Aula 04 - Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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PM-SP

POLÍCIA MILITAR DO ESTADO DE SÃO PAULO

Matemática Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Livro Eletrônico

ALESSANDRO PEDROSO Sargento da Polícia Militar do Distrito Federal. Especialista em Farmacologia Básica e Clínica pelo Centro Universitário Europeu (Unieuro), graduado em Farmácia Generalista pela Faculdade Integrada da União do Planalto Central (Faciplac), licenciando em Matemática pela Universidade Norte do Paraná (Unopar), professor de Regimento Interno da PMDF, Raciocínio Lógico e Matemática.

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MATEMÁTICA Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof. Alessandro Pedroso

SUMÁRIO 1. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares..............................................4 1.1. Matrizes – Operações, Matriz Inversa.......................................................4 Tipos de Matrizes........................................................................................5 Operações com Matrizes...............................................................................9 1.2. Determinante de uma Matriz Quadrada – Propriedade e Aplicações, Regra de Cramer................................................................................................ 23 Propriedade dos Determinantes................................................................... 28 1.3. Sistema Lineares, Matriz Associada a um Sistema, Resolução e Discussão de um Sistema Linear................................................................................ 37 Resumo.................................................................................................... 57 Questões Comentadas em Aula................................................................... 60 Questões de Concurso................................................................................ 76 Gabarito................................................................................................... 83

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1. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 1.1. Matrizes – Operações, Matriz Inversa

Obs.: matriz: é uma tabela com números reais dispostos em linhas e colunas. Chamamos de matriz m x n com m e n

ϵ aos números naturais, sendo m o

número de linha e n o número de colunas.

A matriz pode ser representada escrevendo-se os elementos entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais.

A matriz é indicada por letra maiúscula e seus elementos por letra minúscula: a11; os números indicam a posição do elemento, primeira linha e primeira coluna. A = (a11 a12 ) A=( 1 a21 a22 3 a11 = 1

2 ) 4

a12 = 2 a21 = 3 a22 = 4

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Uma matriz A também pode ser indicada como: A = (aij)m.n i = linha j = coluna Vamos formar uma matriz (aij)2x2 aij = 1 se i < j, 0 se i = j e 2 se i < j A = (a11 a12 ) a21 a22 Lembrando que i é a linha em que o elemento se encontra e j é a coluna em que o elemento se encontra. a11 = 0 se i = j a12 = 2 se i < j A = ( 0 1 a21 = 1 se i < j

2) 0

a22 = 0 se i = j

Tipos de Matrizes Matriz linha: quando a matriz é formada somente por uma linha. A = (2 3 4) Matriz coluna: quando a matriz é formada somente por uma coluna.

Matriz nula: quando todos os seus elementos são iguais a zero.

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Matriz quadrada: quando a matriz tem o mesmo número de linhas e de colunas.

Matriz quadrada de ordem 3 B=(1 3

2) 4

Matriz quadrada de ordem 2 Na matriz quadrada, temos a diagonal principal e a diagonal secundária:

Matriz Diagonal: quando todos os elementos de uma matriz que não pertencem à diagonal principal são nulos.

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Matriz identidade ou matriz unidade: quando todos os elementos da diagonal principal de uma matriz são iguais a 1 e todos os outros elementos é igual a zero.

Matriz oposta: chamamos matriz oposta de A (indicada por –A) invertendo o sinal de cada elemento de A.

Matriz transposta: chamamos de matriz transposta de A (indicada por At) quando invertemos a linha pela coluna. A = (aij)m.n At = (aij)n.m A2x2 =

A2x3 =

At 2x2 =

At 3x2 =

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1. (INSTITUTO EXCELÊNCIA/PREFEITURA DE TAGUARITUBA/PROFESSOR DE LINGUA EXTRANGEIRA/2016) Dada a matriz , assinale a alternativa que tenha respectivamente os números dos elementos a12, a23, a33 e a35. a) 0, 0, 7, 5. b) 0, 7, 7, 5. c) 6, 7, 0, 0. d) Nenhuma das alternativas.

Letra a. a12 = 0, a23 = 0, a33 = 7 e a35 =5

2. (INSTITUTO EXCELÊNCIA/PREFEITURA DE TAGUARITUBA/PROFESSOR DE LINGUA EXTRANGEIRA/2016) Assinale a alternativa CORRETA que contenha uma matriz do tipo matriz identidade de ordem 3:

a) b) c) d) Nenhuma das alternativas.

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Letra c. Matriz identidade de ordem 3.

Operações com Matrizes

Adição: temos duas matrizes A e B, que tem a mesma quantidade de colunas e a mesma quantidade de linhas.

A2x2 =

B2x2 =

A matriz C será a soma de A + B. A2x2

+ B2x2

= C2X2

= C2x2 =

Faço a Soma de: a11 + b11 = 1 + 3 = c11 = 4 a12 + b12 = 2 + 2 = c12 = 4 a21 + b21 = 3 + 0 = c21 = 3 a22 + b22 = 4 + 5 = c22 = 9

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Só podemos somar matrizes se elas tiverem os mesmos números de colunas e os mesmos números de linhas.

Subtração: tem as mesmas regras da adição. A2x3 =

B2x3 =

A matriz C será A-B

A2x3

+ B2x3

= C2x3 =

Faço a subtração de: a11 - b11 = 0 - 4 = c11 = - 4 a12 - b12 = -3 –(-2) = c12 = -1 a13 - b13 = 6 –(-3) = c13 = 9 a21 - b21 = 2 - 3 = c21 = -1 a22 - b22 = 4 - 0 = c22 = 4 a23 - b23 = -5 – (-1) = c23 = - 4

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Multiplicação de um número real por uma matriz: se temos uma matriz A do tipo m x n e o número real k, o produto de k.A é a multiplicação de k por cada elemento de A.

Exemplo: A=

k.A = 2.

e k= 2

=

3. (IBFC/POLÍCIA

=

CIENTÍFICA-PR/PERITO

e a matriz

CRIMINAL/2017)

Dadas

a

matriz

, assinale a alternativa que apresenta a matriz

C que representa a soma da matriz A e B, ou seja, C = A + B: a) b) c) d) e)

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Letra e.

4. (IBFC/POLÍCIA

CIENTÍFICA-PR/PERITO

e a matriz

CRIMINAL/2017)

Dadas

a

matriz

, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que

representa a subtração da matriz A e B, ou seja, C = A - B. a) b) c) d) e)

Letra e.

5. (MS CONCURSOS/PREFEITURA DE PIRAUBA/AGENTE FISCAL/2017) Sejam as matrizes

. A matriz A – B é igual a:

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a)

b)

c)

d)

Letra a.

6. (OBJETIVA/EPTC/AUXILIAR DE ADMINISTRAÇÃO/2012) Dadas as matrizes ,determinar A + B - C:

a)

b)

c)

d)

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Letra c.

