Física Geral - Cinemática

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APOSTILA DE FÍSICA GERAL: CINEMÁTICA

Professor: Jheison Lopes dos Santos Referências Bibliográficas: Física I “Enquanto houver chances de derrota, haverá chances de vitória.”

Capítulo 1 – Posição, Deslocamento e Velocidade 1.1 Referencial Um dos objetivos da Física é compreender os diversos tipos de movimento, bem como prevê-los e controla-los, e a finalidade da tecnologia é tornar esses estudos úteis à humanidade. A figura abaixo representa um ônibus se aproximando de um homem sentado. Como sua distância ao homem está mudando, o ônibus está em movimento em relação ao homem. Assim, o homem, chamado de observador, serve de referência ou referencial para verificarmos se, em relação a esse referencial, o ônibus está ou não em movimento.

No entanto, se analisarmos os passageiros e o motorista, eles estão em repouso em relação ao referencial ônibus, mas continuará, com o ônibus, se movimentando em relação ao referencial homem sentado. Da mesma forma, sua escola está em repouso em relação à Terra e em movimento em relação ao Sol, pois a Terra gira em torno dele. Quando dois carros se movem juntos, isto é, mantendo constante a distância entre eles, um estará em repouso em relação ao outro. Um outro exemplo, ilustrado na figura a seguir, é o de um avião que lança uma bomba. Para o referencial avião-piloto, a bomba está se movendo junto com ele, descendo em linha reta. Porém, para alguém que observa do solo, o avião move-se normalmente na horizontal, enquanto a bomba descreve uma curva parabólica.

De um modo geral, pode-se dizer que um corpo está em movimento em relação a um referencial quando a sua posição está variando em relação a ele. Quando isso não ocorre, o corpo está em repouso. Exercícios:

1 – A janela de sala de aula abaixo está à sua direita ou à sua esquerda? E para o professor que está olhando para a turma?

2 – Dê exemplos de um corpo que está em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a outro referencial. 3 – Quando escrevemos, em relação a que a caneta está: a) em movimento e b) em repouso? 4 – Se dois carros se movem sempre um ao lado do outro, podemos afirmar que um está parado em relação ao outro? 1.2 Posição e Deslocamento Os marcos quilométricos nas rodovias servem para indicar as posições dos veículos que trafegam nelas. Se, por exemplo, um carro está no km 80 de uma rodovia, isso significa que ele está a 80 km do marco zero da rodovia. A medida do comprimento da estrada entre o marco zero e o km 80 é denominado posição (símbolo S), isto é, a posição desse carro no km 80 é igual a 80 km: S = 80 km. A posição S de um móvel em um instante t é a medida do comprimento do trecho da trajetória em relação a um ponto O denominado origem das posições (marco zero). A seta na extremidade da trajetória indica que naquele sentido as posições são crescentes. Sendo S a posição de um móvel no instante t e S0 a posição anterior t0, denominamos variação de posição ou deslocamento a diferença S – S0 nesse intervalo de tempo t – t0. Essa diferença, chamada de deslocamento, será indicada por ΔS.

Veja o exemplo. Imagine um ciclista que vai, inicialmente, do ponto A, cuja posição inicial S0 = 200 m vai até a posição C, cuja posição S = 1000 m. Assim, ∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0 = 1000 − 200 = 800 𝑚.

Depois, ele resolve sair do ponto C e voltar, parando no ponto B, na posição S = 600 m. Daí, ∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0 = 600 − 1000 = −400 𝑚. Quando um móvel percorre uma trajetória no sentido das posições crescentes, como no primeiro exemplo, o movimento é denominado progressivo. Contudo, quando ele percorre a trajetória no sentido das posições decrescentes, como no segundo exemplo, o movimento é denominado retrógrado. Se quisermos analisar o deslocamento total, ou seja, os trajetos A-C e C-B, temos que: ∆𝑆𝑇 = 𝑆 − 𝑆0 = 600 − 200 = 400 𝑚. É importante observar que, apesar do deslocamento total ter sido de 400 m, o ciclista percorreu um total de 800 + 400 = 1200 m, sendo esse total denominado de distância percorrida. Sendo assim, nem sempre distância percorrida é igual ao deslocamento. Exercícios: 5 – Um carro percorre uma rodovia passando pelo km 20 às 9h e pelo km 45 às 9h e 30 min. Determine as posições inicial e final, o deslocamento, e os instantes inicial e final. 6 – Um objeto percorre uma trajetória desde uma posição igual a 0,50 m até uma posição 0,30 m. Determine sua posição inicial, sua posição final, e o seu deslocamento 1.3 Velocidade A noção de velocidade está ligada à maior ou menor rapidez com que uma determinada distância é percorrida. Comparando velocidades dos corpos podemos avaliar qual deles se movimenta com maior rapidez, isto é, maior velocidade. Um corpo com maior velocidade percorre, no mesmo intervalo de tempo, uma distância maior que o outro de menor velocidade. Isso também significa que o de maior velocidade percorre a mesma distância que o outro num intervalo de tempo menor. Por exemplo, um carro a 20 km/h percorre 20 km em 1 h, enquanto nesse mesmo intervalo de tempo um outro carro, a 10 km/h percorre apenas 10 km. Ou ainda, para percorrer a mesma distância de 10 km, o mais rápido gasta ½ hora enquanto o outro gasta 1 h. Se um trem percorre 100 m em 10 s, isso significa que ele percorre, em média, 10 m em cada segundo. A relação entre o deslocamento de um corpo e o correspondente intervalo de tempo é denominada velocidade média.

