ESTADÍSTICA - Unidad 3
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Estadística I Tomo I (cap. 1, 2 y 3)
Ciclo Básico a Distancia FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
AUTORIDADES Mgter. JHON BORETTO Decano Dra. MARÍA LUISA RECALDE Vicedecana Cr. FACUNDO QUIROGA MARTÍNEZ Secretario Técnico Cr. DIEGO CRIADO DEL RÍO Secretario de Administración Mgter. GERARDO HECKMANN Secretaria de Asuntos Académicos Lic. JUAN SAFFE Secretario de Extensión Cr. MATÍAS LINGUA Secretario de Asuntos Estudiantiles Dr. ANDRÉS MATTA Secretaria de Ciencia, Técnica y Relaciones Internacionales Mgter. CLAUDIA CARIGNANO Prosecretaria de Evaluación Institucional y Acreditación de Carreras Cr. HUGO PRIOTTO Director de la Carrera Contador Público Mgter. MARCELO CAPELLO Director de la Carrera de Licenciatura en Economía Lic. TOMÁS GASTÓN Director de la Carrera de Licenciatura en Administración
CICLO BÁSICO A DISTANCIA ÁREAS QUE PARTICIPAN
Coordinación Académica Secretaría de Asuntos Académicos Mgter. Gerardo Heckmann Coordinación Organizativa de Divisiones a Distancia Lic. David Taborda
Área de Formación Docente y Producción Educativa Coordinador General Oscar Margaría Asesora pedagógica Dra. Adela Coria Equipo de producción en tecnología educativa y comunicación Mgter. Gabriela Sabulsky Lic. Cecilia Botino Lic. Víctor R. Cacciagiú Lic. Laura Delmonte Lic. Vanesa Guajardo Esp. Verónica Pacheco Lic. María Florencia Scidá Administración Lic. Nora Ceballos
Proyecto “Elaboración de material didáctico en formato digital para Estadística I” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº583-2015.
Coordinadora del Proyecto: Margarita Díaz
AUTORES Norma Patricia Caro Rosana Beatriz Casini Margarita Díaz Fernando García Mariana González Martín Saino María Inés Stímolo
Los autores agradecen especialmente a los Profesores Asistentes por la colaboración prestada en la resolución y revisión de las actividades. María Inés Ahumada Lorena Anaya Verónica Arias Mariana Guardiola Roberto Infante Adrian Moneta Pizarro Olga Padro Andrea Righetti Julio Rosales
Proyecto “Fortalecimiento del Ciclo Básico a Distancia” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº 604-2014.
Coordinadora del Proyecto: Dra. Adela Coria
Maquetación de materiales Lic. Víctor R. Cacciagiú y Lic. Ismael Rodríguez Diseño gráfico y audiovisual Lic. Laura Delmonte Asesoramiento y diseño pedagógico - didáctico Esp. Verónica Pacheco y Lic. Vanesa Partepilo Asesoramiento y diseño comunicacional Lic. Cecilia Botino y Lic. María Florencia Scidá
ÍNDICE Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
1. Introducción 2. Fenómenos aleatorios versus determinísticos 3. Conceptos básicos de probabilidad 4. Enfoques para asignar probabilidades 5. Axiomas y teoremas de probabilidad 6. Probabilidad conjunta y condicional 7. Independencia de eventos 8. Ley de Probabilidad total 9. Teorema de Bayes 10. Referencias Bibliográficas Anexo 1: Repaso de Álgebra de Conjuntos Soluciones y respuestas al Capítulo 3
143 143 144 148 152 153 156 159 160 163 164 166
Capítulo 3 Introducción a las probabilidades
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
1. Introducción De acuerdo a lo estudiado en el Capítulo I, la Inferencia Estadística comprende los métodos que permiten extrapolar los resultados de una muestra aleatoria hacia la población de la cual fue extraída. Cuando se observa sólo una muestra, aun cuando la misma sea adecuadamente representativa de la población por cuanto reproduce sus características esenciales, el intento de extraer conclusiones acerca de la población se realiza, no en un marco de certeza sino de incertidumbre cuantificable. La Teoría de Probabilidad, rama de la matemática que modela fenómenos aleatorios, cuantifica esa incertidumbre en el proceso de estimación de parámetros, permitiendo hacer afirmaciones en cuanto a precisión y confiabilidad de los resultados. También permite probar hipótesis en relación con los parámetros, fijando la magnitud del error que puede cometerse al tomar la decisión y constituye la base teórica de métodos estadísticos tales como Regresión, Análisis de Varianza, Control de Calidad, etc. Si bien dichas metodologías, tanto la estimación de parámetros como la prueba de hipótesis las estudiaremos en Estadística II, a partir de este Capítulo introduciremos los conceptos fundamentales y el lenguaje básico de Probabilidad. En las explicaciones que se desarrollan en este capítulo se vislumbrará de qué manera la Teoría de Probabilidad es en la actualidad la base de la mayor parte de las decisiones que adoptan tanto los gobernantes como administradores de empresa.
2. Fenómenos aleatorios versus determinísticos En cualquier campo de la ciencia (física, biología, ingeniería, economía, etc.) se necesitan describir, modelar y predecir fenómenos del mundo real, para lo cual se construyen modelos matemáticos. Cuando se quiere elaborar un modelo matemático para explicar hechos reales, se distinguen dos tipos de fenómenos o experimentos: Fenómeno determinístico: es aquel fenómeno o experimento cuyo resultado conocemos de antemano o podemos calcular con certeza, o sea que se trataría de situaciones en las que se trabaja con certidumbre completa. Pensemos en los siguientes ejemplos: a) Arrojamos un vaso de vidrio desde el 5º piso de un edificio. El resultado es: el vaso se rompe. b) Colocamos a 100º C una pava con agua. El resultado es: el agua hierve. c) Colocamos un capital de $ 8.000 a una tasa de interés mensual del 1,8%. El resultado es: al cabo de 1 mes el monto final será $ 8.144
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Fenómeno aleatorio: es aquel fenómeno o experimento que, repetido bajo las mismas condiciones, puede arrojar resultados diferentes y no es posible predecir con certeza cuál de ellos ha de darse; es decir, estamos frente a fenómenos cuyo resultado es incierto. Ejemplos de este tipo de fenómenos serían: a) Lanzar un dado y observar el número que aparece en su cara superior. b) Lanzar una moneda 3 veces y observar la salida de cara o sello. c) Seleccionar al azar una familia de la ciudad y registrar su ingreso mensual. d) Seleccionar al azar un elector y determinar su candidato favorito. e) Observar una casilla de peaje y computar la cantidad de vehículos que pasan por hora. Como podemos ver, en todos los ejemplos anteriores no es posible predecir con certeza el resultado que observaremos. A modo de resumen, los experimentos aleatorios reúnen las siguientes características: •
Consideramos únicamente aquellos experimentos que sean concebibles bajo condiciones semejantes. Cada vez que realizamos el acto tenemos una prueba.
•
Aunque no podemos indicar cuál será el resultado particular de una prueba, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
•
Cuando el experimento se repite una gran cantidad de veces, los resultados presentan regularidad estadística. En otras palabras, la frecuencia relativa de aparición de los resultados, se aproxima a un valor fijo constante al aumentar el número de pruebas.
La realidad casi nunca es totalmente predecible, por lo que la mayoría de las situaciones a las que nos enfrentamos tienen resultados imprevistos y nos llevan a trabajar bajo incertidumbre. Pero podemos predecir el resultado particular que se producirá y medir el riesgo asociado a esta predicción, es decir determinar qué posibilidades hay de que dicho resultado no sea el que se produce realmente como fruto del experimento.
3. Conceptos básicos de probabilidad Repaso de Algebra de Conjuntos está en el Anexo 1 de esta Unidad.
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La Teoría de Probabilidad utiliza la Teoría de Conjuntos para definir muchos de sus conceptos básicos, por lo que le sugerimos leer el anexo que está al final de este capítulo, que propone un repaso que consideramos será de utilidad. Recordemos que en los fenómenos o experimentos aleatorios, si bien no sabemos el resultado que ocurrirá en una prueba individual, sí podemos describir todos los posibles resultados del mismo. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio es llamado espacio muestral y lo representaremos con la letra Ω.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Cada uno de los resultados elementales e indivisibles del experimento, llamados puntos muestrales, se denota por ω. La cardinalidad de Ω es la cantidad de puntos muestrales y se denota #Ω. Suponiendo que la experiencia arroja s resultados: Ω = { ωi} i = 1,2,…,s #Ω = s Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 En el experimento de tirar una moneda una vez, sólo hay dos resultados posibles: Ω = {c,s} Si se realizan dos tiradas, el espacio muestral es un conjunto formado por cuatro duplas ordenadas. Cada dupla indica el orden en el que aparecieron los lados de la moneda: Ω = {(cc),(cs),(sc),(ss)} #Ω = 22=4 Si se realizan tres tiradas, se obtendrán ocho ternas ordenadas: Ω = {(ccc),(ccs),(csc),(css),(scc),(scs),(ssc),(sss)}
#Ω = 23=8
Como se advierte, el espacio muestral representa el conjunto de todos los resultados de la experiencia. Si la moneda se arrojara 5 veces, el mismo estará conformado por 25 puntos muestrales [#Ω = 32]; por ejemplo, uno de esos puntos sería la secuencia (cccss) que indica que en las primeras tres tiradas aparecieron caras y en las restantes sellos. Los espacios muestrales se pueden clasificar en discretos o continuos. En los discretos, los resultados pueden ser enumerados, por lo que estarán en correspondencia con los números enteros. A su vez, se pueden clasificar en finitos o infinitos. En los espacios muestrales continuos, en cambio, los resultados no pueden ser enumerados, es decir son infinitos no numerables; por lo que estará conformado por un intervalo de números reales. A continuación tenemos ejemplos de espacios muestrales y su respectiva clasificación: a) Lanzar un dado y observar el número que aparece en su cara superior. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Clasificación: Discreto (finito numerable). b) b) Seleccionar al azar una familia de la ciudad y registrar su ingreso mensual. Ω = {I / I ≥ 0} Clasificación: Continuo c) Seleccionar al azar un elector y determinar su candidato favorito. Ω = {candidato A, candidato B,..., candidato N} Clasificación: Discreto (finito numerable).
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d) Observar una casilla de peaje y computar la cantidad de vehículos que pasan por hora. Ω = {0, 1, 2,........} Clasificación: Discreto (infinito numerable).
Actividad 1: A partir de los siguientes ejemplos describa el espacio muestral y clasifíquelo. a) Mezclar un mazo de cartas españolas y seleccionar una para observar su palo. b) Mezclar un mazo de cartas españolas y seleccionar una para observar su número. c) Observar el número de automóviles que entran por día al estacionamiento de un shopping. d) Observar el gasto mensual en libros de los alumnos de Estadística I. e) Arrojar simultáneamente un dado y una moneda, y se observa el resultado que aparece. Actividad 2: Piense en otros experimentos aleatorios, intente describir el espacio muestral asociado y clasifíquelo según lo expresado más arriba.
Llamamos evento a cada subconjunto de resultados de un experimento aleatorio. Lo designaremos con letras mayúsculas y tiene asociado una medida de probabilidad. Se trata de un concepto fundamental ya que es el que tiene asociado de manera directa la noción de probabilidad. Los eventos son simples o elementales cuando están constituidos por un solo elemento de Ω y se refieren a un punto muestral; mientras que son compuestos cuando se definen como la combinación de dos o más resultados del experimento aleatorio. Diremos que un evento ocurrió si al realizar el experimento se presenta cualquiera de los puntos muestrales que lo componen. Retomando el ejemplo de la tirada de una moneda dos veces, en el que se observa cara o sello, determinamos que había cuatro resultados posibles, pero podemos definir muchos eventos simples y compuestos a partir de esos resultados. Por ejemplo: A = {aparecen 2 caras} = {(cc)} Es un evento simple
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B = {aparece sólo 1 cara} = {(cs), (sc)} Es un evento compuesto C = {aparece el mismo resultado en ambas tiradas} = {(cc),(ss)} Es un evento compuesto D = {aparece cara o sello en cualquiera de las dos tiradas} D = {(cc),(cs),(sc),(ss)} = Ω es un evento compuesto
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
E = {no aparece cara ni sello} = φ Es un evento que no posee ningún elemento Los sucesos D y E son casos particulares de eventos, el primero se denomina evento cierto o seguro ya que seguramente sucede, mientras que el segundo se denomina evento imposible (conjunto vacío) ya que no puede suceder. Los eventos A y B se denominan mutuamente excluyentes, porque la ocurrencia de cualquiera de ellos elimina la ocurrencia del otro; es decir, sólo uno de ellos puede ocurrir. En notación: A ∩ B = φ Los eventos B y C se denominan colectivamente exhaustivos, ya que entre ellos forman el espacio muestral. En notación: B ∪ C = Ω
Actividad 3: a) Defina eventos simples y compuestos a partir de los experimentos aleatorios que pensó en la Actividad 2. b) ¿Podría dar una definición de eventos mutuamente excluyentes? ¿Y de colectivamente exhaustivos? c) ¿Se anima a plantear ejemplos de eventos ciertos, imposibles, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos en los experimentos de la Actividad 2? Actividad 4: En la siguiente tabla se presentan los datos de producción de parcelas clasificadas en tres niveles y cruzadas por zonas geográficas de la Provincia de Córdoba, que se transcriben a continuación NIVEL DE PRODUCCIÓN
Alto Mediano Bajo Total
ZONA GEOGRÁFICA DE LA PROVINCIA ZONA "A" ZONA "B" ZONA "C"
69 40 38 147
47 25 32 104
23 80 36 139
TOTAL
139 145 106 390
Considerando que se elige una parcela al azar, le proponemos que: a) De un ejemplo de evento simple b) De un ejemplo de evento compuesto c) ¿Cuál es el complemento de la Zona A? d) De un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes Si recordamos el último punto del repaso de álgebra de conjuntos podríamos, en este experimento aleatorio, armar el Álgebra de Sucesos o Familia de Eventos, que será la colección completa de subconjuntos que puedan definirse a partir del espacio muestral Ω, siendo el número total de subconjuntos 2s donde s = #Ω. 1 Lo simbolizaremos con Ŧ e incluirá el conjunto vacío, todos los subconjuntos unitarios, los binarios, etc. y el propio Ω.
