Física 1- Semana 5

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA Nessa parte da física nos preocuparemos com os estudos dos movimentos dos corpos. Aristóteles (séc. IV a.C.) acreditava que os corpos só poderiam se mover quando estão submetidos a atuação de forças. Já Galileu (séc. XVI) , nos seus estudos de movimento dos corpos, percebeu que, na ausência de forças, os móveis se movimentam com velocidade constante (pode ser constante igual ou diferente de zero, ou seja, se movem em M.U. ou estão em repouso). Newton continuou os estudos de Galileu e, no final do séc. XVII e no início do séc. XVIII, publicou um dos livros de maior influência na história da Ciência, o Principia, divido em 3 volumes. O livro aborda o estudo dos movimentos dos corpos ( inclusive dos corpos celestes, trabalhando Gravitação), baseado nas famosas três leis da dinâmica ou três leis de Newton.

1ª LEI (OU LEI DA INÉRCIA) “Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças impressas nele”. Essa lei retrata o Princípio da Inércia dos corpos. Se um ponto material estiver livre da ação de forças, sua velocidade vetorial permanece constante. Galileu, estudando uma esfera em repouso sobre um plano horizontal, observou que, empurrando-a com determinada força, ela se movimentava. Cessando o empurrão, a esfera continuava a se mover até percorrer determinada distância. Verificou, portanto, que a esfera continuava em movimento sem a ação de uma força e que a esfera parava em virtude do atrito entre a esfera e o plano horizontal. Polindo o plano horizontal, observou que o corpo se movimentava durante um percurso maior após cessar o empurrão. Se pudesse eliminar completamente o atrito, a esfera continuaria a se movimentar indefinidamente em movimento retilíneo e uniforme. Imagine um bloco amarrado a um fio realizando um movimento circular em uma superfície horizontal. Conforme discutimos no módulo 2, apesar de o módulo da velocidade poder ser constante, o vetor velocidade não é. O que faz a direção e o sentido do vetor mudarem o tempo todo é a atuação de uma força no bloco. Nesse caso, a força que o fio faz, apontando para o centro da trajetória, chamada de Tração. Quando um carro realiza uma curva horizontal, é a força de atrito entre o pneu e o asfalto que promove a alteração no vetor velocidade (pista com baixo atrito são mais difíceis de realizar uma curva). Então qual é a relação entre força e movimento? Força é a grandeza física capaz de alterar o movimento de um corpo. A 2ª lei trata dessa questão:

A soma vetorial das forças que atuam em um corpo de massa m faz com que este sofra alteração de velocidade, ou seja, adquira aceleração. Este é o princípio fundamental da dinâmica. A unidade no S.I. referente a massa é Kg e a unidade no S.I. de força é N (Newton). Observação Como a massa é um escalar positivo, o vetor aceleração tem a mesma direção e sentido que o vetor resultante das forças.

FORÇAS PARTICULARES PESO Corpos massivos no Universo deformam o espaço ao seu redor, atraindo outros corpos massivos. Se uma partícula, por exemplo, estiver se movendo próxima a superfície da Terra, pode ser que sofra alteração no seu vetor velocidade. Mudando a velocidade, há aceleração. Havendo aceleração, há força. Como não há ação direta (não há nada ligando a Terra ao corpo que se move próximo a ela), dizemos que há atuação de um campo. Nesse caso, há atuação de um campo gravitacional1. A aceleração que a partícula sofre quando está sob atuação do campo gravitacional chamase gravidade. A partícula que está no campo gravitacional da Terra está submetida à força Peso. O módulo do vetor gravidade na superfície da Terra vale aproximadamente 10 m/s2. Já na Lua, por exemplo, vale aproximadamente 1,6 m/s2. A gravidade do corpo celeste depende de seu raio e da sua massa. Por isso os valores são diferentes. Então:

  P = mg

Exercício Resolvido 01. Qual o módulo da força Peso que um menino de 60 kg de massa sofre na superfície da Terra? E da Lua? Resolução: Na Terra: P = mg = 60 . 10 = 600N Na Lua: P = mg = 60 . 1,6 = 96N

2ª LEI Se na ausência de força o corpo não sofre alteração de velocidade, podemos inferir que, quando a soma das forças que atuam em um corpo é diferente de zero, a sua velocidade sofre mudanças (seja mudança de direção, sentido, ou até mesmo no módulo). Ao ser aplicada uma força em um objeto, a mudança na sua velocidade vai depender da sua massa:

F

Observação Note que a massa não muda, independentemente de onde o corpo estiver.

ma

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

FORÇAS DE CONTATO

Observação

NORMAL Quando um objeto está no chão, em uma parede ou até mesmo em outro objeto, está exercendo uma força nessa superfície. Essa força de contato é chamada de Normal. Este nome é dado porque a força tem sempre uma direção normal (perpendicular) à superfície. Veja as figuras abaixo:

De modo geral a força de atrito é oposta a tendência de movimento do corpo. Se for um objeto deslizando, por exemplo, isso funciona. Mas se pensarmos em uma esfera rolando, a situação muda. A esfera não poderia rolar se não houvesse atrito. É o atrito que gera o movimento.