Multiplicação de Matrizes: 1º para multiplicar matrizes, sempre multiplicamos as linhas matriz A pelas colunas da matriz B. 2º só podemos fazer a multiplicação de A.B, se o número de coluna de A for igual ao número de linhas de B. Am.n x Bm,n n (coluna) de A tem que ser igual m (linha) de B. A3.2 x B2.2 3º o número de linhas da matriz C, que é o produto de A.B, é igual à quantidade de linha de A e a quantidade de coluna de B. Am.n x Bm,n n (linha) de A tem que ser igual m (coluna) de B. Cm.n

Vou usar um linguajar menos técnico!

Am.n x Bm,n n e m lado de “dentro”, m e n lado de “fora”.

1º Só podemos multiplicar matrizes se as letras/números de dentro n (colunas) e m (linhas) forem iguais.

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2º O resultado do produto de A.B = Cm,n, que são as letras/números do lado de “fora”.

Exemplo:

A2,2 =

B2,3 =(

)

A2,2 x B2,3

1º Os números de dentro são iguais? Sim, então podemos multiplicar as matrizes (coluna de A tem que ser igual à linha de B). 2º O produto A2,2 x B2,3 será C2,3, são os números de fora (a nova matriz terá a mesma quantidade de linhas de A e a mesma quantidade de colunas de B).

Cada elemento de C do produto é obtido a partir da linha de A e da coluna de B que se cruzam. Faço a Multiplicação de: a11 x b11 + a12 x b21 = 1x1 + 2x2 = 5

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a11 x b12 + a12 x b22 = 1x2 + 2x1 = 4 a11 x b13 + a12 x b23 = 1x0 + 2x3 = 6 C2,3 =(

)

a21 x b11 + a22 x b21 = 3x1 + 4x2 = 11 a21 x b12 + a22 x b22 = 3x2 + 4x1 = 10 a21 x b13 + a22 x b23 = 3x0 + 4x3 = 12

Matriz inversa: dizemos que matriz quadrada X, de ordem n, admite inversa se existe uma matriz A-1, tal que An. An-1 = In. A matriz só é inversível se for uma matriz quadrada. Vejamos: Qual é o número inverso de 5? Eu sei que o número inverso de 5 é 5-1 ou , se eu multiplicar 5 pelo o seu número inverso, terei

. Consigo perceber que um número multiplicado pelo

seu inverso é igual a 1, e assim também é na matriz; uma matriz A multiplicada pelo seu inverso A-1 = a matriz identidade (In).

Exemplo: A=

quero descobrir a matriz inversa, então, vou representá-la A-1 =

.

Vou usar a informação que comentei. An. An-1 = In

Vamos fazer a multiplicação e depois vou igualar com a matriz identidade.

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3a = 1 a = 1/3 3b = 0 b = 0/3 = 0 1c = 0 1d = 1

Se uma matriz quadrada não admitir a sua matriz inversa, ela é chamada de matriz singular.

7. (SIGMA RH/CÂMARA MUNICIPAL CARAPICUÍBA/ASSISTENTE DE SERVIÇOS GERAIS/2013) Sejam

duas matrizes. Se B é inversa de A,

então x + y vale: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2

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Letra b.

2 + 2x =1 2x = 1-2 X – = -1/2 - 1 + 2y = 0 2y = 0 +1 y=½ =0

8. (VUNESP/PC-SP/DESENHISTA TÉCNICO PERICIAL/2014) Considere as matrizes , Em relação a MN, que é o produto da matriz M pela matriz N, é correto afirmar que

a) b) MN = [0 #31;2 3]

c)

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d)

e)

Letra a. M3X3. N3X1 MxN = Matriz 3x1

9. (IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR/PERITO CRIMINAL/2017) Dada a matriz e a matriz

, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que represen-

ta o produto da matriz A e B, ou seja, C = A * B. a) b) c) d) e)

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Letra e.

10. (CESPE/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA/2017) Dadas as matrizes A e B, calcular a matriz C=3A + 2B.

O resultado será igual a)

b)

c)

d)

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Letra a.

11. (CESPE/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA/2017) Considerando a matriz abaixo, julgue o próximo item.

A matriz A é inversível.

Certo. Para matriz ser inversível, é necessário que seja uma matriz quadrada e seu determinante tem que ser diferente de zero.

12. (IDECAN/AGU/AGENTE ADMINISTRATIVO/2014) Seja A uma matriz 2 x 3 e B uma matriz 3 x 2. A matriz C, resultante do produto da matriz A pela B, nesta ordem, é uma matriz de ordem a) 2 x 2

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b) 2 x 3 c) 3 x 2 d) 3 x 3 e) não é possível fazer o produto.

Letra a. A2x3 x B3X2 Os números de “dentro” 3 x 3 são iguais? Sim, então eu posso fazer a multiplicação. Se puder fazer a multiplicação, a Matriz C será constituída pelos números de “fora”, C2x2.

13. (SEPERJ/SEDUC-RJ/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2011) São dadas as matrizes

A matriz X é tal que AX = B.

A soma dos elementos da matriz X é: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

Letra b. AX = B

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2a - c = 3 2b –d = 1 a=1 b=2 2.1 – c = 3 - c = 3-2 c = -1 2b – d = 1 2.2 – d = 1 - d = 1-4 d=3 (a+b+c+d) = (1+2-1 + 3) = 5

1.2. Determinante de uma Matriz Quadrada – Propriedade e Aplicações, Regra de Cramer Determinante: é um número que pertence ao conjunto dos números reais e que está associado a uma matriz quadrada. Determinante de uma matriz de 1º ordem: se a matriz tem um elemento, o determinante dessa matriz será esse elemento. A = (4), então det A = 4

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A = (6), então det A = 6

Determinante de uma matriz de 2º ordem: o determinante é calculado pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Quero que você veja qual é a diagonal principal e qual é a diagonal secundária.

Determinante de uma matriz de 3º ordem: a figura a seguir nos mostra uma matriz quadrada A3X3. Dessa maneira, não há como calcular o determinante.

Para calcular o “det A”, iremos usar a regra de Sarrus; vou repetir as duas primeiras colunas após a terceira coluna e calcular a soma do produto da diagonal principal menos a soma do produto da diagonal secundária.

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(1x5x8 + 2x6x2 + 3x2x5) – (3x5x2 + 1x6x5 + 2x2x8) (1x5x8 + 2x6x2 + 3x2x5) – (3x5x2 + 1x6x5 + 2x2x8) (40 +24 + 30) – (30 + 30 + 32) (94) – (92) = 2 det A = 2

Cofator: em uma matriz quadrada de ordem ≥ 2, denominamos cofator aij o produto de (-1)i +j pelo determinante Dij da matriz obtida de A, excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna. A definição é um pouco difícil, mas, com o exemplo que vou usar, você vai perceber que é bem fácil. Aij = (-1)i + j. Dij A=

= Vamos calcular os cofatores de valores A11 e A32

A11 = (-1)1 + 1. D11. Localizamos a posição A11 e eliminamos a linha 1 e a coluna 1 a partir dessa posição.

A=

A11 = (-1)2.

Vamos calcular o determinante dessa matriz:

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A11 = 1. (3.6 – 7.8) A11 = 1. (18 – 56) A11 = - 38 A32 = (-1)3 + 2. D32 Localizamos a posição A32 e eliminamos a linha 3 e a coluna 2 a partir dessa posição.

