UC 4 - Matemática Básica e Financeira

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Matemática Básica e Financeira

FORMAÇÃO TÉCNICA

Curso Técnico em Agronegócio

Matemática Básica e Financeira 2ª Edição

SENAR - Brasília, 2016

S474c SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural.

Curso técnico em agronegócio: matemática básica e financeira / Serviço Nacional de Aprendizagem Rural ; Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego, Rede e-Tec Brasil, SENAR (Organizadores). – 2. ed. . _ Brasília : SENAR, 2016. 130 p. : il. (SENAR Formação Técnica) ISBN: 978-85-7664-109-4 Inclui bibliografia.



1. Finanças. 2. Agroindústria - ensino. I. Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego. II. Rede e-Tec Brasil. III. Título. IV. Série. CDU: 336

Sumário Introdução à Unidade Curricular ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5 Tema 1: Matemática Básica ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  09 Tópico 1: Conjuntos numéricos ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������  11 Tópico 2: Operações fundamentais ����������������������������������������������������������������������������������������������������  15 Tópico 3: Frações�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 32 Tópico 4: Equações de primeiro grau ������������������������������������������������������������������������������������������������  37 Tópico 5: Proporcionalidade ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 39 Tópico 6: Potências  ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 46 Tópico 7: Raízes ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 52 Tópico 8: Medidas agrárias ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 56 Encerramento do tema ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 58 Tema 2: Matemática Financeira ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 59 Tópico 1: Juros simples ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 62 Tópico 2: Desconto simples �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 70 Tópico 3: Juros compostos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  77 Tópico 4: Desconto composto ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 82 Tópico 5: Séries de pagamentos  ���������������������������������������������������������������������������������������������������������  87 Tópico 6: Sistemas de amortização ���������������������������������������������������������������������������������������������������� 92 Tópico 7: Análises de investimentos �������������������������������������������������������������������������������������������������  98 Encerramento do tema  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������  105

Tema 3: Estatística e probabilidade––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

106

Tópico 1: Noções de estatística––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 107 Tópico 2: Noções de probabilidade––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

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Encerramento do tema  ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 125 Encerramento da unidade curricular–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 126 Referências––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 127 Gabarito––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 128

Introdução à Unidade Curricular

Introdução à Unidade Curricular Conhecimentos básicos de matemática são essenciais para um técnico em agronegócio, principalmente nos momentos em que é preciso tomar decisões em um negócio rural. Nesta unidade curricular de Matemática Básica e Financeira, você estudará diferentes assuntos, entre eles os apresentados no quadro a seguir.

Matemática básica

Hoje os computadores, os softwares específicos e as calculadoras nos ajudam muito nos cálculos, porém é muito importante saber interpretar e julgar se os dados correspondem à realidade. Por isso, o objetivo de estudar a matemática básica é ter uma boa base de somas, produtos, divisões, frações e operações com potências e raízes.

Razão e proporção

Este conceito é importante para regra de três simples, que é comumente usada em diversas situações do cotidiano de um técnico em agronegócio, por exemplo, para calcular a proporção adequada de fertilizante.

Matemática financeira

Estatística básica

Noções de probabilidade

É importante saber verificar todos os dados apresentados pelo gerente de um banco, por exemplo, para acompanhar e opinar ativamente em todo o processo de um financiamento. Por isso, cabe ao técnico em agronegócio saber calcular juros simples, juros compostos, amortização etc. Conceitos de estatística são vitais para profissionais do agronegócio que oferecem consultoria, vendem insumos, pesquisam plantas e novas estratégias de agricultura ou administram uma empresa rural. Sabendo calcular a probabilidade, podemos determinar as chances de uma ação apresentar o resultado esperado ou não de acordo com um grau de aceitabilidade pré-estabelecido ou, ainda, analisar resultados de pesquisas de forma mais eficiente.

