c,
é uma função, chamada função do 2° grau . Definida assim tem-se Df IR CDf IR
Gráfico: O gráfico de uma função do 2° grau é uma curva chamada parábola. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que analisemos as raízes da equação do 2° grau associada à função, bem como sua concavidade. Primeiramente vamos estudar a existência de raízes reais. As raízes de uma função do 2° grau são obtidas resolvendo-se a equação do 2° grau associada. Então ax 2 bx c 0 , a 0
b c a x 2 x 0 a a 2 b b2 c a x 2 0 2a a 4a 2 b b 2 4ac a x 0 2a 4a 2
Chamando b 2 4ac temos 2 2 b b a x 2 0 x 2 2a 2a 4a 4a
Discussão da equação: 0 A equação não possui raízes reais S 2
b b b 0 A equação possui duas raízes reais e iguais, pois x 0 x 1 x 2 S
2a
0 A equação possui duas raízes reais e desiguais, pois x
2a
2a
2
b 2 2a 4a
b x1 b b b 2a x S , 2a 2 a 2a 2a b x2 2a
O próximo passo é a determinação do vértice da parábola, aproveitando a fatoração acima temos que: f : IR IR 2
x
b f(x) ax , 2a 4a Página | 62
Como 2
b x 2a 0 Temos que 2
b b a 0 f (x) a x f ( ) 2a 4a 4a 2a 2
b b a 0 f (x) a x f ( ) 2a 4a 4a 2a
De qualquer maneira
b V , 2a 4a
.
Em particular, obtemos que
a 0 Imf , 4a e a 0 Im f , 4a Quanto à concavidade, se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e caso contrário voltada para baixo. A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do 2° grau, nos diferentes casos. 1° caso: a0
0
2° caso: a0
0
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3° caso: a0
0
4° caso: a0
0
5° caso: a0
0
6° caso: a0
0
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Dos gráficos acima podemos concluir que: Se 0 a função do 2° grau tem o sinal oposto ao sinal do parâmetro a no intervalo compreendido pelas raízes e o mesmo sinal do parâmetro a no complemento do intervalo das raízes. Se 0 a função do 2° grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real diferente das raízes. Se 0 a função do 2° grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real.
EQUAÇÃO DO 2° GRAU * Definição: Sejam a IR , b , c IR , a equação do 2° grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à:
a x 2 bx c 0 Apenas lembrando, temos que:
b b 0 S , 2a 2a b 0 S 2a 0 S
Soma e Produto das raízes: 2 Sejam x 1 e x 2 as raízes da equação do 2° grau a x bx c 0 , podemos escrever
ax 2 bx c a ( x x 1 ) ( x x 2 ) Logo,
a x 2 b x c a ( x x1 ) ( x x 2 ) a x 2 b x c a x 2 a (x1 x 2 ) x a x1 x 2 b a a x1 x 2 a b c S e P . b a (x1 x 2 ) a a c a x x x x c 1 2 1 2 a
Em particular temos as seguintes identidades:
1.
1 1 S , c 0 x1 x 2 P
2. x 12 x 2 2 S 2 2P 3.
1 x 12
1 x 22
S 2 2P P2
,c0
4. x 13 x 2 3 S3 3SP 5.
1 x 13
1 x 23
S3 3SP P3
,c0
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Discussão de equações do tipo ax 2 bx c 0 : Seja ax 2 bx c 0 onde a , b e c IR , então:
a 0 A equação ax 2 bx c 0 é uma equação do 2° grau e basta resolver conforme feito anteriormente. a 0 A equação ax 2 bx c 0 se reduz a bx c 0 e a discussão é feita conforme a discussão de uma equação do tipo ax b 0 , veja o capítulo 8.
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU * Definição Sejam a IR , be c IR. , uma inequação do 2° grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à:
a x 2 bx c 0 ou a x 2 bx c 0 ou a x 2 bx c 0 ou a x 2 bx c 0 A solução de uma inequação do 2° grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do 2° grau correspondente.
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EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R1. (EFOMM 2006) Se M e N são as raízes de x2 – 6x + 10 = 0, então
1 1 vale: M N
(A) 6 (B) 2 (C) 1 (D) 3/5 (E) 1/6. R2. (EFOMM 2005) O intervalo onde a função f (x) =
ax 2 com a IR * , apresenta sinal positivo é ax 2 x
2 (A) , a 1 (B) , 0 a 1 (C) , a 2 1 (D) , a a
2 (E) , 0 . a
AFA 3. (AFA 2010) Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do 2º grau e g e h são do 1º grau. Sabe-se que V é o vértice da parábola.
O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x) é (A) IR − ]1, 5[ (B) IR −[1, 5] (C) IR − [1, 3] (D) IR − ]1, 3[
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4. (AFA 2009) Considere que g : IR → B, definida por g(x) = –bx2 + cx – a é função par e possui como gráfico o esboço abaixo.
Marque a alternativa INCORRETA. (A) Se B = [– a, +∞[ , então a função g é sobrejetora. (B) A função t : IR → IR dada por t(x) = g(x) + a é positiva x IR (C) b < c < a (D) A função h: IR → IR dada por h(x) = – g(x) – a possui um zero real duplo.
R5. (AFA 2004) Seja f (x) a x 2 b x c (a 0)
uma função real definida para todo número real. Sabendo-se que existem dois números x1 e x2, distintos, tais que f (x1 ) . f (x 2 ) 0 , pode-se afirmar que: (A) f passa necessariamente por um máximo. (B) f passa necessariamente por um mínimo. (C) x 1 . x 2 é necessariamente negativo. 2 (D) b 4ac 0 .
R6. (AFA 1994) O polinômio do 2º grau y =
b 2 (x + 1) + ax, com coeficientes reais, não possui raiz real se, e somente se: 2
(A) a – b < 0 (B) a2 – b2 < 0 (C) b2 – 4a > 0 (D) b2 – 2ab < 0 R7. (AFA 1994) A solução da inequação 2x2 – 3x + 8 >
3x 3 x 2 5x 10 , no conjunto dos números reais, é dada pelo x2
intervalo: (A) –2 < x < 5 (B) –2 < x < 3 (C) –1 < x < 3 (D) –1 < x < 5
IME R8. (IME 1999) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4 ; h(x) = f (g(x)) = 9x2 – 6x + 1. Determine a função f(x) e faça seu gráfico. R9. (IME 1994) Seja f : IR IR uma função quadrática tal que f(x)=ax2+bx+c, x2 = 5 são as raízes e que f (1) = –8. Pede-se: a)Determinar a, b, c; b)Calcular f (0); c)Verificar se f (x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta; d)As coordenadas do ponto extremo; e)O esboço do gráfico.
a 0, x IR. Sabendo que x1 = –1 e
NÍVEL B Página | 68
AFA R1. (AFA 2011) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde a IR x2 a I) x a x IR xa II)se
1 1 e a > 0, então {x IR | x < 0 ou x > a} x a
III)se a > 0 e |x| < a, então x2 – a < 0 Tem-se a sequência correta em (A) F – V – F (B) F – F – V (C) V – F – V (D) F – V – V
R2. (AFA 2011) Considere a função quadrática f: A → B de raízes x1 = 1 ou x2 = 3 , cujas coordenadas do vértice são iguais. Se f(x) ≥ 0 x A e f é função crescente x [p, q], então (q – p) é igual a (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. (AFA 2008) As funções f: IR IR do 1º grau e g: IR [b, + [ do 2º grau estão representadas no gráfico abaixo.
Com base nas informações acima é correto afirmar que: (A) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número inteiro 5 (B) (gogof –1) > 0 2
f (x)2
0 {x IR x 1 ou x 4} g( x ) (D) f(x) – g(x) 0 {x IR x 0 ou x 6} (C)
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x 2 4x 7, se x 2 4. (AFA 2007) A função f definida por f(x) = 2x 1, se 1 x 2 2 x 2x 4 se x 1
(A) não admite inversa porque não é injetora. (B) não admite inversa porque existem valores de x com várias imagens. (C) admite inversa e uma das sentenças que define a mesma é y = –1 – (D) admite inversa f–1 tal que f–1 (5) = –2
x 3 se x –3
5. (AFA 2005) Dada a função real f definida por f(x) x 2 , considere a função real g definida por g(x) f(x m) k , sendo m , k R . É INCORRETO afirmar que: (A) o gráfico da função g em relação ao gráfico da função f é deslocado k unidades para cima, se k 0 , e m unidades para a direita, se m 0 . (B) se m 0 e k 1 , então o conjunto imagem de g é dado por Im y R | y 1 . (C) se m 2 e k 3 , então as coordenadas do vértice da parábola que representa g são (m , k) . (D) a equação do eixo de simetria da parábola que representa g é dada por x m .
6. (AFA 2007) Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. (A) Se a função f: IR IR é tal que f(x) = ax + b, f(3) = 0 e f() > 0, então f é crescente em todo o seu domínio. (B) Se o gráfico da função quadrática f definida por f(x) = x2 + kx + m é o da figura abaixo, então k – m = – 2
(C) Seja f: IR IR tal que f(x) = x2 – 3x + 2 e A um subconjunto do domínio de f. Se f é crescente em A e f(x) 0 em A, então A = [1, 2] (D) Se na função f: IR IR tal que f(x) = ax2 + bx + c, (a
b2 , então, necessariamente, o gráfico da função f é o 4a
tangente ao eixo das abscissas. R7. (AFA 2003) Observe o gráfico da função f abaixo.
ax 2 bx c, se x 1 Sabendo que f é definida por f ( x ) analise as alternativas e marque a opção correta. px k, se x 1 Página | 70
(A) ac < 0 (B) pk 0 (C) p = –1 (D) ab > 0.
R8. (AFA 2002) Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$ 2,00 cada uma e tem uma despesa fixa semanal de 22 x R$ 50,00. Se são vendidas x camisetas por semana, ao preço de reais a unidade, então, o número de camisetas que 3 30 deve ser vendido por semana para se obter o maior lucro possível é (A) 60 (B) 65 (C) 80 (D) 90. R9. (AFA 1998) Seja f: [1, ) [–3, ) a função definida por f(x) = 3x2 – 6x. Se g: [–3, ) [1, ) é a função inversa de f, então [g(6) – g(3)]2 é (A) 5 (B) 2
6
(C) 5 – 2 (D) –5 + 2
6 6.
10. (AFA 1998) Corta-se um pedaço de arame de comprimento 98 cm em duas partes. Com uma, faz-se um quadrado, com a outra, um retângulo com base e altura na razão de 3 para 2. Se a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras for mínima, o comprimento, em cm, do arame destinado à construção do quadrado será (A) 36 (B) 48 (C) 50 (D) 54.
ITA 11. (ITA 2004) Seja as funções f e g definidas em IR por reais. Considere que estas funções são tais que
f(x) = x2 + ax e g(x) = –(x2 + x), em que e são números
f
g
Valor mínimo
Ponto de mínimo
Valor máximo
Ponto de máximo
–1
0
Então, a soma de todos os valores de (A) 0
x para os quais (f o g) (x) = 0 é igual a
(B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8.
R12. (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função
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f(x) =
x 2 (2m 3)x (m 2 3) x 2 (2m 1) x (m 2 2)
está definida e é não-negativa para todo x real é: 1 7 (A) , 4 4 1 (B) , 4 7 (C) 0, 4 1 (D) , 4 1 7 (E) , . 4 4
13. (ITA 1999) Considere as funções f e g definidas por f(x) = x – g(x) =
2 , para x
x0 e
x , para x –1. O conjunto de todas as soluções da inequação (g o f) (x) < g(x) é x 1
(A) [1, +[ (B) ]–, –2[ (C) [–2, –1[ (D) ]–1, 1[ (E) ]–2, –1[ ]1, + [.
NÍVEL C AFA 1. (AFA 2003) O conjunto {x IR f(x) < 0}, onde f: IR IR é definida por f(x) = ax2 + 2a2x + a3, com a IR* , é (A) ]–; –a[ (B) ]– ; –a[ ]–a; + [ (C) ]– ; a[ ]a; + [ (D) ]–a; + [. V2. (AFA 2001) O retângulo, com base no eixo das abscissas, está inscrito numa parábola, conforme figura abaixo. O valor de x que faz esse retângulo ter perímetro máximo é (A) 1 (B) 0,5 (C) 0,25 (D) 0,125.
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V3. (AFA 2000) Na figura abaixo, AC = BC, h = AB = 10 e SP é perpendicular a AB . O ponto S percorre AB e AS = x.
Nessas condições, a área da figura sombreada pode ser expressa por: (A) 5x se x [0, 5] e x2 – 10x + 50 se x [5, 10] (B) x2 se x [0, 5] e x2 – 10x + 50 se x [5, 10] (C) 5x se x [0, 5] e –x2 + 20x – 50 se x [5, 10] (D) x2 se x [0, 5] e –x2 + 20x – 50 se x [5, 10].
ESCOLA NAVAL 2x 3 2 4. (EN 1998) Considere os conjuntos A = x R 0 e B = {x R x – 5x + 4 < 0}. O conjunto solução A B é 5 x 2 3 (A) ,4 2 3 (B) ,4 2 3 (C) 1, 2 (D) ] 1, 4] 2 (E) , ] 4,[ . 5
V5. (EN 1994) O conjunto solução da inequação:
x4 1 x 3x 3 2x 2 4
0 , é:
(A) ] ,1] ] 2,[ (B) ] ,1] ]1, 2[ (C) ] ,1[ ] 0, 2[ (D) ] ,1[ ]1, 2[ (E) ] ,1] ] 1, 0[ . V6. (EN 1993) O conjunto imagem da função f(x) = (A) [–4; 4] (B) (–, –4] [4; ) (C) {0} (D) {-4; 4} (E) [0; )
16 x 2 x 2 16 é:
V7. (EN 1990) x2 + 1 > kx para todo x real se, e só se: (A) k < 0 (B) k > 0 (C) –1 < k < 1 (D) –2 < k < 2 (E) k > 3
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2 V8. (EN 1988) Para todo x real, -3 < x ax 2 2 se e só se:
x 2 x 1
(A) –3 < a < 2 (B) –1 < a |1 – x| é (A) (2/3, ) (B) (–, 2) (C) (2/3,2) (D) (E) (–,) V9. (EN 1987) Sejam A = {x Rx – 4 2} e B = {x Rx2 – 14x + 40 < 0}. A diferença A – B é igual a: (A){x R 2 x < 4} (B){x R 2 x 4} (C){x R 4 < x 6} (D){x R 6 < x < 10} (E){x R 6 x < 10}.
NÍVEL C ESCOLA NAVAL V1. (EN 2006) O conjunto de todos os números reais que satisfazem a desigualdade
1 2x x 1 2x 3 2 é: 7 (A) , 3 7 (B) , 3
(C)
3 1, 2 5 , . 3 1, 2 5 , .
, 5 3 , .
2 (D) , 5 5 , . (E) , 5 1, .
2. (EN 1997) O máximo absoluto e o mínimo absoluto da função real
0 se x 6 ou x 1 x 3 2 se 2 x 6 f(x) = 1 se 1 x 2 x se 1 x 1 são, respectivamente: (A) 2 e –1 (B) 1 e –2 Página | 82
(C) 1 e 0 (D) 2 e 0 (E) 3 e –2. 3. (EN 1994) O conjunto solução de
2x 1 3 é: x 3
(A) ]8 5 , 3[ ] 3, [ (B) ] 3,10[ ]10, [ (C) ] , 8 5[ ] 3,10[ (D) ]8 5 , 3[ ] 3,10[ (E) ]8 5 , 3[ ]10, [ .
ITA V4. (ITA 2010) O produto das raízes reais da equação |x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a: (A) – 5 (B) – 1 (C) 1 (D) 2 (E) 5. 5. (ITA 2002) Os valores de x R, para os quais a função real dada por f(x) =
5 2x 1 6 .
Está definida, formam o conjunto (A) [0, 1] (B) [–5, 6] (C) [–5, 0] [1, ) (D)(– , 0] [1, 6] (E) [–5, 0] [1, 6]. 6. (ITA 1991) Se A = {x IR : |x2 + x + 1| |x2 + 2x – 3|}, então temos: 1 (A) A = [–2 , ] [4 , + [ 2 1 (B) A = [ , 4] 2 (C) A = [–3 , 1] (A) A = ]– , –3] [1, + [ (E) n.d.a.
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CAPÍTULO 11 - FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 . A relação f : IR IR x f x a x
É uma função, chamada função exponencial de base a, em particular, tem-se D f IR CDf IR
Im f IR . Gráfico: O gráfico de uma função exponencial é uma curva que possui algumas particularidades, por exemplo, para todo a IR , a 0 e a 1 , temos f (0) 1 , ou seja, o gráfico de toda função exponencial contem o ponto ( 0 , 1 ) .O próximo passo é determinar o comportamento da função exponencial quanto ao crescimento. Se a > 1 então x1 x 2 a x1 a x 2 logo a função exponencial é crescente. Se 0 < a < 1 então x1 x 2 a x1 a x 2 , logo é a função exponencial é decrescente. Assim dado a IR , a 0 e a 1 , a função exponencial de base a é uma função injetora. Em seguida um esboço para o gráfico de uma função exponencial nos dois casos:
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EQUAÇÃO EXPONENCIAL Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma equação exponencial de base a é uma sentença aberta equivalente a
a x b. x Discussão de equações do tipo a b :
Se b 0 a equação exponencial é possível e determinada. Se b 0 a equação exponencial é impossível.
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma inequação exponencial de base a é uma sentença aberta equivalente a
axb ou axb ou axb ou axb A solução de uma inequação exponencial é obtida a partir do comportamento da função.
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A AFA 1. (AFA 2002) Todo número real positivo pode ser descrito na forma 10 x. Tendo em vista que 2 = 100,30, então o expoente x, tal que 5 = 10x vale, aproximadamente, (A) 0,15 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70. V2. (AFA 2001) Se x IR e 75x = 243, então 7-3x é igual a: (A) 1/3 (B) 1/9 (C) 1/27 (D) 1/81. 3. (AFA 2001) No intervalo [ -1, 100], o número de soluções inteiras da inequação 3x – 8 > 32-x é: (A) 97 (B) 98 (C) 99 (D) 100. V4. (AFA 2000) A soma das raízes da equação 32 – x + 31 + x = 28
é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4. V5. (AFA 1998) O conjunto solução da inequação (0,5)x(x–2) < (0,25)x–1,5 é (A) {x R l x < 1}. (B) {x R l x > 3}. (C) {x R l 1 < x < 3}. (D) {x R l x < 1 ou x > 3}. V6. (AFA 1995) O conjunto solução da inequação 22x + 2 – (0,75)2x+2 < 1 é: (A) (B){x IR / x > 0} (C) {x IR / x < 0) (D) {x IR / –¼ < x < 1}
1 7. (AFA 1994) A solução da inequação exponencial 5 (A) (x R | 0 x 1) (B) (x R 1 x 2 )
x2 2
x
1 é: 125
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(C) (x R 0 x 2 ) (D) (x R x 1ou x 2 )
1 8. (AFA 1990) O conjunto solução da desigualdade: 2 (A) {x IR | –2 x –1 } (B) {x IR | –1 x 2 } (C) {x IR | x –2 ou x –1} (D) {x IR | x – 1 ou x 2} (E) nra 9. (AFA 1989) O triplo da solução da equação
x 42
2
x 2 4
8x+2 é:
2 x 1 4 é igual a : 3 3
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 10. (AFA 1989) A solução da equação 3.9x + 7.3x – 10 = 0 é : (A) – 10/3 (B) 0 (C) 1 (D) 3
ESCOLA NAVAL 11. (EN 1986) A inequação 21/x < 1/4 se verifica para todo x pertencente a: (A) (– 1 , ) 2
(B) (– , – 1 ) 2
(C) (– 1 , 0) 2
(D) (– , 0) (E) (0, 2).
ITA 12. (ITA 2006) Considere a equação ( ax – a– x )/(ax + a– x) = m, na variável real x, com 0 < a ≠ 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é: (A) (–1, 0) (0,1) (B) (– , –1) (1, + ) (C) (–1, 1) (D) (0, ) (E) ( , + ). 13. (ITA 2000) (A) 2 (B) 5
2
2
A soma das raízes reais e positivas da equação 4 x 5 . 2 x 4 0
vale:
(C) 2 (D) 1 (E)
3.
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14. (ITA 2000) Seja S = [ –2, 2 ] e considere as afirmações: x
1 1 6 , para todo x S. 4 2 1 1 (II) , para todo x S. 32 32 2 x (III)22x – 2x 0, para todo x S.
(I)
Então, podemos dizer que: (A) apenas (I) é verdadeira; (B) apenas (III) é verdadeira; (C) somente (I) e (II) são verdadeiras; (D) apenas (II) é falsa; (E) todas as afirmações são falsas 15. (ITA 1999) Sejam f, g: R R funções definidas por f(x) = (3/2)x e g(x) = (1/3)x. Considere as afirmações: I.Os gráficos de f e g não se interceptam. II.As funções f e g são crescentes. III.f(–2) g(–1) = f(–1) g(–2). Então: (A)apenas a afirmação I é falsa; (B)apenas a afirmação III é falsa; (C)apenas as afirmações I e II são falsas; (D)apenas as afirmações II e III são falsas; (E)todas as afirmações são falsas. V16. (ITA 1999) Seja a R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação
a 2x (1x ) a x1 é: (A) ] –1, 1 [ (B) ] 1, + [ (C) ] –1/2, 1 [ (D) ] –, 1 [ (E) vazio.
IME V17. (IME 2004-2005) Dada a função f(x) =
(156x 156 x ) , demonstre que: 2
f(x + y) + f(x – y) = 2 f(x) f(y)
NÍVEL B EFOMM 1. (EFOMM 2008) Em uma certa região, ocorreu uma infecção viral que se comportou de acordo com a função: N(t)= a.2b.t , em que N(t) são pessoas infectadas em t dias após a realização do estudo; a e b constantes reais. Sabe-se que, ao iniciar o estudo, havia 3000 pessoas infectadas e que, após 2 dias, esse número chegava a 24000 pessoas. Assinale a alternativa que representa o número de pessoas infectadas após 16 horas. (A) 5.000 (B) 6.000 Página | 88
(C) 7.000 (D) 8.000 (E) 9.000.
AFA 2. (AFA 2009_2010) Sejam as funções f : IN→ IR e g : IN→ IR definidas por f(x) =
x e g(x) = 2−x 2
Considere os números A e B, tais que A = f(1) + f(2) +...+ f(50) e B = 1 + g(1) + g(2) +...+ g(n) +... Se o produto de A por B tende para o número α, então, α é (A) ímpar múltiplo de 9 (B) par divisor de 10.000 (C) par múltiplo de 15 (D) ímpar múltiplo de 25 V3. (AFA 2008) Sabendo-se que b é um número real tal que b > 1 e que a função real f: IR B é tal que f(x) = 2 b as alternativas abaixo e marque a FALSA. (A) A função f admite valor mínimo. (B) x – 1 2 –
x
, analise
1 f(x) < 2 b
(C) A função f é par. (D) Se B = [0, 2[ então f é sobrejetora. 4. (AFA 2006) Seja f : R B a função definida por f (x) 1 a x 1 (a R e a 1) . Analise as afirmativas abaixo, classificando2
as em (V) verdadeiras(s) ou (F) falsa(s). ( ) f (p q) f (p) f (q) , p , q R . ( ) f é crescente x R . ( ) Se x ] , 0[ , então y 3 , 1 . 2 ( ) Se B ] , 1[ , então f é bijetora. A seqüência correta é: (A) (B) (C) (D)
F – F – V – V. F – V – F – V. V – F – F – F. F – V – V – V.
5. (AFA 2006) Assinale a alternativa INCORRETA: (A) O conjunto solução da inequação (2 3 ) x 1 e R. (B) O número real que satisfaz a sentença 3
x 2
2
2 5
x
-e divisor de 1024.
(C) A função exponencial definida por f (x) (a 4) x é decrescente se 4 a 5 . (D) Se y 10 x é um número entre 10 000 e 100 000, então x está entre 4 e 6. 6. (AFA 2003) Analise os itens abaixo classificando-os em V (verdadeiro) ou F (falso). ( ) Em , o conjunto solução da inequação 8 . (0,5)x – 1 0 é dado por [4, + [ ( ) A função real y = e1 x é crescente x IR (considere e a base dos logaritmos neperianos) ( ) Se f(x) = 2x, então f(a) . f(b) é sempre igual a f(a + b), onde a e b são reais quaisquer A seqüência correta é (A) F – F – V Página | 89
(B) V – V – F (C) F – V – V (D) V – F – F. V7. (AFA 1997) O produto das raízes da equação x
x
2 3 2 3 4 pertence ao conjunto dos números:
(A) naturais e é primo (B) inteiros e é múltiplo de quatro (C) complexos e é imaginário puro (D) racionais positivos e é uma fração imprópria. 8. (AFA 1996) A solução da equação 4x + 6x = 2,9x é: (A) {0} (B) {1} (C) {–2} (D) {–2,1}.
ESCOLA NAVAL V9. (EN 2005) Dadas as funções reais f (x)
100 1 2 x
e g (x)
x 22
, pode-se afirmar que (g f 1 )(90) é igual a:
(A) 10. (B) 3. (C) 1. 1 (D) . 3 1 (E) . 10 10. (EN 2004) O valor de é:
6 x 2 y 2 onde x e y são números inteiros que satisfazem a equação 2 x 1 2 x 3 y2 3 y
(A) 8 . (B) 3. (C) 11 . (D) 14 . (E) 4. 11. (EN 1988) A solução da equação abaixo 26x + 3. 43x + 6 = 84x + 5. 162x + 1 pertence ao intervalo: (A) (–, –1) (B) (–1, 0) (C) (0, 1) (D) (1, 2) (E) (2, ). 2 V12. (EN 2007) No universo U IR , o conjunto solução da inequação x 2x 9x 4 1 é:
1 (A) 0 , 1, 4 . 2 1 (B) ,1 4 , . 2 1 (C) ,1 0 . 2 1 (D) , 4 0 . 2 Página | 90
(E) 0 ,1 1, 4 . 13. (EN 2005) O conjunto solução da inequação (A) ] , 3 [ (B) ] , 3 [ (C) ] , 2 [ (D) ] 2 , 1 [
1 3 (x 2)
3
4 (1 x)
, onde x é uma variável real, é:
] 1, 2 [ . ] 2, [ . ] 1, 3 [ . ] 3, [ .
(E) ] 3 , 1 [ ] 2 , [ . 14. (EN 1994) O domínio da função y
32x (1 3) x 243
é:
(A) ] ,5[ (B) ] , 5[ (C) ] 5,[ (D) ] 5, [ (E) ] 5, 5[ .
ITA 15. (ITA 2004) Seja
um número real,
1 valores de x tais que 2x (A) (B) (C) (D) (E)
2x 2
com 0 < < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os
< 1.
]–, 0] [2, +[ ]–, 0[ ]2, +[ ]0, 2[ ] –, 0[ ]2, +[.
16. (ITA 2002) Sejam f e g duas funções definidas por
2
3 sen x 1
f(x) = e
1 g(x) = 2
3 sen 2 x 1
,
xR A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a (A) 0 (B) –
1 4
1 4 1 (D) 2
(C)
(E) 1.
IME V17. (IME 2008) Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por: e x e y e x y , admite solução real. x y K
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(A) 0 K 2 (B) 0 K ln2 (C) K e-2 (D) K > ln4 (E) 0 K 1. 18. (IME 2008) Sejam f(x) =
e x ex ex e x
, g(x) = ex e h(x) = g(f–1(x)). Se os valores da base e da altura de um triângulo são
definidos por h(0,5) e h(0,75) respectivamente, a área desse triângulo é igual a: (A)
e 2
7 2 21 (C) 2
(B)
(D) 10 (E) e. 19. (IME 1972) Dizemos que f : R R é uma função exponencial se f(x) = ax, x R, onde a é uma constante real estritamente positiva. Determine as funções exponenciais que satisfazem a equação: 6f(x+5)+f(x+4)–43f(x+3)–43f(x+2)+f(x+ 1)+6f(x) = 0
NÍVEL C EFOMM V1. (EFOMM 2009) A equação 2–x + cos(π–x) = 0 tem quantas raízes no intervalo [0, 2 π] ? (A) Zero. (B) Uma. (C) Duas. (D) Três. (E) Quatro.
ITA V2. (ITA 2010) A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0, com x e y reais, representa: (A) o conjunto vazio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(x,y) IR2 |2(ex –2)2 + 3(ey – 3)2 = 1}. 3. (ITA 1998) Seja f: R R a função definida por f(x) = –3ax, onde a é um número real 0 < a < 1. Sobre as afirmações: (I) f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y R; (II) f é bijetora; (III)f é crescente e f( ]0, + [ ) = ] –3, 0[. Podemos concluir que: (A) Todas as afirmações são falsas; (B) Todas as afirmações são verdadeiras; (C) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (D) Apenas a afirmação (II) é verdadeira; (E) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
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V4. (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que B soube do acontecimento t horas após é dado por: f (t) = onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da 1 Ce kt população soube do acidente 3 horas após, então o tempo passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: (A) 4 horas. (B) 5 horas. (C) 6 horas. (D) 5 horas e 24 min. (E) 5 horas e 30 min. x
1
5. (ITA 1992) Considere as funções f: IR* IR g: IR IR, e h: IR* IR definidas por: f(x) 3 x , g(x) = x2, h(x) = 81/x. O conjunto dos valores de x em IR* tais que (fog)(x) = (hof)(x), é subconjunto de: (A) [0, 3] (B) [3, 7] (C) [–6, 1] (D) [–2, 2] (E) n.d.a. 1 ex 6. (ITA 1990) Dadas as funções f(x) = , X – {0} g(x) = x sen x, x IR, podemos afirmar que: 1 ex (A) ambas são pares. (B) f é par e g é ímpar. (C) f é ímpar e g é par. (D) f não é par e nem ímpar e g é par. (E) ambas são ímpares.
IME 7. (IME 1998) Determine os valores de que satisfaçam à inequação, 27 2 função, y = 272x 8. (IME 1997)
4 . 27 + 27-1 > 0, e represente, graficamente, a 9
4 . 27x + 27-1. 9
Resolva o sistema abaixo:
x y y x onde a 1 e a 0 y ax
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CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO LOGARITMO Definição: O logaritmo de um número real positivo x, na base a IR, a 0 e a 1 , é o número real y tal que a y x , assim, escrevesse y loga x , em particular x é chamado de logaritmando. Resumindo: Se a IR, a 0 e a 1 0 então:
a y x y loga x . Ex.1: 2 3 8 log 2 8 3.
2 7 128 log 2 128 7. Definição: Seja a IR, a 0 e a 1 , a relação: f : IR IR
x f x log a x.
.
é uma função chamada função logaritmo de base a, em particular, tem-se:
D f IR CDf IR Im f R . Gráfico: Decorre da definição que a função logaritmo na base a é a função inversa da função exponencial na base a, logo seu gráfico é o simétrico do gráfico da função exponencial em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Assim para a IR, a 1 tem-se
E para a IR, 0 a 1 temos:
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Sistema de logaritmos: Sistema de logaritmos na base a é o conjunto dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a. Os sistemas mais usados são o sistema decimal e o sistema neperiano. Sistema decimal (base 10): Neste caso a 10 , os logaritmos podem ser representados simplesmente por log x em vez de log 10 x. Sistema neperiano: A base do logaritmo é o número irracional e definido por: n
1 e lim 1 2,17 . n n Os logaritmos são representados simplesmente por ln x. Obs.: Uma consequência da definição de logaritmo é que a loga x x .
