Lista Aula 16 - Geometria Analitica (10)

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Aula 16 – Geometria analítica continuação 1 - Determine a altura relativa ao vértice A do triângulo A(1; 1), B(-1; -3) e C(2; -7).

2 - Determinar a distância do ponto P(6; 5) à reta que passa pelos pontos A(-3; 1) e B(5; -1).

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A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto. 1. (–5, 0). 2. (–3, 1).

3. (–2, 1). 4. (0, 4). 5. (2, 6). 4 – O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada b.

5 - Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades. Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.

6 - Determinar a equação geral (ou normal) da circunferência de centro C (-1 , -3) e raio r = 4 . 7 - Questão 1 (PM ES 2013 – Exatus). Dadas as retas r e s, determinadas respectivamente pelas equações 2x + y = 3 e 3x – 4y = -23, é correto afirmar que r e s são retas: a) concorrentes b) iguais c) paralelas d) perpendiculares 8 - Qual é a posição da reta r, de equação 15x + 10y - 3 = 0, em relação à reta s, de equação

9x + 6y - 1 = 0?

9 - Qual é a posição da reta r, de equação 6x + 4y - 3 = 0, em relação a reta s, de equação 9x + 6y - 1 = 0?

10 - Para que valores de “a” as retas p: 2x + (a – 2)y – 5 = 0 e q: 4x + ay – 1 = 0, respectivamente, são concorrentes?

Gabarito 1 - Resposta correta: Solução: repare que a altura relativa ao vértice A é a distância do ponto A até a reta BC! Assim, vamos calcular a equação da reta BC primeiro: m=−7−(−3)/2−(−1)=−43 y+3=(−4/3)(x+1)→3y+9= −4x−4→4x+3y+13=0 Pronto! Temos todas as informações necessárias, basta aplicar a fórmula:1 d=|ax0+by0+c|/√a^2+b^2= |4⋅1+3⋅1+13|/√4^2+3^2= |20|/5=4 Caso não tenha entendido a resolução acesse: https://querobolsa.com.br/enem/matematica/distancia-entre-ponto-e-reta Exemplo 1 2 – Resposta correta: Solução: primeiros, vamos determinar a reta {AB} e, então, aplicar a fórmula da distância de ponto à reta. m=y−y0/ x−x0= 1−(−1)/(−3−5)=2/−8=−1/4 y−1=(−1/4)(x−(−3))→4y−4=−x−3→4y+x−1=0 ATENÇÃO! Não confunda o x0x0 e o y0y0 aqui em cima com os mesmos da fórmula! O x0x0 e o y0y0 da fórmula da distância faz referência as coordenadas do ponto, já o x0x0 e o y0y0 da fórmula da reta acima, faz referência as coordenadas dos pontos que passam pela reta! Caso queira saber mais, veja o nosso conteúdo de equação da reta! Assim, aplicando a fórmula: d=|ax0+by0+c|/√ a^2+b^2 =|1⋅6+4⋅5−1|√ 1^2+4^2 = (|25|/√17). |/(√17/√17)= 25√17/17 Caso não tenha entendido a resolução acesse: https://querobolsa.com.br/enem/matematica/distancia-entre-ponto-e-reta Exemplo 2 3 – Resposta correta Apenas os pontos B(–3; 1), D(0; 4) e E (2; 6), correspondentes às alternativas propostas, pertencem à reta de equação y = x + 4. A distância do ponto P ao ponto B é: √[–5 – (–3)]² + (5 – 1)² = √20 < 5 Logo, a estação prevista em (–3; 1) satisfaz o pedido da comunidade. Caso não tenha entendido a resolução acesse: https://descomplica.com.br/gabaritoenem/questoes/2011/segundo-dia/um-bairro-de-uma-cidade-foi-planejado-em-umaregiao-plana-com-ruas-paralelas-e-perpendiculares/

4 – Resposta correta: Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25. Considerando que o ponto P (3, b) pertença à circunferência, então: x² + (y – 3)² = 25 3² + (b – 3)² = 25 9 + (b – 3)² = 25 (b – 3)² = 25 – 9 (b – 3)² = 16 b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4 b = 4 + 3 ou b = –4 + 3 b = 7 ou b = –1 A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1. 5 – Resposta correta: A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é:

(x−a)2+(y−b)2=R2 Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então:

(x−2)2+[y−(−3)]2=(5)2⇒ ⇒(x−2)2+(y+3)1=52⇒ ⇒x2+y2−4x+6y−12=0 x2+y2−4x+6y−12=0 6 -Resposta correta: (x−a)^2+(y−b)^2=r^2⇒[x−(−1)]^2+[y−(−3)]^2=42⇒ ⇒(x+1)^2+(y+3)^2=16⇒ Desenvolvendo os quadrados das somas: x^2+2x+1+y^2+6y+9=16⇒ ⇒x^2+y^2+2x+6y−6=0⇒ Resposta: x^2+y^2+2x+6y−6=0 Caso não tenha entendido a resolução acesse: http://hugeexerciselist.com/index.php?ui=equa%26ccedil%3B%26atilde%3Bo%20da% 20circunfer%26ecirc%3Bncia&tag=original Exercício 4

7 – Resposta correta: Vamos descobrir se as retas têm pontos em comum, para isto, devemos substituir uma reta na outra, conforme abaixo: Na equação da reta r temos: y = 3 – 2x Substituindo na equação da reta s: 3x – 4(3 – 2x) = -23 3x – 4.3 + 4.2x = -23 3x + 8x – 12 = -23 11x = -23 + 12 11x = -11 x = -11/11 = -1 Voltando a equação da reta r, agora com o valor de x = -1: y = 3 – 2x = 3 – 2(-1) = 3 + 2 = 5 Assim, o ponto em comum é (-1, 5) e as retas são concorrentes. Resposta: A 8- Resposta correta:

9 – Respostas correta:

10 – Resposta correta: