Matrizes Determinantes Sistemas de Equações Lineares - Steinbruch

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Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Alfredo Steinbruch Professor de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980) e da Pontifícia Universidade Cat6lica do Rio Grande do Sul (de 1969 a 1978)

McGraw-Hill São Paulo Rua Tabapuã, 1.105, Itaim-Bibi CEP04533 (011) 881-8604 e (011) 881-8528

Rio de Janeiro e Lisboa e Porto e Bogotá e Buenos Aires e Guatema14 e Madrid e Mhk:o e New York e Panamá e San Juan e Santiago

Auckland e Hamburg e Kuala Lumpur e London e Milan e Montreal e New Delhi e Paris e Singapore e Sydney e Tokyo e Toronto

SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

Capítulo 1 - MATRIZES Matriz de ordem m por n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonal principal e diagonal secundária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz diagonal e matriz unidade. . . . . . . • . . . . . . • . • . . . • . . • Matriz zero. . . . . . • . . • • • • • . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . • • . . . Matriz oposta de uma matriz. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . Matriz triangular superior e matriz triangular inferior. . . . . . . . . . Igualdade de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . ~ . . . . . . . . . . . Adição de matrizes . • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . Produto de uma matriz por um escalar. . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . Produto de uma matriz por outra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz transposta. • • • . • • • . . • • • . . . . . . . . . . . • • . . • . . . . . . . Matriz simétrica. . • • • . • . . • . • • • . • . . • • . . • • • • . • • • • • . . . . . Matriz anti-simétrica • . • • . . . . • . . • • • • • . • . • . • . . . • • . • • . . ~

1 2 2 3 3 4 4 4 5 6 11 12 13

Problema.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Capítulo 2 - DETERMINANTES

.

Classe de uma permutação. • . . . . . . . . . . • . . . . • . . . • . . . . . . . Termo principal e termo secundário. . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . Determinante de uma matriz. . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2! e de 3! ordem Cálculo do determinante de 2! ordem. • . . . . . . . . • . . . . . . . . . •

26 27 27 28 29 Vil

VIII

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Cálculo do determinante de 3!! ordem •..••••.••...•.. : . • • . Desenvolvimento de um determinante de ordem n por uma linha ou por uma coluna. . . • . • • . . • . . . . • • . • . . . . . . . . . • . . . Propriedades dos determinantes . . • . . . . . . • • . • • . . . . . . • . . . . Cálculo de um determinante de qualquer ordem. . . . . . . . . . .. . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .

29 32 35 42 45

Capítulo 3 - INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa de uma matriz. . . . . . . . . • . • • . . . . . . • . • • . . . • Matriz singular. . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . Matriz não-singular . . . . . . . . . • . • . • . . • • • . . • . . . . . . . . • • . . Propriedades da matriz inversa. . . . . • . . . . • • . • . . . . . .' • . • . •. Operações elementares. . • • • • • . . . . . . • • . . . • • • . . . . . • • . . . . . de matrizes . . . . . •. •. . •. . . . •. . . ••. . . . . . . . •. EqUI'valAencla Inversão de uma matriz por meio de operações elementares ••.••• Matriz ortogonal. . . . . . . • . • . . . . . • . • . . • . • . . . . . . . • . . . . . Problemas .•..•............•..•....••......••...•..

50 51 51 52 53 54 57 61 61

Capítulo 4 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de equações lineares. • . • • . . . • . • . . • • • . Sistemas equivalentes .....•.•.••. ~ • • . • • • . . . . Estudo e solução dos sistemas de equações lineares. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . •.. •••. . . •. . •. . •••. . . ......

.... .... •. •. .... ....

70 71 73 73 94

PREFÁCIO

Este livro foi escrito com um objetivo: proporcionar a estudantes os conhecimentos mínimos de matrizes, detenninantes e sistemas de equações lineares, conhecimentos que são indispensáveis para estudar e compreender os conteúdos de várias disciplinas dos Cursos de Engenharia, Administração, Economia, Matemática, Física, Computação etc. Para cumprir com a sua finalidade, o livro "MATRIZES, DETERMINANTES e SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES" tem três características principais: 1) unidade de tratamento na solução de problemas diferentes. Assim, sem descuidar de casos particulares, o cálculo de determinantes de qualquer ordem, a inversão de matrizes e a solução de m equações lineares com n variáveis, quaisquer que sejam m e n, são feitos utilizando processos análogos; 2) linguagem simples, didática (sacrificando, muitas vezes, o rigorismo em benefício da clareza) e acessível a estudantes de qualquer Curso de nível superior; 3) ênfase na parte prática, contendo 168 problemas resolvidos e propostos, estes com respostas ou roteiros para a solução.

IX

X

Matrizes,

Detenninant~s

e Sistemas de Equações Lineares

o autor ficará compensado do seu trabalho se este livro contribuir para facilitar a estudantes a compreensão das disciplinas do seu Curso que tenham matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares como pré-requisito. Críticas, sugestões para a melhoria deste livro, assim como informações sobre eventuais erros, serão bem recebidas no endereço do autor*.

Alfredo Steinbruch

*

Rua Vieira de Castro, 275/601- Fone (0512) 31-3288 90.040 - Porto Alegre - RS - BR

I

CAPITULO 1 MATRIZES

1.1 -

MATRIZ DE ORDEM m POR n

Chama-se rIUltriz de ordem m por n a mo quadro de m x n elementos (em geral, números reais) dispostos em m linhas e n colunas.

A

a ll

alZ

al n

a:H

a22

~n

= .

• A matriz na qual m 'i' n é retangular, se representa por A(m,n) e se diz de ordem m por n ou m x n. • A matriz na qual m = n é quadrada, se representa por An(ou A(n, n»' e se diz de ordem n. • Cada elemento de uma matriz A está afetado de dois índices: ~j. O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. • A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [~j]' i variando de 1 a m (i = 1, 2, •••, m) e j variando de 1 a n (j = 1, 2, •••, n). Assim, se a matriz tem 2

1

2

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

linhas(m = 2) e 3 colunas (n obtém-se:

= 3), ao fixar para i o valor 1 e fazendo j variar de 1 a 3,

Fixando, a seguir, para i o valor 2 e fazendo j variar de 1 a 3, obtém-se: ~1

~2

~3

isto é: A(2 3) = A = rall

,

La21

• A matriz de ordem m por 1 é uma matriz-eoluna ou vetor-eoluna e a matriz . de ordem 1 por n é uma matriz-linha ou vetor-linha. Exemplos:

1.2 - DIAGONAL PRINCIPAL E DIAGONAL SECUNDÁRIA • Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, os elementos ~j' em que i = j, constituem a diagonal principal. Assim, a diagonal formada pelos elementos alI' a22' ..., ~ é a diagonal principal. • Numa matriz quadrada A = [~j]' de ordem n, os elementos ~j' em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secwuiária. Assim, a diagonal formada pelos elementos a1n, ~ n-1' ~ n-2' ••• 8n1 (1 + n = 2 + n-l = 3 + n-2 = ... = n + 1) é a diagonal secundária.

1.3 - MATRIZ DIAGONAL E MATRIZ UNIDADE • A matriz quadrada A = matriz diagonal:

[~j]

que tem os elementos ~j = Oquando i

>F j

é uma

Matrizes

A

all

O

O

az2

O O

O

8nn

3

= . O

• A matriz diagonal que tem os elementos ~j

= 1 para i = j é uma matriz unida-

de. Indica-se a matriz unidade por ~ ou simplesmente por I:

~]

O

1 O

1.4 -

MATRIZ ZERO Uma matriz zero é a matriz cujos elementos são todos nulos. Indica-se a matriz

zero por O.

O=~

1.5 -

O O O

O O

~]

MATRIZ OPOSTA DE UMA MATRIZ

Matriz oposta de uma matriz A = [~j] é a matriz B Indica-se a matriz oposta de A por -A. Exemplo: -A

=[

-7 3

=:J

= [bij]

tal que bij

= -~j.

4

Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1.6 -

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORE MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

A matriz quadrada A = [aijl que tem os elementos 8;j = O para i> j é uma matriz triangular superior e a matriz quadrada B = [bijl que tem os elementos b jj = O para i < j é uma matriz triangular inferior. Exemplos: 3 5 O

1.7 -

B

-3

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A se, 8;j = bij • Exemplo:

[~ 1.8 -

=[;

O 7 9

= [8;jl e B = [bijl, de mesma ordem, são iguais se, e somente 3 1

~J

3 1

~J

ADiÇÃO DE MATRIZES

A soma de duas matrizes A = [8;jl e B = [bijl, de mesma ordem, é uma matriz C = [cijl tal que cij = 8;j + bij" Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A + B. Exemplos: 1) [all a21

2)

~

al~J

a 12 a22 a23

-2 1 O -1

+

1[~ 2

4

+

[~1 b 21 1

2 O 2 -3 O

b 12 b13J = [all+b ll b 22 b 23 a 21 +b 21

-~ ~ ~ -1

3 2 -1

a 12 +b 12 a22+ b 22

a 13 +b 13] a23+ b 23

Matrizes

1.8.1 -

5

Diferença de duas matrizes A diferença A-B de duas matrizes, de mesma ordem, é defmida por A + (-B).

Exemplo:

r5

~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~ - ~ ~ = ~ ~ + ~ ~ = ~ ~

1.8.2 -

Propriedades da adição de matrizes Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se: I) A + (B + C) = (A + B) + C Il)A+B=B+A III) A + O = O + A IV) A + (-A) == -A + A = O

1.9 -

PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Se À é um escalar, o produto de uma matriz A = [ajjl por esse escalar é uma matriz B = [bjjl tal que b jj = À~j. Indica-se o produto da matriz A por Àpor ÀA. Exemplo:

5

1.9.1 -

x~

-2 -5

lJ=[5X4 x

O

5

3

5

5

x (-2) x (-5)

5xx lJ [20 =

5

O

15

-10 -25

Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar Para Àe /.I. escalares quaisquer e A e B matrizes de mesma ordem, tem-se: I) (À/.I.) A::;:: À{/.I.A) II) (À+/.I.) A = ÀA + /.I.A ID) (À-/.I.) A = ÀA-/.I.A

~J

6

Matrizes, Detemánantes e Sistemas de Equações Lineares

IV) À (A + B) = V) IA = A

1.10 -

À

A

+ ill

PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA Sejam as matrizes

A

= [4

3 2 5] e

AO ,4) e

B

B(4,O

~m

o produto AB é, por defmição, uma matriz CO,l) tal que: CH

= 4 x 6 + 3 x 4 + 2 x 5+ 5 x 3 = 24 + 12 + 10 + 15 = 61

isto é, c H é a soma dos produtos, na ordem em que estão dispostos, dos elementos da ma.triz-linha A pelos elementos da matriz-coluna B. A matriz Co,o = [61] é o produto da matriz ~1,4) pela matriz B(4,2) O dispositivo abaixo facilita, visualmente, entender a definição do produto da matriz ~1,4) pela matriz B(4,O:

..' ...............:. ..:. . ~. ..: . .~. ...'(=J .................................. •. 2 x 5 = 10 5

. •. ..

5

x

3

-

= 15

.3 .

61

[4 3

2

5]·················· .. ·.··· [61]

A condição para multiplicar a matriz AO .4) pela matriz B(4.0' de acordo com a definição, é que o número de linhas de B (no caso, 4) seja igual ao número de colunas de A (no caso, também 4). Por outro lado, a ordem da matriz-produto C é dada pelo número de linhas de A (no caso, 1) e pelo número de colunas de B (no caso, também 1), isto é,

Matrizes

7

CO,l). Se se escrever em seqüência a ordem da matriz A e a ordem da matriz B:

i

f

(1,4)

(4,1)

4

•

O 22 e 3 2 números, sendo iguais, indicam que a multiplicação é possível, e o 12 e 42 números indicam a ordem da matriz-produto c: , •A. \1,4)

X

e..'

B (4,1) ' ---fi

Suponha-se que se deseja multiplicar uma matriz Ao ,4) por uma matriz B(4,2): A. t • \1,4)

x

•

B (4,2) t

•

Tendo em vista que o 22 e o 32 número são iguais, a multiplicação é possível, e a ordem da matriz-produto C será dada pelo 12 e 4 2 números: ~1,4)

x

B(4,2)

=

C O,2)

Sejam as matrizes:

A

~

[4

3

2 5] e B

~[~ ~]

Para efetuar o produto da matriz-linha AO,4) (daqui por diante chamada simplesinente linha) pela matriz B(4,2)' considera-se cada coluna de B como uma matriz-coluna (daqui por diante chamada simplesmente coluna) e efetua-se o produto da linha A pela I! coluna de B, obtendo-se o 12 elemento de C; a seguir, efetua-se o produto da linha A pela 2! coluna de B, obtendo-se o 22 elemento de C. O dispositivo a seguir facilita o entendimento do processo:

·... :.. ~ .·1· : .ii... · . .... ... ............. . ...: ... . ... !~.

.

i.. .. .

~! j . ~.. ~ ~ . : : 2 x 5 = 10 7 = 14 : : : •••••••• • -5- • ·3 . .is ... 53· 4-7 .. -52 -. x ·4· . iô· ·· .. . . . ..... ... ... .. .. .. . .. .. . . . 6 1 · . 44 .. ·· .. .. .. @ 3 2 5}··· · [§i ~J ~.

~

~.

.~

8

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

A matriz C(l,Z) = [61 44] é o produto das matrizes A(l,4) e

B(4,Z).