1
Cuando Ω es continuo, no es posible definir Ŧ de esa manera. (Hoel, cap. 1).
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En nuestro ejemplo: Donde Ω = {(cc),(cs),(sc),(ss)} y #Ω = 4, algunos de los 16 elementos de Ŧ son: {φ}, {(cc)}, {(cs)}, {(sc)}, {(ss)}, {(cc),(cs)}, {(cc),(sc)}, {(cc),(ss)},… Cada uno de estos eventos tendrá asociada una probabilidad que simbolizaremos con P, y al conjunto formado por el espacio muestral, la familia de eventos y la probabilidad asociada a cada elemento de dicha familia lo llamaremos Espacio de Probabilidad. Lo simbolizaremos con E. E = {Ω, Ŧ, P}
4. Enfoques para asignar probabilidades Luego de haber trabajado los conceptos principales vinculados a experimentos aleatorios, llegamos a lo que seguramente es de mayor interés. ¿Cómo podemos determinar la probabilidad de que un resultado particular ocurra, o de que ocurra una combinación de dos o más resultados? Seguramente estamos algo familiarizados con el tema, porque en más de una oportunidad escuchamos o leemos en los diarios expresiones como:
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Si bien no conocemos con exactitud la definición de probabilidad, podríamos decir que una idea intuitiva indicaría que se trata de un número entre 0 y 1 (aunque con frecuencia se la exprese en porcentajes) que mide la posibilidad de que ocurra un suceso, siendo 0 cuando estamos seguros de que no va a ocurrir y 1 cuando estamos seguros de que sí va a ocurrir. Entre estos valores extremos, existe una gama de valores que deberíamos asignar cuando estamos frente a situaciones de incertidumbre respecto del resultado que va a ocurrir. A fin de resolver estas situaciones, vamos a introducirnos en los distintos enfoques o métodos desarrollados para calcular la probabilidad de un evento particular. La medición de probabilidad surgió con el enfoque clásico, exclusivamente aplicado a los juegos de azar. Dada las limitaciones que tiene este enfoque, con posterioridad se desarrolló el frecuentista.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Enfoque clásico El experimento típico, y no por ello menos útil, para introducir este método es el lanzamiento de un dado. En este caso los resultados posibles que forman el espacio muestral, son: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si el dado está balanceado, la probabilidad de cada uno de estos resultados es 1/6, es decir todos los resultados son equiprobables (espacio muestral simétrico). Supongamos que definimos el evento: A = {aparece el número 3}, este evento tiene una probabilidad asociada de 1/6, lo que se simboliza: P(A) = 1/6 Si expresamos este resultado mediante una fórmula, tendremos:
Casos favorables al evento A P (A) =
Casos posibles de Ω
Para poder aplicar este método son necesarias dos condiciones: Conocer todos los resultados de Ω, para poder identificar los que son favorables al evento definido. • Que todos esos resultados sean igualmente posibles. •
Con este enfoque podemos también calcular probabilidades de eventos compuestos. Ejemplos: B = {aparece un número par} ; B = {2, 4, 6} C = {aparece un número ≥ 2} ; C = {2, 3, 4, 5, 6} D = {aparece un número < 8} ; D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {aparece un número ≥ 10} ; E = φ
P(B) = 3/6 P(C) = 5/6 P(D) = 1 P(E) = 0
Este enfoque tiene una aplicación restringida a experimentos en los que todos los resultados posibles son igualmente probables, tales como los relacionados con los juegos de azar. Pero en numerosas situaciones no es válido suponer la simetría de los resultados, por lo que deberemos utilizar el enfoque frecuentista, que presentaremos a continuación. Enfoque frecuentista Este enfoque asigna probabilidades estimándola a través de la frecuencia relativa.
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Por ejemplo, si una gran empresa desea conocer la probabilidad de que una computadora adquirida a su proveedor venga con falla, no podría utilizar el método clásico ya que los dos resultados posibles (falla y no falla) no son igualmente probables. Lo que podría hacer es consultar el registro de las últimas compras realizadas; si de las últimas 100 han tenido falla 2, la frecuencia relativa 2/100 se aproximará a esa probabilidad. Es decir, si un experimento se repite un número grande veces (n) y denotamos con la letra m el número de veces que ocurrió el evento A, una estimación de la probabilidad de A es: P(A)=
m n
Si en el lanzamiento del dado supiéramos que el mismo está cargado (no todas las caras son igualmente probables) y deseáramos conocer la probabilidad de que salga el número 3, podríamos hacer lanzamientos seguidos y anotar cuántas veces aparece el número 3. Si repetimos esta acción un número grande de veces, la frecuencia relativa de dicho resultado se estabilizará alrededor de un valor que es una medida estimativa de su probabilidad.
Actividad 5: Si el 60% de 10 alumnos consultados de Estadística I está de acuerdo con las condiciones de regularidad de la materia, ¿podría ese valor utilizarse como una medida de probabilidad? ¿Por qué?
Ejemplo 2 Si contamos con la información de los alumnos de Estadística I clasificados según sexo y procedencia, podríamos confeccionar una tabla de doble entrada, o tabla de contingencia, como la que sigue: PROCEDENCIA SEXO Varón Mujer Total
CÓRDOBA
OTRA PROVINCIA
TOTAL
182 290 472
65 55 120
247 345 592
Si seleccionamos al alzar un alumno de Estadística I, ¿cuál será la probabilidad de los siguientes eventos? V = {alumno varón} C = {alumno que procede de Córdoba}
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En este ejemplo no corresponde utilizar el enfoque clásico para calcular probabilidades porque los resultados no son igualmente probables, utilizando el enfoque frecuentista, esas probabilidades son: P (V) = 247/592 = 0,417 P (C) = 472/592 = 0,797 Estas probabilidades se denominan simples o marginales porque se obtienen de los márgenes de la tabla de contingencia.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Método subjetivo Si no es posible aplicar el método clásico, ni tampoco el método frecuentista porque no resulta factible repetir el experimento un cierto número de veces, se puede obtener la probabilidad de manera subjetiva. Se trata de asignar un valor entre 0 y 1 como chance de ocurrencia de un evento particular. Como su nombre lo indica, la estimación que utilicemos como medida de probabilidad depende del criterio de quien asigna, varía según la persona y no tiene ningún rigor científico; sólo involucra algo de sentido común y la información disponible para definir ese valor. Ejemplos de probabilidad subjetiva: • • •
La probabilidad que la empresa XX entre en concurso preventivo este año es de 0,15 La probabilidad que Juan promocione esta materia es de 0,60 La probabilidad que nuestro país acuerde con los acreedores externos es de 0,50
En los ejemplos que veremos a continuación no utilizaremos este método por las limitaciones que posee, lo cual no significa que no sea importante y útil en campos como el de la Teoría de la Decisión. Actividad 6: Para cada uno de los casos que se plantean indique cuál es el enfoque de probabilidad conveniente para determinar el valor de la probabilidad que se quiere obtener, o el enfoque utilizado en los casos de probabilidades que han sido calculadas. Tenga en cuenta que el orden de preferencia para aplicar alguna Teoría, es el que se utilizó en la presentación de las mismas. a) ¿Cuál es la probabilidad que haya mayor desempleo el próximo año? b) Se lanza al aire un dado balanceado. ¿Cuál es la probabilidad que salga un dos o un seis? c) Se elige un punto al azar en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad que esté más cerca del centro que de la circunferencia? d) De las personas que entran a un comercio, se elige al azar una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad que realice una compra? e) De una muestra aleatoria de 400 empleados de una empresa, se obtuvo que 80 de ellos habían pedido licencia por enfermedad por lo menos una vez en el último año. Si se selecciona un empleado al azar ¿Cuál es la probabilidad que haya pedido licencia por enfermedad en el último año? f) Para el próximo año, ¿cuál es la probabilidad que el P.B.I. per cápita aumente un 100%? g) Se estima que la probabilidad de que un nuevo producto tenga éxito es de ¼. h) De un embarque de 100 artículos, donde hay 20 defectuosos, se selecciona uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad que resulte ser defectuoso? i) El gerente de compras de una empresa estima que la probabilidad que un pedido llegue a tiempo es de 0,80. j) La probabilidad de seleccionar un “oro” en un mazo de cartas españolas es 12/50.
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5. Axiomas y teoremas de probabilidad Según mencionamos en el apartado 3, a partir del espacio muestral Ω y la familia de eventos Ŧ, se define la medida de probabilidad como una función real que hace corresponder a cada elemento de Ŧ un número comprendido entre 0 y 1. P: Ŧ [0,1] y satisface los siguientes axiomas: 1) Sea A un evento que pertenece a Ŧ, la probabilidad de A es una cantidad mayor o igual a cero P(A) ≥ 0 2) La probabilidad del espacio muestral, o evento cierto, es uno P(Ω) = 1 3) Sean A y B, eventos mutuamente excluyentes o disjuntos que pertenecen a Ŧ, la probabilidad de su unión es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para una mejor comprensión de este axioma, se sugiere a ingresar a la sección Materiales Recursos del aula virtual para ver la producción audiovisual “Regla de la adición”.
siendo A ∩ B = φ
Este último axioma, conocido como Regla Especial de Adición se extiende a un número n de eventos. A partir de estos axiomas, se deducen teoremas que serán de utilidad para el cálculo de probabilidades. Algunos de esos teoremas enunciamos a continuación: Teorema 1: Sea A un evento perteneciente a Ŧ, a probabilidad del complemento de A es igual a uno menos la probabilidad de A. Demostración: Por definición Como Por Axioma 3
P(AC) = 1 – P(A) A ∪ AC = Ω A ∩ AC = φ (son disjuntos) P(A ∪ AC)= P(A) + P(AC) = P(Ω) = 1 P(AC) = 1 – P(A)
Teorema 2: La probabilidad del evento imposible (complemento de Ω ) es igual a cero. P(φ) = 0 Demostración: Por aplicación del Teorema 1 (Recordemos que φ = ΩC)
152 Teorema 3: Sean A y B, eventos que pertenecen a Ŧ, entonces: Demostración: Por definición
P(B – A) = P(B) – P(A ∩ B) B = (A ∩ B) ∪ (B – A)
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
(A ∩ B) ∩ (B – A)= φ (son disjuntos) P(B) = P(A ∩ B)+ P(B – A) P(B – A) = P(B) - P(A ∩ B)
Como Por Axioma 3
Teorema 4: Sean A y B, eventos no disjuntos, que pertenecen a Ŧ, entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Demostración: Por definición Como Por Axioma 3
A ∪ B = A ∪ (B – A) A ∩ (B – A)= φ (son disjuntos) P(A ∪ B) = P(A) + P(B – A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Este teorema se conoce también como Regla General de Adición.
6. Probabilidad conjunta y condicional En esta sección, estudiaremos los conceptos de probabilidad conjunta y condicional. Retomemos el ejemplo trabajado anteriormente, donde se presentó el concepto de probabilidad marginal. Seleccionamos al azar un alumno de Estadística I y deseamos calcular la probabilidad de que sea varón y proceda de Córdoba, V = {alumno varón} C = {alumno que procede de Córdoba}, es decir, buscamos calcular P(V ∩ C). En este caso nos interesa calcular la probabilidad de la ocurrencia simultánea de los dos eventos, es decir que se presenten resultados comunes a ambos eventos. Esta probabilidad se denomina probabilidad conjunta. De acuerdo a los datos, si se aplica el enfoque frecuencial, se tiene: P(V ∩ C) = 182/592 = 0,307 Supongamos ahora, que se selecciona un alumno al azar y se conoce que es varón, y estamos interesados en conocer la probabilidad de que proceda de Córdoba. En este caso, deseamos conocer la probabilidad de que ocurra un evento “dado que” otro ya ha ocurrido. Esta probabilidad se denomina probabilidad condicional. Sean los eventos A y B, tal que P(B)>0, la probabilidad condicional A dado B, que se simboliza P(A/B), se define:
P ( A/B ) =
P ( A ∩ B) P ( B)
De acuerdo a los datos, si se aplica el enfoque frecuencial, se tiene:
P ( C/V ) =
P ( C ∩ V ) 182 592 0,307 = = =0,737 P (V) 247 592 0,417
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Al calcular probabilidades condicionales, trabajamos en un espacio muestral reducido. La probabilidad de un hecho (que proceda de Córdoba) en el subconjunto considerado (varones) puede ser mayor, menor o igual que en el espacio muestral original. Cuando analizamos la procedencia en el subconjunto de varones, arribamos a que el 73,7% de los mismos residía en Córdoba. Este valor indica que, si se sabe que es Varón, la probabilidad de que el alumno haya residido en Córdoba es levemente inferior a 0,797, que es la P(C) para el total de alumnos. A partir de la fórmula de la probabilidad condicional, podemos derivar el cálculo de la probabilidad conjunta, conocida como Regla General Multiplicativa: P(A ∩ B) = P(A/B).P(B) = P(B/A). P(A) Para ejercitar los temas desarrollados en la esta unidad les proponemos las siguientes actividades. Recuerden que en el aula virtual cuentan con el espacio del foro para consultar las dudas que tengan o intercambiar soluciones o posibles respuestas con sus compañeros.