𝑣𝑚 =

∆𝑆 ∆𝑡

Por exemplo, considere que, entre 1,2 s e 3,2 s, a posição de um objeto varie de 1,3 m a 1,7 m. Determine a velocidade média desse objeto para esse intervalo de tempo. 𝑣𝑚 =

∆𝑆 1,7 − 1,3 0,4 = = = 0,2 𝑚/𝑠 ∆𝑡 3,2 − 1,2 2

Imagine agora que, em 30 min, ou seja, 0,5 h, um ônibus vai de uma cidade para outra com velocidade média de 90 km/h. Qual seria a distância entre essas cidades? 𝑣𝑚 =

∆𝑆 ⇒ ∆𝑆 = 𝑣𝑚 ∆𝑡 = 90𝑥0,5 = 45 𝑘𝑚 ∆𝑡

Nesse caso, distância percorrida e deslocamento seriam iguais. OLHO VIVO! Não misture as unidades! Por exemplo, posição em metro, tempo em segundo e velocidade em km/h. Nesse caso, transforme km/h em m/s, dividindo por 3,6; para passar de m/s para km/h, basta multiplicar por 3,6. Exercícios: 7 – Em 12 s um caminhão percorre 360 m. Qual é a sua velocidade média nesse intervalo de tempo? 8 – Em um certo local do Brasil, uma criança sai da sua casa às 5h, caminha 8 km e chega na escola às 7h e 30 min. a) Qual é o tempo gasto por ela para percorrer os 8 km? E em horas? b) Qual é a velocidade média dessa criança nesse percurso? 9 – Um carro percorre uma estrada passando pelo km 12 às 9h e 20 min e pelo km 30 às 9h e 35 min. a) Quanto tempo gastou para percorrer a distância entre esses marcos quilométricos? b) Qual é a variação de espaço entre o km 12 e o km 30? c) Qual é a velocidade média do carro entre os instantes dados? 10 – Um trem do metrô percorre a distância entre duas estações em 50 s, desenvolvendo a velocidade média de 72 km/h. a) Transforme a velocidade em m/s. b) Determine a velocidade entre essas estações. Chama-se de velocidade instantânea de um corpo a velocidade em certo ponto P da trajetória em um instante de tempo t. Com mais cuidado, pode-se dizer que a velocidade instantânea é a velocidade média para ΔS e Δt muito pequenos. Na prática, a velocidade instantânea é fornecida pelos velocímetros. Questões Especiais:

Q1 – Qual é a velocidade média de um trem que percorre 80 km em 30 min? Q2 – Um atleta percorre uma pista passando pela posição 20 m no instante 7 s e pela posição 12 m no instante 9 s. Determine a variação de posição e a velocidade média do atleta entre os instantes dados. Q3 – Uma motocicleta percorre uma distância de 150 m com velocidade média de 25 m/s. Qual é o tempo gasto para percorrer essa distância? Q4 – (FUVEST-SP) Após chover na cidade de SP, as águas da chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo certa de 1.000 km. Sendo a velocidade média das águas de 4 km/h, o percurso será cumprido pelas águas da chuva em aproximadamente: a) 30 dias. b) 10 dias. c) 25 dias. d) 2 dias. e) 4 dias. Q5 – Um caminhão de 15 m de comprimento demora 60 s para atravessar completamente um túnel com velocidade média de 10 m/s. Qual é o comprimento do túnel? Q6 – Um trem devia percorrer 300 km em 5 h. Acontece que, ao fim de 4h, o maquinista é obrigado a parar durante 15 min. Qual deverá ser a velocidade média do trem no percurso restante para chegar ao destino sem atraso? Q7 – (UFRN) Ao fazer uma viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velocidade média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consumiu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se durante a viagem o motorista gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as duas cidades? Q8 – (UFPE) Numa corrida de Fórmula 1, um piloto faz uma volta no circuito num tempo médio de 1 min e 30 segundos com velocidade média de 280 km/h. Qual é a distância total que ele percorre na corrida, se ela tem 70 voltas? Q9 – (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6.370 km, pode-se afirmar que um avião saído de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. Q10 – Um veículo percorre 8 km com velocidade média de 80 km/h e os 12 km restantes com velocidade média de 30 km/h. Qual é a velocidade média do trajeto todo? Q11 – (UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira metade da pista na velocidade média de 60 km/h e a segunda metade a 90 km/h. Qual é a velocidade média, em km/h, desenvolvida no trajeto todo? Q12 – (UEL-PR) Popularmente conhecido como “lombada eletrônica”, o redutor de velocidade é um sistema de controle de fluxo de tráfego que reúne equipamentos de captação e processamento de dados. Dois sensores são instalados na pista no sentido do fluxo, a uma distância de 4m um do outro. Ao cruzar cada um deles, o veículo é detectado; um microprocessador recebe dois sinais elétricos consecutivos e, a partir do intervalo de tempo entre eles, calcula a velocidade média do veículo com alta precisão. Considerando que o limite máximo de velocidade permitida para o veículo é de 40 km/h, qual é o menor

intervalo de tempo que o veículo deve levar para percorrer a distância entre os dois sensores, permanecendo na velocidade permitida? a) 0,066 s. b) 0,1 h. c) 0,36 s. d) 11,11 s. e) 900 s.

RESPOSTAS 1) Direita. Esquerda. 2) Um piloto em relação ao jato está parado, mas em relação a quem está no chão, está em movimento, etc. 3) a) Caderno. b) Mão. 4) Sim. 5) Posição inicial: km 20; posição final: km 45; deslocamento: ΔS = 45 – 20 = 25 km; instante inicial: 9h; instante final: 9h30. 6) Posição inicial: S0 = 0,5 m; posição final: S = 0,2 m; deslocamento: ΔS = 0,2 – 0,5 = - 0,3 m. 7) 30 m/s. 8) a) 2 h e 30 min ou 2,5 h. b) 3,2 km/h. 9) a) 15 min. b) 18 km. c) 1,2 km/min ou 72 km/h. 10) a) 20 m/s. b) 1.000 m. Q1) 160 km/h Q2) -8m; -4 m/s. Q3) 6 s. Q4) b. Q5) 5885 m. Q6) 80 km/h. Q7) 5 h. Q8) 490 km. Q9) c. Q10) 40 km/h. Q11) 72 km/h. Q12) c.