Espera-se que você possa utilizar esses conhecimentos de matemática básica e financeira para solucionar questões relacionadas ao cotidiano do Técnico em Agronegócio. Nesse sentido, lembre-se de assistir às videoaulas, acessar o AVA e consultar os materiais extras e os exercícios resolvidos disponíveis na biblioteca do AVA. Objetivos de aprendizagem Ao final desta unidade curricular, você deverá ser capaz de:

a

• Revisar os conceitos fundamentais da matemática básica. • Aplicar os conhecimentos matemáticos em situações concretas da administração rural. • Desenvolver o raciocínio lógico. • Conhecer as definições básicas e os principais elementos da estatística. • Compreender a estatística descritiva aplicada à pesquisa em agronegócio.

Antes de começar, saiba que, mesmo sozinho, você pode aprender matemática básica rápido e com facilidade. Para isso, confira algumas dicas que podem otimizar os seus estudos:

Crie uma rotina de estudos. Mesmo que não disponha de muito tempo, se esforce para dedicar um mínimo de trinta minutos por dia, desta forma o conteúdo estará sempre “fresco” em sua memória.

Escolha um local tranquilo, ventilado e bem iluminado, sem interferência de aparelhos de televisão ou outros elementos que possam tirar a sua atenção.

Tire suas dúvidas! Procure a ajuda de colegas de classe e dos tutores da unidade, evite acumular dúvidas, pois isto gera insegurança e prejudica seu desempenho. No AVA você pode compartilhar dúvidas e buscar auxílio.

Tente resolver o maior número de exercícios possíveis. Somente assim você colocará em prática os conceitos estudados e conseguirá compreendê-los da melhor forma.

Leia atentamente o material de maneira crítica e interrogativa antes de praticar os exercícios. Refaça os exercícios resolvidos e elabore um resumo com suas anotações.

Ao resolver os exercícios, primeiramente entenda o enunciado da questão e saiba qual é o seu objetivo. O português e a interpretação de textos também são muito importantes. Sempre se pergunte: o que o exercício quer? Se possível, leia o enunciado em voz alta, pois assim você pode perceber melhor o sentido do exercício. Antes de partir para a solução, resgate os seus conhecimentos matemáticos para identificar qual deles será mais efetivo na resolução do problema. Divida a resolução em várias etapas e resolva cada uma em separado e com total atenção.

Não tenha medo de errar. Quando erramos e tentamos compreender o motivo, exercitamos mais do que quando chegamos ao resultado correto rapidamente. Dica

'

Você já ouvir falar no “teste da folha em branco”? Essa estratégia é útil quando nos aproximamos das avaliações. É bem simples, basta pegar uma folha em branco e escrever tudo o que você sabe do conteúdo, sem consulta e sem auxílio. Depois compare com o material da apostila e refaça até você estar seguro sobre sua compreensão do conteúdo.

Que esta unidade sobre matemática básica e financeira se torne prazerosa e que você possa tirar dela o maior proveito possível, levando os conceitos não só para seu dia a dia como Técnico em Agronegócio como também para sua vida pessoal. Bons estudos!

01 Matemática Básica

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Tema 1: Matemática Básica Esse tema inicial serve como introdução aos conceitos matemáticos. Nele você verá conteúdos fundamentais da matemática, tais como: conjuntos numéricos, operações entre números, regra de sinais, frações, razões e proporções, potências, raízes e unidades de medidas agrárias mais utilizadas. O objetivo é relembrar matérias do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, fortalecendo os fundamentos matemáticos para os próximos temas. Ao final deste primeiro tema, você deverá ter competência para: • Conhecer os conjuntos numéricos e as operações numéricas com números inteiros e decimais, entendendo as regras de sinais. • Diferenciar as operações fundamentais com frações, encontrando o m.m.c. e o m.d.c. • Resolver equações. • Compreender razões e usar regras de três direta e inversamente proporcionais. • Realizar operações com potências e raízes e identificar raízes por expoentes fracionários. • Conhecer as medidas agrárias mais utilizadas.