LOGARITMO Definido o logaritmo, a seguir enumeramos suas principais propriedades: Sejam a, b e c IR, a 0, b 0 e c 0 e a 1 então: 1. Logaritmo do Produto: loga bc loga b loga c .
Demonstração: Sejam m log a b m b a bc a m a n a m n bc a m n log a bc m n n c a log a c n log a bc log a b log a c.
2. Logaritmo do Quociente: loga
b loga b loga c . c
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Demonstração: Sejam
log a b m log a c n log a
b a m b am b b n a mn a mn log a m n n c c c a c a
b log a b log a c. c
3. Logaritmo da Potência:
loga b loga b , IR . Demonstração: Seja log a b y , então :
b ay b ay
ba
y
log a b log a a y log a b y log a b log a b .
4. Potência da Base
loga b Demonstração: Seja log a b y , então :
b ay b ay
b a
y
1 loga b , IR .
log a b y log a b y log a b
1 log a b .
5. Mudança de base
log a b
log c b . log c a
Demonstração:
b c m log c b m log c b 1 m log a b log cn c m m log c c log a b . n n n log c a a c log c a n Definição: O Anti-logaritmo na base a é definido por: loga x y anti loga y x .
Ex.2: log5 125 3 anti log5 3 125. Definição: O Cologaritmo na base a é definido por: co loga x loga x .
Ex.3: log3 81 4 co log3 81 4.
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma equação logarítmica de base a é uma sentença aberta equivalente à:
loga x b.
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Discussão de equações do tipo loga x b. : A equação logarítmica é sempre possível e determinada.
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma inequação logarítmica de base a é uma sentença aberta equivalente à:
log a x b ou log a x b ou log a x b ou log a x b A solução de uma inequação logarítmica é obtida a partir do comportamento da função.
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A EFOMM V1. (EFOMM 2010) Sabendo que o log3o 3 = a e log30 5 = b, que opção representa logl0 2 ?
1 a b 2a 1 a b (B) a 1 1 a b (C) 1 a 1 a b (D) 2a 1 a b (E) 1 a (A)
V2. (EFOMM 2009) Os domínios das funções reais f(x) = log x2 e g(x) = 2.log x são D1 e D2, respectivamente. Sendo assim, pode-se afirmar que (A) D1 = D2 (B) D1 ≠ D2, mas D1 D2 (C) D1 ≠ D2, mas D2 D1 (D) D1 ≠ D2, e D1 D2 = (E) D1 ⊄ D2, D2 ⊄ D1 e D1 ≠ . 3. (EFOMM 2006) Se Log a = 0,4771 e Log b = 0,3010, então Log
a é b
(A) 0,1761 (B) –0,1761 (C) 0,7781 (D) 0,8239 (E) –0,8239.
4. (EFOMM 2005) Determine o domínio da função real y =
log x 2 1 2
(A) D = {x IR / 0 < x 4} (B) D = {x IR / 0 > x 4} (C) D = {x IR / 0 < x 2} (D) D = {x IR / 0 > x 2} (E) D = {x IR / x < 4}.
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AFA 5. (AFA 2012) Considere uma aplicação financeira denominada UNI que rende juros mensais de M log27 196 e outra aplicação financeira denominada DUNI que rende juros mensais de N log 1 14 9
A razão entre os juros mensais de M e N, nessa ordem, é (A) 70% (B) 2 / 3 (C) 4 / 3 (D) 80% 6. (AFA 2009) Se a função real f é definida por f(x) = log3 (3x + 4) − log3 (2x −1) , então o conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1 é
7 3
(A) x IR x
1 (B) x IR x 2 1 (C) x IR x ou x 2 1 7 (D) x IR x 2 3
7 3
7. (AFA 2007) De acordo com Richter (1935), a energia E (medida em joules) liberada por um terremoto de magnitude M, obedece à equação M = 0,67 . log E – 3,25 Baseando-se nisso, é FALSO afirmar que (adotar log 2 = 0,3) a) se a energia de 2,0. 1012 joules equivale à de uma bomba atômica como a lançada sobre Hiroshima, então, o valor da magnitude de um terremoto cuja energia liberada equivale a 2000 bombas atômicas como a lançada sobre Hiroshima, é um número do intervalo ] 7; 7,3 ] (B) o acréscimo de 0,67 unidades na magnitude de um terremoto na escala Richter corresponde a um terremoto cerca de 10 vezes mais intenso em termos de energia liberada. (C) o crescimento na magnitude de terremotos na escala Richter, acarreta um aumento exponencial da energia liberada. (D) a energia de 2,0. 1012 joules (equivalente à de uma bomba atômica como a lançada sobre Hiroshima) corresponde à ocorrência de um terremoto de magnitude superior a 5 pontos na escala Richter.
8. (AFA 2007) Dada a função real f tal que f(x) =
log x
(e x 1) x2 4
, onde e = 2,71... é a base de logaritmos neperianos, é
correto afirmar que o conjunto D, domínio de f é igual a (A) {x IR | x 1 e x ≠ 2} (B) {x IR* | –2 < x < 2} (C) {x IR | x < –2 ou x > 2} (D {x IR * | x 1}
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9. (AFA 2007) As funções que melhor descrevem as curvas abaixo são
(A) y = –loga x e sua inversa, sendo 0 < a < 1 (B) y = loga (2x) e sua inversa, sendo a > 1 (C) y = ax e sua inversa, sendo a > 0 (D) y = loga (x + 1) e sua inversa, sendo a > 1 V10. (AFA 2004) O gráfico expressa a variação de log y em função de log x, onde log é p logaritmo na base decimal.
A relação correta entre x e y é igual a (A) y = 2 + 2x (B) y =
3 +x 2
(C) y = 100x2 (D) y =
5 + x. 2
11. (AFA 2003) O conjunto solução da equação log x 2 ( x 2) 2 2 é (A) (B) {x IR x > 3} (C) {x IR 2 < x < 3} (D) {x IR x > 2 e x 3}.
12. (AFA 2002) Todo número real positivo pode ser descrito na forma tal que 5 = 10x vale, aproximadamente, (A) 0,15 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70.
10 x. Tendo em vista que 2 = 100,30, então o expoente x,
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13. (AFA 2001) Se x IR e 75x = 243, então 7-3x é igual a: (A) 1/3 (B) 1/9 (C) 1/27 (D) 1/81. 14. (AFA 2000) O domínio da função real f(x) = log (–x2 + 6x + 16) + log(x2 – 6x + 8) é: (A) {X R – 2 x 2 ou 4 < x 8} (B) {X R
– 2 < x < 2 ou 4 < x < 8}
(C) {X R
x < – 2 ou 2 < x < 4 ou x > 8}
(D) {X R x < – 2 ou 2 < x < 4 ou x > 4}.
15 (AFA1999)A soma das raízes da equação log2 (x2 – 6x) = 4 é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D)7. 16. (AFA 1999) O valor de - log 2 log 2
2
é (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4. 17. (AFA 1996) Uma das soluções da equação:
( x 1) 1 1 log (x + 1) = log + log 3 2 x 1 ( x 1)
2
–
é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4. 18. (AFA 1994) Se x é variável real, então o campo de definição da função f(x) =
log
x 1 x2 1
é o conjunto:
(A) {x R – 1 < x < 1} (B) {x R 0 < x < 1} (C) {x R – 1 < x 1} (D) {x R 0 x 1} 19. (AFA 1994) A solução da equação log2 (2x+3) + log1/2 2x = 1 é: 2 (A) 3 (B) 1 3 (C) 2 (D) 2
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V20. (AFA 1994) Sendo log3, ( 7 – 2 ) = K, o valor de log3 ( 7 + 2 ) é: (A) 1 – k (B) 1 + k (C) 2 – k (D) 2 + k 21. (AFA 1990) Se x > 1 é a solução da equação: log5
x 1 +log5
x 1
1 log5 3, 2
então x vale: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) nra 22. (AFA 1990) O domínio da função log2 [log1/4(x2 – 2x + 1)] é: (A) ]0,1/2[ ] 3/2, 2[ (B) ]–2, 0[ ] 3/2, 2[ (C) ] –1, 0[ ]3/2, + [ (D) ] – , ½ [ ]3/2, + [ (E) nra 23. (AFA 1990) O domínio da função f(x) = log[log(x+3)] é o intervalo: (A) ]– , – 3[ (B) ]– 3 , + [ (C) ]– , – 2[ (D) ]– 2 , +[ (E) nra 24. (AFA 1989) O logaritmo de um número numa certa base é 3, e o logaritmo, desse mesmo número, numa base igual ao dobro da anterior, é 2. Então, o número vale: (A) 64 (B) 65 (C) 75 (D) 76 25. (AFA 1989) A raiz da equação log (x –1) –
log(x 7) = log2 é: 2
(A) –9 (B) –3 (C) 3 (D) 9
ITA 26. (ITA 1999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log1/4 (x + 1) = log4 (x – 1). Então: (A) S é um conjunto unitário e S ] 2, + [; (B) S é um conjunto unitário e S ] 1, 2 [; (C) S possui dois elementos distintos e S ] –2, 2 [; (D) S possui dois elementos distintos e S ] 1, + [; (E) S é o conjunto vazio.
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IME V27. (IME 2012) Se o log102 = x e log103 = y, então log518 vale: (A)
x 2y 1x
(B)
xy 1 x
(C)
2x y 1 x
(D)
x 2y 1x
(E)
3x 2y 1x
28. (IME 2007) Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o menor número entre as alternativas abaixo é: (A) 430 (B) 924 (C) 2540 (D) 8120 (E) 62515.
29. (IME 1986) Determine log
30. (IME 2009)
Seja log 5 = m, log 2 = p e N = 125 3
0,333...
1562,5 52
0,037037 ...
. O valor de log5 N, em função de m e p, é
75m 6p 15m 70m 6p (B) 15m 75m 6p (C) 15m 70m 6p (D) 15m 70m 6p (E) 15p
(A)
31. (IME 1996) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre, em função de a e b, o logaritmo do número base 15.
5 11,25
no sistema de
32. (IME 1984) Seja log a o logaritmo decimal de a e log3 a o logaritmo de a na base 3. São dados: log 2 = e log 3 = . Calcule em função de e os valores de log N e log3 N onde
364,5 N = 243 4 3 2 onde e β são números reais positivos.
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NÍVEL B EFOMM 1. (EFOMM 2009) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que o nível sonoro β e a intensidade I de um desses sons esteja relacionado com a equação logarítmica β = 12 + log 10 I, em que β é medido em decibéis e I I em watts por metro quadrado. Qual é a razão 1 , sabendo-se que I1 corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de uma I2 aproximação de dois navios e que I2 corresponde a 6 decibéis no interior da embarcação? (A) 0,1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) 1000. 2. (EFOMM 2007) Leia e assinale a alternativa correta. Os Terremotos Abandonando-se um pequeno dado sobre a superfície terrestre, ocorrerá uma liberação de energia que a fará vibrar levemente. Se, no lugar do dado, for abandonado um tijolo, a energia liberada fará vibrar mais intensamente essa superfície. Imagine um cubo de granito com 2Km de aresta abandonado de uma altura de 280Km; a energia liberada será equivalente a 20 trilhões de Kwh. Essa foi a medida da energia liberada pelo terremoto ocorrido em San Francisco, Califórnia, em 1906. Mais violento ainda foi o terremoto que arrasou Lisboa, em 1755, liberando energia equivalente a 350 trilhões de kwh. Os logaritmos são aplicados na medida da intensidade de um terremoto. Na escala Richer, a intensidade de um terremoto é definida por: I = 2/3. log E/E0, em que E é a energia liberada pelo terremoto em kwh e E 0 = 10-3 kwh. O terremoto ocorrido em 1906 na cidade de San Francisco (EUA) registrou 9 pontos na escala Richter. Qual foi, então, a intensidade do terremoto que arrasou Lisboa em 1755? (dado log 7 = 0,845 e log 5 = 0,698) (A) 5,609 (B) 6,695 (C) 7,06 (D) 7,609 (E) 7,695.
AFA 3. (AFA 2011) Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir. Tomar x gotas do medicamento α de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log8 y = log2 6. Considerando log 2 =
3 e log 3 = 0,48, é correto afirmar que log2 x é um número do 10
intervalo (A) [3,4[ (B) [4,5[ (C) [5,6[ (D) [6,7[
1 2
4. (AFA 2010) Sejam as funções reais dadas por f(x) = 22x +1 e g(x)=3x +1 . Se b IR tal que f = 2g(b) e p = log3 b, então sobre p é correto afirmar que (A) não está definido. (B) é positivo e menor que 1. (C) é negativo e menor que 1. (D) é positivo e maior que 1.
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5. (AFA 2010) Sobre a função real f : D → IR dada por f(x) = 1 + log2(x2), é INCORRETO afirmar que é a) par b) sobrejetora x D c) crescente se x [1, + ∞[ d) injetora x D 6. (AFA 2008) Considere todo x IR que torne possível e verdadeira a igualdade log[f(x² −1)] = log x 4 2x 2 1 , onde f é função real de A em B e marque a alternativa correta. (A) O conjunto imagem de f é Im = IR+ – {1} (B) f é uma função injetora. (C) Se B = IR+ − {1}, então existe a inversa de f . (D) f tem domínio A = {x IR | x | > 1} 7. (AFA 2008) Considere as funções reais f: IR * IR tal que f(x) = x – 2 1 g: IR IR * tal que g(x) = 2
x
h: IR * IR tal que h(x) = –log2x e marque a alternativa correta. (A) O domínio da função k definida por k(x) =
g(x ) é o conjunto dos números reais positivos. h(x)
f ( x ) . h 1 ( x ) se anula em dois pontos distintos. (gof )( x ) (C) A função m definida por m(x) = −1+ (gof)(x) não possui raiz. (D) Se g(h(a)) = 8 e h(g(2b)) = log3 9, então (a − b) é um número primo. (B) A função j definida por j(x) =
8. (AFA 2007) Sabe-se que o isótopo do carbono, C14, tem uma meia vida de 5760 anos, isto é, o número N de átomos de C 14 na N após um espaço de tempo de 5760 anos. Essa substância radioativa se degrada segundo a seqüência N 2
substância é reduzido a
= N0 . 2–t, t {0, 1, 2, ...} em que N0 representa o número de átomos de C14 na substância no instante t = 0 e t é o tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base nas informações acima, pode-se dizer que (A) o número de átomos quando t = 1 era 5760 (B) o número de átomos será igual a um terço de N0 quando decorridos 1920 anos. (C) após 11520 anos haverá a quarta parte do número inicial de átomos. (D) quando t = 5760 haverá metade do número inicial de átomos. 9. (AFA 2006) Assinale a alternativa CORRETA. (A) log 2 3 log 1 1 . 4
9
(B) Se x log13 14 . log 2 3 . log 4 5
2 , então 1 x 2 . 5
(C) Se m 1 , então, um possível valor real de x tal que x m . log 3 x 1 é x 7 . 3 log 3 x 1
(D) Se x log 3 x
1 (0 x 1) , então, um possível valor de x é log 3 x
2.
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10. (AFA 2003) "Na semana passada, a Secretaria Municipal de Saúde do Rio de Janeiro anunciou que 5000 bombeiros participarão da campanha de combate à epidemia de dengue na cidade. É mais uma tentativa de deter o ritmo alucinante de crescimento da doença." Veja. 13 de março de 2002 Suponha uma cidade com 128.000 habitantes e que, em determinada ocasião, fosse constatado que 8000 habitantes estavam com dengue. Num estudo realizado, constatou-se que a taxa de aumento de pessoas contaminadas era de 50% ao mês. Com base nisso, pode-se afirmar que, caso não tomasse nenhuma providência, Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48 (A) toda população seria contaminada em dois meses. (B) em três meses, apenas 18.000 pessoas seriam contaminadas. (C) 40.500 pessoas seriam contaminadas em quatro meses. (D) dez mil pessoas seriam contaminadas exatamente na metade de um mês. 11. (AFA 2002) Sejam f e g funções definidas por f (x) x 2 4x 3 e g(x) logx1 x . O domínio de (gof)(x) é o conjunto dos números reais x, tais que (A) 0 < x < 1 ou x > 3 (B) x < 1 ou x > 3 (C) 1 < x < 3 e x 0 (D) x > 3. 12. (AFA 1995) No conjunto dos números reais, o campo de definição da função f(x) = log (x + 1) (2x2 – 5x + 2) é dado por: (A) {x IR / x 2 ou x = 1} (B) {x IR / –½ < x < 1 e x ½} (C) {x IR / –½ < x < 0 ou x 0} (D) {x IR / –1 < x < 0 ou 0 < x < ½ ou x > 2}
ESCOLA NAVAL 13. (EN 2010) Uma progressão geométrica infinita tem o 4º termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do produto de seus 10 primeiros termos vale 10 – 15 log52. Se S é a soma desta progressão, então o valor de log 2 S é (A) 2 + 3 log2 5 (B) 2 + log2 5 (C) 4 + log2 5 (D) 1 + 2 log2 5 (E) 4 + 2 log2 5 V14. (EN 2009) Sejam n IN tal que 24 + 25 + .... + 2n = 8176 e m o menor m IN tal que
m! 1 2 log 40 seja 6 2.4.6...(2m) 6
verdadeira. O produto m.n vale. (A) 120 (B) 124 (C) 130 (D) 132 (E) 143. 15. (EN 2009) Consideremos a, x IR * , x 1 e a 1. Denotemos por logx e logax, os logaritmos nas bases 10 e a
2
1 respectivamente. O produto das raízes reais da equação 2 1 log 2 (10) é (–1) x ) log(x
(A) 10 10 (B) 10 (C)
10 10 Página | 106
10 100 (E) 100. (D)
ex 1
16. (EN 2009) Seja n o menor inteiro pertencente ao domínio da função real de variável real (x) = ln 3
27 3 64 4
( x 1)
.
Podemos afirmar que logn 3 3 3 3... é raiz da equação (A) x3 – 2x2 – 9 = 0 (B) x3 + x – 1 = 0 (C) x4 – 4x2 – x + 2 = 0 (D) x2 – 4x + 3 = 0 (E) x4 – 4x2 + x + 1 = 0. 17. (EN 2008) No sistema cartesiano abaixo está esboçado uma porção do gráfico de uma função y(x) log 2 (x a) restrita ao intervalo [ 2 , 8 ] , a R * .
Se y(2) 2 , então o valor da área hachurada é: 3 (A) 6 log 4 3 . 2 (B) 12 log 2 3 . (C) 8 2 log 2 3 . (D) 6 log 1 3 . 2
(E) 12 log
2
3.
18. (EN 2008) Considere os conjuntos x2 A xR / 4 2x 3
e
B x IR / log9 (x 2 5x 7) 0 . Pode-se afirmar que A B é:
3 26 , . (A) , 2 7 10 2, . (B) , 9 10 (C) , 3 2 , . 9 Página | 107
10 3, . (D) , 9 26 , . (E) , 3 7 1
19. (EN 2006) Seja A o menor inteiro pertencente ao domínio da função real, de variável real, f(x) 4
9 4 16 3
(1 x)
. Pode-se
afirmar que log A 2 2 2 pertence ao intervalo:
1
(A) , 1 . 2
(B) 0 ,
1 3
.
1 1 , . 3 2
(C)
(D) 1 ,
3 . 2
3 ,2 . 2
(E)
2 2 V20. (EN 2005) Se a, b, m e n são números reais tais que a b 341ab , a 0 , b 0 , log3 2 m e log 3 7 n então o valor da expressão
log 3
[a b] 2 log 3 64ab
2
7 2 3 2 [log 9 2] log 1 14 é: 3
2 (A) m 6n 1 .
m2 7m 2 . 2 n2 3m 6n 2 . (C) 3 2 n2 6n 1 . (D) 2 (B)
2 (E) n 6m 1 .
21. (EN 1999) Sendo M o menor inteiro pertence ao domínio da função 1 f (x) ; (1 x ) 9 4 16 3 podemos afirmar que logM2 2 2 é: 7 4 7 (B) 8 3 (C) 4 3 (D) 8
(A)
Página | 108
(E)
1 . 4
V22. (EN 1991) Se f(x) =
1 1 e
x
, determine f –1(x)
(A) ln(x – 1) (B) ln 1/x 1 x (C) ln x x (D) ln 1 x (E) 1 + ex 1 : log32 0,25 243 23. (EN 1990) O valor de log0,125 4 : log0,04 0,008 log9
é: (A) –225/16 (B) –25/9 (C) –25/27 (D) 63/65 (E) 1
1 x podemos afirmar que : 1 x
24. (EN 1989) Dada a função f (x) ln (A) f(x + y) = f(x) + f(y) (B) f (xy) = f (x) + f (y) f ( x ) f ( y) (C) f(x + y) = xy
xy 1 xy
(D) f(x + y) = f
xy 1 xy
(E) f(x) + f(y) = f
25. (EN 1988) O conjunto solução da inequação
1 1 0}, A C = {x IR: log(x + 4) 0}, B C = {x IR: 0 2x + 7 < 2}. 30. (ITA 2007) Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log [(x + 2y) (w – 3z)-1] = 0, 2x+3z – 8. 2y-3z+w = 0, 3 2x y 6z 2w 2 0 .
101
31. (ITA 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S =
k 0
log8 (4 k 2) :
I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3 III. S = 3451 IV. S ≤ 3434 + log8 2 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira (s) apenas: (A) I e III (B) II e III (C) II e IV (D) II (E) III. 32. (ITA 2005) Considere a equação em x ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A soma das soluções da equação é (A) 0. (B) –1. (C) 1. (D) ln 2. (E) 2.
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33. (ITA 2004) Seja x IR e a matriz ,
2 x ( x 2 1) 1 . A= 2 x log 2 5 Assinale a opção correta. (A) x IR, A possui inversa. (B) Apenas para x > 0, A possui inversa. (C) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. (D) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. (E) Para x = log2 5, A não possui inversa.
IME 34.
(IME
2010)
Seja
f ( x) 3 log( x) , X .
Sendo
n
um
número
inteiro
positivo,
a
desigualdade
n-3
f(x) 2f(x) 4f(x) 2 f(x) 9 ... somente é possível se: 4 12 36 3n-1 4
(A) 0 x 106 (B) 10-6 x 108 (C) 103 x 106 (D) 100 x 106 (E) 10-6 x 106
1 1 2 4
35. (IME 2008) Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito elementos 2,1, , ,... , e
S = log a + log a + ... + log a . 2 1
2 2
2 8
S Se b = e f(x) = x + 2b + 2x – bo valor de f(1) será: 5
(A) − 7 (B) 7 (C) 11 (D) − 11 (E) 1.
V36. (IME 2007) Considere o sistema de equações dado por 3 log 3 log 9 10 log 9 2 log 3 10
Determine o valor de
P Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação:
37. (IME 2003)
log (12x3 – 19x2 + 8x) = log(12x3 – 19x2 + 8x), onde log(y) e y representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y. V38. (IME 2002) Sabe-se que logab = X, logq b = Y e n > 0, onde n é um número natural. Sendo c o produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, calcule o valor de log c b em função de X, Y e n. 39. (IME 1985) Determine o valor de b tal que
lim n onde p = b(t+1) 2
n
log p
5t+1 = 4
t 0
t
.
Página | 111
NÍVEL C AFA V1. (AFA 2006) Considere as funções reais f e g definidas por f (x) log3x e g(x) f (x 1) . Sabendo-se que existem f 1 e g 1 , é correto afirmar que o conjunto solução da equação g1(x) f 1(x) 2 é: (A) 1 . (B) . (C) log 3 2 1 . (D) 1 log 3 2 .
V2. (AFA 2006) Num certo dia, a temperatura ambiente era de 40°C. A água que fervia em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tinha a temperatura de 70°C. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura D entre um objeto e o meio que o contém é dada por D(t) D0.ea t , em que D0 é a diferença de temperatura no instante t 0 e D(t) a diferença num instante t qualquer. Sabendo-se que a temperatura de ebulição da água é de 100°C, n 2 0,7 e n 5 1,6 , pode-se dizer que a água atingirá a temperatura de 46°C: (A) 10 minutos após o fogo ter sido apagado. (B) entre 18 e 20 minutos após o fogo ter sido apagado. (C) exatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado. (D) aproximadamente 16 minutos após apagado o fogo. 3. (AFA 2003) Considere uma P.G. onde o 1o termo é a, a > 1, a razão é q, logq b = 2 e logc b = 0,01, então a soma dos termos da P.G. é (A) (C) (B) (D)
q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se loga b = 4,
a 41 a a 2 1 a 41 1 a 2 1 a 40 a a 2 1 a 40 1 a 2 1
.
4. (AFA 2001) A soma de todos os valores reais que satisfazem a equação x log4 x 16x , x > 0, é 17 (A) 4 33 (B) 4 65 (C) 4 129 (D) . 4 5. (AFA 2000) A expressão
b 2 a (log a ) log 2 (log c) log 0, b c com a, b, c R * , é verdadeira quando: (A) b2 = ac ou a = c (B) c2 = ab ou a = b (C) a = bc2 ou b = c (D) ac–1 = b2 ou a = b. Página | 112
6. (AFA 2000) Se b = 2
é: (A) (B) (C) (D)
x 2 x 12
, então o número de soluções inteiras que satisfaz a inequação 5 3 log b log b 7 4
4 5 6 7.
7. (AFA 1998) Seja
a y 1 ay
= x, com a R, a > 0 e a 1. Determinando-se y em função de x, o domínio da função assim
definida é (A) {x R l x 0}. (B) {x R l x 1}. (C) {x R l x < 1}. (D) {x R l 0 < x < 1}. 8. (AFA 1998) Se log10 x (log2 4 . log4 6 . log6 8) – 1, então (A) 0 < x 102 (B) 102 < x 104 (C) 104 < x 106 (D) 106 < x 108.
9. (AFA 1997) A soma das raízes da equação e2 ln x (log 5) – 5x(log 5) - (log 32) = –5, onde e = 2,7 é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6. 10. (AFA 1996) A solução da equação: x 3 – 2 x 3 = 2 é: (A) log2 (B) log7 log 3 (C) log 4 7 (D) log . 2 2
11. (AFA 1996) Seja (A) 1 k 2 (B) 10 k 20 (C) 10 k 100 (D) 10 k 1000.
π π x . Os valores de k, para que a expressão cossex = logk seja verdadeira, pertence ao intervalo: 6 2
12. (AFA 1996) Sejam a = 5 64 5 b = 4 3 4 e c = 4 128 Se x = min(a,b,c) e y= max(a,b,c) o valor de log2 (x . y-1) é: 11 (A) 20 22 (B) 15 Página | 113
11 20 22 (D) . 15
(C)
ESCOLA NAVAL 13. (EN 2012) Considere x, y, z e a números reais positivos, tais que seus logaritmos numa dada base a, são números primos log a (axy) 50
satisfazendo as igualdades
log a
x 22 . Podemos afirmar que z
loga (xyz) 12
vale:
(A) 8 (B) 56 (C) 58 (D) 11 (E) 12 xy 1 y2 V14. (EN 2012) Sendo x e y números reais, a soma de todos os valores de x e de y, que satisfazem ao sistema yx 1 x
, vale
36 5 9 (B) 2 5 (C) 2 25 (D) 4 1 (E) 2
(A)
V15. (EN 2010) Seja S o subconjunto de IR cujos elementos são todas as soluções de
log 1 2x 3 log 1 4x 1 3 3 . 5 (x 4) 0 35 2 (1 5x) 3x x 5 Podemos afirmar que S é um subconjunto de (A) ]–, –5[ ]1, +[ (B) ]–, –3[ ]3, +[ (C) ]–, –5[ ]3, +[ (D) ]–, –3[ ]2, +[ (E) ]–, –2[ ]4, +[
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V16. (EN 2007) Seja b a menor das abscissas dos pontos de interseção das curvas definidas pelas funções reais de variável real f (x) x 5 n 2x e g (x) x 5 n 2 2x . O produto das raízes da equação 5
5
x log 5 x 5 2 log 2 b
é: (A) –1. 1 (B) . 5 1 (C) . 5 3 (D) . 5 (E) 1.
17. (EN 1993) O produto das raízes positivas da equação, 2
x log 5 x
x5 , 125
é: (A) 5 (B) 5 (C) 5 5 (D) 25 (E) 25 5 18. (EN 2012) Sejam e g funções cujo domínio é o conjunto D = { n IN / n 3} onde n representa o número de lados de um polígono regular. As funções e g associam respectivamente para cada n D, as medidas dos ângulos interno e externo do mesmo polígono. É correto afirmar que : (A) (n) < g(n) se e somente se (n–1)! = n!–(n–1)! . (B) Se (n)=g(n) então o polígono considerado é um triângulo equilátero. f (n) = 1 – log2(n–2) para todo n ou g(10) = 2(10) g(n)
(C) log2
(D) é injetora e sen((n) + g(n)) = 0 (E) (go)(n) está sempre definida.
ITA 19. (ITA 2010) Resolva a inequação em IR:
1 4
log 1 (x 2 x 19) 5
16
.
20. (ITA 2010) A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0, com x e y reais, representa: (A) o conjunto vazio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(x,y) IR2 |2(ex –2)2 + 3(ey – 3)2 = 1}.
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V21. (ITA 2010) Analise se a função f : IR IR, f(x) = 1
3x 3 x é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f – 2
.
22. (ITA 2010) Considere conjuntos A, B IR e C (A B). Se A B, A C e B C são os domínios das funções reais definidas por ln(x –
),
x 2 6x 8 e
x , respectivamente, pode-se afirmar que 5x
(A) C = ,5 (B) C = [2, ] (C) C = [2, 5[ (D) C = [, 4] (E) C não é intervalo. 23. (ITA 2009) Seja S o conjunto solução da inequação (x – 9) log x 4 (x 3 26x) 0 . Determine o conjunto SC. V24. (ITA 2008) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por f(x) = ln(x2 – x + 1) é injetora, é dado por (A) IR (B) (–, 1) (C) [0,1/2] (D) (0, 1) (E) [1/2, ). V25. (ITA 2008) Seja f(x) = ln (x2 + x + 1), x IR. Determine as funções h, g : IR IR tais que f(x) = g(x) + h(x), x IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar. V26. (ITA 2007) Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente
ex 2 5 4 ey 5
são todos racionais. A soma x + y é igual a:
(A) 0. (B) 1. (C) 2 log5 3. (D) log5 2. (E) 3 loge 2. 27. (ITA 2006) Determine para quais valores de x (- /2, /2) vale a desigualdade logcos x(4sen2x-1) - logcos x(4–sec2 x)>2. V28. (ITA 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x) 29. (ITA 2002) Dada a função quadrática f(x) = x2 In
log 2 log 3 b –(3x) b = 0.
1 3 2 + x In6 – In , temos que: 4 2 3
(A) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais. (B) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima. (C) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo. In 2 In3 . In3 In 2 In 2 In3 (E) o valor máximo de f é 2 . In3 In 2
(D) o valor máximo de f é
Página | 116
30. (ITA 2002) Seja a função f dada por: 2 f(x) = (log35) . log5 8x–1 + log3 41+2x–x – log3 2x(3x+1). Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.