Capítulo 2 – Movimento Retilíneo Uniforme 2.1 Apresentação Um carro percorre um determinado trecho de uma estrada com o velocímetro indicando sempre 90 km/h. Então, nesse trecho, a velocidade é constante, isto é, ela não varia em relação ao tempo. Um movimento, em linha reta, onde o valor da velocidade é constante denomina-se movimento retilíneo uniforme. O som propaga-se pelo espaço com velocidade constante de 340 m/s; isso quer dizer que, em menos de 1 s, a sua conversa chega no ouvido do seu colega. A luz do sol, com velocidade de 300.000 km/s, chega até nós em cerca de 8 minutos. Com essa informação, você é capaz de calcular a distância entre a Terra e o Sol? A teoria da Física é construída a partir de elementos mais simples. Assim, estamos iniciando o estudo do mais simples dos movimentos para, depois, entendermos o movimento em que a velocidade varia proporcionalmente ao tempo, como na queda de um corpo. 2.2 Relação entre posição e tempo Em uma rodovia, uma placa indica que a velocidade máxima permitida é de 100 km/h. Então, se o veículo trafega nela com o ponteiro do velocímetro indicando sempre essa velocidade, significa que ele percorre: 10 km em 0,1 h; 20 km em 0,2 h; 30 km em 0,3 h; e assim por diante, mantendo a proporcionalidade entre a variação da posição (deslocamento) e o correspondente tempo de percurso. 𝑣=

10 𝑘𝑚 20 𝑘𝑚 30 𝑘𝑚 40 𝑘𝑚 = = = = 100 𝑘𝑚/ℎ 0,1 ℎ 0,2 ℎ 0,3 ℎ 0,4 ℎ

No movimento uniforme, incluindo o retilíneo, o qual estamos estudando agora, a velocidade instantânea v é a mesma da velocidade média vm. Isso quer dizer que, para o exemplo dado, qualquer que seja a variação de posição, a velocidade média é igual a 100 km/h. A razão entre a variação de espaço e o intervalo de tempo é a velocidade de um corpo em movimento uniforme: 𝑣=

∆𝑆 ∆𝑡

Se entre o instante inicial t0 = 0 s e o instante t, o móvel muda da posição inicial S0 para uma posição S, tem-se: ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 = 𝑡 − 0 = 𝑡 Então: 𝑣 =

𝑆−𝑆0

𝑡

e

∆𝑆 = 𝑆 − 𝑆0

⇒ 𝑆 − 𝑆0 = 𝑣𝑡 ⇒ 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣𝑡

Como S0 e v são constantes, a expressão acima é chamada de Função Horária da Posição do movimento retilíneo uniforme, fornecendo a posição em função do tempo. A velocidade negativa é quando o corpo percorre a trajetória no sentido das posições decrescentes. Exemplo: A posição em função do tempo de um móvel é dada por: S = 8 + 4t. Comparando com S = S0 + vt, a posição inicial S0 é 8 m e a velocidade é de 4 m/s. Com essa função, podemos obter a variação da posição entre dois instantes, por exemplo, entre 2 s e 5 s, procedendo assim: Para t1 = 2 s → S1 = 8 + 4t1 = 8 + 4x2 = 16 m. Para t2 = 5 s → S1 = 8 + 4t1 = 8 + 4x5 = 28 m. ΔS = 28 m – 16 m = 12 m, e Δt = 5 s – 2 s = 3 s. Exercícios: 1 – Quando um corpo está em movimento uniforme? 2 – O movimento de uma pedra lançada verticalmente para cima é uniforme? 3 – Um veículo percorre uma estrada com velocidade constante de 60 km/h. Considerando que o motorista tenha ligado o cronômetro ao passar pelo km 30: a) determine a posição inicial; b) escreva a expressão da posição em função do tempo; c) determine a posição inicial no instante t = 0,3 h; d) qual é a variação de posição entre 0,3 h e 0,5 h? 4 – A posição em função do tempo de um móvel é dado por: S = 10 – 5t. Determine: a) A posição inicial S0 e a velocidade; b) O instante em que o móvel passa pela origem das posições. 5 – A posição de dois corpos A e B variam com o tempo conforme as expressões: AS = 20t e SB = 30 + 10t. a) Determine suas posições iniciais e suas velocidades. b) No instante t = 0, qual deles está na frente? Está quantos metros na frente do outro? c) Sabendo que para haver o encontro entre dois móveis suas posições devem ser iguais, determine o instante em que eles se encontram. d) Qual é a distância percorrida por cada um deles até o ponto de encontro, desde o instante t = 0? 2.3 Gráficos da Posição e da Velocidade em Função do Tempo Ao andarmos com velocidade constante, as distâncias percorridas são proporcionais aos respectivos intervalos de tempo. Se, por exemplo, um móvel tiver seu movimento descrito pela tabela abaixo: t (s) S (m)

0 -5

1 0

2 5

3 10

4 15

O comportamento do seu movimento pode ser visualizado por meio de um gráfico S x t. Esse gráfico é traçado colocando os dados do tempo no eixo das abscissas e os da posição no eixo das ordenadas:

A partir do gráfico, que representa uma função crescente do 1º grau, é possível determinar a velocidade. Por exemplo, de 2 s a 3 s, o espaço varia de 5 m a 10 m. Logo: ∆𝑡 = 𝑡3 − 𝑡2 = 3 − 2 = 1 𝑠 ∆𝑆 = 𝑆3 − 𝑆2 = 10 − 5 = 5 𝑚 ∆𝑆 5 𝑣= = = 5 𝑚/𝑠 ∆𝑡 1 Assim, a função horária da posição desse móvel seria: S = -5 + 5t. Esse tipo de movimento é denominado progressivo (v > 0). A tabela a seguir representa os valores de tempos e posições de um veículo que está se movendo no sentido das posições decrescentes. t (s) 0 1 2 3 4 S (m) 3 2 1 0 -1

Nesse caso, também pode-se obter a velocidade por meio do gráfico, sendo este um representante de uma função decrescente do 1º grau. Por exemplo, de 1 s a 3 s, a posição diminui de 2 m para 0 m. Então: ∆𝑡 = 𝑡3 − 𝑡1 = 3 − 1 = 2 𝑠 ∆𝑆 = 𝑆3 − 𝑆1 = 0 − 2 = −2 𝑚 ∆𝑆 −2 𝑣= = = −1 𝑚/𝑠 ∆𝑡 2 Assim, a função horária da posição desse móvel seria: S = 3 - t. Esse tipo de movimento é denominado retrógrado (v < 0). Exercícios:

6 – Trace o gráfico da posição em função do tempo com os dados das tabelas: a)

t (s) 2 4 6 8 10 12 S (m) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 b)

t (s) 3 6 9 12 15 18 S (m) 12 10 8 6 4 2

7 – Para cada gráfico abaixo, determine a velocidade média e a função horária da posição.