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Fonte: Shutterstock

Tópico 1: Conjuntos numéricos Quando ouvimos falar sobre matemática ou nos recordamos de nossas aulas do Ensino Fundamental ou Médio, a primeira lembrança que nos vem à cabeça são os números. Um dos conceitos mais básicos que temos é o de número. A construção dos conjuntos numéricos se inicia com os números naturais, usados apenas para contar, e chega até os números complexos, que possuem aplicação nas engenharias elétricas, nas produções químicas, entre outras áreas. Conjuntos numéricos Compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números ou elementos com características semelhantes. Assim, os conjuntos numéricos são os conjuntos dos números que possuem características semelhantes.

Existem os seguintes conjuntos numéricos: • Conjunto dos números naturais (ℕ) – números positivos. • Conjunto dos números inteiros (ℤ) – números positivos e negativos. • Conjunto dos números racionais (ℚ) – frações irredutíveis e dízimas periódicas. • Conjunto dos números irracionais (𝕀) – todos os números que não podem ser escritos p da forma em que p e q são inteiros, ou seja, todos os números que não são racionais. q Esses números, representados na forma decimal, possuem infinitas casas decimais que não se repetem. • Conjunto dos números reais (ℝ) – reunião de todos os conjuntos anteriores.

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Esses conjuntos respeitam uma hierarquia, como mostrado na imagem abaixo.

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ℕ

ℤ

ℚ

ℝ 𝕀𝕀

Isso representa que o conjunto dos números reais é formado pela união de todos os conjuntos anteriores. Veja, a seguir, cada um desses conjuntos em detalhes.

1. Números naturais Os números naturais são os números positivos que utilizamos para contagem e mais o número zero. Podemos escrever o conjunto dos naturais da seguinte forma: ℕ = {0, 1, 2, 3,...}

As reticências indicam que nunca paramos de contar, isto é, o conjunto dos números naturais é formado por uma infinidade de números positivos e o número zero.

2. Números inteiros O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e seus opostos negativos. Temos então: ℤ = {...,-2, -1, 0, 1, 2,...}

Usamos os números inteiros para indicar dívidas, por exemplo, ou quando queremos subtrair valores.

3. Números racionais e irracionais Os conjuntos de números naturais e inteiros são formados apenas por números “redondos”, isto é, sem vírgulas ou casas decimais. Entretanto, existem situações em que precisamos de números compreendidos entre outros. Por exemplo, podemos comprar um litro de água ou podemos comprar um litro e meio. Perceba que um litro e meio é uma quantidade compreendida entre um litro e dois litros.

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Essa noção de números com vírgulas ou frações define o conjunto dos números racionais. Esse conjunto é formado por todos os números naturais, todos os números inteiros e todos os números na forma decimal exata ou periódica na forma de frações. Para compreender forma decimal exata ou periódica na forma de frações, veja os seguintes exemplos: 5 = 2,5 2 10 = 3,333... 3

No segundo exemplo, queremos dividir o número 10 em três parcelas iguais, entretanto esse valor não é exato. Obtemos como resultado três parcelas iguais de valor 3,333..., em que as reticências indicam que devemos repetir o número 3 sem parar nunca. Esse número é uma dízima periódica. Outros exemplos de dízimas: 0,777..., 1,234234234... etc. Dízimas periódicas são números que, em sua representação decimal, apresentam uma repetição infinita de termos. O conjunto dos números racionais pode ser representado por: ℚ = {todo número do tipo

a , em que a e b são números inteiros e b não pode ser zero} b

Além das formas decimais exatas e das dízimas, temos números como: π=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510… Esse número é chamado de pi e possui infinitas casas decimais sem repetição. Dessa forma ele não se enquadra no conjunto dos números racionais.

g

O número pi representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. Acesse o AVA e veja uma animação que explica esse número.