A=

A32 = (-1)5.

Vamos calcular o determinante dessa matriz

A32 = - 40

14. (FUNDATEC/SEFAZ-RJ/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL/2014) Sendo

O cofator do elemento a23 da matriz transposta de A multiplicado pelo determinante da matriz inversa de B corresponde a a) -3 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/2 e) 2

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Letra b.

Aij = (-1)i + j. Dij A23= (-1)2+3.D2+3 A23= (-1)5.D2+3 = A23= -1. 1 = -1 B= B-1 = 2a =1 a=½ 2b = 0 b=0 4a -3c = 0 4.1/2 – 3c = 0 -3c = -2 c = 2/3 4b – 3d = 1 d = - 1/3 B-1 = det B-1 = ½ x (-1/3) = -1/6 (-1) x (-1/6) = 1/6

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15. (OBJETIVA/SAMAE DE CAXIAS DO SUL-RS/ASSISTENTE DE PLANEJAMENTO/2017) A quantidade de vagas para o cargo de Assistente de Planejamento em certo concurso público é representada pelo cofator a22 da matriz A de lei de formação (aij)3x3 = 2i - 6j. Ao todo, há quantas vagas para o cargo de Assistente de Planejamento nesse concurso público? a) 8 b) 12 c) 26 d) 34 e) 48

Letra e. (aij)3x3 = 2i - 6j

Cofator de A22 =

= (-4)x(-12) – (-16) x (0) = 48

Propriedade dos Determinantes Propriedade 1: o determinante de uma matriz quadra A é igual ao determinante de sua matriz transposta. det A = det At

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Propriedade 2: se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem todos iguais a zero, então os seus determinantes será zero.

Propriedade 3: se fizermos a multiplicação de uma fila de uma matriz A por um número k, o determinante da nova matriz B será igual a k multiplicado pelo determinante de A.

det B = k. det A Propriedade 4: em matrizes quadradas e triangulares, o determinante é feito pelos produtos dos elementos da diagonal principal.

1. (-2).6 = - 12

3.5.2 = 30

Propriedade 5: se em uma matriz A existir duas linhas ou duas colunas iguais ou múltiplas uma da outra, o determinante será nulo.

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Propriedade 6: a seguinte propriedade é válida para duas matrizes quadrada da mesma ordem. det (A.B) = det A. det B

16. (CESGRANRIO/PETROBRAS/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO/2018) Sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que det A. det B = 1. O valor de det (3A). det (2B) é a) 5 b) 6 c) 36 d) 72 e) 108

Letra d. det (a.M) = (M).an det (3A) = (A).32 = 9A – matriz de ordem 2 det (2B) = (B).23 = 8B – matriz de ordem 3 produto: det (3A). det (2B). (det A. det B) produto: 9.8.1 = 72

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17. (IFB/IFG/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2017) Seja A uma matriz 3 x 3. Sabendo-se que determinante de A é igual a 2, isto é, det (A) = 2, então os valores de det (2A−1) e det [(2A)2 ] são, respectivamente: a) 4 e 256 b) 1 e 16 c) 1 e 256 d) 4 e 16 e) 2 e 8

Letra a. det A. det A-1 = 1 det pA = pm. det A det (2A−1) pm = 23 = 8 8.det(A-1) det A. det A-1 = 1 2. det A-1 = 1 det A-1 = ½ 8.1/2 = 4 det [(2A)2 ] det (22.A2) det (4.A2) pm = 43 = 64 64. det (A2)

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64. det (A). det (A) det A = 2 64.2.2 = 256

18. (MS CONCURSOS/PREFEITURA DE ITAPEMA-SC/TÉCNICO CONTÁBIL/2017) Sabendo que o determinante da matriz é 10, então o determinante da matriz

é:

a) - 10 b) -20 c) 3 d) 20

Letra a. det A = 10 x=3 det B = - 20 – Usar a regra de Sarrus.

19. (INSTITUTO EXCELÊNCIA/PREFEITURA DE TAGUARITUBA/PROFESSOR DE LINGUA EXTRANGEIRA/2016) O valor do determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, tal que aij = 2i + j, é:

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a) 2 b) -2 c) 3 d) -3

Letra b. = 3x6 – 5x4 = 18-20 = -2 20. (VUNESP/PC-DF/PERITO CRIMINAL/2013) Considere a matriz M =

ea

equação em x dada por det M = 0. Sendo k uma constante real, pode-se afirmar sobre a equação que a) tem raízes x1 = – 2 e x2 = 2 para k = 0. b) é uma equação de 2.º grau. c) tem uma raiz real para k ≠ – 0,5. d) não possui raízes reais. e) sua raiz é dada por 2k + 1 para todo k.

Letra c. det M = 0 (0 +2+0) – (2kx + x + 0) (-2kx –x) + 2= 0 x ( -2k -1) + 2 = 0 x ( -2k -1) = -2 x = -2/(-2k -1)

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O denominador não pode ser zero -2k – 1 ≠ 0 -2k ≠ 1 k ≠ 1/-2 k ≠ - 0,5

21. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/ENGENHEIRO JUNIOR/2011) O determinante da matriz M, de ordem 3 por 3, é 240, e a matriz K é definida como sendo K = 2 x M. O valor do determinante da matriz K é a) 240 b) 480 c) 1440 d) 1920 e) 2160

Letra d. Matriz de ordem 3 det (k) = det (2xM) det k = 23 x det M det k = 8 x 240 = 1920

22. (ESAF/ANAC/TÉCNICO ADMINISTRATIVO/2016) Dada a matriz

, o

determinante da matriz 2A é igual a a) 40

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b) 10 c) 18 d) 16 e) 36

Letra a.

(2x1x4 +1x1x0+3x1x1) – (3x1x0+2x1x1+1x1x4) (8+0+3) – (0+2+4) 11-6 = 5 det 2A = det (2A)3 det 2A = 23 det (A) det 2A = 8 x 5 = 40

23. (FCC/BAHIAGÁS/ANALISTA DE PROCESSOS ORGANIZACIONAIS/2010) Considere as matrizes abaixo:

O valor de x para que det M1 = det M2 é a) 2 b) 4

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c) 8 d) 10 e) 12

Letra c. det M1 = 3x - 18 det M2 = (-4 + 0 + 4x) – (2x +0 +6) -4 + 4x -2x -6 2x -10 det M1 = det M2 3x - 18 = 2x -10 3x -2x = -10 + 18 x=8

24. (OBJETIVA/PREFEITURA DE CARLOS BARBOSA-RS/AGENTE ADMINISTRATIVO/2015) Dadas as matrizes A =

eB=

qual deverá ser o valor de x

para que se tenha det A = det B? a) -14 b) 3 c) -9 d) 5

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Letra c. A=

B=

det A = 7x – 24 det B = 9x - 6 det A = det B 7x – 24 = 9x – 6 7x – 9x = -6 +24 - 2x = 18 x = 18/-2 x = -9

1.3. Sistema Lineares, Matriz Associada a um Sistema, Resolução e Discussão de um Sistema Linear Sistema Linear: é um conjunto de equações lineares reunidas com o objetivo de obter soluções comuns. Exemplo:

Temos um sistema de equação linear no qual o objetivo comum é saber o valor de x e de y. Vamos fazer pelo método da substituição x+y=8 x=8–y

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x–y=3 (8-y) – y = 3 8 –y-y = 3 - 2y = 3-8 - 2y = -5 y = -5/-2 y = 2,5 x+y=8 x + 2,5 = 8 x = 8 – 2,5 x = 5,5 O valor de x é 5,5 e o de y é 3,5.

