Matemática 2- Semana 18

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GEOMETRIA ANALÍTICA ELIPSE DEFINIÇÃO GERAL DAS CÔNICAS Cônica é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F (foco) e a uma reta fixa d (diretriz) é igual a uma constante não negativa e (excentricidade da cônica). A excentricidade “e” é um número não negativo, pois é a razão de duas distâncias. Se e = 1, a cônica é uma parábola. Se 0 < e < 1, a cônica é uma elipse. Se e > 1, a cônica é uma hipérbole.

I. PONTOS PRINCIPAIS: A 2, A1, B2 e B1 – vértices F2 e F1 – focos C – centro II. SEGMENTO: A 2A1 – eixo maior – m(A 2A1) = 2a B2B1 – eixo menor – m(B2B1) = 2b F2F1 – distância focal – m(F2F1) = 2c III. RELAÇÕES:

e

c  1 Excentricidade a

a2  b2  c2 Relação notável tirada do triângulo retângulo B1CF1 b2 Parâmetro a “Parâmetro de uma cônica é a semicorda focal mínima.” p=

ELIPSE Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que, F2F1 = 2c ≠ 0, chamamos elipse ao lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é constante igual a 2a > 2c.

p=

b2 a

IV. RETAS - DIRETRIZES: Diretrizes da elipse são duas retas, (D1) e (d2), perpendiculares ao a do centro da curva. e

suporte do eixo maior, distando

EQUAÇÃO REDUZIDA EIXO MAIOR NO EIXO X    | F2P |  | FP 1 | 2a

( x  c )a  y 2  ( x  c )2  y 2  2a  x† 2cx  c† y†  2a  x† 2cx  c† y† 

ELEMENTOS DA ELIPSE

x† 2cx  c²  y²  4a²  4a x²  2cx  c²  y²  a x²  2cx  c²  y²  a²  cx  a²x²  2a²cx  a²c²  a²y²  a4  2a²cx  c²x²  a²x²  c²x²  a²y²  a4  a²c²  (a²  c²)x²  a²y²  a²(a²  c²)  x² y² b²x²  a²y²  a²b²   1 a² b² As equações das diretrizes são x  

a e

ELIPSE “DE PÉ” Se F1 (0,C) e F2 (0,-C), o eixo maior está sobre o eixo y.

x2 y2  1 b2 a2

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GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

EQUAÇÃO DA ELIPSE QUANDO HÁ TRANSLAÇÃO DE SISTEMA

de r e ε, resolvido substituindo-se uma variável previamente isolada na equação de r na equação de ε. Com isso, se:

1° caso: elipse com centro O (m, n) e eixo maior horizontal.

II. ∆ = 0: r é tangente a ε;

( x  m)2 ( y  n)2  1, a  b.  a2 b2

y

III. ∆ < 0: r é exterior a ε.

y' EXERCÍCIOS DE

FIXAÇÃO

P (x, y)

y n

I. ∆ > 0: r é secante a ε;

y'

V2

V1 x'

• o

o

01. No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação x 2 + 4y 2 = 4x representa

x'

m

x

x

( x - m)2 ( y - n)2  1, a b b2 a2

P (x, y) y'

n

•

o'

x'

x'

o

m

x

d) uma elipse.

x2 y2 + = 1 é a2 b2 dada por A = ABp. Então, a área da região situada entre as elipses de

400 e 16x 2 + 9y 2 = 144 é: equações 16x 2 + 25y 2 =

y'

y

c) uma parábola.

b) duas retas.

02. A área delimitada por uma elipse cuja equação é

2° caso: elipse com centro O (m, n) e eixo maior vertical.

y

a) uma circunferência.

a) 12p u.a.

c) 8p u.a.

b) 20p u.a.

d) 256p u.a.

e) p u.a.

03. Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão a seguir.

x

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E ELIPSE Sejam ε uma elipse de focos F1 e F2, cujo eixo maior mede 2a, e P um ponto do ponto do plano de ε. 1° caso: A é ponto da elipse. A pertence à elipse ε se, e somente se PF1 + PF2 = 2a 2° caso: A é interior à elipse ε. PF1 + PF2< 2a 3° caso: A é exterior à elipse ε. PF1 + PF2> 2a

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E ELIPSE Sendo ε uma elipse e r uma reta, contidas em mesmo plano, temos: 1º caso: a reta r é exterior à elipse se, e somente se, r ∩ ε = ∅ 2º caso: a reta r é tangente à elipse se, e somente se, r ∩ ε = {P} 3º caso: a reta r é secante à elipse se, e somente se, r ∩ ε = {P1 , P2} PROCESSO PRÁTICO: A quantidade de pontos de interseção entre a reta r e a elipse ∩ ε é dada pelo número de soluções do sistema formado pelas equações

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Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular? a) 10 m.

c) 20 m.

b) 15 m.

d) 25 m.

e) 30 m.

04. Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?

GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

a) 4 m

c) 8 m

b) 6 m

d) 10 m

e) 12 m

08. A área sombreada na figura, limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:

05. Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação

 x2   y2  1, com x e y em milhões de quilômetros.  + =  100   25  A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua p ˆ posição no instante em que o ângulo POA mede . 4

a) π.

c) 3π.

b) 2π.

d) 4π.

e) 6π.

09. (EFOMM) A equação (x 2 144) + (y 2 225) = 1 representa uma a) elipse com focos em (0, 9) e (0, –9). b) circunferência de raio igual 9. c) parábola. d) hipérbole. A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: a) 2 5.

c) 5 2.

b) 2 10.

d) 10 2.

e) 5 10.

06. Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.

e) elipse com centro em (12, 15). 10. (MACKENZIE) A reta de menor coeficiente angular, que passa por um dos focos da elipse 5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y = 3, tem equação: a) 3x – y – 3 = 0

d) x – 2y – 4 = 0

b) 2x – y – 1 = 0

e) x – y + 1 = 0

c) x – 3y – 7 = 0 EXERCÍCIOS DE

TREINAMENTO 01. Determine a equação da elipse em que: a) os focos são F1 (–2, 0) e F2 (2, 0) e o comprimento do eixo maior é 6; b) os vértices são A1 (0, –6), A2 (0, 6), B1 (3, 0) e B2 (–3, 0). O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos.

02. A elipse representada na figura tem equação:

Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m.

b) 4 m.

c) 5 m.

2 –3

d) 6 m.

3

07. A figura representa uma elipse.

–2

A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é

 x2   y2  a)   +   = 1. 5   7 2  ( y − 7 )2   ( x + 5)  b)   = 1.  +   16   9  c) (x – 5)2 + (y – 7)2 = 1.  ( x − 5 )2   ( y + 7 )2  d)   +   = 1.  9   16 

2 x2 + y = 1 4 3

c)

2 x2 + y = 1 9 4

2 y2 b) x + = 1 2 1

d)

2 x2 + y = 1 36 9

a)

e)

2 x2 + y = 1 9 36

2 y2 03. Determine os focos da elipse x + = 1. 4 3

 ( y − 4 )2   ( x + 3 )2  e)   = 1.  +   7   5 

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GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

13. A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8) e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x2/25 + y2/9 = 1, é igual a:

2 y2 04. A excentricidade da elipse x + = 1 é: 7 16

7 3 b) 3 4

3 7 7 4 d) 3

a)

e)

c)

7 16

c) 4

b) 2 10

d) 10

c) 20

b) 16

d) 32

e) 64

14. O gráfico que melhor representa a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:

05. O eixo maior da elipse 5x2 + 2y2 = 20 mede: a) 2

a) 8

e)

a)

d)

10

06. A equação da circunferência com centro na origem e raio igual ao semieixo menor da elipse x2 + 4y2 = 4 é: a) x2 + y2 =

d) x2 + y2 = 1

2

b) x2 + y2 = 16

e)

b)

e) x2 + y2 = 2

c) x2 + y2 = 4 07. Uma elipse está centrada na origem, tem os seus eixos sobre os eixos coordenados e é tangente simultaneamente a x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9. Na determinação desta elipse verifica-se que:

c)