31. (ITA 2001) Sendo dado
1n 2 4 3 6 4 8...n 2n = an e 1n
2 3 3 4 4 ...2n 2n = bn
então, 1n 2 1n 3 1n 4 1n 5 1n 2n + – + ...+ 2 3 4 5 2n
é igual a: (A) an - 2bn (B) 2an - bn (C) an - bn (D) bn - an (E) an + bn. 32. (ITA 1999) Seja a R com a > 1. Se b = log2a, então o valor de log4 a3 + log2 4a + log2
a 2 1 a + (log8 a)2 – log 1 a 1 a 1 2
é: (A) 2b – 3 65 (B) b+2 18
2b 2 3b 1 2 2 2b 63b 36 (D) 18 2 b 9b 7 (E) . 9 (C)
V33. (ITA 1998) O valor de y R que satisfaz a igualdade logy49 = log y 2 7 + log2y7
é:
1 2 1 (B) 3 (C) 3 1 (D) 8 (E) 7. (A)
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34. (ITA 1998) A inequação 4x log5 (x + 3) (x2 + 3) log1/5 (x + 3) é satisfeita para todo x S. Então: (A) S = ] –3, –2 ] [ –1, + [; (B) S = ] –, –3 [ [ –1, + [; (C) S = ] –3, –1 ]; (D) S = ] –2, + ]; (E) S = ] –, –3 [ ] –3, + [.
35. (ITA 1997) O domínio D da função
x 2 (1 2 ) x 2x 2 3x
f(x) = ln
é o conjunto (A) D = {x R : 0 < x < 3 /2} (B) D = {x R : x < 1/ ou x > } (C) D = {x R : 0 < x 1/ ou x } (D) D = {x R : x > 0} (E) D = {x R : 0 < x 1, seja S o conjunto solução da inequação 1 log1 / a loga a
x 7
log1 / a ( x 1).
Então S é o intervalo: (A) [4, +[ (B) [4, 7[ (C) ]1, 5] (D) ]1, 4] (E) [1, 4[. V37. (ITA 1996) Seja a R, a > 1. Para que
4, 5 x R *
; log 1 / a log a x 2 15 0 ,
o valor de a é: (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) 10. V38. (ITA 1996) Se (x0, y0) é uma solução real do sistema log2 ( x 2 y) log3 ( x 2 y) 2 , 2 x 4 y 2 4
então x0 + y0 é igual a: (A) 7/4 (B) 9/4 (C) 11/4 (D) 13/4 Página | 118
(E) 17/4. 1 , satisfazendo 3 log x ( x 2) = logx ( x + 2 ) 1 log 3 x
39. (ITA 1995) Se x é um número real positivo, com x 1 e x
2 log 3 x – log x 2 x Então x pertence ao intervalo I, onde
(A) I = 0,
(B) I = 0,
1 9 1 3
1 2
(C) I = , 1
(D) I = 1,
3 2
3 2
(E) I = , 2 .
40. (ITA 1994) Sejam x e y números reais, positivos e ambos diferentes de 1, satisfazendo o sistema:
1 1 x y 2 e log x log y log ( ) x y Então o conjunto (x, y) está contido no intervalo: (A) [2, 5] (B) ]0, 4[ (C) [–1, 2] (D) [4, 8[ (E) [5, [. 41. (ITA 1994) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão geométrica de razão a, com a > 0 e a 1. Se a soma de seus termos é igual a 13a + 12 e x é um número real positivo diferente de 1 tal que:
1 1 1 1 1 5 , loga x logb x logc x logd x loge x 2 então x é igual a: (A) 33 (B) 23 (C) (5/2)2 (D) (5/2)3/2 (E) (2/5)2. 42. (ITA 1993) O conjunto solução da inequação log x[(1 – x)x] < log x[(1 + x)x2] é dado por: (A) 1 < x < 3/2 (B) 0 < x < 1
2 1 2 2 (D) 0 < x < 2 (C) 0 < x <
(E) 0 < x <
2 –1. Página | 119
43. (ITA 1992) O domínio da função: f(x) log
2 x 2 3x 1
(3x2 – 5x + 2)
é: (A) (– , 0) (0, 1/2) (1, 3/2) (3/2, + ) (B) (– , 1/2) (1, 5/2) (5/2, + ) (C) (– , 1/2) (1/2, 2/3) (1, 3/2) (3/2, + ) (D) (– , 0) (1, + ) (E) n.d.a.
44. (ITA 1992) Numa progressão geométrica de razão inteira q > 1. Sabe-se que a1an = 243, logq Pn = 20 e logq an = 6, onde an é o enésimo termo da progressão geométrica e P n é o produto dos n primeiros termos. Então a soma dos n primeiros termos é igual a:
39 1 6 310 1 (B) 6 8 3 1 (C) 6 9 3 1 (D) 3 (E) n.d.a. (A)
45. (ITA 1991) Sejam a , a > 1 e f: IR IR definida por f(x) = (A) loga(x –
a x a x . A função inversa de f é dada por: 2
x 2 1 ), para x > 1
(B) loga(–x + x 2 1 ), para x IR (C) loga(x + (D) loga(–x + (E) nda.
x 2 1 ), para x IR x 2 1 ), para x < –1
R46. (ITA 1991) Seja IR IR definida por:
e x , se x 0 f ( x ) x 2 1, se 0 x 1 ln x, se x 1 Se D é um subconjunto não vazio de IR tal que f: D IR é injetora, então: (A) D = IR e f(D) = [–1 , + [ (B) D = ]–, 1] ]e , +[ e f(D) = ]–1 , +[ (C) D = [0 , +[ e f(D) = ]–1 , +[ (D) D = [0 , e] e f(D) = [–1 , 1] (E) n.d.a. Notação: f(D) = {y IR : y = f(x), x D} e ln x denota o logaritmo neperiano de x. V47. (ITA 1991) Numa progressão geométrica de razão q, sabe-se que: I- O produto do logaritmo natural do primeiro termo a1 pelo logaritmo natural da razão é 24. II- A soma do logaritmo natural do segundo termo com o III- O logaritmo natural do terceiro termo é 26. Se ln q é um número inteiro então o termo geral vale: (A) e6n–2 (B) e4 + 6n (C) e24n Página | 120
(D) e4+6n (E) nda 48. (ITA 1991) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3logx + log (2x + 3) 3 3 log 2, é dado por: (A) {x IR: x > 0} (B) {x IR : 1 x 3} 1 (C) {x IR : 0 < x } 2 1 (D) {x IR : x < 1} 2 (E) n.d.a. Notação: loga denota o logarítimo de a na base 10 V49. (ITA 1990) O conjunto das soluções reais da equação |ln (sen2 x)| = ln (sen2 x) é dado por: π (A){x IR : x = + k, k Z} 2 π (B){x IR : x = + k , k Z} 2 (C){x IR : x = 2k, k Z} (D){x IR : –1 x 1} (E){x IR : x 0}. 50. (ITA 1990) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12(33x) – 19(32x) + 8(3x) – 1 = 0 somam: (A) – log312 (B) 1 1 (C) – log312 3 (E) – 1 (E) log37. R51. (ITA 1990) Numa progressão geométrica de três termos a razão é e -2a, a soma dos termos é 7 enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é 3. Nestas condições o valor de a é: (A) ln
2
5 (B) –ln 2
(C) ln
3
(D) –ln 2 (E) não existe número real a nestas condições.
52. (ITA 1989) Sobre a expressão: M=
1 1 , log 2 x log5 x
onde 2 < x < 3 , qual das afirmações abaixo está correta ? (A) 1 M 2 (B) 2 < M < 4 (C) 4 M 5 (D) 5 < M < 7 (E) 7 M 10.
Página | 121
IME V53. (IME 2011) Seja f(x) = a senx + b 3 x + 4, onde a e b são números reais diferentes de zero. Sabendo que f ( log10 (log3 10) ) = 5, o valor de f ( log10 (log10 3) ) é: (A) 5 (B) 3 (C) 0 (D) – 3 (E) – 5 V54. (IME 2011) O valor de y real positivo na equação 5y (A) 70 (B) 35 (C) 1 1 (D) 35 1 (E) 70
log x 5
- 7y
log x 7
0 , onde x é um número real maior do que 1 é:
55. (IME 2005) (ANULADA) Sejam a, b, c e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que log ad , logbd e logcd são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que: c2 = (ac) loga b V56. (IME 2000) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema abaixo:
a x . b1 / y ab 2 . log a x log1 / b y . log
a
b
Determine os valores de x e y.
57. (IME 1988) Para que valores de x a função 1
f(x) = x ln x 4 . ln x2 1
Assume o valor e 4 ?
V58. (IME 1970) Calcule os valores de X e Y sabendo que:
log 5 x+y – 2 log 25 5 0 log 3 xy 5log 5 x y anti ln colog 5 x y 5log 3 9 0 log 3 e x y Obs: O símbolo ln significa logaritmo neperiano; e ébase dos logaritmos neperianos. (A) X = 3 e Y = 2 (B) X = 3 e Y = 1 (C) X = 5 e Y = 0 (D) X = 4 e Y = 1 Página | 122
(E) Solução impossível (F) Nenhuma das respostas acima.
CAPÍTULO 13 - GABARITO E SOLUÇÕES
CAPÍTULO 1 - LÓGICA NÍVEL A 1. D Temos que
p q p q ou p q q p Logo ((x 5) (y 6) ) ( (x 5) (y 6) ) ( (x 5) (y 6))
ou ((x 5) (y 6)) ( (y 6) (x 5) ) ((y 6) (x 5)) (D) 2. C 3. D
NÍVEL B 1. B A proposição é uma tautologia, pois, p q r (q r) p (q r) p q p r (p q ) ( p r ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
p (q r) (p q ) ( p r ) 1 1 1 1 1 1 1 1
NÍVEL C 1. D
Página | 123
I. x 4 x 2 > 16 x 2 2y > 12 (V) e y 2 -2y > - 4 II. ( (5 4 (V) ) ou (10 2 (F) ) ) e (52 – 2 10 = 5 12) (F) III. x 2 1 0 x 1 x 2 > 16 x 2 2y >16-- 2 2 12 (V) e 2 y > 2 y 2 -2y > - 2 2
CAPÍTULO 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS NÍVEL A 1. D É fácil notar que A – C B – A (A C) (C – (A B)) A – C B – A (A C) (C – (A B)) A B C logo n(A B C) n A – C n B – A n(A C) + n(C – (A B)) 25 13 10 n(A C) + n(C – (A B)) n(A C) + n(C – (A B)) 2. Uma vez que (A C) (C – (A B)) ( (B C) (A B C)) (A C) (C – (A B)) ( (B C) (A B C)) C Temos n(C) n(A C) + n(C – (A B)) n( (B C) (A B C))
n(C) 2 n( (B C) (A B C)) Como ((B C) (A B C)) (B A) n((B C) (A B C)) n(B A) 10 Temos n(C) 2 n((B C) (A B C)) 12. 2. B I - (F) Uma vez que L é o conjunto dos losangos, R é o conjunto dos retângulos e Q é um conjunto que contém L, temos que L Q L e como L R é o conjunto dos quadrados, então L Q L L R. II – (F) Uma vez que n(A) 4 então n(P(A)) 16. III- (V) Temos que a, b, c, d U Z a, b, c, d, e Z a, b, c, d, e e Z c, d U Z a, c, d, e Z a, c, d, e b Z a Z e Z Z a, c, e b, c, d Z c b Z d Z c Z
3. B Página | 124
4. D 5. C 6. B n(U) 100 n(T) 20 n(E) 40 n(T E) 100 50 50 Como n(T E) n(T) n(E) n(T E) 50 20 40 n(T E) n(T E) 10. 7. A 8. A 9. A
n(U) 36 0 0 0 n(1 2 3 ) x n(10 20 ) 9 n(20 30 ) 7 0 0 n(1 3 ) 10 0 n(1 ) 24 x n(20 ) 22 x 0 n(3 ) 24 x 0 0 0 n(1 2 3 ) 36 4 32 Como n(10 20 30 ) n(10 ) n(20 ) n(30 ) n(10 20 ) n(20 30 ) n(10 30 ) n(10 20 30 ) 32 (24 x) (22 x) (24 x) 9 7 10 x x 6. 10. C 11. C 12. C U {a, b, c, d, e, f , g, h} C C C (B A) f , g, h B A f , g, h C B A a, b A C \ B d, e A C BC d, e A B (A C BC ) C {a, b, c, f , g, h} Como
A B (A B) \ ((B A C ) (BC A)) {c} n(P(A B)) 21 2.
Página | 125
13. C
NÍVEL B 1. D n(A B) 23 n B \ A 12 n C \ A 10 n(B C) 6 n(A B C) 4
Como A (A B) \ (B \ A) n(A) n(A B) n(B \ A) 23 12 11 e A C A C \ A n(A C) n(A) n C \ A 11 10 21 A C \ A e A B C (A B) C \(A B) (A B) C \(A B) C \(A B) (C \A) \ ((B C) \ (A B C))
n(A B C) n(A B) n C \(A B) 23 (10 (6 4)) 31
2. C C1 S n(C1 ) n(C2 ) C 2 S De fato n(C1 ) n(C2 ) C1 C2 Logo o conjunto S só pode ter um elemento com uma determinada cardinalidade, ou seja, só pode ter um elemento que seja um conjunto com zero elemento, um elemento que seja um conjunto com um elemento, um elemento que seja um conjunto com dois elementos e assim sucessivamente, como C S 0 N(C) n n(S)max n 1. 3. B 4. Demonstração 5. B É importante notar que P() P(B \ A) P(B \ A) P() P(B \ A) Como
n(B \ A) n(A B) n(A) 12 8 4 n(P(B \ A)) 24 16. 6. D 7. A
NÍVEL C 1. B
Página | 126
n(S) 70% n(SC ) 30% C n(C) 75% n(C ) 25% C n(B) 80% n(B ) 20% n(R) 85% n(R C ) 15% n(SC ) n(CC ) n(BC ) n(R C ) 90% n(SC CC BC R C ) 90% n((S C B R) C ) 90% n(S C B R) 10%. 2. Suponha que: A e B e ( A \ B) ( B \ A) A
Então ( A \ B) ( B \ A) A.
Logo se x : x ( A \ B) ( B \ A) x ( A \ B) x ( B \ A) x ( A \ B)
Pois se x ( B \ A) x A.
Então x : x ( A \ B) ( B \ A) x ( B \ A) B \ A B A.
Então ( A \ B) ( B \ A) ( A \ B) A
A menos que
B O contraria a hipótese. 3. A 4. E 5. a) 4
b) 4096 6. C 7. A 8. a) 1, 2, 4 ou 8 b) 105 a) Devemos ter b) Queremos dividir oito objetos em quatro grupos cada um como dois elementos, logo
C82 C62 C42 C22 105 P4 9.
a) 2m b) 3 10. Demonstração Uma vez que (S1 S2 ) (P1 P2 ) x : x S1 S2 xP1 xP2 Suponha que x S1 S2 xP1 x S2 xP1 x P1 S2 x P2 x P1 P2 Analogamente se x S1 S2 xP2 x S1 xP2 x P2 S1 x P1 x P1 P2 Logo x : x S1 S2 x P1 P2 (S1 S2 ) (P1 P2 ) .
Página | 127
11. B 12. 44 13. Demonstração Temos que: (X Y) (X Z) ((X Y) (X Z)) ( (X Z) (X Y) )
((X Y) (X Z) C ) ( (X Z) (X Y) C ) ((X Y) (X C ZC )) ( (X Z) (X C Y C ) ) ( ((X Y) X C ) ((X Y) Z C )) ) (((X Z) X C ) ((X Z) Y C ) )) ( ((X Y) ZC )) ) ( ((X Z) Y C ) )) ((X Y) ZC ) ((X Z) Y C ) X ( (Y Z C ) (Z Y C )) X ( (Y Z) (Z Y)) X (Y Z).
CAPÍTULO 3 – PRODUTO CARTESIANO NÍVEL C 1. E (I)
(x, y) : (x, y) E x G (x, y) F x H Como (x, y) : (x, y) E x G (x E) (y G) temos (x, y) : (x, y) E x G (x E) (y G) (x F) (y H) x E x F E F e y G y H G H. Uma vez que
A B A B B
(II) e (III) são verdadeiras. 2. D
CAPÍTULO 4 – RELAÇÃO NÍVEL A 1. B A B (2,1), (2, 6), (2,8), (2,12), (3,1), (3, 6), (3,8), (3,12), (4,1), (4, 6), (4,8), (4,12) R1 {(2, 6), (4,8) }.
NÍVEL C 1. Demonstração
Página | 128
Sejam n IN * , a , b e c N * , então : (i) Re flexiva \ : a a 0
a a é múltiplo de n (a , a ) R n .
(ii) Simétrica : (a , b) R n a b é múltiplo de n b a é múltiplo de n (b, a ) R n . (iii) Transitiva : (a , b) R n a b é múltiplo de n a c (a b) (b c) é múltiplo de n (a , c) R n . (b, c) R n b c é múltiplo de n Logo Rn é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência. 2. Demonstração: (i) Re flexiva \ :
m i i 1 , i 1, 2, 3, 4 a i R a i , i 1, 2, 3, 4 .
(ii) Simétrica : M é simétrica , log o, mi j 1 m j i 1 Ou seja ai R a j a j R ai . (iii) Transitiva : Note que m 2 4 1 , m 41 1 e m 21 0 ou seja a 2 R a 4 , a 4 R a 1 porém a 2 R a 1 . Logo R é reflexiva, simétrica e não é transitiva, ou seja, R não é uma relação de equivalência. 3. Demonstração
CAPÍTULO 5 – CONJUNTOS NUMÉRICOS NÍVEL A 1. B 2. 2 2. 4 (2 2) 2 2. 2 2 2. 4 2 2. 2 2 par.
2. B 3. B Temos que:
m.m.c.(4,10) 20 n(4 10) n( 20).
Como n(4 10) n(4) n(10) n(4 10) n(4 10) 13 7 5 15 N(A) 15 9 24.
4. E
NÍVEL B 1. D
Página | 129
(I) Uma vez que : 5 4 0 2 5 25 5 2 S 4 4 16 5 Q 4
e
7 5 0 2 7 49 7 2 S 25 5 5 7 Q 5
(I) Verdadeira.
(II)
x IR : 0 x 2 S S (II) Falsa. (III) 2 0 2 2 2 2 2 S (III) Falsa. 2 Q
2. Demonstração
CAPÍTULO 6 – FUNÇÃO NÍVEL A 1. B 2. B Repare que: g(0,8) g(x), x 0, 1 Uma vez que
f (0,4) f (1) 0,8 temos que g(f (0,4)) g(f (1)) g(f (x)), x 0, 1 .
Logo opção (B) é falsa. 3. B Temos que: y2 3x 2 y x f (y) 3 e
3
y2 2 y4 3 2 2
x 3 y x y 3 g(y) 5(y 3) 2 5y 13 Assim f (g(x)) f (5x 13)
5x 13 4 5x 9 . 2 2
4. D 5. D Temos que f (1) f (5) 3 f (2) f (4) 0 f (3) 1 log o Im f 1, 0, 3 CD f IR
Logo f não é sobrejetora e nem injetora, porém n(Imf ) 3. 6. B As sequências Página | 130
(f (1),f (3),..., f (81)) e (f (0),f (2),..., f (70))
São duas progressões aritméticas de razão 3 com 41 e 35 termos respectivamente, logo, f (81) f (1) (41 1) 3 5 120 125 e f (70) f (0) (36 1) 3 10 105 115 log o
f (81) f (70) 10.
7. C 1 1 f 1 ( ) x f (x) . 9 9 Como f (x) t(h(2x)) temos h(2x) (2x)3 8x 3 f (x) t(h(2x)) t(8x 3 )
1 . 1 8x 3
Logo 1 1 1 x 1 f 1 ( ) 1. 3 1 8x 9 9
8. D 9. D 10. C f1 x
x 3 x 1
x 3 3 x 3 x 3 x 1 f 2 x =f1 f1 x = f1 = = x 3 x 1 x 1 1 x 1 x 3 3 x 3 x 3 x 3 x 1 f 3 x =f1 f 2 x = f1 = x f1988 (x) f 2 (x) . = x 3 x 1 1 x x 1 1 x 1
NÍVEL B 1. B (I) Falsa
0 S S U 0 (II) Falsa S \ U
2, 4,6 2 S \ U
S T U (III) Falsa Pois n(S) 4 n(T) 3 (IV) Verdadeira Pois n(S) 4 n(T) 3
2. D 3. A
NÍVEL C Página | 131
1. B (I) Sejam x l , x 2 IR com x l x 2 x l > x 2 f x l < f x 2 f x l f x 2 f x l f x 2 f injetora (I) Verdadeira. x l < x 2 f x l f x 2 f x l f x 2 (II)
f (x) f (x) , x IR f n decrescente (II) Falso. (III) Sejam 1 y1 f (x1 ) x1 f (y1 ) 1 x 2 f (y 2 ) y 2 f (x 2 )
f decrescente ( (x1 x 2 ) (f (x1 ) f (x 2 ) ) ( (f 1 (y1 ) f 1 (y 2 )) (y1 y 2 ) ) f 1 decrescente (III) Verdadeiro.
2. A (I) D R \ 1 f :D D x f x
x 1 . x 1
(a) Sejam x1 , x 2 D com x1 x 2 se f x1 f x 2 f x1 f x 2 f injetora
x1 1 x 2 1 x1 x 2 (Absurdo) x1 1 x 2 1
(b) Seja y D x 1 y 1 y 1 y x yD, x D :f (x) y f sobrejetora x 1 y 1 y 1 (a) e (b) (I) Verdadeiro. f (x) y
(II) (I) (II) Falso (III) D R \ 1 f :D D x f x
x 1 . x 1
1 1 1 x 1 x x 1 1 x f (x) f ( ) 0, x D \ 0 (III) Verdadeiro. x x 1 1 1 x 1 1 x x (IV)
D R \ 1 f :D D x 1 . x 1 x 1 x 1 f (x)f ( x) 1, x D \ 1 (IV) Falso. x 1 x 1 x f x
3. A
Página | 132
(I) f : IR IR nãoconstante x x x f x y f x f y , x, y IR f (x) = f ( + ) = (f ( )) 2 0, x IR . 2 2 2 Suponha que x IR: f (x) 0 f (x) f (x 0) f (x)f (0) 0 f (x) 0, x IR (Absurdo) f (x) 0, x IR (I) Verdadeiro. (II) f : IR IR não constante f x y f x f y , x, y IR Seja S n IN : f (nx) (f (x)) n , x IR P(k) verdadeiro k S. (i) P(1) Verdadeiro f (x) f (x) P(1) Verdadeiro (ii) (Hipotese) P(k) Verdadeiro k S f (kx) (f (x)) k , x IR f ((k 1)x) f (kx x) f (kx)f (x) (f (x)) k f (x) (f (x)) k 1, x IR k 1 S P(k 1) Verdadeiro PIF S IN* (II) Verdadeiro. (III) f : IR IR nãoconstante f x y f x f y , x, y IR f par f (0) f (x ( x)) f (x)f ( x) (f (x)) 2 , x IR f cons tan te (Absurdo) (III) Falso.
4. Demonstração 5. E 6. Demonstração Seja f : IR IR bijetora e ímpar e f –1:IR IR Seja y f 1 ( x) f (y) x x f (y) x f ( y) y f 1 (x) y f 1 (x) f 1 ( x) f 1 (x) x IR f 1 ímpar.
7. D 8. E 9. Demonstração 10. E f :
0,1 IR
x 0, 1 1 2 1 x x 1 (ii)f (x) f f 4 2 2 (i) f (x)
Seja 1 S n IN : f (x) n , x 0, 1 2 e P(n) verdadeiro n S
Página | 133
(a) (i) 1 S P(1) verdadeiro 1 , x 0, 1 2k x x 1 2 0, 1 f ( 2 ) 2k Uma vez que x 0, 1 x 1 0, 1 f ( x 1) 1 2 2k 2
(b)(Hipotese) P(k) verdadeiro k S f (x)
1 x 1 1 x 1 1 x x 1 1 1 f f f f k k k 1 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 P(k 1) verdadeiro k 1S
f (x)
PIF S IN*.
11. D 12. C 13. C f x 2f 2 – x
x
– 1 , x IR 3
f 2 – x 2f 2 – (2 x)
(2
– x) – 1 , x IR f 2 – x 2f x (1 – x)3 , x IR 3
f x 2f 2 – x x – 13 (1) 3 (2) f 2 – x 2f x (1 – x) (1) 2(2) 3f x 3 x – 1 , x IR f x 1 – x , x IR 3
3
f (g(x)) f (1 x) 1 – (1 x) x 3 , x IR. 3
14. B 15. B 16. A f : IR IR g : IR IR, decrescentes e sobrejetoras h : IR IR, h fog. (1)Sejam x1 , x 2 IR , x1 x 2 g(x1 ) g( x 2 ) h(g(x1 )) h g(x1 ) h(g( x 2 )) h g(x 2 ) h : IR IR crescente. (2) h : IR IR crescente h : IR IR injetora (3)f : IR IR e g : IR IR sobrejetoras h : IR IR sobrejetora (2) e (3) h : IR IR bijetora h : IR IR inversivel (4) h : IR IR crescente h 1 : IR IR crescente.
17. E 18. E 19. C 20. B 21. Demonstração
f : IR \ 0 IR : f a / b f a – f b (1) b 1 f( a) f a – f 1 , a IR (2)a 1 e b 1 f( 1) f 1 – f 1 2 f( 1) f 1 (3) a b 1 f( 1) f 1 – f 1 0 (2): f( 1) 0 (1): f( a) f a , a IR f par.
22. 2007
Página | 134
f : N IR :
(n 1)
n
f (k) 2008 (n 2) k 0
n
n 1
k 0
k 0
f (n) f (k) f (k) 2008 f (2006)
n 1 n n 2008 n 1 2008 2008 n2 n 1 n 2 n 1 (n 1)(n 2)
1 1 2007. 2007 f (2006)
23. Demonstração 1 f (x) [f (x)]2 2 f (x 2a) f ((x a) a) f : IR IR : f (x a)
1 f (x a) [f (x a)]2 2
1 2
1 1 2 2 f (x) [f (x)] f (x) [f (x)] 2 2
1 2
1 1 2 2 2 f (x) [f (x)] f (x) [f (x)] f (x) [f (x)] 2 4
1 1 1 1 1 1 f (x) [f (x)]2 f (x) f (x) f (x) f periodica. 2 4 2 2 2 2
2
24. Demonstração 25. Demonstração (1) Injetora : Sejam x1 , y1 e x 2 , y 2 IR 2 , x1, y1 x 2 , y 2 h x1 , y1 h x 2 , y 2
x
3 1
, x1 f y1 x 23 , x 2 f y 2
3 3 x1 x 2 x1 x 2 x1 , y1 x 2 , y 2 h injetora. x1 f y1 x 2 f y 2 f y1 f y 2 y1 y 2
(2) Sobrejetora Seja x, y IR 2 , x 0 , y 0 IR 2 : h x 0 , y 0 x, y ? Vamos sup or que sim h x 0 , y 0 x, y x 03 , x 0 f y 0 x, y x 03 x x 0 3 x 1 3 3 x 0 f y0 y f y0 x y y0 f ( x y ) h( 3 x , f 1 ( 3 x y )) (x, y) h sobrejetora. Em particular h 1 : IR 2 IR 2 (x, y) h 1 x, y ( 3 x , f 1 ( 3 x y ))
CAPÍTULO 7 – FUNÇÃO CONSTANTE CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO DO 1° GRAU NÍVEL A 1. B O valor arrecadado pelas vendas em função do desconto concedido é dado por: p : IR IR
x p(x) (20 2x)(30 6x) Note que p(4) p(1) 648.
2. A Página | 135
Analisando os gráficos das funções f, g e h, nota-se que a locadora α é a mais vantajosa a partir do quilômetro em que o gráfico de f encontra-se abaixo dos gráficos de g e h, em particular pela análise gráfica, abaixo do gráfico de g. Assim f : IR IR x f (x) 50 g : IR IR 1 x g(x) 20 x 2 1 f (x) g(x) 50 20 x x 60 m 60. 2
3. B Temos que A : IR IR x A(x) mx h e A(2007) 34,8 2007m h 34,8 (1) A(2005) 29, 2 2005m h 29, 2 (2) (1) (2) 2m 5,6 m 2,8 h 5584,8 A : IR IR x A(x) 2,8x 5584,8 A(2006) 32 Aumento
32 29, 2 0,095 9,5% 29, 2
4. B 5. C 6. C Vamos determinar cada um dos conjuntos. A 1,2,3,4,6,8,12,24 3x 4 B x Z | 1 0 2x 9 3x 4 x 5 1 0 0 2x 9 2x 9
9 S ,5 2
Assim B 1,2,3,4 7. D 8. C
9. C Uma vez que Imf IR Então f não é sobrejetora. Além disso, f não é par, pois, f (1) 0 e f (1) 2 , nem ímpar, pois, f (0) 1 . 10. B 11. B Página | 136
Da semelhança de triângulos temos V 24.000 0,8V 20V 480.000 4V V 30.000 0,2V 6.000. 5 20
12. D Seja f : IR IR x f (x) ax b f 0 1 f 1 b 1 (a b) a 1 3 f –1 2 – f 0 a b 2 b a 2b 2 1 2b 2 b 2 f : IR IR x f (x) x
3 3 f (3) . 2 2
13. D f : IR IR x f (x) ax b f 0 10.000 b 10.000 f 5 1.000 5a b 1.000 5a 9.000 a 1.800 f : IR IR x f (x) 1.800x 10.000 f (3) 4.600.
14. D 1 1 1 2x 2 20 0 x x x
1 S (,0) , 2
NÍVEL B 1. C
Página | 137
Uma vez que (b(x))6 0 x 1 a(x) 0 0 x (, 4) 1, ) (a(x))5 .(b(x)) 6 x4 0 c(x) S (, 4) 1, ). 3 (c(x)) c(x) 0 x 4 0 x 4. 2. B 3. B 4. C 5. C 6. C 7. B 2x 3, 2x 3 3x 5 min 2x 3, 3x – 5 3x 5,3x 5 2x 3
2x 3, 8 x 3x 5, x 8 Logo min 2x 3, 3x – 5 4 x 8 2x 3 4 x
1 S1 2
ou x 8 3x 5 4 x 3 S2 ,3 S S1 S2 ,3
NÍVEL C 1. D 2. A 3. G não é par nem ímpar. f : 0, 1 IR
x
2x, 0 x 1/ 2 f x 2x 1, 1/ 2 x 1
e g : 1/ 2, 1/ 2 IR x
f (x 1/ 2 ), 1/ 2 x 0 g(x) 1 f (x 1/ 2), 0 x 1/ 2 2x, 1/ 2 x 0 2 2x, 0 x 1/ 2
4. C
CAPÍTULO 9 – FUNÇÃO DO 2° GRAU NÍVEL A
Página | 138
1. D
M N 6 x 2 – 6x 10 0 MN 10 1 1 MN 6 . M N MN 10 2. D
3. B 4. B 5. D Uma vez que f (x1 ) . f (x 2 ) 0 então existe r x1 , x 2 tal que f (r ) 0 , logo 0 , como f (x1 ) . f (x 2 ) 0 podemos garantir que 0 caso contrário teríamos f (x1 ) . f (x 2 ) 0. 6. B b b y x 2 ax 2 2 b b a 2 4 a 2 b2 2 2 0 a 2 b 2 0. 7. C 3x 3 x 2 5x 10 3x 3 x 2 5x 10 2x 2 3x 8 (2x 2 3x 8) 0 x2 x2 3x 3 x 2 5x 10 (x 2)(2x 2 3x 8) 0 x2 x 3 7x 6 (x 1)(x 2 x 6) (x 1)(x 2)(x 3) 0 0 0 x2 x2 x2 (x 1)(x 3) 0 1 x 3 S (1,3). x 2 8.
f : IR IR
x f (x) x 2 6x 9
Página | 139
9. f : IR IR x f (x) a(x 1)(x 5) f (1) 8 8a 8 a 1. f : IR IR x f (x) x 2 4x 5 a) a 1 b 4 c 5 b) f (0) 5 c) a 1 0 Valor Maximo d) xV
4 2 2(1)
yV
(4) 2 4(1)(5) 9 V (2, 9) 4(1)
e)
NÍVEL B 1. D I) Falso,
x2 a x a x IR {a} xa
II) Verdadeiro,
1 1 < 0 (a > ) x a ax a x2 – a2 < 0 x < –a ou x > a 2. A Se x1 = 1 ou x2 = 3 são as raízes, então xv = 2 Como xv = yv V(2, 2) Se f(x) ≥ 0 x A e f é crescente x [p, q], então pelo gráfico, tem-se p = 1 e q = 2 p – q = (2 – 1) = 1
3. 4. 5. 6. 7.