O conjunto dos números que não podem ser escritos da forma

p q

em que p e q são inteiros

e que, na forma decimal, possuem infinitas casas decimais que não se repetem é chamado de conjunto dos números irracionais, geralmente apresentado pela letra 𝕀.” √2= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694…

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Observe que o conjunto dos números irracionais é formado apenas por números que não podem ser escritos como frações irredutíveis ou como dízimas periódicas.

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-√2 6

,√3 ,√7 e π.

4. Números reais O conjunto dos números reais é formado pela reunião de todos os conjuntos de números anteriormente citados. Desse modo, o conjunto dos números reais é constituído pela reunião de todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais ℝ = {todos os números dos conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀}

Atividade 1: Conjuntos numéricos Considerando os conjuntos estudados nos itens anteriores, indique, para cada número, a quais conjuntos numéricos ele pertence. a) 0

b) -√2 6

,√3 ,√7 e π.

1

c) 6 d) 10 3

e) -π

f)

3 1

g)

27 1000

h)

2 7

i) 0 ,47474747… -√2 6

j) ,√7 ,√3 e π.

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Tópico 2: Operações fundamentais Você viu no tópico anterior que o conjunto dos números reais é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. A partir de agora, você estudará a adição, subtração, multiplicação e divisão entre números reais, assim como verá as expressões e regras de sinais. Neste tópico trataremos apenas os casos de números com casas decimais exatas. As operações para frações serão estudas em outro tópico.

1. Adição, subtração, multiplicação e divisão 1.1. Adição A adição combina dois números, chamados parcelas, em um único número, a soma ou total, isto é: parcela + parcela = soma ou total

• Quando uma das parcelas da soma é o número zero, o total será o valor da outra parcela. • Na soma não importa a ordem das parcelas. Exemplos: 1) 0 + 15 = 15 2) 29 + 0 = 29 3) 1 + 4 = 5 4) Por exemplo, para efetuarmos a soma 573 + 238, podemos separar cada número em suas unidades, dezenas e centenas, ou seja: 573 = 500 + 70 + 3 e 238 = 200 + 30 + 8 Logo: 573 + 238 = 500 + 70 + 3 + 200 + 30 + 8 = 573 + 238 = (500 + 200) + (70 + 30) + (3 + 8) = (500 + 200) + (70 + 30) + 11 = (500 + 200) + (70 + 30) + 10 + 1 = (500 + 200) + (70 + 30 + 10) + 1 = (500 + 200) + 110 + 1 = (500 + 200) + 100 + 10 + 1 = (500 + 200 + 100) + 10 + 1 = 800 + 10 + 1 = 811

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Ou equivalentemente: ¹5¹73 + 2 38 811

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Note que, quando somamos 3 com 8, obtemos 11, logo “vai 1” para ser somado às dezenas (no caso, o 7). Isso ocorre novamente quando somamos as dezenas e “vai 1” para as centenas. 5) 3,12 + 6,637 = 9,757 Para resolver esse exemplo com casas decimais, montamos a conta da seguinte forma: 3,120 + 6,637 9,757

Devemos alinhar as parcelas pelas vírgulas, não importa quantas parcelas estivermos somando. Para facilitar, completamos com o número zero as casas decimais “vazias”. 6) 4,12 + 3,1 + 2,358 = 9,578 4,120 3,100 + 2,358 9,578

1.2. Subtração Na operação de subtração, de um valor numérico (minuendo) é removido outro valor (subtraendo). O resultado dessa operação é chamado diferença. Temos, assim: minuendo – subtraendo = diferença

Na subtração devemos respeitar a ordem em que fazemos a operação. Exemplos:

1) 7 – 2 = 5

2) 2 – 7 = -5 Observe nos exemplos 1 e 2 como a inversão na ordem da operação de subtração alterou o resultado. No exemplo 2, como o subtraendo é um número maior que o minuendo, a diferença será um número negativo.