Suponha-se, agora que se deseja multiplicar uma matriz

~Z,3)

•

t

x

A(Z,3)

•

por uma matriz

B(3,4)

•

Tendo em vista que A é de ordem (2,3) e que B é de ordem (3,4), o produto existe e é uma matriz C(Z,4): x

A(Z,3)

B(3,4)

C(Z,4)

Sejam as matrizes

~

=

A

2 5

:]

e

B

~~

2 3 2

~]

4 1

7

Para efetuar O produto das matrizes A e B, considera-se cada linha da matriz A como uma matriz-linha (chamada linha) e cada coluna de B como uma matriz-coluna (chamada coluna). A seguir, multiplica-se a 1~ linha de A sucessivamente pela 1~, pela 2~, pela 3~ e pela 4~ colunas de B, obtendo a primeira linha da matriz C. Em continuação, multiplica-se a 2~ linha de A sucessivamente pela 1~ linha, pela 2~, pela 3~ e'pela 4~ colunas de B, obtendo-se a 2~ linha da matriz-produto C: 2 5

x

2 3 2

4

~3

7

Conforme foi explicado antes, o elemento multiplicando a 2~ linha de A pela 4~ coluna de B: C Z4

[30

1

CZ4

=

26 25

60 34

:] =

20, por exemplo, foi obtido

= 2(1) + 5(0) + 3(6) = 2 + O + 18 = 20

e os demais elementos de C, de modo análogo. De acordo com o que foi visto até agora, pode-se dizer, por exemplo, que:

= C(3,6) A(Z,7) x B(7,4) = C(Z,4)

A(3,5) X B(5,6)

A(5,4)

x B(4,8) = C(5,8)' etc.

C(Z,4)

Matrizes

1.10.1 -

9

Cálculo de um elemento qualquer de uma matriz-produto

Sejam as matrizes:

Tendo em vista que A é de ordem (2,3) e que B é de ordem (3,3), o produto é uma matriz C, de ordem (2,3):

C13J c~3

o elemento c23 ' por exemplo, obtém-se multiplicando a 2! linha de A pela 3! colunadeB:

Assinalando o 22 índice de "a" e o 12 índice de "b", vê-se que, em cada parce- . la, eles são iguais:

Essa expressão pode ser escrita do seguinte modo:

k=3 I

k=l isto é, C23 é o somatório dos produtos ~k ~3' k variando de 1 a 3. Um elemento qualquer c ij da matriz C será calculado do seguinte modo:

k=3 c ij

I

aik ~j

k=l Essa expressão é que, na verdade, defme o produto C(2,3) = A(2,3) x B(3,3). Generalizando, se A(m,n) = [~j] e se B(n,p) = [bij], o produto AB é uma matriz C(m,p) tal que:

10

Matrizes, Determinmltes e Sistemas de Equações Lineares

k=n

cij

I

anc l>tj

k=l

-1.10.2 -

Não comutatividade da multiplicação de duas matrizes

Em geral, a existência do produto AB não implica a existência do produto BA. Exemplo:

Entretanto, o produto B(5,6) x A(3,5) não existe porque 6 # 3, isto é, o número de colunas da I!! matriz não coincide com o número de linhas da 2!! matriz. Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são, em geral, diferentes: A(4,3) x B(3,4) B(3,4)

= C(4,4)

x ~4,3) = D(3,3)

Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA seriam também matrizes quadradas de ordem n e, ainda assim, difeririam. Sejam por exemplo as matrizes:

A=

[~ ~]

e

B

~ ~J

AB

~ ~J x ~ ~ G 2~

BA =

~ ~] x ~ ~

7 = 39 53 =

~6 30 :]

Os produtos AB e BA são diferentes, o que significa que a multiplicação de duas matrizes não é comutativa. Existem, entretanto, matrizes A e Btais que AB = BA, porém essa não é a regra. Há dois casos que interessam particularmente e um deles é o seguinte: AI = IA = A. Exemplo:

Matrizes

f6 -31 ~2 7J

x

fi 01 'º lJ

fi 01 =

\Q

lJ

x

f6 -31 ~2 II

=

11

f6 -31 ~2 7J

o outro caso será visto no item 3.1, Capítulo 3. 1.10.3 -

Propriedades da multiplicação de uma matriz por outra

Admitindo que as ordens das matrizes possibilitem as operações, tem-se: I) (AB) C = A (BC) II) (A + B) C = AC + BC III) C (A + B) = CA + CB IV) (a A) B = A (a B) = a (AB), a E R

V) AB ;4 BA, em geral VI) Se AB = O, não é necessário que A = Oou B = O. Ex~plo:

Mas, se AB = O, qualquer que seja B, então A =. O; do mesmo modo, se AB = O, qualquer que seja A, então B = O.

1.11 -

MATRIZ TRANSPOSTA

A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz N, de ordem n por m, que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas. Exemplos:

~J 1.11.1 -

Propriedades da matriz transposta

Para ). um escalar qualquer e para A e B matrizes de mesma ordem, tem-se:

12

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

+ BBi = m(XAi = XAt"I) (A

III) (A t )

t=

At

+ Bt

A

= _A t V) (AB)t = BtA t

IV) (-Ai

As propriedades de I a N· são imediatas. A propriedade V será verificada por meio do seguinte exemplo: a)

A(3~)~[~ AD

~}

~[~ ~] [~

B(2,2) =

[~

~J

l.

J -_ [10146

2 4

I: 20

(AD)'

~ ÚO

14

6 8

~~]

(1)

b)

U

A t (2,3)= 3

O 2

2J 4 e

B(2,2) t =

O 2

e :] 2

2] = [10

4

14

6 8

141 20J

Comparando (1) e (2), verifica-se que (ABi = Bt A~

1.12 -

MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz quadrada S = [~j] é simétrica se st = S. Exemplo:

(2)

Matrizes

13

• O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta A t é uma matriz simétrica. Exemplo:

A~[j

4 3 1

-~]

At~[:

2 3 -5

1J.

AA t

=

~6

-1 19

-1 -12 -44

19~ = S = st

-44 86

• A soma de uma matriz quadrada A com a sua transposta Até uma matriz simétrica. Exemplo:

A~t~

4 -1 7

.5

1.12.1 -

~] A' ~[: 1 ,

2

-3 -1 9

5]

7 1 ,

A+A t

=

l2

1 7

1 -2 16

1~] ~ S~ S'

Propriedade da matriz simétrica

Uma matriz quadrada A = [~j] é simétrica se, e somente se, os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.

1.13 -

MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA Uma matriz quadrada A é anti-~trica se A t = -A. Exemplo: 3 O 6

-3 O -6

• A düerença B = A - A t entre uma matriz quadrada A e a sua transposta At é uma matriz anti-simétrica. Exemplo:

14

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

2 A=r~ ~ ;] At=r~ : ~] .B=A_At=[~ -~ -~J Bt=r_~ ~ -5] =-B b 6 9, b 1 9, -2 5 O, L2 -5 0 1.13.1 -

Propriedade da matriz anti-simétrica

Uma matriz quadrada A = [~j] é anti-simétrica ·se, e somente se, ~j = - ~i' isto é, se os elementos dispostos simetricamente em relação à diagoDal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.

1.14 -

PROBLEMAS RESOLVI DOS 1) Dadas as matrizes

A = [Y +9 4 2] e B= ~192 +4 X2

2J ,

53

calcular y e x de modo que A seja igual a B, isto é: ."

[Y ;4 ~ 4] = [1~ x2

5~],

Solução:

Pela definição de i~dade de matrizes, deve-se ter: Y+4 = x2 .~x2

12 :. Y = 8

+ 4 = 53 = 49

x=±7

Matrizes

Os problemas de 2 a 4 se referem às matrizes:

3 8]

[-3 71] C~~

9-6 B=-425 4 -1 , O 9 4

e

2) Calcular A + B

Solução:

3 8] 9 -6 4 -1

7 1] [_1 10 9 + [-3 -4 2 5 = -9 11 -1 O 9 4

7

13

J

3

3) Calcular C - A Solução:

~

7 -8 C-A = 4 -3 9 -5

~l_ L~ ~ ~1 [~ ~~~ -~l

d L -;J 7 4

=

2

~J

-9

4) Calcular 3A - 2B + 4C Solução:

Fazendo D = 3A - 2B

D

=3

+ 4C, vem:

23 8] [-3 [ -5 9 -6 7 4 -1

6 D = -15 [ 21

D=r~ G7

9 27 12

-~J

-37 11

_~l

-26

-3

-;J

71]. [7-83] 2 -4 2 5 + 4 4 -3 2 9 -5 1 O 9 4 -14 _2J -4 -10 O -18 -8

+ [:

+

[28. -32 16 -12 36 -20

12J 8 4

15

16

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

5) Calcular (A + B) C Solução:

(A + B) foi calculado no problema 2. Logo:

(A

+ B) C =

-6745 26J -1-9 1011 -19J ~4-3-8 23] = [114 -28 [7 13 3 9-5 1 128 -110 50-6

Este problema poderia ser resolvido calculando AB e AC e, após, determinando Ab + AC. (Exercício a cargo do leitor). 6) Calcular o produto das matrizes:

_r~~ -~l-~J

A _r-8 4 lJ (2,4) -

L2

-5

-6 7

3 •

B(4,2) -

Solução:

11

3J

7) Calcular o produto das matrizes:

A

=

r~l~ ~ ~J e 7 -2

X

= [;] z

[~ -~J = [5 1 -5 3 8

6

-217J

Matrizes

17

Solução:

A(3,3) x

~3,l)

2 3 4] [x] [2X + 3y + 4Z Y = 3x + 5y - 4z [4 7 -2 Z 4x + 7y - 2z

= C(3,l) = ·3 5 -4

J

É interessante assinalar que a matriz C tem 3 linhas e uma só coluna:

• o elemento da I!! linha é: 2x + 3y + 4z; • o elemento da 2!! linha é: 3x + 5y - 4z;

• o elemento da 3!! linha é: 4x + 7y - 2z. O fato de que a matriz C tem 3 linhas e uma s6 coluna permite escrever, sob a forma matricial, o seguinte sistema de equações, por exemplo:

2x + 3y + 4z = -4 3x + 5y-4z = 25 4x + 7y-2z = 24

!

De fato, fazendo:

A=r~l~ ~ ~l-~, 7

x=[;Je z

pode-se escrever que AX = B, ou:

ou, ainda:

~

x

~-4~

+ 3y + 4 3x + 5y - 4z = 25 4x + 7y-2z 24

J

B=[2~1

24j,

18

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

e, de acordo com a definição de igualdade de matrizes:

+ 3y + 4z = -4 + 5y -4z =25 \ 4x + 7y - 2z = 24 2X

3x

-Os problemas de 8 a 12 se referem às matrizes:

A =

43 -7_5] [-2 4,

B

= f-4

6

~3 5

-31 sJ,

C

=

Solução:

A = [4-5 t

3 -7

9) Determinar Bt

Solução:

Bt =

-46 [ -3

-3~5 8

10) Calcular (AB)t

Solução: Em 1.11.1, propriedade VI, viu-se que:

f4 -3J e

11

2

Matrizes

19

mas Bt e A t foram determinados nos problemas 9 e 8, respectivamente. Logo:

(AB)

t

t

t

= B (3,2) A (2,3) =

[-4 -3] [ . 6 -3

5 8

J= [. -1

4 3 -2 -5 -7 4 .

9-4~

-1 -17 8 -52 -65 38

Este problema poderia ser resolvido calculando, em primeiro lugar, AB após, determinando E t :

-52~

-1 -17 -65 8 38

(ABi

= Et =

-1 9 -1 -17 [ -52 -65

11) Calcular Bt C

Solução: A matriz Bt foi determinada no problema 9. Logo:

12) Calcular (AB)t D

Solução: (AB)t foi calculado no problema 10. Logo:

(AB)t n

~

-1

9 = -1 -17 . -52 -65

r

~l r~ -~ ~l = -~ 3~J G 1~J ~14

1

13~

-34 298 -130 13

= E e,

20

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

13) Dada a matriz A

= fi o

L7

calcular A x A

-251

-toJ,

= A2

Solução:

A matriz A2 é chamada potência 2 da matriz A. Neste problema, como A2 = A, A é chamada de matriz nihilpotente. 14) Dada a matriz

A=[~ -~

_~l

4

-;J,

calcular A2 Solução:

A2

=

[_~ -~ _~l [_~ -~ _~l = [~ -~ _~l -4

J

4 -;

-4

4

-;J

-4

4

-;J

Tendo em vista que A2 = A, A é chamada de matriz idempotente

Matrizes

1.15 -

PROBLEMAS PROPOSTOS

Nos problemas 1 a 3, calcular os valores de m e sejam iguais.

fi

para que as matrizes A e B

1) A _[

3 12 8+m 150J

2)

2

A= [m -40 6

e

023+ j

~8 7~J3

B= 6

e B=

rI6 1~]

3) A =[:

:2J e

B = [:

lOx

~25J

OS problemas 4 a 12 se referem às matrizes:

4 -1

A=r

8J B = 3 -6,

~041 -7 -9] e

C=

[o1 49 :]

4) Calcular A + B 5) Calcular B + C 6) Calcular A + C 7) Calcular A - B 8) Calcular A - C 9) Calcular B - C 10) Calcular X = 4A - 3B + 5C 11) Calcular X = 2B - 3A - 6C 12) Calcular X = 4C + 2A - 6B Nos problemas 13 aIS, efetuar a multiplicação das matrizes A e X. 13)

21

22

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

14)

15)

A

=

l~ ~ ~ ~]

-2 4 5 -7 e 9-9-86

X

=

[:~J x3

x4

Os problemas 16 a 21 se referem às matrizes:

A=[7~

5

- 4~J

B =

[~ ~ ~:

-;],

C =

~~

9,

16) Calcular AB 17) 18) 19) 20)

Calcular (AB)D Calcular A(BD) Calcular BA Calcular (BA)C 21) Calcular B(AC)

22) Determinar a matriz At transposta da matriz

A

=

1

-7

O -2

3

-~

~

8

-9

6

-4

4

Os problemas 23 a 27 se referem às matrizés 5 A= -8 -2

~

O

O

2 1 -1

-3 -2 8 5 6 3

:J

e D

-1

1

7

3

5

3

2 -3

= -: -~ -~ -~ [

Matrizes

23) Calcular (AB)t 24) Calcular (AB)Dt 25) Calcular A(BDt ) 26) Calcular Bt C 27) Calcular 2 (AíB~

23

+ 3 Ct

Nos problemas 28 a 31, dada uma matriz A em cada um deles, calcular A2 e classificar A. 28)

29)

A= [~

~J 31)

30)

A=[5-2 -41TI 1.15.1 1) n = 5

A=[12 16J -9 -12 A=[6-3 -510]

Respostas ou roteiros para os problemas propostos e

m =-6 n= ±3

2) m = ± 9 e 3) x = 5 4 a 6) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 2 do·item 1.14.