Exercício Resolvido

F

02. Um corpo de massa 10 kg sofre a atuação de uma força de intensidade F. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície vale 0,5 e o coeficiente de atrito cinético vale 0,3. a) se F = 20N, qual a intensidade da Fat? b) se F = 50N, qual a intensidade da Fat? c) se F = 60N, qual a intensidade da Fat? Resolução: a) A força de atrito estático máxima vale: Fatemáx = µe · N = 0,5 · 100 = 50N, então se F ≤ 50N, o bloco permanecerá em repouso. Note que a força Normal é normal à superfície em ambos os casos.

ATRITO

FAT

F

A força de atrito é um tipo de força de contato, assim como a normal. Existem dois tipos de atritos: atrito estático (FATe) e o atrito cinético (ou dinâmico, FATc). Como o nome já nos diz, a força de atrito estático atua em corpos em repouso e a força de atrito cinético atua em corpos em movimento. Veja os exemplos a seguir:

bloco em repouso

bloco em movimento v=0

FATe

F

v FATc

F

figura 1

figura 2

Na situação onde o bloco está em repouso, sabemos que F = Fate. Existe um determinado valor de F que o bloco ficará na iminência de movimento. Esse valor é quando a força de atrito estático alcança sua máxima intensidade (Fatemáx). Se F > Fatemáx, o bloco começará a se mover e, portanto, o atrito será cinético, conforme a figura 2. A intensidade do Fatemáx vai depender do coeficiente de atrito estático (µe) entre o bloco e a superfície e da força normal (N) de contato entre bloco e superfície. Assim: Fatemáx = µe·N Uma vez que o bloco está se movendo teremos Fatc: Fatc = µc·N, onde µc é o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície. A saber, µe > µc. O sentido da força de atrito estático é oposto a tendência do movimento. Já o do atrito cinético, é oposto ao vetor velocidade.

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Assim sendo, para manter o equilíbrio:

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F = Fat = 20N

b) Se F = 50N, Fat = 50N. Nesse caso, o bloco está na iminência de movimento. c) F > Fatemáx ⇒ o bloco está se movendo. Não importa qual seja a velocidade do bloco. Se estiver em movimento, o atrito é cinético, ou seja, constante é igual a: Fatc = µc · N = 0,3 · 100 = 30N Note que:

F

FAT



F – Fat = m · a 60 – 30 = 10 · a 30 = 10 · a a = 3 m/s²

TRAÇÃO É a força realizada por fios e cabos.

FORÇA ELÁSTICA É a força realizada por elásticos e molas. Para deformar mais uma mola, por exemplo, temos que aumentar a força aplicada, ou seja, a força elástica é proporcional à deformação/elongação que sofre (seja encolhendo ou esticando). Além disso, dependendo do material de que é feita ou de sua espessura, a força aplicada para deformá-la muda também. A força aplicada pela distância deformada chama-se constante elástica (k). Em módulo temos que: F = Kx De fato, ao comprimirmos uma mola para esquerda, a força elástica será horizontal para direita. Ao ser esticada para direita, a força elástica apontará para esquerda. Então, vetorialmente,

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

Como podemos ver atuam em corpos diferentes:

F = – KX Essa é a Lei de Hooke, onde x é a deformação elástica. Além dessas forças que estudaremos inicialmente, também virão outras ao longo do curso, como: empuxo, força elétrica e força magnética.

Com o entendimento dessas três leis podemos entender o movimento dos corpos. Exemplos: a) Bloco apoiado sobre um apoio horizontal.

Vamos voltar à Normal. Contato é algo mútuo. Um corpo está em contato com uma superfície aplicando, sobre esta, uma força. Para a superfície, o objeto está em contato com ela, aplicando, sobre este, a mesma força normal. Assim temos a 3ª e última lei:

3ª LEI Essa lei baseia-se no princípio de ação e reação. Se um corpo A aplica uma força em outro corpo B, então B aplicará em A uma força de mesmo módulo e direção, porém de sentido oposto. Dizemos que a força que A faz em B e a que B faz em A formam um par de ação-reação:

FAB  –FBA

b) Bloco sobre um apoio inclinado.

Por exemplo, assim como a Terra atrai a Lua, a Lua também atrai a Terra, com uma força de mesmo módulo e sentidos opostos. A força que um livro faz na mesa é a mesma que a mesa aplicará no livro. Nesse último caso perceba que, como o livro está em repouso na mesa, a soma das forças que atuam nele é zero. Como só atuam peso e normal, podemos dizer que, nesse caso, seus módulos são iguais. Se a mesa estivesse inclinada e o bloco permanecesse em repouso, não poderíamos mais falar que os módulos serão iguais, já que possuem direções de atuação diferentes. Quando a mesa está na horizontal o peso aponta para baixo e a normal para cima. Mesma direção, sentidos opostos. Já no plano inclinado, o peso continua apontando para baixo (no sentido do centro do planeta), mas a normal é perpendicular ao plano. c) Escada apoiada na parede e no chão.

 N

θ

 P

Observação Como a normal é a força que o plano faz no corpo e a força peso é a força que o planeta faz no corpo, peso e normal não formam par de ação-reação. Neste caso: A força que o bloco faz na mesa e a força que a mesa faz no bloco formam par de ação e reação. A força que a Terra faz no bloco é igual a que o bloco faz na Terra.