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Assim como na soma, caso um dos termos seja o número zero, a diferença será o outro número (respeitando o sinal).

3) 0 – 15 = -15

4) 29 – 0 = 29

5) Para efetuarmos 531 – 245, podemos separar cada número em suas unidades, dezenas e centenas, assim como feito na soma, isto é: 531 – 245 = 500 + 30 + 1 – (200 + 40 + 5) = = 500 + 30 + 1 – 200 – 40 – 5 = = (500 – 200) + (30 – 40) + (1 - 5) = = (500 - 200) + (20 + 10 - 40) + (1 - 5) = = (500 - 200) + (20 - 40) + (10 + 1 - 5) = = (500 - 200) + (20 - 40) + (11 - 5) = = (500 - 200) + (20 - 40) + 6 = = (400 + 100 - 200) + (20 - 40) + 6 = = (400 - 200) + (100 + 20 - 40) + 6 = = (400 - 200) + (120 - 40) + 6 = = (400 - 200) + 80 + 6 = 200 + 80 + 6 = 286 Podemos também realizar a mesma conta da seguinte forma 5²3¹1 -2 4 5 2 8 6 4

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Observe que não podemos subtrair 5 do número 1. Dessa forma “pedimos 1 emprestado” para a casa das dezenas, logo o 1 se torna 11 e podemos subtrair 5. O 3 (a dezena) que “emprestou 1” vira 2. Por um raciocínio parecido, “pedimos 1 emprestado” da centena.

6) 6,637 - 3,12 = 3,517 Assim como na soma, para montar a conta de subtração com casas decimais devemos alinhar os números por suas vírgulas e é muito importante respeitar a ordem dos números. Assim, temos: 6,637 - 3,120 3,517

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7) 4,12 - 3,1 - 1 = 0,02

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Quando houver mais de dois termos na subtração, para evitar erros de sinais, a melhor estratégia de resolução é fazer a conta em etapas, ou seja, faremos duas contas respeitando a ordem. São elas: a) 4,12 - 3,1 = resultado parcial b) resultado parcial - 1 = diferença Temos então: 4,12 - 3,10 1,02 Assim, vemos que o resultado parcial é 1,02. Vamos realizar agora a última etapa da operação, isto é, faremos 1,02 - 1. 1,02 - 1,00 0,02

1.3. Multiplicação Os números numa multiplicação são chamados de fatores; e o resultado da operação, de produto. Temos então que: fator x fator = produto

• Quando um dos fatores é o número 0, o produto será 0. Isso significa que qualquer número multiplicado por 0 fornece como resultado 0. Por exemplo: 17 * 0 = 0 e 0 * 17 = 0. • Caso um dos fatores seja o número 1, o produto será o outro fator. Isso quer dizer que qualquer produto de um número vezes 1 resulta no próprio número. Por exemplo: 47 * 1 = 47. • Podemos representar a operação de multiplicação por três símbolos diferentes: x, * ou apenas um ponto entre os números. Por exemplo: 3 * 2 = 6, ou 3 x 2 = 6, ou 3 · 2 = 6. • Na multiplicação não importa a ordem dos números. Por exemplo: 3 * 2 = 2 * 3 = 6.

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Comentário do Autor

d

Se os números possuírem casas decimais, somamos a quantidade de casas decimais após a multiplicação, no sentido da direita para a esquerda. Você entenderá melhor essa lógica quando realizar as contas utilizando frações. Como 1 veremos a seguir, = 0,1 e 1 = 0,01 , logo as duas contas seguintes são 10 100 iguais:

0,1*0,1=0,01 e

1 10

*

1 10

=

1 100

Mais adiante você verá expressões numéricas que envolvem parênteses. Quando multiplicamos um número de fora dos parênteses pelos que estão dentro, cada número deve ser multiplicado. Por exemplo: 2 * (2 + 3) = 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10. Veremos também equações de primeiro grau, em que são comuns contas do tipo: 3 * (5 + x) = 3 * 5 + 3 * x = 15 + 3x. Para entender melhor esse assunto, confira alguns exemplos. Lembre-se de que para a multiplicação você deve saber a tabuada de todos os números. Exemplos: 1) 6,637 * 3,12 = 20,70744 Uma forma de realizar essa conta é separando um dos números em unidades, dezenas e centenas. Escolhendo o número 3,12 para decompor, temos que: 6,637 * 3,12 = 6,637 * (3 + 0,1+ 0,02) = =6,637 * 3 + 6,637 * 0,1 + 6,637 * 0,02 = = 6,637 * 3 + 6,637 * 0,1+ 6,637 * 0,02 = = 19,911 + 0,6637 + 0,13274 = 20,70744 Outra forma de realizar a mesma conta é a seguinte. (Observe que a maneira apresentada aqui é apenas mais rápida, mas chega no mesmo resultado.) 6,637 x 3,12 13274 6637+ 19911++ 20,70744 Efetuamos a multiplicação como se não houvesse vírgulas. Ao final do processo, somamos cada parcela referente às multiplicações por dois, um e três e acrescentamos a vírgula. 2) 149 * 1,3 * 3 = 581,1 Quando multiplicamos mais de dois números, fazemos cada multiplicação em separado. Dessa forma, faremos: a) 149 * 1,3 = resultado parcial

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b) resultado parcial * 3 = produto

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Efetuando cada conta, temos: 149 x 1,3 447 149 + 193,7 Assim, o resultado parcial é 193,7. Por fim efetuamos a segunda multiplicação: 193,7 x3 581,1

1.4. Divisão Na divisão, o número que está sendo dividido é chamado dividendo e o número que divide é o divisor. O resultado da divisão é denominado quociente. Assim temos: dividendo ÷ divisor = quociente Por exemplo, 6 ÷ 2 = 3. Nesse caso 6 é o dividendo, 2 o divisor e 3 o quociente. Embora a divisão seja um processo para conseguir grupos iguais, nem todos os números são divididos uniformemente. Damos o nome de resto ao número que sobra depois de dividir um número não divisível exatamente. Por exemplo, suponha que queremos dividir uma pizza com 12 fatias entre 5 pessoas. Quantas fatias inteiras cada pessoa recebe? Note que essa operação corresponde a 12 ÷ 5. Para resolvermos essa divisão, buscamos na tabuada de 5 o valor que mais se aproxima de 12, no caso o número 2 (pois 5 * 2 = 10). E a diferença entre esses dois números é 12 - 10 = 2. Como 2 é um número menor que 5, não podemos dividi-lo mais sem obtermos um número com vírgula. Então, como queremos apenas fatias inteiras da pizza, concluímos que cada uma das 5 pessoas receberá 2 fatias e restarão 2 fatias.

• O dividendo pode ser o número 0, resultando em 0 como quociente. • O divisor nunca poderá ser o número 0, isto é, não podemos dividir nenhum número por 0. • Caso o divisor seja o número 1, o resultado será o dividendo. • A ordem em que a operação é feita é importante, pois, se trocarmos o dividendo pelo divisor, obteremos outro resultado. • A divisão pode ser denotada pelo símbolo ÷, pela barra (/) e também por dois-pontos (:). Para entender melhor esses casos, observe os exemplos. Novamente, é preciso lembrar as tabuadas para efetuarmos divisões. Curso Técnico em Agronegócio

Exemplos: 1) 10 ÷ 5 = 2, ou podemos escrever 10 = 2, ou ainda 10 : 2 = 5. 5

2) Observe que 10 ÷ 5 = 2, mas 5 ÷ 10 = 0,5.

3) 0 ÷ 5 = 0

4) Não existe a operação 5 ÷ 0 ou qualquer outro número dividido por 0.

