SISTEMAS LINEARES - MÉTODO DA ADIÇÃO

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Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas

O objetivo dessa aula é resolver um sistema de duas equações lineares utilizando o método da adição. Existem equações com duas incógnitas, como por exemplo: x + y = 4 Mas e se tivermos duas equações com duas incógnitas? Assim: 3x + y = 2 x - y = 10 Alguém sabe como podemos resolver? VAMOS COMEÇAR PENSANDO NA SEGUINTE SITUAÇÃO: Eduardo vai estender as roupas que utiliza aos fins de semana para jogar futebol. Dentre essas roupas existem pares de meias e shorts. Ele utiliza um único prendedor para cada par de meia e dois prendedores para cada short. Ele utilizou 20 prendedores pendurando 25 peças no varal. Quantos pares de meia Eduardo estendeu? *Obs.: Cada par de meia corresponde a DUAS peças Vamos pensar um pouquinho... NÃO SABEMOS QUANTOS PARES DE MEIA EDUARDO TEM, ENTÃO VAMOS CHAMAR DE “m” O NÚMERO DE PARES DE MEIAS. SE “m” É O NÚMERO DE PARES DE MEIA, ENTÃO, PARA CADA PAR DE MEIA, TEREMOS 2 PEÇAS. TAMBÉM NÃO SABEMOS QUANTOS SHORTS ELE TEM, ENTÃO VAMOS CHAMAR DE “s” O NÚMERO DE SHORTS QUE EDUARDO TEM. Se Eduardo tem 25 peças no varal, se “juntarmos” os pares de meia e os shorts, o resultado será 25. Então…

2m + s = 25 Em cada par de meia, Eduardo usou 1 prendedor. Se ele colocou 1 par de meia no varal, ele usou 1 prendedor. (1 vezes 1) Se ele colocou 2 pares de meia no varal, ele usou 2 prendedores. (1 vezes 2) Se ele colocou 3 pares de meia no varal, ele usou 3 prendedores. (1 vezes 3) Se ele colocou 4 pares de meia no varal, ele usou 4 prendedores. (1 vezes 4) Mas como ele colocou “m” pares de meia no varal, ele usou 1 vezes “m” prendedores, ou seja,

1.m.

Em cada short, Eduardo usou 2 prendedores. Se ele colocou 1 short no varal, ele usou 2 prendedores. (2 vezes 1) Se ele colocou 2 shorts no varal, ele usou 4 prendedores. (2 vezes 2) Se ele colocou 3 shorts no varal, ele usou 6 prendedores. (2 vezes 3) Se ele colocou 4 shorts no varal, ele usou 8 prendedores. (2 vezes 4) Mas como ele colocou “s” shorts no varal, ele usou 2 vezes “s” prendedores, ou seja,

2s.

Se ele utilizou 20 prendedores no total, se “juntarmos” os prendedores usados nos pares de meia e os prendedores usados nos shorts, o resultado será 20. Então…

1m + 2s = 20 Para descobrirmos quantos pares de meia e quantos shorts Eduardo colocou no varal, deveremos resolver o Sistema com essas duas equações:

Vamos conhecer o método

da Adição (ou Eliminação) para resolver esse Sistema 😊

O MÉTODO DA ADIÇÃO O outro método que podemos utilizar para resolver o sistema de equações é baseado em um princípio que conhecemos bem. Quando adicionamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos ambos os termos de uma equação por um número qualquer ela se mantém equivalente. Sabendo disso, vamos procurar uma maneira de encontrar equações equivalentes de modo que tenhamos apenas uma incógnita para ser determinada, ou seja, de forma a “eliminar” uma das incógnitas ao “somarmos” as duas equações . Observe: Primeiro multiplicamos todos os termos da segunda equação por -2. m + 2s = 20 -2.(m + 2s) = 20.(-2)

*não se esqueçam de que precisamos fazer a distributive do (-2)

–2m – 4s = –40 A escolha desse número foi estratégica para a próxima etapa. Desta forma podemos adicionar ao primeiro membro da primeira equação, todos os termos do primeiro membro da segunda equação. De mesmo modo, adicionamos ao segundo membro da primeira equação todos os termos do segundo membro da segunda equação. Veja:

DESTE MODO, CONSEGUIMOS DETERMINAR O NÚMERO DE SHORTS QUE EDUARDO ESTENDEU. Repare que a escolha do número -2 na etapa anterior foi crucial para que pudéssemos eliminar o termo que contém o número de meias. Além disso, repare que estamos adicionando valores iguais nos dois termos. No primeiro membro adicionamos -2m-4s, e ao segundo -40. Porém, -2m-4s é igual a -40, ou seja, ainda é o mesmo valor e, por isso, temos uma equações equivalentes. PARA CONSEGUIR DETERMINAR O NÚMERO DE MEIAS QUE O EDUARDO ESTENDEU, BASTA SUBSTITUIR O NÚMERO DE SHORTS ENCONTRADO NA ETAPA ANTERIOR.

Podemos concluir que Eduardo estendeu 5 sorts e 10 meias.