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

EXERCÍCIOS DE

Observação

FIXAÇÃO

Dinâmica no Plano Inclinado Sem Atrito

 N

01. Suponha que uma esfera de aço desce deslizando, sem atrito, um plano inclinado. Pode-se afirmar corretamente que, em relação ao movimento da esfera, sua aceleração

θ

 P

a) aumenta e sua velocidade diminui. b) e velocidade aumentam. c) é constante e sua velocidade aumenta. d) e velocidade permanecem constantes.

Para resolvermos qualquer exercício de dinâmica siga os passos a seguir: 1. Marcar todas as forças que atuam no corpo. 2. Achar a linha de movimento (direção do vetor velocidade). 3. Achar as forças ou as componentes das forças que atuam somente na direção do movimento e na direção perpendicular a este. 4. Identificar o sentido do vetor aceleração (caso haja).

02. Na teoria de Newton, o conceito de força desempenha um importante papel para o estudo dos movimentos dos objetos. Esse conceito pode ser associado à capacidade de colocar um objeto em movimento bem como de trazê-lo ao repouso. Com base nessa teoria, o airbag – dispositivo de segurança dos automóveis que aciona uma reação química produtora de um gás capaz de encher rapidamente um balão de ar – diminui o risco de morte durante as colisões, devido a sua capacidade de

5. Somar os módulos (das componentes) das forças que atuam no sentido do vetor aceleração e subtrair com a soma das componentes que atuam no sentido oposto. Essa será a força resultante.

a) reduzir o valor da inércia do ocupante do veículo.

6. Iguale a resultante a m.a.

d) aumentar o tempo necessário para o ocupante do carro entrar em repouso.

Vamos usar esses passos para resolvermos o problema do plano inclinado: 1. As forças estão marcadas na figura acima 2. A linha de movimento é paralela ao plano inclinado. 3. A Normal já está na direção perpendicular ao movimento, mas o Peso não. Vamos achar as componentes da força peso. A componente perpendicular ao movimento, Py, na direção da Normal e a componente paralela ao movimento, Px:

b) direcionar o impacto para a estrutura metálica do veículo. c) aplicar uma força no mesmo sentido de movimento do carro.

03. Um corpo de massa 3 kg encontra-se em repouso sobre uma trajetória retilínea. Sob ação de uma força resultante, constante, atinge, após 8 segundos, a velocidade de 144 km/h. A intensidade da força resultante que age no corpo, em N, é a) 3

c) 9

b) 12

d) 6

e) 15

04. Um bloco de massa m = 3 kg, inicialmente em repouso, é puxado sobre uma superfície horizontal sem atrito por uma força de 15 N durante 2 s (conforme desenho).

Nessas condições, é possível afirmar que quando o objeto tiver percorrido 50 m, a sua velocidade, em m/s, será de

Perceba que: P y = Pcosθ P x = Psenθ O sentido do vetor aceleração é o mesmo da componente Px. Px é a resultante, já que não há força no sentido oposto ao do vetor aceleração. Psenθ = ma ∴ mgsenθ = ma ∴ a = gsenθ

a) 5

c) 15

b) 7,5

d) 20

e) 10

05. Três pessoas A, B e C elevam, cada uma delas, uma caixa de massa igual a 22 kg a uma altura de 2,0 m. A pessoa A eleva a caixa com uma velocidade constante de 4,0 m/s. B eleva a caixa com uma velocidade constante de 2,0 m/s e C eleva a caixa com uma aceleração constante de 2,0 m/s². Considerando desprezíveis as resistências do ar em cada caixa e denominando de FA, FB e FC as forças verticais exercidas, respectivamente, pelas pessoas A, B e C, tem-se que a) FA = FB = FC.

c) FA < FB = FC.

b) FA = FB < FC.

d) FA > FB = FC.

06. Na figura abaixo, duas forças de intensidade FA = 20 N e FB = 50 N são aplicadas, respectivamente, a dois blocos A e B, de mesma massa m, que se encontram sobre uma superfície horizontal sem atrito. A força FB forma um ângulo θ com a horizontal, sendo sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8.

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

a) mudará sua massa no movimento ascendente do elevador. b) diminuirá seu peso quando o elevador descer acelerado. c) terá seu peso inalterado pelo movimento acelerado do elevador. d) terá o peso indicado pela balança quando o elevador estiver parado. e) aumentará sua massa quando o elevador estiver subindo acelerado. A razão aB/aA entre os módulos das acelerações aB e aA, adquiridas pelos respectivos blocos B e A, é igual a a) 0,25

c) 2

b) 1

d) 2,5

e) 4

10. Sobre um plano inclinado é colocada uma caixa em repouso e fixada a um cabo inextensível de massa desprezível. Não existe atrito entre a caixa e o plano inclinado.

07. Considere a máquina de Atwood a seguir, onde a polia e o fio são ideais e não há qualquer atrito. Considerando que as massas de A e B são, respectivamente, 2M e 3M, e desprezando a resistência do ar, qual a aceleração do sistema? (Use g = 10 m/s²)

Qual será a aceleração da caixa ao se cortar o cabo?

g 2 b) g a)

a) 5 m/s² b) 3 m/s² c) 2 m/s² d) 10 m/s²

e)

3

g 2

EXERCÍCIOS DE

e) 20 m/s² 08. Um trator com 2.000 kg de massa puxa um arado igual a 80,0 kg, exercendo sobre ele uma força de 200 N. O conjunto trator e arado desloca-se horizontalmente para a direita com uma aceleração de 0,500 m/s². A força de resistência que o solo exerce no arado tem módulo, em Newton, igual a a) 40,00

g 3 2g d) 3 c)

b) 160,00

c) 240,00

d) 1280

TREINAMENTO 01. Três blocos A, B e C de massas 4 kg, 6 kg e 8 kg, respectivamente, são dispostos, conforme representado no desenho abaixo, em um local onde a aceleração da gravidade g vale 10 m/s².