B C D C D
Se x < 1 temos que a < 0 uma vez que a concavidade da parábola está voltada para baixo. Além disso, como x1 0 e x 2 0 temos que, b b 0 0 b 0. a a a 0 a 0
Logo ab 0.
8. C L :IN IR 22 x x L(x) x 2x 50 3 30 L :IN IR 16 x 2 16 3 80. x L(x) x 50 x v 30 3 1 2 30 9. C
Página | 141
x 1 3 g(6) x f (x) 6 3x 6x 6 x 2x 2 0 ou x 1 3 g(6) 1 3 x 1 3 2
2
x 1 2 g(3) x f (x) 3 3x 6x 3 x 2x 1 0 ou x 1 2 g(3) 1 2 x 1 2 2
2
(g(6) g(3)) 2 ((1 3) (1 2)) 2 ( 3 2) 2 5 2 6. 10. B 11. D 12. D x 2 (2m 3)x (m 2 3) f (x) 0, x IR x 2 (2m 1)x (m 2 2)
1 2 2 2 2 x (2m 3)x (m 3) 0, x IR (2m 3) 4(m 3) 0 12m 3 0 m 4 1 m 4 x 2 (2m 1)x (m 2 2) 0, x IR (2m 1) 2 4(m 2 2) 0 4m 7 0 m 7 4 13. E
NÍVEL C 1. B 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. D 8. B 9. \ 10. A 11. \ 12. \ 13. D 14. \ 15. \ 16. \ 17. \ 18. \ 19. \ 20. \ 21. \
CAPÍTULO 10 – FUNÇÃO MODULAR NÍVEL A 1.
B
NÍVEL B 1. 2. 3. 4. 5.
C \ A C B Página | 142
6. 7. 8. 9.
C E E B
NÍVEL C 1. 2. 3. 4. 5. 6.
E A D A E \
CAPÍTULO 11 – FUNÇÃO EXPONENCIAL NÍVEL A 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
D C B A \ \ D \ \ B C C C A E C DEMONSTRAÇÃO
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
\ D D A C A B A B E B A A A C D D C \
NÍVEL B
Página | 143
NÍVEL C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
D D E \ \ \ \ \
CAPÍTULO 12 – FUNÇÃO LOGARITMO NÍVEL A 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.
E C A A \ A D D A C A D C B C C \ B C A \ E D \ \ B A A \ B \ \
NÍVEL B 1. 2. 3. 4. 5.
D \ D A ANULADA Página | 144
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.
ANULADA D C B C B \ \ D C C A D A B B C A E E B \ A \ \ B B A D C \ \ \ \
NÍVEL C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
D D A C A C D A C C \ \ \ \ C E C \ \ D \ Página | 145
22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.
C \ C \ E \ \ D \ C D D A E D \ D A\ \ \ \ \ \ B \ A \ B \ \ \ D \ ANULADA \ \ A
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Sistema de Ensino Interativo
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SOBRE O AUTOR Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM (1994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último. Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática. Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA. Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais, por exemplo, na UFRJ, UFBA, UFAL e USP, e internacionais, como em Warwick (Inglaterra), Cournouaille (França) e PUC- CHILE (Santiago do Chile, Chile) nos quais ministrou algumas palestras. Fundador do Sistema de Ensino Interativo – SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de matemática do SEI Ensina. Atualmente Luciano é Diretor do Sistema de Ensino Interativo – SEI, no qual é coordenador e professor de matemática, além disso, é professor adjunto da UFRJ e professor contratado da Escola Naval.
Luciano Nunes Prudente Diretor do Sistema de Ensino Interativo - SEI
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 1 ÍNDICE 1. Lógica............................................................................................. 2. Teoria dos Conjuntos....................................................................... 3. Produto Cartesiano.......................................................................... 4. Relação.......................................................................................... 5. Conjuntos Numéricos...................................................................... 6. Função........................................................................................... 7. Função Constante............................................................................ 8. Função do 1° Grau.......................................................................... 9. Função do 2° Grau.......................................................................... 10. Função Modular.............................................................................. 11. Função Exponencial........................................................................ 12. Função Logaritmo.......................................................................... 13. Gabarito/Soluções.............................................................................
05 09 19 22 25 32 48 49 62 77 84 94 123
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CAPÍTULO 1 - LÓGICA Construção Axiomática da Ciência A linguagem da Ciência é construída a partir de Termos primitivos e Definições. Termo primitivo é um vocábulo cujo significado não é descrito por outros vocábulos. Definir é a ação de descrever o significado de um vocábulo a partir de outros vocábulos previamente definidos ou de termos primitivos. A introdução de novos vocábulos na Ciência será sempre feita a partir de termos primitivos ou de definições. Proposição ou sentença matemática é uma afirmativa a qual se associa um único valor: verdadeiro ou falso, que representaremos respectivamente por 1 ou 0. Axioma é uma proposição cuja veracidade é assumida por definição e um Teorema é uma proposição cuja veracidade deve ser verificada por meio de outros axiomas ou teoremas. A matemática é construída por meio de Axiomas e Teoremas. Definição: A negação de uma proposição é uma nova proposição cujo valor é o oposto da original. Então dada uma proposição p, temos:
0
p 1
1
0
p
Definição: Conectivo é o elemento utilizado para unir duas proposições. Os conectivos se dividem em primários e secundários. Sejam p e q duas proposições, então: Conectivos Primários 1) Conectivo “e” ( ): p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
p
q
p q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
2) Conectivo “ou” ( ):
Página | 5
Conectivos Secundários 1) Condicional “se então” ( ):
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2) Condicional “se e somente se” ( ):
Definição: Tautologia é uma proposição que assume apenas o valor verdadeiro. Sejam p, q e r proposições, seguem as principais tautologias: Negação da negação
1. p p Comutatividade do ˄ e do ˅
2. p q q p 3. p q q p Associatividade do ˄ e do ˅
4. p q r p q r 5.p q r p q r Distributividade
6. p q r p q p r 7. p q r p q p r Negação do ˄ e do ˅
8. p q p q 9. p q p q
Página | 6
Implicação lógica 10. p q p q 11. p q q p 12. p q p q
Equivalência lógica
13. p q p q
Página | 7
EXERCÍCIOS NÍVEL A ESCOLA NAVAL R1. (EN 1998) Considere a proposição: “Se x > 5 então y = 6”. A proposição equivalente é (A) “Se x < 5 então y 6” (B) “Se y 6 então x < 5” (C) “se y > 5 então x = 5” (D) “Se y 6 então x 5” (E) “Se x 5 então y 6”. 2. (EN 1994) A negação da proposição:
" x 3 e y 2" ,
é: (A) " x 3 e y 2" (B) " x 3 e y 2" (C) " x 3 ou y 2" (D) " x 2 e y 3" (E) " x 3 ou y 2" . 3. (EN 1992) Sabe-se que se x > 4 então y = 2 . Podemos daí concluir que: (A) Se x < 4 então y 2 . (B) Se x 4 então y 2 . (C) Se y = 2 então x > 4 . (D) Se y 2 então x 4. (E) Se y 2 então x < 4.
NÍVEL B ESCOLA NAVAL R1. (EN 1989) Dada a proposição p (q r) ( p q) (p r) podemos afirmar que é: (A) logicamente falsa (B) uma tautologia (C) equivalente a ( p q) r (D) equivalente a ( p q)V r (E) equivalente a p q
NÍVEL C ITA R1. (ITA 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12. II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12. III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas I e II. (C) apenas II e III. (D) apenas I e III. (E) todas. Página | 8
CAPÍTULO 2 - TEORIA DOS CONJUNTOS Elementos Primitivos A Teoria dos Conjuntos tem sua estrutura baseada em três termos primitivos: Elemento, Conjunto e na Relação de Pertinência. Embora termos primitivos intuitivamente sabe-se a diferença entre eles. Considere, por exemplo, as proposições: A é uma Vogal B não é uma vogal Primeiramente sabemos que estas proposições têm valor verdadeiro, ou seja, a letra A é um elemento do conjunto das vogais e a letra B não é um elemento do conjunto das vogais. Note que o elemento se liga ao conjunto pela relação de pertinência, nos exemplos acima esta relação foi feita através do verbo SER, a fim de evitar as limitações da língua, as mesmas proposições podem ser escritas utilizando uma simbologia universal, que respectivamente introduzimos abaixo: A A, E, I, O, U B A, E, I, O, U .
Um conjunto está bem definido quando dado um elemento podemos julgar se este pertence ou não ao conjunto. Variável é o símbolo utilizado para representar um elemento qualquer de um dado conjunto, neste caso, este conjunto é denominado Domínio da variável. Função Proposicional ou Proposição aberta é toda proposição que possui uma variável. Ex.: x A, E, I, O, U É uma proposição aberta, onde x é a variável e o seu domínio é o conjunto
A, E, I, O, U .
Solução da Função Proposicional é todo elemento pertencente ao Domínio da variável que dá valor verdadeiro à proposição aberta. Ex.:
A A, E, I, O, U (V) E A, E, I, O, U (V) x A, E, I, O, U I A, E, I, O, U (V) . O A, E, I, O, U (V) U A, E, I, O, U (V)
Conjunto Solução da Função Proposicional ou Conjunto Verdade da Função Proposicional é o conjunto de todas as soluções de uma Função Proposicional. Ex.: x A, E, I, O, U S A, E, I, O, U . Definição: O Quantificador Universal para todo é utilizado quando todos os elementos do Domínio da variável pertencem ao Conjunto Solução da Função Proposicional. Ex.: x IR , x 2 0.
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Definição: O Quantificador Existencial existe é utilizado quando existe um elemento do Domínio da variável pertencente ao Conjunto Solução da Função Proposicional. Ex.: x IR : x 2 0.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, define-se a relação de inclusão por: AB
x , x A x B .
Neste caso dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B. Definição: Conjunto Universo é o conjunto maximal definido pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que contêm todos os outros. Assim,
A,A U. Definição: Conjunto Vazio é o conjunto minimal dado pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que está contido em todos os outros. Representa-se o conjunto vazio por . Assim,
A , Em particular temos que: Ex.: Dado A 1, 2, 3 então
A .
x , x U x .
A , 1 A, 2, 3 A e 1, 2 , 3 A.
Definição: Conjunto das Partes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou seja, (A) :
B : B A
Ex. A 1, 2, 3 (A) , 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 2, 3 , 3,1 , 1, 2 , 3
Obs.: Seja n (C) é o número de elementos de um conjunto C, então
n((A) ) : 2 n (A) . Observe no exemplo acima que n(A) 3 e n((A) ) 8.
Definição: Seja A um conjunto o seu Complementar é definido por
AC
x:
x A .
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então AB
x,
x A x B .
Ou equivalentemente A B
A B
B A .
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Operações entre conjuntos Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a União entre A e B é um terceiro conjunto definido por: AB
x:xA
x B .
Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A B 1, 2, 3, 4, 5
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Interseção entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B x : x A x B. Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A B 2, 3
Teorema 1. Sejam A e B conjuntos quaisquer então n(A B) n(A) n(B) n(A B) .
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A \ B x : x A x B. Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A \ B 1 e B \ A 4, 5
Teorema 2. Sejam A e B conjuntos quaisquer então
n(A B) n(A) n(B). Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença simétrica entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A B B A . Ex. A 1, 2, 3
B 2, 3, 4, 5 A B 1, 4 , 5 .
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, seguem as principais propriedades das operações entre conjuntos. 1. Complementar do complementar
A
C C
2. Comutatividade
A.
A B B A . A B B A .
3. Associatividade A B C (A B) C . A B C (A B) C . Página | 11
4. Distributividade A
B C A B A C .
A B C A B A C .
5. Complementar da união e da interseção
A B C A C B C . A B C A C B C . 6. Complementar de Sobconjuntos
A B BC A C . 7. Diferença
A B A BC .
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EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R1. (EFOMM 2010) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: • n(A B C) = 25, • n(A – C) = 13, • n(B – A) = 10, • n(A C) = n(C – (A B)). O maior valor possível de n(C) é igual a (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 R2. (EFOMM 2010) Analise as afirmativas abaixo. I - Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui lados opostos paralelos}; L = {x K / x possui 4 lados congruentes}; R = {x K / x possui 4 ângulos retos}; e Q = {x K / x possui 4 lados congruentes e 2 ângulos com medidas iguais}. Logo, L R = L Q. II - Seja o conjunto A = {1,2,3,4}, nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. III- Observando as seguintes relações entre conjuntos: {a, b, c,d} U Z = {a, b, c, d, e}, {c,d} U Z = {a, c, d, e} e {b, c, d} Z = {c}; pode-se concluir que Z = {a, c, e}. Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 3. (EFOMM 2007) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é (A) 116 (B) 142 (C) 166 (D) 176 (E) 194. 4. (EFOMM 2006) Sejam os conjuntos U = {1,2,3,4} e A = {1,2}. O conjunto B tal que BA = {1} e BA = U é (A) 0 (B) {1} (C) {1,2} (D) {1,3,4} (E) U.
AFA 5. (AFA 1998) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? Página | 13
(A) 31 (B) 37 (C) 47 (D) 51. R6. (AFA 1998) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20. 7. (AFA 1995) Assinale a afirmação correta. (A) A intersecção de conjuntos infinitos pode ser finita. (B) A intersecção infinita de conjuntos não vazios é vazia. (C) A reunião infinita de conjuntos não vazios tem infinitos elementos. (D) A intersecção dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B. 8. (AFA 1995) Analisando-se uma amostra populacional, com relação à altura, determinou-se: - 95% tem altura maior ou igual a 1,62m; - 8% tem altura menor ou igual a 1,62m. Qual o percentual de indivíduos com, exatamente, 1,62m? (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 13
ESCOLA NAVAL R9. (EN 2009) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 26 (D) 30 (E) 32. 10. (EN 1989) Considere os conjuntos A={x} e B={x,{A}} e as proposições: I - {A} B II- {x} A III- A B IV- B A V- {x , A} B As proposições FALSAS são: (A) I , III e V (B) II , IV e V (C) II , III , IV e V (D) I , III , IV e V (E) I , III e IV 11. (EN 1991) Sejam A, B e C conjuntos. A condição necessária e suficiente para que A(B∩C) = (AB)∩ C é: (A) A = B = C (B) A∩C = ∅ (C) A – C = ∅ (D) A = ∅ (E) AC = B Página | 14
ITA R12. (ITA 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a,b,c, d,e, f , g, h}. Sabendo que (BC A)C = {f, g, h}, BC A = {a, b} e AC \B = {d, e}, então, n(P( A B)) é igual a (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 4. (E) 8. 13. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. U e n(U) = 10. II. U e n(U) = 10. III. 5 U e {5} U. IV. {0, 1, 2, 5} {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) (A) apenas I e III. (B) apenas II e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas IV. (E) todas as afirmações.
NÍVEL B ITA R1. (ITA 2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que: n(AB)= 23, n(B–A)=12, n(C–A)=10, n(B C)= 6 e n(A B C)= 4, então n(A), n(A C) , n(A B C), nesta ordem, (A) formam uma progressão aritmética de razão 6. (B) formam uma progressão aritmética de razão 2. (C) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11. (D) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. (E) não formam uma progressão aritmética. R2. (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A então, o número máximo de elementos que S pode ter é: (A) 2n- 1 (B) n/ 2, se n for par, e (n + 1)/ 2 se n for ímpar (C) n + 1 (D) 2n – 1 (E) 2n – 1 + 1. 3. (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a: (A) 12 (B) 17 (C) 20 (D) 22 (E) 24. 4. (ITA 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A U, B U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que: I. Se A B = , então B AC. II. B\AC = B A. Página | 15
R5. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P() é igual a (A) 8. (B) 16. (C) 20. (D) 17. (E) 9. 6. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A B)= 8,n(A C)= 9, n(B C)= 10, n(A B C) = 11 e n (A B C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a (A) 11 (B) 14 (C) 15 (D) 18 (E) 25.
IME Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação , definida por X Y = (X – Y) (Y – X). Pode-se afirmar que (A) (X Y) (X Y) = Ø (B) (X Y) (X – Y) = Ø (C) (X Y) (Y – X) = Ø (D) (X Y) (X – Y) = X (E) (X Y) (Y – X) = X 7. (IME 2009)
NÍVEL C ESCOLA NAVAL R1. (EN 1988) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock , quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? (A) 5% (B) 10% (C) 20% (D) 45% (E) 70%.
ITA R2. (ITA 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) U (B\A) = A 3. (ITA 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C B \ A}) = 128. Então, das afirmações abaixo: I – n(B) – n(A) é único; II – n(B) + n(A) ≤ 128; III – a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única. É (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) nenhuma.
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4. (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma. 5. (ITA 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, n(B\C) = 3n(B C) = 6n(A B), n(A B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(C) b) Determine n(P(B\C)). 6. (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X – Y ) Z) = {7, 8}, X W Z = {2, 4}. Então o conjunto [X (Z W)] – [W (Y Z)] é igual a (A) {1, 2, 3, 4, 5} (B) {1, 2, 3, 4, 7} (C) {1, 3, 7, 8} (D) {1, 3} (E) {7, 8}.
Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y = , W (X –
7. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: (A) 28 – 9. (B) 28 –1. (C) 28 – 26. (D) 214 – 28. (E) 28. R8. (ITA 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A 1,...,Am} P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. Ai ≠ , i = 1 ,... , m II. Ai Aj = , se i ≠ j, para i, j = 1, ... , m III. A = A1 A2 ∙∙∙ Am Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A b) O número de partições de A que têm ordem 2 9. (ITA 2004) Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. b) Denotando P1(A)=P(A) e Pk + 1(A) = = P(Pk(A)), para todo número natural k 1, determine o menor k, tal que n(Pk(A)) 65000, sabendo que n(A) = 2.
NÍVEL C IME R10. (IME 2010) Sejam os conjuntos P1, P2 , S1 e S2 tais que (P2 S1) P1, (P1 S2) P2 E (S1 S2) (P1 P2). Demonstre que (S1 S2) (P1 P2).
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11. (IME 2011) Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C então A C. II. Se A B e B C então A C. III. Se A B e B C então A C. Estão corretas: (A) nenhuma das alternativas (B) somente a alternativa I (C) somente as alternativas I e II (D) somente as alternativas II e III (E) todas as alternativas 12. (IME 2000) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes. a) em 28 saiu uma face preta para o jogador I; b) em 25 saiu uma face branca para o jogador II; c) em 27 saiu uma face branca para o jogador III; d) em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II; e) em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I; f) em 4 saíram faces pretas para os três jogadores; g) em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III. Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. R13. (IME 1986-1987) Dados dois conjuntos A e B, define-se A B (A B) ( B A) . Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z X (Y Z) (X Y) (X Z).
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CAPÍTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO Definição: Sejam A, B IR , o produto cartesiano entre A e B é definido por: A B x, y : xA x B .
O Plano Cartesiano é obtido pelo produto cartesiano da reta por ela mesma, ou seja,
IR 2 IR IR x, y : x IR y IR . A representação gráfica do plano cartesiano é dada por um par de eixos perpendicurales, chamados eixos coordenados, cujo ponto em comum é chamado de origem do plano cartesiano. O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas e seus pontos são representados por x, 0, x IR . Quando x 0 o ponto localiza-se à direita da origem, caso contrário à esquerda,. O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas e seus pontos são representados por 0, y, y IR . Quando y 0 o ponto localiza-se acima da origem, caso contrário abaixo. Assim a origem é o ponto de coordenadas 0, 0 . Os pontos não pertencentes a nenhum dos eixos serão representados por x, y , x, y IR \ 0 , onde os valores de x e y são obtidos pelas coordenadas dos pontos de interseção das perpendiculares traçadas pelo ponto x, y aos eixos coordenados. Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões disjuntas chamadas quadrantes, desta forma define-se:
x 0 e y 0 x, y 1 Quadrante
x 0 e y 0 x, y 2 Quadrante x 0 e y 0 x, y 3 Quadrante x 0 e y 0 x, y 4 Quadrante
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As retas y x e y x são chamadas respectivamente de bissetrizes dos quadrantes ímpares e pares.
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EXERCÍCIOS NÍVEL C ITA R1. (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: I- Se (E x G) (F x H), então E F e G H. II- Se (E x G) (F x H), então (E x G) (F x H) = F x H. III- Se (E x G) (F x H) = F x H, então (E x G) (F x H) Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira (B) Apenas a afirmações (II) é verdadeira (C) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras (D) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras (E) Todas as afirmações são verdadeiras. 2. (ITA 1989) Sejam A, B e C subconjuntos de IR , não vazios, e A–B = {p IR; p A e p B}. Dadas as igualdades: 1-(A–B)xC = (AxC) – (BxC) 2-(A–B)xC = (AxB) – (BxC) 3-(A B)–A (A B) – B 4-A–(BC) = (A–B) (A–C) 5-(A–B)(B–C) = (A–B)(A–B) Podemos garantir que: (A) 2 e 4 são verdadeiras. (B) 1 e 5 são verdadeiras. (C) 3 e 4 são verdadeiras. (D) 1 e 4 são verdadeiras. (E)1 e 3 são verdadeiras.
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CAPÍTULO 4 - RELAÇÃO Definição: Sejam A, B IR , uma Relação R de A em B é um subconjunto qualquer de A B . Em particular, uma Relação R de IR em IR é um subconjunto qualquer de IR 2 . Assim, a região abaixo é um exemplo de um gráfico de uma relação de IR em IR.
Definição: O Domínio e a Imagem de uma relação R de A em B são definidos por: D R x :
x, y R .
Im R y : x, y R .
Definição: Seja R uma Relação de A em B, a Relação Inversa R 1 de B em A é definida por:
R 1 y, x : x, y R . Em particular, o gráfico de um relação e da sua relação inversa são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares.
Definição: Uma Relação de A em B é dita Reflexiva se e somente, se:
x A,
x, x R . Página | 22
Definição: Uma Relação de A em B é dita Simétrica se e somente, se:
x , y R y, x R . Definição: Uma Relação de A em B é dita Antissimétrica se e somente, se:
x , y R y, x R
x, y y, x .
Definição: Uma Relação de A em B é dita Transitiva se e somente, se:
x,y R x, z R . y,z R Definição: Uma Relação de A em B é dita de Equivalência se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Simétrica e Transitiva. Definição: Uma Relação de A em B é dita uma Relação de Ordem se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Antissimétrica e Transitiva.
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EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R1. (EFOMM 2006) Dados A = {2,3,4} e B = {1,6,8,12}, a relação R1 = {(x,y) A x B y = x + 4} de A em B é dada por: (A) {(3,6), (4,8)} (B) {(2,6), (4,8)} (C) {(6,2), (8,4)} (D) {(2,6), (3,12), (4,8)} (E) {(2,1), (3,6), (4,8)}
NÍVEL C IME R1. (IME 1986) Seja N* o conjunto dos números naturais não nulos e n N*. Mostre que a relação Rn = {((a, b) a, b N* e a – b é múltiplo de n } é uma relação de equivalência. R2. (IME 1984) Dada a matriz M = (mij )
1 0 M= 1 1
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
e o conjunto A = {a1; a2; a3; a4}, define-se em A uma relação R por: ai R aj m i j = 1 Verifique se R é uma relação de equivalência. 3. (IME 1983) Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relação m por Rm = {(i; j) i = j + km; k inteiro}. Mostre que m é uma relação de equivalência.
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CAPÍTULO 5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS OPERAÇÃO Uma operação definida em um conjunto é uma relação que associa a dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou seja, *: A A B
a1 , a 2 * a1 , a 2 : a1 * a 2
Quando o resultado da operação for um elemento de A, a operação é dita fechada, assim, *: A A A
a1 , a 2 * a1 , a 2 : a1 * a 2
É uma operação fechada.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 1-Números Naturais: IN
0,1, 2, 3, ..... .
IN * 1, 2, 3, .... . A soma e a multiplicação de dois números naturais são exemplos de operações fechadas neste conjunto, logo: : IN IN IN
a , b a , b : a b
e : IN IN IN
a , b a , b : a b
Em particular, a soma e a multiplicação gozam das seguintes propriedades: a, b e c IN , temos:
1.1-Associatividade (Adição):
a
b
ca
b c .
1.2- Comutatividade (Adição):
a b b a. 1.3- Existência de elemento neutro (Adição): e s IN : a e s e s a a , a IN .
Em relação aos números naturais o elemento neutro da adição é o número zero. 1.4- Associatividade (Multiplicação):
a b c a bc . Página | 25
1.5- Comutatividade (Multiplicação):
a b b a . 1.6 - Existência de elemento neutro (Multiplicação):
e p IN : a e p e p a a , a IN . Em relação aos números naturais, o elemento neutro da multiplicação é o número um. 1.7- Distributividade da multiplicação em relação à adição: a b c a b a c .
1.8- Não existem divisores de zeros: a 0 a , b IN : a b 0 ou . b 0
2-Números Inteiros: Z
..., 2, 1, 0,
Z*
1, 2, .... .
..., 2, 1, 1, 2, ... .
Repare que IN Z , porém existem números inteiros que não são números naturais, cuja necessidade se percebe quando se tenta resolver, por exemplo, a seguinte sentença:
x 2 0. De fato, suponha que haja solução natural, então,
x IN x 0 x 2 2 0 x IN. Definindo a soma e a multiplicação de maneira natural, defini-se a operação de subtração por: : Z Z Z
a , b a , b : a b a (b ).
As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas em relação ao conjunto dos números inteiros, além disso, estas operações gozam das mesmas propriedades dos números naturais e da seguinte: 2.1- Inverso aditivo: a Z, b Z : a b b a 0, b a .
3-Números Racionais:
p Q : p Z q Z* . q p Q * : p Z* q Z* . q Página | 26
Repare que IN Z Q , porém existem números racionais que não são números inteiros, cuja necessidade é percebida quando se tenta resolver a seguinte sentença:
2x 1 0 . De fato, suponha por absurdo que haja solução inteira, então, x Z 2x 1 impar x Z.
Definindo a soma, a multiplicação e a subtração de maneira natural, define-se a operação de divisão por: : Q Q* Q
a , b a , b : a b a 1 a . b
b
O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão, sempre que definida, e goza das mesmas propriedades dos números inteiros e da seguinte: 3.1- Inverso Multiplicativo:
a Q* , b Q : a b b a 1, b a 1 . 4-Números Reais: A esta altura o leitor pode se perguntar se todo número pode ser escrito sob a forma de fração, a resposta para esta pergunta é não. Existe a necessidade de outros tipos de números, isto é percebido, por exemplo, quando se tenta resolver a equação:
x2 2 . De fato, suponha que a solução desta equação seja um número racional, dito isto, sabemos que x pode ser escrito como a razão de dois números inteiros, sejam p e q inteiros com q não nulo e tais que:
p x , p Z e q Z* , mdc (p, q) 1 q Então 2
p x 2 2 p 2 2q 2 2 | p 2 2 | p p 0 Z : p 2p 0 . q 2
Logo,
2p0 2 2q 2 q 2 2p0 2 2 | q 2 2 | q q 0 Z : q 2q 0
O que implica mdc(p, q) 2.
O que é um absurdo uma vez que por hipótese p e q são primos entre si. Logo há a necessidade que existam números que não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. Estes números serão chamados de números Irracionais. Define-se o conjunto dos números reais como a união do conjunto dos números racionais e dos números irracionais. Geometricamente os números reais IR podem ser representados pela reta, o que define uma bijeção entre estes conjuntos, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real da mesma forma que a cada número real corresponde um único ponto da reta. Esta bijeção está definida a menos de um ponto fixo chamado origem que representa o número zero e de uma escala que define o sistema de unidade, em particular, esta escala também define os números naturais e os números inteiros. Página | 27
Os números racionais podem ser obtidos construindo-se primeiramente os racionais positivos menores que um, a partir de construções geométricas, depois estes são levados a toda a reta a partir de translações. Diante do que foi dito acima temos que IN Z Q IR . O conjunto dos números reais é fechado em relação às quatros operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, esta última estando definida. Além disso, o conjunto dos números reais goza das mesmas propriedades relativas a adição e multiplicação que os números racionais. O conjunto dos números reais munido das operações soma e produto é chamado de corpo dos números reais. 4.1-Intervalos:
a, b x IR :
axb
a, b x IR :
axb
a, b x IR : a x b a, b x IR : a x b a, x IR : a x
a, x IR : a x , a x IR : x a , a x IR : x a Definem-se também os seguintes conjuntos: Inteiros Positivos:
Z* 1, 2, 3, ... . Inteiros não-negativos:
Z 0, 1, 2, 3, ... . Inteiros negativos:
Z* ..., 3, 2, 1 . Inteiros não-positivos: Z ...., 3, 2, 1, 0 .
Racionais Positivos: p p Q* Q : 0 . q q
Racionais não-negativos:
p p Q Q : 0 q q Página | 28
Racionais negativos:
p p Q* Q : 0 . q q Racionais não-positivos: p p Q Q : 0 . q q
Reais Positivos:
IR * x IR : x 0 . Reais não-negativos:
IR x IR : x 0 . Reais negativos:
IR * x IR : x 0 . Reais não-positivos:
IR x IR : x 0 .
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EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R1. (AFA 2011) Se α = 2. 2 2. 2 2 2 . 2 2 2 , então (A) α (IR – IN) (B) α pode ser escrito na forma α = 2k, k Z (C) α [(Q – Z) (IR – Q)] (D) [(Z ∩ Q) ∩ (IR – IN)] α 2. (AFA 2008) Analise as alternativas abaixo e marque a correta. (A) Se = B {m ∈ N | m² < 40}, então o número de elementos do conjunto B é 6. 1 1 (B) Se α = , então α ∈[(IR − Q) ∩ (IR − Z)] 2 1 2 1 (C) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente. (D) Se A =]1, 5[ e B =]−3,3[, então B−A=]−3,1[. R3. (AFA 2005) Considere um subconjunto A contido em N * e constituído por y elementos dos quais: 13 são múltiplos de 4 7 são múltiplos de 10 5 são múltiplos de 20 e 9 são números ímpares. É correto dizer que y é um número: (A) par menor que 19. (B) múltiplo de 12. (C) ímpar entre 10 e 20. (D) primo maior que 21.
ESCOLA NAVAL R4. (EN 1993) Sejam A = [0,2], B = (–1,2] e C = (1,3). O complemento de A(B–C) em relação ao conjunto B é igual a: (A) (–1,0) [1,2] (B) (–1,2) (C) (–1,0] [1,2] (D) (–1,1] (E) (–1,0) (1,2]
NÍVEL B ITA R1. (ITA 2004) Seja o conjunto S = {r Q : r 0 e r2 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I.
5 7 S e S 4 5
II. {x IR : 0 x
2 }S=
III. 2 S. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) I (E) II Página | 30
NÍVEL C ITA 1. (ITA 2012) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1−r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações: I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) I, II e III.
