II TRABALHO - SINAIS E SISTEMAS EM MATLAB

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ENGENHARIA ELÉTRICA PROFESSORA: Dra. MARIA DE FÁTIMA SANTOS FARIAS

SINAIS E SISTEMAS: SIMULAÇÃO NO SOFTWARE MATLAB

CLÓVIS DA CONCEIÇÃO MELO MARTINS JUNIOR / COD. : 2012038031 TASSO MAGNO VIEIRA QUARESMA FILHO / COD. : 2012043800 CAIQUE MATEUS CARVALHO NASCIMENTO / COD. : 2012038022 ANTONIO CARLOS MEDEIROS JUNIOR / COD. : 2012037992

SÃO LUÍS - MA 2013

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

SINAIS E SISTEMAS: SIMULAÇÃO NO SOFTWARE MATLAB

ORIENTADOR: Profa. Dra. MARIA DE FÁTIMA SANTOS FARIAS COORDENADOR DE CURSO: Profa. Dra. MARIA DE FÁTIMA S. FARIAS

SÃO LUIS - MA DATA: 11/03/2013

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SUMÁRIO

1 – Objetivos........................................................................................................................01 2 – Introdução.......................................................................................................................01 3 - Conceitos Preliminares...................................................................................................03 3.1 - Sinal de tempo continuo..........................................................................................03 3.2 - Sinal de tempo discreto...........................................................................................03 3.3 - Onda quadrada.........................................................................................................03 3.4 - Onda Triangular......................................................................................................05 3.5 - Sinais Elementares..................................................................................................06 3.5.1 - Sinais Exponenciais......................................................................06 3.5.2 - Sinais Senoidais............................................................................07 3.5.3 - Função Degrau..............................................................................07 4 - Procedimentos – Utilizando o MATLAB.......................................................................08 4.1 - Sinais Periódicos.....................................................................................................08 4.2 - Onda Triangular......................................................................................................09 4.3 - Onda Quadrada de tempo discreto..........................................................................10 4.4 - Sinal exponencial decrescente.................................................................................11 4.5 - Sinal exponencial crescente....................................................................................12 4.6 - Sinal exponencial decrescente utilizando potencias elemento por elemento..........13 4.7 - Sinal Senoidal..........................................................................................................14 4.8 - Sinal Senoidal de tempo discreto.....................................................................15 4.9 - Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido................................................16

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4.10 - Sequencia Senoidal Exponencialmente Amortecida......................................17 4.11 - Função Degrau e Pulso Retangular................................................................18 5 – Conclusão.......................................................................................................................19 6 - Referencias Bibliográficas..............................................................................................20

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1 – OBJETIVOS 

Explorar os conceitos e princípios básicos de sinais elementares através de simulações computacionais por meio do software MATLAB da empresa MathWorks;



Fixar a operação e uso do MATLAB e do Simulink. Programas que serão usados no decorrer de todo o curso, tanto como ferramanta de projeto de controladores como para simulação de sistemas e análise de dados.

2 - INTRODUÇÃO O MATLAB (MATrix LABoratory) é um software interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico. Tem a capacidade de integrar análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos matematicamente, ao contrário da programação tradicional. Criada no fim dos anos 1970 por Cleve Moler, então presidente do departamento de ciências da computação da Universidade do Novo México, logo se espalhou para outras universidades e encontrou um forte uso no âmbito da comunidade matemática aplicada. Jack Little, um engenheiro, conheceu a linguagem MATLAB, durante uma visita feita por Moler a Universidade de Stanford em 1983. Reconhecendo o seu potencial comercial, ele juntou-se a Moler e Steve Bangert. Eles reescreveram MATLAB em C, em 1984 fundaram a MathWorks e prosseguiram no seu desenvolvimento. As bibliotecas reescritas ficaram conhecidas como LAPACK. O MATLAB foi adotado pela primeira vez por engenheiros de projeto de controle, a especialidade de Little, e rapidamente se espalhou para outros campos de aplicação. Agora, é também utilizado nas áreas da educação, em especial o ensino da álgebra linear e análise numérica, e é muito popular entre os cientistas envolvidos com o processamento de imagem.