09. Pedro, ao se encontrar com João no elevador, inicia uma conversa, conforme a charge a seguir.

Desprezando todas as forças de atrito e considerando ideais as polias  e os fios, a intensidade da força horizontal F que deve ser aplicada ao bloco A, para que o bloco C suba verticalmente com uma aceleração constante de 2 m/s², é de: a) 100 N

c) 124 N

b) 112 N

d) 140 N

e) 176 N

02. Deseja-se imprimir a um objeto de 5 kg, inicialmente em repouso, uma velocidade de 15 m/s em 3 segundos. Assim, a força média resultante aplicada ao objeto tem módulo igual a: De acordo com as informações da charge, verifica-se que João

a) 3 N

c) 15 N

b) 5 N

d) 25 N

e) 45 N

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

03. Um elevador possui massa de 1500 kg. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², a tração no cabo do elevador, quando ele sobe vazio, com uma aceleração de 3 m/s², é de: a) 4500 N

c) 15500 N

b) 6000 N

d) 17000 N

e) 19500 N

04. Um corpo de massa igual a 4 kg é submetido à ação simultânea e exclusiva de duas forças constantes de intensidades iguais a 4 N e 6 N, respectivamente. O maior valor possível para a aceleração desse corpo é de: a) 10,0 m/s²

c) 4,0 m/s²

b) 6,5 m/s²

d) 3,0 m/s²

e) 2,5 m/s²

c) 170

b) 145

d) 190

P ⋅L 8⋅F P ⋅L b) 6⋅F a)

c)

05. Considere uma força horizontal F aplicada sobre a cunha 1, de massa m1 = 8,50 kg, conforme mostra a figura abaixo. Não há atrito entre a cunha e o chão, e o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o bloco 2, de massa m2 = 8,50 kg, vale 0,200. O maior valor de F, em newtons, que pode ser aplicado à cunha, sem que o bloco comece a subir a rampa é  Dados: g = 10,0 m s2 ; sen θ = 0,600; cos θ = 0,800

a) 85,0

uma parede por meio de uma articulação em A. Em um ponto X da barra é aplicada uma força de intensidade F e na sua extremidade B está presa uma corda do sistema polias-cordas. Desprezando as forças  de atrito, o valor da distância AX para que a força F mantenha a barra AB em equilíbrio na posição horizontal é

P ⋅L 4 ⋅F

P ⋅L 3⋅F P ⋅L e) 2⋅F d)

08. Uma pessoa de massa igual a 80 kg está dentro de um elevador sobre uma balança calibrada que indica o peso em newtons, conforme desenho abaixo. Quando o elevador está acelerado para cima com uma aceleração constante de intensidade a = 2,0 m/s², a pessoa observa que a balança indica o valor de

e) 340

06. A figura abaixo mostra um sistema em equilíbrio estático, formado por uma barra homogênea e uma mola ideal que estão ligadas através de uma de suas extremidades e livremente articuladas às paredes. Quando necessário, use: g = 10 m/s² sen 37° = 0,6 cos 37° = 0,8

Dado: intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s² a) 160 N

c) 800 N

b) 640 N

d) 960 N

e) 1600 N

09. Um carrinho é puxado em um sistema sem atrito por um fio inextensível numa região de aceleração gravitacional igual a 10 m/s², como mostra a figura.

A barra possui massa m e comprimento L0, a mola possui comprimento natural L0 e a distância entre as articulações é de 2 L0. Esse sistema (barra-mola) está sujeito à ação da gravidade, cujo módulo da aceleração é g e, nessas condições, a constante elástica da mola vale a)

m ⋅ g ⋅ L0 −1 4

(

)

3 −1

b) m ⋅ g ⋅ L0

-1

c) 2m ⋅ g ⋅ L0-1 d)

m⋅g 6 −2

07. O desenho abaixo representa um sistema composto por cordas e polias ideais de mesmo diâmetro. O sistema sustenta um bloco com peso de intensidade P e uma barra rígida AB de material homogêneo de comprimento L. A barra AB tem peso desprezível e está fixada a

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Sabendo que o carrinho tem massa igual a 200 g sua aceleração, em m/s², será aproximadamente: a) 12,6

c) 9,6

b) 10

d) 8

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

10. Analise a figura abaixo.

Na figura acima, tem-se um bloco de massa m que se encontra sobre um plano inclinado sem atrito. Esse bloco está ligado à parte superior do plano por um fio ideal. Sendo assim, assinale a opção que pode representar a variação do módulo das três forças que atuam sobre o bloco em função do ângulo de inclinação θ. a)

d)

b)

e)

Nessas condições, a expressão da força responsável por mover esse bloco a partir do repouso, para quaisquer valores de θ e α que fazem funcionar corretamente o brinquedo, é dada por a) P sen (θ + α)

c) P sen α

b) P sen (θ - α)

d) P sen θ

13. Assinale a alternativa que representa corretamente a função da posição (x) em relação ao tempo (t) de um bloco lançado para baixo a partir da posição inicial (x0) com módulo da velocidade inicial (v0) ao longo do plano inclinado representado a seguir.