2 x2 + y = 1. a) a solução é 36 16 b) não há solução.

c) a solução é 4x2 + 9y2 = 36. d) a solução é (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1. e) há mais de uma solução. 08. Determine a equação da elipse em que:

15. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, – 6) e F2(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a

a) os focos são F1 (0, –3) e F1 (0, 3) e o comprimento do eixo maior é 8;

a) 22 10

c) 15 10

b) 18 10

d) 12 10

b) os focos são F1 (1, 0) e F2 (–1, 0) e dois vértices são A1 (2, 0), A2 (–2, 0). 09. As coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225 são:  1  1  a)  , 0  e  – , 0   2  2  b) (2, 0) e (–2, 0)

e) 6 10

16. Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x – 2)² + 4(y + 5)² = 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m + n é igual a a) 8.

c) 6.

b) 7.

d) 4.

e) 3.

c) (0, 4) e (0, –4) 17. O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a:

d) (4, 0) e (–4, 0) e) (0, 2) e (0, –2) 10. A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é: a) (-2/3, -1/3)

c) (1/3, -5/3)

b) (2/3, -7/3)

d) (-1/3, 1/3)

e) (-1/4, 1/2)

11. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1,0) e (0,-2) são, respectivamente, a) b)

3 e

1 e 2

1 . 2

c)

1 3 e . 2 2

3.

d)

3 e

e) 2 3 e

3 . 2

3. 2

12. (UECE) A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções da elipse 9x2 + 25y2 = 225 com os eixos coordenados é igual, em unidades de área, a:

108

a) 30

c) 34

b) 32

d) 36

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a) 0

c) 4

b) 3

d) 5

e) 6

x2 y2 + = 1 16 9 no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto P = (8,0) é 18. (ITA) O coeficiente angular da reta tangente à elipse

3 3 1 b) − 2 a) −

c)

−

2 3

e) − 2 4

d) − 3 4

19. A equação 9x2 + 4y2 – 18x – 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36

c) 18

b) 24

d) 16

e) 12

20. (ITA) Tangenciando externamente a elipse α1, tal que α1: 9x2 + 4y2 – 72x – 24y + 144 = 0, considere uma elipse α2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de α1 e cujos eixos têm a mesma

GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

medida que os eixos de α1. Sabendo que α2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de α2 é: a) (7, 3)

c) (8, 3)

b) (8, 2)

d) (9, 3)

e) (9, 2)

21. (ITA) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 – 4x + 8y + 4 = 0. Então: a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.

27. (ESPCEX) Uma elipse tem centro na origem e vértices em (2a, 0) e (0, a), com a > 0. A área do quadrado inscrito nessa elipse é a)

16a2 . 5

c)

12a2 . 5

b)

4a2 . 5

2 d) 8a . 5

2 e) 20a . 5

28. (ESPCEX) Os valores reais de n para os quais a reta (t) y = x + n 6 são iguais a seja tangente à elipse de equação 2x 2 + 3y 2 =

b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. c) C e E são tangentes exteriormente.

a) − 5 e

5

c) -3 e 3

e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.

b) − 3 e

3

d) -2 e 2

22. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesiano usual, a área do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos de 2 2 2 e interseção das elipses representadas pelas equações x + 2y =

29. (AFA) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x 2 + 9y 2 − 8x − 54y + 88 = 0 é correto afirmar que

2x 2 + y 2 = 2 é

a) tem raio igual a 1.

d) C e E são tangentes interiormente.

b) tangencia o eixo das abscissas.

u. a. ≡ unidade de área a)

9 u. a. 2

8 b) u. a. 3

c)

7 u. a. 3

c) é secante ao eixo das ordenadas. 5 d) u. a. 3

23. (AFA) No plano cartesiano, os pontos P(x, y) satisfazem a equação (x − 1)2 (y + 2)2 + = 1 da curva λ. 25 9 Se F1 e F2 são os focos de λ, tais que a abscissa de F1 é menor que a abscissa de F2, é INCORRETO afirmar que a) a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 10. b) F1 coincide com o centro da curva x² + y2 + 6x – 4y = 0. c) F2 é exterior a x² + y² = 25. d) o ponto de abscissa máxima de λ pertence à reta y = x – 8. 24.