7 a 9) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 3 do item 1.14.

10 a 12) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 4 do item 1.14.

3 a 15) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do problema 7 do item 1.14.

, 24

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

16) Roteiro:

Esse problema é resolvido de modo análogo ao do problema 6 do item 1.14.

17) Roteiro:

I!:?) Calcular ~4,4) = A(4,2) x B(2,4) (já calculado no problema 16) 2!:?) Calcular F(4,4) = E(4,4) x D(4,4)

18) Roteiro:

I!:?) Calcular G(2,4) = B(2,4) x D(4,4) 2!:?) Calcular H(4,4) = A(4,2) x G(2,4)

19) Roteiro:

Esse problema é resolvido de modo análogo ao do problema 6 do item 1.14.

20) Roteiro:

I!:?) Calcular J(2,2) = B(2,4) x A(4,2) (já calculado no problema 19) 2!:?) Calcular 42,2) = J(2,2) x C(2,2)

21) Roteiro:

I!:?) Calcular ~4,2) = A(4,2) x G2,2) 2!:?) Calcular N(2,2) = B(2,4) x ~4,2)

22) Roteiro:

Esse problema é resolvido de modo análogo ao do problema 8 do item 1.14. I!:?) Calcular ~4,4) = A(4,3) x B(3,4) 2!:?) Determinar E t = (AB)t

23) Roteiro:

ou: I!:?) Determinar At(3,4) 2!:?) Determinar B\4,3) 3!:?) Calcular Bt Af item 1.11.1).

=

(AB)t - Proriedade V da matriz transposta,

Esse 2!:? roteiro é conveniente quando se conhecem as transpostas de A e de B. 24) Roteiro:

25) Roteiro:

I!:?) Calcular AB = E (já calculado no problema 23) 2!:?) Determinar Dt 3!:?) Calcular EDt = F I!:?) Determinar Dt (já determinado na problema 24) 2!:?) Calcular BDt = G 3!:?) Calcular AG = H

26) Roteiro:

I!:?) Determinar Bt 2!:?) Calcular Bt C = J

'17) f'c()teiro:

I!:?) Determinar At 2!:?) Determinar Bt (já determinado no problema 26) 3!:?) Calcular At Bt = K

Matrizes

4 2) Calcular 2 K 52) Detenninar C t 62) Calcular 3 C t = L

72) Somar 2 K + L 28) A é nihilpotente 29) A é nihilpotente 30) A é idempotente 31) A é idempotente

25

CAPíTULO 2 DETERMINANTES

2.1 -

CLASSE DE UMA PERMUTAÇÃO Considere o leitor uma permutação a c b

dos três elementos a, b, c e seja a b c,

na qual os elementos estão na ordem alfabética, a permutação principal. Diz-se que dois elementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordem inversa à da permutação principal. Assim, na permutação dada acb, os elementos c e b fonnarn uma inversão. Uma permutação é de classe par ou de classe fmpar, conforme apresente um número par ou ímpar de inversões. A permutação acb é de classe ímpar.

26

Determinantes

2.2 -

27

TERMO PRINCIPAL E TERMO SECUNDÁRIO

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, ao produto dos eleméntos da diagonal principal dá-se o nome de termo principal, e ao produto dos elementos da diagonal secundária dá-se o nome de termo secundário. • Termo principal: a 11 , a 12 • al3' '" , l\m • Termo secundário: a 1n ' a2 n-l • a3 n-2'

2.3 -

••• , a n l

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ÚDpar. • A utilização da definição e o cálculo de determinantes serão feitos logo após serem dadas algumas informações necessárias para a melhor compreensão do assunto. • Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Se a matriz é de ordem 3, por exemplo, o determinante será de ordem 3. • A representação do determinante de uma matriz A, que será designado por det A, faz-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais:

detA =

311

a12

31n

321

322

a2n

• Apesar de o determinante de uma matriz quadrada A = [~j]' de ordem n, ser um número real, costuma-se, por comodidade, uma vez que aquele número é calculado a partir dos elementos das linhas e das colunas da matriz, falar nas linhas e nas colunas do determinante.

28

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

2.4 -

PRELIMINARES PARA O CÁLCULO DOS DETERMINANTES DE 2? E DE 3? ORDEM

Para a correta aplicação da definição de determinante de uma matriz, considerem-se as tabelas constantes dos itens 2.4.1 e 2.4.2.

2.4.1 -

Tabela referente às permutações dos números 1 e 2

o total de pennutações dos números 1 e 2 é: P2 = 2 ! = 1 x 2 = 2. Permutação principal

Permutação

12 12

12 21

2.4.2 -

Número de inversões

Oasseda permutação

Sinal que precede o produto

O

par ímpar

+ -

1

Tabela referente às permutações dos números 1, 2 e 3

o total de pennutações dos números 1,2 e 3 é: P 3 = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6. Permutação principal

Permutação

123 123 123 123 123 123

123 132 312 213 231 321

Número de inversões

Oasseda permutação

Sinal que precede o produto

O

par ímpar par ímpar par ímpar

+ + + -

1 2 1 2 3

Determinantes

2.5 -

29

CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 2~ ORDEM

o determinante de 2!! ordem é o que corresponde à matriz de ordem 2:

o termo principal é a u

a 12 e os segundos índices são 1 e 2. O conjunto {I, 2} admite 2 permutações: 12 e 21, a primeira de classe par e a segunda de classe ímpar. (Ver Tabela, item 2.4.1.) De acordo com a deftnição de determinante, pode-se escrever:

Por comodidade, costuma-se dizer que o determinante de 2!! ordem é igual ao termo principal menos o termo secundário. Exemplos: 1)

=

7 \ 2 -1

detI

=

I~ ~ I=

2)

2.6 -

-51

det A

=

7(-1) - (-5)(2)

1(1) - 0(0)

=

= -7 +

10

=

3

1- O= 1

CÁLCULO DO DETERMINANTE DE 3~ ORDEM O determinante de 3!! ordem é o que corresponde à matriz de ordem 3:

30

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

o tenno principal é alI

a22 a33 e os segundos índices são 1, 2 e 3. O conjunto {I, 2, 3} admite seis pennutaçóes: 123, 312, 231, 132, 213 e 321, as três primeiras de classe par e as três últimas de classe ímpar. (Ver Tabela, item 2.4.1) De acordo com a defInição de detenninante, pode-se escrever:

Na prática, obtém-se essa f6nnula de dois modos que serão vistos a seguir.

2.6.1 -

Desenvolvimento do determinante por uma linha A f6nnula de 2.6 pode ser transfonnada na seguinte:

ou:

isto é, o detenninante da matriz A, de ordem 3, é igual à soma algébrica dos produtos de cada elemento da I!! linha pelo detenninante menor que se obtém suprimindo aI!! linha e a coluna correspondente ao respectivo elemento dessa linha, fazendo-se preceder esses produtos, alternadamente, pelos sinais + e -, iniciando pelo sinal +. Essa maneira de escrever a f6nnula de 2.6 para calcular um determinânte de 3!! ordem é denominada desenvolvimento do determinante pela ]i! linlul. Exemplo:

~ ~ ~ 68-3

=+

1 21 82 41_ 51 63 241 + 71 63

det A

=

det A

=2

(2 - 32) - 5 (6 - 24)

det A

= -

60

+ 90 + 126 =

+ 7 (24 -

156

6)

= 2 (- 30) -

1 81 5 (- 18)

+ 7(18)

Determinantes

31

• Um determinante pode ser calculado por qualquer linha (ou por qualquer coluna), cuidando-se da alternância dos sinais + e - que precedem os produtos. No caso do determinante de ordem 3, a alternância dos sinais + e -, por linha e por coluna, é a seguinte:

+

+ +

+

+

Exemplo: Calcular o mesmo determinante, desenvolveildo-o pela 2!! coluna:

7

1

3 5 4 =-5 41 +1 detA= 23 1 682 62

12 71·-8 12 ~I 62

34

det A = -5 (6 - 24) + 1 (4 - 42) - 8 (8 - 21) = -5 (-18) + 1 (-38) - 8 (-13) det A = 90 - 38 + 104 = 156

2.6.2 -

Regra de Sarrus

A fórmula de 2.6 também pode ser obtida pela Regra de Sarrus, que consiste no seguinte: I!'?) repetem-se as duas primeiras colunas à direita do quadro dos elementos da matriz A; 2!'?) multiplicam-se os três elementos da diagonal principal bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal +; 3!'?) multiplicam-se os três elementos da diagonal secundária bem como os três elementos de cada paralela a essa diagonal, fazendo-se preceder os produtos do sinal-o Assim:

+

+

+

32

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Exemplo: Calcular 257 3 1 4 6 8 2

detA

Solução:

det A

2.7 -

= + 4 + 120 + 168 - 30 - 64 - 42 = 156

DESENVOLVIMENTO DE UM DETERMINANTE DE ORDEM n POR UMA LINHA OU POR UMA COLUNA

Se se repetir o raciocínio e o roteiro do cálculo de um determinante de 3!! ordem para um determinante de 4!! ordem, por exemplo, se chegará à conclusão de que esse determinante poderá ser calculado desenvolvendo-o por qualquer linha ou por qualquer coluna, devendo-se ter cuidado com a alternância dos sinais + e - que precedem os produtos, alternância essa que, para o determinante de 4!! ordem, é a seguinte:

+

+

+ +

+ +

+

+

Derenninanres

33

Exemplo: Calcular, desenvolvendo pela I!! linha:

detA

-2 -3 -1 -2 -1 O 1 -2 -3 -1 -4 1 -2 2 -3 -1

Solução:

detA =

O 1 -2 -1 1 -2 -1 O -2 -1 O 1 + (-2) -1 -4 1 - (-3) -3 -4 1 + (-1) -3 -1 1 - (-2) -3 -1 -4 -2 -3 -1 -2 2 -1 2 -3 -1 2 2 -3

O 1 -2 det A =-2 -1 -4 1 2 -3 -1

-1 1 -2 +3 -3 -4 1 -1 -2 -3 -1

-1 O -2 -3 -1 1 -2 2 -1

-1 O 1 +2 -3 -1 -4 -2 2 -3

Fazendo: O 1 -2 detB = -1 -4 1 2 -3 -1

=+01-4 1 1_ 1 -3 -1

l-I2

11 + (-2) -1

l-I2

~I

det B = 0(4 + 3) - 1(1 - 2) - 2(3 + 8) = 0(7) - 1(-1) - 2(11) det B = O + 1 - 22 = - 21

det C =

~~ -~ -~

= + (-1)

-2 -3 -1

1--34

11_ 1

-1

1--23

11 + (':'2)

-1

1--23

-41

-3

det C = - 1 (4 + 3) - 1 (3 + 2) - 2 (9 - 8) = -1(7) - 1(5) - 2(1) det C

= - 7 - 5 - 2 = - 14

-1 -1O -21 = det D = -3 . -2 2 -1

+ (-1)

l-I2

11 - O 1-3 11 -1 -2 -1

+ (-2)

1-3 -11 -2 2

det D = - 1 (1 -2) - 0(3 + 2) - 2 (-6 -2) = - 1 (-1) - 0(5) - 2 (-8)

(1)

34

Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares

det D = 1 - 0+ 16 = 17

-4

detE= -1 -3 -1O 1 = +(':'1) -2 2 -3

l-I2 -41 O 1-:; -41 -3 -2 -3

+ 1

1--23

-1\ 2

det E = -1 (3 + 8) - 0(9 - 8) + 1 (-6 -2) = -1(11) - 0(1) +1(-8) det E = - 11 - 0-8 = - 19

Substituindo det B, det C, det D e det E em (1), vem: det A = - 2(-21) + 3(-14) -1(17) + 2(-19) = 42 - 42 -17 - 38 detA = -55

• Igualmente se pode calcular um determinante de ordem n = 5,6, 7, 8, 10, 50, etc., desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo processo por meio do qual se calcula um determinante de 4~ ordem. Entretanto, esse processo, por envolver um número excessivamente elevado de operações, torna-se quase impraticável. Por isso, no item 2.9 será visto um processo em que, apesar de conter ainda um número elevado de operações, esse número é sensivelmente menor do que o do desenvolvimento do determinante por uma linha ou por uma coluna. • Para se ter uma idéia do número elevado de operações que devem ser feitas no cálculo de um determinante de ordem n ~ 3 pelo processo de desenvolvê-Io por uma linha ou por uma coluna, basta considerar o número de determinantes de ordem 2 que devem ser calculad9s nesse processo. Assim, o cálculo de um determinante: a) de ordem 3, implica calcular 3 determinantes de ordem 2;

b) de ordem 4, implica calcular 4 x 3 = 12 determinantes de ordem 2; c) de ordem 5, implica calcular 5 x 4 x 3 = 60 determinantes de ordem 2:

ti) de ordem 6, implica calcular 6 x 5 x 4 x 3 = 360 determinantes de ordem 2; e) de ordem 10, implica calcular 10 x 9 x 8 x 7 x· 6 x 5 x 4 x 3 = 1.814.400

determinantes de ordem 2. • Quando n ~ 4, é muito natural que enganos sejam cometidos e que, portanto, o cálculo feito não corresponda ao valor do determinante. Por essa razão (e mesmo que o

Determinantes

35

processo a ser visto em 2.9 seja menos trabalhoso), atualmente se calcula um detenninante por computador, por meio de um PROGRAMA adequado previamente elaborado.

2.8 -

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Dentre as diversas propriedades dos detenninantes serão relacionadas, a seguir,_ aquelas que, de uma forma ou de outra, dizem mais de perto com o cálculo dos detenninantes de qualquer ordem ou com as propriedades dos vetores. Essas propriedades não serão demonstradas mas tão-somente verificadas por meio de exemplos; por outra parte, sempre que for necessário calcular um determinante desenvolvendo-o por uma linha, isso será feito, por comodidade, pela I! linha, salvo menção expressa em contrário. I) O detenninante de uma matriz A é igual ao detenninante da sua transposta A t, isto é, det A = A t • Exemplo:

[~ ~]

~ ~ I = 2(3) - 5(7) = 6 - 35 = -29

• Como conseqüência dessa propriedade, tudo que for válido para as linhas de um detenninante é válido para as colunas e reciprocamente.

m

Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o detenninante é nulo. Exemplo:

ll) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, o determinante é nulo. Exemplo:

36

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

det A = 5 (18 - 4) - 5 (18 - 4) + 2 (12 - 12) = 5(14) - 5(14) + 2(0)

+ O= O

det A = 70 - 70

IV) Se na matriz A ~uas linhas têm seus elementos correspondentes proporcionais, o determinante é nulo. (Numa matriz A, dois elementos são correspondentes quando, situados em colunas diferentes, estão na mesma linha ou quando, situados em linhas diferentes, estão na mesma coluna. Exemplo: det A =

I~ :I

= 2(9) - 6(3) = 18 - 18 = O

Nesse determinante, os elementos correspondentes das duas colunas são proporcionais: 6 2

9 3

3

V) O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo:

Os dois últimos determinantes, por terem uma coluna com elementos todos nulos, são nulos (II propriedade); logo: det A =

41

~ ~ I= 4«(1)(2) - 3(0»

= 4(1)(2) - O

detA=4xlx2

• Como conseqüência dessa propriedade: a) o determinante de uma matriz diagonal (por ser ao mesmo tempo diagonal

superior e inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal;

Determinantes

b)

detD =

37

detenninante de uma matriz unidade I, de qualquer ordem (por ser uma matriz diagonal e todos os elementos dessa diagonal serem iguais a 1), é igual a 1. Exemplos:

O

5

O O

O

2

O = 5 x 2 x 7; det~

O

O

7

1 O O 1

O

O

1

O

O

=lxlx ... xl=1

VI) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz A, o detenninante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por -1. Exemplo:

det A =

~ ~

52 = O 4 12

det A = 1(O - 8) - 3(0)

1

3

O

4

5 12

O

O

2

+ 1

+ 5(0)

lo4

21_ 12

3

loO

21 + 5 12

100 40 I

= - 8- O+O= - 8

lx4x2=8

de acordo com a propriedade V. Como se vê, ao serem trocadas entre si, a 2!! linha pela 3!! da matriz A, o det A ficou multiplicado por -1, isto é, seu valor foi alterado. Para que se mantenha o valor do det A, no caso de haver necessidade de trocar entre si duas linhas (ou colunas), se procederá do seguinte modo: 1 3

5 1 3 5 det A = O O 2 = - 1 O 4 12 O 4 12 O O 2

Na realidade, tendo em vista que o det A foi multiplicado por -1, ele, para manter seu valor, deveria ser dividido por -1 (ou multiplicado pelo inverso de -1, no caso

-+).

Como o resultado seria o mesmo, se optou pela situação mais simples.

T 38

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

• Quando se desejar trocar, por exemplo, a 2! linha pela 3! de uma matriz A

para facilitar o cálculo de seu determinante, se escreverá assim:

135 det A = O O O 4

135

2 12

-+

~3:

det A

= - 1 O 4 12 O O

2

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, não for conveniente haver o número zero na diagonal principal: a troca da 2! linha pela 3! tirou o zero da diagonal principal e colocou em seu lugar o número 4. Vll) Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma

linha (ou coluna) de uma matriz A. o determinante fica multiplicado por esse número. Exemplo: Na propriedade VI viu-se que:

det AI

1 3 5 O 4 12

=

O O

=8

2

Suponha o leitor que se deseje multiplicar a 2! linha por

-+

(o que é o mesmo que dividir

os elementos da linha por 4) e calcular o valor do det A z obtido:

det A z =

~ ~ ~

002

=+

det A z = 1(2 - O) - 3(0) detAz

=2

1110231_ 31 02 O 31 + 51 O ~ O

+ 5(0)

= 2- O+ O

I

Determinantes

39

• Como se vê~.o det Ai ficou multiplicado por -{- ao se multiplicar os elementos da 2! linha por -{- , uma vez que:

det ~

1

= 2 = (det Ai) x "4

1 8 x-

4'

isto é, o valor de det Ai' foi alterado. Para que se mantenha o valor do det Ai' no caso de haver necessidade de multiplicar a 2! linha por -{- , se procederá do seguinte modo: 1 3

5 O 4 12 O

O

2

=4

135 O 1 3

O O 2

Repetindo o que já foi dito, multiplicar os elementos de uma linha por

+-

é o mesmo que

dividir os elementos da linha por 4 (ou, o mesmo que dividir o determinante por 4). Daí, porque, para compensar, isto é, para que o determinante mantenha seu valor, é necessário multiplicá-lo pelo inverso de

+

~

,ou seja, por 4•

• Quando se desejar multiplicar, por exemplo, a 2! linha de uma matriz A por

para facilitar o cálculo de seu determinante se escreverá assim:

det Ai

=

1 3 O 4

5 12

135 det Ai = 4 O 1 3

O O

2

O O 2

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, como aconteceu no presente caso, num determinado estágio do processo do cálculo, se desejar obter o número 1 como um dos elementos da diagonal principal: a multiplicação do número 4, que estava na 2! linha como elemento da diagonal principal, por o número 1 no seu lugar.

~ , colocou

, .~

40

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Se se desejar obter o número 1 em lugar do número 2 no det A2 , basta multiplicar a 3! linha por -}- e fazer a respectiva compensação multiplicando det A2 pelo inverso de

. , 2 T1 ' Isto e, por :

det A 2

=

135 O 1 3

det A 2

1

O O 2

=

1 3 5 2 O 1 3

O O 1

--+2"L3 :

• Recapitulando todas as operações feitas até agora com o det A da propriedade VI, tem-se: 1 3 5 det A = O O 2 O 4 12

1 3 5 det A =-1 O 4 12 O O 2

--+ L 23 :

1 3 5 det A = -1 x 4 O 1 3 O O 2

--+

1

4' L 2:

1 3 5 det A = -1 x 4 x 2 O 1 3 O O 1

1 --+2'L3 :

Tendo em vista que, pela propriedade V, o determinante de uma matriz triangular superior é igual ao termo principal e, como no último determinante, o termo principal é igual a 1 (T = 1 x 1 x 1), vem: det A = -1 x 4 x 2 x 1 = -8

valor esse que já foi encontrado ao calcular det A no exemplo da propriedade VI. VIII) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Exemplo:

det A

=:

1

1~2 1~4

=+

10 1 17

det A = 1 (90 - 84) - 2 (36 - 60) det A

= 6 + 48 - 88 = - 34

12 4 9 1 - 2 15

4 12 9 1 + 4 15

10 71

+ 4 (28 - 50) = 1(6) - 2(':'24) + 4(-22)

Determinantes

41

Pretende-se, agora, substituir· a 2!! linha do det A pela soma de seus elementos com os elementos correspondentes da I!! linha previamente multiplicados por - 4: 2!! linha: I!! linha: Multiplicador: Nova 2!! linha

detA I

2

1

4 -4

4

10

12

-4

-8 2

-16 -4

O

~ ~ ~ ~ ~ I~ ~1-21~ ~I +41~ ~I

det AI = 1 (18

1

+ 28) - 2 (O + 20) + 4 (O -

10) = 1(46) - 2(20)

+ 4(-10)

det AI = 46 - 40 - 40 = - 34

• Como se vê, det AI = de A, isto é, a utilização da propriedade VIII não altera o valor do determinante de uma matriz. • Quando se desejar somar, por exemplo, os elementos da 2!! linha com os correspondentes elementos da I!! linha, previamente multiplicados por -4, se escreverá

assim: 124 detA = 4 10 12 ..... ~-4LI: 579

1 2 4 detA= O 2 -4 5 7 9

Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando, como aconteceu agora, num determinado estágio do processo do cálculo, se desejar o número "zero" para formar uma matriz triangular. Para facilitar a obtenção do zero é que se utiliza a propriedade VIT, isto é, se faz a operação adequada para substituir o número que está na diagonal principal pelo número 1; e é isso que se verá no próximo item.

42

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

2.9 - CÁLCULO DE UM DETERMINANTE DE QUALQUER ORDEM Para calcular o detenninante de uma matriz quadrada A, de ordem n (para n ;;. 2, isto é, n = 5,6, 10,20,50, 100, etc.) será utilizado o processo de triangulação. Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se procederão com as linhas (colunas) de seu detenninante as operações adequadas para transformar a matriz A numa matriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo que se efetuarão com o det A as necessárias compensações, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos detenninantes já vistas e verificadas. Antes de dar um exemplo, uma explicação se faz necessária ao leitor: o ideal seria calcular um detenninante de ordem elevada, mas, no caso, o cálculo se tomaria demorado e repetitivo, porque, como já se teve oportunidade de verificar, o processo para obter o número zero é sempre o mesmo, assim como o processo para se obter o número 1, na diagonal principal, também é sempre o mesmo. Por isso, o exemplo a ser dado será o de um detenninante de 4~ ordem, embora, repetindo, o processo de triangulação seja válido para o cálculo de um detenninante de qualquer ordem. Por outro lado, é preciso declarar que o cálculo de detenninantes de ordem muito grande só foi possível a partir do uso dos computadores que, em geral, com algumas variações, utilizam o processo de triangulação. Dada a explicação ao leitor, convém ainda dizer que, por comodidade, facilidade nos cálculos e por ser bastante prático, para executar o processo de triangulação procura-se colocar, por meio das operações adequadas (e das respectivas compensações quando for o caso), como elementos da diagonal principal, exceto o último, o número 1. Obtido o número 1 na 1~ linha e 1~ coluna, isto ~, alI = 1, substituem-se por meio das operações competentes todos os demais elementos da 1~ coluna por zeros; da mesma forma, depois de obter ~2 = 1, substituem-se os demais elementos da 2~ coluna, situados abaixo (acima) de ~2 por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz A, três hipóteses podem ocorrer: 1~)

o elemento é igual a zero. Nesse caso, deve-se proceder à operação de troca de linhas e multiplicar o det A por -1, como compensação, isto é, para que det A conserve seu valor;

+'

2~)

da linha por

o elemento é igual a k. Nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos com o que se obtém o número 1 como elemento da diagonal principal

Determinantes

43

+'

dessa linha. Por outro lado, para compensar, isto é, para que det A mantenha seu valor, deve-se multiplicá-lo pelo inverso de

ou seja, por k;

3!!) o elemento é igual a 1. Nesse caso, nada a 'fazer no que diz respeito à diagonal principal. Exemplo: Calcular pelo processo de triangulação: -2 -3 -1 -2 -1 O 1 -2 -3 -1 -4 1 -2 2 -3 -1

detA

3 1 1 2 2 detA =-2 -1 O 1 -2 -3 -1 -4 1 -2 2 -3 -1 1

131

1

1

2'2 O 3 2 detA =-2 O 7

2

3 -1 2 5 4

O det A = -2

2

1

1

1

3

(-T O

2

O 5 -2 1

3 2

O

7 5 --2 2 5

-2

-+ -+ -+

L2 L3 L4

+ LI: + 3L 1: + 2L 1:

1 2 3 4

1

-+

7 L 3 -"2~:

-+

L 4 - 5~:

44

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1 3 1 1 --2 2 O 1 1 2 3 3 det A = -2 ("'!") O O -6 19 3

1

3 2

1 2 1

1

--

O

1

2 3

O

O

O

O -7 13

3 det A = -2 (2)(-6) 1

-+

'6 L3:

O O -7 13

-3

1 .19 18 -

-+

3 1

3 ·detA= -2 (2) (-6)

3 1 2 2

L4+7~:

1

O

1

1

2 3

O

O

1

19 18

O

O

O

55 18

mas O determinante de uma matriz triangular superior é igual ao termo principal:

Tj

=1x

55 1 x 1 (-IS)

55

= -18

logo: 3 55 55 det A = -2 ('2) (-6) (-IS) = 18 (-18) = -55

Esse determinante já foi calculado no exemplo do item 2.7 e, como era de esperar, o resultado foi o mesmo.