IME 2. (IME 1993) Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta. a) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais; b) Existe um número em Q (racionais) cujo quadrado é 2; c) O ponto correspondente a
66 55 77 na escala dos números reais R está situado entre os pontos e . 77 66 88
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CAPÍTULO 6 - FUNÇÃO Definição: Sejam A, B IR , uma Função de A em B é uma Relação de A em B tal que a cada elemento de A é associado um único elemento de B. Representa-se uma Função de A em B por:
f :A B
x f x O gráfico de uma Função de A em B é a representação dos pontos da função no plano cartesiano, em particular: G f x, f x : x A A B
Em seguida o gráfico de uma função e o gráfico de uma relação.
De fato, existem pontos no domínio da circunferência tais que a reta perpendicular ao eixo das abscissas intercepta o seu gráfico em mais de um ponto. O Domínio e o Contradomínio e a Imagem de uma Função de A em B, são definidos por: Df A CDf B
Im f f A
y B : x A , f x y
.
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Classificação de Funções: Função Injetora: Uma função é injetora se e somente, se quaisquer dois elementos distintos do seu domínio possuírem imagens distintas, ou seja, f é injetora x1 , x 2 A : x1 x 2 f x1 f x 2 .
O gráfico abaixo é um exemplo de gráfico de função injetora.
Já o próximo não é um exemplo de gráfico de função injetora, uma vez que existe ponto na imagem tal que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.
Função Sobrejetora: Diremos que uma função é sobrejetora se e somente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio, ou seja, f é sobrejetora Im f CDf
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Seja
f : a, b c, d
dependendo do conjunto imagem f pode ser uma função sobrejetora,
Ou não:
No segundo caso existem pontos no contradomínio tais que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas por estes pontos não intercepta o gráfico da função. Função Bijetora: Diremos que uma função é bijetora se e somente se for injetora e sobrejetora, ou seja, f é Bijetora f é Injetora e Sobrejetora
Em seguida o gráfico de uma função bijetora.
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Classificação de Funções quanto ao crescimento: Função Crescente: Seja f : A B f é crescente
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
Função Decrescente: Seja f : A B f é decrescent e
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
Obs.: Estas funções também podem ser chamadas de funções estritamente crescentes ou estritamente decrescentes. Obs.: Toda função crescente ou decrescente é injetora. Função não Crescente: f é não crescente
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
Função não Decrescente: f é não decrescent e
x1 , x 2 A , x1 x 2
f x1 f x 2
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Função Monótona:
f é crescente ou f é de crescente f é monótona ou f é não crescente ou f é não de crescente
Classificação de Funções quanto à Paridade: Função Par: Seja f : A B
f é par x A , f x f x
Obs.: O gráfico de uma função par é simétrico em relação aos eixos das ordenadas. Função Ímpar: Seja f : A B
f é ímpar x A , f x f x
Obs.: O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema de coordenadas.
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Classificação de Funções quanto à Periodicidade: Função Periódica: Seja f : A B
f é periódica T 0 : x A , f x T f x
O Período de uma função periódica é definido por:
P mín T : TIR * , f x T f x , x A
Em seguida o gráfico de uma função periódica:
Obs.: Existem funções periódicas que não possuem período, por exemplo, as funções constantes,
f :A B x f (x) b
Função Composta: Sejam f : A B , g : C D funções, e os conjuntos B e C tais que, B C , define-se A Função Composta de f por g por:
gf : A D x y : g f ( x ) g ( f ( x ) )
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Função Inversa: Uma vez que uma função f : A B é uma relação, sempre existe a sua relação inversa R f : B A . O Teorema seguinte dá condições para que a relação inversa de uma função também seja uma função. Teorema: Seja f : A B uma função, então: f é bijetora R f 1 : B A é função
Se f : A B é uma Função Bijetora, então a Relação Inversa de B em A é uma função e é chamada de Função Inversa de B em A f 1 : B A . Em particular,
f f 1 y y , y B f f 1 id B
f 1 f x x , x A f 1 f id A
Onde idA é a função identidade restrita ao conjunto A. Obs.: Caso f : IR IR então
f f 1 f 1 f id Ou seja,
f f 1 (x) f 1 f (x) x , x IR Teorema: O gráfico de uma função bijetora e o gráfico da sua função inversa são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta y x .
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EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA 1. (AFA 2009) Um estudo sobre a concentração de um candidato em provas de memorização indicou que, com o tempo decorrido, sua capacidade de reação diminui. 2t 1 A capacidade de reação (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em horas, podem ser expressos pela relação E = . 1 t 3 Sendo assim, é INCORRETO afirmar que (A) a concentração tende a ser máxima por volta de 20 minutos do início da prova. (B) a cada intervalo de 1h de prova há uma queda de 33, 3 % na capacidade de reação. (C) a capacidade de reação nunca é menor que 2 (D) se a capacidade de reação é 24, então o tempo t decorrido é maior que 24 minutos. R2. (AFA 2005) Observe os gráficos abaixo, das funções f e g, definidas no intervalo [ 0 , 1 ]
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Com base nos gráficos, assinale a alternativa FALSA. (A) g(f (0,4)) g(f (x)) , x [ 0 , 1 ] . (B) g(f (0,6)) g(f (1)) . (C) g(f (0,05)) g(f (0,1)) . (D) g(g(x)) x , x [ 0,3 ; 0,8 ] . R3. (AFA 2001) Se f e g são funções de IR em IR definidas por f(3x+2) = (A)
x4 5
3x 2 e g(x – 3) = 5x – 2, então f(g(x)) ;e: 2
5x 9 2 (C) 5x + 13 (B)
(D)
5x 11 . 5
4. (AFA 2001) Os números inteiros do domínio da função real f (x) (5 2x) (2 3x) são as raízes da equação g(x) 0 . Uma expressão analítica da função g( x ) é: (A) x 3 x 2 2x (B) x 3 x 2 2x 3 2 (C) x 3x 2x 3 2 (D) x 3x 2x .
R5. (AFA 1999) Seja D = 1,2,3,4,5 e f: D R, a função definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Então, pode-se afirmar que f (A) é bijetora. (B) é somente injetora. (C) é somente sobrejetora. (D)possui conjunto imagem com 3 elementos.
ESCOLA NAVAL R6. (EN 2011) Considere f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n + 2) = 3 + f(n), n N, f(0) = 10 e f(1) = 5. Qual o valor de f (81) f (70) ? (A) 2 2 (B) 10 (C)2 3 (D) 15 (E) 3 2
R7. (EN 1993) Sejam h(x) = x3, t(x) =
1 , x –1 e, f(x) = t(h(2x)). O valor de f-1(1/9) é: 1 x
(A) –2 (B) –1 (C) 1 (D) 2 (E) 3 8. (EN 1990) Se, para todo x real, f(2x + 3) = 3x + 2 então f [f(x)] é igual a: (A) x
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x3 2 3x 5 (C) 2 9x 25 (D) 4 (E) 9x + 4
(B)
9. (EN 1989) Sabendo que f , g e h são funções reais de variável real e que f e g não se anulam, considere as afirmações abaixo : I - fo (g + h) = fog + foh II - (g + h) of = gof + hof III -
1 1 og fog f
1 1 fo fog g Podemos afirmar que: (A) todas as afirmativas acima são verdadeiras. (B) somente I a II são verdadeiras (C) somente a IV é falsa (D) somente II e III são verdadeiras. (E) somente I é falsa. IV -
R10. (EN 1988) Seja x {-1, 0, 1}. Se f1 (x) = (A) (B) (C) (D) (E)
x 3 x 1 x x3 1 x 3 x x 1 x3 . x 1
x 3 x 1
e fn+1 (x) = f1 f n (x) para todo n natural, então f1988(x) igual a:
NÍVEL B ITA R1. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: I. {0} S e S U II. {2} S\ U e S T U = {0, 1} III. Existe uma função f : S Tinjetiva. IV. Nenhuma função g : T Sé sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas IV. (C) apenas I e IV. (D) apenas II e III. (E) apenas III e IV.
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IME R2 (IME 2007) Seja f : IR IR, onde IR é o conjunto dos números reais, tal que: f (4) 5 f ( x 4) f ( x ) . f (4)
O valor de f(–4) é: (A) –
4 5
1 4 1 (C) – 5 1 (D) 5 4 (E) . 5
(B) –
R3. (IME 2006-2007) Considere os conjuntos A={(1,2),(1,3),(2,3)} e B={1,2,3,4,5}, e seja a função f : A B =x+y É possível afirmar que f é uma função: (A) injetora (B) sobrejetora (C) bijetora (D) par (E) ímpar.
tal que: f(x,y)
NÍVEL C EFOMM R1. (EFOMM 2009_2010) Seja f: R R uma função estritamente decrescente, quaisquer xl e x2 reais, com xl < x2 tem-se f(xl) > f(x2) Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. I - f é injetora . II - f pode ser uma função par. III- Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. Assinale a opção correta. (A) Apenas as afirmativas I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
ITA R2. (ITA 2005) Seja D = R \ {1} e f : D D uma função dada por f(x) =
x 1 . Considere as afirmações: x 1
I. f é injetiva e sobrejetiva II. f é injetiva, mas não sobrejetiva 1 x
III. f(x) + f = 0,para todo x D, x 0 IV. f(x) . f(–x) 1 , para todo x D Então, são verdadeiras
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(A) apenas I e III. (B) apenas I e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas I, III e IV. (E) apenas II, III e IV. R3. (ITA 2003) Considere uma função f : IR IR não- constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y), x, y IR. Das afirmações: I. f(x) > 0, x IR. II. f(nx) = [f(x)]n, x IR, n IN*. III. f é par. é (são) verdadeira(s): (A) apenas I e II. (B) apenas II e III. (C) apenas I e III. (D) todas. (E) nenhuma. 4. (ITA 2003) Mostre que toda função f : IR \ {0} IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. 5. (ITA 2002) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por: f(x) =
ax b , –c < x < c. xc
Então f(x), para – c < x < c, é constante e igual a (A) a + b. (B) a + c. (C) c. (D) b. (E) a. R6. (ITA 2010) Seja f : IR IR bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f –1 : IR IR também é ímpar. 7. (ITA 2010) Sejam f, g : R R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações I. f . g é ímpar, II. f g é par, III. g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e II (E) todas. 8. (ITA 2009) Seja f: IR → IR \ {0} uma função satisfazendo às condições: f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y IR e f(x) ≠ 1, para todo x IR \ {0}. Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f (0) =1. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x IR. é(são) falsa(s) apenas (A) I e III. (B) II e III. (C) I e IV. (D) IV. (E) I.
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9. (ITA 2009) Seja f : IR \ {–1} → IR definida por f(x) =
2x 3 x 1
a) Mostre que f é injetora. b) Determine D= {f(x), x IR \ {−1}} e f −1 : D → IR\ {−1}. R10. (ITA 2001) Se f : ] 0,1 [ IR é tal que, x ] 0, 1[ ,
f (x)
1 e 2
1 x x 1 f f 4 2 2 então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é: 1 1 (A) f ( x ) n 2 2 1 1 (B) n f ( x ) 2 2 1 1 f (x) (C) n 2 2 1 1 (D) f ( x ) n 2 1 (E) f ( x ) n . 2 f(x) =
11. (ITA 1999) Sejam f, g, h: R R funções tais que a função composta h o g o f:R R é a função identidade. Considere as afirmações: I– A função h é sobrejetora. II– Se xo R é tal que f(x0) = 0, então f(x) 0 para todo x R com x x0. III– A equação h(x) = 0 tem solução em R. Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. (B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. (C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são falsas. 12. (ITA 1997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f , g : R R definidas por: 0, se x Q f (x) 1, se x I 1, se x Q g( x ) 0, se x I
Seja J a imagem da função composta f o g: R R. Podemos afirmar que: (A) J = R (B) J = Q (C) J = {0} (D) J = {1} (E) J = {0, 1}. R13. (ITA 1997) Seja f, g : R R funções tais que g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3, para todo x R. Então f[g(x)] é igual a (A) (x – 1)3 (B) (1 – x)3 (C) x3 (D) x (E) 2 – x. Página | 44
14. (ITA 1996) Seja f : R * R uma função injetora tal que f (1) = 0 e f (x . y) = f (x) + f (y) para todo x > 0 e y > 0. Se x 1, x2, 5
x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que f ( x i ) = 13 f (2) i 1
4
x + 2 f (x1) e f( i ) = – 2 f (2 x1), então, o valor de x1 é: xi 1 i 1 (A) –2 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 1. 15. (ITA 1993) Seja f: IR IR uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes informações: I. f(p) 0 II. f(–x) = –f(x–p), x IR III. f(–x) = f(x–p), x IR IV. f(x) = –f(–x), x IR Podemos concluir que: (A) I e II são falsas (B) I e III são falsas (C) II e III são falsas (D) I e IV são falsas (E) II e IV são falsas R16. (ITA 1992) Dadas as funções f:IR IR e g: IR IR, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog. Então podemos afirmar que: (A) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (B) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (C) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível. (D) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. (E) n.d.a 17. (ITA 1991) Considere as afirmações: I- Se f: IR IR é uma função par e g: IR IR uma função qualquer, então a composição gof é uma função par. II- Se f: IR IR é uma função par e g: IR IR uma função ímpar, então a composição fog é uma função par. III- Se f: IR IR é uma função ímpar e inversível então f -1: IR IR é uma função ímpar. Então: (A) Apenas a afirmação I é falsa; (B) Apenas as afirmações I e II são falsas; (C) Apenas a afirmação III é verdadeira; (D) Todas as afirmações são falsas; (E) n.d.a. 18. (ITA 1990) Seja a função f: IR – {2} IR – {3} definida por f(x) =
2x 3 1 . Sobre sua inversa podemos garantir que: x2
(A) não está definida pois f é não injetora. (B) não está definida pois f não é sobrejetora.
y2 , y 3. y3 y5 (D) está definida por f-1 (y) = – 1, y 3. y3 2y 5 (E) está definida por f-1 (y) = , y 3. y3 (C) está definida por f-1 (y) =
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IME (19) (IME 2011_2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real, f (x) a
2
(x b) (x c) 2 (x c) (x a) 2 (x a) (x b) b c , obtém –se f(x) igual a : (a b) (a c) (b c)(c a) (c a)(c b)
(A) x2 – (a + b + c)x + abc (B) x2 + x – abc (C) x2 (D) –x2 (E) x2 – x + abc 20. (IME 2009) Sejam f uma função bijetora de uma variável real, definida para todo conjunto dos números reais e as relações h e g, definidas por: h : IR 2 IR 2
x, y h x, y x 3 , x f y e g : IR 2 IR 2
x, y g x, y x 3 , x f y Pode-se afirmar que (A) h e g são sobrejetoras. (B) h é injetora e g sobrejetora. (C) h e g não são bijetoras. (D) h e g não são sobrejetoras. (E) h não é injetora e g é bijetora. R21. (IME 2004) Seja uma função f : IR – {0} IR, onde IR representa o conjunto dos números reais, tal que f(a / b) = f(a) – f(b) para a e b pertencentes ao domínio de f. Demonstre que f é uma função par. n
R22. (IME 2007) Seja f : IN IR uma função tal que
(n 1)
f (k) 2008 (n 2) , onde N e IR são, respectivamente, o conjunto k 0
dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de 1 . f (2006)
R23. (IME 1996) Seja f uma função real tal que x, a IR : f(x + a) =
1 + 2
f ( x ) [f ( x )]2 , f
é periódica? Justifique.
24. (IME 1992-1993) 2. Considere uma função
L:IR IR que satisfaz: 1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 x y L x L y . 2. L xy L x L x , x, yIR . Mostre que: a) L 1 0 ;
1 x
b) L L x , x IR ;
x c) L L x L y , x e y IR ; y Página | 46
d) L x n nL x , x IR e n IN ; e) L
x n1 L x , xIR n
e n IN, n 2 ;
f) 0 x 1 y L x 0 L y L.
R25. (IME 1987) Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por h :IR 2 IR 2
x, y h x, y x 3 , x f y Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que g h x, y x, y , x, y IR
h g x, y x, y , x, y IR
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CAPÍTULO 7 - FUNÇÃO CONSTANTE Definição: Seja b IR , a relação:
f : IR IR x f ( x ) b, é uma função, chamada função constante. Definida a função temos D f IR CDf IR
Im f b .
Gráfico:
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CAPÍTULO 8 - FUNÇÃO DO 1° GRAU Definição: Sejam a IR * e b IR , a relação: f : IR IR x f ( x ) a x b,
é uma função, chamada Função do 1° Grau ou Função Afim, denomina-se o parâmetro a por coeficiente angular e o parâmetro b por coeficiente linear. Definida assim temos: D f IR CD f IR Im f IR .
Gráfico: O gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que se determine a sua raiz, bem como seu comportamento. A raiz de uma função é o valor de x tal que f ( x ) 0 , em particular, a raiz de uma função do 1° grau é obtida resolvendo-se a equação do 1° grau associada. Ou seja, b .. a O próximo passo é determinar o comportamento da função do 1° Grau, que é dado pelo coeficiente angular. f ( x ) 0 ax b 0 , a 0 ax b x
Se a 0 então a função do 1° Grau é crescente. De fato f ( x1 ) f ( x 2 ) a x 1 b a x 2 b a x1 a x 2 x 1 x2 . Analogamente se a 0 a Função do 1° Grau é decrescente. Resumindo:
b a
O gráfico de uma função do 1° grau tem em comum com o eixo das abscissas o ponto de coordenadas ( , 0 ) e com o eixo das ordenadas o ponto de coordenadas ( 0, b ) e o seu comportamento é dado pelo sinal do coeficiente angular, caso este seja positivo a função será crescente, caso contrário, será decrescente.
Em particular a função do 1 ° grau é sobrejetora, pois, CDf Im f e é injetora, pois, f ( x1 ) f ( x 2 ) a x 1 b a x 2 b a x1 a x 2 x 1 x 2 , a 0.
A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do 1° grau, nos diferentes casos. Página | 49
1° Caso: a < 0 e b > 0
2°Caso: a < 0 e b < 0
3° Caso: a > 0 e b < 0
4°Caso: a > 0 e b > 0
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Analisando os gráficos acima concluímos que o sinal da função do 1° grau é obtido de acordo com o sinal do coeficiente angular, ou seja, com o sinal de a. Resumindo: À direita da raiz a função do 1° grau tem o mesmo sinal do coeficiente angular.
Obs.: Se b 0 a função do 1° grau pode ser chamada de função linear, neste caso o gráfico contém a origem do plano cartesiano.
Obs.: Nem toda relação cujo gráfico é uma reta é uma função do 1° grau, em particular podemos ter uma função constante Página | 51
f : IR IR x f (x) b
Ou simplesmente uma relação R : ( c, y ) : y IR
x
EQUAÇÃO DO 1° GRAU * Definição: Sejam a IR , b IR , a equação do 1° grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente à:
a x b 0. Discussão de equações do tipo ax b 0 : Seja ax b 0 onde a , b IR , então: Se a 0 a equação ax b 0 é uma equação do 1° grau, neste caso a equação é classificada como possível e determinada e
b S . a
a 0 A equação ax b 0 se reduz à: Página | 52
0x b 0 Assim temos dois casos a analisar b 0 e b 0 . Se a 0 e b 0 a equação se reduz a
0x 0 0 Assim S IR já que todo número real é solução, neste caso a equação é classificada como possível e indeterminada. Se a 0 e b 0 a equação se reduz a 0 x b 0 e neste caso S equação é classificada como impossível.
já que nenhum número real é solução, neste caso a
Resumindo:
a 0 Equação Possível e det er min ada a 0 e b 0 Equação Possível e in det er min ada a 0 e b 0 Equação Im possível
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU * Definição Sejam a IR , b IR , uma inequação do 1° grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente a
a x b 0 ou a x b 0 ou ax b 0 ou a x b 0 A solução de uma inequação do 1° grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do 1° grau correspondente.
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EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R1. (AFA 2012) Para angariar fundos de formatura, os cadetes do 1º ano da AFA vendem camisas de malha com o emblema da turma. Se o preço de venda de cada camisa é de 20 reais, eles vendem por mês 30 camisas. Fizeram uma pesquisa e verificaram que, para cada 2 reais de desconto no preço de cada camisa, são vendidas 6 camisas a mais por mês. Dessa forma é correto afirmar que (A) é possível fazer mais de 10 descontos de 2 reais. (B) tanto faz vender as camisas 12 reais cada uma ou 18 reais cada uma que o faturamento é o mesmo. (C) o máximo faturamento ocorre se são vendidas menos de 40 camisas por mês. (D) se o preço de venda de cada camisa é de 14 reais, então o faturamento é maior que 680 reais.
R2. (AFA 2010) Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis α , β e γ para x quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções.
Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando x ]m, + ∞[ , m IR. O menor valor possível para m é (A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 90 3. (AFA 2009) Considere as funções reais f : IR → IR dada por f(x) = x + a, g : IR → IR dada por g(x) = x – a, h : IR → IR dada por h(x) = – x – a Sabendo-se que a < 0, é INCORRETO afirmar que (A) h(x) f(x) < g(x) x –a (B) ∄x IR g(x) f(x) (C) se x < a, então f(x) < g(x) < h(x) (D) se a < x < – a, então f(x) < h(x) < g(x).
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R4. (AFA 2008) " A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e ao aumento da alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em bilhões de reais por ano)".
Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico acima é linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y% representa o aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto afirmar que y é um número do intervalo: (A) [8, 9[ (B) [9, 10[ (C) [10, 11[ (D) [11, 12[ 5. (AFA 2008) Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à Receita federal no ano de 2007 – ano base 2006 (valores arredondados para facilitar os cálculos). Rendimento para base de cálculos (R$) até 14.999,99 de 15.000,00 a 30.000,00 acima de 30.000,00
Alíquota (%) Isento 15 27,5
Parcela a deduzir (R$) – 2.250,00 6.000,00
Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. Esse rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 50.000,00 teve direito às seguintes deduções: R$ 4.400,00 com o total de gastos em educação, R$ 5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$ 1.500,00 por dependente. Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este trabalhador, no ano de 2007, foi de R$ 3.515,00, o número de dependentes considerado foi: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 R6. (AFA 2005) Seja: 24 A x N* | n e nN x Seja: 3x 4 B x Z | 1 0 2 x 9 É incorreto afirmar que: (A) A B tem 8 elementos. (B) A B . (C) B A 0 . (D) A B B .
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7. (AFA 2005) Seja f a função real cujo gráfico se apresenta a seguir:
Analisando o gráfico, é INCORRETO afirmar que: (A) f (f (1)) f (0,5) . (B) f (0) f (x) , x R . 5 (C) se g(x) f (x) 1 , então g(2) f . 2 (D) f (x) 1 0 , x R .
8. (AFA 2003) Analise o gráfico abaixo das funções f e g e marque a opção correta.
(A) O gráfico da função h(x) = g(x) – f(x) é uma reta ascendente. (B) O conjunto imagem da função s(x) = f(g(x)) é IR (C) f(x) . g(x) 0 x t (D) g(f(x)) = g(x) x IR. x 1, se x 1 R9. (AFA 2003) Considere a função f: IRIR tal que f ( x ) e assinale a alternativa verdadeira. 1 x, se x 1 (A) f é sobrejetora. (B) f é par. (C) f não é par nem ímpar. (D) Se f é definida de IR em IR + , f é bijetora.
10. (AFA 2003) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função real f em que f(x) representa o preço, pago em reais, de x quilogramas de um determinado produto. (Considere f(x) IR)
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De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar que (A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 18,00. (B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas do produto. (C) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas do produto. (D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333... quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto.
R11. (AFA 2002) Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte.
Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais, (A) menor que 4500 (B) maior que 4500 e menor que 7000 (C) múltiplo de 7500 (D) um número que NÃO divide 12000. R12. (AFA 1999) Seja f uma função real do primeiro grau com f(0) = 1 + f(1) e f(–1) = 2 – f(0). Então, o valor de f(3) é (A) –3. (B) –2,5. (C) –2. (D)–1,5. R13. (AFA 1994) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dólares e daqui a 5 anos 1.000 dólares, o seu valor em dólares, daqui a 3 anos, será: (A) 3600 (B) 4200 (C) 4600 (D) 5000
ESCOLA NAVAL 1 R14. (EN 1993) Temos < 2 se e somente se: x (A) x > 1/2 (B) x < 1/2 (C) 0 < x < 1/2 (D) x < 0 ou x > 1/2 (E) x < 0
NÍVEL B EFOMM
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R1. (EFOMM 2010) O gráfico das três funções polinomiais do 1° grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(x), b(x) e c (x) estão representadas abaixo.
Nessas condições, o conjunto solução da inequação
(a(x))5 .(b(x))6 0 (c(x))3
(A) (–4;–1) U [3;+) (B) [–4;–1] U [3;+ ) (C) (–;–4) U [–1;+ ) (D) [4;+ ) (E) R – {4} 2. (EFOMM 2007) Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Cláudio na B e obtiveram o mesmo valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9.
AFA 3. (AFA 2011) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas.
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender (A) no mínimo 2 bolsas. (B) pelo menos 1 bolsa. (C) exatamente 3 bolsas. (D) no mínimo 4 bolsas. Página | 58
5. (AFA 2002) “O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia 1 o de junho começa o plano de racionamento de energia.” “O modelo energético brasileiro é baseado quase que exclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida no país. Sem chuva, entra em colapso”. Revista Veja – 16/05/01 No gráfico abaixo, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica.
Analise as alternativas e marque a opção correta. (A) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. (B) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes até o ano 2000. (C) Após o ano de 2000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. (D) No período de 1995 a 2000, o nível da água só diminuiu. 6. (AFA 1995) A função linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a condição f(5x + 2) = 5f(x) + 2. Então (A) a = 2b (B) a = b + 2 (C) a = 2b + 1 (D) a = 2(b + 1)
ESCOLA NAVAL R7. (EN 1991) Representemos por min (a , b) o menor dos números a e b, isto é, a , se a b min (a , b) = b, se a b A solução da inequação min (2x + 3, 3x – 5) < 4 é: (A) x < 1/2 (B) x < 3 (C) 1/2< x < 3 (D) x > 1/2 (E) x > 3
NÍVEL C AFA
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1. (AFA 2007) No gráfico abaixo estão representadas as funções reais f e g sendo A = f g
É FALSO afirmar sobre as mesmas funções que (A) (fog)(x) 0 g(x) –2
1
(B) se s(x) =
100
[f ( x )]
101
.[g( x )]
, então o domínio de s é dado por IR * –{–2}
(C) o gráfico da função j definida por j(x) =
f 1 ( x )
possui pontos no 4º quadrante g 1 ( x ) (D) se h: IR → B tal que h(x) = f(x) . g(x), então h será bijetora se B = [–2, +[
ESCOLA NAVAL 2. (EN 1991) Determine o conjunto-imagem da função (fog) para: 0 se x 0 f (x) 2x se 0 x 1 0 se x 1
e
1 se x 0 g(x) x / 2 se 0 x 1 1 se x 1
(A) [0 , 1] {2} (B) (–∞ , +∞) (C) [0 , 1] (D) [0 , +∞) (E) {1}
ITA 0 x 1/ 2 2x, . 2x 1, 1/ 2 x 1
R3. (ITA 2006) Seja f : [0, 1) IR definida por f(x) =
1 / 2 x 0 f ( x 1 / 2 ), Seja g : (-1/2, 1/2) IR dada por g(x) , 0 x 1 / 2 1 f ( x 1 / 2), com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
4. (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real com 0 < m < 1, considere as afirmações:
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I.(f o g)(x) = (g o f)(x), para algum x R. II. f(m) = g(m). III.Existe a R tal que (f o g)(a) = f(a). IV.Existe b R tal que (g o f)(b) = mb. V.0 < (g o f)(m) < 3. Podemos concluir que: (A)todas são verdadeiras (B)apenas três são verdadeiras (C)apenas uma é verdadeira (D)apenas quatro são verdadeiras (E)apenas duas são verdadeiras.
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CAPÍTULO 9 - FUNÇÃO DO 2° GRAU * Definição: Sejam a IR , b , c IR , a relação:
f : IR IR x
f ( x ) a x 2 bx c,
é uma função, chamada função do 2° grau . Definida assim tem-se Df IR CDf IR
Gráfico: O gráfico de uma função do 2° grau é uma curva chamada parábola. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que analisemos as raízes da equação do 2° grau associada à função, bem como sua concavidade. Primeiramente vamos estudar a existência de raízes reais. As raízes de uma função do 2° grau são obtidas resolvendo-se a equação do 2° grau associada. Então ax 2 bx c 0 , a 0
b c a x 2 x 0 a a 2 b b2 c a x 2 0 2a a 4a 2 b b 2 4ac a x 0 2a 4a 2
Chamando b 2 4ac temos 2 2 b b a x 2 0 x 2 2a 2a 4a 4a
Discussão da equação: 0 A equação não possui raízes reais S 2
b b b 0 A equação possui duas raízes reais e iguais, pois x 0 x 1 x 2 S
2a
0 A equação possui duas raízes reais e desiguais, pois x
2a
2a
2
b 2 2a 4a
b x1 b b b 2a x S , 2a 2 a 2a 2a b x2 2a
O próximo passo é a determinação do vértice da parábola, aproveitando a fatoração acima temos que: f : IR IR 2
x
b f(x) ax , 2a 4a Página | 62
Como 2
b x 2a 0 Temos que 2
b b a 0 f (x) a x f ( ) 2a 4a 4a 2a 2
b b a 0 f (x) a x f ( ) 2a 4a 4a 2a
De qualquer maneira
b V , 2a 4a
.
Em particular, obtemos que
a 0 Imf , 4a e a 0 Im f , 4a Quanto à concavidade, se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e caso contrário voltada para baixo. A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do 2° grau, nos diferentes casos. 1° caso: a0
0
2° caso: a0
0
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3° caso: a0
0
4° caso: a0
0
5° caso: a0
0
6° caso: a0
0
Página | 64
Dos gráficos acima podemos concluir que: Se 0 a função do 2° grau tem o sinal oposto ao sinal do parâmetro a no intervalo compreendido pelas raízes e o mesmo sinal do parâmetro a no complemento do intervalo das raízes. Se 0 a função do 2° grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real diferente das raízes. Se 0 a função do 2° grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real.
EQUAÇÃO DO 2° GRAU * Definição: Sejam a IR , b , c IR , a equação do 2° grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à:
a x 2 bx c 0 Apenas lembrando, temos que:
b b 0 S , 2a 2a b 0 S 2a 0 S
Soma e Produto das raízes: 2 Sejam x 1 e x 2 as raízes da equação do 2° grau a x bx c 0 , podemos escrever
ax 2 bx c a ( x x 1 ) ( x x 2 ) Logo,
a x 2 b x c a ( x x1 ) ( x x 2 ) a x 2 b x c a x 2 a (x1 x 2 ) x a x1 x 2 b a a x1 x 2 a b c S e P . b a (x1 x 2 ) a a c a x x x x c 1 2 1 2 a
Em particular temos as seguintes identidades:
1.
1 1 S , c 0 x1 x 2 P
2. x 12 x 2 2 S 2 2P 3.
1 x 12
1 x 22
S 2 2P P2
,c0
4. x 13 x 2 3 S3 3SP 5.
1 x 13
1 x 23
S3 3SP P3
,c0
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Discussão de equações do tipo ax 2 bx c 0 : Seja ax 2 bx c 0 onde a , b e c IR , então:
a 0 A equação ax 2 bx c 0 é uma equação do 2° grau e basta resolver conforme feito anteriormente. a 0 A equação ax 2 bx c 0 se reduz a bx c 0 e a discussão é feita conforme a discussão de uma equação do tipo ax b 0 , veja o capítulo 8.