(MACKENZIE)

Dadas

e ( I ) x 2 + y 2 − 2x + 8y + 8 = 0 assinale a alternativa INCORRETA.

e) -5 e 5

d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0. 30. (AFA) No plano cartesiano, os focos F1 e F2 da elipse α :

são pontos diametralmente opostos da circunferência λ e coincidem com as extremidades do eixo real de uma hipérbole equilátera β. É INCORRETO afirmar que a) α ∩ β ∩ λ = ∅ . b) λ ∩ β = {F1, F2 } . c) α ∩ β = {A, B, C, D}, sendo A, B, C, D pontos distintos. d) α ∩ λ ≠ ∅ .

as cônicas de equações ( II ) 4x 2 + y 2 − 8x + 8y + 16 = 0,

EXERCÍCIOS DE

COMBATE

a) Os gráficos de (I) e (II) são, respectivamente, uma circunferência e uma elipse. b) As duas cônicas têm centro no mesmo ponto. c) As duas cônicas se interceptam em dois pontos distintos.

x2 y2 + = 1 36 32

01. (AFA 1999) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é

y

d) O gráfico da equação (I) é uma circunferência de raio 3. e) O gráfico da equação (II) é uma elipse com centro C = (1,-4).

9

x2 y2 25. (EN) Seja P(x, y) um ponto da elipse 2 + 2 = 1, de focos F1 e F2 e a b   excentricidade e. Calcule PF1 ⋅ PF2 e assinale a opção correta. a) ex 2 + a(1 + 2e2 )

d) e2x − a(1 + e2 )

b) e2x − a2 (1 + e)

e) e2x 2 + a2 (1 − 2e2 )

1

c) e x + a (1 − 2e) 2 2

2

26. (MACKENZIE) Com relação às equações das elipses 25x2 + 16y2 + 150x + 256y – 351 = 0 e 16x2 + 25y2 – 96x – 200y + 144 = 0, podemos afirmar que

-1 a)

( x  4 )2 ( y  3)2  1 9 16

b)

( x  5)2 ( y  1)2  1 9 16

c)

( x  1)2 ( y  5)2  1 16 9

d)

( x  1)2 ( y  5)2  1 9 16

a) as elipses têm centros coincidentes. b) as elipses têm a mesma distância focal. c) as elipses têm a mesma excentricidade. d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas. e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra.

2

x

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GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

02. (AFA 2003) A área do triângulo cujos vértices são os focos da x2 y2 2 2 elipse   1 e centro na circunferência x   y  3  1 é: 13 4 a) 9/2 b) 3

08. (AFA 2004) Sobre o triângulo PF1F2 onde P(2,2) e F1F2 são da elipse

x² y² + = 1, é correto afirmar que: 9 25 a) é isósceles. b) é obtusângulo.

c) 9

c) tem área igual a 16.

d) 7/2

d) tem perímetro igual a 2√2 + 8.

e) 18 03. (EN 2009) Seja P o ponto de interseção entre as retas r e s de equações 3x – 2y + 4 = 0 e – 4x + 3y – 7 = 0, respectivamente. Seja Q o centro da circunferência de equação x² + y² + 24 = 6x + 8y. A medida do segmento PQ é igual à quarta parte do comprimento do eixo maior da elipse de equação: a) 2x² + y² – 8x – 2x + 7 = 0

09. (ESPCEX) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando x² y² + = 1. o metro como unidade, a elipse é descrita pela equação 36² 60² Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do retângulo MNPQ.

b) 2x² + y² – 4x – 2y – 1 = 0 c) x² + 4y² – 4x – 24y + 36 = 0 d) x² + 2y² – 2x – 8y + 1 = 0 e) x² + 2y² – 4x + 8y + 8 = 0 04. (EN 2012) Um dos focos da elipse 9x² + 4y² = 36 é o ponto: a) b) c)

0, 2   13, 0 0, 13 

d) e)

 5, 0 0, 5 

05. (AFA 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x² + 9y² – 8x – 54y + 88 = 0 é correto afirmar que: a) Tem raio igual a 1.

