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Folha de Matemática Com Questões Resolvidas 1. (G1 - cmrj 2019) TABELA DOS VALORES NOMINAIS DO SALÁRIO MÍNIMO VIGÊNCIA VALOR MENSAL De 01/01/2018 a 𝑅$ 954,00 31/12/2018 De 01/01/2017 a 𝑅$ 937,00 31/12/2017 De 01/01/2016 a 𝑅$ 880,00 31/12/2016 De 01/01/2015 a 𝑅$ 788,00 31/12/2015 Disponível em: . Acesso em 18 ago. 2018. (Adaptado)

Rodrigo, ex-aluno do CMRJ, cursa Psicologia na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Em janeiro de 2015, começou um estágio na sua área, recebendo a remuneração mensal de um salário mínimo. Pensando no futuro, resolveu fazer algumas economias e poupou um salário mínimo em 2015; dois salários mínimos em 2016; três salários mínimos em 2017 e um salário mínimo em 2018. Com base nos valores do salário mínimo de cada ano, apresentados na tabela acima, verifica-se que suas economias totalizaram a) 𝑅$ 6.313,00 b) 𝑅$ 6.297,00 c) 𝑅$ 6.256,00 d) 𝑅$ 6.221,00 e) 𝑅$ 6.193,00 2. (G1 - cmrj 2019) Observe a tabela, a seguir, que mostra dados relativos aos estádios da Copa do Mundo de futebol da Rússia:

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Sedes Arena de Ecaterimburgo Arena Kazan Arena Rostov Arena Volgogrado Estádio de Fisht Estádio de Kaliningrado Estádio de Níjni Novgorod Estádio de São Petersburgo Estádio Lujniki Estádio Spartak Mordovia Arena Samara Arena

Cidades

Capacidade Partidas

Ecaterimburgo

33.061

4

42.873

6

43.472

5

Volgogrado

43.713

4

Sóchi

44.287

6

Caliningrado

33.973

4

Níjni Novgorod

43.319

6

São Petersburgo

64.468

6

Moscovo

78.011

6

Moscovo

44.190

5

Saransk

41.685

4

Samara

41.970

6

Cazã Rostov Don

do

Disponível em: . Acesso em: 19 ago. 2018.

Na cidade de Moscovo (Moscou), os estádios apresentaram uma taxa de ocupação de 100% em todos os jogos, totalizando, em números absolutos, um público de a) 685.432 pessoas b) 687.146 pessoas c) 689.016 pessoas d) 691.426 pessoas e) 693.356 pessoas 3. (G1 - cmrj 2019)

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c) 32 minutos d) 26 minutos e 40 segundos e) 33 minutos e 20 segundos 5. (Ufrgs 2019) Considere as afirmações sobre números inteiros. I. Todo número primo é ímpar. II. Se 𝑎 é um número múltiplo de 3, então 2𝑎 é múltiplo de 6. III. Se 𝑎 é um número par, então 𝑎2 é um número par. A Copa do Mundo de Futebol, realizada a cada quatro anos, teve sua primeira edição em 1930. Somente nos anos de 1942 e 1946, o evento foi suspenso devido à Segunda Guerra Mundial. No entanto, desde 1950 até os dias de hoje, o evento ocorre sem interrupções temporais. Sabendo que a próxima competição será disputada no Qatar, no ano de 2022, a edição dessa Copa do Mundo será a de número a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20 4. (G1 - cmrj 2019)

Quais estão corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas II e III. e) I, II e III. 6. (G1 - cmrj 2019) Em um campeonato de tiro ao alvo, Arthur, Bruno e César começaram a atirar juntos, sempre efetuando disparos simultaneamente. Arthur foi o primeiro a acertar um tiro no alvo, em sua segunda tentativa. Em seguida, Bruno acertou o alvo ao disparar pela terceira vez. Por fim, César consegue acertar no alvo no seu quarto tiro. Após o primeiro tiro certo no alvo de cada competidor, observou-se o seguinte padrão: Arthur: 3 tiros errados, seguidos de um tiro certo no alvo. Bruno: 5 tiros errados, seguidos de um tiro certo no alvo. César: 7 tiros errados, seguidos de um tiro certo no alvo.

Maria e Paula são amigas de infância e, sempre que podem, saem para pedalar juntas em torno do Estádio do Maracanã. Um dia, empolgadas com a ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram cronometrar o tempo que cada uma levava para dar uma volta completa em torno do estádio. Constataram que Maria dava uma volta completa em 6 minutos e 40 segundos, enquanto Paula demorava 8 minutos para fazer o mesmo percurso, ambas com velocidades constantes. Paula, então, questionou o seguinte: “Se sairmos juntas de um mesmo local, no mesmo momento, mas em sentidos contrários, em quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, no mesmo ponto de partida?” A resposta correta para a pergunta de Paula está presente na alternativa a) 48 minutos b) 40 minutos Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

No campeonato, cada competidor disparou 420 tiros. O número de vezes em que os três competidores acertaram, simultaneamente, o alvo é igual a a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 7. (Ita 2019) Considere as seguintes afirmações: I. se 𝑛 é um número natural, então 1

1

1 𝑛+1

1

+ 𝑛+2 +

⋯ + 2𝑛 ≥ 2.