OBSERVAÇÕES:

c)

1. desconsiderar qualquer atrito; 2. considerar o sistema de referência (x) com a posição zero (0) no ponto mais baixo do plano inclinado; 3. admitir a orientação do eixo “x” positiva ao subir a rampa; e 4. g é o módulo da aceleração da gravidade.

g ⋅ sen ( θ) ⋅ t 2 2 g ⋅ sen ( θ) ⋅ t 2 b) x = x 0 − v 0 ⋅ t − 2 g ⋅ cos ( θ) ⋅ t 2 c) x = x 0 − v 0 ⋅ t − 2 g ⋅ t2 d) x = x 0 − v 0 ⋅ t − 2 a) x =−x 0 + v 0 ⋅ t +

11. Em Júpiter a aceleração da gravidade vale aproximadamente 25 m/s² (2,5 x maior do que a aceleração da gravidade da Terra). Se uma pessoa possui na Terra um peso de 800 N, quantos newtons esta mesma pessoa pesaria em Júpiter? (Considere a gravidade na Terra g = 10 m/s²). a) 36

c) 800

b) 80

d) 2.000

12. Em alguns parques de diversão há um brinquedo em que as pessoas se surpreendem ao ver um bloco aparentemente subir uma rampa que está no piso de uma casa sem a aplicação de uma força. O que as pessoas não percebem é que o piso dessa casa está sobre um outro plano inclinado que faz com que o bloco, na verdade, esteja descendo a rampa em relação a horizontal terrestre. Na figura a seguir, está representada uma rampa com uma inclinação α em relação ao piso da casa e uma pessoa observando o bloco (B) “subindo” a rampa (desloca-se da posição A para a posição C). Dados:

14. Uma esfera, de dimensões desprezíveis, sob ação de um campo gravitacional constante, está inicialmente equilibrada na vertical por uma mola. A mola é ideal e se encontra com uma deformação x, conforme ilustrado na figura 1.

1. a pessoa, a rampa, o plano inclinado e a casa estão todos em repouso entre si e em relação a horizontal terrestre.

Quando necessário, use:

2. considere P = peso do bloco.

Calor específico da água: c = 1,0 cal/g°C;

3. desconsidere qualquer atrito.

sen= 45° cos= 45°

Aceleração da gravidade: g = 10 m/s²; 2 2.

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

O sistema esfera-mola é posto, em seguida, a deslizar sobre uma superfície horizontal, com velocidade constante, conforme indicado na figura 2. Nessa situação, quando o ângulo de inclinação da mola é θ, em relação à horizontal, sua deformação é y.

17.

Nessas condições, o coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície horizontal vale a)

cos θ x − sen θ y

c)

x sen θ x + y cos θ

d) y cos θ x sen θ

b) x y

15. A figura que se segue mostra uma plataforma, cuja massa é de 100 kg, com um ângulo de inclinação de 30° em relação à horizontal, sobre a qual um bloco de 5 kg de massa desliza sem atrito. Também não há atrito entre a plataforma e o chão, de modo que poderia haver movimento relativo entre o sistema e o solo. Entretanto, a plataforma é mantida em repouso em relação ao chão por meio de uma corda horizontal que a prende ao ponto A de uma parede fixa.

A figura acima mostra um conjunto massa-mola conectado a uma roldana por meio de um cabo. Na extremidade do cabo há um recipiente na forma de um tronco de cone de 10 cm x 20 cm x 30 cm de dimensões (diâmetro da base superior x diâmetro da base inferior x altura) e com peso desprezível. O cabo é inextensível e também tem peso desprezível. Não há atrito entre o cabo e a roldana. No estado inicial, o carro encontra-se em uma posição tal que o alongamento na mola é nulo e o cabo não se encontra tracionado. A partir de um instante, o recipiente começa a ser completado lentamente com um fluido com massa específica de 3000 kg/m³. Sabendo que o coeficiente de rigidez da mola é 3300 N/m e a aceleração da gravidade é 10 m/s², o alongamento da mola no instante em que o recipiente se encontrar totalmente cheio, em cm, é igual a a) 0,5

c) 5,0

b) 1,5

d) 10,0

e) 15,0

18. Sobre uma superfície sem atrito, há um bloco de massa m1 = 4,0 kg sobre o qual está apoiado um bloco menor de massa m2 = 1,0 kg. Uma corda puxa o bloco menor com uma força horizontal F de módulo 10 N, como mostrado na figura abaixo, e observa-se que nesta situação os dois blocos movem-se juntos. A tração na referida corda possui módulo de: a) 25 N 2 b) 25 N

c) 25 3 N d) 25 N 4

e)

25 3N 2

16. No interior de um carrinho de massa M mantido em repouso, uma mola de constante elástica k encontra-se comprimida de uma distância x, tendo uma extremidade presa e a outra conectada a um bloco de massa m, conforme a figura. Sendo o sistema então abandonado e considerando que não há atrito, pode-se afirmar que o valor inicial da aceleração do bloco relativa ao carrinho é

a) kx / m b) kx / M c) kx / (m + M) d) kx (M – m) / mM e) kx (M + m) / mM

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A força de atrito existente entre as superfícies dos blocos vale em Newtons: a) 10

c) 40

b) 2,0

d) 13

e) 8,0

19. A figura a seguir ilustra dois blocos A e B de massas MA = 2,0 kg e MB = 1,0 kg. Não existe atrito entre o bloco B e a superfície horizontal, mas há atrito entre os blocos. Os blocos se movem com aceleração de 2,0 m/s2 ao longo da horizontal, sem que haja deslizamento relativo entre eles. Se sen (θ) = 0,60 e cos (θ) = 0,80, qual o módulo, em newtons, da força F aplicada no bloco A?