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Assim, constitui um sistema interativo cujo elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. Além disso, as soluções dos problemas são expressas quase exatamente como elas são escritas matematicamente. Nessas condições, visando a sua aplicação e familiarização, o programa acima foi utilizado para reproduzir os gráficos de alguns sinais e sistemas, onde o primeiro é definido como uma função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre a natureza de um fenômeno físico, e o segundo é definido como uma entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, produzindo assim, novos sinais. Além disso, encontra-se a seguir, alguns conhecimentos específicos, imprescindíveis para o entendimento dos procedimentos realizados.

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3 – CONCEITOS PRELIMINARES Há diversos sinais elementares que se destacam no estudo dos sinais e sistemas. A lista de sinais elementares inclui os sinais exponenciais e senoidais, a função degrau impulso e a função rampa. Esses sinais elementares são muitas vezes usados na construção de sinais mais complexos, modelando, assim, muitos sinais físicos que ocorrem na natureza. 3.1 – Sinal de tempo continuo Sinais que estão definidos para todo tempo t. Surgem naturalmente quando uma forma de onda física como, por exemplo, uma onda acústica ou onda luminosa, é convertida em sinal elétrico. A conversão é feita mediante a presença de um transdutor. 3.2 – Sinal de tempo discreto Está definido somente em intervalos isolados de tempo. Assim, a variável independente tem somente valores discretos, os quais no geral são uniformemente espaçados. Frequentemente, é derivado de um de um sinal de tempo continuo fazendose uma amostragem do mesmo a uma taxa uniforme. 3.3 - Onda quadrada Uma onda quadrada é uma forma de onda básica encontrada frequentemente nas áreas da eletrônica e do processamento de sinais. Uma onda quadrada ideal alterna regularmente e instantaneamente entre os dois níveis, que podem ou não incluir o zero. As ondas quadradas são universalmente encontradas nos circuitos de chaveamento digitais e são naturalmente encontradas em dispositivos lógicos de dois níveis. Elas são utilizadas como referências de tempo em "sinais de clock (relógio)", devido a suas transições rápidas serem aplicáveis para o trigger de circuitos de lógica síncrona em intervalos de tempo precisos. Entretanto, as ondas quadradas contêm uma grande faixa de harmônicas, e estas podem gerar radiação eletromagnética ou pulsos de corrente que podem interferir em circuitos próximos, causando ruídos ou erros. Para evitar esses problemas em circuitos muito sensíveis tais como conversores analógicodigitais de precisão, as senóides são utilizadas como referência de tempo ao invés das ondas quadradas.

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Em termos musicais, elas são comumente descritas como contendo um som oco, e são utilizadas como base para sons de instrumentos de sopro criados através da síntese subtrativa. Utilizando a série de Fourier pode-se escrever uma onda quadrada ideal como uma série infinita da forma

A onda quadrada possui outras definições, as quais são equivalentes exceto no ponto das descontinuidades: Ela pode ser definida simplesmente como o sinal de uma senóide:

que será 1 quando a senóide for positiva, -1 quando a senóide for negativa, e 0 na descontinuidade. Ela também pode ser definida com respeito à função de passo Heaviside u(t) ou à função retangular ⊓(t):

T é 2 para um duty cycle de 50%. Ele também pode ser definido de uma forma descontínua:

quando

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3.4 – Onda Triangular. Uma onda triangular é uma espécie básica de forma de onda não-senoidal que recebeu este nome devido ao seu formato semelhante a um triângulo.

Figura 1. Uma onda triangular com limite de banda representada no domínio do tempo (acima) e no domínio da frequência (abaixo). A onda fundamental é a 220 Hz (A2).