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II. se 𝑥 é um número real e 𝑥 + 𝑥 + 1 = 0, então 𝑥 + 1 1 + 6 = 0. 𝑥

𝑥

III. se 𝑎,  𝑏 e 𝑐 são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então 1 1 1 ,  ,  formam, nessa ordem, uma pro√𝑏+√𝑐

√𝑐+√𝑎

√𝑎+√𝑏

gressão aritmética. É(são) VERDADEIRA(S) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) todas. 8. (G1 - cmrj 2019)

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I. O inverso de um irracional é sempre irracional. II. Seja a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑋 e 𝑌 dois subconjuntos quaisquer de 𝐴, então 𝑓(𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑓(𝑋) ∩ 𝑓(𝑌). III. Seja a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑋 e 𝑌 dois subconjuntos quaisquer de 𝐴, então 𝑓(𝑋 ∪ 𝑌) = 𝑓(𝑋) ∪ 𝑓(𝑌). IV. Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 não vazios, então 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 se, e somente se, 𝐵 ⊂ 𝐴. Obs.: 𝑓(𝑍) é a imagem de 𝑓 no domínio 𝑍. São corretas: a) I, apenas. b) I e III, apenas. c) II e IV, apenas. d) I e IV, apenas. e) II e III, apenas. 10. (Acafe 2018) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa que contém todas as corretas. I. A distância entre as retas paralelas 𝑟: 𝑥 − 3𝑦 + √10

Stanley Martin Lieber, nascido em Nova Iorque, em 28 de dezembro de 1922, mais conhecido como Stan Lee, é um escritor, editor, publicitário, produtor, diretor, empresário norte-americano e ator que, em parceria com outros importantes nomes dos quadrinhos, – especialmente os desenhistas Jack Kirby, Steve Ditko e John Romita – criou, a partir do início dos anos 1960, diversos super-heróis. Disponível em:>. Acesso em: 21 ago. 2018. (Adaptado)

Sabendo que Stan está vivo e ainda participa como figurante eterno em filmes dos heróis da Marvel, o número escrito em fatores primos, que representa a idade completa de Lee em 28 de dezembro de 2018, possui expoente a) 3 para o fator 2 b) 2 para o fator 3 c) 5 para o fator 2 d) 1 para o fator 5 e) 2 para o fator 7 9. (Ime 2018) Considere as alternativas: Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

6 = 0 e 𝑠: 2𝑥 − 6𝑦 + 7 = 0 é . 4 II. Para que os pontos 𝐴 (−1,  2), 𝐵 (3,  1) e 𝐶 (7,  𝑘) sejam colineares, o valor de 𝑘 é 2. III. Numa confeitaria existem apenas quatro tipos diferentes de doces. Uma pessoa que deseja comprar cinco doces nessa confeitaria poderá fazê-lo de, exatamente, 1.024 modos distintos. IV. A soma de dois números irracionais pode resultar em um número racional. V. A soma das coordenadas do baricentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 em que 𝑀 (−1,  5), 𝑁 (2,  1) e 𝑃 (5,  6) são os pontos médios dos seus lados é 6. a) IV - V b) III - V c) I - IV - V d) I - II - III 11. (G1 - cp2 2019) Vanessa participará de uma corrida que acontecerá no dia 31 de dezembro de 2018. No programa elaborado pelo seu treinador, ela deveria correr 6 𝑘𝑚 todos dias por um período de 𝑛 dias consecutivos. Desse modo, o treino terminaria 2 dias antes do evento. Vanessa, porém, verificou que, nesse período, planejado inicialmente, não poderia treinar por 4 dias. Então, para compensar, resolveu correr, por dia, 1 𝑘𝑚 a mais do que o planejado, de modo que a

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distância total percorrida por ela fosse a mesma, terminando também 2 dias antes do evento. De acordo com o programa de treinamento de Vanessa, a data em que ela teria de começar a se preparar para a corrida é a) 01/12/2018. b) 02/12/2018. c) 03/12/2018. d) 04/12/2018. 12. (G1 - epcar (Cpcar) 2019) Elisa pretende comprar um computador que custa 𝑥 reais. Ela possui 70% do valor total do computador e ainda vai ganhar de seus avós uma herança, que será totalmente repartida entre ela e suas irmãs Daniella e Lavínia. Nessa partilha, Elisa recebeu 0,2777. .. da herança, Da7 niella 1.200 reais e Lavínia da herança. 18 Ao fazer as contas do quanto possuía para comprar o computador, percebeu que ainda lhe faltavam 200 reais para realizar a compra. O valor 𝑥 do computador é, em reais, tal que o número de divisores naturais de 𝑥 é a) 18 b) 20 c) 22 d) 24

e)

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142 99

15. (G1 - ifpe 2018) Na turma do primeiro período do curso de Computação Gráfica do IFPE – Olinda há 36 pessoas. O número de meninos dessa turma é o triplo do número de meninas, logo, podemos afirmar, que nessa turma, temos a) 27 meninas. b) 18 meninas. c) 9 meninas. d) 3 meninas. e) 12 meninas. 16. (Eear 2019) A parte real das raízes complexas da equação 𝑥 2 − 4𝑥 + 13 = 0, é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 17. (G1 - cp2 2019) Nas salas de aula do Colégio Pedro II serão colocados pisos conforme a figura a seguir:

13. (Fuvest 2019) Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs. O número total de filhos e filhas da família é a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 15 14. (Fgv 2018) Sendo 𝑚 e 𝑛 números reais, a operação 𝑚 𝑛 é definida como sendo igual a 2 − 𝑚 − 𝑛. Observe dois exemplos de uso dessa simbologia:

Se 𝑥 é um número real tal que 𝑥 igual a 7 a) b)

12 106

75 17

c) 12

71

d) 50 Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

−0,83̄ = 𝑥, então 𝑥 é

Cada piso é formado por quatro retângulos iguais de lados 10 𝑐𝑚 e (𝑥 + 10) 𝑐𝑚, respectivamente, e um quadrado de lado igual a 𝑥 𝑐𝑚. Sabendo-se que a área de cada piso equivale a 900 𝑐𝑚 2 , o valor de 𝑥, em centímetros, é a) 10. b) 23. c) 24. d) 50. 18. (G1 - cp2 2019) Luíza estava brincando com seu joguinho no celular, no qual uma serpente deve comer os insetos que aparecem na tela. No início do jogo, a serpente é formada por um retângulo de dimensões 𝑥 𝑚𝑚 por (5𝑥 + 12) 𝑚𝑚 e, a cada inseto que come, ela aumenta o seu tamanho em um quadrilátero de área 10 𝑚𝑚 2 . Após comer 8 insetos, a serpente, totalmente esticada, representa um retângulo de área 112 𝑚𝑚 2 . CURSOS EXCLUSIVOS: http://www.matematicapassoapasso.com.br

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As dimensões da serpente, em milímetros, no início do jogo são, respectivamente, iguais a a) 1,6 e 20,0. b) 2,0 e 22,0. c) 3,6 e 30,0. d) 4,0 e 32,0. 19. (Mackenzie 2018) Se 𝑓: ℝ → ℝ é uma função definida por 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 𝑥 + 1, então os valores de 𝑥 para os quais 𝑓 assume valores positivos são a) −2 < 𝑥 < 1 b) −1 < 𝑥 < 2 1 c) −1 ≤ 𝑥 ≤ 2 1

d) −1 < 𝑥 < 2 1

e) − 2 < 𝑥 < 1 20. (G1 - epcar (Cpcar) 2018) Numa doceria comprei dois tipos de doce. Do primeiro tipo, 6 unidades de determinado valor unitário. Do segundo tipo, cujo valor unitário é 3 reais mais caro que o primeiro tipo, comprei uma quantidade que equivale ao dobro do valor unitário do primeiro tipo. Entreguei seis notas de 50 reais para pagar tal compra e recebi 30 reais de troco. Dos dois tipos de doce que comprei, gastei com o mais caro, em reais, um total de a) 216 b) 198 c) 162 d) 146 21. (Espm 2018) 𝑥 3−𝑦 3 𝑥 3 +𝑥 2𝑦+𝑥𝑦 2

O valor numérico da expressão

para 𝑥 = 0,8 e 𝑦 = 0,3 é igual a:

a) 0,325 b) 0,125 c) 0,415 d) 0,625 e) 0,275 22. (Uece 2018) A soma de todas as frações da forma 𝑛 , onde 𝑛 é um elemento do conjunto {1,  2,  3,  4,  5}, 𝑛+1 é a) 4,55. b) 6,55. c) 5,55. d) 3,55. 23. (Mackenzie 2018) Se 𝑥 e 𝑦 são números reais não 𝑥 nulos tais que 𝑥𝑦 = = 𝑥 − 𝑦, então o valor de 𝑥 + 𝑦 é 𝑦

igual a 3 a) − 2 Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

b) − 2 c) 0 1 d) 2 3

e) 2 24. (Imed 2018) Maria e seu marido realizaram uma viagem ao Nordeste e, para maior comodidade, resolveram locar um carro. Observe duas opções que eles encontraram. 1ª opção: Locadora Quatro Rodas: Taxa fixa de 𝑅$ 140,00 mais 𝑅$ 1,40 por quilômetro rodado; 2ª opção: Locadora Superveloz: Taxa fixa de 𝑅$ 90,00 mais 𝑅$ 1,50 por quilômetro rodado; Inicialmente a empresa Superveloz oferece um plano mais atrativo ao cliente, mas, a partir de certa quilometragem, o valor da empresa Quatro Rodas passa a ser mais barato. Determine a partir de quantos quilômetros passa a ser mais vantajoso locar o carro na empresa Quatro Rodas e assinale a alternativa correspondente: a) quando a distância for superior a 80 𝑘𝑚 b) quando a distância for superior a 230 𝑘𝑚 c) quando a distância for superior a 27 𝑘𝑚 d) quando a distância for superior a 500 𝑘𝑚 e) quando a distância for superior a 2.300 𝑘𝑚 25. (Espm 2018) Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS), o Índice de Massa Corporal (IMC) ideal para um indivíduo adulto deve estar entre 18,5 e 25. Para o cálculo, usa-se a 𝑝𝑒𝑠𝑜 fórmula 𝐼𝑀𝐶 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2. De acordo com o exposto, o peso ideal para um adulto de 1,70 𝑚 de altura deve estar entre: a) 54 𝑘𝑔 e 65 𝑘𝑔 b) 56 𝑘𝑔 e 70 𝑘𝑔 c) 48 𝑘𝑔 e 67 𝑘𝑔 d) 60 𝑘𝑔 e 75 𝑘𝑔 e) 54 𝑘𝑔 e 72 𝑘𝑔 26. (Ita 2019) Considere as seguintes afirmações: I. se 𝑥1 , 𝑥2 e 𝑥3 são as raízes da equação 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 2 = 0, então 𝑦1 = 𝑥2 𝑥3 ,  𝑦2 = 𝑥1 𝑥3 e 𝑦3 = 𝑥1 𝑥2 são as raízes da equação 𝑦 3 − 𝑦 2 − 4𝑦 − 4 = 0. II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.