Actividad 7: Se conoce que, de cada 100 estudiantes de 3º año de la Facultad que han optado por una sola carrera de las tres que se pueden cursar, 66 eligen Contador Público mientras que el resto elige una de las Licenciaturas (en Administración de Empresas o en Economía). También se sabe que el 46% son varones (el resto mujeres) y que en las Licenciaturas hay 13 mujeres. Seleccionamos al azar un alumno de 3º año y, a partir de definir los eventos: A = {alumno varón} B = {alumno de la carrera de Contador Público} Deseamos predecir las siguientes probabilidades: a) Que sea varón b) Que haya elegido una Licenciatura c) Que sea mujer o haya elegido la carrera de Contador Público (recordar la Regla General de Adición) d) Que sea varón dado que es un alumno que elige una Licenciatura e) Que sea varón y haya elegido una Licenciatura f) Que sea varón o mujer g) Que haya elegido la carrera de Contador y una Licenciatura h) ¿Cómo se llaman los eventos del punto g)? Le recomendamos armar una tabla de contingencia con los datos del enunciado.
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Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Actividad 8: Teniendo en cuenta los siguientes datos referidos a las ventas diarias (en $) para una compañía de servicios de transporte. Ventas 530 730 730 930 930 1130 1130 1330 1330 1530 1530 1730 1730 1930 1930 2130 Total
Nro. días 3 7 11 22 40 24 9 4 120
Calcule la probabilidad de que un día particular: a) venda entre $ 1330 y $ 1530. b) venda $ 1530 o más. c) ¿En base a qué teoría asignó probabilidades a los eventos?
Actividad 9: Los datos sobre las ventas diarias de un producto en los últimos 2 meses (60 días) para LUZ S.A. se exponen en la tabla siguiente: Número de productos vendidos 0 1 2 3 4 o más
Cantidad de días 15 20 13 9 3
Si se elige un día al azar, se pide: a) ¿Cuántos son los resultados posibles? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no venda productos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que venda 1 producto? d) ¿Cuál es la probabilidad de que venda 3 o más productos?
Actividad 10: Dados los eventos A y B que pertenecen al mismo espacio probabilístico sobre los cuales se sabe que P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 y P(A U B) = 0.8, calcule: a) b) c) d) e) f) g)
P(AC) P(BC) P(A ∩ B) P(AC ∩ BC) P(AC ∩ B) P(A ∩ BC) P(AC ∪ BC)
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Cuando los eventos pueden presentarse simultáneamente la probabilidad conjunta es distinta de cero. La expresión para cuantificarla depende de si los eventos considerados son dependientes o independientes.
7. Independencia de eventos Decimos que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de aparición del otro; es decir que su ocurrencia no produce efecto en la probabilidad simple del otro. Caso contrario los eventos son dependientes. Para ilustrar la independencia de eventos, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tiramos dos monedas al aire, el resultado de una de ellas (cara o sello) no está afectado por el resultado de la otra (cara o sello); decimos entonces que el resultado de la segunda moneda no depende del resultado de la primera. Si estamos frente a dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene multiplicando las probabilidades simples de cada uno de ellos. Esto se conoce como Regla Especial de Multiplicación. En fórmulas se expresa: P(A ∩ B) = P(A).P(B) En el ejemplo anterior de la moneda ¿cuál es la probabilidad de que en ambas tiradas el resultado sea cara? P (cara y cara) = P(cara) . P(cara) = 0,50 . 0,50 = 0,25 Si estamos frente a eventos independientes, ¿podemos calcular una probabilidad condicional? Si relacionamos las fórmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta de eventos independientes tenemos que:
P ( A/B ) =
P ( A ∩ B ) P ( A ) .P ( B ) = =P ( A ) P ( B) P ( B)
Es decir, la probabilidad del evento A no varía ante la aparición del evento B (su probabilidad condicional es igual a su probabilidad simple), por lo que podríamos expresar la independencia de eventos de la siguiente manera: Si P(A/B) = P(A) entonces A y B son eventos independientes
156
Veamos un ejemplo para ilustrar lo que acabamos de expresar. Supongamos que en un lote de 100 productos hay 8 que son defectuosos. Si seleccionamos un producto al azar la probabilidad de que sea defectuoso es 8/100. Si seleccionamos otro más, la probabilidad de que el segundo también lo sea (si reponemos el primero de ellos al lote) será 8/100 por lo que la probabilidad simple de defectuoso no cambió en esta segunda extracción. Esto lleva a concluir que la probabilidad de que ambos sean defectuosos es:
P ( D1 ∩ D = P ( D1 ) .P ( D2 / D = 2) 1)
8 8 . = 0, 0064 100 100
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Si no reponemos el primer producto antes de seleccionar el segundo (Muestreo sin reemplazo), la probabilidad es:
P ( D1 ∩ D= P ( D1 ) .P ( D2 / D= 2) 1)
8 7 . = 0, 0056 100 99
En relación al ejemplo que trabajamos en la sección anterior ¿podemos decir que el sexo es probabilísticamente independiente del lugar de procedencia? Utilizando los datos de la Tabla de Contingencia, tenemos que: P (V ∩ C) = 182/592 = 0,307 y P(V) . P(C) = 247/592 x 472/592 = 0,332 Observamos que: P (V ∩ C) ≠ P(V) . P(C) ; por lo que concluimos que el sexo no es independiente del lugar de procedencia. Nota: Esta verificación se puede realizar con cualquiera de las cuatro probabilidades conjuntas de la tabla de contingencia.
Actividad 11: Defina eventos a partir del ejemplo de la tirada de una moneda tres veces y trate de concluir si los mismos son independientes o no. Actividad 12: Un lote de producción tiene 15 artículos buenos, 6 tienen defectos poco significativos y 3 con defectos graves. 1) Si se elige un artículo al azar, encuentre la probabilidad que: a) No tenga defectos. b) Tenga un defecto grave. c) Que sea bueno o que tenga un defecto poco significativo. 2) Si del mismo lote se toman dos artículos sin reposición, encuentre la probabilidad que: a) Ambos tengan defectos poco significativos. b) Ninguno sea bueno. c) Exactamente uno sea bueno. d) Ninguno tenga defectos graves. e) Por lo menos uno sea bueno.
157
Actividad 13: La empresa “MICA S.A.”, tiene un directorio conformado por 6 varones y 3 mujeres. Dicha empresa debe elegir en el mes próximo al nuevo presidente, para lo cual se armará un Comité con 3 de los miembros del directorio, para que efectúe recomendaciones sobre quién deberá ser el nuevo presidente. Determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 integrantes del comité evaluador sean mujeres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 integrantes sean varones? c) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres integrantes sean todos varones o todas mujeres? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen una mujer y dos varones? e) Si se decide ampliar el Comité a cuatro personas, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? ¿Cómo se denomina este tipo de evento? Actividad 14: Una compañía produce y vende dos tipos de productos (producto A y producto B). Se estima que la probabilidad de que el producto A tenga una ganancia superior al 15% es 0,25, que el producto B tenga el mismo margen de ganancia es 0,30 y que ambos productos superen el 15% de ganancia es 0,08. En base a estas estimaciones que realizó el gerente se pide: a) ¿Qué teoría se aplicó para asignarle probabilidades a los eventos? b) ¿Cuál es la probabilidad que el producto B tenga un margen de utilidad superior al 15% dado que el producto A alcanza el mismo margen de utilidad? c) Determine si el evento “A deja una utilidad superior al 15%” y “B deja una utilidad superior al 15%” son estadísticamente independientes. Actividad 15: Dados los eventos A y B, que pertenecen al mismo espacio probabilístico, sabiendo además que P(A) = 0.40; P (B) = 0.30 y P (A/B) = 0, entonces: a) A y B son estadísticamente independientes. b) A y B son mutuamente excluyentes. c) P (AC/ B) = 1.
V-F
V-F V-F
Indique en cada uno de los casos si son Verdaderas o Falsas cada una de las afirmaciones, y justifique su respuesta.
158
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Actividad 16: Dados los eventos A y B, mutuamente excluyentes, que pertenecen al mismo espacio probabilístico y sabiendo que: P(A) = 0,20 y P(B) = 0,40 Determine si son Verdaderas o Falsas cada una de las siguientes afirmaciones y justifique su respuesta. a) Si los eventos son mutuamente excluyentes (A ∩ B = φ), entonces los eventos son estadísticamente independientes. V-F V-F b) P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = 0,52. c) P(A/B) = 0,20. V-F Actividad 17: ¿Cuándo dos eventos estadísticamente independientes son también mutuamente excluyentes? Marque la alternativa correcta y pruebe por qué. a) Cuando el producto de las probabilidades de dos eventos no vacíos es distinto a la probabilidad de la intersección de los mismos. b) Cuando el producto de las probabilidades de dos eventos no vacíos es igual a la probabilidad de la intersección de dichos eventos. c) Cuando uno de los dos eventos es vacío y el producto de las probabilidades es igual a la probabilidad de la intersección de dichos eventos. d) Cuando uno de los dos eventos es vacío y el producto de las probabilidades es distinto a la probabilidad de la intersección de los mismos. e) Cuando la probabilidad condicional de un evento no vacío dado otro evento no vacío es igual a la probabilidad del primero.
8. Ley de Probabilidad total A efectos de derivar la Ley de Probabilidad total, introduciremos un nuevo concepto. Llamaremos partición aleatoria de Ω al conjunto de eventos Ai tales que: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ .......... ∪ An = Ω con Ai ∩ Aj = φ ; ∀ i ≠ j Como vemos, se trata del conjunto de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos (sin intersección y que cubren todo el espacio muestral). La Ley de probabilidad total indica que dada una partición aleatoria de Ω, para cualquier evento B se cumple que: n
P(B)= P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+………+ P(An).P(B/An)=
∑ P(A ).P(B/A ) i
i=1
Demostración: Consideremos el evento B y la partición aleatoria de Ω {A1 A2 A3 ... An} B=B∩Ω B = B ∩ [A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An] B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B ∩ An)
i
159
Por axioma 3
P(B) = P(B ∩ A1)+P(B ∩ A2)+ … +P(B ∩ An) P(B) = P(A1).P(B/A1)+ P(A2).P(B/A2)+…+ P(An).P(B/An)
Veamos un ejemplo, se conoce que en la industria alimenticia la prevalencia de operaciones de exportación es del 11% en empresas de capital nacional y 23% en empresas de capital extranjero; y además que 7% de las empresas de dicha rama son extranjeras, ¿cuál es la probabilidad de operaciones de exportación en la industria alimenticia de nuestro país? A1 = {empresa nacional} A2 = {empresa extranjera} eventos que constituyen una partición aleatoria de Ω P(A1) = 0,93 ; P(A2) = 0,07 B = {operaciones de exportación} P(B/A1) = 0,11 y P(B/A2) = 0,23 P(B)=P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)=0,93.0,11+0,07.0,23=0,1184
Actividad 18: Cuatro máquinas, X20, X21, X22 y X23, producen 30%, 25%, 15% y 30% respectivamente del total de productos de una industria, siendo la proporción de productos defectuosos de 0,02; 0,03; 0,05 y 0,07 para cada máquina respectivamente. Si se selecciona un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Una aplicación importante vinculada a la ley de Probabilidad Total, es lo que se conoce como Teorema de Bayes que, como veremos a continuación se utiliza para calcular una probabilidad condicional.
9. Teorema de Bayes El análisis bayesiano consiste en hacer inferencias sobre causas posibles a partir de los efectos o resultados conocidos de los eventos. En este caso se aplica la idea de probabilidad condicional que vimos en su momento.
160
Se trata de calcular una probabilidad a posteriori después que se ha observado un efecto determinado, es decir; se revisa o ajusta una probabilidad a priori de un evento hacia una probabilidad a posteriori más confiable ya que se basa en los resultados que ofrece la evidencia de una muestra o un estudio adicional. Veamos un ejemplo. En un estudio sobre el mercado laboral se tienen los siguientes datos referidos al nivel educacional y empleo:
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
NIVEL DE EDUCACIÓN 30% 40% 25% 5%
NIVEL DE EDUCACIÓN Primario Secundario Universitario Postgrado
TRABAJA 40% 60% 90% 95%
Si se selecciona una persona al azar y observamos que está trabajando ¿cuál es la probabilidad de que esta persona tenga título secundario? Con los datos anteriores podemos construir la siguiente tabla: Evento Ai Nivel de educación A1 = Primario A2 = Secundario A3 = Universitario A4 = Postgrado
P(Ai)
P(T/Ai)
0,30 0,40 0,25 0,05
0,40 0,60 0,90 0,95
P(Ai ∩ T)= P(Ai). P(T/Ai) (0,30 x 0,40) = 0,12 (0,40 x 0,60) = 0,24 (0,25 x 0,90) = 0,225 (0,05 x 0,95) = 0,0475
Las probabilidades P(Ai) se denominan probabilidades a priori debido a que la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empíricos. Reflejan el nivel actual de información. Por ejemplo, la probabilidad de que la persona seleccionada al azar tenga nivel Secundario es: P(A2) = 0,40 Las probabilidades P(T/Ai) son probabilidades condicionales que surgen de considerar datos empíricos (evidencia), los cuales se observan, en nuestro caso para cada nivel educacional. Por ejemplo, la probabilidad de que la persona trabaje, dado que tiene nivel secundario es: P(T/A2) = 0,60 Estas probabilidades permiten calcular probabilidades condicionales P(Ai/T), conocidas como probabilidades a posteriori debido a que se determinan una vez obtenidos los datos empíricos, mediante el empleo de Teorema de Bayes. Se trata por lo tanto de una probabilidad revisada con base en información adicional. Dados el evento B y la partición aleatoria de Ω {A1 A2 A3 ... An}, el Teorema de Bayes establece:
= P ( AJ / B )
P ( AJ ∩ B ) = P ( B)
P ( AJ ) .P ( B / AJ ) n
∑ P( A ).P( B / A ) i =1
i
= J 1, 2,..., n
Para una mejor comprensión del Teorema de Bayes, se sugiere ingresar a la sección Materiales Recursos del aula virtual para ver las producciones audiovisuales llamadas “Teorema de Bayes: Introducción” y “Teorema de Bayes”.
i
Es decir que, la probabilidad de que la persona elegida tenga nivel secundario sabiendo que trabaja es: P(A2) . P(T/A2)
P(A2/T) = P(A1).P(T/A1) + P(A2).P(T/A2) + P(A3).P(T/A3) + P(A4).P(T/A4) 0,24 =
0,6325
= 0,379
161
Con este ejemplo vemos cómo la probabilidad inicial (a priori) del nivel educativo secundario (0,40) queda “revisada” después de que se obtuvo la información de que la persona seleccionada trabaja.