No movimento uniforme, a velocidade é constante, ou seja, não varia com o tempo. Traçando o gráfico da velocidade em função do tempo, obtemos uma reta paralela ao eixo dos tempos.

A partir do gráfico v x t, é possível observar que:

O retângulo colorido tem a base Δt e a altura v. Como a área do retângulo: A = base x altura, e como ∆𝑆 𝑣 = ∆𝑡 ⇒ ∆𝑆 = 𝑣∆𝑡, conclui-se que, numericamente, A = ΔS. Isso quer dizer que o número que mede a área do retângulo compreendido entre o gráfico v x t e o eixo dos tempos é igual ao número que mede a variação de posição de um móvel! Exercícios: 8 – Para cada gráfico abaixo, determine: a) a variação de posição entre o e 4 s; b) a velocidade média entre 0 e 4 s.

Questões Especiais: Q1 – (PUC–SP) Para pesquisar a profundidade do oceano em certa região, usa-se um sonar instalado em um barco em repouso. O intervalo de tempo decorrido entre a emissão do sinal e a resposta ao barco (eco) é de 1 segundo. Supondo que a velocidade de propagação do som na água seja de 1.500 m/s, a profundidade do oceano na região considerada é de: a) 25 m. b) 50 m. c) 100 m. d) 750 m. e) 1.500 m. Q2 – Qual é a distância percorrida em 2 h por um navio que navega com velocidade constante de 30 nós? Dados: 1 nó = 1 milha marítima/h ; 1 milha marítima = 1.852 m. Q3 – Por que durante uma tempestade ouvimos o trovão penas alguns segundos depois do relâmpago? Q4 – As posições de dois ciclistas A e B percorrendo uma mesma pista variam com o tempo conforme as expressões: 𝑆𝐴 = 12𝑡 e 𝑆𝐵 = 10 + 8𝑡. Determine: a) As suas posições iniciais e as suas velocidades; b) A distância entre eles no instante t = 0; c) O instante e a posição do encontro; d) O deslocamento de cada um deles até o ponto de encontro, desde o instante t = 0. Q5 – Em uma noite de neblina, um carro, sem nenhuma sinalização, percorre um trecho retilíneo de uma estrada com velocidade constante de 6 m/s. Em certo instante, uma moto com velocidade constante de 8 m/s está 12 m atrás desse carro. Quanto tempo após esse instante a moto poderá chocar-se com o carro? Q6 – As posições de duas pessoas A e B percorrendo uma mesma rua, uma ao encontro da outra, variam conforme as expressões: 𝑆𝐴 = 1,2𝑡 e 𝑆𝐵 = 10 − 0,8𝑡. Determine:

a) As suas posições iniciais e as suas velocidades; b) A distância entre elas no instante t = 0; c) O instante e a posição do encontro; Q7 – Dois ônibus com velocidades constantes de 15 m/s e 20 m/s percorrem a mesma estrada retilínea em sentidos opostos. Em determinado instante, a distância que os separa é de 700 m. Calcule a partir desse instante o tempo gasto até o encontro. Q8 – (ENEM) O gráfico a seguir modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira como essa pessoa se desloca. Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo quando são percorridos 10 km? a) Carroça – semana. b) Carro – dia. c) Caminhada – hora. d) Bicicleta - minuto. e) Avião - segundo.

Q9 – (UFSCAR–SP) O gráfico da figura representa a distância percorrida por um homem em função do tempo. Qual é o valor da velocidade do homem quando: a) t = 5 s. b) t = 20 s.

Q10 – O gráfico dado representa um movimento imaginário onde a velocidade salta bruscamente de 3 m/s para 5 m/s no instante t = 2s. a) Qual é o deslocamento entre 0 e 4 s? b) Qual é a velocidade média entre 0 e 4 s?

RESPOSTAS 1) Quando possui velocidade com valor constante. 2) Não. 3) a) 30 km. b) S = 30 + 60t. c) 48 km. d) 12 km. 4) a) S0 = 10; v = -5 m/s. b) t = 2 s. 5) a) Corpo A: S0 = 0; v = 20 m/s e corpo B: S0 = 30; v = 10 m/s. b) B está 30 m na frente. c) t = 3 s. d) ΔSA = 60 m; ΔSB = 30 m. 6)

7) a) v = 2 m/s; S = 2t. b) v = -4 m/s; S = 12 – 4t. 8) a) ΔS = 12 m; v = 3 m/s. b) ΔS = 18 m; v = 4,5 m/s. c) ΔS = 2 m; v = 0,5 m/s. Q1) d. Q2) 111.120 m. Q3) Porque a velocidade do som é menor do que a velocidade da luz. Q4) a) Ciclista A: S0 = 0 m e v = 12 m/s; Ciclista B: S0 = 10 m e v = 8 m/s. b) 10 m. c) 2,5 s; 30 m. d) 30 m; 20 m. Q5) 6 s. Q6) a) Pessoa A: S0 = 0 m e v = 1,2 m/s; Pessoa B: S0 = 10 m e v = – 0,8 m/s. b) 10 m. c) 5 s; 6 m. Q7) 20 s. Q8) c. Q9) a) 4 m/s. b) 0 m/s. Q10) a) 16 m. b) 4 m/s.

Capítulo 3 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 3.1 Aceleração A relação entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo é denominada aceleração. De um modo geral, sejam v0 e v as velocidades de um móvel nos instantes t1 e t2, respectivamente. A sua aceleração a entre esses instantes é a razão entre a variação da velocidade Δv e o intervalo de tempo Δt.