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d) 36 e) 37

3+√5 1+√5 III. √ 2 = 2 .

É(são) VERDADEIRA(S) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) todas. 27. (Efomm 2019) Seja 𝑓(𝑘) = 𝑘 2 + 3𝑘 + 2 e seja 𝑊 o conjunto de inteiros {0,  1,  2, . . . ,  25}. O número de elementos de 𝑊, tais que 𝑓(𝑊) deixa resto zero, quando dividido por 6, é: a) 25 b) 22 c) 21 d) 18 e) 17 28. (Ime 2019) Sejam 𝑥1 ,  𝑥2 e 𝑥3 raízes da equação 𝑥 3 − 𝑎𝑥 − 16 = 0. Sendo 𝑎 um número real, o valor de 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 é igual a: a) 32 − 𝑎 b) 48 − 2𝑎 c) 48 d) 48 + 2𝑎 e) 32 + 𝑎 29. (Ita 2018) Para que o sistema {

𝑥+𝑦 = 1 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑐2

admita apenas soluções reais, todos os valores reais de 𝑐 pertencem ao conjunto 1 a) ]−∞, − [. 4 1

1

b) ]−∞, − 4] ∪ 4 ,  ∞[. 1

1

c) [− 2 , − 4]. 1

d) 2 ,  ∞[.

1

1

e) ]−∞, − 2] ∪ 2 ,  ∞[. 30. (Efomm 2018) Seja 𝐶 = {𝑎1 ,  𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 } com 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ 𝑎3 ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑛 , o conjunto das 𝑛 raízes da equação: 1 𝑑 3 5 ⋅ (𝑥 − 4) + = −4(𝑥 + 1) + 4𝑥 3 𝑑𝑥 (𝑥 − 2)−1 Determine o valor de 𝑎1 𝑛 + 𝑎2 𝑛 + 𝑎3 𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑛 . a) −5 b) 7 c) 25 Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

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Folha de Matemática Com Questões Resolvidas Gabarito:

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três competidores nunca acertarão o alvo simultaneamente.

Resposta da questão 1: [A] A resposta é 788 + 2 ⋅ 880 + 3 ⋅ 937 + 954 = R$ 6.313,00. Resposta da questão 2: [C] A resposta é dada por 6 ⋅ 78011 + 5 ⋅ 44190 = 689016. Resposta da questão 3: [C] 2022−1930

Tem-se que + 1 = 24. Logo, sabendo que em 4 1942 e 1946 o evento foi suspenso, podemos concluir que a resposta é 24 − 2 = 22. Resposta da questão 4: [B] Desde que Maria leva 6 𝑚𝑖𝑛   40 𝑠 = 6 ⋅ 60 + 40 = 400 𝑠 para dar uma volta completa e Paula demora 8 𝑚𝑖𝑛 = 8 ⋅ 60 = 480 𝑠 para percorrer o mesmo percurso, podemos concluir que elas se encontrarão após

Resposta da questão 7: [C] [I] Como 𝑛 ∈ ℕ, 2𝑛 = 𝑛 + 𝑛 ≥. . . ≥ 𝑛 + 2 ≥ 𝑛 + 1 Então, 1 1 ≥ 𝑛 + 1 2𝑛 1 1 ≥ 𝑛 + 2 2𝑛 1 1 ≥ 𝑛 + 3 2𝑛 ⋮ 1 1 ≥ 𝑛 + (𝑛 + 1) 2𝑛 1 1 1 + +. . . + 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 + (𝑛 − 1) ⏟ (𝑛−1) 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠

≥

(𝑛−1) 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠

1 1 1 1 + +. . . + + 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 + (𝑛 − 1) 2𝑛 ⏟ 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠

≥ mmc(400, 480) = mmc(24  52 , 25  3  5) 5

= 2 35

2

= 2400 s = 40min.

Resposta da questão 5: [D] Analisando as afirmativas: [I] FALSO. Dois é primo e par. [II] VERDADEIRO. O dobro de um número múltiplo de 3 é divisível pelo dobro de 3 (seis). [III] VERDADEIRO. A multiplicação de um número par por qualquer outro (inclusive ele mesmo) gera um número par. Resposta da questão 6: [E] Arthur acerta os tiros de número 2,  6,  10, … ,  418; Bruno acerta os tiros de número 3,  9,  15, … ,  417 e César acerta os tiros de número 4,  12,  20, … ,  420. Logo, observando que os números dos tiros acertados por Arthur são pares e que os números dos tiros acertados por Bruno são ímpares, podemos concluir que os

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1 1 1 + +. . . + ⏟ 2𝑛 2𝑛 2𝑛

1 1 1 1 + +. . . + + ⏟ 2𝑛 2𝑛 2𝑛 2𝑛 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠

1 1 1 1 1 + +. . . + + ≥𝑛⋅ 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 + (𝑛 − 1) 2𝑛 2𝑛 1 1 1 1 1 + +. . . + + ≥ 𝑛+1 𝑛+2 𝑛 + (𝑛 − 1) 2𝑛 2 Portanto, a afirmação [I] é verdadeira. [II] Note que na equação 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 ≠ 0. Daí, 𝑥3 + 𝑥 + 1 = 0 𝑥3 + 𝑥 + 1 0 = 𝑥 𝑥 𝑥3 𝑥 1 + + =0 𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑥2 + 1 + = 0 𝑥 1 2 𝑥 + = −1 𝑥 1 1 1 2 𝑥 + + 6 = −1 + 6 𝑥 𝑥 𝑥 Observemos que como 𝑥 ∈ ℝ, a equação 1 −1 + 𝑥 6 = 0 possui somente as raízes 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1. Como 1 e −1 não são raízes da equação 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = 0, a afirmação [II] é falsa. CURSOS EXCLUSIVOS: http://www.matematicapassoapasso.com.br

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[III] Como 𝑎,  𝑏 e 𝑐, formam, nessa ordem, uma PA, temos: 𝑏 = 𝑎 + 𝑟 e 𝑐 = 𝑎 + 2𝑟. Daí, 1

√𝑏 − √𝑐 √𝑎 + 𝑟 − √𝑎 + 2𝑟 = 𝑏−𝑐 −𝑟 √𝑏 + √𝑐 1 √𝑐 − √𝑎 √𝑎 + 2𝑟 − √𝑎 = = 𝑐−𝑎 2𝑟 √𝑐 + √𝑎 1 √𝑎 − √𝑏 √𝑎 − √𝑎 + 𝑟 = = 𝑎−𝑏 −𝑟 √𝑎 + √𝑏 =

Note que: 2⋅

√𝑎+2𝑟−√𝑎 2𝑟

=

√𝑎+2𝑟−√𝑎 𝑟 1

que garante que

√𝑏+√𝑐

=

, 

√𝑎+𝑟−√𝑎+2𝑟 −𝑟 1 1

√𝑐+√𝑎

e

+

√𝑎+√𝑏

√𝑎−√𝑎+𝑟 , −𝑟

o

formam,

nessa ordem, uma PA.

𝑋 = {4,  5},  𝑌 = {5,  6} 𝑒 𝑋 ∩ 𝑌 = {5}. 𝑓 (𝑋) = {7,  8} 𝑓 (𝑌) = {7,  8} 𝑓 (𝑋 ∩ 𝑌) = {8} 𝑓 (𝑋) ∩ 𝑓 (𝑌) = {7,  8} Como 𝑓 (𝑋) ∩ 𝑓(𝑌) ≠ 𝑓(𝑋 ∩ 𝑌), a afirmação II é falsa.

Portanto, a afirmação [III] é verdadeira. Assim, são verdadeiras, apenas as afirmações [I] e [III]. Resposta da questão 8: [C] Tem-se que a idade completa de Stan Lee, em 28 de dezembro de 2018, era 2018 − 1922 = 96 anos. Logo, como 96 = 25 ⋅ 3, segue o resultado.

Análise da afirmação [III]: (𝑖 ) Para qualquer 𝑎 ∈ (𝑋 ∪ 𝑌), 𝑓 (𝑎) ∈ 𝑓(𝑋 ∪ 𝑌). Dessa forma, 𝑎 ∈ 𝑋   𝑜𝑢   𝑎 ∈ 𝑌 ⇒ 𝑓 (𝑎) ∈ 𝑓(𝑋) 𝑜𝑢 𝑓 (𝑎) ∈ 𝑓(𝑌) 𝑓(𝑎) ∈ 𝑓 (𝑋) 𝑜𝑢 𝑓(𝑎) ∈ 𝑓 (𝑌) ⇒ 𝑓(𝑎) ∈ 𝑓(𝑋 ∪ 𝑌) 𝑓(𝑋 ∪ 𝑌) ⊂ 𝑓 (𝑋) ∪ 𝑓 (𝑌) (𝑖𝑖 ) Para qualquer 𝑏 ∈ (𝑓(𝑋) ∪ 𝑓 (𝑌)), 𝑏 ∈ 𝑓 (𝑋) 𝑜𝑢 𝑏 ∈ 𝑓(𝑌) Então, existe 𝑎 ∈ 𝑋 𝑜𝑢 𝑎 ∈ 𝑌 tal que 𝑓 (𝑎) = 𝑏.

Resposta da questão 9: [B] Análise da afirmação [I]: Seja 𝛼 um número irracional. 1 1 𝑎 Suponhamos que 𝛼 seja racional, ou seja, 𝛼 = 𝑏 , com a e b inteiros e primos entre si. 1 𝑎 De 𝛼 = 𝑏 , 𝑏 𝛼= 𝑎 𝑏 Note que 𝑎 é um número racional, o que é absurdo, pois, por hipótese, 𝛼 é irracional. 1 Portanto, 𝛼 é irracional, o que torna a afirmação I verdadeira. Análise da afirmação [II]: Consideremos o seguinte contraexemplo:

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Portanto, 𝑏 ∈ 𝑓(𝑋 ∪ 𝑌) ⇒ 𝑓(𝑋) ∪ 𝑓(𝑌) ⊂ 𝑓(𝑋 ∪ 𝑌) De (𝑖 ) e de (𝑖𝑖 ), 𝑓 (𝑋 ∪ 𝑌) = 𝑓 (𝑋) ∪ 𝑓 (𝑌) Assim, a afirmação [III] é verdadeira. Análise da afirmação [IV]: Consideremos o seguinte contraexemplo: 𝐴 = {2} 𝑒 𝐵 = {2,  3} 𝐴 ∩ 𝐵 = {2} = 𝐴 {2,  3} ⊄ {2} ⇒ 𝐵 ⊄ 𝐴 Assim, a afirmação [IV] é falsa. Dessa forma, somente as afirmações [I] e [III] são verdadeiras. Resposta da questão 10: [C]