Actividad 19: Si a partir de los datos de la Actividad 18 se selecciona un artículo y es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que haya sido producido por la máquina X21? Actividad 20: En un curso de capacitación para administrativos de una compañía, 60% de los asistentes son mujeres; el 75% de los hombres son egresados de la universidad y el 50% de las mujeres también. a) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades e indique cómo se llaman cada una de ellas. b) Si se selecciona al azar una persona del curso para hacerle una entrevista, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer universitaria? c) Si se selecciona un egresado universitario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Actividad 21: En el último año Talleres jugó al fútbol con Belgrano el 7% de los partidos, el 93% restante con otros equipos. Talleres ganó el 95% de los clásicos, mientras que sólo ganó el 10% de los partidos que jugó con otros equipos. a) Estos dos equipos de Córdoba están por jugar próximamente, ¿cuál es la probabilidad que no gane Talleres? b) En el diario del día de hoy se informa que Talleres ganó ayer, ¿cuál es la probabilidad que haya jugado con Belgrano?
Actividad 22: En una empresa hay dos máquinas con las que se enlata una nueva gaseosa, la máquina A produce el 40% del total de la producción y la máquina B el resto. Además, se sabe que la máquina A produce un 20% de artículos con defectos en su envasado y mientras que la B sólo un 15%. Calcule la probabilidad que, seleccionada una lata defectuosa en su envasado, ésta haya sido producida por la máquina B.
162
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
10. Referencias Bibliográficas - Berenson, M y Levine, D (2003) Estadística Básica en Administración. Conceptos y Aplicaciones. 6º Edición Prentice Hall. Díaz Margarita (2003). Notas de Probabilidad y Variable Aleatoria . Asociación Cooperadora de la Fac. Cs. Económicas de la U.N.C. - Díaz Margarita ….[et.al.] (2004) Estadística I: Guía de Estudio. -1ra Ed. Córdoba Asociación Cooperadora de la Fac. de Cs. de la U.N.C., 2009.338 páginas 27x21 cm ISBN 978-987-1436-21-7. - Hoel …….[et.al.] (1971). Introduction to Probability Theory. Hougton Mifflin Company. Boston - Peña, Daniel (2001) Fundamentos de Estadística. Editorial Alianza. - Saino Martin (2009). Cálculo de Probabilidades. Guía de aplicaciones prácticas correspondiente a los Capítulos III a VI del programa de Estadística I. Asoc Coop F.C.E. (U.N.C.).
163
Anexo 1:
Lectura complementaria Repaso de Álgebra de Conjuntos •
Dado un conjunto A = {a, b, c}, la relación de pertenencia de sus elementos se simboliza con a ∈ A.
•
Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que contiene, y se simboliza con # (A).
•
Se llama conjunto vacío a aquél que no contiene ningún elemento, y se simboliza con φ.
•
Se llama conjunto universal a aquél formado por todos los elementos que se están considerando, y se simboliza con Ω.
•
Se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal Ω que no pertenecen al conjunto A, y se simboliza con A .
•
Se dice que B es un subconjunto de A si todos sus elementos pertenecen a A. Se simboliza con B ⊂ A y se dice que B está incluido en A.
•
Dados dos conjuntos A y B se llama unión de ambos al conjunto formado por los elementos que pertenecen sólo a A, sólo a B ó a ambos, y se simboliza con A ∪ B.
•
Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de ambos al conjunto formado por los elementos comunes que pertenecen a A y B, y se simboliza con A ∩ B.
•
Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si no poseen elementos en común, por lo que su intersección es el conjunto vacío, y se simboliza A ∩ B = φ.
•
El conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un universo dado se denomina Álgebra de Sucesos o Familia de Conjuntos, y se simboliza con Ŧ.
Repaso de Técnicas de Conteo Para el cálculo de probabilidades es necesario contar el número de resultados posibles de un experimento como también el número de resultados que son favorables a un evento dado. Este proceso de conteo puede simplificarse mediante el empleo de las denominadas técnicas de conteo. En este apartado sólo revisaremos las Permutaciones, Variaciones y Combinaciones.
164
•
Permutaciones Una Permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Dado un conjunto de n elementos, el número de permutaciones de esos n objetos es:
Pn =n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( 2 ) . (1) =n !
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
que es el producto de un entero positivo (n) por todos los que le preceden; expresión que se denota por n! y se lee “n factorial”. Dos permutaciones cualesquiera sólo difieren en el orden de sus elementos. •
Variaciones Una Variación es un arreglo en un orden particular de r objetos seleccionados a partir de un conjunto de n elementos. Dado un conjunto de n elementos, el número de variaciones de r elementos de esos n objetos es:
Vnr =
n! ( n − r )!
Dos variaciones cualesquiera pueden diferir en algún elemento o bien teniendo los mismos elementos en el orden de los mismos. •
Combinaciones Una Combinación es un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un conjunto de n elementos sin importar el orden de los mismos. Dado un conjunto de n elementos, el número de combinaciones de r elementos de esos n objetos es:
Cnr =
n! r !( n − r ) !
Dos combinaciones cualesquiera sólo difieren en algún elemento
165
Soluciones y respuestas al Capítulo 3 Guía de Estadística
Actividad 1 a) b) c) d) e)
Ω = {oro, basto, espada, copa} Ω = {N / 1≤ N ≤ 12 } Ω = {1, 2, 3,…..} Ω = {1, 2, 3,…..} Ω = {c1,c2,c3,c4,c5,c6,s1,s2,s3,s4,s5,s6}
Discreto (finito numerable) Discreto (finito numerable) Discreto (finito no numerable) Continuo Discreto (finito numerable)
Actividad 2 Ejemplo 1: Elegir al azar un estudiante de la Facultad de Ciencias Económicas e indagar sobre el sexo y si vive con sus padres. Ω = {(varón, si),(mujer, si),(varón, no),(mujer, no)} Discreto ( finito numerable) Resto: a cargo del alumno
Actividad 3 a) Ejemplo 1: A={varón que vive con sus padres}={(varón, si)} B={varón}={(varón, si),(varón, no)}
es un evento simple es un evento compuesto
Resto: a cargo del alumno b) A cargo del alumno. c) Ejemplo 1: B={varón}={(varón, si),(varón, no)} C={mujer}={(mujer, si),(mujer, no)} D={vive o no con sus padres}= {(varón, si),(mujer, si),(varón, no),(mujer, no)} B y C son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. D es evento cierto Resto: a cargo del alumno
166
Actividad 4 a) Que se trate de una parcela de nivel de producción alto. b) Que se trate de una parcela de la Zona C y que tenga un nivel bajo de producción. c) Que No pertenezca a la zona A (es decir que puede pertenecer a la zona B o C).
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
d) Que pertenezca a la zona A y B.
Actividad 5 Ese valor podría utilizarse como una medida de probabilidad sólo si el experimento se realiza un número grande de veces, es decir se consultan más alumnos.
Actividad 6 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Subjetivo Clásico Clásico Subjetivo Frecuencial Subjetivo Subjetivo Frecuencial Subjetivo Clásico
Actividad 7 B = Contador Público D = Licenciaturas (Administración o Economía) Total
A = varón 25
C = mujer 41
Total 66
21
13
34
46
54
100
a) P(A)= 46/100= 0.46 b) P(D) = 34/100 = 0.34 c) P( C U B) = P( C) + P(B) – P( C –∩41/100= B) = 54/10 0 + 66/10 0 79/100=0,79 d) P(A/D) = P( A ∩ D) / P( D) = (21/10 0 )/(34/10 0 ) = 0 .6176 e) P(A ∩ D) = 21/10 0 = 0 .21 f) P( A U C) = P(A) + P( C) = 46/100+54/100= 1 (Evento CIERTO) g) P( B ∩ D) = P( Ø ) = 0 (Evento IM POSIBLE) h) Son mutuamente excluyentes.
Actividad 8 a) P( venda entre $1330 y $1530) = 40/120 = 0.333 b) P( venda $1530 o más ) = (24+9+4 ) /120 = 37/120 = 0.308 c) Frecuencial
Actividad 9 a) b) c) d)
Los resultados posibles son 5: Ω = {(0),(1),(2),(3),(4 o más)} P(no vender productos) = 15/60 = 0.25 P(vender 1 producto) = 20/60 = 0.333 P(vender 3 o más productos) = (9+3)/60 = 12/60 = 0.20
167
Actividad 10 a) b) c) d) e) f) g)
P(AC) = 0.70 P(BC) = 0.40 P(A ∩ B) = 0.10 P(AC ∩ BC) = 0.20 P(AC ∩ B) = 0.50 P(A ∩ BC) = 0.20 P(AC ∪ BC) = 0.90
Actividad 11 A cargo del alumno
Actividad 12 1) Denotamos B ={bueno}, D ={defecto poco significativo} y G ={defecto grave} a) P(B) = 15/24 b) P(G) = 3/24 c) P(B U D) = P( B) + P( D) = 15/24 +6/24 = 21/24 2) Se toman dos artículos sin reposición a) P(D ∩ D) =6/24*5/23 = 0.0543 b) P(BC ∩ BC) = 9/24*8/23 = 0.1304 c) P{(B ∩ BC) (BC ∩ B) } = 15/24*9/23 + 9/24*15/23 = 0.4891 d) P(GC ∩ GC) = 21/24*20/23 = 0.7609 e) P(uno bueno) + P(los dos buenos) = P{(B ∩ BC) (BC ∩ B) }+ P(B ∩ B) = 0.4891 + 0.3804 = 0.8695
Actividad 13 a) P( M ∩ M ∩ M ) = 3/9* 2/8* 1/7 = 1/84 = 0.0119 b) P( V ∩ V ∩ V ) = 6/9* 5/8 * 4/7 = 5/21 = 0.2381 c) P{(V ∩ V ∩ V) U (M ∩ M ∩ M)} = 0.25 d) P(una mujer y dos varones) = P(M ∩ V ∩ V) + P(V ∩ M ∩ V) + P(V ∩ V ∩ M) =3/9*6/8*5/7+6/9*3/8*5/7+6/9*5/8*3/7 = 0.5357 e) La probabilidad es igual a 0. El evento es imposible porque solo hay 3 mujeres en el directorio.
Actividad 14 168
a) Subjetiva b) Sean A = {el producto A deja un margen de utilidad superior al 15%} y B = {el producto B deja un margen de utilidad superior al 15%} P(B/A) = P(B ∩ A)/P(A) = 0.08/0.25 = 0.32 c) A y B son independientes si P(B ∩ A) = P(B)*P(A) P(B ∩ A) = 0.08 ≠ P(B)*P(A) = 0.30*0.25 = 0.075 Como no se cumple la condición de independencia concluimos que A y B son estadísticamente dependientes.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Actividad 15 a) Falso porque si A y B son estadísticamente independientes entonces P(A/B)=P(A) y en este caso no se cumple: 0 ≠ 0.40 b) Verdadero porque P(A ∩ B) = P(A/B)*P(B) = 0*0.30 = 0 c) Verdadero porque P (AC/ B) = P(AC∩ B)/P(B) = 0.30/0.30 = 1.
Actividad 16 a) Falso porque no se cumple la condición de independencia P(A).P(B): 0 ≠ 0,20.0,40 b) Falso porque P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = 0,20 +0,40 – 0 = 0. c) Falso porque P(A/B) = 0/0,40 = 0.
P(A ∩ B) =
Actividad 17 La alternativa correcta es la c) “Cuando uno de los dos eventos es vacío y el producto de las probabilidades es igual a la probabilidad de la intersección de los mismos”. Sean A = ø tal que P(A) = 0 y B no vacío, entonces A y B son mutuamente excluyentes, es decir P(A ∩ B) = 0 y se cumple la condición de independencia P(A ∩ B) = P(A).P(B) ya que P(A).P(B) = 0.P(B) = 0
Actividad 18 Sean A1 = {artículo producido por máquina X20}, A2 = {artículo producido por máquina X21}, A3 = {artículo producido por máquina X22} y A4 = {artículo producido por máquina X23} tales que: P(A1) = 0.30, P(A2) = 0.25, P(A3) = 0.15 y P(A4) = 0.30 D = {artículo defectuoso} P(D/A1) = 0.02, P(D/A2) = 0.03, P(D/A3) = 0.05 y P(D/A4) = 0.07 P(D) = P(A1).P(D/A1)+P(A2).P(D/A2)+P(A3).P(D/A3)+ P(A4).P(D/A4)= P(D) = 0,30.0,02 + 0,25.0,03 + 0,15.0,05 + 0,30.0,07 = 0,042
Actividad 19
P(A2/D) = 0,1786
Actividad 20 a) Sean M = {mujer}, V = {varón}, U = {egresado de la Universidad}, P(U/M) = 0.50 P(M)=0.60 Curso P(V)=0.40
P(UC/M) = 0.50 P(U/V) = 0.75 P(UC/V) = 0.25
169
b) P(M ∩ U) = 0.30 c) P(M/U)= 0.50
Actividad 21 Sean B = {Talleres juega con Belgrano} y G = {Talleres gana el partido} tales que P(B) = 0.07 , P(G/B) = 0.95 y P(G/BC) = 0.10. a) P(GC/B) = 0.05 b) P(B/G) = 0.417
Actividad 22 Sean A = {artículo producido por la máquina A}, B = {artículo producido por la máquina B} y D= {artículo defectuoso}, tales que P(A) = 0.40, P(B) =0.60, P(D/A) = 0.20 y P(D/B)= 0.15. P(B/D) = 0.529
170
Ciclo Básico a Distancia FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
AUTORIDADES Mgter. JHON BORETTO Decano Dra. MARÍA LUISA RECALDE Vicedecana Cr. FACUNDO QUIROGA MARTÍNEZ Secretario Técnico Cr. DIEGO CRIADO DEL RÍO Secretario de Administración Mgter. GERARDO HECKMANN Secretaria de Asuntos Académicos Lic. JUAN SAFFE Secretario de Extensión Cr. MATÍAS LINGUA Secretario de Asuntos Estudiantiles Dr. ANDRÉS MATTA Secretaria de Ciencia, Técnica y Relaciones Internacionales Mgter. CLAUDIA CARIGNANO Prosecretaria de Evaluación Institucional y Acreditación de Carreras Cr. HUGO PRIOTTO Director de la Carrera Contador Público Mgter. MARCELO CAPELLO Director de la Carrera de Licenciatura en Economía Lic. TOMÁS GASTÓN Director de la Carrera de Licenciatura en Administración
CICLO BÁSICO A DISTANCIA ÁREAS QUE PARTICIPAN
Coordinación Académica Secretaría de Asuntos Académicos Mgter. Gerardo Heckmann Coordinación Organizativa de Divisiones a Distancia Lic. David Taborda
Área de Formación Docente y Producción Educativa Coordinador General Oscar Margaría Asesora pedagógica Dra. Adela Coria Equipo de producción en tecnología educativa y comunicación Mgter. Gabriela Sabulsky Lic. Cecilia Botino Lic. Víctor R. Cacciagiú Lic. Laura Delmonte Lic. Vanesa Guajardo Esp. Verónica Pacheco Lic. María Florencia Scidá Administración Lic. Nora Ceballos
Proyecto “Elaboración de material didáctico en formato digital para Estadística I” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº583-2015.