𝑎=

∆𝑣 𝑣 − 𝑣0 = ∆𝑡 𝑡 − 𝑡0

Por exemplo, qual é a aceleração de um corpo cuja velocidade varia de 3 m/s a 7 m/s entre os instantes 2 s e 7 s? 𝑎=

∆𝑣 7−3 4 = = = 0,5 𝑚/𝑠² ∆𝑡 10 − 2 8

Um movimento em linha reta cuja aceleração é constante e diferente de zero denomina-se movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Exercícios: 1 – O que significa dizer que a aceleração de um corpo é constante? 2 – Um corpo com aceleração nula pode estar em movimento? 3.2 Relação entre velocidade e tempo Se um corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado, sua aceleração é dada por: 𝑎=

∆𝑣 𝑣 − 𝑣0 = ∆𝑡 𝑡 − 𝑡0

Considerando o instante inicial t0 = 0 s, 𝑎=

𝑣 − 𝑣0 𝑣 − 𝑣0 = ⇒ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 𝑡−0 𝑡

A expressão v = v0 + a.t é chamada de função horária da velocidade e fornece a velocidade em função do tempo. Exemplos:  v0 = 2 m/s e a = 5 m/s² → v = 2 + 5t  v0 = 0 m/s e a = 4 m/s² → v = 4t  v0 = 3 m/s e a = –7 m/s² → v = 3 – 7t Exercícios

3 – Em uma prova de 100 m rasos, de 0 a 2 segundos um atleta sai do repouso e atinge uma velocidade de 8 m/s. Qual é a aceleração do atleta neste intervalo de tempo? 4 – Uma bola solta de certa altura atinge a velocidade de 29,4 m/s em cerca de 3 s. Qual é a aceleração dessa queda? 5 – Entre 0 e 3 s, a velocidade de um móvel varia uniformemente de 4 m/s para 19 m/s. a) Qual é a sua aceleração? b) Escreva a função horária da velocidade desse móvel. c) Qual é a sua velocidade no instante 4,8 s? 6 – Um carro percorre uma estrada com velocidade de 12 m/s. Quando o motorista pisa no acelerador, a velocidade aumenta uniformemente até atingir 20 m/s em 4 s. a) Qual é a aceleração nesses 4 s? b) Em quanto tempo a velocidade aumenta de 15 m/s para 18 m/s? c) Considerando que o cronômetro foi ligado no início da aceleração, qual é a velocidade quando ele marca 2,5 s? 7 – Um veículo a 30 m/s é freado uniformemente e para em 6 s. Determine: a) A aceleração durante a frenagem; b) A velocidade 4 s após o início da frenagem. 8 – (PUC–SP) Um carro, partindo do repouso, assume movimento com aceleração constante de 1 m/s², durante 5 s. Desliga-se, então, o motor e, devido ao atrito, o carro volta ao repouso com retardamento constante de 0,5 m/s². A duração total desse movimento foi de: a) 5 s. b) 10 s. c) 15 s. d) 20 s. e) 25 s. 3.3 Gráfico da velocidade em função do tempo Quando a aceleração é constante, a variação da velocidade é proporcional à respectiva variação de tempo. Por exemplo, a tabela a seguir apresenta um corpo cuja velocidade varia 5 m/s a cada segundo. t (s) v (m/s)

0 0

1 5

2 10

3 15

A relação entre a velocidade e o tempo pode ser verificada pelo gráfico v x t. Esse gráfico é traçado colocando os dados dos tempos no eixo das abscissas, e os das velocidades no eixo das ordenadas, conforme:

Com esse gráfico é possível determinar a aceleração. Por exemplo, de 1 s a 2 s, a velocidade varia de 5 m/s para 10 m/s, logo: 𝑎=

∆𝑣 10 − 5 = = 5 𝑚/𝑠² ∆𝑡 2−1

Um movimento com aceleração positiva, ou seja, com a velocidade aumentando com o tempo, é dito acelerado. Já a tabela a seguir, apresenta um corpo cuja velocidade diminui com o tempo.

t (s) v (m/s)

0 15

1 10

2 5

3 0

Nesse caso, para o mesmo intervalo de tempo de 1 s a 2 s, a aceleração será: 𝑎=

∆𝑣 5 − 10 = = −5 𝑚/𝑠² ∆𝑡 2−1

Um movimento com aceleração negativa, ou seja, com a velocidade diminuindo com o tempo, é dito retardado. Exercícios: 9 – Para cada um dos gráficos a seguir determine sua aceleração.

3.4 Relação entre posição e tempo No movimento retilíneo uniformemente variado, a posição de um corpo em função do tempo é dada por: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0 𝑡 +

𝑎𝑡² 2

A função horária da posição do MRUV é do 2º grau, logo o gráfico S x t é uma parábola com os aspectos apresentados a seguir, conforme a orientação da trajetória do móvel. No instante de tempo correspondente ao vértice da parábola, o sentido do movimento do corpo muda, portanto, nesse ponto a velocidade é nula.

Exercícios 10 – Uma bola chutada com velocidade de 8 m/s rola sobre o gramado com aceleração constante de –2 m/s². Durante quanto tempo a bola rola sobre o gramado? Que distância ela percorre nesse intervalo de tempo? 11 – Um veículo parte do repouso e adquire a aceleração constante de 6 m/s². a) Em quanto tempo ele atinge a velocidade de 30 m/s? b) Qual é o deslocamento realizado nesse intervalo de tempo? 12 – Partindo do repouso, um corpo iniciou um MRUV e em 30 s percorreu 900 m. Qual é a aceleração e a velocidade atingida no fim do percurso? 13 – Um veículo com velocidade de 40 m/s é freado uniformemente e para em 20 s. Qual é a aceleração e a distância percorrida nesses 20 s? 14 – Determine a distância percorrida em cada um dos gráficos a seguir.

3.5 Relação entre velocidade e deslocamento (Equação de Torricelli) Da função horária da velocidade, pode-se ver que:

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 ⇒ 𝑡 =

𝑣 − 𝑣0 𝑎

Substituindo o tempo na função horária da posição 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0 𝑡 + a velocidade, tem-se que: 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑆

𝑎𝑡² 2

, e isolando

Exercícios: 15 – A velocidade de um corpo em MRUV varia de 6 m/s para 9 m/s em um trajeto de 3 m. Calcule a aceleração do corpo. 16 – Um trem trafega com velocidade constante de 15 m/s. Em determinado instante, os freios produzem um retardamento de – 1,5 m/s². Quantos metros o trem percorre durante a frenagem até parar? 3.6 Lançamento Vertical e Queda Livre Tanto quando um corpo é lançado verticalmente para cima ou quando ele cai em queda livre, na verdade trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado na direção vertical. A aceleração existente nesses dois movimentos é constante e denominada aceleração da gravidade g, que vale 9,8 m/s². Assim, o lançamento vertical será tratado como um MRUV na vertical e com seu sentido para cima; a queda livre será tratada como um corpo abandonado (v0 = 0) que se move em MRUV também na vertical, porém orientado para baixo, em direção ao solo. Lançamento Vertical: É um MRUV, seguindo todas as considerações adequadas apresentadas anteriormente. Para subir, todos os corpos precisam de uma velocidade inicial nessa direção vertical v0y. O deslocamento realizado é na direção vertical, e passa a ser chamado de altura h. Adotando o sentido ascendente como positivo: i) Considerar o ponto de partida como h0 = 0. ii) A aceleração da gravidade g é direcionada para baixo, possuindo sentido negativo. As equações são as mesmas do MRUV, porém com as devidas adaptações: (1) 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 𝑔𝑡 2