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

Caso um avião voe em velocidade constante e permaneça à mesma altitude, é correto afirmar que o somatório das a) forças verticais é nula e a das horizontais, não nula. b) forças horizontais é nula e a das verticais, não nula. c) forças horizontais e verticais é nula. d) forças positivas é nula. e) forças negativas é nula. 20. Suponha um bloco de massa m = 2 kg inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. Uma força F = 16 N é aplicada sobre o bloco, conforme mostra a figura a seguir.

23. Para se levar caixas contendo mercadorias ao topo de uma montanha em uma estação de esqui, usa-se um trenó para subir uma rampa cuja inclinação é θ = 30°. O trenó é puxado por um motor e sobe com uma velocidade constante de 7,5 m/s.

Qual é a intensidade da reação normal do plano de apoio e a aceleração do bloco, respectivamente, sabendo-se que sen 60° = 0,85, cos 60° = 0,50 e g = 10 m/s²? a) 6,4 N e 4 m/s²

d) 16,0 N e 8 m/s²

b) 13, 6 N e 4 m/s²

e) 8,00 N e 8 m/s²

c) 20,0 N e 8 m/s² 21. O austríaco Felix Baumgartner conquistou no dia 11 de novembro de 2012 a marca do salto de paraquedas mais alto da história. Felix, a bordo de um balão meteorológico, saltou da altura de 39 km. O seu salto, em queda livre, durou 4 minutos e 20 segundos, atingindo uma velocidade máxima de 1342,8 km/h. Considerando-se desprezível a resistência do ar, e que a aceleração da gravidade é constante (g = 10m/s²), quanto tempo ele levou para atingir a velocidade máxima? Na presença da força de resistência do ar, tem-se que seu módulo é diretamente proporcional ao produto de sua massa pelo quadrado da velocidade. Obtenha o valor deste coeficiente de proporcionalidade em m–1.

Dado: g = 10 m/s² Em dado instante do transporte de mercadorias, a última caixa se desprende, estando à altura h = 5 m. Considerando que o atrito é desprezível na rampa e que a caixa fica livre a partir do instante em que se solta, a) desenhe um diagrama contendo as forças que atuam sobre a caixa e determine sua aceleração; b) calcule o tempo que a caixa levará para retornar à base da rampa. 24. O sistema a seguir apresenta aceleração de 2 m/s² e a tração no fio é igual a 72 N. Considere que a massa de A é maior que a massa de B, o fio é inextensível e não há atrito na polia. A diferença entre as massas desses dois corpos é igual a (Considere g = 10 m/s².)

22. Os aviões voam porque o perfil aerodinâmico de suas asas faz com que o ar que passa por cima e por baixo delas ocasione uma diferença de pressão que gera o empuxo. a) 1 kg b) 3 kg c) 4 kg d) 6 kg

Esta força de empuxo é que permite ao avião se sustentar no ar. Logo, para que o avião voe, as hélices ou turbinas do avião é que empurram o ar para trás, e o ar reage impulsionando a aeronave para a frente. Desta forma, podemos dizer que o avião se sustenta no ar sob a ação de 4 forças: - a motora ou propulsão; - de resistência do ar ou arrasto; - a peso;

25. Considere uma mola de comprimento inicial igual a L0 e um bloco de massa igual a m, conforme a figura 1. Com esses dois objetos e mais uma prancha de madeira, constrói-se um sistema mecânico, em que uma das extremidades da mola foi presa a uma das faces do bloco e a outra extremidade presa a um suporte na prancha de madeira, conforme mostra a figura 2. O sistema permanece em equilíbrio estático após a mola ter sofrido uma deformação x assim que o bloco foi abandonado sobre a prancha. Sabe-se que o coeficiente de atrito estático entre as superfícies de contato do bloco e da prancha é igual a µe. O sistema está inclinado de um ângulo igual a θ em relação ao plano horizontal e o módulo da aceleração da gravidade, no local do experimento, é igual a g. Com base nessas informações, a expressão algébrica que permite determinar o valor da constante elástica k da mola é dada por:

- a de empuxo ou sustentação.