Coordinadora del Proyecto: Margarita Díaz
AUTORES Norma Patricia Caro Rosana Beatriz Casini Margarita Díaz Fernando García Mariana González Martín Saino María Inés Stímolo
Los autores agradecen especialmente a los Profesores Asistentes por la colaboración prestada en la resolución y revisión de las actividades. María Inés Ahumada Lorena Anaya Verónica Arias Mariana Guardiola Roberto Infante Adrian Moneta Pizarro Olga Padro Andrea Righetti Julio Rosales
Proyecto “Fortalecimiento del Ciclo Básico a Distancia” en el marco del Programa de Apoyo y Mejoramiento a la enseñanza de grado de la UNC aprobado por Res. HCS Nº 604-2014.
Coordinadora del Proyecto: Dra. Adela Coria
Maquetación de materiales Lic. Víctor R. Cacciagiú y Lic. Ismael Rodríguez Diseño gráfico y audiovisual Lic. Laura Delmonte Asesoramiento y diseño pedagógico - didáctico Esp. Verónica Pacheco y Lic. Vanesa Partepilo Asesoramiento y diseño comunicacional Lic. Cecilia Botino y Lic. María Florencia Scidá
ÍNDICE Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
1. Introducción 2. Fenómenos aleatorios versus determinísticos 3. Conceptos básicos de probabilidad 4. Enfoques para asignar probabilidades 5. Axiomas y teoremas de probabilidad 6. Probabilidad conjunta y condicional 7. Independencia de eventos 8. Ley de Probabilidad total 9. Teorema de Bayes 10. Referencias Bibliográficas Anexo 1: Repaso de Álgebra de Conjuntos Soluciones y respuestas al Capítulo 3
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Capítulo 3 Introducción a las probabilidades
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
1. Introducción De acuerdo a lo estudiado en el Capítulo I, la Inferencia Estadística comprende los métodos que permiten extrapolar los resultados de una muestra aleatoria hacia la población de la cual fue extraída. Cuando se observa sólo una muestra, aun cuando la misma sea adecuadamente representativa de la población por cuanto reproduce sus características esenciales, el intento de extraer conclusiones acerca de la población se realiza, no en un marco de certeza sino de incertidumbre cuantificable. La Teoría de Probabilidad, rama de la matemática que modela fenómenos aleatorios, cuantifica esa incertidumbre en el proceso de estimación de parámetros, permitiendo hacer afirmaciones en cuanto a precisión y confiabilidad de los resultados. También permite probar hipótesis en relación con los parámetros, fijando la magnitud del error que puede cometerse al tomar la decisión y constituye la base teórica de métodos estadísticos tales como Regresión, Análisis de Varianza, Control de Calidad, etc. Si bien dichas metodologías, tanto la estimación de parámetros como la prueba de hipótesis las estudiaremos en Estadística II, a partir de este Capítulo introduciremos los conceptos fundamentales y el lenguaje básico de Probabilidad. En las explicaciones que se desarrollan en este capítulo se vislumbrará de qué manera la Teoría de Probabilidad es en la actualidad la base de la mayor parte de las decisiones que adoptan tanto los gobernantes como administradores de empresa.
2. Fenómenos aleatorios versus determinísticos En cualquier campo de la ciencia (física, biología, ingeniería, economía, etc.) se necesitan describir, modelar y predecir fenómenos del mundo real, para lo cual se construyen modelos matemáticos. Cuando se quiere elaborar un modelo matemático para explicar hechos reales, se distinguen dos tipos de fenómenos o experimentos: Fenómeno determinístico: es aquel fenómeno o experimento cuyo resultado conocemos de antemano o podemos calcular con certeza, o sea que se trataría de situaciones en las que se trabaja con certidumbre completa. Pensemos en los siguientes ejemplos: a) Arrojamos un vaso de vidrio desde el 5º piso de un edificio. El resultado es: el vaso se rompe. b) Colocamos a 100º C una pava con agua. El resultado es: el agua hierve. c) Colocamos un capital de $ 8.000 a una tasa de interés mensual del 1,8%. El resultado es: al cabo de 1 mes el monto final será $ 8.144
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Fenómeno aleatorio: es aquel fenómeno o experimento que, repetido bajo las mismas condiciones, puede arrojar resultados diferentes y no es posible predecir con certeza cuál de ellos ha de darse; es decir, estamos frente a fenómenos cuyo resultado es incierto. Ejemplos de este tipo de fenómenos serían: a) Lanzar un dado y observar el número que aparece en su cara superior. b) Lanzar una moneda 3 veces y observar la salida de cara o sello. c) Seleccionar al azar una familia de la ciudad y registrar su ingreso mensual. d) Seleccionar al azar un elector y determinar su candidato favorito. e) Observar una casilla de peaje y computar la cantidad de vehículos que pasan por hora. Como podemos ver, en todos los ejemplos anteriores no es posible predecir con certeza el resultado que observaremos. A modo de resumen, los experimentos aleatorios reúnen las siguientes características: •
Consideramos únicamente aquellos experimentos que sean concebibles bajo condiciones semejantes. Cada vez que realizamos el acto tenemos una prueba.
•
Aunque no podemos indicar cuál será el resultado particular de una prueba, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
•
Cuando el experimento se repite una gran cantidad de veces, los resultados presentan regularidad estadística. En otras palabras, la frecuencia relativa de aparición de los resultados, se aproxima a un valor fijo constante al aumentar el número de pruebas.
La realidad casi nunca es totalmente predecible, por lo que la mayoría de las situaciones a las que nos enfrentamos tienen resultados imprevistos y nos llevan a trabajar bajo incertidumbre. Pero podemos predecir el resultado particular que se producirá y medir el riesgo asociado a esta predicción, es decir determinar qué posibilidades hay de que dicho resultado no sea el que se produce realmente como fruto del experimento.
3. Conceptos básicos de probabilidad Repaso de Algebra de Conjuntos está en el Anexo 1 de esta Unidad.
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La Teoría de Probabilidad utiliza la Teoría de Conjuntos para definir muchos de sus conceptos básicos, por lo que le sugerimos leer el anexo que está al final de este capítulo, que propone un repaso que consideramos será de utilidad. Recordemos que en los fenómenos o experimentos aleatorios, si bien no sabemos el resultado que ocurrirá en una prueba individual, sí podemos describir todos los posibles resultados del mismo. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio es llamado espacio muestral y lo representaremos con la letra Ω.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Cada uno de los resultados elementales e indivisibles del experimento, llamados puntos muestrales, se denota por ω. La cardinalidad de Ω es la cantidad de puntos muestrales y se denota #Ω. Suponiendo que la experiencia arroja s resultados: Ω = { ωi} i = 1,2,…,s #Ω = s Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 En el experimento de tirar una moneda una vez, sólo hay dos resultados posibles: Ω = {c,s} Si se realizan dos tiradas, el espacio muestral es un conjunto formado por cuatro duplas ordenadas. Cada dupla indica el orden en el que aparecieron los lados de la moneda: Ω = {(cc),(cs),(sc),(ss)} #Ω = 22=4 Si se realizan tres tiradas, se obtendrán ocho ternas ordenadas: Ω = {(ccc),(ccs),(csc),(css),(scc),(scs),(ssc),(sss)}
#Ω = 23=8
Como se advierte, el espacio muestral representa el conjunto de todos los resultados de la experiencia. Si la moneda se arrojara 5 veces, el mismo estará conformado por 25 puntos muestrales [#Ω = 32]; por ejemplo, uno de esos puntos sería la secuencia (cccss) que indica que en las primeras tres tiradas aparecieron caras y en las restantes sellos. Los espacios muestrales se pueden clasificar en discretos o continuos. En los discretos, los resultados pueden ser enumerados, por lo que estarán en correspondencia con los números enteros. A su vez, se pueden clasificar en finitos o infinitos. En los espacios muestrales continuos, en cambio, los resultados no pueden ser enumerados, es decir son infinitos no numerables; por lo que estará conformado por un intervalo de números reales. A continuación tenemos ejemplos de espacios muestrales y su respectiva clasificación: a) Lanzar un dado y observar el número que aparece en su cara superior. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Clasificación: Discreto (finito numerable). b) b) Seleccionar al azar una familia de la ciudad y registrar su ingreso mensual. Ω = {I / I ≥ 0} Clasificación: Continuo c) Seleccionar al azar un elector y determinar su candidato favorito. Ω = {candidato A, candidato B,..., candidato N} Clasificación: Discreto (finito numerable).
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d) Observar una casilla de peaje y computar la cantidad de vehículos que pasan por hora. Ω = {0, 1, 2,........} Clasificación: Discreto (infinito numerable).
Actividad 1: A partir de los siguientes ejemplos describa el espacio muestral y clasifíquelo. a) Mezclar un mazo de cartas españolas y seleccionar una para observar su palo. b) Mezclar un mazo de cartas españolas y seleccionar una para observar su número. c) Observar el número de automóviles que entran por día al estacionamiento de un shopping. d) Observar el gasto mensual en libros de los alumnos de Estadística I. e) Arrojar simultáneamente un dado y una moneda, y se observa el resultado que aparece. Actividad 2: Piense en otros experimentos aleatorios, intente describir el espacio muestral asociado y clasifíquelo según lo expresado más arriba.
Llamamos evento a cada subconjunto de resultados de un experimento aleatorio. Lo designaremos con letras mayúsculas y tiene asociado una medida de probabilidad. Se trata de un concepto fundamental ya que es el que tiene asociado de manera directa la noción de probabilidad. Los eventos son simples o elementales cuando están constituidos por un solo elemento de Ω y se refieren a un punto muestral; mientras que son compuestos cuando se definen como la combinación de dos o más resultados del experimento aleatorio. Diremos que un evento ocurrió si al realizar el experimento se presenta cualquiera de los puntos muestrales que lo componen. Retomando el ejemplo de la tirada de una moneda dos veces, en el que se observa cara o sello, determinamos que había cuatro resultados posibles, pero podemos definir muchos eventos simples y compuestos a partir de esos resultados. Por ejemplo: A = {aparecen 2 caras} = {(cc)} Es un evento simple
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B = {aparece sólo 1 cara} = {(cs), (sc)} Es un evento compuesto C = {aparece el mismo resultado en ambas tiradas} = {(cc),(ss)} Es un evento compuesto D = {aparece cara o sello en cualquiera de las dos tiradas} D = {(cc),(cs),(sc),(ss)} = Ω es un evento compuesto
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
E = {no aparece cara ni sello} = φ Es un evento que no posee ningún elemento Los sucesos D y E son casos particulares de eventos, el primero se denomina evento cierto o seguro ya que seguramente sucede, mientras que el segundo se denomina evento imposible (conjunto vacío) ya que no puede suceder. Los eventos A y B se denominan mutuamente excluyentes, porque la ocurrencia de cualquiera de ellos elimina la ocurrencia del otro; es decir, sólo uno de ellos puede ocurrir. En notación: A ∩ B = φ Los eventos B y C se denominan colectivamente exhaustivos, ya que entre ellos forman el espacio muestral. En notación: B ∪ C = Ω
Actividad 3: a) Defina eventos simples y compuestos a partir de los experimentos aleatorios que pensó en la Actividad 2. b) ¿Podría dar una definición de eventos mutuamente excluyentes? ¿Y de colectivamente exhaustivos? c) ¿Se anima a plantear ejemplos de eventos ciertos, imposibles, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos en los experimentos de la Actividad 2? Actividad 4: En la siguiente tabla se presentan los datos de producción de parcelas clasificadas en tres niveles y cruzadas por zonas geográficas de la Provincia de Córdoba, que se transcriben a continuación NIVEL DE PRODUCCIÓN
Alto Mediano Bajo Total
ZONA GEOGRÁFICA DE LA PROVINCIA ZONA "A" ZONA "B" ZONA "C"
69 40 38 147
47 25 32 104
23 80 36 139
TOTAL
139 145 106 390
Considerando que se elige una parcela al azar, le proponemos que: a) De un ejemplo de evento simple b) De un ejemplo de evento compuesto c) ¿Cuál es el complemento de la Zona A? d) De un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes Si recordamos el último punto del repaso de álgebra de conjuntos podríamos, en este experimento aleatorio, armar el Álgebra de Sucesos o Familia de Eventos, que será la colección completa de subconjuntos que puedan definirse a partir del espacio muestral Ω, siendo el número total de subconjuntos 2s donde s = #Ω. 1 Lo simbolizaremos con Ŧ e incluirá el conjunto vacío, todos los subconjuntos unitarios, los binarios, etc. y el propio Ω.