(2) ℎ = 𝑣0𝑦 . 𝑡 − 2 2 (3) 𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦 − 2𝑔∆ℎ Para se determinar o tempo que um corpo leva para subir, chamado de tempo de subida, deve-se entender que, no ponto mais alto, vy = 0, e por isso ele não sobe mais. Assim, 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 → 0 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡𝑠 𝒗𝟎𝒚 𝑔𝑡𝑠 = 𝑣0𝑦 ∴ 𝒕𝒔 = 𝒈 O ponto máximo que o objeto alcança ao ser lançado para cima, é denominado altura máxima (hmáx). A altura máxima é dada por:

2 2 𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦 − 2𝑔∆ℎ → 02 = 𝑣0𝑦 − 2𝑔(ℎ𝑚á𝑥 − ℎ0 )

Como h0 = 0, 2 𝑣0𝑦

= 2𝑔ℎ𝑚á𝑥 → 𝒉𝒎á𝒙

𝒗𝟐𝟎𝒚 = 𝟐𝒈

Queda Livre: Para a queda livre, vamos considerar que não há resistência do ar, e que o corpo foi abandonado, ou seja, v0y = 0. Como tanto o deslocamento ao longo da vertical quanto a aceleração da gravidade estão direcionados para baixo, ou seja, sentido descendente, tal sentido será o considerado como positivo. Assim, as equações bases são: (1) 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡 𝑔𝑡 2

(2) ∆ℎ = 𝑣0𝑦 . 𝑡 + 2 2 (3) 𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦 + 2𝑔∆ℎ Em uma primeira análise, pode-se determinar o tempo de queda, que vem a ser o tempo que o objeto leva para atingir o solo. Em relação à altura, o tempo de queda é: 𝑔𝑡 2 𝑔𝑡 2 ∆ℎ = 𝑣0𝑦 . 𝑡 + → (ℎ − ℎ0 ) = 0 + 2 2 Considerando a variação de altura em relação ao nível do solo como sendo a própria altura de queda do objeto,

ℎ=

𝑔𝑡𝑄2 𝟐𝒉 ∴ 𝒕𝑸 = √ 2 𝒈

A velocidade com que o corpo toca o solo após uma variação de altura Δh: 2 𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦 + 2𝑔∆ℎ → 𝑣𝑦2 = 0 + 2𝑔∆ℎ 𝒗𝒚 = √𝟐𝒈∆𝒉

Também é possível relacionar o tempo de queda com a velocidade com que ele toca o solo: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡 → 𝑣𝑦 = 0 + 𝑔𝑡𝑄 𝒗𝒚 𝑔𝑡𝑄 = 𝑣𝑦 ∴ 𝒕𝑸 = 𝒈

RESPOSTAS 1) Que a velocidade varia com uma taxa constante. 2) Sim. 3) 4 m/s². 4) 9,8 m/s².

5) a) 5 m/s². b) v = 4 + 5t. c) 28 m/s. 6) a) 2 m/s². b) 1,5 s. c) 17 m/s. 7) a) - 5 m/s²; b) 10 m/s; 8) c. 9) a) 4 m/s². b) 1,5 m/s². c) –2 m/s². 10) 4 s; 16 m. 11) a) 5 s. b) 75 m. 12) a = 2 m/s²; v = 60 m/s. 13) a = – 2 m/s²; 400 m. 14) a) 20 m. b) 18 m. 15) 7,5 m/s². 16) 75 m.

Capítulo 4 – Vetores 4.1 Grandezas Escalares e Vetoriais Quando dizemos que a temperatura de uma sala é de 24ºC, falta algo para caracterizar essa grandeza? Ou que essa sala possui uma área de 12 m²? Por exemplo, temos que pensar “em que direção” ou “para que lado” a temperatura é de 24ºC e a área de 12 m²? A resposta é não, pois só os valores números (24 e 12) e a unidade de medida (ºC e m²) caracterizam as grandezas temperatura e área. Grandezas caracterizadas somente por valor numérico e unidade de medida (módulo ou intensidade) são denominadas escalares. É o caso da massa, do volume, do tempo e etc. A maioria das grandezas escalares são somadas aritmeticamente. Por exemplo: 3 kg + 4kg = 7 kg. No entanto, a adição de duas velocidades de 3 m/s e 4 m/s nem sempre é 7 m/s. Se, por exemplo, um vento de velocidade 3 m/s atingir um barco que está com velocidade de 4 m/s, em uma lagoa, a velocidade resultante do barco vai depender da direção e do sentido do vento. Para entender esse tipo de questão, vejamos alguma noção de direção e sentido. Na figura abaixo, a e b possuem a mesma direção e sentido, já c e d possuem a mesma direção, porém sentidos contrários.

Em uma mesma direção existem dois sentidos. Por exemplo: - Na direção vertical, há os sentidos para cima e para baixo. - Uma gaveta pode ser movimentada na direção horizontal e em dois sentidos: puxar e empurrar. - Na direção leste-oeste, o sentido pode ser para leste ou para oeste. - As direções de dois automóveis que se emparelham são as mesmas, mas os seus sentidos podem ser iguais ou contrários, conforme um esteja ultrapassando o outro, ou esteja cruzando com o outro. Em suma, é como se a direção fosse o “por onde”, o sentido fosse o “para onde”. Se um corpo se movimenta verticalmente para cima com velocidade de 5 m/s, essa módulo (intensidade): 5 m/s direção: vertical velocidade é caracterizada por: { sentido: para cima A aceleração de um corpo em queda livre nas proximidades da Terra é caracterizada módulo (intensidade): ~ 9,8 m/s² por: { direção: vertical sentido: para baixo Dessa forma, observa-se que velocidade e aceleração são grandezas caracterizadas por módulo ou intensidade (valor numérico e unidade de medida), direção e sentido.