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU * Definição Sejam a IR , be c IR. , uma inequação do 2° grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à:
a x 2 bx c 0 ou a x 2 bx c 0 ou a x 2 bx c 0 ou a x 2 bx c 0 A solução de uma inequação do 2° grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do 2° grau correspondente.
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EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R1. (EFOMM 2006) Se M e N são as raízes de x2 – 6x + 10 = 0, então
1 1 vale: M N
(A) 6 (B) 2 (C) 1 (D) 3/5 (E) 1/6. R2. (EFOMM 2005) O intervalo onde a função f (x) =
ax 2 com a IR * , apresenta sinal positivo é ax 2 x
2 (A) , a 1 (B) , 0 a 1 (C) , a 2 1 (D) , a a
2 (E) , 0 . a
AFA 3. (AFA 2010) Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do 2º grau e g e h são do 1º grau. Sabe-se que V é o vértice da parábola.
O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x) é (A) IR − ]1, 5[ (B) IR −[1, 5] (C) IR − [1, 3] (D) IR − ]1, 3[
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4. (AFA 2009) Considere que g : IR → B, definida por g(x) = –bx2 + cx – a é função par e possui como gráfico o esboço abaixo.
Marque a alternativa INCORRETA. (A) Se B = [– a, +∞[ , então a função g é sobrejetora. (B) A função t : IR → IR dada por t(x) = g(x) + a é positiva x IR (C) b < c < a (D) A função h: IR → IR dada por h(x) = – g(x) – a possui um zero real duplo.
R5. (AFA 2004) Seja f (x) a x 2 b x c (a 0)
uma função real definida para todo número real. Sabendo-se que existem dois números x1 e x2, distintos, tais que f (x1 ) . f (x 2 ) 0 , pode-se afirmar que: (A) f passa necessariamente por um máximo. (B) f passa necessariamente por um mínimo. (C) x 1 . x 2 é necessariamente negativo. 2 (D) b 4ac 0 .
R6. (AFA 1994) O polinômio do 2º grau y =
b 2 (x + 1) + ax, com coeficientes reais, não possui raiz real se, e somente se: 2
(A) a – b < 0 (B) a2 – b2 < 0 (C) b2 – 4a > 0 (D) b2 – 2ab < 0 R7. (AFA 1994) A solução da inequação 2x2 – 3x + 8 >
3x 3 x 2 5x 10 , no conjunto dos números reais, é dada pelo x2
intervalo: (A) –2 < x < 5 (B) –2 < x < 3 (C) –1 < x < 3 (D) –1 < x < 5
IME R8. (IME 1999) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4 ; h(x) = f (g(x)) = 9x2 – 6x + 1. Determine a função f(x) e faça seu gráfico. R9. (IME 1994) Seja f : IR IR uma função quadrática tal que f(x)=ax2+bx+c, x2 = 5 são as raízes e que f (1) = –8. Pede-se: a)Determinar a, b, c; b)Calcular f (0); c)Verificar se f (x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta; d)As coordenadas do ponto extremo; e)O esboço do gráfico.
a 0, x IR. Sabendo que x1 = –1 e
NÍVEL B Página | 68
AFA R1. (AFA 2011) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde a IR x2 a I) x a x IR xa II)se
1 1 e a > 0, então {x IR | x < 0 ou x > a} x a
III)se a > 0 e |x| < a, então x2 – a < 0 Tem-se a sequência correta em (A) F – V – F (B) F – F – V (C) V – F – V (D) F – V – V
R2. (AFA 2011) Considere a função quadrática f: A → B de raízes x1 = 1 ou x2 = 3 , cujas coordenadas do vértice são iguais. Se f(x) ≥ 0 x A e f é função crescente x [p, q], então (q – p) é igual a (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. (AFA 2008) As funções f: IR IR do 1º grau e g: IR [b, + [ do 2º grau estão representadas no gráfico abaixo.
Com base nas informações acima é correto afirmar que: (A) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número inteiro 5 (B) (gogof –1) > 0 2
f (x)2
0 {x IR x 1 ou x 4} g( x ) (D) f(x) – g(x) 0 {x IR x 0 ou x 6} (C)
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x 2 4x 7, se x 2 4. (AFA 2007) A função f definida por f(x) = 2x 1, se 1 x 2 2 x 2x 4 se x 1
(A) não admite inversa porque não é injetora. (B) não admite inversa porque existem valores de x com várias imagens. (C) admite inversa e uma das sentenças que define a mesma é y = –1 – (D) admite inversa f–1 tal que f–1 (5) = –2
x 3 se x –3
5. (AFA 2005) Dada a função real f definida por f(x) x 2 , considere a função real g definida por g(x) f(x m) k , sendo m , k R . É INCORRETO afirmar que: (A) o gráfico da função g em relação ao gráfico da função f é deslocado k unidades para cima, se k 0 , e m unidades para a direita, se m 0 . (B) se m 0 e k 1 , então o conjunto imagem de g é dado por Im y R | y 1 . (C) se m 2 e k 3 , então as coordenadas do vértice da parábola que representa g são (m , k) . (D) a equação do eixo de simetria da parábola que representa g é dada por x m .
6. (AFA 2007) Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. (A) Se a função f: IR IR é tal que f(x) = ax + b, f(3) = 0 e f() > 0, então f é crescente em todo o seu domínio. (B) Se o gráfico da função quadrática f definida por f(x) = x2 + kx + m é o da figura abaixo, então k – m = – 2
(C) Seja f: IR IR tal que f(x) = x2 – 3x + 2 e A um subconjunto do domínio de f. Se f é crescente em A e f(x) 0 em A, então A = [1, 2] (D) Se na função f: IR IR tal que f(x) = ax2 + bx + c, (a
b2 , então, necessariamente, o gráfico da função f é o 4a
tangente ao eixo das abscissas. R7. (AFA 2003) Observe o gráfico da função f abaixo.
ax 2 bx c, se x 1 Sabendo que f é definida por f ( x ) analise as alternativas e marque a opção correta. px k, se x 1 Página | 70
(A) ac < 0 (B) pk 0 (C) p = –1 (D) ab > 0.
R8. (AFA 2002) Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$ 2,00 cada uma e tem uma despesa fixa semanal de 22 x R$ 50,00. Se são vendidas x camisetas por semana, ao preço de reais a unidade, então, o número de camisetas que 3 30 deve ser vendido por semana para se obter o maior lucro possível é (A) 60 (B) 65 (C) 80 (D) 90. R9. (AFA 1998) Seja f: [1, ) [–3, ) a função definida por f(x) = 3x2 – 6x. Se g: [–3, ) [1, ) é a função inversa de f, então [g(6) – g(3)]2 é (A) 5 (B) 2
6
(C) 5 – 2 (D) –5 + 2
6 6.
10. (AFA 1998) Corta-se um pedaço de arame de comprimento 98 cm em duas partes. Com uma, faz-se um quadrado, com a outra, um retângulo com base e altura na razão de 3 para 2. Se a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras for mínima, o comprimento, em cm, do arame destinado à construção do quadrado será (A) 36 (B) 48 (C) 50 (D) 54.
ITA 11. (ITA 2004) Seja as funções f e g definidas em IR por reais. Considere que estas funções são tais que
f(x) = x2 + ax e g(x) = –(x2 + x), em que e são números
f
g
Valor mínimo
Ponto de mínimo
Valor máximo
Ponto de máximo
–1
0
Então, a soma de todos os valores de (A) 0
x para os quais (f o g) (x) = 0 é igual a
(B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8.
R12. (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função
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f(x) =
x 2 (2m 3)x (m 2 3) x 2 (2m 1) x (m 2 2)
está definida e é não-negativa para todo x real é: 1 7 (A) , 4 4 1 (B) , 4 7 (C) 0, 4 1 (D) , 4 1 7 (E) , . 4 4
13. (ITA 1999) Considere as funções f e g definidas por f(x) = x – g(x) =
2 , para x
x0 e
x , para x –1. O conjunto de todas as soluções da inequação (g o f) (x) < g(x) é x 1
(A) [1, +[ (B) ]–, –2[ (C) [–2, –1[ (D) ]–1, 1[ (E) ]–2, –1[ ]1, + [.
NÍVEL C AFA 1. (AFA 2003) O conjunto {x IR f(x) < 0}, onde f: IR IR é definida por f(x) = ax2 + 2a2x + a3, com a IR* , é (A) ]–; –a[ (B) ]– ; –a[ ]–a; + [ (C) ]– ; a[ ]a; + [ (D) ]–a; + [. V2. (AFA 2001) O retângulo, com base no eixo das abscissas, está inscrito numa parábola, conforme figura abaixo. O valor de x que faz esse retângulo ter perímetro máximo é (A) 1 (B) 0,5 (C) 0,25 (D) 0,125.
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V3. (AFA 2000) Na figura abaixo, AC = BC, h = AB = 10 e SP é perpendicular a AB . O ponto S percorre AB e AS = x.
Nessas condições, a área da figura sombreada pode ser expressa por: (A) 5x se x [0, 5] e x2 – 10x + 50 se x [5, 10] (B) x2 se x [0, 5] e x2 – 10x + 50 se x [5, 10] (C) 5x se x [0, 5] e –x2 + 20x – 50 se x [5, 10] (D) x2 se x [0, 5] e –x2 + 20x – 50 se x [5, 10].
ESCOLA NAVAL 2x 3 2 4. (EN 1998) Considere os conjuntos A = x R 0 e B = {x R x – 5x + 4 < 0}. O conjunto solução A B é 5 x 2 3 (A) ,4 2 3 (B) ,4 2 3 (C) 1, 2 (D) ] 1, 4] 2 (E) , ] 4,[ . 5
V5. (EN 1994) O conjunto solução da inequação:
x4 1 x 3x 3 2x 2 4
0 , é:
(A) ] ,1] ] 2,[ (B) ] ,1] ]1, 2[ (C) ] ,1[ ] 0, 2[ (D) ] ,1[ ]1, 2[ (E) ] ,1] ] 1, 0[ . V6. (EN 1993) O conjunto imagem da função f(x) = (A) [–4; 4] (B) (–, –4] [4; ) (C) {0} (D) {-4; 4} (E) [0; )
16 x 2 x 2 16 é:
V7. (EN 1990) x2 + 1 > kx para todo x real se, e só se: (A) k < 0 (B) k > 0 (C) –1 < k < 1 (D) –2 < k < 2 (E) k > 3
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2 V8. (EN 1988) Para todo x real, -3 < x ax 2 2 se e só se:
x 2 x 1
(A) –3 < a < 2 (B) –1 < a |1 – x| é (A) (2/3, ) (B) (–, 2) (C) (2/3,2) (D) (E) (–,) V9. (EN 1987) Sejam A = {x Rx – 4 2} e B = {x Rx2 – 14x + 40 < 0}. A diferença A – B é igual a: (A){x R 2 x < 4} (B){x R 2 x 4} (C){x R 4 < x 6} (D){x R 6 < x < 10} (E){x R 6 x < 10}.
NÍVEL C ESCOLA NAVAL V1. (EN 2006) O conjunto de todos os números reais que satisfazem a desigualdade
1 2x x 1 2x 3 2 é: 7 (A) , 3 7 (B) , 3
(C)
3 1, 2 5 , . 3 1, 2 5 , .
, 5 3 , .
2 (D) , 5 5 , . (E) , 5 1, .
2. (EN 1997) O máximo absoluto e o mínimo absoluto da função real
0 se x 6 ou x 1 x 3 2 se 2 x 6 f(x) = 1 se 1 x 2 x se 1 x 1 são, respectivamente: (A) 2 e –1 (B) 1 e –2 Página | 82
(C) 1 e 0 (D) 2 e 0 (E) 3 e –2. 3. (EN 1994) O conjunto solução de
2x 1 3 é: x 3
(A) ]8 5 , 3[ ] 3, [ (B) ] 3,10[ ]10, [ (C) ] , 8 5[ ] 3,10[ (D) ]8 5 , 3[ ] 3,10[ (E) ]8 5 , 3[ ]10, [ .
ITA V4. (ITA 2010) O produto das raízes reais da equação |x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a: (A) – 5 (B) – 1 (C) 1 (D) 2 (E) 5. 5. (ITA 2002) Os valores de x R, para os quais a função real dada por f(x) =
5 2x 1 6 .
Está definida, formam o conjunto (A) [0, 1] (B) [–5, 6] (C) [–5, 0] [1, ) (D)(– , 0] [1, 6] (E) [–5, 0] [1, 6]. 6. (ITA 1991) Se A = {x IR : |x2 + x + 1| |x2 + 2x – 3|}, então temos: 1 (A) A = [–2 , ] [4 , + [ 2 1 (B) A = [ , 4] 2 (C) A = [–3 , 1] (A) A = ]– , –3] [1, + [ (E) n.d.a.
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CAPÍTULO 11 - FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 . A relação f : IR IR x f x a x
É uma função, chamada função exponencial de base a, em particular, tem-se D f IR CDf IR
Im f IR . Gráfico: O gráfico de uma função exponencial é uma curva que possui algumas particularidades, por exemplo, para todo a IR , a 0 e a 1 , temos f (0) 1 , ou seja, o gráfico de toda função exponencial contem o ponto ( 0 , 1 ) .O próximo passo é determinar o comportamento da função exponencial quanto ao crescimento. Se a > 1 então x1 x 2 a x1 a x 2 logo a função exponencial é crescente. Se 0 < a < 1 então x1 x 2 a x1 a x 2 , logo é a função exponencial é decrescente. Assim dado a IR , a 0 e a 1 , a função exponencial de base a é uma função injetora. Em seguida um esboço para o gráfico de uma função exponencial nos dois casos:
Página | 84
EQUAÇÃO EXPONENCIAL Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma equação exponencial de base a é uma sentença aberta equivalente a
a x b. x Discussão de equações do tipo a b :
Se b 0 a equação exponencial é possível e determinada. Se b 0 a equação exponencial é impossível.
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma inequação exponencial de base a é uma sentença aberta equivalente a
axb ou axb ou axb ou axb A solução de uma inequação exponencial é obtida a partir do comportamento da função.
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A AFA 1. (AFA 2002) Todo número real positivo pode ser descrito na forma 10 x. Tendo em vista que 2 = 100,30, então o expoente x, tal que 5 = 10x vale, aproximadamente, (A) 0,15 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70. V2. (AFA 2001) Se x IR e 75x = 243, então 7-3x é igual a: (A) 1/3 (B) 1/9 (C) 1/27 (D) 1/81. 3. (AFA 2001) No intervalo [ -1, 100], o número de soluções inteiras da inequação 3x – 8 > 32-x é: (A) 97 (B) 98 (C) 99 (D) 100. V4. (AFA 2000) A soma das raízes da equação 32 – x + 31 + x = 28
é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4. V5. (AFA 1998) O conjunto solução da inequação (0,5)x(x–2) < (0,25)x–1,5 é (A) {x R l x < 1}. (B) {x R l x > 3}. (C) {x R l 1 < x < 3}. (D) {x R l x < 1 ou x > 3}. V6. (AFA 1995) O conjunto solução da inequação 22x + 2 – (0,75)2x+2 < 1 é: (A) (B){x IR / x > 0} (C) {x IR / x < 0) (D) {x IR / –¼ < x < 1}
1 7. (AFA 1994) A solução da inequação exponencial 5 (A) (x R | 0 x 1) (B) (x R 1 x 2 )
x2 2
x
1 é: 125
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(C) (x R 0 x 2 ) (D) (x R x 1ou x 2 )
1 8. (AFA 1990) O conjunto solução da desigualdade: 2 (A) {x IR | –2 x –1 } (B) {x IR | –1 x 2 } (C) {x IR | x –2 ou x –1} (D) {x IR | x – 1 ou x 2} (E) nra 9. (AFA 1989) O triplo da solução da equação
x 42
2
x 2 4
8x+2 é:
2 x 1 4 é igual a : 3 3
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 10. (AFA 1989) A solução da equação 3.9x + 7.3x – 10 = 0 é : (A) – 10/3 (B) 0 (C) 1 (D) 3
ESCOLA NAVAL 11. (EN 1986) A inequação 21/x < 1/4 se verifica para todo x pertencente a: (A) (– 1 , ) 2
(B) (– , – 1 ) 2
(C) (– 1 , 0) 2
(D) (– , 0) (E) (0, 2).
ITA 12. (ITA 2006) Considere a equação ( ax – a– x )/(ax + a– x) = m, na variável real x, com 0 < a ≠ 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é: (A) (–1, 0) (0,1) (B) (– , –1) (1, + ) (C) (–1, 1) (D) (0, ) (E) ( , + ). 13. (ITA 2000) (A) 2 (B) 5
2
2
A soma das raízes reais e positivas da equação 4 x 5 . 2 x 4 0
vale:
(C) 2 (D) 1 (E)
3.
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14. (ITA 2000) Seja S = [ –2, 2 ] e considere as afirmações: x
1 1 6 , para todo x S. 4 2 1 1 (II) , para todo x S. 32 32 2 x (III)22x – 2x 0, para todo x S.
(I)
Então, podemos dizer que: (A) apenas (I) é verdadeira; (B) apenas (III) é verdadeira; (C) somente (I) e (II) são verdadeiras; (D) apenas (II) é falsa; (E) todas as afirmações são falsas 15. (ITA 1999) Sejam f, g: R R funções definidas por f(x) = (3/2)x e g(x) = (1/3)x. Considere as afirmações: I.Os gráficos de f e g não se interceptam. II.As funções f e g são crescentes. III.f(–2) g(–1) = f(–1) g(–2). Então: (A)apenas a afirmação I é falsa; (B)apenas a afirmação III é falsa; (C)apenas as afirmações I e II são falsas; (D)apenas as afirmações II e III são falsas; (E)todas as afirmações são falsas. V16. (ITA 1999) Seja a R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação
a 2x (1x ) a x1 é: (A) ] –1, 1 [ (B) ] 1, + [ (C) ] –1/2, 1 [ (D) ] –, 1 [ (E) vazio.
IME V17. (IME 2004-2005) Dada a função f(x) =
(156x 156 x ) , demonstre que: 2
f(x + y) + f(x – y) = 2 f(x) f(y)
NÍVEL B EFOMM 1. (EFOMM 2008) Em uma certa região, ocorreu uma infecção viral que se comportou de acordo com a função: N(t)= a.2b.t , em que N(t) são pessoas infectadas em t dias após a realização do estudo; a e b constantes reais. Sabe-se que, ao iniciar o estudo, havia 3000 pessoas infectadas e que, após 2 dias, esse número chegava a 24000 pessoas. Assinale a alternativa que representa o número de pessoas infectadas após 16 horas. (A) 5.000 (B) 6.000 Página | 88
(C) 7.000 (D) 8.000 (E) 9.000.
AFA 2. (AFA 2009_2010) Sejam as funções f : IN→ IR e g : IN→ IR definidas por f(x) =
x e g(x) = 2−x 2
Considere os números A e B, tais que A = f(1) + f(2) +...+ f(50) e B = 1 + g(1) + g(2) +...+ g(n) +... Se o produto de A por B tende para o número α, então, α é (A) ímpar múltiplo de 9 (B) par divisor de 10.000 (C) par múltiplo de 15 (D) ímpar múltiplo de 25 V3. (AFA 2008) Sabendo-se que b é um número real tal que b > 1 e que a função real f: IR B é tal que f(x) = 2 b as alternativas abaixo e marque a FALSA. (A) A função f admite valor mínimo. (B) x – 1 2 –
x
, analise
1 f(x) < 2 b
(C) A função f é par. (D) Se B = [0, 2[ então f é sobrejetora. 4. (AFA 2006) Seja f : R B a função definida por f (x) 1 a x 1 (a R e a 1) . Analise as afirmativas abaixo, classificando2
as em (V) verdadeiras(s) ou (F) falsa(s). ( ) f (p q) f (p) f (q) , p , q R . ( ) f é crescente x R . ( ) Se x ] , 0[ , então y 3 , 1 . 2 ( ) Se B ] , 1[ , então f é bijetora. A seqüência correta é: (A) (B) (C) (D)
F – F – V – V. F – V – F – V. V – F – F – F. F – V – V – V.
5. (AFA 2006) Assinale a alternativa INCORRETA: (A) O conjunto solução da inequação (2 3 ) x 1 e R. (B) O número real que satisfaz a sentença 3
x 2
2
2 5
x
-e divisor de 1024.
(C) A função exponencial definida por f (x) (a 4) x é decrescente se 4 a 5 . (D) Se y 10 x é um número entre 10 000 e 100 000, então x está entre 4 e 6. 6. (AFA 2003) Analise os itens abaixo classificando-os em V (verdadeiro) ou F (falso). ( ) Em , o conjunto solução da inequação 8 . (0,5)x – 1 0 é dado por [4, + [ ( ) A função real y = e1 x é crescente x IR (considere e a base dos logaritmos neperianos) ( ) Se f(x) = 2x, então f(a) . f(b) é sempre igual a f(a + b), onde a e b são reais quaisquer A seqüência correta é (A) F – F – V Página | 89
(B) V – V – F (C) F – V – V (D) V – F – F. V7. (AFA 1997) O produto das raízes da equação x
x
2 3 2 3 4 pertence ao conjunto dos números:
(A) naturais e é primo (B) inteiros e é múltiplo de quatro (C) complexos e é imaginário puro (D) racionais positivos e é uma fração imprópria. 8. (AFA 1996) A solução da equação 4x + 6x = 2,9x é: (A) {0} (B) {1} (C) {–2} (D) {–2,1}.
ESCOLA NAVAL V9. (EN 2005) Dadas as funções reais f (x)
100 1 2 x
e g (x)
x 22
, pode-se afirmar que (g f 1 )(90) é igual a:
(A) 10. (B) 3. (C) 1. 1 (D) . 3 1 (E) . 10 10. (EN 2004) O valor de é:
6 x 2 y 2 onde x e y são números inteiros que satisfazem a equação 2 x 1 2 x 3 y2 3 y
(A) 8 . (B) 3. (C) 11 . (D) 14 . (E) 4. 11. (EN 1988) A solução da equação abaixo 26x + 3. 43x + 6 = 84x + 5. 162x + 1 pertence ao intervalo: (A) (–, –1) (B) (–1, 0) (C) (0, 1) (D) (1, 2) (E) (2, ). 2 V12. (EN 2007) No universo U IR , o conjunto solução da inequação x 2x 9x 4 1 é:
1 (A) 0 , 1, 4 . 2 1 (B) ,1 4 , . 2 1 (C) ,1 0 . 2 1 (D) , 4 0 . 2 Página | 90
(E) 0 ,1 1, 4 . 13. (EN 2005) O conjunto solução da inequação (A) ] , 3 [ (B) ] , 3 [ (C) ] , 2 [ (D) ] 2 , 1 [
1 3 (x 2)
3
4 (1 x)
, onde x é uma variável real, é:
] 1, 2 [ . ] 2, [ . ] 1, 3 [ . ] 3, [ .
(E) ] 3 , 1 [ ] 2 , [ . 14. (EN 1994) O domínio da função y
32x (1 3) x 243
é:
(A) ] ,5[ (B) ] , 5[ (C) ] 5,[ (D) ] 5, [ (E) ] 5, 5[ .
ITA 15. (ITA 2004) Seja
um número real,
1 valores de x tais que 2x (A) (B) (C) (D) (E)
2x 2
com 0 < < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os
< 1.
]–, 0] [2, +[ ]–, 0[ ]2, +[ ]0, 2[ ] –, 0[ ]2, +[.
16. (ITA 2002) Sejam f e g duas funções definidas por
2
3 sen x 1
f(x) = e
1 g(x) = 2
3 sen 2 x 1
,
xR A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a (A) 0 (B) –
1 4
1 4 1 (D) 2
(C)
(E) 1.
IME V17. (IME 2008) Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por: e x e y e x y , admite solução real. x y K
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(A) 0 K 2 (B) 0 K ln2 (C) K e-2 (D) K > ln4 (E) 0 K 1. 18. (IME 2008) Sejam f(x) =
e x ex ex e x
, g(x) = ex e h(x) = g(f–1(x)). Se os valores da base e da altura de um triângulo são
definidos por h(0,5) e h(0,75) respectivamente, a área desse triângulo é igual a: (A)
e 2
7 2 21 (C) 2
(B)
(D) 10 (E) e. 19. (IME 1972) Dizemos que f : R R é uma função exponencial se f(x) = ax, x R, onde a é uma constante real estritamente positiva. Determine as funções exponenciais que satisfazem a equação: 6f(x+5)+f(x+4)–43f(x+3)–43f(x+2)+f(x+ 1)+6f(x) = 0
NÍVEL C EFOMM V1. (EFOMM 2009) A equação 2–x + cos(π–x) = 0 tem quantas raízes no intervalo [0, 2 π] ? (A) Zero. (B) Uma. (C) Duas. (D) Três. (E) Quatro.
ITA V2. (ITA 2010) A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0, com x e y reais, representa: (A) o conjunto vazio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(x,y) IR2 |2(ex –2)2 + 3(ey – 3)2 = 1}. 3. (ITA 1998) Seja f: R R a função definida por f(x) = –3ax, onde a é um número real 0 < a < 1. Sobre as afirmações: (I) f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y R; (II) f é bijetora; (III)f é crescente e f( ]0, + [ ) = ] –3, 0[. Podemos concluir que: (A) Todas as afirmações são falsas; (B) Todas as afirmações são verdadeiras; (C) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (D) Apenas a afirmação (II) é verdadeira; (E) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
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V4. (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que B soube do acontecimento t horas após é dado por: f (t) = onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da 1 Ce kt população soube do acidente 3 horas após, então o tempo passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: (A) 4 horas. (B) 5 horas. (C) 6 horas. (D) 5 horas e 24 min. (E) 5 horas e 30 min. x
1
5. (ITA 1992) Considere as funções f: IR* IR g: IR IR, e h: IR* IR definidas por: f(x) 3 x , g(x) = x2, h(x) = 81/x. O conjunto dos valores de x em IR* tais que (fog)(x) = (hof)(x), é subconjunto de: (A) [0, 3] (B) [3, 7] (C) [–6, 1] (D) [–2, 2] (E) n.d.a. 1 ex 6. (ITA 1990) Dadas as funções f(x) = , X – {0} g(x) = x sen x, x IR, podemos afirmar que: 1 ex (A) ambas são pares. (B) f é par e g é ímpar. (C) f é ímpar e g é par. (D) f não é par e nem ímpar e g é par. (E) ambas são ímpares.
IME 7. (IME 1998) Determine os valores de que satisfaçam à inequação, 27 2 função, y = 272x 8. (IME 1997)
4 . 27 + 27-1 > 0, e represente, graficamente, a 9
4 . 27x + 27-1. 9
Resolva o sistema abaixo:
x y y x onde a 1 e a 0 y ax
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CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO LOGARITMO Definição: O logaritmo de um número real positivo x, na base a IR, a 0 e a 1 , é o número real y tal que a y x , assim, escrevesse y loga x , em particular x é chamado de logaritmando. Resumindo: Se a IR, a 0 e a 1 0 então:
a y x y loga x . Ex.1: 2 3 8 log 2 8 3.
2 7 128 log 2 128 7. Definição: Seja a IR, a 0 e a 1 , a relação: f : IR IR
x f x log a x.
.
é uma função chamada função logaritmo de base a, em particular, tem-se:
D f IR CDf IR Im f R . Gráfico: Decorre da definição que a função logaritmo na base a é a função inversa da função exponencial na base a, logo seu gráfico é o simétrico do gráfico da função exponencial em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Assim para a IR, a 1 tem-se
E para a IR, 0 a 1 temos:
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Sistema de logaritmos: Sistema de logaritmos na base a é o conjunto dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a. Os sistemas mais usados são o sistema decimal e o sistema neperiano. Sistema decimal (base 10): Neste caso a 10 , os logaritmos podem ser representados simplesmente por log x em vez de log 10 x. Sistema neperiano: A base do logaritmo é o número irracional e definido por: n
1 e lim 1 2,17 . n n Os logaritmos são representados simplesmente por ln x. Obs.: Uma consequência da definição de logaritmo é que a loga x x .
LOGARITMO Definido o logaritmo, a seguir enumeramos suas principais propriedades: Sejam a, b e c IR, a 0, b 0 e c 0 e a 1 então: 1. Logaritmo do Produto: loga bc loga b loga c .
Demonstração: Sejam m log a b m b a bc a m a n a m n bc a m n log a bc m n n c a log a c n log a bc log a b log a c.
2. Logaritmo do Quociente: loga
b loga b loga c . c
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Demonstração: Sejam
log a b m log a c n log a
b a m b am b b n a mn a mn log a m n n c c c a c a
b log a b log a c. c
3. Logaritmo da Potência:
loga b loga b , IR . Demonstração: Seja log a b y , então :
b ay b ay
ba
y
log a b log a a y log a b y log a b log a b .
4. Potência da Base
loga b Demonstração: Seja log a b y , então :
b ay b ay
b a
y
1 loga b , IR .
log a b y log a b y log a b
1 log a b .
5. Mudança de base
log a b
log c b . log c a
Demonstração:
b c m log c b m log c b 1 m log a b log cn c m m log c c log a b . n n n log c a a c log c a n Definição: O Anti-logaritmo na base a é definido por: loga x y anti loga y x .
Ex.2: log5 125 3 anti log5 3 125. Definição: O Cologaritmo na base a é definido por: co loga x loga x .
Ex.3: log3 81 4 co log3 81 4.
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma equação logarítmica de base a é uma sentença aberta equivalente à:
loga x b.
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Discussão de equações do tipo loga x b. : A equação logarítmica é sempre possível e determinada.
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Seja a IR , a 0 e a 1 , uma inequação logarítmica de base a é uma sentença aberta equivalente à:
log a x b ou log a x b ou log a x b ou log a x b A solução de uma inequação logarítmica é obtida a partir do comportamento da função.
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A EFOMM V1. (EFOMM 2010) Sabendo que o log3o 3 = a e log30 5 = b, que opção representa logl0 2 ?
1 a b 2a 1 a b (B) a 1 1 a b (C) 1 a 1 a b (D) 2a 1 a b (E) 1 a (A)
V2. (EFOMM 2009) Os domínios das funções reais f(x) = log x2 e g(x) = 2.log x são D1 e D2, respectivamente. Sendo assim, pode-se afirmar que (A) D1 = D2 (B) D1 ≠ D2, mas D1 D2 (C) D1 ≠ D2, mas D2 D1 (D) D1 ≠ D2, e D1 D2 = (E) D1 ⊄ D2, D2 ⊄ D1 e D1 ≠ . 3. (EFOMM 2006) Se Log a = 0,4771 e Log b = 0,3010, então Log
a é b
(A) 0,1761 (B) –0,1761 (C) 0,7781 (D) 0,8239 (E) –0,8239.
4. (EFOMM 2005) Determine o domínio da função real y =
log x 2 1 2
(A) D = {x IR / 0 < x 4} (B) D = {x IR / 0 > x 4} (C) D = {x IR / 0 < x 2} (D) D = {x IR / 0 > x 2} (E) D = {x IR / x < 4}.