Uma onda triangular com limite de banda representada no domínio do tempo (acima) e no domínio da frequência (abaixo). A onda fundamental é a 220 Hz (A2). Como uma onda quadrada, a onda triangular contém apenas harmônicas ímpares. Entretanto, as harmônicas superiores se reduzem muito mais rapidamente do que em uma onda quadrada (proporcional ao inverso do quadrado do número harmônico ao invés de apenas ao inverso), e desse modo seu som é mais natural do que o de uma onda quadrada, sendo mais próximo do som da uma onda seno. É possível se aproximar de uma onda triangular utilizando síntese aditiva adicionando-se harmônicas ímpares à fundamental, multiplicando-se cada (4n−1)énsima harmônica por −1 (ou mudando sua fase por

), e inserindo as harmônicas com o

inverso do quadrado de sua frequência relativa à frequência fundamental. Esta série infinita de Fourier converge para uma onda triangular:

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3.5 – Sinais Elementares Servem como blocos de construção para sinais mais complexos e modelam sinais físicos que acontecem na natureza. Divide-se em: 

Sinais Exponenciais;



Sinais Senoidais;



Sinal Senoidal exponencialmente amortecido;



Função Degrau;



Função Impulso;



Função Rampa.

3.5.1 – Sinais Exponenciais Um sinal exponencial real, em sua forma mais geral, é escrito como:

em que: B = Parâmetro real / amplitude do sinal exponencial medido no tempo t=0 a = Parâmetro real. Se a < 0, é dito exponencial decrescente; se a > 0, é dito sinal exponencial crescente. Em termos de tempo discreto, tem-se a seguinte equação:

A natureza desse sinal é prontamente confirmada definindo-se

para algum .

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3.5.2 – Sinais Senoidais Um sinal senoidal é sempre contínuo, pois )

Para o caso discreto, temos

O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras,

onde N é o período. Então,

Para

que

a

condição

ou

de

periodicidade

seja

satisfeita

tem-se

que:

(radianos/ciclo), m, N inteiros.

Nem todos os sistemas senoidais de tempo discreto com valores arbitrários de Ω são periódicos. Ω deve ser um múltiplo na forma de razão de 2π. Exemplo: A=1, f=0 e N=12 3.5.3 – Função Degrau 

A função degrau é um sinal simples de aplicar, como uma fonte DC aplicada em t = 0 fechando-se uma chave.



Como sinal de teste, um degrau é útil para revelar a rapidez com que o sistema responde a uma mudança abrupta no sinal de entrada.



Uma observação similar se aplica a u[n] no contexto discreto.



A função degrau também é usada de base para construção de outros sinais.

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4 – PROCEDIMENTOS – UTILIZANDO O MATLAB 4.1 – Sinais Periódicos Considere, inicialmente, a geração de uma onda quadrada de amplitude A, freqüência fundamental w0 e ciclo de trabalho rho (medida em radianos por segundo). Ou seja, rho é a fração de cada período para qual o sinal é positivo. Utilizando o comando básico A *square (w0*t + rho), Gera-se a onda quadrada por meio da seqüência de comandos: >> A=1; >> w0 = 10*pi; >> rho = 0.5; >> t = 0:.001:1; >> sq = A*square(w0*t + rho); >> plot(t, sq) >> axis([0 1 -1.2 1.2]) Onda quadrada 1 0.8 0.6

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 2. Gráfico da onda quadrada.

12

4.2 – Onda Triangular Considere, em seguida, a geração de uma onda triangular de amplitude A, freqüência fundamental w0 (medida em radianos por segundo), e largura W. Admitamos que o período da onda triangular seja T, com o primeiro valor máximo ocorrendo t = WT. O comando básico para gerar esse segundo sinal periódico é: A*sawtooth(w0*t + W) Gera-se a onda triangular simétrica por meio dos seguintes comandos : >> A = 1; >> w0 = 10*pi; >> W = 0.5; >> t = 0:0.001:1; >> tri = A*sawtooth(w0*t + W); >> plot(t, tri) >> axis([0 1 -1.2 1.2]) Onda triangular 1 0.8 0.6

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 3. Gráfico da Onda triangular