Grandezas caracterizadas dessa forma são chamadas de vetoriais. Como outros exemplos, temos a força, a posição, etc. 4.2 Vetores Uma grandeza vetorial é representada por um vetor acompanhado de uma letra, sobre a qual se coloca uma pequena seta orientada para a direita. Na figura a seguir, estão representados os vetores 𝑋⃗, 𝑣⃗, 𝑎⃗:

Os módulos dos vetores são indicados por: ⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑋|, |𝑣⃗| e |𝑎⃗| ou simplesmente por X, v e a.

Capítulo 5 – Movimento de Projéteis: Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo 5.1 Apresentação Para discutir o movimento de projéteis em duas dimensões, vamos considerar duas situações: lançamento horizontal e lançamento oblíquo. 5.2 Lançamento Oblíquo Galileu Galilei foi quem fez a análise correta deste tipo de movimento pela primeira vez, quando procurava estudar o movimento de um projétil disparado por um canhão. Ele conseguiu mostrar que o movimento do projétil poderia ser analisado considerando-se separadamente o movimento na direção horizontal e o movimento na direção vertical. Então, Galileu enunciou que “Se um móvel apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo”. Consideremos, então, um corpo lançado a partir do solo (altura inicial h0 = 0) com velocidade v0, com uma dada inclinação θ em relação à horizontal. Iremos desprezar a resistência do ar.

O movimento descrito pelo corpo tem o formato de uma parábola, e pode ser considerado como a composição de dois movimentos simultâneos e independentes: um movimento vertical uniformemente acelerado, cuja aceleração é a gravitacional g = 10 m/s², e um movimento horizontal uniforme. Ou seja, Direção Ox (horizontal) – MU, ou seja, velocidade constante. Direção Oy (vertical) – MUV, com aceleração gravitacional. No ápice do movimento, isto é, quando o corpo atinge a altura máxima, sua velocidade na vertical é nula. Assim, ele para instantaneamente e, logo em seguida, começa a descer. O lançamento oblíquo possui uma caraterística muito interessante: o que ocorre com o objeto até a chegada à altura máxima, ocorre de semelhante forma no retorno ao solo; levando o mesmo tempo para descer do que levou para subir, e tocando o solo com a mesma velocidade que partiu. Decompondo-se v0 nos eixos Ox e Oy, mostrados acima, tem-se: 𝑣𝑜𝑥 cos 𝜃 = ∴ 𝒗𝒐𝒙 = 𝒗𝒐 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑣𝑜 𝑣𝑜𝑦 sen 𝜃 = ∴ 𝒗𝒐𝒚 = 𝒗𝒐 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑣𝑜 - Direção horizontal (Ox): Movimento uniforme, pois não há aceleração.

 Para a posição: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣𝑡 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥 𝑡 ∴ 𝒙 = (𝒗𝒐 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽). 𝒕 - Direção vertical (Oy): Movimento uniformemente variado, pois existe a ação da aceleração gravitacional constante. 

Para a posição: 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0 𝑡 + 𝒈𝒕𝟐

𝑎𝑡² 2

, onde S0 = h0 = 0; v0 = v0y = vo.sen θ; a = – g.

Então: 𝒉 = (𝒗𝒐 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽). 𝒕 − 𝟐  Para a velocidade em função do tempo: 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑣 = 𝑣0 + 𝑣𝑜𝑥 𝑡 ⇒ 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑎𝑡 ∴ 𝒗𝒚 = 𝒗𝒐 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝒈. 𝒕  Para a velocidade em função da altura: 𝑣 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑆 2 𝑣 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑆 ⇒ 𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦 + 2𝑎∆ℎ ∴ 𝒗𝟐𝒚 = 𝒗𝟐𝟎 . 𝒔𝒆𝒏² 𝜽 − 𝟐𝒈∆𝒉 Podemos utilizar as equações acima para obter parâmetros importantes sobre o lançamento, como: i) Tempo de subida: No ponto de altura máxima, a velocidade vertical vy é nula. Logo: 𝑡 = 𝑡𝑠 ; 𝑣𝑦 = 0; 𝒗𝒐 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 0 = 𝑣𝑜 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔. 𝑡𝑠 ∴ 𝒕𝒔 = 𝒈 O tempo total de movimento (ou tempo de voo ou tempo de trajetória) é o tempo total que o corpo leva para tocar o solo novamente (h = h0). Como ele leva o mesmo tempo para subir e para descer, então o tempo total é o dobro do tempo de subida. Daí: 𝒗𝒐 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑡𝑇 = 2. 𝑡𝑠 ∴ 𝒕𝑻 = 𝟐. 𝒈 ii) Altura máxima: No ponto de altura máxima (ℎ𝑀Á𝑋 ), a velocidade vertical vy é nula. Como o objeto partiu do solo, h0 = 0. Logo: 𝑣𝑦 = 0; ∆ℎ = ℎ𝑀Á𝑋 − ℎ0 = ℎ𝑀Á𝑋 − 0 = ℎ𝑀Á𝑋 ; 𝒗𝟐𝟎 . 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 0 = 𝑣02 . 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2𝑔ℎ𝑀Á𝑋 ∴ 𝒉𝑴Á𝑿 = 𝟐𝒈 iii) Alcance: O alcance (A) é dado pela máxima posição na direção Ox em relação à origem, ou seja, o quanto o corpo consegue se afastar horizontalmente da origem de seu lançamento, levando, para isso, o tempo total tT. Assim: 𝑣𝑜 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑥𝑀Á𝑋 = 𝐴 = (𝑣𝑜 . cos 𝜃). 𝑡𝑇 = (𝑣𝑜 . cos 𝜃).2. 𝑔 𝟐 𝟐𝒗𝟎 . 𝐜𝐨𝐬 𝜽 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑨= 𝒈 Ou ainda, usando a relação sen 2θ = 2.sen θ. cos θ: 𝒗𝟐𝟎 . 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝑨= 𝒈 Para um certo valor de velocidade inicial, o máximo alcance que pode ser obtido é com o lançamento a 45º com a horizontal.