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AFA 5. (AFA 2012) Considere uma aplicação financeira denominada UNI que rende juros mensais de M log27 196 e outra aplicação financeira denominada DUNI que rende juros mensais de N log 1 14 9
A razão entre os juros mensais de M e N, nessa ordem, é (A) 70% (B) 2 / 3 (C) 4 / 3 (D) 80% 6. (AFA 2009) Se a função real f é definida por f(x) = log3 (3x + 4) − log3 (2x −1) , então o conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1 é
7 3
(A) x IR x
1 (B) x IR x 2 1 (C) x IR x ou x 2 1 7 (D) x IR x 2 3
7 3
7. (AFA 2007) De acordo com Richter (1935), a energia E (medida em joules) liberada por um terremoto de magnitude M, obedece à equação M = 0,67 . log E – 3,25 Baseando-se nisso, é FALSO afirmar que (adotar log 2 = 0,3) a) se a energia de 2,0. 1012 joules equivale à de uma bomba atômica como a lançada sobre Hiroshima, então, o valor da magnitude de um terremoto cuja energia liberada equivale a 2000 bombas atômicas como a lançada sobre Hiroshima, é um número do intervalo ] 7; 7,3 ] (B) o acréscimo de 0,67 unidades na magnitude de um terremoto na escala Richter corresponde a um terremoto cerca de 10 vezes mais intenso em termos de energia liberada. (C) o crescimento na magnitude de terremotos na escala Richter, acarreta um aumento exponencial da energia liberada. (D) a energia de 2,0. 1012 joules (equivalente à de uma bomba atômica como a lançada sobre Hiroshima) corresponde à ocorrência de um terremoto de magnitude superior a 5 pontos na escala Richter.
8. (AFA 2007) Dada a função real f tal que f(x) =
log x
(e x 1) x2 4
, onde e = 2,71... é a base de logaritmos neperianos, é
correto afirmar que o conjunto D, domínio de f é igual a (A) {x IR | x 1 e x ≠ 2} (B) {x IR* | –2 < x < 2} (C) {x IR | x < –2 ou x > 2} (D {x IR * | x 1}
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9. (AFA 2007) As funções que melhor descrevem as curvas abaixo são
(A) y = –loga x e sua inversa, sendo 0 < a < 1 (B) y = loga (2x) e sua inversa, sendo a > 1 (C) y = ax e sua inversa, sendo a > 0 (D) y = loga (x + 1) e sua inversa, sendo a > 1 V10. (AFA 2004) O gráfico expressa a variação de log y em função de log x, onde log é p logaritmo na base decimal.
A relação correta entre x e y é igual a (A) y = 2 + 2x (B) y =
3 +x 2
(C) y = 100x2 (D) y =
5 + x. 2
11. (AFA 2003) O conjunto solução da equação log x 2 ( x 2) 2 2 é (A) (B) {x IR x > 3} (C) {x IR 2 < x < 3} (D) {x IR x > 2 e x 3}.
12. (AFA 2002) Todo número real positivo pode ser descrito na forma tal que 5 = 10x vale, aproximadamente, (A) 0,15 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70.
10 x. Tendo em vista que 2 = 100,30, então o expoente x,
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13. (AFA 2001) Se x IR e 75x = 243, então 7-3x é igual a: (A) 1/3 (B) 1/9 (C) 1/27 (D) 1/81. 14. (AFA 2000) O domínio da função real f(x) = log (–x2 + 6x + 16) + log(x2 – 6x + 8) é: (A) {X R – 2 x 2 ou 4 < x 8} (B) {X R
– 2 < x < 2 ou 4 < x < 8}
(C) {X R
x < – 2 ou 2 < x < 4 ou x > 8}
(D) {X R x < – 2 ou 2 < x < 4 ou x > 4}.
15 (AFA1999)A soma das raízes da equação log2 (x2 – 6x) = 4 é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D)7. 16. (AFA 1999) O valor de - log 2 log 2
2
é (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4. 17. (AFA 1996) Uma das soluções da equação:
( x 1) 1 1 log (x + 1) = log + log 3 2 x 1 ( x 1)
2
–
é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4. 18. (AFA 1994) Se x é variável real, então o campo de definição da função f(x) =
log
x 1 x2 1
é o conjunto:
(A) {x R – 1 < x < 1} (B) {x R 0 < x < 1} (C) {x R – 1 < x 1} (D) {x R 0 x 1} 19. (AFA 1994) A solução da equação log2 (2x+3) + log1/2 2x = 1 é: 2 (A) 3 (B) 1 3 (C) 2 (D) 2
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V20. (AFA 1994) Sendo log3, ( 7 – 2 ) = K, o valor de log3 ( 7 + 2 ) é: (A) 1 – k (B) 1 + k (C) 2 – k (D) 2 + k 21. (AFA 1990) Se x > 1 é a solução da equação: log5
x 1 +log5
x 1
1 log5 3, 2
então x vale: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) nra 22. (AFA 1990) O domínio da função log2 [log1/4(x2 – 2x + 1)] é: (A) ]0,1/2[ ] 3/2, 2[ (B) ]–2, 0[ ] 3/2, 2[ (C) ] –1, 0[ ]3/2, + [ (D) ] – , ½ [ ]3/2, + [ (E) nra 23. (AFA 1990) O domínio da função f(x) = log[log(x+3)] é o intervalo: (A) ]– , – 3[ (B) ]– 3 , + [ (C) ]– , – 2[ (D) ]– 2 , +[ (E) nra 24. (AFA 1989) O logaritmo de um número numa certa base é 3, e o logaritmo, desse mesmo número, numa base igual ao dobro da anterior, é 2. Então, o número vale: (A) 64 (B) 65 (C) 75 (D) 76 25. (AFA 1989) A raiz da equação log (x –1) –
log(x 7) = log2 é: 2
(A) –9 (B) –3 (C) 3 (D) 9
ITA 26. (ITA 1999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log1/4 (x + 1) = log4 (x – 1). Então: (A) S é um conjunto unitário e S ] 2, + [; (B) S é um conjunto unitário e S ] 1, 2 [; (C) S possui dois elementos distintos e S ] –2, 2 [; (D) S possui dois elementos distintos e S ] 1, + [; (E) S é o conjunto vazio.
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IME V27. (IME 2012) Se o log102 = x e log103 = y, então log518 vale: (A)
x 2y 1x
(B)
xy 1 x
(C)
2x y 1 x
(D)
x 2y 1x
(E)
3x 2y 1x
28. (IME 2007) Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o menor número entre as alternativas abaixo é: (A) 430 (B) 924 (C) 2540 (D) 8120 (E) 62515.
29. (IME 1986) Determine log
30. (IME 2009)
Seja log 5 = m, log 2 = p e N = 125 3
0,333...
1562,5 52
0,037037 ...
. O valor de log5 N, em função de m e p, é
75m 6p 15m 70m 6p (B) 15m 75m 6p (C) 15m 70m 6p (D) 15m 70m 6p (E) 15p
(A)
31. (IME 1996) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre, em função de a e b, o logaritmo do número base 15.
5 11,25
no sistema de
32. (IME 1984) Seja log a o logaritmo decimal de a e log3 a o logaritmo de a na base 3. São dados: log 2 = e log 3 = . Calcule em função de e os valores de log N e log3 N onde
364,5 N = 243 4 3 2 onde e β são números reais positivos.
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NÍVEL B EFOMM 1. (EFOMM 2009) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que o nível sonoro β e a intensidade I de um desses sons esteja relacionado com a equação logarítmica β = 12 + log 10 I, em que β é medido em decibéis e I I em watts por metro quadrado. Qual é a razão 1 , sabendo-se que I1 corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de uma I2 aproximação de dois navios e que I2 corresponde a 6 decibéis no interior da embarcação? (A) 0,1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) 1000. 2. (EFOMM 2007) Leia e assinale a alternativa correta. Os Terremotos Abandonando-se um pequeno dado sobre a superfície terrestre, ocorrerá uma liberação de energia que a fará vibrar levemente. Se, no lugar do dado, for abandonado um tijolo, a energia liberada fará vibrar mais intensamente essa superfície. Imagine um cubo de granito com 2Km de aresta abandonado de uma altura de 280Km; a energia liberada será equivalente a 20 trilhões de Kwh. Essa foi a medida da energia liberada pelo terremoto ocorrido em San Francisco, Califórnia, em 1906. Mais violento ainda foi o terremoto que arrasou Lisboa, em 1755, liberando energia equivalente a 350 trilhões de kwh. Os logaritmos são aplicados na medida da intensidade de um terremoto. Na escala Richer, a intensidade de um terremoto é definida por: I = 2/3. log E/E0, em que E é a energia liberada pelo terremoto em kwh e E 0 = 10-3 kwh. O terremoto ocorrido em 1906 na cidade de San Francisco (EUA) registrou 9 pontos na escala Richter. Qual foi, então, a intensidade do terremoto que arrasou Lisboa em 1755? (dado log 7 = 0,845 e log 5 = 0,698) (A) 5,609 (B) 6,695 (C) 7,06 (D) 7,609 (E) 7,695.
AFA 3. (AFA 2011) Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir. Tomar x gotas do medicamento α de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log8 y = log2 6. Considerando log 2 =
3 e log 3 = 0,48, é correto afirmar que log2 x é um número do 10
intervalo (A) [3,4[ (B) [4,5[ (C) [5,6[ (D) [6,7[
1 2
4. (AFA 2010) Sejam as funções reais dadas por f(x) = 22x +1 e g(x)=3x +1 . Se b IR tal que f = 2g(b) e p = log3 b, então sobre p é correto afirmar que (A) não está definido. (B) é positivo e menor que 1. (C) é negativo e menor que 1. (D) é positivo e maior que 1.
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5. (AFA 2010) Sobre a função real f : D → IR dada por f(x) = 1 + log2(x2), é INCORRETO afirmar que é a) par b) sobrejetora x D c) crescente se x [1, + ∞[ d) injetora x D 6. (AFA 2008) Considere todo x IR que torne possível e verdadeira a igualdade log[f(x² −1)] = log x 4 2x 2 1 , onde f é função real de A em B e marque a alternativa correta. (A) O conjunto imagem de f é Im = IR+ – {1} (B) f é uma função injetora. (C) Se B = IR+ − {1}, então existe a inversa de f . (D) f tem domínio A = {x IR | x | > 1} 7. (AFA 2008) Considere as funções reais f: IR * IR tal que f(x) = x – 2 1 g: IR IR * tal que g(x) = 2
x
h: IR * IR tal que h(x) = –log2x e marque a alternativa correta. (A) O domínio da função k definida por k(x) =
g(x ) é o conjunto dos números reais positivos. h(x)
f ( x ) . h 1 ( x ) se anula em dois pontos distintos. (gof )( x ) (C) A função m definida por m(x) = −1+ (gof)(x) não possui raiz. (D) Se g(h(a)) = 8 e h(g(2b)) = log3 9, então (a − b) é um número primo. (B) A função j definida por j(x) =
8. (AFA 2007) Sabe-se que o isótopo do carbono, C14, tem uma meia vida de 5760 anos, isto é, o número N de átomos de C 14 na N após um espaço de tempo de 5760 anos. Essa substância radioativa se degrada segundo a seqüência N 2
substância é reduzido a
= N0 . 2–t, t {0, 1, 2, ...} em que N0 representa o número de átomos de C14 na substância no instante t = 0 e t é o tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base nas informações acima, pode-se dizer que (A) o número de átomos quando t = 1 era 5760 (B) o número de átomos será igual a um terço de N0 quando decorridos 1920 anos. (C) após 11520 anos haverá a quarta parte do número inicial de átomos. (D) quando t = 5760 haverá metade do número inicial de átomos. 9. (AFA 2006) Assinale a alternativa CORRETA. (A) log 2 3 log 1 1 . 4
9
(B) Se x log13 14 . log 2 3 . log 4 5
2 , então 1 x 2 . 5
(C) Se m 1 , então, um possível valor real de x tal que x m . log 3 x 1 é x 7 . 3 log 3 x 1
(D) Se x log 3 x
1 (0 x 1) , então, um possível valor de x é log 3 x
2.
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10. (AFA 2003) "Na semana passada, a Secretaria Municipal de Saúde do Rio de Janeiro anunciou que 5000 bombeiros participarão da campanha de combate à epidemia de dengue na cidade. É mais uma tentativa de deter o ritmo alucinante de crescimento da doença." Veja. 13 de março de 2002 Suponha uma cidade com 128.000 habitantes e que, em determinada ocasião, fosse constatado que 8000 habitantes estavam com dengue. Num estudo realizado, constatou-se que a taxa de aumento de pessoas contaminadas era de 50% ao mês. Com base nisso, pode-se afirmar que, caso não tomasse nenhuma providência, Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48 (A) toda população seria contaminada em dois meses. (B) em três meses, apenas 18.000 pessoas seriam contaminadas. (C) 40.500 pessoas seriam contaminadas em quatro meses. (D) dez mil pessoas seriam contaminadas exatamente na metade de um mês. 11. (AFA 2002) Sejam f e g funções definidas por f (x) x 2 4x 3 e g(x) logx1 x . O domínio de (gof)(x) é o conjunto dos números reais x, tais que (A) 0 < x < 1 ou x > 3 (B) x < 1 ou x > 3 (C) 1 < x < 3 e x 0 (D) x > 3. 12. (AFA 1995) No conjunto dos números reais, o campo de definição da função f(x) = log (x + 1) (2x2 – 5x + 2) é dado por: (A) {x IR / x 2 ou x = 1} (B) {x IR / –½ < x < 1 e x ½} (C) {x IR / –½ < x < 0 ou x 0} (D) {x IR / –1 < x < 0 ou 0 < x < ½ ou x > 2}
ESCOLA NAVAL 13. (EN 2010) Uma progressão geométrica infinita tem o 4º termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do produto de seus 10 primeiros termos vale 10 – 15 log52. Se S é a soma desta progressão, então o valor de log 2 S é (A) 2 + 3 log2 5 (B) 2 + log2 5 (C) 4 + log2 5 (D) 1 + 2 log2 5 (E) 4 + 2 log2 5 V14. (EN 2009) Sejam n IN tal que 24 + 25 + .... + 2n = 8176 e m o menor m IN tal que
m! 1 2 log 40 seja 6 2.4.6...(2m) 6
verdadeira. O produto m.n vale. (A) 120 (B) 124 (C) 130 (D) 132 (E) 143. 15. (EN 2009) Consideremos a, x IR * , x 1 e a 1. Denotemos por logx e logax, os logaritmos nas bases 10 e a
2
1 respectivamente. O produto das raízes reais da equação 2 1 log 2 (10) é (–1) x ) log(x
(A) 10 10 (B) 10 (C)
10 10 Página | 106
10 100 (E) 100. (D)
ex 1
16. (EN 2009) Seja n o menor inteiro pertencente ao domínio da função real de variável real (x) = ln 3
27 3 64 4
( x 1)
.
Podemos afirmar que logn 3 3 3 3... é raiz da equação (A) x3 – 2x2 – 9 = 0 (B) x3 + x – 1 = 0 (C) x4 – 4x2 – x + 2 = 0 (D) x2 – 4x + 3 = 0 (E) x4 – 4x2 + x + 1 = 0. 17. (EN 2008) No sistema cartesiano abaixo está esboçado uma porção do gráfico de uma função y(x) log 2 (x a) restrita ao intervalo [ 2 , 8 ] , a R * .
Se y(2) 2 , então o valor da área hachurada é: 3 (A) 6 log 4 3 . 2 (B) 12 log 2 3 . (C) 8 2 log 2 3 . (D) 6 log 1 3 . 2
(E) 12 log
2
3.
18. (EN 2008) Considere os conjuntos x2 A xR / 4 2x 3
e
B x IR / log9 (x 2 5x 7) 0 . Pode-se afirmar que A B é:
3 26 , . (A) , 2 7 10 2, . (B) , 9 10 (C) , 3 2 , . 9 Página | 107
10 3, . (D) , 9 26 , . (E) , 3 7 1
19. (EN 2006) Seja A o menor inteiro pertencente ao domínio da função real, de variável real, f(x) 4
9 4 16 3
(1 x)
. Pode-se
afirmar que log A 2 2 2 pertence ao intervalo:
1
(A) , 1 . 2
(B) 0 ,
1 3
.
1 1 , . 3 2
(C)
(D) 1 ,
3 . 2
3 ,2 . 2
(E)
2 2 V20. (EN 2005) Se a, b, m e n são números reais tais que a b 341ab , a 0 , b 0 , log3 2 m e log 3 7 n então o valor da expressão
log 3
[a b] 2 log 3 64ab
2
7 2 3 2 [log 9 2] log 1 14 é: 3
2 (A) m 6n 1 .
m2 7m 2 . 2 n2 3m 6n 2 . (C) 3 2 n2 6n 1 . (D) 2 (B)
2 (E) n 6m 1 .
21. (EN 1999) Sendo M o menor inteiro pertence ao domínio da função 1 f (x) ; (1 x ) 9 4 16 3 podemos afirmar que logM2 2 2 é: 7 4 7 (B) 8 3 (C) 4 3 (D) 8
(A)
Página | 108
(E)
1 . 4
V22. (EN 1991) Se f(x) =
1 1 e
x
, determine f –1(x)
(A) ln(x – 1) (B) ln 1/x 1 x (C) ln x x (D) ln 1 x (E) 1 + ex 1 : log32 0,25 243 23. (EN 1990) O valor de log0,125 4 : log0,04 0,008 log9
é: (A) –225/16 (B) –25/9 (C) –25/27 (D) 63/65 (E) 1
1 x podemos afirmar que : 1 x
24. (EN 1989) Dada a função f (x) ln (A) f(x + y) = f(x) + f(y) (B) f (xy) = f (x) + f (y) f ( x ) f ( y) (C) f(x + y) = xy
xy 1 xy
(D) f(x + y) = f
xy 1 xy
(E) f(x) + f(y) = f
25. (EN 1988) O conjunto solução da inequação
1 1 0}, A C = {x IR: log(x + 4) 0}, B C = {x IR: 0 2x + 7 < 2}. 30. (ITA 2007) Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log [(x + 2y) (w – 3z)-1] = 0, 2x+3z – 8. 2y-3z+w = 0, 3 2x y 6z 2w 2 0 .
101
31. (ITA 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S =
k 0
log8 (4 k 2) :
I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3 III. S = 3451 IV. S ≤ 3434 + log8 2 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira (s) apenas: (A) I e III (B) II e III (C) II e IV (D) II (E) III. 32. (ITA 2005) Considere a equação em x ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A soma das soluções da equação é (A) 0. (B) –1. (C) 1. (D) ln 2. (E) 2.
Página | 110
33. (ITA 2004) Seja x IR e a matriz ,
2 x ( x 2 1) 1 . A= 2 x log 2 5 Assinale a opção correta. (A) x IR, A possui inversa. (B) Apenas para x > 0, A possui inversa. (C) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. (D) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. (E) Para x = log2 5, A não possui inversa.
IME 34.
(IME
2010)
Seja
f ( x) 3 log( x) , X .
Sendo
n
um
número
inteiro
positivo,
a
desigualdade
n-3
f(x) 2f(x) 4f(x) 2 f(x) 9 ... somente é possível se: 4 12 36 3n-1 4
(A) 0 x 106 (B) 10-6 x 108 (C) 103 x 106 (D) 100 x 106 (E) 10-6 x 106
1 1 2 4
35. (IME 2008) Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito elementos 2,1, , ,... , e
S = log a + log a + ... + log a . 2 1
2 2
2 8
S Se b = e f(x) = x + 2b + 2x – bo valor de f(1) será: 5
(A) − 7 (B) 7 (C) 11 (D) − 11 (E) 1.
V36. (IME 2007) Considere o sistema de equações dado por 3 log 3 log 9 10 log 9 2 log 3 10
Determine o valor de
P Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação:
37. (IME 2003)
log (12x3 – 19x2 + 8x) = log(12x3 – 19x2 + 8x), onde log(y) e y representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y. V38. (IME 2002) Sabe-se que logab = X, logq b = Y e n > 0, onde n é um número natural. Sendo c o produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, calcule o valor de log c b em função de X, Y e n. 39. (IME 1985) Determine o valor de b tal que
lim n onde p = b(t+1) 2
n
log p
5t+1 = 4
t 0
t
.
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NÍVEL C AFA V1. (AFA 2006) Considere as funções reais f e g definidas por f (x) log3x e g(x) f (x 1) . Sabendo-se que existem f 1 e g 1 , é correto afirmar que o conjunto solução da equação g1(x) f 1(x) 2 é: (A) 1 . (B) . (C) log 3 2 1 . (D) 1 log 3 2 .
V2. (AFA 2006) Num certo dia, a temperatura ambiente era de 40°C. A água que fervia em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tinha a temperatura de 70°C. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura D entre um objeto e o meio que o contém é dada por D(t) D0.ea t , em que D0 é a diferença de temperatura no instante t 0 e D(t) a diferença num instante t qualquer. Sabendo-se que a temperatura de ebulição da água é de 100°C, n 2 0,7 e n 5 1,6 , pode-se dizer que a água atingirá a temperatura de 46°C: (A) 10 minutos após o fogo ter sido apagado. (B) entre 18 e 20 minutos após o fogo ter sido apagado. (C) exatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado. (D) aproximadamente 16 minutos após apagado o fogo. 3. (AFA 2003) Considere uma P.G. onde o 1o termo é a, a > 1, a razão é q, logq b = 2 e logc b = 0,01, então a soma dos termos da P.G. é (A) (C) (B) (D)
q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se loga b = 4,
a 41 a a 2 1 a 41 1 a 2 1 a 40 a a 2 1 a 40 1 a 2 1
.
4. (AFA 2001) A soma de todos os valores reais que satisfazem a equação x log4 x 16x , x > 0, é 17 (A) 4 33 (B) 4 65 (C) 4 129 (D) . 4 5. (AFA 2000) A expressão
b 2 a (log a ) log 2 (log c) log 0, b c com a, b, c R * , é verdadeira quando: (A) b2 = ac ou a = c (B) c2 = ab ou a = b (C) a = bc2 ou b = c (D) ac–1 = b2 ou a = b. Página | 112
6. (AFA 2000) Se b = 2
é: (A) (B) (C) (D)
x 2 x 12
, então o número de soluções inteiras que satisfaz a inequação 5 3 log b log b 7 4
4 5 6 7.
7. (AFA 1998) Seja
a y 1 ay
= x, com a R, a > 0 e a 1. Determinando-se y em função de x, o domínio da função assim
definida é (A) {x R l x 0}. (B) {x R l x 1}. (C) {x R l x < 1}. (D) {x R l 0 < x < 1}. 8. (AFA 1998) Se log10 x (log2 4 . log4 6 . log6 8) – 1, então (A) 0 < x 102 (B) 102 < x 104 (C) 104 < x 106 (D) 106 < x 108.
9. (AFA 1997) A soma das raízes da equação e2 ln x (log 5) – 5x(log 5) - (log 32) = –5, onde e = 2,7 é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6. 10. (AFA 1996) A solução da equação: x 3 – 2 x 3 = 2 é: (A) log2 (B) log7 log 3 (C) log 4 7 (D) log . 2 2
11. (AFA 1996) Seja (A) 1 k 2 (B) 10 k 20 (C) 10 k 100 (D) 10 k 1000.
π π x . Os valores de k, para que a expressão cossex = logk seja verdadeira, pertence ao intervalo: 6 2
12. (AFA 1996) Sejam a = 5 64 5 b = 4 3 4 e c = 4 128 Se x = min(a,b,c) e y= max(a,b,c) o valor de log2 (x . y-1) é: 11 (A) 20 22 (B) 15 Página | 113
11 20 22 (D) . 15
(C)
ESCOLA NAVAL 13. (EN 2012) Considere x, y, z e a números reais positivos, tais que seus logaritmos numa dada base a, são números primos log a (axy) 50
satisfazendo as igualdades
log a
x 22 . Podemos afirmar que z
loga (xyz) 12
vale:
(A) 8 (B) 56 (C) 58 (D) 11 (E) 12 xy 1 y2 V14. (EN 2012) Sendo x e y números reais, a soma de todos os valores de x e de y, que satisfazem ao sistema yx 1 x
, vale
36 5 9 (B) 2 5 (C) 2 25 (D) 4 1 (E) 2
(A)
V15. (EN 2010) Seja S o subconjunto de IR cujos elementos são todas as soluções de
log 1 2x 3 log 1 4x 1 3 3 . 5 (x 4) 0 35 2 (1 5x) 3x x 5 Podemos afirmar que S é um subconjunto de (A) ]–, –5[ ]1, +[ (B) ]–, –3[ ]3, +[ (C) ]–, –5[ ]3, +[ (D) ]–, –3[ ]2, +[ (E) ]–, –2[ ]4, +[
Página | 114
V16. (EN 2007) Seja b a menor das abscissas dos pontos de interseção das curvas definidas pelas funções reais de variável real f (x) x 5 n 2x e g (x) x 5 n 2 2x . O produto das raízes da equação 5
5
x log 5 x 5 2 log 2 b
é: (A) –1. 1 (B) . 5 1 (C) . 5 3 (D) . 5 (E) 1.
17. (EN 1993) O produto das raízes positivas da equação, 2
x log 5 x
x5 , 125
é: (A) 5 (B) 5 (C) 5 5 (D) 25 (E) 25 5 18. (EN 2012) Sejam e g funções cujo domínio é o conjunto D = { n IN / n 3} onde n representa o número de lados de um polígono regular. As funções e g associam respectivamente para cada n D, as medidas dos ângulos interno e externo do mesmo polígono. É correto afirmar que : (A) (n) < g(n) se e somente se (n–1)! = n!–(n–1)! . (B) Se (n)=g(n) então o polígono considerado é um triângulo equilátero. f (n) = 1 – log2(n–2) para todo n ou g(10) = 2(10) g(n)
(C) log2
(D) é injetora e sen((n) + g(n)) = 0 (E) (go)(n) está sempre definida.
ITA 19. (ITA 2010) Resolva a inequação em IR:
1 4
log 1 (x 2 x 19) 5
16
.
20. (ITA 2010) A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0, com x e y reais, representa: (A) o conjunto vazio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(x,y) IR2 |2(ex –2)2 + 3(ey – 3)2 = 1}.
Página | 115
V21. (ITA 2010) Analise se a função f : IR IR, f(x) = 1
3x 3 x é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f – 2
.
22. (ITA 2010) Considere conjuntos A, B IR e C (A B). Se A B, A C e B C são os domínios das funções reais definidas por ln(x –
),
x 2 6x 8 e
x , respectivamente, pode-se afirmar que 5x
(A) C = ,5 (B) C = [2, ] (C) C = [2, 5[ (D) C = [, 4] (E) C não é intervalo. 23. (ITA 2009) Seja S o conjunto solução da inequação (x – 9) log x 4 (x 3 26x) 0 . Determine o conjunto SC. V24. (ITA 2008) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por f(x) = ln(x2 – x + 1) é injetora, é dado por (A) IR (B) (–, 1) (C) [0,1/2] (D) (0, 1) (E) [1/2, ). V25. (ITA 2008) Seja f(x) = ln (x2 + x + 1), x IR. Determine as funções h, g : IR IR tais que f(x) = g(x) + h(x), x IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar. V26. (ITA 2007) Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente
ex 2 5 4 ey 5
são todos racionais. A soma x + y é igual a:
(A) 0. (B) 1. (C) 2 log5 3. (D) log5 2. (E) 3 loge 2. 27. (ITA 2006) Determine para quais valores de x (- /2, /2) vale a desigualdade logcos x(4sen2x-1) - logcos x(4–sec2 x)>2. V28. (ITA 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x) 29. (ITA 2002) Dada a função quadrática f(x) = x2 In
log 2 log 3 b –(3x) b = 0.
1 3 2 + x In6 – In , temos que: 4 2 3
(A) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais. (B) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima. (C) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo. In 2 In3 . In3 In 2 In 2 In3 (E) o valor máximo de f é 2 . In3 In 2
(D) o valor máximo de f é
Página | 116
30. (ITA 2002) Seja a função f dada por: 2 f(x) = (log35) . log5 8x–1 + log3 41+2x–x – log3 2x(3x+1). Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.
31. (ITA 2001) Sendo dado
1n 2 4 3 6 4 8...n 2n = an e 1n
2 3 3 4 4 ...2n 2n = bn
então, 1n 2 1n 3 1n 4 1n 5 1n 2n + – + ...+ 2 3 4 5 2n
é igual a: (A) an - 2bn (B) 2an - bn (C) an - bn (D) bn - an (E) an + bn. 32. (ITA 1999) Seja a R com a > 1. Se b = log2a, então o valor de log4 a3 + log2 4a + log2
a 2 1 a + (log8 a)2 – log 1 a 1 a 1 2
é: (A) 2b – 3 65 (B) b+2 18
2b 2 3b 1 2 2 2b 63b 36 (D) 18 2 b 9b 7 (E) . 9 (C)
V33. (ITA 1998) O valor de y R que satisfaz a igualdade logy49 = log y 2 7 + log2y7
é:
1 2 1 (B) 3 (C) 3 1 (D) 8 (E) 7. (A)
Página | 117
34. (ITA 1998) A inequação 4x log5 (x + 3) (x2 + 3) log1/5 (x + 3) é satisfeita para todo x S. Então: (A) S = ] –3, –2 ] [ –1, + [; (B) S = ] –, –3 [ [ –1, + [; (C) S = ] –3, –1 ]; (D) S = ] –2, + ]; (E) S = ] –, –3 [ ] –3, + [.
35. (ITA 1997) O domínio D da função
x 2 (1 2 ) x 2x 2 3x
f(x) = ln
é o conjunto (A) D = {x R : 0 < x < 3 /2} (B) D = {x R : x < 1/ ou x > } (C) D = {x R : 0 < x 1/ ou x } (D) D = {x R : x > 0} (E) D = {x R : 0 < x 1, seja S o conjunto solução da inequação 1 log1 / a loga a
x 7
log1 / a ( x 1).
Então S é o intervalo: (A) [4, +[ (B) [4, 7[ (C) ]1, 5] (D) ]1, 4] (E) [1, 4[. V37. (ITA 1996) Seja a R, a > 1. Para que
4, 5 x R *
; log 1 / a log a x 2 15 0 ,
o valor de a é: (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) 10. V38. (ITA 1996) Se (x0, y0) é uma solução real do sistema log2 ( x 2 y) log3 ( x 2 y) 2 , 2 x 4 y 2 4
então x0 + y0 é igual a: (A) 7/4 (B) 9/4 (C) 11/4 (D) 13/4 Página | 118
(E) 17/4. 1 , satisfazendo 3 log x ( x 2) = logx ( x + 2 ) 1 log 3 x
39. (ITA 1995) Se x é um número real positivo, com x 1 e x
2 log 3 x – log x 2 x Então x pertence ao intervalo I, onde
(A) I = 0,
(B) I = 0,
1 9 1 3
1 2
(C) I = , 1
(D) I = 1,
3 2
3 2
(E) I = , 2 .
40. (ITA 1994) Sejam x e y números reais, positivos e ambos diferentes de 1, satisfazendo o sistema:
1 1 x y 2 e log x log y log ( ) x y Então o conjunto (x, y) está contido no intervalo: (A) [2, 5] (B) ]0, 4[ (C) [–1, 2] (D) [4, 8[ (E) [5, [. 41. (ITA 1994) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão geométrica de razão a, com a > 0 e a 1. Se a soma de seus termos é igual a 13a + 12 e x é um número real positivo diferente de 1 tal que:
1 1 1 1 1 5 , loga x logb x logc x logd x loge x 2 então x é igual a: (A) 33 (B) 23 (C) (5/2)2 (D) (5/2)3/2 (E) (2/5)2. 42. (ITA 1993) O conjunto solução da inequação log x[(1 – x)x] < log x[(1 + x)x2] é dado por: (A) 1 < x < 3/2 (B) 0 < x < 1
2 1 2 2 (D) 0 < x < 2 (C) 0 < x <
(E) 0 < x <
2 –1. Página | 119
43. (ITA 1992) O domínio da função: f(x) log
2 x 2 3x 1
(3x2 – 5x + 2)
é: (A) (– , 0) (0, 1/2) (1, 3/2) (3/2, + ) (B) (– , 1/2) (1, 5/2) (5/2, + ) (C) (– , 1/2) (1/2, 2/3) (1, 3/2) (3/2, + ) (D) (– , 0) (1, + ) (E) n.d.a.