Equação linear: são equações do 1º grau que apresentam a seguinte forma: a1x1 + a2x2 +... anxn = b a1, a2 e an são os coeficientes x1, x2 e xn são as variáveis ou incógnitas b é o termo independente 2x + 4y = 20 Coeficiente: 2 e 4 Variáveis: x e y Termo independente: 20

Sistema linear: é qualquer conjunto de equações lineares. Representação de um sistema linear S de m equações com n incógnitas:

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Vamos para um exemplo para simplificar a teoria:

Calcule o valor de x, y e z do sistema linear acima. Vou dar o valor do x, y e z e, durante essa aula, vou ensinar a calcular. x=1 y=2 z=3 Vamos verificar se está correto

Substituindo os valores de x, y e z, percebemos que a equação está totalmente correta.

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Matriz Associadas a um Sistema Linear Sendo um sistema linear S de m equações a n incógnitas. Esse sistema pode ser associado às seguintes matrizes:

Matriz incompleta do sistema ou matriz dos coeficientes:

Matriz completa do sistema:

Forma matricial:

O sistema linear pode ser associado a uma matriz.

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Vejamos o seguinte sistema:

Sua matriz incompleta será:

São os coeficientes do x, y e z das três primeiras colunas do sistema linear citado. Quando a matriz incompleta A é quadrada, o seu determinante é o determinante do sistema. Se o seu determinante for diferente de zero, dizemos que a matriz é normal. Já ensinei a calcular determinante de matriz 3x3. O determinante do sistema é ( – 4). Sua matriz completa será:

Colocamos na última coluna o resultado do sistema. Sua forma matricial será:

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Resolução de um sistema linear n x n pela regra de Cramer: a regra de Cramer só serve para resolver sistemas normais, ou seja, matriz incompleta cujo o determinante seja diferente de zero. Temos o sistema:

1º passo: matriz incompleta do sistema:

2º passo: calcular o determinante do sistema = (- 4) “foi calculado no exemplo acima.” D=-4 3º passo: substituir a 1ª coluna do sistema pela coluna dos termos independentes do sistema completo. A primeira coluna será conhecida com DX. Termo independente:

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3º passo: calcular o determinante do novo sistema. DX = -4 4º passo: substituir a 2ª coluna do sistema pela coluna dos termos independentes do sistema completo. A será coluna e será conhecida com Dy.

5º passo: calcular o determinante do novo sistema. DY = - 8 6º passo: substituir a 3ª coluna do sistema pela coluna dos termos independentes do sistema completo. A será coluna e será conhecida com Dz.

7º passo: calcular o determinante do novo sistema. Dz = - 12 8º passo: colocar os determinantes calculados.

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D=-4 DX = -4 DY = - 8 Dz = - 12 9º passo: regra de Cramer estabelece que:

Muito trabalhoso, mas encontramos o valor de x, y e z.

25. (VUNESP/TJ-SP/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO/2017) Os preços de venda de um mesmo produto nas lojas X, Y e Z são números inteiros representados, respectivamente, por x, y e z. Sabendo-se que x + y = 200, x + z = 150 e y + z = 190, então a razão x/y é: a) 3/8 b) 1/3 c) 3/5 d) 2/3 e) 4/9

Letra d. x + y = 200 x + z = 150

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y + z = 190 y = 190 – z x = 150 –z x = 200 - y 150 – z = 200 – (190 – z) 150 – z = 200 – 190 + z - z –z = 200 – 190 – 150 - 2z = 200 – 340 - 2z = -140 z = -140/2 = 70 x + 70 = 150 x = 150 - 70 = 80 y + z = 190 y + 70 = 190 y = 190 – 70 y = 120 x/y = 80/120 = 8/12 = 4/6 = 2/3

26. (VUNESP/PREFEITURA DE SUZANO-SP/GUARDA CIVIL MUNICIPAL/2018) Uma empresa de ônibus trocou parte de sua frota por ônibus novos. Desse modo, a razão entre o número de ônibus novos e o número de ônibus usados agora é 1/4. Sabendo que o número de ônibus usados é 192, então, considerando-se todos os ônibus dessa frota, o número de ônibus novos corresponde a a) 20% b) 23% c) 27% d) 30% e) 32%

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Letra a. 1/4 = 0,25 192x0,25 = 48 total de ônibus novos 192 +48 = 240 240 100 48x 240x = 4800 X – = 4800/240 = 20%

27. (VUNESP/PREFEITURA DE SUZANO-SP/GUARDA CIVIL MUNICIPAL/2018) Em um colégio, trabalham 56 professores, entre homens e mulheres. Sabendo que o número de homens é igual a 3/4 do número de mulheres, então a diferença entre o número de mulheres e o número de homens é a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

Letra a.

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4x + 3x = 56.4 7x = 224 x = 224/7 x = 32 mulheres 56 – 32 = 24 homens 32 – 24 = 8

28. (VUNESP/CÂMARA DE DOIS CORRÊGOS-SP/OFICIAL DE ATENDIMENTO/2018) Em uma papelaria, foram colocados dois cestos com itens promocionais: um deles só com canetas (todas de mesmo valor) e outro só com borrachas (todas de mesmo valor). Sabendo-se que o valor de 6 canetas é igual ao valor de 16 borrachas e que uma borracha custa R$ 2,50 a menos que uma caneta, é correto afirmar que, se uma pessoa comprar 3 canetas e 6 borrachas, pagará no total a) R$ 21,00 b) R$ 23,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 30,00

Letra a. 6C = 16B C = 16/6B C=

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– B = 2,5 = 2,5 = 2,5 5B = 2,5X3 5B = 7,5 B = 7,5/5 = 1,5 C=

=4

3C + 6B 3. 4 + 6.1,5 = 21

29. (VUNESP/CÂMARA DE DOIS CORRÊGOS-SP/DIRETOR CONTÁBIL LEGISLATIVO/2018) Um levantamento efetuado pelo departamento de compras de uma empresa encontrou três marcas diferentes, A, B e C, para um mesmo produto, sendo o preço unitário do produto da marca A igual à metade da soma dos preços unitários dos produtos das marcas B e C. Se duas unidades da marca A, mais uma unidade da marca B e mais uma unidade da marca C custam, juntas, R$ 1.400,00, então três unidades da marca A irão custar a) R$ 1.050,00. b) R$ 1.100,00. c) R$ 1.150,00. d) R$ 1.250,00. e) R$ 1.300,00.