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Folha de Matemática Com Questões Resolvidas [I] Verdadeira. Com efeito, reescrevendo a equação de 7 𝑠, obtemos 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0. Daí, segue que a distância entre 𝑟 e 𝑠 é 7 |6 − | 5 √10 2 = = . 4 √12 + (−3)2 2√10 [II] Falsa. Na verdade, o valor de 𝑘 para que os pontos 𝐴,  𝐵 e 𝐶 sejam colineares é tal que −1 3 7 −1 | | = 0 ⇔ −1 + 3𝑘 + 14 − 6 − 7 + 𝑘 2 1 𝑘 2 =0 ⇔𝑘=0 [III] Falsa. Sejam 𝑎,  𝑏 , 𝑐 e 𝑑 as quantidades de cada um dos quatro tipos de doces que serão comprados. O resultado pedido corresponde ao número de soluções inteiras e não negativas da equação 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 5. Logo, como esse número é dado por 8! 8 𝐶𝑅45 = ( ) = = 56, 5 5!   ⋅ 3!

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• pág. 9

𝑄𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 = 6𝑛 31/12/2018 − 2 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 29/12/2018 6𝑛 = 7 ⋅ (𝑛 − 4) ⇒ 6𝑛 = 7𝑛 − 28 ⇒ 𝑛 = 28 29/12/2018 − 28 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 02/12/2018 Resposta da questão 12: [D] Admitindo que 𝑦 seja o valor da herança da Avó de Eliza, podemos escrever que: 7 (0,277. . . ) ⋅ 𝑦 + 1200 + 𝑦 = 𝑦 18 27 − 2 7 ⋅ 𝑦 + 1200 + 𝑦 = 𝑦 90 18 12𝑦 − 𝑦 = −1200 18 1 − 𝑦 = −1200 3 𝑦 = 3600 5

Elisa recebeu da herança de sua avó: ⋅ 18 3600 = 1000 Podemos, então, escrever que: 0,7𝑥 + 1000 + 200 = 𝑥 ⇒ 𝑥 = 4000

segue o resultado. Sabemos que 4000 = 25 ⋅ 53 . [IV] Verdadeira. De fato, os números √3 e 2 − √3 são irracionais, mas sua soma é igual a 2, um número racional. [V] Verdadeira. Podemos escrever 𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 =5 2 𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 = 10 |𝑥 + 𝑥 𝐴 𝐵 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = −2 . | ⇔ = −1 | 2 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 4 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 =2 2 Logo, somando ordenadamente as equações e simplificando, encontramos 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 6. Analogamente, vem 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 =6 2 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 = 12 |𝑦 + 𝑦 𝐴 𝐵 = 5 ⇔ |𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 10 | 2 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 2 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 =1 2   ⇔ 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 12. Portanto, a soma das coordenadas do baricentro é 𝑦 +𝑦 +𝑦 6 12 + 𝐴 3𝐵 𝐶 = 3 + 3 = 6. 3

𝑥𝐴 +𝑥𝐵 +𝑥𝐶

Resposta da questão 11: [B] Calculando: Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

Portanto, seu número de divisores naturais será dado por: 𝑑 = (5 + 1) ⋅ (3 + 1) = 24 Resposta da questão 13: [C] Sejam 𝑥 e 𝑦, respectivamente, o número de filhos e o número de filhas. Logo, desde que 𝑦 − 𝑥 1 = 2 e 𝑥 − 1 = 𝑦, temos 𝑥 = 4 e 𝑦 = 3. A resposta é 4 + 3 = 7. Resposta da questão 14: [C] Calculando: 2 − 𝑥 − (−0,83) = 𝑥 ⇒ 2 + 0,83 = 2𝑥 ⇒ 𝑥 = 17 1,415 = 12 Resposta da questão 15: [C] Número de meninas: 𝑥 Número de meninos: 3𝑥 Portanto: 3𝑥 + 𝑥 = 36 4𝑥 = 36 𝑥=9 CURSOS EXCLUSIVOS: http://www.matematicapassoapasso.com.br

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Folha de Matemática Com Questões Resolvidas Então, nesta turma há 9 meninas. Resposta da questão 16: [B] Do enunciado, temos: −(−4) ± √(−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 13 𝑥= 2⋅1 4 ± √−36 𝑥= 2 4 ± 6𝑖 𝑥= 2 𝑥 = 2 ± 3𝑖 Logo, a parte real das raízes complexas é 2. Resposta da questão 17: [A] Calculando: 4 ⋅ 10 ⋅ (𝑥 + 10) + 𝑥 2 = 900 ⇒ 40𝑥 + 400 + 𝑥 2 = 900 ⇒ 𝑥 2 + 40𝑥 − 500 = 0 2 Δ = 40 − 4 ⋅ 1 ⋅ −500 = 3600 𝑥 = −50 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) −40±√3600 ⟨𝑜𝑢 𝑥= ⇒ 2⋅1 𝑥 = 10 Resposta da questão 18: [A]