44. (ITA 1992) Numa progressão geométrica de razão inteira q > 1. Sabe-se que a1an = 243, logq Pn = 20 e logq an = 6, onde an é o enésimo termo da progressão geométrica e P n é o produto dos n primeiros termos. Então a soma dos n primeiros termos é igual a:
39 1 6 310 1 (B) 6 8 3 1 (C) 6 9 3 1 (D) 3 (E) n.d.a. (A)
45. (ITA 1991) Sejam a , a > 1 e f: IR IR definida por f(x) = (A) loga(x –
a x a x . A função inversa de f é dada por: 2
x 2 1 ), para x > 1
(B) loga(–x + x 2 1 ), para x IR (C) loga(x + (D) loga(–x + (E) nda.
x 2 1 ), para x IR x 2 1 ), para x < –1
R46. (ITA 1991) Seja IR IR definida por:
e x , se x 0 f ( x ) x 2 1, se 0 x 1 ln x, se x 1 Se D é um subconjunto não vazio de IR tal que f: D IR é injetora, então: (A) D = IR e f(D) = [–1 , + [ (B) D = ]–, 1] ]e , +[ e f(D) = ]–1 , +[ (C) D = [0 , +[ e f(D) = ]–1 , +[ (D) D = [0 , e] e f(D) = [–1 , 1] (E) n.d.a. Notação: f(D) = {y IR : y = f(x), x D} e ln x denota o logaritmo neperiano de x. V47. (ITA 1991) Numa progressão geométrica de razão q, sabe-se que: I- O produto do logaritmo natural do primeiro termo a1 pelo logaritmo natural da razão é 24. II- A soma do logaritmo natural do segundo termo com o III- O logaritmo natural do terceiro termo é 26. Se ln q é um número inteiro então o termo geral vale: (A) e6n–2 (B) e4 + 6n (C) e24n Página | 120
(D) e4+6n (E) nda 48. (ITA 1991) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3logx + log (2x + 3) 3 3 log 2, é dado por: (A) {x IR: x > 0} (B) {x IR : 1 x 3} 1 (C) {x IR : 0 < x } 2 1 (D) {x IR : x < 1} 2 (E) n.d.a. Notação: loga denota o logarítimo de a na base 10 V49. (ITA 1990) O conjunto das soluções reais da equação |ln (sen2 x)| = ln (sen2 x) é dado por: π (A){x IR : x = + k, k Z} 2 π (B){x IR : x = + k , k Z} 2 (C){x IR : x = 2k, k Z} (D){x IR : –1 x 1} (E){x IR : x 0}. 50. (ITA 1990) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12(33x) – 19(32x) + 8(3x) – 1 = 0 somam: (A) – log312 (B) 1 1 (C) – log312 3 (E) – 1 (E) log37. R51. (ITA 1990) Numa progressão geométrica de três termos a razão é e -2a, a soma dos termos é 7 enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é 3. Nestas condições o valor de a é: (A) ln
2
5 (B) –ln 2
(C) ln
3
(D) –ln 2 (E) não existe número real a nestas condições.
52. (ITA 1989) Sobre a expressão: M=
1 1 , log 2 x log5 x
onde 2 < x < 3 , qual das afirmações abaixo está correta ? (A) 1 M 2 (B) 2 < M < 4 (C) 4 M 5 (D) 5 < M < 7 (E) 7 M 10.
Página | 121
IME V53. (IME 2011) Seja f(x) = a senx + b 3 x + 4, onde a e b são números reais diferentes de zero. Sabendo que f ( log10 (log3 10) ) = 5, o valor de f ( log10 (log10 3) ) é: (A) 5 (B) 3 (C) 0 (D) – 3 (E) – 5 V54. (IME 2011) O valor de y real positivo na equação 5y (A) 70 (B) 35 (C) 1 1 (D) 35 1 (E) 70
log x 5
- 7y
log x 7
0 , onde x é um número real maior do que 1 é:
55. (IME 2005) (ANULADA) Sejam a, b, c e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que log ad , logbd e logcd são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que: c2 = (ac) loga b V56. (IME 2000) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema abaixo:
a x . b1 / y ab 2 . log a x log1 / b y . log
a
b
Determine os valores de x e y.
57. (IME 1988) Para que valores de x a função 1
f(x) = x ln x 4 . ln x2 1
Assume o valor e 4 ?
V58. (IME 1970) Calcule os valores de X e Y sabendo que:
log 5 x+y – 2 log 25 5 0 log 3 xy 5log 5 x y anti ln colog 5 x y 5log 3 9 0 log 3 e x y Obs: O símbolo ln significa logaritmo neperiano; e ébase dos logaritmos neperianos. (A) X = 3 e Y = 2 (B) X = 3 e Y = 1 (C) X = 5 e Y = 0 (D) X = 4 e Y = 1 Página | 122
(E) Solução impossível (F) Nenhuma das respostas acima.
CAPÍTULO 13 - GABARITO E SOLUÇÕES
CAPÍTULO 1 - LÓGICA NÍVEL A 1. D Temos que
p q p q ou p q q p Logo ((x 5) (y 6) ) ( (x 5) (y 6) ) ( (x 5) (y 6))
ou ((x 5) (y 6)) ( (y 6) (x 5) ) ((y 6) (x 5)) (D) 2. C 3. D
NÍVEL B 1. B A proposição é uma tautologia, pois, p q r (q r) p (q r) p q p r (p q ) ( p r ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
p (q r) (p q ) ( p r ) 1 1 1 1 1 1 1 1
NÍVEL C 1. D
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I. x 4 x 2 > 16 x 2 2y > 12 (V) e y 2 -2y > - 4 II. ( (5 4 (V) ) ou (10 2 (F) ) ) e (52 – 2 10 = 5 12) (F) III. x 2 1 0 x 1 x 2 > 16 x 2 2y >16-- 2 2 12 (V) e 2 y > 2 y 2 -2y > - 2 2
CAPÍTULO 2 – TEORIA DOS CONJUNTOS NÍVEL A 1. D É fácil notar que A – C B – A (A C) (C – (A B)) A – C B – A (A C) (C – (A B)) A B C logo n(A B C) n A – C n B – A n(A C) + n(C – (A B)) 25 13 10 n(A C) + n(C – (A B)) n(A C) + n(C – (A B)) 2. Uma vez que (A C) (C – (A B)) ( (B C) (A B C)) (A C) (C – (A B)) ( (B C) (A B C)) C Temos n(C) n(A C) + n(C – (A B)) n( (B C) (A B C))
n(C) 2 n( (B C) (A B C)) Como ((B C) (A B C)) (B A) n((B C) (A B C)) n(B A) 10 Temos n(C) 2 n((B C) (A B C)) 12. 2. B I - (F) Uma vez que L é o conjunto dos losangos, R é o conjunto dos retângulos e Q é um conjunto que contém L, temos que L Q L e como L R é o conjunto dos quadrados, então L Q L L R. II – (F) Uma vez que n(A) 4 então n(P(A)) 16. III- (V) Temos que a, b, c, d U Z a, b, c, d, e Z a, b, c, d, e e Z c, d U Z a, c, d, e Z a, c, d, e b Z a Z e Z Z a, c, e b, c, d Z c b Z d Z c Z
3. B Página | 124
4. D 5. C 6. B n(U) 100 n(T) 20 n(E) 40 n(T E) 100 50 50 Como n(T E) n(T) n(E) n(T E) 50 20 40 n(T E) n(T E) 10. 7. A 8. A 9. A
n(U) 36 0 0 0 n(1 2 3 ) x n(10 20 ) 9 n(20 30 ) 7 0 0 n(1 3 ) 10 0 n(1 ) 24 x n(20 ) 22 x 0 n(3 ) 24 x 0 0 0 n(1 2 3 ) 36 4 32 Como n(10 20 30 ) n(10 ) n(20 ) n(30 ) n(10 20 ) n(20 30 ) n(10 30 ) n(10 20 30 ) 32 (24 x) (22 x) (24 x) 9 7 10 x x 6. 10. C 11. C 12. C U {a, b, c, d, e, f , g, h} C C C (B A) f , g, h B A f , g, h C B A a, b A C \ B d, e A C BC d, e A B (A C BC ) C {a, b, c, f , g, h} Como
A B (A B) \ ((B A C ) (BC A)) {c} n(P(A B)) 21 2.
Página | 125
13. C
NÍVEL B 1. D n(A B) 23 n B \ A 12 n C \ A 10 n(B C) 6 n(A B C) 4
Como A (A B) \ (B \ A) n(A) n(A B) n(B \ A) 23 12 11 e A C A C \ A n(A C) n(A) n C \ A 11 10 21 A C \ A e A B C (A B) C \(A B) (A B) C \(A B) C \(A B) (C \A) \ ((B C) \ (A B C))
n(A B C) n(A B) n C \(A B) 23 (10 (6 4)) 31
2. C C1 S n(C1 ) n(C2 ) C 2 S De fato n(C1 ) n(C2 ) C1 C2 Logo o conjunto S só pode ter um elemento com uma determinada cardinalidade, ou seja, só pode ter um elemento que seja um conjunto com zero elemento, um elemento que seja um conjunto com um elemento, um elemento que seja um conjunto com dois elementos e assim sucessivamente, como C S 0 N(C) n n(S)max n 1. 3. B 4. Demonstração 5. B É importante notar que P() P(B \ A) P(B \ A) P() P(B \ A) Como
n(B \ A) n(A B) n(A) 12 8 4 n(P(B \ A)) 24 16. 6. D 7. A
NÍVEL C 1. B
Página | 126
n(S) 70% n(SC ) 30% C n(C) 75% n(C ) 25% C n(B) 80% n(B ) 20% n(R) 85% n(R C ) 15% n(SC ) n(CC ) n(BC ) n(R C ) 90% n(SC CC BC R C ) 90% n((S C B R) C ) 90% n(S C B R) 10%. 2. Suponha que: A e B e ( A \ B) ( B \ A) A
Então ( A \ B) ( B \ A) A.
Logo se x : x ( A \ B) ( B \ A) x ( A \ B) x ( B \ A) x ( A \ B)
Pois se x ( B \ A) x A.
Então x : x ( A \ B) ( B \ A) x ( B \ A) B \ A B A.
Então ( A \ B) ( B \ A) ( A \ B) A
A menos que
B O contraria a hipótese. 3. A 4. E 5. a) 4
b) 4096 6. C 7. A 8. a) 1, 2, 4 ou 8 b) 105 a) Devemos ter b) Queremos dividir oito objetos em quatro grupos cada um como dois elementos, logo
C82 C62 C42 C22 105 P4 9.
a) 2m b) 3 10. Demonstração Uma vez que (S1 S2 ) (P1 P2 ) x : x S1 S2 xP1 xP2 Suponha que x S1 S2 xP1 x S2 xP1 x P1 S2 x P2 x P1 P2 Analogamente se x S1 S2 xP2 x S1 xP2 x P2 S1 x P1 x P1 P2 Logo x : x S1 S2 x P1 P2 (S1 S2 ) (P1 P2 ) .
Página | 127
11. B 12. 44 13. Demonstração Temos que: (X Y) (X Z) ((X Y) (X Z)) ( (X Z) (X Y) )
((X Y) (X Z) C ) ( (X Z) (X Y) C ) ((X Y) (X C ZC )) ( (X Z) (X C Y C ) ) ( ((X Y) X C ) ((X Y) Z C )) ) (((X Z) X C ) ((X Z) Y C ) )) ( ((X Y) ZC )) ) ( ((X Z) Y C ) )) ((X Y) ZC ) ((X Z) Y C ) X ( (Y Z C ) (Z Y C )) X ( (Y Z) (Z Y)) X (Y Z).
CAPÍTULO 3 – PRODUTO CARTESIANO NÍVEL C 1. E (I)
(x, y) : (x, y) E x G (x, y) F x H Como (x, y) : (x, y) E x G (x E) (y G) temos (x, y) : (x, y) E x G (x E) (y G) (x F) (y H) x E x F E F e y G y H G H. Uma vez que
A B A B B
(II) e (III) são verdadeiras. 2. D
CAPÍTULO 4 – RELAÇÃO NÍVEL A 1. B A B (2,1), (2, 6), (2,8), (2,12), (3,1), (3, 6), (3,8), (3,12), (4,1), (4, 6), (4,8), (4,12) R1 {(2, 6), (4,8) }.
NÍVEL C 1. Demonstração
Página | 128
Sejam n IN * , a , b e c N * , então : (i) Re flexiva \ : a a 0
a a é múltiplo de n (a , a ) R n .
(ii) Simétrica : (a , b) R n a b é múltiplo de n b a é múltiplo de n (b, a ) R n . (iii) Transitiva : (a , b) R n a b é múltiplo de n a c (a b) (b c) é múltiplo de n (a , c) R n . (b, c) R n b c é múltiplo de n Logo Rn é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência. 2. Demonstração: (i) Re flexiva \ :
m i i 1 , i 1, 2, 3, 4 a i R a i , i 1, 2, 3, 4 .
(ii) Simétrica : M é simétrica , log o, mi j 1 m j i 1 Ou seja ai R a j a j R ai . (iii) Transitiva : Note que m 2 4 1 , m 41 1 e m 21 0 ou seja a 2 R a 4 , a 4 R a 1 porém a 2 R a 1 . Logo R é reflexiva, simétrica e não é transitiva, ou seja, R não é uma relação de equivalência. 3. Demonstração
CAPÍTULO 5 – CONJUNTOS NUMÉRICOS NÍVEL A 1. B 2. 2 2. 4 (2 2) 2 2. 2 2 2. 4 2 2. 2 2 par.
2. B 3. B Temos que:
m.m.c.(4,10) 20 n(4 10) n( 20).
Como n(4 10) n(4) n(10) n(4 10) n(4 10) 13 7 5 15 N(A) 15 9 24.
4. E
NÍVEL B 1. D
Página | 129
(I) Uma vez que : 5 4 0 2 5 25 5 2 S 4 4 16 5 Q 4
e
7 5 0 2 7 49 7 2 S 25 5 5 7 Q 5
(I) Verdadeira.
(II)
x IR : 0 x 2 S S (II) Falsa. (III) 2 0 2 2 2 2 2 S (III) Falsa. 2 Q
2. Demonstração
CAPÍTULO 6 – FUNÇÃO NÍVEL A 1. B 2. B Repare que: g(0,8) g(x), x 0, 1 Uma vez que
f (0,4) f (1) 0,8 temos que g(f (0,4)) g(f (1)) g(f (x)), x 0, 1 .
Logo opção (B) é falsa. 3. B Temos que: y2 3x 2 y x f (y) 3 e
3
y2 2 y4 3 2 2
x 3 y x y 3 g(y) 5(y 3) 2 5y 13 Assim f (g(x)) f (5x 13)
5x 13 4 5x 9 . 2 2
4. D 5. D Temos que f (1) f (5) 3 f (2) f (4) 0 f (3) 1 log o Im f 1, 0, 3 CD f IR
Logo f não é sobrejetora e nem injetora, porém n(Imf ) 3. 6. B As sequências Página | 130
(f (1),f (3),..., f (81)) e (f (0),f (2),..., f (70))
São duas progressões aritméticas de razão 3 com 41 e 35 termos respectivamente, logo, f (81) f (1) (41 1) 3 5 120 125 e f (70) f (0) (36 1) 3 10 105 115 log o
f (81) f (70) 10.
7. C 1 1 f 1 ( ) x f (x) . 9 9 Como f (x) t(h(2x)) temos h(2x) (2x)3 8x 3 f (x) t(h(2x)) t(8x 3 )
1 . 1 8x 3
Logo 1 1 1 x 1 f 1 ( ) 1. 3 1 8x 9 9
8. D 9. D 10. C f1 x
x 3 x 1
x 3 3 x 3 x 3 x 1 f 2 x =f1 f1 x = f1 = = x 3 x 1 x 1 1 x 1 x 3 3 x 3 x 3 x 3 x 1 f 3 x =f1 f 2 x = f1 = x f1988 (x) f 2 (x) . = x 3 x 1 1 x x 1 1 x 1
NÍVEL B 1. B (I) Falsa
0 S S U 0 (II) Falsa S \ U
2, 4,6 2 S \ U
S T U (III) Falsa Pois n(S) 4 n(T) 3 (IV) Verdadeira Pois n(S) 4 n(T) 3
2. D 3. A
NÍVEL C Página | 131
1. B (I) Sejam x l , x 2 IR com x l x 2 x l > x 2 f x l < f x 2 f x l f x 2 f x l f x 2 f injetora (I) Verdadeira. x l < x 2 f x l f x 2 f x l f x 2 (II)
f (x) f (x) , x IR f n decrescente (II) Falso. (III) Sejam 1 y1 f (x1 ) x1 f (y1 ) 1 x 2 f (y 2 ) y 2 f (x 2 )
f decrescente ( (x1 x 2 ) (f (x1 ) f (x 2 ) ) ( (f 1 (y1 ) f 1 (y 2 )) (y1 y 2 ) ) f 1 decrescente (III) Verdadeiro.
2. A (I) D R \ 1 f :D D x f x
x 1 . x 1
(a) Sejam x1 , x 2 D com x1 x 2 se f x1 f x 2 f x1 f x 2 f injetora
x1 1 x 2 1 x1 x 2 (Absurdo) x1 1 x 2 1
(b) Seja y D x 1 y 1 y 1 y x yD, x D :f (x) y f sobrejetora x 1 y 1 y 1 (a) e (b) (I) Verdadeiro. f (x) y
(II) (I) (II) Falso (III) D R \ 1 f :D D x f x
x 1 . x 1
1 1 1 x 1 x x 1 1 x f (x) f ( ) 0, x D \ 0 (III) Verdadeiro. x x 1 1 1 x 1 1 x x (IV)
D R \ 1 f :D D x 1 . x 1 x 1 x 1 f (x)f ( x) 1, x D \ 1 (IV) Falso. x 1 x 1 x f x
3. A
Página | 132
(I) f : IR IR nãoconstante x x x f x y f x f y , x, y IR f (x) = f ( + ) = (f ( )) 2 0, x IR . 2 2 2 Suponha que x IR: f (x) 0 f (x) f (x 0) f (x)f (0) 0 f (x) 0, x IR (Absurdo) f (x) 0, x IR (I) Verdadeiro. (II) f : IR IR não constante f x y f x f y , x, y IR Seja S n IN : f (nx) (f (x)) n , x IR P(k) verdadeiro k S. (i) P(1) Verdadeiro f (x) f (x) P(1) Verdadeiro (ii) (Hipotese) P(k) Verdadeiro k S f (kx) (f (x)) k , x IR f ((k 1)x) f (kx x) f (kx)f (x) (f (x)) k f (x) (f (x)) k 1, x IR k 1 S P(k 1) Verdadeiro PIF S IN* (II) Verdadeiro. (III) f : IR IR nãoconstante f x y f x f y , x, y IR f par f (0) f (x ( x)) f (x)f ( x) (f (x)) 2 , x IR f cons tan te (Absurdo) (III) Falso.
4. Demonstração 5. E 6. Demonstração Seja f : IR IR bijetora e ímpar e f –1:IR IR Seja y f 1 ( x) f (y) x x f (y) x f ( y) y f 1 (x) y f 1 (x) f 1 ( x) f 1 (x) x IR f 1 ímpar.
7. D 8. E 9. Demonstração 10. E f :
0,1 IR
x 0, 1 1 2 1 x x 1 (ii)f (x) f f 4 2 2 (i) f (x)
Seja 1 S n IN : f (x) n , x 0, 1 2 e P(n) verdadeiro n S
Página | 133
(a) (i) 1 S P(1) verdadeiro 1 , x 0, 1 2k x x 1 2 0, 1 f ( 2 ) 2k Uma vez que x 0, 1 x 1 0, 1 f ( x 1) 1 2 2k 2
(b)(Hipotese) P(k) verdadeiro k S f (x)
1 x 1 1 x 1 1 x x 1 1 1 f f f f k k k 1 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 P(k 1) verdadeiro k 1S
f (x)
PIF S IN*.
11. D 12. C 13. C f x 2f 2 – x
x
– 1 , x IR 3
f 2 – x 2f 2 – (2 x)
(2
– x) – 1 , x IR f 2 – x 2f x (1 – x)3 , x IR 3
f x 2f 2 – x x – 13 (1) 3 (2) f 2 – x 2f x (1 – x) (1) 2(2) 3f x 3 x – 1 , x IR f x 1 – x , x IR 3
3
f (g(x)) f (1 x) 1 – (1 x) x 3 , x IR. 3
14. B 15. B 16. A f : IR IR g : IR IR, decrescentes e sobrejetoras h : IR IR, h fog. (1)Sejam x1 , x 2 IR , x1 x 2 g(x1 ) g( x 2 ) h(g(x1 )) h g(x1 ) h(g( x 2 )) h g(x 2 ) h : IR IR crescente. (2) h : IR IR crescente h : IR IR injetora (3)f : IR IR e g : IR IR sobrejetoras h : IR IR sobrejetora (2) e (3) h : IR IR bijetora h : IR IR inversivel (4) h : IR IR crescente h 1 : IR IR crescente.
17. E 18. E 19. C 20. B 21. Demonstração
f : IR \ 0 IR : f a / b f a – f b (1) b 1 f( a) f a – f 1 , a IR (2)a 1 e b 1 f( 1) f 1 – f 1 2 f( 1) f 1 (3) a b 1 f( 1) f 1 – f 1 0 (2): f( 1) 0 (1): f( a) f a , a IR f par.
22. 2007
Página | 134
f : N IR :
(n 1)
n
f (k) 2008 (n 2) k 0
n
n 1
k 0
k 0
f (n) f (k) f (k) 2008 f (2006)
n 1 n n 2008 n 1 2008 2008 n2 n 1 n 2 n 1 (n 1)(n 2)
1 1 2007. 2007 f (2006)
23. Demonstração 1 f (x) [f (x)]2 2 f (x 2a) f ((x a) a) f : IR IR : f (x a)
1 f (x a) [f (x a)]2 2
1 2
1 1 2 2 f (x) [f (x)] f (x) [f (x)] 2 2
1 2
1 1 2 2 2 f (x) [f (x)] f (x) [f (x)] f (x) [f (x)] 2 4
1 1 1 1 1 1 f (x) [f (x)]2 f (x) f (x) f (x) f periodica. 2 4 2 2 2 2
2
24. Demonstração 25. Demonstração (1) Injetora : Sejam x1 , y1 e x 2 , y 2 IR 2 , x1, y1 x 2 , y 2 h x1 , y1 h x 2 , y 2
x
3 1
, x1 f y1 x 23 , x 2 f y 2
3 3 x1 x 2 x1 x 2 x1 , y1 x 2 , y 2 h injetora. x1 f y1 x 2 f y 2 f y1 f y 2 y1 y 2
(2) Sobrejetora Seja x, y IR 2 , x 0 , y 0 IR 2 : h x 0 , y 0 x, y ? Vamos sup or que sim h x 0 , y 0 x, y x 03 , x 0 f y 0 x, y x 03 x x 0 3 x 1 3 3 x 0 f y0 y f y0 x y y0 f ( x y ) h( 3 x , f 1 ( 3 x y )) (x, y) h sobrejetora. Em particular h 1 : IR 2 IR 2 (x, y) h 1 x, y ( 3 x , f 1 ( 3 x y ))
CAPÍTULO 7 – FUNÇÃO CONSTANTE CAPÍTULO 8 – FUNÇÃO DO 1° GRAU NÍVEL A 1. B O valor arrecadado pelas vendas em função do desconto concedido é dado por: p : IR IR
x p(x) (20 2x)(30 6x) Note que p(4) p(1) 648.
2. A Página | 135
Analisando os gráficos das funções f, g e h, nota-se que a locadora α é a mais vantajosa a partir do quilômetro em que o gráfico de f encontra-se abaixo dos gráficos de g e h, em particular pela análise gráfica, abaixo do gráfico de g. Assim f : IR IR x f (x) 50 g : IR IR 1 x g(x) 20 x 2 1 f (x) g(x) 50 20 x x 60 m 60. 2
3. B Temos que A : IR IR x A(x) mx h e A(2007) 34,8 2007m h 34,8 (1) A(2005) 29, 2 2005m h 29, 2 (2) (1) (2) 2m 5,6 m 2,8 h 5584,8 A : IR IR x A(x) 2,8x 5584,8 A(2006) 32 Aumento
32 29, 2 0,095 9,5% 29, 2
4. B 5. C 6. C Vamos determinar cada um dos conjuntos. A 1,2,3,4,6,8,12,24 3x 4 B x Z | 1 0 2x 9 3x 4 x 5 1 0 0 2x 9 2x 9
9 S ,5 2
Assim B 1,2,3,4 7. D 8. C
9. C Uma vez que Imf IR Então f não é sobrejetora. Além disso, f não é par, pois, f (1) 0 e f (1) 2 , nem ímpar, pois, f (0) 1 . 10. B 11. B Página | 136
Da semelhança de triângulos temos V 24.000 0,8V 20V 480.000 4V V 30.000 0,2V 6.000. 5 20
12. D Seja f : IR IR x f (x) ax b f 0 1 f 1 b 1 (a b) a 1 3 f –1 2 – f 0 a b 2 b a 2b 2 1 2b 2 b 2 f : IR IR x f (x) x
3 3 f (3) . 2 2
13. D f : IR IR x f (x) ax b f 0 10.000 b 10.000 f 5 1.000 5a b 1.000 5a 9.000 a 1.800 f : IR IR x f (x) 1.800x 10.000 f (3) 4.600.
14. D 1 1 1 2x 2 20 0 x x x
1 S (,0) , 2
NÍVEL B 1. C
Página | 137
Uma vez que (b(x))6 0 x 1 a(x) 0 0 x (, 4) 1, ) (a(x))5 .(b(x)) 6 x4 0 c(x) S (, 4) 1, ). 3 (c(x)) c(x) 0 x 4 0 x 4. 2. B 3. B 4. C 5. C 6. C 7. B 2x 3, 2x 3 3x 5 min 2x 3, 3x – 5 3x 5,3x 5 2x 3
2x 3, 8 x 3x 5, x 8 Logo min 2x 3, 3x – 5 4 x 8 2x 3 4 x
1 S1 2
ou x 8 3x 5 4 x 3 S2 ,3 S S1 S2 ,3
NÍVEL C 1. D 2. A 3. G não é par nem ímpar. f : 0, 1 IR
x
2x, 0 x 1/ 2 f x 2x 1, 1/ 2 x 1
e g : 1/ 2, 1/ 2 IR x
f (x 1/ 2 ), 1/ 2 x 0 g(x) 1 f (x 1/ 2), 0 x 1/ 2 2x, 1/ 2 x 0 2 2x, 0 x 1/ 2
4. C
CAPÍTULO 9 – FUNÇÃO DO 2° GRAU NÍVEL A
Página | 138
1. D
M N 6 x 2 – 6x 10 0 MN 10 1 1 MN 6 . M N MN 10 2. D
3. B 4. B 5. D Uma vez que f (x1 ) . f (x 2 ) 0 então existe r x1 , x 2 tal que f (r ) 0 , logo 0 , como f (x1 ) . f (x 2 ) 0 podemos garantir que 0 caso contrário teríamos f (x1 ) . f (x 2 ) 0. 6. B b b y x 2 ax 2 2 b b a 2 4 a 2 b2 2 2 0 a 2 b 2 0. 7. C 3x 3 x 2 5x 10 3x 3 x 2 5x 10 2x 2 3x 8 (2x 2 3x 8) 0 x2 x2 3x 3 x 2 5x 10 (x 2)(2x 2 3x 8) 0 x2 x 3 7x 6 (x 1)(x 2 x 6) (x 1)(x 2)(x 3) 0 0 0 x2 x2 x2 (x 1)(x 3) 0 1 x 3 S (1,3). x 2 8.
f : IR IR
x f (x) x 2 6x 9
Página | 139
9. f : IR IR x f (x) a(x 1)(x 5) f (1) 8 8a 8 a 1. f : IR IR x f (x) x 2 4x 5 a) a 1 b 4 c 5 b) f (0) 5 c) a 1 0 Valor Maximo d) xV
4 2 2(1)
yV
(4) 2 4(1)(5) 9 V (2, 9) 4(1)
e)
NÍVEL B 1. D I) Falso,
x2 a x a x IR {a} xa
II) Verdadeiro,
1 1 < 0 (a > ) x a ax a x2 – a2 < 0 x < –a ou x > a 2. A Se x1 = 1 ou x2 = 3 são as raízes, então xv = 2 Como xv = yv V(2, 2) Se f(x) ≥ 0 x A e f é crescente x [p, q], então pelo gráfico, tem-se p = 1 e q = 2 p – q = (2 – 1) = 1
3. 4. 5. 6. 7.
B C D C D
Se x < 1 temos que a < 0 uma vez que a concavidade da parábola está voltada para baixo. Além disso, como x1 0 e x 2 0 temos que, b b 0 0 b 0. a a a 0 a 0
Logo ab 0.
8. C L :IN IR 22 x x L(x) x 2x 50 3 30 L :IN IR 16 x 2 16 3 80. x L(x) x 50 x v 30 3 1 2 30 9. C
Página | 141
x 1 3 g(6) x f (x) 6 3x 6x 6 x 2x 2 0 ou x 1 3 g(6) 1 3 x 1 3 2
2
x 1 2 g(3) x f (x) 3 3x 6x 3 x 2x 1 0 ou x 1 2 g(3) 1 2 x 1 2 2
2
(g(6) g(3)) 2 ((1 3) (1 2)) 2 ( 3 2) 2 5 2 6. 10. B 11. D 12. D x 2 (2m 3)x (m 2 3) f (x) 0, x IR x 2 (2m 1)x (m 2 2)
1 2 2 2 2 x (2m 3)x (m 3) 0, x IR (2m 3) 4(m 3) 0 12m 3 0 m 4 1 m 4 x 2 (2m 1)x (m 2 2) 0, x IR (2m 1) 2 4(m 2 2) 0 4m 7 0 m 7 4 13. E
NÍVEL C 1. B 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. D 8. B 9. \ 10. A 11. \ 12. \ 13. D 14. \ 15. \ 16. \ 17. \ 18. \ 19. \ 20. \ 21. \
CAPÍTULO 10 – FUNÇÃO MODULAR NÍVEL A 1.
B
NÍVEL B 1. 2. 3. 4. 5.
C \ A C B Página | 142
6. 7. 8. 9.
C E E B
NÍVEL C 1. 2. 3. 4. 5. 6.
E A D A E \
CAPÍTULO 11 – FUNÇÃO EXPONENCIAL NÍVEL A 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
D C B A \ \ D \ \ B C C C A E C DEMONSTRAÇÃO
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
\ D D A C A B A B E B A A A C D D C \
NÍVEL B
Página | 143
NÍVEL C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
D D E \ \ \ \ \
CAPÍTULO 12 – FUNÇÃO LOGARITMO NÍVEL A 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.
E C A A \ A D D A C A D C B C C \ B C A \ E D \ \ B A A \ B \ \
NÍVEL B 1. 2. 3. 4. 5.
D \ D A ANULADA Página | 144
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.
ANULADA D C B C B \ \ D C C A D A B B C A E E B \ A \ \ B B A D C \ \ \ \
NÍVEL C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
D D A C A C D A C C \ \ \ \ C E C \ \ D \ Página | 145
22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.
C \ C \ E \ \ D \ C D D A E D \ D A\ \ \ \ \ \ B \ A \ B \ \ \ D \ ANULADA \ \ A
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Sistema de Ensino Interativo
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