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Letra a. A= 2A + B + C = 1400 B + C = 1400 – 2A A= A = 700 – A 2A = 700 A = 700/2 = 350 350. 3 = 1050

30. (VUNESP/PREFEITURA DE GUARULHOS-SP/AGENTE ESCOLAR/2016) Com o dinheiro que Ana tem em sua carteira, ela compra 12 unidades de um produto e recebe R$ 1,20 de troco. Se ela tivesse R$ 10,00 a mais, compraria 4 unidades a mais desse mesmo produto e receberia R$ 1,60 de troco. O valor que Ana tem na carteira é a) R$ 25,00. b) R$ 27,50. c) R$ 30,00. d) R$ 32,50. e) R$ 35,00.

Letra c. x – 12y = 1,20

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x + 10 -16y = 1,60 x = 1,20 + 12y (1,20 + 12y) + 10 – 16y = 1,60 1,20 + 12y + 10 – 16y = 1,60 - 4y = 1,60 – 10 -1,20 - 4y = -9,6 y = -9,6/-4 = 2,4 x – 12 (2,4) = 1,20 x – 28,8 = 1,20 x = 1,20 + 28,80 = 30,00

31. (VUNESP/PREFEITURA DE GUARULHOS-SP/AGENTE ESCOLAR/2016) Com o dinheiro que Ana tem em sua carteira, ela compra 12 unidades de um produto e recebe R$ 1,20 de troco. Se ela tivesse R$ 10,00 a mais, compraria 4 unidades a mais desse mesmo produto e receberia R$ 1,60 de troco. O valor que Ana tem na carteira é a) R$ 25,00. b) R$ 27,50. c) R$ 30,00. d) R$ 32,50. e) R$ 35,00.

Letra c. 12 x + 1,2 = y

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16x + 1,6 = y + 10 16 x + 1,6 = (12x + 1,2) + 10 16x -12x = 1,2 +10 -1,6 4x = 9,6 x = 9,6/4 x = 2,4 12 x + 1,2 = y 12 (2,4) + 1,2 = y 12 (2,4) + 1,2 = y 28,8 + 1,2 = y y = 30

32. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/ANALISTA FISCAL DE SERVIÇO/2016) Em outubro de 2015, uma academia de ginástica tinha 416 alunos matriculados no período da noite e 132 no período da tarde. As projeções dessa academia indicam que, mensalmente, ela terá duas novas matrículas no período da noite e cinco no período da tarde. Confirmadas as projeções, e admitindo-se que alunos matriculados sempre permanecem matriculados, o número de alunos matriculados no período da noite será o dobro do número de alunos matriculados no período da tarde em a) setembro de 2016. b) março de 2017. c) novembro de 2016. d) agosto de 2017. e) maio de 2017.

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Letra e. N = noite T = Tarde M = Mês N= 2T N = 416 +2M T = 132 + 5M 416 + 2M = 2(132 + 5M) 416 + 2M = 264 + 10 M 10M- 2M = 416-264 8M = 152 M = 152/8 = 19

33. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/ANALISTA FISCAL DE SERVIÇO/2016) Em um posto de combustíveis, para abastecer um carro com 20 litros de gasolina aditivada e 35 litros de gasolina comum gastam-se R$ 185,50, ao passo que para abastecer com 35 litros de gasolina aditivada e 20 litros de gasolina comum gastam-se R$ 188,50. Nesse posto, o custo total ao abastecer um carro com 22 litros de gasolina aditivada e 22 litros de gasolina comum é igual a a) R$ 148,80. b) R$ R$ 149,60. c) R$ 146,40.

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d) R$ 152,60. e) R$ 151,40.

Letra b. 20A + 35C = 185,5 35A + 20C = 188,5 20A = 185,5 – 35C A= 35A + 20C = 188,5 35. (

) + 20C = 188,5

C = 3,3 20A + 35 (3,3) = 185,5 20 A = 185,5 – 115,5 20 A = 70 A = 70/20 = 3,5 22 X 3,3 = 72,6 22 X 3,5 = 77,0 72,6 + 77 = 149,60

34. (VUNESP/SAEG/TÉCNICO DE SANEAMENTO/2015) Sabe-se que o custo de um litro do produto x é R$ 15,00, e que o custo de um litro do produto y é R$ 6,00. Se o custo de um litro de uma mistura de determinadas quantidades desses dois produtos é igual a R$ 8,70, então o número de litros do produto x necessários para preparar 7 litros dessa mistura será igual a

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a) 1,75 b) 2,10 c) 2,45 d) 2,80 e) 3,25

Letra b. x + y = 1L y=1–x 15x + 6y = 8,70 15x + 6(1 –x) = 8,70 15x +6 – 6x = 8,70 9x = 8,70 -6 9x = 2,70 X – = 2,70/9 = 0,3 Valor Litros 8,70 1L X – 7L X – = 60,90 Total X Valor 0,3 8,70 X – 60,90 8,70x = 18,27 X – = 18,27/8,70 = 2,1

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35. (IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA/PR/AUXILIAR DE NECRÓPSIA/2017) Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma equação linear. a) x2 + y = 6 b) 2x + 3y - 2z = 10 c) x +y = z – 2 d) 3x + 2y = 7 e) 4x – 3y = x +y +1

Letra a. As equações lineares são equações de primeiro grau.

36. (CESGRANRIO/PETROBRAS/GEOFÍSICA/2014) O sistema linear

pode ser escrito no formato AX = B, onde A =

, X =

e B =

.

O método de Cramer para resolver sistemas, mas lineares considera, além do determinante de A, os determinantes das matrizes Ax = Az =

, Ay =

,

.

Para que o sistema acima não admita solução, deve-se ter, necessariamente, a) det A = 0 b) det Ax = 0 c) det Ax = det Ay = det A d) det Ax + det Ay + det Az = 0 e) det A = det Ax = det Ay = det Az

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Letra a. Se o determinante for igual a zero, o sistema não tem solução.

37. (CÂMARA DE MONGAGUÁ/SP/CÂMARA DE MONGAGUÁ-SP/PROCURADOR JURÍDICO/2016) Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.

a) (1; 1; 3) b) (1; 2; 3) c) (1; 3; 3) d) (1; 4; 3) e) (1; 4; 3)

Letra b. x+y+z=6 A única soma que é igual a 6 é a letra b. 1+2+3=6

Antes de resolver qualquer questão de matemática, olhe os resultados, pois, em algumas questões, não é preciso fazer contas.

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RESUMO • Matriz: é uma tabela com números reais dispostos em linhas e colunas. Chamamos de matriz m x n com m e n

ϵ aos números naturais, sendo m o

número de linha e n o número de colunas. • Matriz linha: quando a matriz é formada somente por uma linha. • Matriz coluna: quando a matriz é formada somente por uma coluna. • Matriz nula: quando todos os seus elementos são iguais a zero. • Matriz quadrada: quando a matriz tem o mesmo número de linhas e colunas. • Matriz diagonal: quando todos os elementos de uma matriz que não pertencem à diagonal principal são nulos. • Matriz identidade ou matriz unidade: quando todos os elementos da diagonal principal de uma matriz são iguais a 1 e todos os outros elementos são igual a zero. • Matriz oposta: chamamos matriz oposta de A (indicada por – A) invertendo o sinal de cada elemento de A. • Matriz transposta: chamamos de matriz transposta de A (indicada por At) quando invertemos a linha pela coluna. • Multiplicação de matrizes 1º Só podemos multiplicar matrizes se as letras/números de dentro n (colunas) e m (linhas) forem iguais. 2º O resultado do produto de A.B = Cm,n, que são as letras/números do lado de “fora”. • Matriz inversa: dizemos que matriz quadrada X, de ordem n, admite inversa se existe uma matriz A-1, tal que An. An-1 = In. A matriz só é inversível se for uma matriz quadrada.