13

1

4.3 – Onda quadrada de tempo discreto Sabe-se que um sinal gerado no MATLAB tem natureza inerentemente de tempo discreto. Para visualizá-los, utiliza-se o comando stem. De maneira específica, stem (n, x) descreve os dados contidos no vetor x como um sinal de tempo discreto nos valores de tempo definidos por n. Os vetores n e x devem ter, obviamente, dimensões compatíveis. Utilizando a seguinte seqüência de comandos, obtem-se a onda quadrada de tempo discreto. >> A = 1; >> omega = pi/4; >> rho = 0.5; >> n = -10:10; >> x = A*square(omega*n + rho); >> stem(n, x) >> axis([0 1 -1.2 1.2]) Onda quadrada de tempo discreto 1 0.8 0.6

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10

-8

-6

-4

-2

0 Tempo

2

4

6

8

10

Figura 4. Gráfico da onda quadrada de tempo discreto.

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4.4 – Sinal exponencial decrescente Para gerar sinais exponenciais, usa-se o comando B*exp(-a*t) . Usando os comandos seguintes, gera-se a exponencial desejada: >> B = 5; >> a = 6; >> t = 0:.001:1; >> x = B*exp(-a*t);

% exponencial decrescente

>>plot(t, x) >> axis([0 1 0 5])

Sinal exponencial decrescente 5 4.5 4

Amplitude

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 5. Gráfico da exponencial decrescente

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4.5 – Sinal exponencial crescente Para gerar sinais exponenciais, usa-se o comando B*exp(a*t) . Usando os comandos seguintes, gera-se a exponencial desejada: >> B = 1; >> a = 5; >> t = 0:0.001:1; >> x = B*exp(a*t);

% exponencial crescente

>>plot(t, x) >> axis([0 1 0 150]) Sinal exponencial crescente 150

Amplitude

100

50

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 6. Gráfico da exponencial crescente

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4.6 – Sinal exponencial decrescente utilizando potencias elemento por elemento Na seqüência a seguir, percebe-se que o sinal .^ para denotar potencia elemento por elemento. Dela, resulta o gráfico mostrado posteriormente: >> B = 1; >> r = 0.85; >> n = -10:10; >> x = B*r.^n;

% exponencial decrescente

>> stem(n, x) >> axis([-11 11 0 5.5])

EXPONENCIAL DECRESCENTE (TEMPO DISCRETO) 5.5 5 4.5 4

AMPLITUDE

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

-10

-8

-6

-4

-2

0 TEMPO DISCRETO

2

4

6

8

10

Figura 7. Gráfico da exponencial decrescente usando potencia elemento por elemento.

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4.7 – Sinal Senoidal Um sinal cosseno de amplitude A, freqüência w0, e ângulo de fase phi (em radianos) é obtido usando-se o comando: A*cos(w0*t + phi)

Com a sequencia de comandos a seguir, gera-se o gráfico desejado: >> A = 4; >> w0 = 20*pi; >> phi = pi/6; >> t = 0:.001:1; >> cosine = A*cos(w0*t + phi); >> plot(t, cosine) >> axis([0 1 -4.2 4.2]) Sinal senoidal 4 3 2

Amplitude

1 0 -1 -2 -3 -4 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 8. Gráfico do sinal senoidal.

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4.8 – Sinal Senoidal de tempo discreto Da seqüência de comandos a seguir, gera-se o gráfico desejado: >> A = 1; >> omega = 2*pi/12;

% frequência angular

>> phi = 0; >> n = -10:10; >> y = A*cos(omega*n); >> stem(n, y) >> axis([-10.2

10.2

-2

2])