Exemplo: Um objeto foi lançado com uma velocidade inicial de 19,6 m/s, inclinado de 30º com a horizontal. Determine o seu tempo de subida, a altura máxima e o seu alcance. 𝑡𝑠 = 𝐴=

𝑣𝑜 .𝑠𝑒𝑛 𝜃

=

𝑔 𝑣02 .𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑔

19,6.𝑠𝑒𝑛 30°

=

= 1 𝑠; ℎ𝑀Á𝑋 =

9,8 19,62 .𝑠𝑒𝑛 60° 9,8

19,62 𝑠𝑒𝑛2 30° 2𝑥9,8

= 4,9 𝑚;

≅ 17 𝑚.

Exercícios: 1 – (UNICAMP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior distância possível. No chute, a bola atinge o campo a uma distância de 400 m. Despreze a resistência do ar. a) Qual o ângulo de tiro do chute do goleiro? b) Qual a intensidade do vetor velocidade da bola? 2 – (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30º com a horizontal e com uma velocidade de 200 m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s² e desprezando a resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto por ele, para atingir a altura de 480 m acima do ponto de lançamento será de: (a) 8 s; (b) 10 s; (c) 9 s; (d) 14 s; (e) 12 s 3 – (UECE) Num lugar onde g = 10 m/s², lançamos um projétil com a velocidade inicial de 100 m/s, formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30°. A altura máxima será atingida após:. (a) 3 s; (b) 4 s; (c) 5 s; (d) 10 s 5.3 Lançamento Horizontal Além de estudar a queda dos corpos, Galileu estudou o lançamento dos corpos na direção horizontal e demonstrou que os tempos de queda de um corpo abandonado e de um corpo lançado na horizontal da mesma altura eram iguais. Isso acontece porque eles caem com a mesma aceleração da gravidade.

O estudo de um corpo lançado na horizontal é feito pela decomposição desse movimento nas direções horizontal (eixo x) e vertical (eixo y). O sentido do eixo x é o mesmo da velocidade de lançamento v0, e o eixo y é orientado para baixo. O movimento total é a composição dos dois movimentos x e y o que dá uma parábola. Resumo:

- A projeção horizontal (x) do móvel descreve um Movimento Uniforme: O vetor velocidade no eixo x se mantém constante, sem alterar a direção, sentido e o módulo. - A projeção vertical (y) do móvel descreve um Movimento Uniformemente Variado: O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido, porém o módulo aumenta à medida que se aproxima do solo. Para o eixo x, tem-se: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥 𝑡 ∴ 𝒙 = 𝒗𝒐 . 𝒕 Para o eixo y, tem-se: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 +

𝑔𝑡² 2

⟹ 𝑯 = 𝑯𝟎 +

𝒈𝒕² 𝟐

Podemos utilizar as equações acima para obter parâmetros importantes sobre o lançamento, como: i) Tempo de queda: Sendo 𝑡 = 𝑡𝑞 ; 𝟐𝑯 𝒕𝒒 = √ 𝒈

ii) Alcance: O alcance (A) é dado pela máxima posição na direção Ox em relação à origem, ou seja, o quanto o corpo consegue se afastar horizontalmente da origem de seu lançamento. É atingido ao tocar o solo novamente, levando, para isso, o tempo de queda tq. Assim, fazendo x = A: 𝐴 = 𝑣𝑜 . 𝑡𝑞 ∴ 𝑨 = 𝒗𝒐 . √

𝟐𝑯 𝒈

iii) Velocidade do corpo: A velocidade v (tangente à trajetória) do corpo em um instante t pode ser calculada por meio de seus componentes vx e vy nas direções horizontal e vertical, respectivamente: Na direção horizontal: 𝑣𝑥 = 𝑣0 Na direção vertical: 𝑣𝑦 = 𝑔𝑡 O módulo da velocidade v, pelo teorema de Pitágoras, é: 𝒗 = √𝒗𝟐𝒙 + 𝒗𝟐𝒚 ∴ 𝒗 = √𝒗𝟐𝟎 + 𝒈²𝒕²

Exemplo: Um avião de salvamento, voando horizontalmente a uma altura de 125m do solo e com velocidade de 108km/h, deve deixar cair um pacote para um grupo de pessoas que ficaram isoladas após um acidente. Para que o pacote atinja o grupo, deve ser abandonado t segundos antes de o avião passar diretamente acima do grupo. Adotando g = 10m/s² e desprezando a resistência oferecida pelo ar, determine: a) O valor de t; b) À que distância horizontal estava o grupo do avião quando o pacote foi lançado; c) a velocidade com que o pacote atinge o solo.

2𝐻

2𝑥125

a) 𝑡𝑞 = √ 𝑔 = √

10

= 5 𝑠; b) 𝑣𝑜 =

108 3,6

= 30 𝑚/𝑠, então: 𝐴 = 𝑣𝑜 . 𝑡𝑞 = 30𝑥5 = 150 𝑚

c) 𝑣𝑥 = 𝑣0 = 30 𝑚/𝑠; 𝑣𝑦 = 𝑔𝑡 = 10𝑥5 = 50 𝑚/𝑠, então 𝑣 = √30² + 50² = √3400 𝑚/𝑠 Exercícios: 4 – Um projétil é atirado horizontalmente de uma torre de 50 m de altura com uma velocidade de 200 m/s. Considerando g = 10 m/s², calcule: a) A altura do projétil no instante t = 2 s; b) O alcance horizontal do projétil. 5 – Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura de 80 m do solo com velocidade de 20 m/s. Considerando g = 10 m/s², em quanto tempo ela atinge o solo? Qual é o seu alcance horizontal? Com que velocidade ela atinge o solo? 6 – (FUVEST-SP) Uma bolinha rola sobre uma mesa de 80 cm de altura e atinge o chão à uma distância de 1,20 m do pé da mesa. Calcule a velocidade da bolinha quando ela: a) deixa a mesa; b) atinge o chão. RESPOSTAS 1) a) 45º. b) 20 m/s. 2) letra (a). 3) letra (c). 4) a) 201 m/s. b) 632,5 m. 5) a) 4 s. b) 80 m. c) 44,7 m/s. 6) a) 3 m/s. b) 5 m/s.