Claves Matematica Final 05-07-2018 Tema 1

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CLAVES DE CORRECCIÓN FINAL DE MATEMÁTICA

05/07/2018 – TEMA 1 _________________________________________________________________________________

TEMA 1 Ejercicio 1 Hallar el valor de 𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 > 1 para que se cumpla la siguiente igualdad 𝒌

∫(20𝑥 4 + 4𝒌𝑥 3 + 1) 𝑑𝑥 = 155 1

Respuesta Primero calculamos la integral definida: 𝒌

𝑘

20𝑥 5 4𝑘𝑥 4 𝑘 ∫(20𝑥 + 4𝒌𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ( + + 𝑥)| = (4𝑥 5 + 𝑘𝑥 4 + 𝑥)|1 = 5 4 1 4

3

1

= (4𝑘 5 + 𝑘 ∙ 𝑘 4 + 𝑘) − (4 ∙ 15 + 𝑘 ∙ 14 + 1) = = (4𝑘 5 + 𝑘 5 + 𝑘) − (5 + 𝑘) = = 5𝑘 5 + 𝑘 − 5 − 𝑘 = 5𝑘 5 − 5 Ahora buscamos 𝑘 para que se cumpla

Material e labora do por la cáted ra de Matemá tica - U BAXXI

5𝑘 5 − 5 = 155 5𝑘 5 = 160 𝑘 5 = 32

⟺

𝑘=2

Ejercicio 2 Hallar analíticamente el o los valores de 𝑥 ∈ ℝ para que se cumpla la siguiente igualdad

log5 (5𝑥 4 + 15) − 2 ∙ log5 (𝑥 2 + 1) = 1 Respuesta Los argumentos de los logaritmos involucrados en la ecuación son números estrictamente positivos cualquiera sea el valor de 𝑥. Debemos resolver la igualdad

log5 (5𝑥 4 + 15) − 2 ∙ log5 (𝑥 2 + 1) = 1

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CLAVES DE CORRECCIÓN FINAL DE MATEMÁTICA

05/07/2018 – TEMA 1 _________________________________________________________________________________ Aplicando la propiedad del logaritmo "𝑎 log 5 𝑡 = log 5 𝑡 𝑎 " , la igualdad anterior queda como

log5 (5𝑥 4 + 15) − log5 (𝑥 2 + 1)2 = 1 𝑡

Aplicando la propiedad del logaritmo " log 5 𝑡 − log 5 𝑝 = log 5 𝑝 tenemos que log 5

(5𝑥 4 + 15) =1 (𝑥 2 + 1)2

Recordamos que

log5 𝑡 = 1

⇔

51 = 𝑡

∴

5=𝑡

Entonces. 5=

(5𝑥 4 + 15) (𝑥 2 + 1)2

5 ∙ (𝑥 2 + 1)2 = (5𝑥 4 + 15) 5 ∙ (𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1) = 5𝑥 4 + 15 5𝑥 4 + 10𝑥 2 + 5 = 5𝑥 4 + 15 10𝑥 2 + 5 = 15 10𝑥 2 = 10 𝑥2 = 1

⇔

𝑥 = −1 ó 𝑥 = 1 Material e labora do por la cáted ra de Matemá tica - U BAXXI

Existen dos soluciones para nuestro problema: 𝑥 = −1 ó 𝑥 = 1

Ejercicio 3 El gráfico de la función 1 + 4𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 corta a los ejes coordenados en los puntos P y Q. Hallar la distancia entre los puntos P y Q.

Respuesta 1

EL dominio de la función es el conjunto 𝑅 − {2} Sea P el punto donde el gráfico de la función corta el eje 𝑥. La ordenada de este punto vale cero. Las coordenadas del punto 𝑃 son: 𝑓(𝑥) = 0

⟺

1 + 4𝑥 =0 2𝑥 − 1

⟺ 1 + 4𝑥 = 0

𝑥=−

1 4

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CLAVES DE CORRECCIÓN FINAL DE MATEMÁTICA

05/07/2018 – TEMA 1 _________________________________________________________________________________ 1 𝑃 = (− ; 0) 4 Sea Q el punto donde el gráfico de la función corta el eje 𝑦. La abscisa de este punto vale cero. Las coordenadas del punto 𝑄 son: 𝑓(0) =

1 + 4(0) 2(0) − 1

𝑓(0) = −1 𝑄 = (0; −1) La distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 es: 2 1 1 17 2 𝑑(𝑃; 𝑄) = √(− − 0) + (0 − (−1)) = √ + 1 = √ 4 16 16

Ejercicio 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función "𝑓(𝑥)" en el punto (2; 5) si se sabe que su pendiente es la misma que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒 2𝑥−2 + 7𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 1 Material e labora do por la cáted ra de Matemá tica - U BAXXI

Respuesta Como el punto de tangencia es el (2; 5) la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función "𝑓(𝑥)" en el punto (2; 5) es de la forma 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 2) + 5 Nos falta calcular la pendiente, pero como sabemos que es la misma que tiene la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en el punto de abscisa 𝑥 = 1 𝑚 = 𝑔′ (1) 𝑔′ (𝑥) = (𝑒 2𝑥−2 + 7𝑥)′ = 2𝑒 2𝑥−2 + 7 𝑔′ (1) = 2𝑒 2(1)−2 + 7 = 2𝑒 0 + 7 = 2 + 7 = 9 Luego 𝑚 = 9 La ecuación de la recta pedida es 𝑦 = 9(𝑥 − 2) + 5

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