1
Cuando Ω es continuo, no es posible definir Ŧ de esa manera. (Hoel, cap. 1).
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En nuestro ejemplo: Donde Ω = {(cc),(cs),(sc),(ss)} y #Ω = 4, algunos de los 16 elementos de Ŧ son: {φ}, {(cc)}, {(cs)}, {(sc)}, {(ss)}, {(cc),(cs)}, {(cc),(sc)}, {(cc),(ss)},… Cada uno de estos eventos tendrá asociada una probabilidad que simbolizaremos con P, y al conjunto formado por el espacio muestral, la familia de eventos y la probabilidad asociada a cada elemento de dicha familia lo llamaremos Espacio de Probabilidad. Lo simbolizaremos con E. E = {Ω, Ŧ, P}
4. Enfoques para asignar probabilidades Luego de haber trabajado los conceptos principales vinculados a experimentos aleatorios, llegamos a lo que seguramente es de mayor interés. ¿Cómo podemos determinar la probabilidad de que un resultado particular ocurra, o de que ocurra una combinación de dos o más resultados? Seguramente estamos algo familiarizados con el tema, porque en más de una oportunidad escuchamos o leemos en los diarios expresiones como:
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Si bien no conocemos con exactitud la definición de probabilidad, podríamos decir que una idea intuitiva indicaría que se trata de un número entre 0 y 1 (aunque con frecuencia se la exprese en porcentajes) que mide la posibilidad de que ocurra un suceso, siendo 0 cuando estamos seguros de que no va a ocurrir y 1 cuando estamos seguros de que sí va a ocurrir. Entre estos valores extremos, existe una gama de valores que deberíamos asignar cuando estamos frente a situaciones de incertidumbre respecto del resultado que va a ocurrir. A fin de resolver estas situaciones, vamos a introducirnos en los distintos enfoques o métodos desarrollados para calcular la probabilidad de un evento particular. La medición de probabilidad surgió con el enfoque clásico, exclusivamente aplicado a los juegos de azar. Dada las limitaciones que tiene este enfoque, con posterioridad se desarrolló el frecuentista.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Enfoque clásico El experimento típico, y no por ello menos útil, para introducir este método es el lanzamiento de un dado. En este caso los resultados posibles que forman el espacio muestral, son: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si el dado está balanceado, la probabilidad de cada uno de estos resultados es 1/6, es decir todos los resultados son equiprobables (espacio muestral simétrico). Supongamos que definimos el evento: A = {aparece el número 3}, este evento tiene una probabilidad asociada de 1/6, lo que se simboliza: P(A) = 1/6 Si expresamos este resultado mediante una fórmula, tendremos:
Casos favorables al evento A P (A) =
Casos posibles de Ω
Para poder aplicar este método son necesarias dos condiciones: Conocer todos los resultados de Ω, para poder identificar los que son favorables al evento definido. • Que todos esos resultados sean igualmente posibles. •
Con este enfoque podemos también calcular probabilidades de eventos compuestos. Ejemplos: B = {aparece un número par} ; B = {2, 4, 6} C = {aparece un número ≥ 2} ; C = {2, 3, 4, 5, 6} D = {aparece un número < 8} ; D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = {aparece un número ≥ 10} ; E = φ
P(B) = 3/6 P(C) = 5/6 P(D) = 1 P(E) = 0
Este enfoque tiene una aplicación restringida a experimentos en los que todos los resultados posibles son igualmente probables, tales como los relacionados con los juegos de azar. Pero en numerosas situaciones no es válido suponer la simetría de los resultados, por lo que deberemos utilizar el enfoque frecuentista, que presentaremos a continuación. Enfoque frecuentista Este enfoque asigna probabilidades estimándola a través de la frecuencia relativa.
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Por ejemplo, si una gran empresa desea conocer la probabilidad de que una computadora adquirida a su proveedor venga con falla, no podría utilizar el método clásico ya que los dos resultados posibles (falla y no falla) no son igualmente probables. Lo que podría hacer es consultar el registro de las últimas compras realizadas; si de las últimas 100 han tenido falla 2, la frecuencia relativa 2/100 se aproximará a esa probabilidad. Es decir, si un experimento se repite un número grande veces (n) y denotamos con la letra m el número de veces que ocurrió el evento A, una estimación de la probabilidad de A es: P(A)=
m n
Si en el lanzamiento del dado supiéramos que el mismo está cargado (no todas las caras son igualmente probables) y deseáramos conocer la probabilidad de que salga el número 3, podríamos hacer lanzamientos seguidos y anotar cuántas veces aparece el número 3. Si repetimos esta acción un número grande de veces, la frecuencia relativa de dicho resultado se estabilizará alrededor de un valor que es una medida estimativa de su probabilidad.
Actividad 5: Si el 60% de 10 alumnos consultados de Estadística I está de acuerdo con las condiciones de regularidad de la materia, ¿podría ese valor utilizarse como una medida de probabilidad? ¿Por qué?
Ejemplo 2 Si contamos con la información de los alumnos de Estadística I clasificados según sexo y procedencia, podríamos confeccionar una tabla de doble entrada, o tabla de contingencia, como la que sigue: PROCEDENCIA SEXO Varón Mujer Total
CÓRDOBA
OTRA PROVINCIA
TOTAL
182 290 472
65 55 120
247 345 592
Si seleccionamos al alzar un alumno de Estadística I, ¿cuál será la probabilidad de los siguientes eventos? V = {alumno varón} C = {alumno que procede de Córdoba}
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En este ejemplo no corresponde utilizar el enfoque clásico para calcular probabilidades porque los resultados no son igualmente probables, utilizando el enfoque frecuentista, esas probabilidades son: P (V) = 247/592 = 0,417 P (C) = 472/592 = 0,797 Estas probabilidades se denominan simples o marginales porque se obtienen de los márgenes de la tabla de contingencia.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Método subjetivo Si no es posible aplicar el método clásico, ni tampoco el método frecuentista porque no resulta factible repetir el experimento un cierto número de veces, se puede obtener la probabilidad de manera subjetiva. Se trata de asignar un valor entre 0 y 1 como chance de ocurrencia de un evento particular. Como su nombre lo indica, la estimación que utilicemos como medida de probabilidad depende del criterio de quien asigna, varía según la persona y no tiene ningún rigor científico; sólo involucra algo de sentido común y la información disponible para definir ese valor. Ejemplos de probabilidad subjetiva: • • •
La probabilidad que la empresa XX entre en concurso preventivo este año es de 0,15 La probabilidad que Juan promocione esta materia es de 0,60 La probabilidad que nuestro país acuerde con los acreedores externos es de 0,50
En los ejemplos que veremos a continuación no utilizaremos este método por las limitaciones que posee, lo cual no significa que no sea importante y útil en campos como el de la Teoría de la Decisión. Actividad 6: Para cada uno de los casos que se plantean indique cuál es el enfoque de probabilidad conveniente para determinar el valor de la probabilidad que se quiere obtener, o el enfoque utilizado en los casos de probabilidades que han sido calculadas. Tenga en cuenta que el orden de preferencia para aplicar alguna Teoría, es el que se utilizó en la presentación de las mismas. a) ¿Cuál es la probabilidad que haya mayor desempleo el próximo año? b) Se lanza al aire un dado balanceado. ¿Cuál es la probabilidad que salga un dos o un seis? c) Se elige un punto al azar en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad que esté más cerca del centro que de la circunferencia? d) De las personas que entran a un comercio, se elige al azar una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad que realice una compra? e) De una muestra aleatoria de 400 empleados de una empresa, se obtuvo que 80 de ellos habían pedido licencia por enfermedad por lo menos una vez en el último año. Si se selecciona un empleado al azar ¿Cuál es la probabilidad que haya pedido licencia por enfermedad en el último año? f) Para el próximo año, ¿cuál es la probabilidad que el P.B.I. per cápita aumente un 100%? g) Se estima que la probabilidad de que un nuevo producto tenga éxito es de ¼. h) De un embarque de 100 artículos, donde hay 20 defectuosos, se selecciona uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad que resulte ser defectuoso? i) El gerente de compras de una empresa estima que la probabilidad que un pedido llegue a tiempo es de 0,80. j) La probabilidad de seleccionar un “oro” en un mazo de cartas españolas es 12/50.
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5. Axiomas y teoremas de probabilidad Según mencionamos en el apartado 3, a partir del espacio muestral Ω y la familia de eventos Ŧ, se define la medida de probabilidad como una función real que hace corresponder a cada elemento de Ŧ un número comprendido entre 0 y 1. P: Ŧ [0,1] y satisface los siguientes axiomas: 1) Sea A un evento que pertenece a Ŧ, la probabilidad de A es una cantidad mayor o igual a cero P(A) ≥ 0 2) La probabilidad del espacio muestral, o evento cierto, es uno P(Ω) = 1 3) Sean A y B, eventos mutuamente excluyentes o disjuntos que pertenecen a Ŧ, la probabilidad de su unión es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para una mejor comprensión de este axioma, se sugiere a ingresar a la sección Materiales Recursos del aula virtual para ver la producción audiovisual “Regla de la adición”.
siendo A ∩ B = φ
Este último axioma, conocido como Regla Especial de Adición se extiende a un número n de eventos. A partir de estos axiomas, se deducen teoremas que serán de utilidad para el cálculo de probabilidades. Algunos de esos teoremas enunciamos a continuación: Teorema 1: Sea A un evento perteneciente a Ŧ, a probabilidad del complemento de A es igual a uno menos la probabilidad de A. Demostración: Por definición Como Por Axioma 3
P(AC) = 1 – P(A) A ∪ AC = Ω A ∩ AC = φ (son disjuntos) P(A ∪ AC)= P(A) + P(AC) = P(Ω) = 1 P(AC) = 1 – P(A)
Teorema 2: La probabilidad del evento imposible (complemento de Ω ) es igual a cero. P(φ) = 0 Demostración: Por aplicación del Teorema 1 (Recordemos que φ = ΩC)
152 Teorema 3: Sean A y B, eventos que pertenecen a Ŧ, entonces: Demostración: Por definición
P(B – A) = P(B) – P(A ∩ B) B = (A ∩ B) ∪ (B – A)
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
(A ∩ B) ∩ (B – A)= φ (son disjuntos) P(B) = P(A ∩ B)+ P(B – A) P(B – A) = P(B) - P(A ∩ B)
Como Por Axioma 3
Teorema 4: Sean A y B, eventos no disjuntos, que pertenecen a Ŧ, entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Demostración: Por definición Como Por Axioma 3
A ∪ B = A ∪ (B – A) A ∩ (B – A)= φ (son disjuntos) P(A ∪ B) = P(A) + P(B – A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Este teorema se conoce también como Regla General de Adición.
6. Probabilidad conjunta y condicional En esta sección, estudiaremos los conceptos de probabilidad conjunta y condicional. Retomemos el ejemplo trabajado anteriormente, donde se presentó el concepto de probabilidad marginal. Seleccionamos al azar un alumno de Estadística I y deseamos calcular la probabilidad de que sea varón y proceda de Córdoba, V = {alumno varón} C = {alumno que procede de Córdoba}, es decir, buscamos calcular P(V ∩ C). En este caso nos interesa calcular la probabilidad de la ocurrencia simultánea de los dos eventos, es decir que se presenten resultados comunes a ambos eventos. Esta probabilidad se denomina probabilidad conjunta. De acuerdo a los datos, si se aplica el enfoque frecuencial, se tiene: P(V ∩ C) = 182/592 = 0,307 Supongamos ahora, que se selecciona un alumno al azar y se conoce que es varón, y estamos interesados en conocer la probabilidad de que proceda de Córdoba. En este caso, deseamos conocer la probabilidad de que ocurra un evento “dado que” otro ya ha ocurrido. Esta probabilidad se denomina probabilidad condicional. Sean los eventos A y B, tal que P(B)>0, la probabilidad condicional A dado B, que se simboliza P(A/B), se define:
P ( A/B ) =
P ( A ∩ B) P ( B)
De acuerdo a los datos, si se aplica el enfoque frecuencial, se tiene:
P ( C/V ) =
P ( C ∩ V ) 182 592 0,307 = = =0,737 P (V) 247 592 0,417
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Al calcular probabilidades condicionales, trabajamos en un espacio muestral reducido. La probabilidad de un hecho (que proceda de Córdoba) en el subconjunto considerado (varones) puede ser mayor, menor o igual que en el espacio muestral original. Cuando analizamos la procedencia en el subconjunto de varones, arribamos a que el 73,7% de los mismos residía en Córdoba. Este valor indica que, si se sabe que es Varón, la probabilidad de que el alumno haya residido en Córdoba es levemente inferior a 0,797, que es la P(C) para el total de alumnos. A partir de la fórmula de la probabilidad condicional, podemos derivar el cálculo de la probabilidad conjunta, conocida como Regla General Multiplicativa: P(A ∩ B) = P(A/B).P(B) = P(B/A). P(A) Para ejercitar los temas desarrollados en la esta unidad les proponemos las siguientes actividades. Recuerden que en el aula virtual cuentan con el espacio del foro para consultar las dudas que tengan o intercambiar soluciones o posibles respuestas con sus compañeros.