Determinantes

2.10 -

45

PROBLEMAS RESOLVI DOS

Assim como foi feito em 2.8, sempre que for necessano calcular um determinante desenvolvendo-o por uma linha, isso será feito, por comodidade, pela 1~ linha. Nos problemas 1 a 4, resolver as equações: 1)

x-2 2 3

x+3 1 2

3-1 3 1

=60

Solução: + (x - 2)

1

3

2

1

- (x + 3)

2

3

3

1

+ (x -1)

2

1

3

2

(x - 2)(1 - 6) - (x + 3)(2 - 9) + (x - 1)(4 - 3) = 60 (x - 2)(-5) - (x + 3)(-7) + (x - 1)(1) = 60 - 5x + 10 + 7x + 21 + x-I = 60 3x = 60-10-21 + 1 3x = 30 x

30

= 3

10

2) 3 1 2

2 -2 -1

x x

8

x

Solução:

+

31~~ :1- 21~

:1

+ x

I~ ~~I =

8

60

46

Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares

3 (-2x + x)-2 (x-2x) + x (-1 + 4)

=

8

3 (-x) - 2 (-x) + x(3) = 8 - 3x + 2 x + 3x

=8

2x

=8

x

= 2"

8

4

3)

10 7-x 1

o

Solução:

=O x 2 -20 = O

(8 - x) (7 - x) - 10 (2)

56-8x-7x +

x 2 - 15x + 36 = O,

equação cujas raízes são xl = 12 e x2 = 3

4) 3-x

-1

-1

5-x -1

1

1 -1 3-x

O

Solução: (3

-x) 5 - x 1 -1

-1 I - (-1) 3- x

-I 1

l

-11+11-1 53- x 1-1

x

l=0

(3 - x) (15 - 8x + x 2 - 1) + 1 (-3 + x + 1) + 1 (1- 5 + x) = O 45 - 24x + 3x2 - 3 - 15x + 8x2 - x 3 + x - 3 + x + 1 + 1 - 5 + x - x 3 + llx 2 - 36x + 36 x 3 _11x 2 + 36x-36

=O

=O =O

Na equação do 3!? grau, as soluções inteiras, caso existam, são divisoras do tenno independente - 36. Com as devidas substituições na equação acima, verifica-se que

Determinantes

47

x = 2 é uma delas. Conseqüentemente, x- 2 é um fator do polinômio x3-llx2 + 36x - 36. Dividindo o polinômio por (x - 2) a equação poderá ser representada assim: (x-2) (x 2 -9x

+

18)

(x - 2) (x - 3) (x - 6)

= =

O O

As raízes dessa equação são: xl = 2, x2 = 3 e x3 = 6.

2.11 -

PROBLEMAS PROPOSTOS Dadas as matrizes:

4 1] 3 [

A = -5 -2 -9 7 8 6,

~4

B = 3 7

-~ ~Jec=[~ 2

-4

-1

: -2

1~1-;j,

calcular, pelo processo de triangulação ou pelo desenvolvimento por uma linha (ou coluna): 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

det A detB detC det (A +B) det (A-B) det (2A - 3b + 4C) det (BC)

8) 9) 10) 11) 12) 13)

14) Calcular o determinante da matriz:

A

=

[~ ~ ~ -~] 1 -1

1 -2

4

5

-3

1

a) Desenvolvendo-o pela 2!! linha. , b) Pelo processo de triangulação.

det (AC t) det (CB)A det C(BA) det B(CA) Verificar se det (A +B) = det A + det B Verificar se det (AB) = det A x det B

48

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Nos problemas 15 a 24, resolver as equações dadas. 15)

17)

19)

21)

23)

4 5 -7

6 2 4

x -x 2x

5 3x 7x

1 O 2

3 1 1

12-x 18-2x 15-2x

1 3 O

1 2 1

2 1 1

x 1 1

2 x 6

11().X 10

2.11.1 -

l~xl

16) =-128

39

20)

1 1 2

O 1 1

x-I x-2 x-4

O

2 4 2x

6 x 8

2 2 4

O

7-x -2 O

-2 6-x -2

O -2 5-x

10

=-3

O

7 3x 7

x+3 4 9

22)

=

5 x 6

18) 100

=

3 2x 4

24)

x+1 5 10

x'+4 3 =-7 7

=0

Respostas ou roteiros para os problemas propostos

1 a 3) Roteiro: Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao dos exemplos do item 2.6.1 ou do exemplo do item 2.9. 2 4) Roteiro: 1 ) Calcular A + B = E 5) Roteiro: 12) Calcular A - B = F 22) Calcular det E 2 2) Calcular det F 2 6) Roteiro: 1 ) Fazer G = 2A - 3B + 4C 7) Roteiro: 12) Calcular BC = H 22) Calcular G 22) Calcular det H 2 3 ) Calcular det G 8) Roteiro: 12) Determinar C t 9) Roteiro: 12) Calcular CB = L t 2 2 2) Calcular LA = M 2 ) Calcular AC = J 32) Calcular det M 32) Calcular det J 2 10) Roteiro: 1 ) Calcular BA = N 11) Roteiro: 12) Calcular CA = P 22) Calcular BP = Q 22) Calcular CN = M 2 32) Calcular det Q 3 ) Calcular det M

Detenninantes

49

12) Roteiro: 12) Calcular det A 13) Roteiro: 12) Calcular det A 2 2 ) Calcular det B 22) Calcular det B 32) Calcular A + B 32) Calcular AB 2 4 ) Calcular det (A + B) 42) Calcular det (AB) 52) Calcular det A + det B 52) Calcular det A x det B 2 6 ) Comparar det (A + B) 62) Comparar det (AB) com det A + det B com det A x det B 14) Roteiro: As alíneas a) e b) desse problema são resolvidas de modo análogo ao dos exemplos dos itens 2.7 e 2.9 respectivamente. 15) x = 2 16) x = 3 17) x = 5 18) x = 1 19)x=7 2O)x=-1 21) x = 5 e x = 3 22) x = 4 23) x = 18 e x = 5 24) x = 3, x = 6 e x = 9

CAPíTULO 3 INVERSAO DE MATRIZES

3.1 -

MATRIZ INVERSA DE UMA MATRIZ

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça à condição: AB

= BA = I

diz"7se que B é inversa de A e se representa por A-I:

= A-IA =

AA-l

I

• Quando uma matriz quadrada A tem inversa, diz-se que A é invers{vel. Exemplo: dadas as matrizes A

-

r~1

8

5l ~

e

B

_I 7 -5l

~11 ~,

A é inversa de B (ou B é inversa de A). De fato:

50

Inversão de Matrizes

3.2 -

51

MATRIZ SINGULAR

Uma matriz quadrada A cujo determinante é nulo é uma matriz singular. Exemplo: a matriz

= O:

é singular porque det A det A = +

det A

~

1

[~

1 (-3) - 4

:] (~6)

4

~

:] + 7

[~ ~] =

1 (45 - 48) - 4 (18 - 24) + 7 (12 - 15)

+ 7 (-3) = -3 x 24 - 21 = O

• A matriz singular não tem inversa.

3.3 -

MATRIZ NÃO-SINGULAR

Uma matriz quadrada A cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não-singular ou regular. Exemplo: a matriz

é não singular porque det A

-:;6

O:

detA=+2[~ ~J-3[~ ~J+l~ ~J

=2'(6-2)-3{15-6)+1(5-6)

r det A = 2(4) - 3(9) + 1 (-1) = 8 - 27 - 1 = -20

• A matriz não-singular sempre tem inversa.

52

3.4 -

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA I) (A-l)-l

= A.

II) A matriz unidade é a sua própria inversa: I

= I-I.

Se A e B são matrizes quadradas, de mesma ordem, tem-se: IV) (A

+ B)-l = A-l + B-l.

V) (AB)-l = B-lA-l.

Esta propriedade será verificada por meio do seguinte exemplo: a) Dadas as matrizes

A

~]

= [:

e

=

C

[~

-:] ,

a matriz C é inversa de A:

=

AC

IS Sll2 -51 = 11 Ol l3 ~l:3 sj Lo lj,

isto é, A-l = C. b) Dadas as matrizes

B

=

~

j

e

F

~,

= [: -

a matriz F é inversa de B: BF =

rl? 4j7l r~s 9

4 -

il = 11 ol 9J Lo lj,

Inversão de Matrizes

53

isto é, B-l = F. c) O produto das matrizes A e B é:

AB

=

~ ~] ~ ~ = ~~ ~~]

ti) O produto das matrizes B-l e A-I é:

B-!A-!

= h~

-~

hi -~ = hi~ -~

e) O produto das matrizes AB e B -1 A -1 é: -1

-1

_

(AB) x (B A ) -

f97 761 r29 -761_ rI ~7 2~ l:37 9~ - ~

Tendo em vista que o produto das matrizes AB e B-IA-l é igual a I, a matriz B-IA-l é inversa da matriz AB: (AB)-1

=

B-IA-l

3.5 - OPERAçõES ELEMENTARES Denominam-se operações elementares de uma matriz as seguintes: I) Permutação de duas linhas (colunas). fi) Multiplicação de todos os elementos de uma linha (coluna) por um número real diferente de zero. ill) Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero.

54

3.6 -

Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares

EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES

Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente à matriz A, e se representa por B - A, se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão fInita de operações elementares. Com relação às operações elementares para transformar uma matriz em outra equivalente a ela, convém ter presente o seguinte: a) Quando se desejar permutar, por exemplo, a 2!! linha pela 3!! de uma matriz

A, se procederá assim:

~

1 3 A = O O

AI = O 43

15

O 4

O O

2

1

~

~

b) Quando se desejar multiplicar todos os elementos da 2!! linha, por exemplo,

. . AI, da matrIz I por "4 ' se escrevera assnn:

~

A z = O 31

5~3

O O 2

c) Quando se desejar substituir os elementos da I!! linha, por exemplo, da matriz Az, pela soma deles com os elementos correspondentes da 2!! linha previamente multiplicados por -3, se escreve assim:

A3

= [

1 O O 1

-4~3

O O

2

• Recapitulando as operações elementares que foram efetuadas com a matriz A até obter a matriz equivalente A3 , verifIca-se que: . I) A operação LZ3 foi realizada para tirar um zero da diagonal principal e poder colocar em seu lugar, após adequada operação, o número 1.

Inversão de Matrizes

55

II) A operação ~ L 2 foi efetuada para, em lugar do número 4 na diagonal principal, se obter o número 1. m) A operação LI - 3~ foi efetuada para, em lugar do número 3, situado

acima do número 1 da diagonal principal, se obter um zero. Como se vê, com as operações elementares se obtêm os mesmos resultados já alcançados com as propriedades VI, VII e vm dos determinantes: é que aquelas propriedades eram, na realidade, operações elementares. No caso, entretanto, dos determinantes, a VI e a VII propriedades, quando aplicadas, alteram seu valor, daí a necessidade de efetuar compensações, isto é, realizar operações que anulem tais alterações e mantenham o valor do determinante. Não é o caso, porém, das matrizes: as operações elementares têm por objetivo transformar uma matriz A em uma matriz B, equivalente a ela.

3.6.1 - Transformação de uma matriz na matriz unidade

r

Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não-singular, pode ser transformada na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão fInita de operações elementares. Antes de dar um exemplo, duas informações ao leitor: I!) em vez de transformar uma matriz quadrada de ordem eleva -

34 132

10L*" -

3"

132

O

1

O

38

O

->

LI-IO~:

O

->

6 L z +W~

10

2 2 10 5

---

24 2 10 -132 132 132

38 132

54 6 ---132 132 2 132

10 132

Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz

B=

12 132

34 132

38 132

12 132

54 132

132

24

2 132

10

12

1

5

132

66

66

66

132

6

6

17

19

66

66

66

6 66

27

3

66

66

é a matriz A-I, inversa de A.

o leitor pode fazer a verificação efetuando o produto AB, cujo resultado deve ser I. • O det A, considerando as alterações assinaladas com asteriscos e feitas as devidas compensações, é: det A

5

132

= 2('2) (- 10) x

1

=

-66

Inversão de Matrizes

3.7.1 -

59

Inversão de uma matriz de ordem 2 Detenninar a inversa da matriz: A

=

~

:]

Solução:

[:

b d

[,

~

Od-

~

~J

1 O

1 a c a

-

1 a

--> -LI:

[:

b a d

1 a O

:]

--> L

2

+

(-c) LI:

1

bc ad - bc d--= a a

(1)

mas:

det A =

:1

\:

ad

-

bc

Fazendo: (2)

ad -bc = n e substituindo (2) em (1), vem: d _ bc a

~

=

n

a

b a

1 a

n

c a

a

,então:

~~

: L,'

~

b a

1 a

Ql

1

c

~j

n

-->

b a 2:

L --L I

60

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

o 1

...!.-+~ a an

-

c -n

bl

n

-an

1

bc

n+bc

-a + =-an an

1

o

o 1

d

b

n

n

c

a

n

n

ad-bc+bc

ad

d

an

an

n

----- = -- = -

_

, entao:

Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz

é a matriz A-I inversa de A.

3.7.1.1 - Regra prática

Examinando o resultado do item anterior, verifica-se que se pode obter a matriz A-1, inversa da matriz A, de ordem 2, permutando os dois elementos da diagonal

principal, trocando os sinais dos dois elementos da diagonal secundária e dividindo os quatro elementos de A por det A = n (se n = O, A não tem inver~a). Exemplos: determinar a matriz Ifiversa de cada uma das seguintes matrizes

sl

2J

e

A

e - el

= ~os sen ~en ecos eJ

Inversão de Matrizes

61

Solução: 1)

detL

=

2) det M

7

6

3

4

I~ ~ I= 1

20 - 20

L-I

e

= 28-18 = 10

=O

e

4 10

6 10

3 10

7 10

M não tem inversa

3)

4) det A =

3.8 -

cos e

-sen e

sen e

cos e

2 = cos e

+

2

sen e =

1

e

A-I _

[COS e

sen e1

- sen ecos

eJ

MATRIZ ORTOGONAL

Matriz ortogonal é a matriz quadrada A cuja transposta At coincide com a inversa A-I. A matriz A do exemplo 4, item 3.7.1 é ortogonal. De fato: A= rcos e

l.!en e

3.9 -

- sen el e eJ

CDS

At = fcos e

sen el = A-I

t sen ecos eJ

PROBLEMAS RESOLVIDOS

Nos problemas 1 a 3, determinar por meio da regra prática (item 3.7.1.1) a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas

62

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1)

Solução:

2)

Solução:

det B =

-6 -4 ~8 21 = 32 -12 = 20 e

B-I =

~26~ 242~ ~~30 121~ _

20

_

20

10

3)

c Solução:

detC =

11~ 1~1=50_51 =-1

e

C- I

5 -1

-17 -1

-3 -1

10 -1

4) Calcular, por operações elementares, a matriz inversa da matriz:

4 8J 6 8

12 16

1-5 17l

L3 -lOJ

10

Inversão de Matrizes

63

Solução: 1

1

O

2

4

'2

O

6

12 O

1

6

12

O

1

8

16

O

8

16

O

O

1

2

4

1 2

O

O

O

1

2

1

O

4

8

O

Solução: 124

100 2

O

-1

2

4

1

O

1 * --+-L'

2

2'

1

--+ LI -2 L 2 :

2 2 O

2

4

3

O

1

2 1

O

O

O

1

2

O

O

O

3 2

1 2

O

2

4

3

O

1

--+ L 3 -2 L 2:

2 -1

O

1 O 2

1 -1 2

1

Tendo em vista que a matriz A não pode ser transformada na matriz I, ela não tem inversa, isto é, A é uma matriz singular. • A matriz A foi transformada numa matriz triangular superior cujos elementos da diagonal principal são 1, 1 e Oe, portanto, o termo principal T p = 1 x 1 x O = O, o que significa que det A = O. Por outro lado, se se considerasse as alterações assinaladas com asteriscos e feitas as devidas compensações, se teria: det A = 2 x 2 x O = O.