Sinal senoidal de tempo discreto 1 0.8 0.6

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10

-8

-6

-4

-2

0 Tempo

2

4

6

8

10

Figura 9. Gráfico do sinal senoidal de tempo discreto

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4.9 – Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido Suponha que multipliquemos um sinal senoidal por um sinal exponencial para gerar um sinal senoidal exponencialmente amortecido. Sendo cada componente de sinal representado por um vetor, a geração desse sinal produto exige a multiplicação de um vetor por outro vetor numa base de elemento a elemento. O MATLAB representa a multiplicação de elemento a elemento usando um ponto seguido de um asterisco, conforme dito a seguir: A*sin(w0*t + phi).*exp(-a*t) Para um exponencial decrescente, a é positivo. O conjunto complete de commandos e o gráfico gerado por eles estão representados a seguir: >> A = 60; >> w0 = 20*pi; >> phi = 0; >> a = 6; >> t = 0:.001:1; >> expsin = A*sin(w0*t + phi).*exp(-a*t); >> plot(t, expsin) >> axis([-40

60

0

1]) ONDA SENOIDAL EXPONENCIALMENTE AMORTECIDA

60

50

40

30

AMPLITUDE

20

10

0

-10

-20

-30

-40

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 TEMPO

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 10. Gráfico da Onda Senoidal Exponencialmente Amortecida.

20

1

4.10 – Sequencia Senoidal Exponencialmente Amortecida Essa sequencia é obtida multiplicando a sequencia senoidal exponencial decrescente

pela sequencia

. Assim, ambas as sequencias são definidas para

n = -10: 10. Dessa forma, usando

para denotar essa sequencia produto,

podemos usar os seguintes comandos e visualizá-la: >> z = x.*y; % multiplicação elemento a elemento >> stem(n, z) >> axis([-1.2

1.2

0

11])

Exemplo de multiplicação elemento a elemento 1 0.8 0.6

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10

-8

-6

-4

-2

0 Tempo

2

4

6

8

10

Figura 11. Gráfico da seqüência senoidal exponencialmente amortecida.

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4.11 – Função Degrau e Pulso Retangular Um par de funções degrau deslocadas no tempo, uma em relação a outra, podem ser usadas para produzir um pulso retangular. Assim, por meio do seguinte conjunto de comandos, gera-se um pulso retangular centralizado na origem, conforme ilustrado a seguir : >> t = -1:1/500:1; >> u1 = [zeros(1, 250), ones(1, 751)]; >> u2 = [zeros(1, 751), ones(1, 250)]; >> u = u1 - u2; >> plot(t, u) >> axis([-1.2

1.2

-0.2

1.2]) Pulso retangular

1

Amplitude

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 Tempo

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura12. Gráfico do pulso retangular centrado na origem.

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5 – CONCLUSÃO A partir dos procedimentos descritos anteriormente, pôde-se obter noções básicas das operações e ferramentas do MATLAB. Os sinais e sistemas apresentados podem ser de tempo continuo ou de tempo discreto. Sinal de tempo continuo é definido por todos os valores de tempo em uma amostra de amplitude A. Por outro lado, o sinal de tempo discreto é dado apenas em um instante de tempo determinado. No software MATLAB, um sinal de tempo discreto é representado exatamente porque os valores do sinal são descritos como os elementos de um vetor. Por outro lado, o MATLAB fornece somente uma aproximação para um sinal de tempo continuo. A aproximação consiste num vetor cujos elementos individuais são amostras do sinal de tempo continuo subjacente. O MATLAB possui uma gama de ferramentas fundamentais que facilita a exploração de conceitos e o teste de projetos de sistemas, o que para o campo de conhecimento da engenharia elétrica é de fundamental importância, tendo em vista a vasta aplicabilidade desse software.

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6 – REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS SIMON, Haykin; (2002) BARRY, V. Veen. Sinais e Sistemas, Bookman.

MATLAB version 7.10.0.499 Natick, Massachusetts: The MathWorks Inc., 2012. BARRETO, Gilmar; (2012) SATO, Fujio. Circuitos de Corrente Alternada, Oficina de

Textos.

www.ceunes.ufes.br/.../sandramuller-capitulo1%20sinais%20e%20sist.. GILAT, Amos (2006) / MATLAB com aplicações em engenharia/ Amos Gilat. Tradução: Glayson Eduardo de Figueiredo. – 2. Ed. – Porto Alegre, Bookman.

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