Actividad 7: Se conoce que, de cada 100 estudiantes de 3º año de la Facultad que han optado por una sola carrera de las tres que se pueden cursar, 66 eligen Contador Público mientras que el resto elige una de las Licenciaturas (en Administración de Empresas o en Economía). También se sabe que el 46% son varones (el resto mujeres) y que en las Licenciaturas hay 13 mujeres. Seleccionamos al azar un alumno de 3º año y, a partir de definir los eventos: A = {alumno varón} B = {alumno de la carrera de Contador Público} Deseamos predecir las siguientes probabilidades: a) Que sea varón b) Que haya elegido una Licenciatura c) Que sea mujer o haya elegido la carrera de Contador Público (recordar la Regla General de Adición) d) Que sea varón dado que es un alumno que elige una Licenciatura e) Que sea varón y haya elegido una Licenciatura f) Que sea varón o mujer g) Que haya elegido la carrera de Contador y una Licenciatura h) ¿Cómo se llaman los eventos del punto g)? Le recomendamos armar una tabla de contingencia con los datos del enunciado.
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Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Actividad 8: Teniendo en cuenta los siguientes datos referidos a las ventas diarias (en $) para una compañía de servicios de transporte. Ventas 530 730 730 930 930 1130 1130 1330 1330 1530 1530 1730 1730 1930 1930 2130 Total
Nro. días 3 7 11 22 40 24 9 4 120
Calcule la probabilidad de que un día particular: a) venda entre $ 1330 y $ 1530. b) venda $ 1530 o más. c) ¿En base a qué teoría asignó probabilidades a los eventos?
Actividad 9: Los datos sobre las ventas diarias de un producto en los últimos 2 meses (60 días) para LUZ S.A. se exponen en la tabla siguiente: Número de productos vendidos 0 1 2 3 4 o más
Cantidad de días 15 20 13 9 3
Si se elige un día al azar, se pide: a) ¿Cuántos son los resultados posibles? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no venda productos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que venda 1 producto? d) ¿Cuál es la probabilidad de que venda 3 o más productos?
Actividad 10: Dados los eventos A y B que pertenecen al mismo espacio probabilístico sobre los cuales se sabe que P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 y P(A U B) = 0.8, calcule: a) b) c) d) e) f) g)
P(AC) P(BC) P(A ∩ B) P(AC ∩ BC) P(AC ∩ B) P(A ∩ BC) P(AC ∪ BC)
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Cuando los eventos pueden presentarse simultáneamente la probabilidad conjunta es distinta de cero. La expresión para cuantificarla depende de si los eventos considerados son dependientes o independientes.
7. Independencia de eventos Decimos que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de aparición del otro; es decir que su ocurrencia no produce efecto en la probabilidad simple del otro. Caso contrario los eventos son dependientes. Para ilustrar la independencia de eventos, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tiramos dos monedas al aire, el resultado de una de ellas (cara o sello) no está afectado por el resultado de la otra (cara o sello); decimos entonces que el resultado de la segunda moneda no depende del resultado de la primera. Si estamos frente a dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene multiplicando las probabilidades simples de cada uno de ellos. Esto se conoce como Regla Especial de Multiplicación. En fórmulas se expresa: P(A ∩ B) = P(A).P(B) En el ejemplo anterior de la moneda ¿cuál es la probabilidad de que en ambas tiradas el resultado sea cara? P (cara y cara) = P(cara) . P(cara) = 0,50 . 0,50 = 0,25 Si estamos frente a eventos independientes, ¿podemos calcular una probabilidad condicional? Si relacionamos las fórmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta de eventos independientes tenemos que:
P ( A/B ) =
P ( A ∩ B ) P ( A ) .P ( B ) = =P ( A ) P ( B) P ( B)
Es decir, la probabilidad del evento A no varía ante la aparición del evento B (su probabilidad condicional es igual a su probabilidad simple), por lo que podríamos expresar la independencia de eventos de la siguiente manera: Si P(A/B) = P(A) entonces A y B son eventos independientes
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Veamos un ejemplo para ilustrar lo que acabamos de expresar. Supongamos que en un lote de 100 productos hay 8 que son defectuosos. Si seleccionamos un producto al azar la probabilidad de que sea defectuoso es 8/100. Si seleccionamos otro más, la probabilidad de que el segundo también lo sea (si reponemos el primero de ellos al lote) será 8/100 por lo que la probabilidad simple de defectuoso no cambió en esta segunda extracción. Esto lleva a concluir que la probabilidad de que ambos sean defectuosos es:
P ( D1 ∩ D = P ( D1 ) .P ( D2 / D = 2) 1)
8 8 . = 0, 0064 100 100
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Si no reponemos el primer producto antes de seleccionar el segundo (Muestreo sin reemplazo), la probabilidad es:
P ( D1 ∩ D= P ( D1 ) .P ( D2 / D= 2) 1)
8 7 . = 0, 0056 100 99
En relación al ejemplo que trabajamos en la sección anterior ¿podemos decir que el sexo es probabilísticamente independiente del lugar de procedencia? Utilizando los datos de la Tabla de Contingencia, tenemos que: P (V ∩ C) = 182/592 = 0,307 y P(V) . P(C) = 247/592 x 472/592 = 0,332 Observamos que: P (V ∩ C) ≠ P(V) . P(C) ; por lo que concluimos que el sexo no es independiente del lugar de procedencia. Nota: Esta verificación se puede realizar con cualquiera de las cuatro probabilidades conjuntas de la tabla de contingencia.
Actividad 11: Defina eventos a partir del ejemplo de la tirada de una moneda tres veces y trate de concluir si los mismos son independientes o no. Actividad 12: Un lote de producción tiene 15 artículos buenos, 6 tienen defectos poco significativos y 3 con defectos graves. 1) Si se elige un artículo al azar, encuentre la probabilidad que: a) No tenga defectos. b) Tenga un defecto grave. c) Que sea bueno o que tenga un defecto poco significativo. 2) Si del mismo lote se toman dos artículos sin reposición, encuentre la probabilidad que: a) Ambos tengan defectos poco significativos. b) Ninguno sea bueno. c) Exactamente uno sea bueno. d) Ninguno tenga defectos graves. e) Por lo menos uno sea bueno.
157
Actividad 13: La empresa “MICA S.A.”, tiene un directorio conformado por 6 varones y 3 mujeres. Dicha empresa debe elegir en el mes próximo al nuevo presidente, para lo cual se armará un Comité con 3 de los miembros del directorio, para que efectúe recomendaciones sobre quién deberá ser el nuevo presidente. Determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 integrantes del comité evaluador sean mujeres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 integrantes sean varones? c) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres integrantes sean todos varones o todas mujeres? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen una mujer y dos varones? e) Si se decide ampliar el Comité a cuatro personas, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? ¿Cómo se denomina este tipo de evento? Actividad 14: Una compañía produce y vende dos tipos de productos (producto A y producto B). Se estima que la probabilidad de que el producto A tenga una ganancia superior al 15% es 0,25, que el producto B tenga el mismo margen de ganancia es 0,30 y que ambos productos superen el 15% de ganancia es 0,08. En base a estas estimaciones que realizó el gerente se pide: a) ¿Qué teoría se aplicó para asignarle probabilidades a los eventos? b) ¿Cuál es la probabilidad que el producto B tenga un margen de utilidad superior al 15% dado que el producto A alcanza el mismo margen de utilidad? c) Determine si el evento “A deja una utilidad superior al 15%” y “B deja una utilidad superior al 15%” son estadísticamente independientes. Actividad 15: Dados los eventos A y B, que pertenecen al mismo espacio probabilístico, sabiendo además que P(A) = 0.40; P (B) = 0.30 y P (A/B) = 0, entonces: a) A y B son estadísticamente independientes. b) A y B son mutuamente excluyentes. c) P (AC/ B) = 1.
V-F
V-F V-F
Indique en cada uno de los casos si son Verdaderas o Falsas cada una de las afirmaciones, y justifique su respuesta.
158
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Actividad 16: Dados los eventos A y B, mutuamente excluyentes, que pertenecen al mismo espacio probabilístico y sabiendo que: P(A) = 0,20 y P(B) = 0,40 Determine si son Verdaderas o Falsas cada una de las siguientes afirmaciones y justifique su respuesta. a) Si los eventos son mutuamente excluyentes (A ∩ B = φ), entonces los eventos son estadísticamente independientes. V-F V-F b) P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = 0,52. c) P(A/B) = 0,20. V-F Actividad 17: ¿Cuándo dos eventos estadísticamente independientes son también mutuamente excluyentes? Marque la alternativa correcta y pruebe por qué. a) Cuando el producto de las probabilidades de dos eventos no vacíos es distinto a la probabilidad de la intersección de los mismos. b) Cuando el producto de las probabilidades de dos eventos no vacíos es igual a la probabilidad de la intersección de dichos eventos. c) Cuando uno de los dos eventos es vacío y el producto de las probabilidades es igual a la probabilidad de la intersección de dichos eventos. d) Cuando uno de los dos eventos es vacío y el producto de las probabilidades es distinto a la probabilidad de la intersección de los mismos. e) Cuando la probabilidad condicional de un evento no vacío dado otro evento no vacío es igual a la probabilidad del primero.
8. Ley de Probabilidad total A efectos de derivar la Ley de Probabilidad total, introduciremos un nuevo concepto. Llamaremos partición aleatoria de Ω al conjunto de eventos Ai tales que: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ .......... ∪ An = Ω con Ai ∩ Aj = φ ; ∀ i ≠ j Como vemos, se trata del conjunto de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos (sin intersección y que cubren todo el espacio muestral). La Ley de probabilidad total indica que dada una partición aleatoria de Ω, para cualquier evento B se cumple que: n
P(B)= P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)+………+ P(An).P(B/An)=
∑ P(A ).P(B/A ) i
i=1
Demostración: Consideremos el evento B y la partición aleatoria de Ω {A1 A2 A3 ... An} B=B∩Ω B = B ∩ [A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An] B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B ∩ An)
i
159
Por axioma 3
P(B) = P(B ∩ A1)+P(B ∩ A2)+ … +P(B ∩ An) P(B) = P(A1).P(B/A1)+ P(A2).P(B/A2)+…+ P(An).P(B/An)
Veamos un ejemplo, se conoce que en la industria alimenticia la prevalencia de operaciones de exportación es del 11% en empresas de capital nacional y 23% en empresas de capital extranjero; y además que 7% de las empresas de dicha rama son extranjeras, ¿cuál es la probabilidad de operaciones de exportación en la industria alimenticia de nuestro país? A1 = {empresa nacional} A2 = {empresa extranjera} eventos que constituyen una partición aleatoria de Ω P(A1) = 0,93 ; P(A2) = 0,07 B = {operaciones de exportación} P(B/A1) = 0,11 y P(B/A2) = 0,23 P(B)=P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)=0,93.0,11+0,07.0,23=0,1184
Actividad 18: Cuatro máquinas, X20, X21, X22 y X23, producen 30%, 25%, 15% y 30% respectivamente del total de productos de una industria, siendo la proporción de productos defectuosos de 0,02; 0,03; 0,05 y 0,07 para cada máquina respectivamente. Si se selecciona un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Una aplicación importante vinculada a la ley de Probabilidad Total, es lo que se conoce como Teorema de Bayes que, como veremos a continuación se utiliza para calcular una probabilidad condicional.
9. Teorema de Bayes El análisis bayesiano consiste en hacer inferencias sobre causas posibles a partir de los efectos o resultados conocidos de los eventos. En este caso se aplica la idea de probabilidad condicional que vimos en su momento.
160
Se trata de calcular una probabilidad a posteriori después que se ha observado un efecto determinado, es decir; se revisa o ajusta una probabilidad a priori de un evento hacia una probabilidad a posteriori más confiable ya que se basa en los resultados que ofrece la evidencia de una muestra o un estudio adicional. Veamos un ejemplo. En un estudio sobre el mercado laboral se tienen los siguientes datos referidos al nivel educacional y empleo:
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
NIVEL DE EDUCACIÓN 30% 40% 25% 5%
NIVEL DE EDUCACIÓN Primario Secundario Universitario Postgrado
TRABAJA 40% 60% 90% 95%
Si se selecciona una persona al azar y observamos que está trabajando ¿cuál es la probabilidad de que esta persona tenga título secundario? Con los datos anteriores podemos construir la siguiente tabla: Evento Ai Nivel de educación A1 = Primario A2 = Secundario A3 = Universitario A4 = Postgrado
P(Ai)
P(T/Ai)
0,30 0,40 0,25 0,05
0,40 0,60 0,90 0,95
P(Ai ∩ T)= P(Ai). P(T/Ai) (0,30 x 0,40) = 0,12 (0,40 x 0,60) = 0,24 (0,25 x 0,90) = 0,225 (0,05 x 0,95) = 0,0475
Las probabilidades P(Ai) se denominan probabilidades a priori debido a que la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empíricos. Reflejan el nivel actual de información. Por ejemplo, la probabilidad de que la persona seleccionada al azar tenga nivel Secundario es: P(A2) = 0,40 Las probabilidades P(T/Ai) son probabilidades condicionales que surgen de considerar datos empíricos (evidencia), los cuales se observan, en nuestro caso para cada nivel educacional. Por ejemplo, la probabilidad de que la persona trabaje, dado que tiene nivel secundario es: P(T/A2) = 0,60 Estas probabilidades permiten calcular probabilidades condicionales P(Ai/T), conocidas como probabilidades a posteriori debido a que se determinan una vez obtenidos los datos empíricos, mediante el empleo de Teorema de Bayes. Se trata por lo tanto de una probabilidad revisada con base en información adicional. Dados el evento B y la partición aleatoria de Ω {A1 A2 A3 ... An}, el Teorema de Bayes establece:
= P ( AJ / B )
P ( AJ ∩ B ) = P ( B)
P ( AJ ) .P ( B / AJ ) n
∑ P( A ).P( B / A ) i =1
i
= J 1, 2,..., n
Para una mejor comprensión del Teorema de Bayes, se sugiere ingresar a la sección Materiales Recursos del aula virtual para ver las producciones audiovisuales llamadas “Teorema de Bayes: Introducción” y “Teorema de Bayes”.
i
Es decir que, la probabilidad de que la persona elegida tenga nivel secundario sabiendo que trabaja es: P(A2) . P(T/A2)
P(A2/T) = P(A1).P(T/A1) + P(A2).P(T/A2) + P(A3).P(T/A3) + P(A4).P(T/A4) 0,24 =
0,6325
= 0,379
161
Con este ejemplo vemos cómo la probabilidad inicial (a priori) del nivel educativo secundario (0,40) queda “revisada” después de que se obtuvo la información de que la persona seleccionada trabaja.
