SISTEMAS, MATRIZES E DETERMINANTES

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é um conjunto finito de equações lineares que não envolvem produtos ou raízes de variáveis, os termos não podem ter grau diferente de 1. Ex.:

duas linhas entre si; somar uma linha multiplicada por constante a outra linha.

- se uma linha não é totalmente formada por zeros, o primeiro número não nulo é 1 (pivô);

 Sistemas lineares com duas incógnitas estão relacionados à interseção de retas: - sem solução: não há interseção, as restas podem ser paralelas e distintas; - uma solução: as restas se interceptam em um único ponto; - infinitas soluções: as retas se interceptam em diversos pontos.

- as linhas inteiramente formadas por zero devem ser agrupadas nas linhas inferiores da matriz; - em quaisquer 2 linhas sucessivas que não são apenas de 0, o pivô da linha de baixo sempre ocorre mais à direita que o pivô da linha de cima. - cada coluna que tem um pivô tem zeros nas outras entradas.  Um sistema de equações é homogêneo se os termos constantes são todos zero. Ex.:

 Um sistema linear é consistente se tiver ao menos uma solução e é inconsistente se não tiver solução.  As operações elementares com equações lineares são: multiplicar uma equação por uma constante não nula; trocar duas equações de lugar (entre si); somar uma equação multiplicada por constante a outra equação.  Com matrizes aumentadas as operações são as mesmas, mas aplicadas à linhas: multiplicar uma linha inteira por uma constante; trocar

- os sistemas de equações lineares homogêneos são consistentes e há duas possibilidades para as soluções: o sistema tem somente a solução trivial ou o sistema tem várias soluções além da trivial.

 Teorema: um sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações tem várias soluções. agrupamentos retangulares de números, que são considerados entradas das matrizes.  O tamanho de uma matriz é descrito pelo número de linhas (horizontal) e de colunas (vertical)., por exemplo a matriz A 2x3 tem duas linhas e três colunas. Quando o número de linhas e colunas é igual, dizemos que a matriz é quadrada.  Matrizes são consideradas iguais se se tiverem o mesmo tamanho e suas entradas correspondentes forem iguais.  Considerando que as matrizes têm o mesmo tamanho, a soma da matriz A com a matriz B é obtida somando as entradas correspondentes. E a subtração é obtida fazendo o inverso.

 O produto de uma matriz A por escalar c é obtido pela multiplicação de cada entrada da matriz pelo escalar (cxa).

 Só pode haver multiplicação de matrizes se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

 Na matriz transposta nós trocamos as linhas com as colunas.

 Se A é uma matriz quadrada e se B é uma matriz de mesmo tamanho tal que AB=BA=1, então A é invertível e B é uma inversa de A. Se não houver essa matriz B, diremos que A não é invertível.  Se B e C são inversas da matriz A, então B=C.  Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível e (AB)-¹ = B¹A-¹.  Qualquer matriz elementar é invertível, e a inversa também é uma matriz elementar.  Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho e AB for invertível, então A e B também são invertíveis.  Uma matriz diagonal só é invertível se todas as entradas de sua diagonal não são nulas.  Uma matriz é triangular quando os elementos acima e/ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Pode ser triangular superior (quando as entradas de baixo são só de zeros) ou inferior (quando as entradas de cima são só de zeros).

 Se A é uma matriz quadrada e tem uma coluna ou linha de zeros, então det(A)=0.

 Se A é

uma matriz quadra da, então det(a)=det(a^t).