M14 - Sistemas Lineares

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Matemática

Sistema Lineares Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b Em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Veja alguns exemplos de equações lineares: 3x - 2y + 4z = 7

-2x + 4z = 3t - y + 4 (Homogênea)

As equações a seguir não são lineares: xy - 3z + t = 8

x2- 4y = 3t - 4

Um conjunto de equações lineares da forma:

É um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Matrizes associadas a um sistema linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes: Matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Em relação ao sistema:

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A matriz incompleta é:

Matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema

, encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5).

Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No

caso

do

sistema

,

verificamos

que

os

pares

ordenados

(0,8),

(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). [email protected] (084) 99689-9333 (WattsApp)

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Para

, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as

equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser: a) Possível e determinado (solução única); b) Possível e indeterminado (infinitas soluções); c) Impossível (não tem solução).

Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A

0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

Em que i

{ 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema,

e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: A) Possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. [email protected] (084) 99689-9333 (WattsApp)

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B) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

C) impossível, se D=0 e

Dxi 0, 1

i n; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução. Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas:

e Verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S 1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. Propriedades Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Por exemplo:

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e S1 ~S2 Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K

IR*), obtemos um

sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2 Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K

IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado

, substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II),

obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas. Sistemas escalonados Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. [email protected] (084) 99689-9333 (WattsApp)

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Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. -2z=-6

z=3

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6

Substituindo z=3 em (II): -7y - 3(3)= -2

-7y - 9 = -2

y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I): x + 2(-1) + 3= 3

x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação: Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

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1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como m