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

03. (MACKENZIE 2010) Os blocos A e B a seguir repousam sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Em uma primeira experiência, aplica-se a força de intensidade F, de direção horizontal, com sentido para a direita sobre o bloco A, e observa-se que o bloco B fica sujeito a uma força de intensidade f1. Em uma segunda experiência, aplicase a força de intensidade F, de direção horizontal, com sentido para a esquerda sobre o bloco B, e observa-se que o bloco A fica sujeito a uma força de intensidade f2. Sendo o valor da massa do bloco A triplo f do valor da massa do bloco B, a relação 1 vale f2

m ⋅ g ⋅ (senθ − µe ⋅ cos θ) x µe ⋅ m.g(senθ − c os θ) b) k = x m ⋅ g ⋅ µe ⋅ x c) k = (senθ − cos θ) a) k =

d) k =

m ⋅ g ⋅ senθ − µe ⋅ cos θ x

e) k =

m ⋅ g ⋅ (cos θ − µe ⋅ senθ) x

EXERCÍCIOS DE

COMBATE 01. (UFRJ 2006) Um bloco de massa m é abaixado e levantado por meio de um fio ideal. Inicialmente, o bloco é abaixado com aceleração constante vertical, para baixo, de módulo a (por hipótese, menor do que o módulo g da aceleração da gravidade), como mostra a figura 1. Em seguida, o bloco é levantado com aceleração constante vertical, para cima, também de módulo a, como mostra a figura 2. Sejam T a tensão do fio na descida e T’ a tensão do fio na subida.

a) 3

c) 1

b) 2

1 d) 2

e)

1 3

04. (UFRJ 2004) Deseja-se manter um bloco em repouso sobre um plano inclinado 30° com a horizontal. Para isso, como os atritos entre o bloco e o plano inclinado são desprezíveis, é necessário aplicar sobre o bloco uma força. Numa primeira experiência, mantém-se o bloco em  repouso aplicando uma força horizontal F , cujo sentido está indicado na figura 1. Numa segunda  experiência, mantém-se o bloco em repouso aplicando uma força F ’ paralela ao plano inclinado, cujo sentido está indicado na figura 2.

Fig.1

 F

30°

Fig.2

 F‘ 30°

  Calcule a razão | F ’ | / | F |

Determine a razão T’/T em função de a e g.

  02. (EPCAR (AFA) 2012) Os vetores A e B , na figura abaixo, representam, respectivamente, a velocidade do vento e a velocidade de um avião em pleno voo, ambas medidas em relação ao solo. Sabendo-se que o movimento resultante do avião acontece em uma direção perpendicular à direção da velocidade do vento,   tem-se que o cosseno do ângulo θ entre os vetores velocidades A e B vale  B a) −  A  A b) −  B   c) − A ⋅ B   d) A ⋅ B

05. (EsPCEx (Aman) 2011) Um bote de assalto deve atravessar um rio de largura igual a 800 m, numa trajetória perpendicular à sua margem, num intervalo de tempo de 1 minuto e 40 segundos, com velocidade constante. Considerando o bote como uma partícula, desprezando a resistência do ar e sendo constante e igual a 6 m/s a velocidade da correnteza do rio em relação à sua margem, o módulo da velocidade do bote em relação à água do rio deverá ser de:

a) 4 m/s

d) 10 m/s

b) 6 m/s

e) 14 m/s

c) 8 m/s

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

06. (MACKENZIE 2008) No sistema a seguir, o fio e a polia são considerados ideais e o atrito entre as superfícies em contato é desprezível. Abandonando-se o corpo B a partir do repouso, no ponto M, verifica-se que, após 2 s, ele passa pelo ponto N com velocidade de 8 m/s. Sabendo-se que a massa do corpo A é de 5 kg, a massa do corpo B é

Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s². a) 125N

c) 225N

b) 200N

d) 300N

e) 400N

09. (EN 2016) Analise a figura abaixo.

Dados: g = 10 m/s2 cos 37° = 0,8 sen 37° = 0,6 a) 1 kg

c) 3 kg

b) 2 kg

d) 4 kg

e) 5 kg

07. (EFOMM 2016) Os blocos A e B da figura pesam 1,00kN, e estão ligados por um fio ideal que passa por uma polia sem massa e sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre os blocos e os planos é 0,60. Os dois blocos estão inicialmente em repouso. Se o bloco B está na iminência de movimento, o valor da força de atrito, em newtons, entre o bloco A e o plano, é Dado: cos 30° ≈ 0,87

Na figura acima, tem-se um bloco de massa m que se encontra sobre um plano inclinado sem atrito. Esse bloco está ligado à parte superior do plano por um fio ideal. Sendo assim, assinale a opção que pode representar a variação do módulo das três forças que atuam sobre o bloco em função do ângulo de inclinação θ.

a) 60 b) 70 c) 80 d) 85 e) 90 08. (ESPCEX (AMAN) 2018) Um bloco A de massa 100 kg sobe, em movimento retilíneo uniforme, um plano inclinado que forma um ângulo de 37° com a superfície horizontal. O bloco é puxado por um sistema de roldanas móveis e cordas, todas ideais, e coplanares. O sistema mantém as cordas paralelas ao plano inclinado enquanto é aplicada a força de intensidade F na extremidade livre da corda, conforme o desenho abaixo. 10. (UFRJ 2004) O sistema representado na figura é abandonado sem velocidade inicial. Os três blocos têm massas iguais. Os fios e a roldana são ideais e são desprezíveis os atritos no eixo da roldana. São também desprezíveis os atritos entre os blocos (2) e (3) e a superfície horizontal na qual estão apoiados.

Todas as cordas possuem uma de suas extremidades fixadas em um poste que permanece imóvel quando as cordas são tracionadas. Sabendo que o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco A e o  plano inclinado é de 0,50 a intensidade da força F é Dados: sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80

O sistema parte do repouso e o bloco (1) adquire uma aceleração de módulo igual a a. Após alguns instantes, rompe-se o fio que liga os blocos (2) e (3). A partir de então, a aceleração do bloco (1) passa a ter um módulo igual a a’. Calcule a razão a’ / a.