Assim, a distância entre as retas MN e PQ é a) 48 m

b) Tangencia o eixo das abscissas.

b) 68 m

c) É secante ao eixo das ordenadas.

c) 84 m

d) Intercepta a reta de equação 4x – y = 0.

d) 92 m

06. (UFT 2010) Considere IR o conjunto dos números reais e b ∈ IR. Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x x² + b intercepta a elipse 1 em um único ponto. A soma dos + y² = 4 valores de b é:

e) 96 m 10. (ESPCEX) Sobre a curva 9x² + 25y² – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (–2,1).

a) 0

d) √5

b) A medida do seu eixo maior é 25.

b) 2

e) –2√5

c) A medida do seu eixo menor é 9.

c) 2√5

d) A distância focal é 4.

07. (AFA) Na figura abaixo, F1 e F2 são focos da elipse

x² y² 1 + = 25 9

e) Sua excentricidade é 0,8.

O ponto C, de coordenadas  0, 3  , pertence ao segmento MN. 2  Os segmentos AC, CB e MN são, respectivamente, paralelos aos segmentos F1 P, PF2 e FF A área da figura sombreada, em unidades 1 2. de área, é

y M a) 3

110

F1 A

1

(IME) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F’. A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF’ interceptam a reta s em H e H’, respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o comprimento F’H’ é:

P C

DESAFIO PRO

N B

F2

x

a) 0,5 cm b) 1,0 cm

b) 6

c) 1,5 cm

c) 9

d) 2,0 cm

d) 12

e) 3,0 cm

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GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

2

(IME) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.

0 a) 48x 2 + 36y 2 – 2m2 = 2 2 2 0 b) 8x + 16y – 3m =

5

(IME) Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as seguintes equações: a) y 2 = ±2

35 x 7

b) y 2 = ±4

5 x 7

c) y 2 = ±6

5 x 7

d) y 2 = ±6

35 x 7

e) y 2 = ±8

35 x 63

2 2 2 0 c) 16x + 48y – 3m = 2 2 2 0 d) 8x + 24y – m =

e) 16x 2 – 24y 2 – m2 = 0

3

(IME) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

GABARITO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. D

04. E

07. B

02. C

05. B

08. C

03. C

06. C

09. A

10. E

EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 01. a) 1; b) 1

11. E

21. C

02. 1

12. A

22. B

03. 1

13. D

23. B

04. B

14. C

24. C

05. B

15. D

25. E

b) 49x 2 – 406x – 49y 2 + 441 = 0

06. 1

16. C

26. C

0 c) 9x 2 + 49y 2 – 441 =

07. 36

17. C

27. A

08. 1

18. D

28. A

09. (–4, 0) e (4, 0)

19. B

29. B

10. D

20. D

30. D

a) 49x 2 + 9y 2 – 280x + 120y – 441 = 0

2

2

d) 9x + 9y + 120y – 441 = 0 2

2

e) 9x – 49y – 441 = 0

4

(IME) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a 3 e

EXERCÍCIOS DE COMBATE

3 . Considere que os pontos A, B, C e D 2 representam as interseções da elipse com as retas de equações y = x e y = –x. A área do quadrilátero ABCD é

excentricidade igual a

a) 8

01. D

04. E

07. B

02. C

05. B

08. B

03. D

06. A

09. E

02. D

03. C

10. E

DESAFIO PRO 01. D

04. D

05. E

b) 16 16 3 16 d) 5 16 e) 7

c)

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GEOMETRIA ANALÍTICA - ELIPSE

ANOTAÇÕES

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