Conheça a Plataforma Matemática Passo a Passo! • pág. 10

Como a parábola tem concavidade para baixo (𝑥 é negativo) a função assumirá valores posi1 tivos quando − 2 < 𝑥 < 1. Resposta da questão 20: [A] Calculando: 𝑥 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 𝑥 + 3 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑝𝑜 2 𝑦 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑖𝑝𝑜 2 = 2𝑥 6𝑥 + 2𝑥 ⋅ (𝑥 + 3) = 6 ⋅ 50 − 30 6𝑥 + 2𝑥 2 + 6𝑥 = 270 ⇒ 2𝑥 2 + 12𝑥 − 270 = 0 ⇒ 𝑥 2 + 6𝑥 − 135 = 0 2 Δ = 6 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−135) = 576 𝑥=9 −6 ± √576 𝑥= ⇒ ⟨𝑜𝑢 2⋅1 𝑥 = −15 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 𝐷𝑜𝑐𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 = 9 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ⇒ 𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑙   𝑔 𝑎𝑠𝑡𝑜 = 6 ⋅ 9 = 54 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝐷𝑜𝑐𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 2 = 12 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ⇒ 𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑙   𝑔 𝑎𝑠𝑡𝑜 = 18 ⋅ 12 = 216 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 Resposta da questão 21: [D] Calculando: 𝑥 3−𝑦 3 𝑥 3+𝑥 2𝑦+𝑥𝑦 2

=

(𝑥−𝑦)⋅(𝑥 2+𝑥𝑦+𝑦 2 ) 𝑥⋅(𝑥 2+𝑥𝑦+𝑦 2 )

=

𝑥−𝑦 𝑥

=

0,8−0,3 0,8

=

0,625 Calculando: 𝑥 ⋅ (5𝑥 + 12) + 8 ⋅ 10 = 112 5𝑥 2 + 12𝑥 + 80 − 112 = 0 ⇒ 5𝑥 2 + 12𝑥 − 32 = 0 Δ = 122 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−32) = 784 16 𝑥= = 1,6 𝑚𝑚 10 −12 ± √784 𝑥= ⇒ ⟨𝑜𝑢 2⋅5 −40 𝑥= = −4 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 10 Dimensões: 1,6 𝑚𝑚 e (5𝑥 + 12) = 20 𝑚𝑚 Resposta da questão 19: [E] Calculando as raízes: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 𝑥 + 1 Δ = 12 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 1 = 9 −1 𝑥= −1 ± √9 2 𝑥= ⇒{ −4 𝑜𝑢 𝑥=1

Resposta da questão 22: [D] Calculando: 1 2 3 4 5 60+80+90+96+100 426 +3+4+5+6 = = 120 = 3,55 2 120 Resposta da questão 23: [A] Calculando: 𝑥 𝑥 𝑥𝑦 = ⇒ 𝑦 2 = = 1 ⇒ 𝑦 = ±1 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 −1 { ⇒ 𝑦 = −1 ⇒ −𝑥 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 = 2 1 3 𝑥 + 𝑦 = −1 − 2 = − 2 Resposta da questão 24: [D] Calculando:

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Folha de Matemática Com Questões Resolvidas 140 + 1,4𝑥 = 90 + 1,5𝑥 ⇒ 140 − 90 = 1,5𝑥 − 1,4𝑥 ⇒ 50 = 0,1𝑥 ⇒ 𝑥 = 500 𝑘𝑚 Resposta da questão 25: [E]

Conheça a Plataforma Matemática Passo a Passo! • pág. 11

𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 2) ⋅ ((3𝑘 + 2)2 + 2) 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 2) ⋅ (9𝑘 2 + 12𝑘 + 4 + 2) 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 2) ⋅ (9𝑘 2 + 12𝑘 + 6) 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 2) ⋅ 3 ⋅ (3𝑘 2 + 4𝑘 + 2) 𝑛 = 9 ⋅ (3𝑘 + 2)(3𝑘 2 + 4𝑘 + 2) (múltiplo de 9)

Calculando:

𝑝𝑒𝑠𝑜 ⇒ 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑚í𝑛 = 53,465 𝑘𝑔 1, 72 ⇒ 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑚á𝑥 = 72,25 𝑘𝑔 18,5 =

25 =

𝑝𝑒𝑠𝑜 1,72

Resposta da questão 26: [E]

Assim, a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9. Portanto, a afirmação [II] é verdadeira. [III] Note que: 2

1 + √5 1 + 2√5 + 5 ( ) = 2 4

[I] Seja 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥3 + 𝑥1 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 1