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• Determinante: é um número que pertence ao conjunto dos números reais e que está associado a uma matriz quadrada. • Determinante de uma matriz de 1º ordem: se a matriz tem um elemento, o determinante dessa matriz será esse elemento.

A = (4), então det A = 4 A = (6), então det A = 6

• Determinante de uma matriz de 2º ordem: o determinante é calculado pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária. • Cofator: uma matriz quadrada de ordem ≥ 2, denominamos cofator aij – o produto de (-1)i +j pelo determinante Dij da matriz obtida de A, excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna. • Sistema linear: é um conjunto de equações lineares reunidas com o objetivo de obter soluções comuns. • Equação linear: são equações do 1º grau que apresentam a seguinte forma:

a1x1 + a2x2 +... anxn = b a1, a2 e an são os coeficientes x1, x2 e xn são as variáveis ou incógnitas b é o termo independente • Matriz associadas a um sistema linear: sendo um sistema linear S de m equações a n incógnitas. Esse sistema pode ser associado às seguintes matrizes:

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QUESTÕES COMENTADAS EM AULA 1. (INSTITUTO EXCELÊNCIA/PREFEITURA DE TAGUARITUBA/PROFESSOR DE LINGUA EXTRANGEIRA/2016) Dada a matriz , assinale a alternativa que tenha respectivamente os números dos elementos a12, a23, a33 e a35. a) 0, 0, 7, 5. b) 0, 7, 7, 5. c) 6, 7, 0, 0. d) Nenhuma das alternativas.

2. (INSTITUTO EXCELÊNCIA/PREFEITURA DE TAGUARITUBA/PROFESSOR DE LINGUA EXTRANGEIRA/2016) Assinale a alternativa CORRETA que contenha uma matriz do tipo matriz identidade de ordem 3:

a) b) c) d) Nenhuma das alternativas.

3. (IBFC/POLÍCIA

CIENTÍFICA-PR/PERITO

e a matriz

CRIMINAL/2017)

Dadas

a

matriz

, assinale a alternativa que apresenta a matriz

C que representa a soma da matriz A e B, ou seja, C = A + B:

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a) b) c) d) e)

4. (IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR/PERITO CRIMINAL/2017) Dadas a matriz (IBFC/ POLÍCIA CIENTÍFICA-PR/PERITO CRIMINAL/2017) Dadas a matriz matriz

e a

, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que representa a

subtração da matriz A e B, ou seja, C = A - B. a) b) c) d) e)

5. (MS CONCURSOS/PREFEITURA DE PIRAUBA/AGENTE FISCAL/2017) Sejam as (MS CONCURSOS/PREFEITURA DE PIRAUBA/AGENTE FISCAL/2017) Sejam as

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matrizes

. A matriz A – B é igual a:

a)

b)

c)

d)

6. (OBJETIVA/EPTC/AUXILIAR DE ADMINISTRAÇÃO/2012) Dadas as matrizes (OBJETIVA/EPTC/AUXILIAR DE ADMINISTRAÇÃO/2012) Dadas as matrizes ,determinar A + B - C:

a)

b)

c)

d)

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7. (SIGMA RH/CÂMARA MUNICIPAL CARAPICUÍBA/ASSISTENTE DE SERVIÇOS GERAIS/2013) Sejam

duas matrizes. Se B é inversa de A,

então x + y vale: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2

8. (VUNESP/PC-SP/DESENHISTA TÉCNICO PERICIAL/2014) Considere as matrizes (VUNESP/PC-SP/DESENHISTA TÉCNICO PERICIAL/2014) Considere as matrizes , Em relação a MN, que é o produto da matriz M pela matriz N, é correto afirmar que

a) b) MN = [0 #31;2 3] c)

d)

e)

9. (IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR/PERITO CRIMINAL/2017) Dada a matriz (IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR/PERITO CRIMINAL/2017) Dada a matriz

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e a matriz

, assinale a alternativa que apresenta a matriz C que represen-

ta o produto da matriz A e B, ou seja, C = A * B. a) b) c) d) e)

10. (CESPE/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA/2017) Dadas as matrizes A e B, calcular a matriz C=3A + 2B.

O resultado será igual a)

b)

c)

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d)

11. (CESPE/SEDF/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA/2017) Considerando a matriz abaixo, julgue o próximo item.

A matriz A é inversível. 12. (IDECAN/AGU/AGENTE ADMINISTRATIVO/2014) Seja A uma matriz 2 x 3 e B uma matriz 3 x 2. A matriz C, resultante do produto da matriz A pela B, nesta ordem, é uma matriz de ordem a) 2 x 2 b) 2 x 3 c) 3 x 2 d) 3 x 3 e) não é possível fazer o produto 13. (SEPERJ/SEDUC-RJ/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2011) São dadas as matrizes

A matriz X é tal que AX = B.

A soma dos elementos da matriz X é: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

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14. (FUNDATEC/SEFAZ-RJ/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL/2014) Sendo

O cofator do elemento a23 da matriz transposta de A multiplicado pelo determinante da matriz inversa de B corresponde a a) -3 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/2 e) 2 15. (OBJETIVA/SAMAE DE CAXIAS DO SUL-RS/ASSISTENTE DE PLANEJAMENTO/2017) A quantidade de vagas para o cargo de Assistente de Planejamento em certo concurso público é representada pelo cofator a22 da matriz A de lei de formação (aij)3x3 = 2i - 6j. Ao todo, há quantas vagas para o cargo de Assistente de Planejamento nesse concurso público? a) 8 b) 12 c) 26 d) 34 e) 48

16. (CESGRANRIO/PETROBRAS/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO/2018) Sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que det A. det B = 1.

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O valor de det (3A). det (2B) é a) 5 b) 6 c) 36 d) 72 e) 108

17. (IFB/IFG/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2017) Seja A uma matriz 3 x 3. Sabendo-se que determinante de A é igual a 2, isto é, det (A) = 2, então os valores de det (2A−1) e det [(2A)2 ] são, respectivamente: a) 4 e 256 b) 1 e 16 c) 1 e 256 d) 4 e 16 e) 2 e 8 18. (MS CONCURSOS/PREFEITURA DE ITAPEMA-SC/TÉCNICO CONTÁBIL/2017) Sabendo que o determinante da matriz é 10, então o determinante da matriz

é:

a) - 10 b) -20 c) 3 d) 20

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19. (INSTITUTO EXCELÊNCIA/PREFEITURA DE TAGUARITUBA/PROFESSOR DE LINGUA EXTRANGEIRA/2016) O valor do determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, tal que aij = 2i + j, é: a) 2 b) -2 c) 3 d) -3

20. (VUNESP/PC-DF/PERITO CRIMINAL/2013) Considere a matriz M =

ea

equação em x dada por det M = 0. Sendo k uma constante real, pode-se afirmar sobre a equação que a) tem raízes x1 = – 2 e x2 = 2 para k = 0. b) é uma equação de 2.º grau. c) tem uma raiz real para k ≠ – 0,5. d) não possui raízes reais. e) sua raiz é dada por 2k + 1 para todo k.

21. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/ENGENHEIRO JUNIOR/2011) O determinante da matriz M, de ordem 3 por 3, é 240, e a matriz K é definida como sendo K = 2 x M. O valor do determinante da matriz K é a) 240 b) 480 c) 1440 d) 1920 e) 2160

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22. (ESAF/ANAC/TÉCNICO ADMINISTRATIVO/2016) Dada a matriz

, o

determinante da matriz 2A é igual a a) 40 b) 10 c) 18 d) 16 e) 36

23. (FCC/BAHIAGÁS/ANALISTA DE PROCESSOS ORGANIZACIONAIS/2010) Considere as matrizes abaixo:

O valor de x para que det M1 = det M2 é a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 24. (OBJETIVA/PREFEITURA DE CARLOS BARBOSA-RS/AGENTE ADMINISTRATIVO/2015) Dadas as matrizes A =

eB=

qual deverá ser o valor de x

para que se tenha det A = det B? a) -14 b) 3

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c) -9 d) 5 25. (VUNESP/TJ-SP/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO/2017) Os preços de venda de um mesmo produto nas lojas X, Y e Z são números inteiros representados, respectivamente, por x, y e z. Sabendo-se que x + y = 200, x + z = 150 e y + z = 190, então a razão x/y é: a) 3/8 b) 1/3 c) 3/5 d) 2/3 e) 4/9 26. (VUNESP/PREFEITURA DE SUZANO-SP/GUARDA CIVIL MUNICIPAL/2018) Uma empresa de ônibus trocou parte de sua frota por ônibus novos. Desse modo, a razão entre o número de ônibus novos e o número de ônibus usados agora é 1/4. Sabendo que o número de ônibus usados é 192, então, considerando-se todos os ônibus dessa frota, o número de ônibus novos corresponde a a) 20% b) 23% c) 27% d) 30% e) 32% 27. (VUNESP/PREFEITURA DE SUZANO-SP/GUARDA CIVIL MUNICIPAL/2018) Em um colégio, trabalham 56 professores, entre homens e mulheres. Sabendo que o número de homens é igual a 3/4 do número de mulheres, então a diferença entre o número de mulheres e o número de homens é

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a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

28. (VUNESP/CÂMARA DE DOIS CORRÊGOS-SP/OFICIAL DE ATENDIMENTO/2018) Em uma papelaria, foram colocados dois cestos com itens promocionais: um deles só com canetas (todas de mesmo valor) e outro só com borrachas (todas de mesmo valor). Sabendo-se que o valor de 6 canetas é igual ao valor de 16 borrachas e que uma borracha custa R$ 2,50 a menos que uma caneta, é correto afirmar que, se uma pessoa comprar 3 canetas e 6 borrachas, pagará no total a) R$ 21,00 b) R$ 23,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 30,00

29. (VUNESP/CÂMARA DE DOIS CORRÊGOS-SP/DIRETOR CONTÁBIL LEGISLATIVO/2018) Um levantamento efetuado pelo departamento de compras de uma empresa encontrou três marcas diferentes, A, B e C, para um mesmo produto, sendo o preço unitário do produto da marca A igual à metade da soma dos preços unitários dos produtos das marcas B e C. Se duas unidades da marca A, mais uma unidade da marca B e mais uma unidade da marca C custam, juntas, R$ 1.400,00, então três unidades da marca A irão custar

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a) R$ 1.050,00. b) R$ 1.100,00. c) R$ 1.150,00. d) R$ 1.250,00. e) R$ 1.300,00.

30. (VUNESP/PREFEITURA DE GUARULHOS-SP/AGENTE ESCOLAR/2016) Com o dinheiro que Ana tem em sua carteira, ela compra 12 unidades de um produto e recebe R$ 1,20 de troco. Se ela tivesse R$ 10,00 a mais, compraria 4 unidades a mais desse mesmo produto e receberia R$ 1,60 de troco. O valor que Ana tem na carteira é a) R$ 25,00. b) R$ 27,50. c) R$ 30,00. d) R$ 32,50. e) R$ 35,00.

31. (VUNESP/PREFEITURA DE GUARULHOS-SP/AGENTE ESCOLAR/2016) Com o dinheiro que Ana tem em sua carteira, ela compra 12 unidades de um produto e recebe R$ 1,20 de troco. Se ela tivesse R$ 10,00 a mais, compraria 4 unidades a mais desse mesmo produto e receberia R$ 1,60 de troco. O valor que Ana tem na carteira é a) R$ 25,00. b) R$ 27,50. c) R$ 30,00.

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d) R$ 32,50. e) R$ 35,00.

32. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/ANALISTA FISCAL DE SERVIÇO/2016) Em outubro de 2015, uma academia de ginástica tinha 416 alunos matriculados no período da noite e 132 no período da tarde. As projeções dessa academia indicam que, mensalmente, ela terá duas novas matrículas no período da noite e cinco no período da tarde. Confirmadas as projeções, e admitindo-se que alunos matriculados sempre permanecem matriculados, o número de alunos matriculados no período da noite será o dobro do número de alunos matriculados no período da tarde em a) setembro de 2016. b) março de 2017. c) novembro de 2016. d) agosto de 2017. e) maio de 2017.

33. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/ANALISTA FISCAL DE SERVIÇO/2016) Em um posto de combustíveis, para abastecer um carro com 20 litros de gasolina aditivada e 35 litros de gasolina comum gastam-se R$ 185,50, ao passo que para abastecer com 35 litros de gasolina aditivada e 20 litros de gasolina comum gastam-se R$ 188,50. Nesse posto, o custo total ao abastecer um carro com 22 litros de gasolina aditivada e 22 litros de gasolina comum é igual a a) R$ 148,80. b) R$ R$ 149,60. c) R$ 146,40.

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d) R$ 152,60. e) R$ 151,40.

34. (VUNESP/SAEG/TÉCNICO DE SANEAMENTO/2015) Sabe-se que o custo de um litro do produto x é R$ 15,00, e que o custo de um litro do produto y é R$ 6,00. Se o custo de um litro de uma mistura de determinadas quantidades desses dois produtos é igual a R$ 8,70, então o número de litros do produto x necessários para preparar 7 litros dessa mistura será igual a a) 1,75 b) 2,10 c) 2,45 d) 2,80 e) 3,25

35. (IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR/AUXILIAR DE NECRÓPSIA/2017) Assinale a alternativa que NÃO apresenta uma equação linear. a) x2 + y = 6 b) 2x + 3y - 2z = 10 c) x +y = z – 2 d) 3x + 2y = 7 e) 4x – 3y = x +y +1

36. (CESGRANRIO/PETROBRAS/GEOFÍSICA/2014) O sistema linear

pode ser escrito no formato AX = B, onde A =

, X =

e B =

.