Nos problemas 5 a 8, dadas as matrizes a seguir, verificar se cada uma delas é ortogonal:

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

64

V3

A=

-3I

[: :1 B~ ~ -J

2v'2 3

c= 2V2 3

I ,

-3

-v'3

v'6 V6

V6

3

eD= I 3

v'3

3 O

6

3

6

V2 V2 2

2

Soluções:

5)

o fato de ser AAt = I implica ser At = A-i e, portanto, A é ortogonal. BBt =

fi -21 rI 21 ~

!J 1:2 ~

15 01 ~

5J

Tendo em vista que BBt #- I, B não é ortogonal. 7) I 3

CCt

2V2 I --3 3

-2V2 3

=

= 2 v'2 3

I 3

----

2Y2 3

I 3

~ :]

o fato de ser CCt = I implica ser Ct = C-i e, por conseguinte, C é ortogonal.

Inversão de Matrizes

65

8)

V3 V3 3

Dd =

3

-V33 -v'3 3

v'6 V6 V6 3 O

6

6

V2 v'2 2

2

V6

O

3

1

O

O

-6 - v'2 -2

O

1

O

v'3 V6 V2

O

O

1

v'3 V6 3 3

6

o fato de ser DDt = I implica ser Dt =

2

D-I e, por conseguinte, D é ortogonal.

9) Supondo as matrizes A e C quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver a equação matricial na qual X é a variável. b) Pré-multiplicando ambos os membros por A-I, vem: A-I (AX t ) (A-IA) X t

Solução: a) Pré-multiplicando ambos os membros por C-I, vem:

IX=X X t = A-I X = (A-I)t

IA=A

3.10 -

=

A-I I A-I I

A-IA = I A-I I = A-I IXt = A-I

C-I (CAxt ) = C-I C (C-IC)AXt = C-I C C-IC = I IAX t = I

AXt

=

=I

PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas 1 e 2, transformar na matriz unidade as matrizes dadas.

1)

A

=

[-~ -~ -~J 3

-5

4

2) B=

[

~

1

O 1 -2

O

1

,

I

!

66

Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Nos problemas 3 a 6, detenninar, pela regra prática (item 3.7.1.1), a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas. 3)

5)

A=[: c= l7

-4

-1~ -9

4)

B=[~ 1~]

:]

6)

D=[~

-:]

Nos problemas 7 a 10, verificar se a matriz de cada um deles é ortogonal. 7)

AJ~

t:

9)

1

c=

O O

:1

8)

~J

O

V2

-

10)

O

2

B~r-- ~l -2

V2 -

O

D= -V2

O

2

v'2

-

2

v'2

v'2

2

2

V2

1 2

v'2

-

2

V2

2

O

2

1

O

Nos problemas 11 a 26, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.

l3~

4 1 -5

-~

C~ [~

O 1 2 3

O O 1 2

11)

A=

13)

~

12)

B~[~

4 3 6

14)

D{~

O -2 O

-3

~J -~

-2 2

Inversão de Matrizes

E~t~

15)

17) G =

19) J=

21) M=

ti

-:

25)

-2 10

-4

-2

~I

-2

-3

-4 -5

~I

O -1 -1

-2

-1 -1

p~ [~

23)

O -4

2

-1

4 -7

R~ [~

O 3 O

-~]

16)

-~

18)

[3

F= ~

-Ü

-~ -ü

~J

~]

[3 2

-1 -4

-3J

-1

-2

-2

N{~

-2

~]

24) Q=

-2 3

2

-24

4

L=

22)

-12J -3

H~D

20) -5 -6

-6 3 -9

26) s=

[I

-3 -3

li

O O O

2

-1 O -1 -3 -4 2 -1 O O

67

-1

1 -3

O

2 -1 O

U -1

27) Calcular O valor de k para que a matriz A

=

[~

~J

não tenha inversa. Nos problemas 28 a 31, supondo as matrizes A, B, C e D quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais X é a variável. 28)

30)

ADX=ABC ABCX2D2 = ABCXD

29) 31)

DXt=DC D-IXD = AC

68

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

3.10.1 - Respostas ou roteiros para os problemas propostos 1 e 2) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao do exemplo do item 3.6.1.

3 a 6) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao dos problemas 1 a 3 do item 3.9.

7 a 10) Roteiro:

Esses problemas são resolvidos de modo análogo ao dos problemas 5 a 8 do item 3.9. 14 3

11) A-I

=

13)

-2 1

11

C-I

~

15)

l:

G-I

-1 1

-2 1

O

O

1

O

O

-2

1

O

1

-2

1

1 2

1 2

1 2

3

-1

2

1 2

-1

1 2

= -1

3 2

5 2

3 2

-2

7 2

=

-2

12)

B não tem inversa

14)

O

-5

-2 17)

13 3

5

-4 E-I

9 3

D-I

=

1 2

O

1

1

-4

3 4

16)

2

2 O

1

4

-34

-2

= ·2

O

1 3

1 3

1 3

3 2 3

18)

1 4

11 3

p-I

1

H não tem inversa

Inversão de Matrizes

19) J-l=

=

li li 3

-2

21) M-l

=

23) p-l

=

25)

~

3 -3 1

-r]

20)

o

-~

22)

-1 1

-1

~2

1 -1

-3

-2

-ü

1

o

o

1 3

o

L-I

~

[: -8

4 3 -5

-IJ -9 14

N-I~ G -:J -10 7 -6

24) Q-l =

-2

26)

7

1

~

o

-5

ü

-1

-1]

-1

-2

-4

2

o

-1

-2

-3

o

o

-1

-1

o

o

o

-1

2 R-I

= o

o

S-1 =

o -1 7

27) Roteiro: Resolver a equação

[~ ~I

= O

pois a matriz cujo determinante é nulo não tem inversa. 28) 30)

X = D-IBC X = D-l .

29) 31)

X=Ct X = DACn- 1

69

I

CAPITULO 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

4.1 -

EQUAÇÃO LINEAR Equação linear é uma equação da fonna:

na qual xl' X 2 ' .", xn são as variáveis; aI variáveis e b é o tenno independente.

az, ..., ~ são os respectivos coeficientes das

• Os valores das variáveis que transfonnam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem a equação, constituem sua solução. Esses valores são denominados ra(zes da equação linear. Exemplo: a equação 2x+y=1O admite, entre outras, as raízes x = 3 e y = 4, pois: 2 x 3

70

+4 =

10.

Sisterru1S de Equações Lineares

4.2 -

71

SISTEMAS DE EQUAçõES LINEARES A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de equações

lineares:

+ a ln ~ = b l + azn ~ = b 2

azl Xl

+ a l2 X2 + + az2 X2 +

~l Xl

+ ~ X2 + ... + ~ ~ =

al1 Xl

.. . . . .

{

. . . .. . bm

• Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução. Esses valores são denominados ra(zes do sistema de equações lineares.

4.2.1 -

Sistema compatível

Diz-se que um sistema de equações lineares é compatfvel quando admite solução, isto é, quando tem raízes. Um sistema compatível pode ser determinado ou indeterminado: • o sistema é determinado quando admite uma única solução. Exemplo: o sistema 2x { 3x

+ 3y = 18 + 4y = 25

é determinado, pois tem como raízes unicamente x

.

·;.rA ..-~ .

~ ~ ~-

L

••• Cv. Nesse caso, o sistema é incompatfvel: a última linha de B representa a equação linear Ox l + Oxz = -5 que não é satisfeita para nenhum valor de xl e de x2• • No exemplo 2, tem-se:

Nesse exemplo, B representa um sistema de 4 equações (m = 4) com 2 variáveis (n = 2) e Ca = Cv = 2 porque tanto a matriz B como a matriz V têm duas linhàs com elementos não todos nulos. Nesse caso, o sistema é compatível e as duas primeiras linhas de B informam que Xl = 2 e x 2 = 3. • No exemplo 3, tem-se: B

=

fi

O 20 2l186l

LOl231lJ

e

O 20 2ll

1

2

3J

Nesse exemplo, B representa um sistema de 2 equações (m = 2) com 4 variáveis (n = 4) e Ca = Cv = 2. O sistema é compatível: a primeira linha de B informa que

Sistemas de Equações Lineares

Xl = 86 - 20x3 - 2Ix4 , enquanto a segunda linha informa ser X2 valores de xl e x2 se obtém atribuindo valores arbitrários a x 2 e x4 • • Quando Ca escada é C:

89

= 11- 2x2 - 3x4 ; os

= Cv se dirá que a caractenstica de B (matriz em forma de

Ca=Cv=C

• As defInições permitem concluir que: Ca;;. Cv

De fato: em virtude de V estar contida em B, as linhas de V com elementos não todos nulos estão contidas em mesmas linhas de B com elementos não todos nulos, o que implica ser, no mínimo, Ca = Cv.

Por outro lado, em virtude de B conter V, as linhas de B com elementos não todos nulos podem, eventualmente, ser em maior número do que as linhas de V com elementos não todos nulos, o que implica a possibilidade de ser Ca > Cv. (Os exemplos 1,2 e 3 são bastante esclarecedores.

4.4.2.2 - Característica e número de variáveis

Neste item se tratará somente do caso em que Ca = Cv = C, isto é, em que o sistema é compatfvel e se examinará a relação entre característica e número de variáveis. 12) A característica C não pode ser maior do. que o número de variáveis. Para que a característica C fosse maior do que o número de variáveis, se deveria ter uma matriz reduzida à forma de escada do seguinte tipo, por exemplo:

[~

o 1 4

~]

sendo r um número real. Nesse caso, a característica C seria 3 e o número de variáveis seria 2. Entretanto, a matriz dada não é uma matriz reduzida à forma de escada: o número 4 que aparece na 3!! linha pode ser transformado em zero por adequada operação, enquanto o número r também deverá ser transformado em zero pela mesma operação (se r fosse transformado num número diferente de zero, se estaria fora da hipótese, pois que, no caso,

90

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equaçóis Lineares

Ca seria maior do que Cv, e a hipótese em que se está trabalhando é que o sistema é compatível, isto é, que Ca = Cv = C). Assim, na verdade, a matriz antes citada é:

~]

o 1 O

e a característica C

= 2 é igual ao número de variáveis n = 2.

22) Quando a característica C é igual ao número de variáveis, o sistema é compatfvel e determinado. É o que acontece com o exemplo 2, citado anteriormente. A matriz reduzida à forma de escada:

representa um sistema que tem m = 4, n xl = 2 e x3 = 3.

= 2, C = n = 2, e a solução, como já foi visto, é:

3 2) Quando a característica C é menor do que o número de variáveis, o sistema é compatfvel e indeterminado. É o que acontece com o exemplo 3 citado anteriormente. A matriz reduzida à forma de escada O

20

21

1

2

3

86l llJ

representa um sistema que tem m = 2, n = 4, C = 2, C < n e a solução, como já foi visto, é: Xl = 86 - 20x3 - 21x4 e x2 = 11 - 2x3 - 3x4, sendo os valores de Xl e x2 obtidos atribuindo-se valores arbitrários a x 3 e x4' 4.4.2.3 - Grau de liberdade de um sistema

Chama-se grau de liberdade de um sistema de equações lineares à diferença g = n - C. No já tantas vezes citado exemplo 3, o grau de liberdade do sistema é g = 4- 2 = 2,

uma vez que, naquele sistema, n

= 4 e C = 2.

Sistemas de Equações Lineares

91

o significado do grau de liberdade de um sistema de equações lineares, o leitor certamente já percebeu: informa o número de variáveis às quais devem ser atribuídos valores arbitrários para calcular cada uma das variáveis restantes.

4.4.2.4 - Características, número de variáveis e soluções

o que foi dito e explicado nos três itens anteriores pode ser assim resumido: 1) A característica Ca de uma matriz ampliada A, que representa um sistema de m equações lineares com n variáveis, não pode ser menor do que a característica Cv da matriz V dos coeficientes das variáveis contida na matriz B reduzida à forma de escada. 2) Quando Ca > Cv, o sistema é incompatível. 3) Quando Ca

= Cv = C, C é a característica da matriz B reduzida à forma de

escada. 4) C não pode ser maior do que n, isto é, C ,,;;; n. 4.1) Quando C

= n, o sistema é compatível e determinado.

4.2) Quando C < n, o sistema é compatível e indeterminado. 5) Grau de liberdade de um sistema é a diferença g

= n-

C.

4.4.2.5 - Matriz quadrada dos coeficientes das variáveis e matriz unidade

Em 4.4.1 foi dito que, num sistema de n equações lineares com n variáveis, nem sempre a matriz dos coeficientes das variáveis poderia ser transformada na matriz unidade e os casos em que isso ocorresse seriam aqui tratados. Dois exemplos esclarecerão o problema e indicarão a maneira de obter a solução desses sistemas. 1) Resolver o sistema de 2 equações com 2 variáveis: 3X { 3x

+ 9y =

Solução:

[~

9 9

12~ ~.!.L" 3 I" 15

12

+ 9y = 15

92

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Tendo em vista que Ca incompatível.

