-Equação e inequação exponencial

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Matemática Equação e inequação exponencial Resumo Equação exponencial Uma equação exponencial é aquela em que a variável a ser encontrada aparece como expoente de uma base constante ou variável. Um método usado para resolução de equações exponenciais consiste em reduzir ambos os membros da equação a potência de mesma base a (0 < a ≠ 1). Feito isso, igualamos os expoentes. Ou seja: ax = ay  x = y Separamos as equações exponenciais em 3 casos: 1º caso: a f(x) = ag(y)  f(x) = g(x), para a ℝ*+ - {1} 22x -1 = 83-x 22x -1 = (23)3 – x 2x – 1 = 9 – 3x x =2 2º caso: a f(x) = bf(x)  { 𝑥𝑥

2 +1

a = b ou , para a ℝ*+ - {1} f(x) = 0

2

= 3𝑥 + 1

x = 3 ou x2 + 1 = 0, o que não convém. g(x) = h(x) ou 3º caso: f(x)g(x) = f(x)h(x)  { f(x) = 0 ou f(x) = 1 𝑥𝑥

2 −6𝑥+11

= x3

x = 0 ou x = 1 ou x2 -6x + 11 =3 x=0 x=1 x=2 x=4

Inequação exponencial Uma inequação exponencial deve ser resolvida da seguinte forma: • Primeiro, temos que colocar ambos os lados da inequação na mesma base. • Depois, transformamos a inequação entre as potências em uma inequação entre os expoentes. Para isso, temos dois casos a serem estudados. 1º caso: base >1 (exponencial crescente)

2º caso: 0 < base < 1 (exponencial decrescente)

O sentido da desigualdade se mantém.

Invertemos o sinal da inequação.

x

y

a >a x>y

ax > ay  x < y

1

Matemática Exercícios 1.

Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo? (5x)2 – 26 . 5x + 25 = 0

2.

a)

0

b)

1

c)

2

d)

3

e)

4 2

Se (4x)2 = 16 . 2𝑥 , o valor de xx é: a)

27

b)

4

c) d) e)

3.

4.

1 4

1 -1 27

A inequação 10x + 10x + 1 + 10x+2 + 10x+3 + 10x+4 < 11.111 em que x é um número real, a)

não tem solução.

b)

tem apenas uma solução.

c)

tem apenas soluções positivas.

d)

tem apenas soluções negativas.

e)

tem soluções positivas e negativas.

A soma das raízes da equação (4x)2x -1 = 64 igual a: 1

a)

-2

b)

–1

c) d) e)

1 2

1 5 2

2

Matemática 5.

A volemia V de um indivíduo é a quantidade total de sangue em seu sistema circulatório (coração, artérias,veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total N de hemácias de uma pessoa, a qual é obtida multiplicando-se a volemia V pela concentração C de hemácias no sangue, isto é, N = V x C. Num adulto normal essa concentração é de 5 200 000 hemácias por mL de sangue, conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação científica, que consiste em expressar N na forma N = Qx10n, sendo 1≤ Q < 10 e n um número inteiro. Considere um adulto normal, com volemia de 5 000 mL. Disponível em: http://perfline.com.Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado).

Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação científica?

6.

7.

a)

2,6 x 10-10

b)

2,6 x 10-9

c)

2,6 x 109

d)

2,6 x 1010

e)

2,6 x 1011

Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência 4n, com n sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a

a)

12.

b)

9.

c)

8,5.

d)

8.

e)

6,5 2

O conjunto solução da equação 64𝑥 = 16𝑥 a)

.

b)

.

c) d) e)

2 + 2x -2

é o conjunto

. . .

3

Matemática 8.

Considere a equação exponencial 2 . 3x-4 = 150. Sobre o valor de x, é verdade afirmar que a) b) c) d) e)

9.

A solução real da equação 3x – 3x-1 + 3x-3 – 3x-4 = 56 é : a)

0

b)

1

c)

3

d)

4

e)

6

10. No intervalo [-1,8], o número de soluções inteiras da inequação 2x – 7 > 23 - x é: a)

2

b)

3

c)

4

d)

5

e)

6

4

Matemática Gabarito 1. C Completando o quadrado, vem

Portanto, a resposta é 0 + 2 = 2. 2. B Como

segue-se que xx = 22 = 4 3.

D Resolvendo a inequação, obtemos:

Portanto, a inequação dada tem apenas soluções negativas. 4. C

5

Matemática 5. D N=V.C V = 5.000 ml C = 5.200.000 hemácias/ml N = 5.000 . 5.200.000 = 26.000.000.000 = 2,6 . 1010 hemácias 6. E Seja k o índice de visitas ao site S. Desse modo, temos 4k = 2 . 46  4k = 40,5 . 46  4k = 46,5 A resposta é k = 6,5. 7. A Tem-se que

Portanto, S = {2}. 8. B

Como 27 < 75 < 81, podemos escrever:

A alternativa correta é a [B], pois [6, 8[ contém o intervalo ]7, 8[

6

Matemática 9. D Pode-se reescrever a equação acima utilizando as propriedades da potenciação:

Fazendo 3x = y, pode-se escrever:

Como 3x = y tem-se:

10. D Observe:

Resolvendo a inequação do segundo grau, encontramos que Como y < -1 não convém, temos: Como x 𝜖 [-1,8], temos um total de 5 soluções inteiras.

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