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O método de Cramer para resolver sistemas, mas lineares considera, além do determinante de A, os determinantes das matrizes Ax = Az =

, Ay =

,

.

Para que o sistema acima não admita solução, deve-se ter, necessariamente, a) det A = 0 b) det Ax = 0 c) det Ax = det Ay = det A d) det Ax + det Ay + det Az = 0 e) det A = det Ax = det Ay = det Az

37. (CÂMARA DE MONGAGUÁ/SP/CÂMARA DE MONGAGUÁ-SP/PROCURADOR JURÍDICO/2016) Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.

a) (1; 1; 3) b) (1; 2; 3) c) (1; 3; 3) d) (1; 4; 3) e) (1; 4; 3)

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QUESTÕES DE CONCURSO 38. (CESGRANRIO/TRANPETRO/TÉCNICO EM ENFERMAGEM/2011) A Tabela I apresenta as quantidades médias de combustível, em litros, vendidas semanalmente em três postos de abastecimento de uma mesma rede. O preço praticado em um dos postos é o mesmo praticado pelos outros dois. Esses preços, por litro, em duas semanas consecutivas, estão apresentados na Tabela II.

Com os dados das tabelas I e II são montadas as matrizes A e B a seguir.

Seja C2x3 a matriz que apresenta os valores médios arrecadados em cada um dos três postos, por semana, com a venda de combustíveis. Identificando-se At e Bt como as matrizes transpostas de A e de B, respectivamente, a matriz C é definida pela operação a) A.B b) At. Bt c) B.A d) B t.A e) B t.At

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39. (IDECAN/SEARH-RN/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/2016) Considere uma matriz A = (aij)3 x 3, com aij = 2i – j e outra matriz diagonal B = (bij)3 x 3 cujos elementos não nulos são tais que bij = 3i – 2j. O determinante da matriz D, tal que D = A – B, é: a) -12 b) -15 c) -27 d) -47

40. (IBFC/CÂMARA MUNICIPAL DE VASSOURAS - RJ/MOTORISTA/2015) Considerando as matrizes A =

e B =

então o resultado da expressão

é igual a: a) 4/3 b) -2 c) 3/4 d) 2 e) 1/2

41. (OBJETIVA/PREFEITURA DE AGUDOS-RS/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2015) Dadas as matrizes

, analisar os itens abaixo:

I – Os determinantes das matrizes A e B são, respectivamente, 2 e 0. II – A + B =

.

III –

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Estão CORRETOS: a) Somente os itens I e II. b) Somente os itens I e III. c) Somente os itens II e III. d) Todos os itens.

42. (FUNDATEC/BRDE/ANALISTA DE SISTEMAS/2015) Considere as seguintes matrizes:

, a solução de C x B + A é:

a) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. b) c) d) e)

43. (FUNCAB/SEE-AC/PROFESSOR/2014) Determine a soma dos elementos da matriz inversa da matriz A, representada a seguir.

a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,7 e) 0,8

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44. (CETRO/FUNDAÇÃO CASA/AGENTE ADMINISTRATIVO/2014) Observe a matriz abaixo.

Dada a matriz, assinale a alternativa que apresenta o valor de X = -4 + detA. a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) -4/3 e) -5/3

45. (QUADRIX/CRB 6º REGIÃO/BIBLIOTECÁRIO FISCAL/2014) São dadas as matrizes A e B, onde cada elemento de A é encontrado através de aij=3i-5 e cada elemento de B é encontrado através de aij=4i. Qual é o elemento c11 da matriz C, onde c11 é a soma de a11 com b11? a) -2 b) 6 c) 3 d) 4 e) 7

46. (VUNESP/CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/TÉCNICO LEGISLATIVO/2018) Carlos tem uma meta de valor a arrecadar com a venda de certo total de unidades de um produto. Se ele vender cada unidade do produto a R$

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20,00, ele supera a meta em R$ 300,00. Se ele vender cada unidade do produto a R$ 15,00, o valor arrecadado fica R$ 100,00 abaixo da meta. Para que a meta seja exatamente atingida, Carlos deverá vender cada unidade do produto pelo valor de a) R$ 18,25. b) R$ 17,75. c) R$ 17,25. d) R$ 16,75. e) R$ 16,25.

47. (VUNESP/PREFEITURA DE GRAÇA-SP/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA/2018) Em uma sala de aula, há 16 meninos e certo número de meninas. Se nessa sala tivesse um menino a menos e uma menina a mais, a razão entre o número de meninos e o número de meninas seria 3/4. Logo, o número total de alunos dessa sala é a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37

48. (VUNESP/IPSM/ASSISTENTE DE GESTÃO MUNICIPAL/2018) Amanda tem a quantia exata em reais para comprar 5 unidades de um produto nacional e mais 9 unidades de um produto importado. Sabendo que se ela comprar 3 unidades do produto nacional e mais 7 unidades do produto importado sobram R$ 180,00, então quem comprar apenas uma unidade de cada produto gastará o total de

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a) R$ 45,00. b) R$ 60,00. c) R$ 75,00. d) R$ 90,00. e) R$ 105,00.

49. (VUNESP/PREFEITURA DE BARRETOS-SP/PROFESSOR/2018) Beto precisava comprar um tipo específico de caderno. Fez um levantamento e encontrou três fornecedores diferentes para o produto procurado. Verificou que, usando totalmente a quantia de que dispunha para esse fim, seria possível comprar 3 unidades do fornecedor A, mais 2 unidades do fornecedor B, ou 7 unidades do fornecedor C, cujo preço unitário era de R$ 21,00. Sendo o preço unitário do fornecedor B menos o preço unitário do fornecedor A igual a R$ 11,00, é correto afirmar que o preço unitário do fornecedor A era igual a a) R$ 36,00. b) R$ 34,00. c) R$ 30,00. d) R$ 28,00. e) R$ 25,00

50. (VUNESP/CÂMARA DE COTIA-SP/CONTADOR/2017) Hoje Ale, Bia e Cadu fazem aniversário e a soma de suas idades é igual a 71 anos. Hoje, o dobro da idade de Ale é maior que o triplo da idade de Cadu em 1 ano. Sabendo que essas 3 pessoas têm mais do que 18 anos e menos do que 30 anos, a idade que Bia completou hoje, em anos, é igual a

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a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

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GABARITO 1. a

26. a

2. c

27. a

3. e

28. a

4. e

29. a

5. a

30. c

6. c

31. c

7. b

32. e

8. a

33. b

9. e

34. b

10. a

35. a

11. C

36. a

12. a

37. b

13. b

38. d

14. b

39. a

15. e

40. a

16. d

41. b

17. a

42. b

18. a

43. a

19. b

44. c

20. c

45. d

21. d

46. e

22. a

47. b

23. c

48. d

24. c

49. e

25. d

50. b

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