= 2 e que Cv =

1, isto é, que Ca > Cv, o sistema é

2) Resolver o sistema de 2 equações com 2 variáveis:

!

+ 2y = + 4y =

lOol

1 -,>-L· 4 I"

4X 8x

100 200

Solução:

[

4

2

8

4 200J

rI

~ 25l

L8

4 200J -,> L 2

-8 LI:

Tendo em vista que Ca = Cv = C = 1 e que n = 2, isto é, C < n, o sistema é compatível e indetenninado. A primeira linha da matriz reduzida à fonna de escada representa a equação Ix = 1'5 - O,5y, isto é, os valores de x são obtidos ao se atribuir valores arbitrários à variável y (O grau de liberdade g = n - C = 2 - 1 = 1 já podia indicar que os valores de x dependiam de uma única variável). • Os dois exemplos já foram mencionados em 4.2.1 e 4.2.2. • Quando num sistema de n equações com n variáveis a matriz dos coeficientes das variáveis não puder ser transfonnada, por operações elementares, na matriz unidade (caso dos exemplos 1 e 2), a solução dirá necessariamente que o sistema é incompatível ou compatível e indetenninado. Ao contrário, quando a matriz dos coeficientes das variáveis pode ser transformada na matriz unidade (caso dos exemplos resolvidos pelo método de Gauss-Jordan item 4.4.1.1, e pelo método da matriz inversa, item 4.4.1.2), a solução é sempre compatível e detenninada.

4.4.3 -

Permutação de linhas e de colunas na solução de sistemas de m equações lineares com n variáveis

Durante a execução das operações para transformar a matriz ampliada de um sistema na matriz em fonna de escada, podem ocorrer os seguintes casos particulares:

Sistemas de Equações Lineares

93

12) Numa linha, um zero no local onde se pretente obter o número 1; nesse caso, efetua-se a troca dessa linha pela seguinte ou por uma outra das seguintes, se for o caso, prosseguindo-se, após, normalmente. Exemplo:

67 9 3

15~ 12

1

...... L 24:

O

~ ~:~

O 2 O O 9 18 [ O O 6 12

18 14

Em virtude de não resolver trocar a 2!! linha pela 3!!, a solução foi trocar a 2!! linha pela 4!!: agora, em lugar de um zero se tem em ~2 o número 2 que, por adequada operação, pode ser transformado no número 1.

22) Ainda, numa linha, um zero no local onde se pretende obter o número 1 sem possibilidade de trocar a linha por qualquer uma das seguintes em virtude de, na coluna correspondente, somente haver elementos nulos abaixo do citado zero. Exemplo:

~ -~ _~ _~~l

O 1 7 3;J Nesse caso, de nada adianta trocar a linha 2 pela linha 3. Sabendo, entretanto, que essa matriz representa o sistema: IX 1 + 3x2 - 2x3 + 5x4 = 21 OX 1 + OX2 + 4x3 - 8x4 = - 20 { OX 1 + OX2 + 1x3 + 7x4 = 31,

pode-se fazer a troca de duas colunas: a coluna da variável x2 pela da variável x3' troca que se indicará por C (x2' x3)

~

5 2~

3 -2 O 4 -8 -20 O 1 7 31 ~

......

[i

-2 4 1

521J

3 O -8 -20 O 7 31

C(x2• x3)

Com essa operação, em lugar de um zero em ~2 se obtém o número 4 que, por adequada operação, pode ser transformado no número 1.

94

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

• A hipótese de haver uma coluna com elementos todos nulos não deverá ocorrer: seria o mesmo se a variável não fIzesse parte do sistema. Assim, o sistema: 4X 1 + OX2

+ 2x3 =

12

3x 1 + OX2

+ 5x3 =

16

4X 1 +

2x3

= 12

3x 1 + 5x3

= 16

é, na verdade: {

{

• Em 4.5, na solução do problema 10, aparecem os casos de troca de linhas e de troca de colunas.

4.5 - PROBLEMAS RESOLVIDOS Antes de iniciar a solução de problemas, convém esclarecer que: I) Para classifIcar qualquer sistema de equações lineares (m = n, m ~ n,

homogêneo ou não), será usada sempre a mesma notação e utilizado sempre o mesmo critério. Assim: a) A é a matriz ampliada do sistema (contém a matriz dos coefIcientes das variáveis e a matriz-coluna dos termos independentes, ambas separadas por um traço vertical); b) B é a matriz ampliada reduzida à forma de escada; c) Ca é a característica da matriz ampliada A (número de linhas com elementos

não todos nulos de B); ti) Cv é a característica da matriz V, contida em B, dos coefIcientes das

variáveis (número de linhas com elementos não todos nulos de V); e) C (quando Ca = Cv = C, o que nem sempre ocorre, pois Ca pode ser maior

do que Cv) é a característica da matriz B reduzida à forma de escada; f) m é o número de equações; g) n é o número de variáveis; h) g

=n-

C é o grau de liberdade do sistema.

Por outro lado: i) Se Ca

> Cv, o sistema é incompatível;

Sistemas de Equações Lineares

95

= Cv = C, o sistema é compatível. Nesse caso: jI) se C = n, o sistema é determinado;

J) Se Ca

jz} se C < n, o sistema é indeterminado. II) Por razões de ordem didática, o estudo da solução de sistemas de equações lineares foi feito, separadamente, nos dois casos em que podem se apresentar, nos itens 4.4.1 e 4.4.2 (m = nem ~ n.) Entretanto daqui por diante, até o [mal do Capítulo, salvo menção~xpressa em contrário, será utilizado para a solução de qualquer sistema de equações lineares o método geral da transformação da matriz ampliada A do sistema na matriz equivalente B reduzida à forma de escada. Nos problemas 1 a 6, classificar e resolver os sistemas: 1) { 2x

+ 4y + 6z ~ -6

A~~

Este sistema é representado pela matriz:

3x - 2y - 4z = -38 Ix + 2y + 3z = -3

4 -2 2

Solução:

[~ [~

4 -2 2

6 -4 3

2 -8 O

3 -13 O

1

O

B= O

1

O

O

1 4 13 -8 O

1 --+2"L I : -38 -6J -3

_3J

-2~

--+

-~~:

29 8 O

[:

-~

-j

2 1 13 29 8 8 O O O

3

--+ L 2 -3 LI: --+ L 3 -1 LI: --+ LI -2 L 2:

41 1 Ix + Oy --z 4 4 29 13 Ox+ ly + 8" z 8

--

41

-4

[~

2 3 -2 -4 -38 2 3 -3

Esta matriz corresponde ao sistema:

Ox+Oy+Oz=O

6 -4 3

-6 -38 -3

J

96

Matrizes, Detemúnantes e Sistemos de Equações Lineares

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C =2; logo, o sistema é compatível. Mas n = 3, isto é, C < n, o que significa ser o sistema indeterminado e seu grau de liberdade: g = n - C = 3 - 2 = 1. De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-se que a 3!! equação não estabelece nenhuma condição para x, y e z; por isso, a solução do sistema é dada pelas duas primeiras equações: -41+z x =--4

e

y

29-13z 8

=

Os valores de x e y são obtidos atribuindo valores arbitrários para z. Assim, se z exemplo, vem: -41 + 1 -40 x = ----:-- = = -10

4

4

e

= 1, por

29-13 16 =-= 2 8 8

y

Para outros valores de z, são obtidas outras soluções.

2) x+y-z=O

l

2x- 3y+z = O

4x-4y-2z = O

Este sistema é representado pela matriz:

1 -3 -4

Solução trivial: x = y = z = O. Soluções próprias:

[~

1 -1 -3 1 -4 -2

1

1 -1

O

t

O -8

~]

->

L 2 -2 LI:

->

L 3 -4 LI:

O

->

LI -1 L 2:

3 O 5 2 O

->

L 3 + 8 L 2:

[~

1 -5 -8

1

O

O

1

O

O

-1 3 2

~J

2 O 5 3 O 5 14 O 5

->

1 5

--L2:

->

5 14

- - L3:

-1 1 -2

~]

Sistemas de Equações Lineares

1

O

O

1

2 5

O

3

O

B=

100

O

O

1

O

O

O

O

1

O

97

5 O

O

1

O

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = 3 = n; logo, o sistema é compatível e detenninado. Tendo em vista que o sistema inicial é homogêneo e que é compatível e detenninado, não possui soluções próprias, ou seja, só admite a solução trivial: x = y = z = o. 3) 3x {

+

=8 2z = -4 3z = -4

2y - 5z

2x - 4y Ix - 2y -

Este sistema é representado pela matriz:

2 -4 -2

-5 -2 -4

~]

Solução: 1 -->-L· 3 1·

1

O

1

2 3

5 3

8 3

2

-4

-2

-4

--> L z -2 LI:

1

-2

-3

-4

--> L 3 -1 LI:

2 3

5 3

125 3 3

8

-~

4 3

O

1 4

7 4

8

4

3

3

20 3

8 --> L 3 +"3Lz:

4

7 4

1 --> L +-L· z 4 3"

1

1

3

084

1

20 3

O

103 2

3 2

103 2

1 4

7 4

O

3

O

O

1

O

3

-2

O

1

O

1

3

2

--> LI -

"3 Lz:

98

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

o

O 31 1 O 2J Ésta matri~ corresponde ao sIstema: O 1 1

llX + Oy + Oz = 3 Ox + 1y + Oz = 2 Ox + Oy + lz = 1

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = n; logo, o sistema é compatível e deternúnado. De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-se

que: x

= 3, y = 2 e z = 1.

4) 3x + 6y = O 12x + 24 y = O 3 -x + 3y = O 2

3 12 3 A= 2 3 4

Este sistema é representado pela matriz:

6 3 12 24 3 3 2 3 3 - 2 4

-

O O O O

3

- -23

3 3 -x+-y=O 4 2

Solução trivial: x

6 24

O O O O

= y = O. Soluções próprias: 1

-"3 LI :

2 I 12 24

O O

3 2

3

O

-43

3 2

O

- ~- 12 LI: 3 L - - LI: 3 2 3 - L4 - 4 LI:

Ix + 2y = O Esta matriz corresponde Ox + Oy = O ao sistema: { Ox + Oy = O Ox+Oy=O

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca compatível.

= Cv = C =

1; logo, o sistema é

Sistemas de Equações Lineares

99

Mas n = 2, isto é, C < n, O que significa ser o sistema indetenninado e seu grau de liberdade é: g = n-C = 2-1 = 1. De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-se que as três últimas equações não estabelecem nenhuma condição para x e y; por isso, as soluções próprias do sistema são dadas pela I!! equação:

=

x

-2y

Os valores de x são obtidos atribuindo-se valores arbitrários a y. 5)

+ 2x2 =4 -3x I + 4x 2 =3

Este sistema é representado

2x I - x2 =-6

pela matriz:

Xl

{

A

=r_~ ~ ~J L2

-I

-6

Solução

[~ 1~

--+ L 2 + 3 LI: --+ L 3 -2 LI:

4~

--+ LI -2 L 2:

B

1,5

-14

O

--+ L 3

+ 5 Lz:

=

1:]

1 --+-L· 10 2·

5 -14

1O 1J 1 1,5 [O O -6,5 O

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca que significa ser incompatível o sistema.

= 3 e Cv = 2, isto é, Ca > Cv, o

6) Xl

(

+ 2x2 =-4

-3x I

+ 4x2 =

2x I

x2 = 7

-

-18

Este sistema é representado pela

matriz:

rI 2 _4J

A

=[~

_~

-1~

]00

Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Solução:

t I -3 2

-~

2 4 -18

-'> L z + 3 LI:

-1

-'> L 3 - 2 LI:

7

1 2-4J [ O 10 -30

O

1

-'>-L· 10 z·

-5 15

I~ ~ ~l L~ -5 I~J

l

lK I + OX z = 2

A matriz B corresponde ao sistema:

OX I

Ox l

Examinando a matriz B, verifica-se que Ca compatível e detenninado.

+ lx z =-3 + OX z = O

= Cv = C =

n; logo, o 8istema é

De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-se que a última equação não estabelece nenhuma condição para x e y; por isso, a solução do sistema é dada pelas duas primeiras equações: Xl = 2 e Xz = -3.

7) Estabelecer a condição que deve. ser satisfeita pelos termos independentes a, b e c para que seja compatível o sistema:

+ 2xz = a -3x I + 4xz = b 2x I -Xz = c Xl

{

Este sistema é representado pela matriz:

A

=[-~ ~ :] -2

Solução:

-'> L z + 3 LI: -'> L 3 - 2L I :

-,>_I_Lz: 10

-1

c

SístertUls de Equações Lineares

1

2

O

1

b

a

1

2

+ 3a

O 1

a b

+ 3a

10

o

-5

101

10

c-2a

O O

c-2a +

Se c - 2a + b +2 3a lOSse ç difierente de zero, se tena . Ca

b

+ 3a 2

, = 3 e Cv = 2' ,ISto e,

Ca > Cv e o sistema seria incompatível. Portanto, para que o sistema seja compatível, é necessário que: c-2a+

b

+ 3a 2

-O -

ou 2c - 4a

+ b + 3a = O

-a+b+2c=0 a=b+2c

• Comparando os sistemas dos problemas 5, 6 e 7, verifica-se que todos têm a mesma matriz dos coeficientes das variáveis: a) o 12 é incompatível:

b) o 2 2 é compatível;

c) o 32 estabelece a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema seja compatível. Essa condição exige que: a=b+2c

Ora, na I!! equação, a = 4, b = 3 e c = -6 isto é: 4 # 3 + 2 (-6) 4 # 3 -12 4r!'-9

A condição de compatibilidade não foi satisfeita e o sistema se mostrou incompatível.

