Matemática 2- Semana 9

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EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

A identificação das soluções da equação no ciclo trigonométrico encontra-se na figura seguinte.

Vamos mostrar como resolver equações trigonométricas básicas, onde temos uma linha trigonométrica aplicada sobre uma função e igual a um determinado valor. Um exemplo desse tipo de equação é

1 . Normalmente, mesmo as equações trigonométricas mais 2 complexas, terminam com a resolução de uma equação dessa forma. sen2x =

EQUAÇÃO EM SENO Seja a ∈  tal que |a| ≤ 1, então

sen   a    arc sen a  2k, k         arc sen a  2k, k   k

Notação resumida:   k   1  arc sen a, k   Observe que representamos a solução da equação utilizando a função arco seno por se tratar de um caso geral. Na maioria dos problemas são apresentados ângulos cujos valores das linhas trigonométricas são conhecidos. Ao resolver uma equação trigonométrica, é sempre útil identificar as soluções no ciclo trigonométrico, como na figura seguinte.

Exemplo:

cos 2x 

1    2x  2k  , k    x  k  , k   3 6 2

Se, na equação cos α = a, o valor de a for tal que |a| > 1, então o conjunto solução da equação é vazio. Exemplo: cos x = 2 ⇔ S = ∅

EQUAÇÃO EM TANGENTE Seja a ∈ , então

tg   a    arc tg a  k, k   Observe que a equação em tangente possui solução para qualquer valor de a real. A identificação das soluções da equação no ciclo trigonométrico encontra-se na figura seguinte.

Exemplo:

1 k   2x  k   1  , k    2 6 k  k  x  1  , k   2 12

sen 2x 

Se, na equação sen α = a, o valor de a for tal que |a| > 1, então o conjunto solução da equação é vazio. Exemplo: sen x = 2 ⇔ S = ∅

EQUAÇÃO EM COSSENO Seja a ∈  tal que |a| ≤ 1, então

cos   a    2k  arccos a, k  

Exemplo:

tg2x  1  2x 

  k  k, k    x   , k   4 8 2

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EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

EQUAÇÕES COM IGUALDADE DE LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

Exemplo:

  3x   2x    2k, k    3   2k ,k x    15 5 cos 3x  cos  2x    3    3x   2x    2k, k    3    x   2k, k   3

EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE SENOS sen   sen        2k, k          2k, k   Observe que dois arcos que possuem o mesmo seno ou são côngruos      2k, k    ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Oy. No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por     2k1, k1   e         2k 2, k 2  , o que implica       2 k1  k 2      2k, k  . Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:

sen   sen   sen   sen   0       2 sen   cos  0  2   2       sen    0  cos  0  2   2        k, k        2k, k   sen  0 2  2     cos    k, k    0 2 2  2         2k, k   k

Notação resumida:   k   1  , k   Exemplo:

  2x   x    2k, k    4    x    2k, k     4 sen 2x  sen  x    4    2x   x      2k, k    4  5 2k x  ,k 12 3

EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE COSSENOS cos   cos       2k, k   Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos      2k, k    ou suas imagens são simétricas em relação ao eixo Ox. No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por     2k1, k1   e     2k 2, k 2   , o que implica     2 k1  k 2    2k, k   . A notação     2k, k   representa a união das soluções de ambos os casos. Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner: cos   cos   cos   cos   0 

     2 sen    sen  0  2   2       sen    0  sen  0  2   2    sen   k, k        2k, k   0 2  2       sen   k, k        2k, k   0 2  2 

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Exercício Resolvido 01. (ITA 1993) O conjunto das soluções da equação sen 5x = cos 3x contém o seguinte conjunto:

    

    

  k ,k 16 5

a)

  k ,k 16 3

b) c) d) e)

  k ,k 4 3   k ,k 4 2

  2k, k   4

Resolução: E

  sen 5x  cos 3x  cos   5x   cos 3x  2   k      5x   3x  2k  x   , 16 4 2   k    x   k, k   4



S  x|x  





 k   , k    x   k, k    16 4 4



  2k, k   4

EQUAÇÃO COM IGUALDADE DE TANGENTES tg   tg       k, k   Observe que dois arcos que possuem o mesmo cosseno ou são côngruos      2k, k    ou suas imagens são simétricas em relação à origem dos eixos ordenados. No segundo caso, os ângulos seriam dados, sem perda de generalidade, por         2k1, k1   e     2k 2, k 2   , o que implica       2 k1  k 2      2k, .k   A notação     k, k   representa a união das soluções de ambos os casos. Outra maneira de resolver essa equação é usando as fórmulas de Werner:

tg  tg  tg  tg  0 

sen      0 cos   cos 

 sen       0      k, k   Exemplo:

    tg  4 x    tg2x   4 x    2x  k, k    4 4    k  x   ,k 8 2

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

OUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EQUAÇÃO DO TIPO a senx + b cosx = c Seja a equação a senx + b cos x = c, onde a · b ≠ 0, temos:

a sen x  b cos x  c 

a 2

2

a b

Seja o ângulo θ tal que sen   então sen  sen x  cos  cos x  Se 1 

b

sen x 

c a2  b2

2

2

a b a

a2  b2

cos x 

c 2

a  b2 b

e cos  

 cos  x    

a2  b2 c

a2  b2

,

.