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PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

DESAFIO PRO 1

Três molas idênticas, de massas desprezíveis e comprimentos naturais , são dispostas verticalmente entre o solo e o teto a 3 de altura. Conforme a figura, entre tais molas são fixadas duas massas pontuais iguais. Na situação inicial de equilíbrio, retira-se a mola inferior (ligada ao solo) resultando no deslocamento da massa superior de uma distância d1 para baixo, e da inferior, de uma distância d2 também para baixo, alcançando-se nova posição de equilíbrio. Assinale a razão d2/d1.

3

Num certo experimento, três cilindros idênticos encontramse em contato pleno entre si, apoiados sobre uma mesa e sob a ação de uma força horizontal F, constante, aplicada na altura do centro de massa do cilindro da esquerda, perpendicularmente ao seu eixo, conforme a figura. Desconsiderando qualquer tipo de atrito, para que os três cilindros permaneçam em contato entre si, a aceleração a provocada pela força deve ser tal que

a) g ( 3 3 ) ≤ a ≤ g

a) 2

b) 2g ( 3 2 ) ≤ a ≤ 4g

b) 3/2

d) 2g ( 3 2 ) ≤ a ≤ 3g ( 4 2 ) .

3. 2.

e) g ( 2 3 ) ≤ a ≤ 3g ( 4 3 ) .

c) g ( 2 3 ) ≤ a ≤ 4g ( 3 3 ) .

c) 5/3 d) 4/3

4

Um elevador sobe verticalmente com aceleração constante e igual a a. No seu teto está preso um conjunto de dois sistemas massa-mola acoplados em série, conforme a figura. O primeiro tem massa m1 e constante de mola k1, e o segundo, massa m2 e constante de mola k2. Ambas as molas têm o mesmo comprimento natural (sem deformação) . Na condição de equilíbrio estático relativo ao elevador, a deformação da mola de constante k1 é y, e a da outra, x. Pode-se então afirmar que (y − x) é

e) 5/4

2

Quando precisar use os seguintes valores para as constantes: 1 ton de TNT = 4,0 ⋅ 109 J. Aceleração da gravidade = g = 10 m/s². 1 atm = 105 Pa. Massa específica do ferro ρ = 8000 kg/m³. Raio da Terra = R = 6400 km. Permeabilidade magnética do vácuo µ0 = 4π ⋅ 10-7 N/A²

Se precisar, utilize os valores das constantes aqui relacionadas. Constante dos gases: R = 8J/(mol ⋅ K). Pressão atmosférica ao nível do mar: P0 = 100 kPa. Massa molecular do CO2 = 44 u. Calor latente do gelo: 80 cal/g. Calor específico do gelo: 0,5 cal/(g ⋅ K). 1 cal = 4 x 107 erg. Aceleração da gravidade: g = 10,0 m/s². Na figura, o eixo vertical giratório imprime uma velocidade angular ω = 10 rad/s ao sistema composto por quatro barras iguais, de comprimento L = 1 m e massa desprezível, graças a uma dupla articulação na posição fixa X. Por sua vez, as barras de baixo são articuladas na massa M de 2 kg que, através de um furo central, pode deslizar sem atrito ao longo do eixo e esticar uma mola de constante elástica k = 100 N/m, a partir da posição O da extremidade superior da mola em repouso, a dois metros abaixo de X. O sistema completa-se com duas massas iguais de m = 1 kg cada uma, articuladas às barras. Sendo desprezíveis as dimensões das massas, então, a mola distender-se-á de uma altura z acima de O dada por a) 0,2 m

d) 0,7 m

b) 0,5 m

e) 0,9 m

c) 0,6 m

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a) [(k2 – k1)m2 + k2m1] (g – a)/k1k2 b) [(k2 + k1)m2 + k2m1] (g – a)/k1k2 c) [(k2 – k1)m2 + k2m1] (g + a)/k1k2 d) [(k2 + k1)m2 + k2m1] (g + a)/k1k2 – 2 e) [(k2 – k1)m2 + k2m1] (g + a)/k1k2 + 2

5

Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa M e presa por duas molas alinhadas, de constante de mola k e comprimento natural 0, fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola e deslocada a uma distância x na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir.

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

Obtenha a aceleração da bola, usando a aproximação (1 + a)α = 1 + αa. a) a = – kx/M b) a = – kx2/2M0 c) a = – kx2/M0 d) a = −kx 3 / 2M20 3 2 e) a = −kx / M 0

GABARITO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. C

04. E

07. C

02. D

05. B

08. B

03. E

06. C

09. B

10. A

EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 01. E

18. E

02. D

19. 10

03. E

20. A

04. E

21. a) t = 37,3s

05. D

b) k = 7,2x10-5m-1

06. A

22. C

07. A

23.

08. D 09. C 10. D 11. D 12. B 13. B 14. A

a)

15. E

b) t = 4s

16. E

24. B

17. C

25. A

EXERCÍCIOS DE COMBATE 01. DISCURSIVA

05. DISCURSIVA

09. DISCURSIVA

02. B

06. C

10. DISCURSIVA

03. E

07. B

04. DISCURSIVA

08. A

DESAFIO PRO 01. A

03. A

02. B

04. C

05. E

ANOTAÇÕES

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