102

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Já na 2i.! equação, a = -4, b = -18 e c = 7, isto é: -4 = -18 -4 = -18 -4=-4

+ 2(7) + 14

o que tomou compatível o sistema. • Nos problemas sobre sistemas, nos quais se solicita que alguma condição seja estabelecida para que sejam compatíveis ou admitam solução não-trivial, etc., quer nos termos independentes, quer em coeficientes das variáveis, embora se inicie transformando a matriz ampliada inicial na matriz reduzida à forma de escada, geralmente não é necessário chegar ao rmal: quase sempre, um simples raciocfuio, no decorrer da execução do processo, resolve o problema. 8) Calcular o valor de k para que seja compatível o sistema:

I

+ 2x z =-1 + 4x z = k 2x I -xz =-7

Este sistema é representado pela matriz:

XI

-3x I

A

1 2 _IJ

= -3

[2

4

k

-1

-1

Solução:

[~ ~ ~J [2 -1 -7 1 O O

2 -1 1 k-3

-lO

-5

-5

..... - 1

..... L z + 3 LI: ..... L 3 -2 LI:

L z:

10

1

2

-1

O

1

k-3 10

..... L 3

+ 5 L z:

Se -5 + k;

3

O

O

k-3

-5+--

fosse diferente de zero, se teria Ca

2

=

3 e Cv

=

2, isto é,

Ca > Cv e o sistema seria incompatível. Portanto, para que o sistema seja compatível é necessário que: -5

k-3

+ -2- =

O

Sistemas de Equações Lineares

103

ou -10 + k-3 k = 13

=O

• Esse sistema tem a mesma matriz dos coeficientes das variáveis do problema 7. Ali foi estabelecido que, para ser compatível, os termos independentes a, b e c do sistema deveriam satisfazer à condição: . a=b+2c

Ora, nesse sistema, a = -1, b = k = 13 e c = -7, isto é: -1 = 13 + 2 (-7) -1 = 13 - 14 -1

= -1,

o que tomou compatível o sistema. 9) Determinar o valor de k para que admita solução não-trivial o sistema:

r-Y-Z~O

x- 2y -2z = O

2x+ky+z=O

A~~

Este sistema é representado pela matriz:

-1 -2 k

Solução:

G

[~

-1 -2 k

-1 -2 1

-1 1 k+2

-1 1 3

~J

~]

-> ->

->

[~

L z -1 LI: L 3 -2 LI:

L 3 + (-k-2)

Lz:

Se -k+ 1 fosse igual a 1, isto é, se k

~

-1

-1

1

1 1

O

~J

~

-1 -1 -1 -1 k+2 3 -1 -1 1 1 O -k+1

~]

~

->

-1 L z:

= 0, a tlltima matriz ficaria assim:

-1 -2 1

~]

104

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

e a matriz dos coeficientes das variáveis poderia ser transformada na matriz unidade, do que resultaria Ca = Cv = C = 3 = n e o sistema seria compatível e determinado, isto é, admitiria somente a solução trivial: x = y = z = O. Portanto, para que o sistema admita solução não-trivial, é necessário que -k + I = O, isto é, k = 1. Nesse caso, como os elementos da 3!! linha seriam todos nulos, a matriz inicial teria, ao final, Ca = Cv = C = 2; mas n = 3 e C < n, o que significaria ser o sistema, para k = 1, compatível e indeterminado. 10) Classificar e resolver o sistema:

{2x, + 4x 8x, + 16x 32 4 ~

2-

3x I 3x I

+

6x2 - 12x3 + 24x 4 = 48

+

2x2 + 2x3 + lOx4 = 16 8x2 - lOx3 + 3Ox4 = 40

A~~

Este sistema é representado pela matriz:

4 6 2 8

- 8 -12 2 -10

16 24 10 30

Solução:

~ [~

~ [~

4 -8 16 6 -12 24 48 2 210 16 8 -10 30 40

1 2

~-L'

1·

3:]

2

-4

8

1~

O

O O

2 2

210 16 2 6 -8

2 1 2

-4 8 1 3 2 10 16

O

O

1 O

O

O O

~

L 24 :

~

LI -2 L 2:

~

L 3 -2L2:

1 O

~:]

2 3 1 -4 4 O 24 O O O

1 4

~-L'

3"

[~

~ [~

~

1~

2 -4 8 6 -12 24 48 2 210 16 8 -10 30 40 2 2 2 O

1~

-4 8 2 6 -8 210 16 O O

-6 1

O O

O O

1

! C(x 3, x 4): O 1 O O

2 -6 3 1 1 O O O

~

L 4 -3 LI: 1

~2L2:

O

2 3 O 4 24

O

~L2-3LI:

1 O

~

1]

~

LI -2 L 3 : L 2 -3 L 3 :

32]

48 16 40

Sistemas de Equações L;neares

1 O O 1 B = O O [ O O

O -6 12] O 1 -22 O

6

O O

1

O

lxl + Esta matri~ corresponde Ox l + ao sIstema: { Ox l + OX I +

OX2 + 1x2 + OX2 + OX2 +

105

OX4 - 6x3 = 12 OX 4 + lx 3 = -22 lx4 + OX3 = 6 OX4 + OX3 = O

(Não esquecer que a coluna dos coeficientes da variável x3 foi trocada pela coluna dos coeficientes da variável x4). Examinando a matriz B, verifica-se que Ca = Cv = C = 3; logo o sistema é compatível. Mas n = 4, isto é, C < n, o que significa ser o sistema indeterminado e seu grau de liberdade: g = n - C = 4 - 3 = 1. De outra parte, examinando o sistema a que corresponde a matriz B, verifica-se

que a última equação não estabelece nenhuma condição para solução do sistema é dada pelas três primeiras equações:

Xl' X2' X3

e

X4;

por isso, a

Xl = 12+6 x3 x2

=

-22-x3

x4

=6

Os valores de Xl e x 2 são obtidos atribuindo-se valores arbitrários a x 3.

PROBLEMAS PROPOSTOS

4.6 -

Nos problemas 1 a 23, classificar e resolver os sistemas: 1)

3)

5)

{5X + 8y = 34 lOx + 16y = 50

rx

+ 3y-2z ~ 2 3x-5y + 4z = 5 X- 2y - 7z = -24

l'

+ 2y + 3z ~ 10 = 23 = 10

3x + 4y + 6z 3x + 2y + 3z

2)

4)

rX-Y-3Z ~ 15 3x - 2y + 5z = -7 2x + 3y + 4z = 7

r

+4y +6z~O

-

6)

~ x-6y-9z = O

rx-

3y - 7z ~ -5 4x-y-z = 2 -2x + 4y + 8z = 10

106

Matrizes, Detenninantes e Sistemas de Equações Lineares

7)

( 3x - 8y - 9z ~ 14 7x + 3y + 2z = -12 -8x - 9y + 6z ~ 11

9)

( 2x - 5y - Z ~ -8 3x-2y -4z =-11 -5x + y + z =-9

10)

r x + 9y + 12z ~ 24 4x + 16y + 26z = 46 x + 7y + 14z = 20

11)

( 5x + y + z ~ 7 6x-y-z = 4 7x + 2y + 2z = 11

12)

{ 6x + 2y + 4z = O -9x - 3y - 6z = O

13)

( -8x + 3y + 2z ~ 16 4x-2z = O 3y + 4z = -32

14)

r x + 2y - 3z ~ 18 2x-4y + 4z = 12 -4x + 3y - 5z = -24

15)

( x + 4y + 6z ~ 11 2x + 3y + 4z = 9 3x + 2y + 2z = 7

16)

(2x+2Y+4Z~O 3x + 5y + 8z = O 5x + 25y + 20z = O

17)

r-3Y-7Z ~ I -x - 2y - 4z = -2 -2x-4y-5z =-1

18)

( IOx + 8y -7z ~ I 5x + 3y - 8z = 19 7x - 9y + 4z = -15

19)

( x-y~O 2y + 4z = 6 x + y + 4z = 6

20)

21)

r x + 8y + 12z ~ 24 x-z =0 -5x - 8y - llz = -24

22)

23)

( 2x + 3y + 4z ~ 53 3x + 5y-4z = 2 4x + 7y-2z = 31

8)

rX-3Y ~-18 2y + 5z =-8 x-2y-3z = O

(6x-9y -5z + +

~ -35 2x 3y 4z = 29 5x-2y-lz = O

("X-2Y + 4z ~ -15 9x + 3y- 3z = O x-4y-z =-8

Nos problemas 24 a 27, estabelecer a condição que deve ser 'satisfeita pelm tennos independentes para que sejam. compatíveis os sistemas: 24)

(4X + 12y + 8z = a 2x + 5y + 3z = b -4y-4z = c

25)

2x + 4y + 2z = a 3x + 8y + 5z = b ( -3x-4y-z = c

Sistemas de Equações Lineares

26)

2x + 2y + 4z = a 6x + 11 y + 8x = b 2x + 7y = c

27)

1 28)

x+y-z=a -x + 2z = b y+z=c

l

Calcular o valor de k para que admita solução não-trivial o sistema: 2x { 4x

+ 6y = O + ky = O

Nos problemas 29 a 33, resolver os sistemas pelo método matricial: -2x + 3y - z = b} x-3y + z = b 2 -x + 2y-z = b 3

1 30)

Para b} = 2, Para b} = 1,

b2 = 5 e b3 = 7 b2 = 6 e b3 = O

31) 32)

Para b} = 2, Para b} =-4,

b2

33)

Para b} = 4,

29)

= -8 e = -3 e

b2

b3

=9 = -2

b3

Nos problemas 34 a 37, resolver os sistemas pelo método matricial: -2X} 3x} + -4x} 3x} +

j 34) 35) 36) 37)

X2 + 2x4 = b} X2 - 2x3 - 2x4 = b 2 x2 + 2x3 + 3x4 = b 3 x 2 - x 3 - 2x4 = b 4

Para b} = 5, b 2 = 3, b 3 = 12 e b 4 = 10 Para b} = -8, b 2 = -4, b 3 = -9 e b 4 = 8 Para b} = 4, b 2 = O, b 3 = -2 e b 4 = 3 Para b} = -9, b 2 = 6, b 3 = 3 e b 4 = 1

107

108

Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

Nos problemas 38 a 43, resolver os sistemas pela regra de Cramer. 38) 40)

f 8x I + 5x2 =

63 7x I - 5x2 = 27

f 21x I -llx2 = 7xI

42)

('1

+

52 5x2 = 26

+ ~ + 3x, ~ 22 3x I + x 2 + 2x 3 = 25 2x I + 3x2 + x 3 = 25

39)

f 9x I 7x I

41) 43)

+

2x2 = 31 6x2 = 77

{ 6x + 2y = 12 3x-3y = 6

12x1-"2 + 3x, ~ 14

3x I + 2x2 - x 3 = 24 -xl + 3x2 + 2x3 = 10

Nos problemas 44 e 45, resolver os sistemas pelo método da matriz inversa (utilizando a regra prática do item 3.7.1.1): 44)

7x { 5x

4.6.1 -

+ 4y = + 3y =

36 26

45)

llxI + 5x2 = 21 { -4xI - 2x2 = -8

Respostas dos problemas propostos

1)

Incompatível

2)

Compatível e detenninado: x = 3, y = 3 e z = -2

3)

Compatível e detenninado: X = 1, Y= 2 e z = 3

4)

Compatível e indetenninado: a) Grau de liberdade: g = 2 b) Solução trivial: x = y = z = O c) Soluções pr6prias: x = -4y - 6z

5)

Incompatível

6)

Compatível e determinado: x=y=z=1

7)

Compatível e detenninado: x = y = z =-1

8)

Compatível e determinado: x = O, y = 6, Z = -4

9)

Compatível e detenninado: x = 3, y = 2 e z = 4

10)

Incompatível

11)

Compatível e determinado:

12)

Compatível e indetenninado: a) Grau de liberdade: g = 2 b) Solução trivial: x = y = z = O -y-2z c) Soluções pr6prias: x = 3

x

= 1,

y

= 7 e z = -5

Sistemas de Equações Lineares

109

13)

Compatível e determinado: y = O e z = -8 x = -4,

14)

Compatível e determinado: x = 6, y = z = O

15)

Compatível e indeterminado: a) Grau de liberdade: g = 1 3 + 2z 13 - 8z b)x = e y = -~-

16)

Compatível e determinado. O sistema admite somente a solução trivial: x=y=z=O

17)

Compatível e determinado: x = 2, y = -2 e z = 1

18)

Compatível e determinado: x = 1, y = 2 e z =-1

19)

Compatível e indeterminado: a) Grau de liberdade: g = 1 b) x = y = 3 -2z

20)

Compatível e determinado: y = 3 e z = 4 x = 2,

21)

Compatível e indeterminado: a) Grau de liberdade: g = 1 b) x = z e y = 3 - 2z

22)

Compatível e determinado: x = -1, y = 2 e z = 1

23)

Compatível e determinado: x = 3, y = 5 e z = 8

24)

2a-4b+c=0

25)

3a-b + C = O

26)

2a-b+c=O

27)

a+b-c=O

28)

k

29)

x = -7,

30)

x = -7,

31)

x = 6,

32)

x = 7,

33)

x = -11,

y = -16,

34)

Xl = 22, x4=37

35)

Xl = 12; e x4 =-1

Xz = -18,

36)

xl x4

37)

xl = -13, e x4 =-4

39)

xl

41)

x=2 e

y=O

43)

Xl = 6,

Xz = 4

45)

xl = 1 e

Xz = 2

5

5

y = -12,

z = -24

y = -1,

Xz

z = -17 z = -30 ~3 =

= 27,

= 5 e Xz = 7 e

x3 = 2

12

=

12 y = -6, y = 5,

z = -5 z = 5

Xz = 25,

38)

= 10, Xz = :-8, =8 xl = 6 e Xz = 3

40)

xl

42)

xl = 5,

Xz = 4

44)

x=4 e

y=2

= 3 e Xz = 1 e

x3 = 3