c    2k, k  .  1, então x    arccos  2 2  2 2 a b  a b  c

Os valores que satisfazem a inequação são aqueles cujo seno 1     5  é menor ou igual a , ou seja, S  0,    , 2  . 2  6  6 

EQUAÇÃO DO TIPO a sen²x + b senx cosx + c cos²x = d

EXERCÍCIOS DE

FIXAÇÃO

Seja a equação a sen²x + b senx cosx + c cos²x = d, onde abc ≠ 0, temos:

a sen2 x  b sen x cos x  c cos2 x  d   cos2 x    a tg2 x  b tg x  c  d sec2 x

3 01. Se  senx = e 0 ≤ x ≤ 2π , então a soma dos valores possíveis 2 para x é

 a tg2 x  b tg x  c  d 1 tg2 x  

  a  g tg2 x  b tg x   c  d  0 Observe que ao dividir a equação original por cos²x, obtivemos uma nova equação em tgx. Se a equação em tgx possuir raízes reais, então a expressão reduz-se a duas equações da forma tgx = p.

EQUAÇÃO DO TIPO a(senx + cosx) + b senx cosx = c Vamos efetuar uma substituição de variável para resolver essa equação.

a)

π 2

c)

3π 2

b)

π

d)

2π

e)

π 3

02. (EEAR) No ciclo trigonométrico, a igualdade sen(πx) = 0 é verdadeira se e somente se x é um número a) real qualquer.

c) imaginário.

b) inteiro.

d) irracional.

2

sen x  cos x  z   sen x  cos x   z2   1 2 sen x cos x  z2  sen x cos x 

z2  1 2

03. Se sen x + cos 2x = 1, então um dos valores de sen x é a) 1

Substituindo esses valores na equação original, temos:

a  sen x  cos x   b sen x cos x  c  2

z 1  c  bz2  2az  b  2c   0 2 Basta agora resolver a equação em z e retornar a substituição, observando que  2  sen x  cos x  2 (vide a solução da equação do item 3.1).  az  b 

b)

INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Para simplificar uma inequação trigonométrica são utilizadas as mesmas técnicas utilizadas nas equações trigonométricas, obtendose ao final uma inequação básica. Para resolver essa inequação, basta marcar as soluções da “equação” no ciclo trigonométrico e, posteriormente, identificar os intervalos que satisfazem a inequação.

1 2

2 2

d)

− 3 3

e)

−

1 2

 04. Os valores de x que satisfazem a equação cos  3x −  a)

x=

7π π + k ; k = 0, ± 1, ± 2,... 30 3

b)

x=

7π π + k ; k = 0, ± 1, ± 2,... 15 3

c)

x=

7π π + k ; k = 0, ± 1, ± 2,... 2 4

d)

x=

7π π + k ; k = 0, ± 1, ± 2,... 5 2

e)

x=

7π π + k ; k = 0, ± 1, ± 2,... 4 6

Exercício Resolvido

1 01. Resolva a inequação sen x ≤ em [0,2π]. 2 Resolução: Inicialmente, vamos marcar no ciclo trigonométrico as raízes de 1 π 5π e . sen x = que são 6 2 6

c)

π 0 , são = 5

05. O número de raízes da equação cos x + sen x = 0 no intervalo [ π,3π ] é: a) 2

d) 4

b) 1

e) 0

c)

3

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EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

π e o dobro do seu seno é igual 2 ao triplo do quadrado da sua tangente, então o valor do seu cosseno é 06. Se θ é um ângulo tal que 0 < θ <

a)

3 3

b)

2 2

a)  − {5} e [−1,1]

e) 1

3 2 d) 2 3 c)

a)

4π

c)

2π

b)

3π

d)

π

08. A soma das raízes da equação 1 – 4xos2x = 0, compreendias entre 0 e π é:

b)

π 3 π

c)

3π 4

d)

5π 6

 1 1 d) * e  ,  6 3

 1 1 b)  e  − ,   5 4

07. No intervalo [0,π], a soma das raízes da equação 3cos2x – 7sen2x + 2 = 0 é igual a

a)

1 04. (ESPCEX) O domínio e a imagem da função f(x) = são, 5 − senx respectivamente,

e)

7π 6

09. A solução da inequação sen2x < 2senx, no intervalo fechado [0,2π] é: a)

0 < x < 2π

c)

0