Actividad 19: Si a partir de los datos de la Actividad 18 se selecciona un artículo y es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que haya sido producido por la máquina X21? Actividad 20: En un curso de capacitación para administrativos de una compañía, 60% de los asistentes son mujeres; el 75% de los hombres son egresados de la universidad y el 50% de las mujeres también. a) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades e indique cómo se llaman cada una de ellas. b) Si se selecciona al azar una persona del curso para hacerle una entrevista, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer universitaria? c) Si se selecciona un egresado universitario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Actividad 21: En el último año Talleres jugó al fútbol con Belgrano el 7% de los partidos, el 93% restante con otros equipos. Talleres ganó el 95% de los clásicos, mientras que sólo ganó el 10% de los partidos que jugó con otros equipos. a) Estos dos equipos de Córdoba están por jugar próximamente, ¿cuál es la probabilidad que no gane Talleres? b) En el diario del día de hoy se informa que Talleres ganó ayer, ¿cuál es la probabilidad que haya jugado con Belgrano?
Actividad 22: En una empresa hay dos máquinas con las que se enlata una nueva gaseosa, la máquina A produce el 40% del total de la producción y la máquina B el resto. Además, se sabe que la máquina A produce un 20% de artículos con defectos en su envasado y mientras que la B sólo un 15%. Calcule la probabilidad que, seleccionada una lata defectuosa en su envasado, ésta haya sido producida por la máquina B.
162
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
10. Referencias Bibliográficas - Berenson, M y Levine, D (2003) Estadística Básica en Administración. Conceptos y Aplicaciones. 6º Edición Prentice Hall. Díaz Margarita (2003). Notas de Probabilidad y Variable Aleatoria . Asociación Cooperadora de la Fac. Cs. Económicas de la U.N.C. - Díaz Margarita ….[et.al.] (2004) Estadística I: Guía de Estudio. -1ra Ed. Córdoba Asociación Cooperadora de la Fac. de Cs. de la U.N.C., 2009.338 páginas 27x21 cm ISBN 978-987-1436-21-7. - Hoel …….[et.al.] (1971). Introduction to Probability Theory. Hougton Mifflin Company. Boston - Peña, Daniel (2001) Fundamentos de Estadística. Editorial Alianza. - Saino Martin (2009). Cálculo de Probabilidades. Guía de aplicaciones prácticas correspondiente a los Capítulos III a VI del programa de Estadística I. Asoc Coop F.C.E. (U.N.C.).
163
Anexo 1:
Lectura complementaria Repaso de Álgebra de Conjuntos •
Dado un conjunto A = {a, b, c}, la relación de pertenencia de sus elementos se simboliza con a ∈ A.
•
Se llama cardinal de un conjunto al número de elementos que contiene, y se simboliza con # (A).
•
Se llama conjunto vacío a aquél que no contiene ningún elemento, y se simboliza con φ.
•
Se llama conjunto universal a aquél formado por todos los elementos que se están considerando, y se simboliza con Ω.
•
Se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal Ω que no pertenecen al conjunto A, y se simboliza con A .
•
Se dice que B es un subconjunto de A si todos sus elementos pertenecen a A. Se simboliza con B ⊂ A y se dice que B está incluido en A.
•
Dados dos conjuntos A y B se llama unión de ambos al conjunto formado por los elementos que pertenecen sólo a A, sólo a B ó a ambos, y se simboliza con A ∪ B.
•
Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de ambos al conjunto formado por los elementos comunes que pertenecen a A y B, y se simboliza con A ∩ B.
•
Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si no poseen elementos en común, por lo que su intersección es el conjunto vacío, y se simboliza A ∩ B = φ.
•
El conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un universo dado se denomina Álgebra de Sucesos o Familia de Conjuntos, y se simboliza con Ŧ.
Repaso de Técnicas de Conteo Para el cálculo de probabilidades es necesario contar el número de resultados posibles de un experimento como también el número de resultados que son favorables a un evento dado. Este proceso de conteo puede simplificarse mediante el empleo de las denominadas técnicas de conteo. En este apartado sólo revisaremos las Permutaciones, Variaciones y Combinaciones.
164
•
Permutaciones Una Permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Dado un conjunto de n elementos, el número de permutaciones de esos n objetos es:
Pn =n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( 2 ) . (1) =n !
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
que es el producto de un entero positivo (n) por todos los que le preceden; expresión que se denota por n! y se lee “n factorial”. Dos permutaciones cualesquiera sólo difieren en el orden de sus elementos. •
Variaciones Una Variación es un arreglo en un orden particular de r objetos seleccionados a partir de un conjunto de n elementos. Dado un conjunto de n elementos, el número de variaciones de r elementos de esos n objetos es:
Vnr =
n! ( n − r )!
Dos variaciones cualesquiera pueden diferir en algún elemento o bien teniendo los mismos elementos en el orden de los mismos. •
Combinaciones Una Combinación es un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un conjunto de n elementos sin importar el orden de los mismos. Dado un conjunto de n elementos, el número de combinaciones de r elementos de esos n objetos es:
Cnr =
n! r !( n − r ) !
Dos combinaciones cualesquiera sólo difieren en algún elemento
165
Soluciones y respuestas al Capítulo 3 Guía de Estadística
Actividad 1 a) b) c) d) e)
Ω = {oro, basto, espada, copa} Ω = {N / 1≤ N ≤ 12 } Ω = {1, 2, 3,…..} Ω = {1, 2, 3,…..} Ω = {c1,c2,c3,c4,c5,c6,s1,s2,s3,s4,s5,s6}
Discreto (finito numerable) Discreto (finito numerable) Discreto (finito no numerable) Continuo Discreto (finito numerable)
Actividad 2 Ejemplo 1: Elegir al azar un estudiante de la Facultad de Ciencias Económicas e indagar sobre el sexo y si vive con sus padres. Ω = {(varón, si),(mujer, si),(varón, no),(mujer, no)} Discreto ( finito numerable) Resto: a cargo del alumno
Actividad 3 a) Ejemplo 1: A={varón que vive con sus padres}={(varón, si)} B={varón}={(varón, si),(varón, no)}
es un evento simple es un evento compuesto
Resto: a cargo del alumno b) A cargo del alumno. c) Ejemplo 1: B={varón}={(varón, si),(varón, no)} C={mujer}={(mujer, si),(mujer, no)} D={vive o no con sus padres}= {(varón, si),(mujer, si),(varón, no),(mujer, no)} B y C son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. D es evento cierto Resto: a cargo del alumno
166
Actividad 4 a) Que se trate de una parcela de nivel de producción alto. b) Que se trate de una parcela de la Zona C y que tenga un nivel bajo de producción. c) Que No pertenezca a la zona A (es decir que puede pertenecer a la zona B o C).
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
d) Que pertenezca a la zona A y B.
Actividad 5 Ese valor podría utilizarse como una medida de probabilidad sólo si el experimento se realiza un número grande de veces, es decir se consultan más alumnos.
Actividad 6 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Subjetivo Clásico Clásico Subjetivo Frecuencial Subjetivo Subjetivo Frecuencial Subjetivo Clásico
Actividad 7 B = Contador Público D = Licenciaturas (Administración o Economía) Total
A = varón 25
C = mujer 41
Total 66
21
13
34
46
54
100
a) P(A)= 46/100= 0.46 b) P(D) = 34/100 = 0.34 c) P( C U B) = P( C) + P(B) – P( C –∩41/100= B) = 54/10 0 + 66/10 0 79/100=0,79 d) P(A/D) = P( A ∩ D) / P( D) = (21/10 0 )/(34/10 0 ) = 0 .6176 e) P(A ∩ D) = 21/10 0 = 0 .21 f) P( A U C) = P(A) + P( C) = 46/100+54/100= 1 (Evento CIERTO) g) P( B ∩ D) = P( Ø ) = 0 (Evento IM POSIBLE) h) Son mutuamente excluyentes.
Actividad 8 a) P( venda entre $1330 y $1530) = 40/120 = 0.333 b) P( venda $1530 o más ) = (24+9+4 ) /120 = 37/120 = 0.308 c) Frecuencial
Actividad 9 a) b) c) d)
Los resultados posibles son 5: Ω = {(0),(1),(2),(3),(4 o más)} P(no vender productos) = 15/60 = 0.25 P(vender 1 producto) = 20/60 = 0.333 P(vender 3 o más productos) = (9+3)/60 = 12/60 = 0.20
167
Actividad 10 a) b) c) d) e) f) g)
P(AC) = 0.70 P(BC) = 0.40 P(A ∩ B) = 0.10 P(AC ∩ BC) = 0.20 P(AC ∩ B) = 0.50 P(A ∩ BC) = 0.20 P(AC ∪ BC) = 0.90
Actividad 11 A cargo del alumno
Actividad 12 1) Denotamos B ={bueno}, D ={defecto poco significativo} y G ={defecto grave} a) P(B) = 15/24 b) P(G) = 3/24 c) P(B U D) = P( B) + P( D) = 15/24 +6/24 = 21/24 2) Se toman dos artículos sin reposición a) P(D ∩ D) =6/24*5/23 = 0.0543 b) P(BC ∩ BC) = 9/24*8/23 = 0.1304 c) P{(B ∩ BC) (BC ∩ B) } = 15/24*9/23 + 9/24*15/23 = 0.4891 d) P(GC ∩ GC) = 21/24*20/23 = 0.7609 e) P(uno bueno) + P(los dos buenos) = P{(B ∩ BC) (BC ∩ B) }+ P(B ∩ B) = 0.4891 + 0.3804 = 0.8695
Actividad 13 a) P( M ∩ M ∩ M ) = 3/9* 2/8* 1/7 = 1/84 = 0.0119 b) P( V ∩ V ∩ V ) = 6/9* 5/8 * 4/7 = 5/21 = 0.2381 c) P{(V ∩ V ∩ V) U (M ∩ M ∩ M)} = 0.25 d) P(una mujer y dos varones) = P(M ∩ V ∩ V) + P(V ∩ M ∩ V) + P(V ∩ V ∩ M) =3/9*6/8*5/7+6/9*3/8*5/7+6/9*5/8*3/7 = 0.5357 e) La probabilidad es igual a 0. El evento es imposible porque solo hay 3 mujeres en el directorio.
Actividad 14 168
a) Subjetiva b) Sean A = {el producto A deja un margen de utilidad superior al 15%} y B = {el producto B deja un margen de utilidad superior al 15%} P(B/A) = P(B ∩ A)/P(A) = 0.08/0.25 = 0.32 c) A y B son independientes si P(B ∩ A) = P(B)*P(A) P(B ∩ A) = 0.08 ≠ P(B)*P(A) = 0.30*0.25 = 0.075 Como no se cumple la condición de independencia concluimos que A y B son estadísticamente dependientes.
Capítulo 3: Introducción a las probabilidades
Actividad 15 a) Falso porque si A y B son estadísticamente independientes entonces P(A/B)=P(A) y en este caso no se cumple: 0 ≠ 0.40 b) Verdadero porque P(A ∩ B) = P(A/B)*P(B) = 0*0.30 = 0 c) Verdadero porque P (AC/ B) = P(AC∩ B)/P(B) = 0.30/0.30 = 1.
Actividad 16 a) Falso porque no se cumple la condición de independencia P(A).P(B): 0 ≠ 0,20.0,40 b) Falso porque P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = 0,20 +0,40 – 0 = 0. c) Falso porque P(A/B) = 0/0,40 = 0.
P(A ∩ B) =
Actividad 17 La alternativa correcta es la c) “Cuando uno de los dos eventos es vacío y el producto de las probabilidades es igual a la probabilidad de la intersección de los mismos”. Sean A = ø tal que P(A) = 0 y B no vacío, entonces A y B son mutuamente excluyentes, es decir P(A ∩ B) = 0 y se cumple la condición de independencia P(A ∩ B) = P(A).P(B) ya que P(A).P(B) = 0.P(B) = 0
Actividad 18 Sean A1 = {artículo producido por máquina X20}, A2 = {artículo producido por máquina X21}, A3 = {artículo producido por máquina X22} y A4 = {artículo producido por máquina X23} tales que: P(A1) = 0.30, P(A2) = 0.25, P(A3) = 0.15 y P(A4) = 0.30 D = {artículo defectuoso} P(D/A1) = 0.02, P(D/A2) = 0.03, P(D/A3) = 0.05 y P(D/A4) = 0.07 P(D) = P(A1).P(D/A1)+P(A2).P(D/A2)+P(A3).P(D/A3)+ P(A4).P(D/A4)= P(D) = 0,30.0,02 + 0,25.0,03 + 0,15.0,05 + 0,30.0,07 = 0,042
Actividad 19
P(A2/D) = 0,1786
Actividad 20 a) Sean M = {mujer}, V = {varón}, U = {egresado de la Universidad}, P(U/M) = 0.50 P(M)=0.60 Curso P(V)=0.40
P(UC/M) = 0.50 P(U/V) = 0.75 P(UC/V) = 0.25
169
b) P(M ∩ U) = 0.30 c) P(M/U)= 0.50
Actividad 21 Sean B = {Talleres juega con Belgrano} y G = {Talleres gana el partido} tales que P(B) = 0.07 , P(G/B) = 0.95 y P(G/BC) = 0.10. a) P(GC/B) = 0.05 b) P(B/G) = 0.417
Actividad 22 Sean A = {artículo producido por la máquina A}, B = {artículo producido por la máquina B} y D= {artículo defectuoso}, tales que P(A) = 0.40, P(B) =0.60, P(D/A) = 0.20 y P(D/B)= 0.15. P(B/D) = 0.529
170
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