2

1 + √5 6 + 2√5 ( ) = 2 4 2

𝑦1 𝑦2 + 𝑦1 𝑦3 + 𝑦2 𝑦3 = 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 + 𝑦1 𝑦3 + 𝑦2 𝑦3 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥3 + 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥2 + 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑦1 𝑦2 + 𝑦1 𝑦3 + 𝑦2 𝑦3 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) 𝑦1 𝑦2 + 𝑦1 𝑦3 + 𝑦2 𝑦3 = −2 ⋅ 2 𝑦1 𝑦2 + 𝑦1 𝑦3 + 𝑦2 𝑦3 = −4 𝑦1 𝑦2 𝑦3 = 𝑥2 𝑥3 ⋅ 𝑥1 𝑥3 ⋅ 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑦3 = (𝑥1 𝑥2 𝑥3 )2 𝑦1 𝑦2 𝑦3 = 4 Assim, 𝑦1 , 𝑦2 e 𝑦3 são raízes da equação 𝑦 3 − 𝑦 2 − 4𝑦 − 4 = 0. Portanto, a afirmação [I] é verdadeira. [II] Seja 𝑥 ∈ ℤ. 𝑛 = (𝑥 − 1)3 + 𝑥 3 + (𝑥 + 1)3 𝑛 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1 + 𝑥 3 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑛 = 3𝑥 3 + 6𝑥 𝑛 = 3𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 2) Seja 𝑥 = 3𝑘 ou 𝑥 = 3𝑘 + 1 ou 𝑥 = 3𝑘 + 2,  𝑘 ∈ ℤ. Para 𝑥 = 3𝑘, 𝑛 = 3 ⋅ 3𝑘 ⋅ ((3𝑘)2 + 2) 2 𝑛 = 9𝑘 ⋅ (9𝑘 + 2) (múltiplo de 9) Para 𝑛 = 3𝑘 + 1, 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 1) ⋅ ((3𝑘 + 1)2 + 2) 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 1) ⋅ (9𝑘 2 + 6𝑘 + 1 + 2) 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 1) ⋅ (9𝑘 2 + 6𝑘 + 3) 𝑛 = 3 ⋅ (3𝑘 + 1) ⋅ 3 ⋅ (3𝑘 2 + 2𝑘 + 1) 𝑛 = 9 ⋅ (3𝑘 + 1)(3𝑘 2 + 2𝑘 + 1) (múltiplo de 9) Para 𝑛 = 3𝑘 + 2, Canal: http://www.youtube.com/c/matematicapassoapasso

2 ⋅ (3 + √5) 1 + √5 ( ) = 2 4 2

1 + √5 3 + √5 ( ) = 2 2 Assim, 2

√3 + √5 = √(1 + √5) 2 2

√3 + √5 = 1 + √5 2 2 Portanto, a afirmação [III] é verdadeira. Dessa forma, todas as afirmações são verdadeiras. Resposta da questão 27: [E] Consideremos que w seja um elemento do conjunto 𝑊. Calculando 𝑓(𝑤), obtemos: 𝑓(𝑤) = 𝑤 2 + 3𝑤 + 2 = (𝑤 + 1) ⋅ (𝑤 + 2) Sabemos que o produto de dois números consecutivos é sempre um número par. Portanto, 𝑓(𝑤) é um número par. Para que 𝑓(𝑤) seja múltiplo de 6 devemos admitir um 𝑤 que deixa resto 1 ou 2 quando divisível por 3. Portanto, 𝑤 não poderá ser múltiplo de 3 para que 𝑓(𝑤) seja múltiplo de 6. No conjunto 𝑊 há 9 múltiplos de 3. (0,  3,  6,  9,  12,  15,  18,  21,  24). Portanto, o número de elementos 𝑤 que torna 𝑓(𝑤) divisível por 6 é 26 − 9 = 17.

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Conheça a Plataforma Matemática Passo a Passo! • pág. 12

𝑥 2 + 5𝑥 − 10 = −4 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0

Resposta da questão 28: [C] Do enunciado, temos: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑥3 (𝑥1 + 𝑥2 )3 = (−𝑥3 )3 𝑥1 3 + 3 ⋅ 𝑥1 2 ⋅ 𝑥2 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 2 + 𝑥2 3 = −𝑥3 3 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 = −3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (⏟𝑥1 + 𝑥2 ) 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 = 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 −(−16) 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 = 3 ⋅ 1 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 = 48

−𝑥3

Assim, 𝑛 = 2 e queremos calcular 𝑎12 + 𝑎22 , onde 𝑎1 e 𝑎2 são raízes da equação 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0. Daí, (𝑎1 + 𝑎2 )2 = 𝑎12 + 2𝑎1 𝑎2 + 𝑎22 (−5)2 = 𝑎12 + 𝑎22 + 2 ⋅ (−6) 2 2 𝑎1 + 𝑎2 = 37

Resposta da questão 29: [E] Gabarito Oficial: [E] Gabarito SuperPro®: [B] ou [E] De 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = 13 𝑥 3 + 𝑦 3 + 3𝑥𝑦 ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 1 Como 𝑥 + 𝑦 = 1 e 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑐 2 , temos: 𝑐 2 + 3𝑥𝑦 ⋅ 1 = 1 3𝑥𝑦 + 𝑐 2 = 1 Da equação 𝑥 + 𝑦 = 1,  𝑦 = 1 − 𝑥, logo, 3𝑥 ⋅ (1 − 𝑥) + 𝑐 2 = 1 3𝑥 − 3𝑥 2 + 𝑐 2 = 1 3𝑥 2 − 3𝑥 + 1 − 𝑐 2 = 0 Δ = (−3)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (1 − 𝑐 2 ) Δ = 9 − 12 ⋅ (1 − 𝑐 2 ) Para que o sistema admita apenas soluções reais, devemos ter: 9 − 12 ⋅ (1 − 𝑐 2 ) ≥ 0 1 𝑐2 ≥ 4 1 1 𝑐 ≤ −   𝑜𝑢  𝑐 ≥ 2 2 Observação: O gabarito oficial é alternativa [E], mas se c   −, −    ,   , então c   −, −    ,   e 4 4  2 2    1

1

1

1

isso valida a alternativa [B]. Resposta da questão 30: [E] 1

De 3 ⋅

𝑑(𝑥 3−4) 𝑑𝑥

5

+ (𝑥−2)−1 = −4 ⋅ (𝑥 + 1) + 4𝑥, temos:

1 ⋅ 3𝑥 2 + 5 ⋅ (𝑥 − 2) = −4𝑥 − 4 + 4𝑥 3

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