5) 31 ÷ 1 = 31

Agora, vamos resolver algumas divisões cujos resultados serão números com vírgulas e algumas divisões entre números com vírgulas:

6) 225 ÷ 50 Se multiplicarmos 4 por 50, obteremos 200 e, assim, a divisão terá resto 25. Não existe um número natural que multiplicado por 50 resulte em 25, então qualquer valor que acrescentarmos ao quociente será menor do que 1. Portanto, para prosseguirmos, teremos de acrescentar uma vírgula ao quociente e um zero ao resto. Procuramos agora um número que multiplicado por 50 resulte em 250. Esse número é o 5. Portanto, 225 ÷ 50 = 4,5.

_

_

_

_ _ 225 50 225 50 200 4 _ - _ 200 4,5 -_ 25 250 250 _ 0 É interessante observar que se um “0” é acrescido, o resultado da divisão irá para a casa do décimo. Agora, se é necessário acrescentar outro “0”, o resultado irá para a casa do centésimo, e assim por diante. 7) 30 ÷ 2,5 Para realizar essa divisão, vamos escrever o número 30 na forma 30,0. Agora que tanto

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_

_

_ 30,0 2,5

_ __ 300 25 _ 25 12 -_ 50 -_ 50 0

_

_ __ _ __ _

_ 30 2,5

_

_ 300 25 8) 31,775 ÷ 15,5

Nesse caso, precisamos acrescentar dois zeros ao divisor para que ambos tenham três algarismos após a vírgula. Feito isso, nós desconsideramos as vírgulas e realizamos a divisão de 31775 por 15500, obtendo como quociente o número 2,05. É importante ter em mente que 10 ÷ 50 é a mesma coisa que 100 ÷ 500. Desse modo, podemos multiplicar quantas vezes desejarmos o divisor e o dividendo sem interferir na conta. Ora, se queremos operar “sem vírgulas”, vamos multiplicar quantas vezes forem necessárias para as vírgulas “sumirem”. Como temos até três casas após a vírgula, precisaremos multiplicar ambos os números por mil. Veja a seguir o passo a passo dessa divisão:

31,775 31775

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_

_

_ _ _ _ _ _

_

_ 31775 15500 _ - 31000 _ 2,05 7750 15,500 _ - _0 77500 15500 _ -77500 _ 0

_ 31,775 15,5

_

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o dividendo quanto o divisor têm um número após a vírgula, podemos desconsiderar as vírgulas e realizar a divisão entre 300 e 25, obtendo como resultado o quociente 12, como mostra a figura a seguir.

2. Soma algébrica, regra de sinais e expressões numéricas Agora que você relembrou como realizar as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão para números reais, incluindo números decimais (com vírgulas), vamos estudar as somas com números que possuem sinais diferentes. Você verá também as regras de sinais e, por fim, juntaremos esses conceitos em expressões numéricas.

2.1 Soma algébrica Considere a seguinte situação comum em nosso dia a dia. Digamos que você tem um crédito na vendinha da esquina. Quanto mais comprar, menor ficará o crédito e, se esgotar o crédito e ainda continuar comprando, terá uma dívida ao invés de um crédito, certo? Se mesmo em débito continuar comprando, a dívida só irá aumentar. Por outro lado, se começar a pagar essa dívida, ela irá diminuir até um ponto em que voltará a ter crédito.

Nome: José da Silva

_

Por exemplo, se você tem crédito de R$ 100,00 e realiza uma compra de R$ 75,00, então seu saldo passará a ser 100 – 75 = 25. Agora, se efetuar mais uma compra de R$ 50,00, seu saldo passará a ser 25 – 50 = –25. Caso faça outra compra de R$ 25,00, o saldo ficará –25 – 25 = –50. Agora, supondo que você efetue um pagamento de R$ 30,00, terá um saldo de –50 + 30 = –20. E, por fim, fazendo um pagamento de R$ 40,00, passará a ter um saldo de –20 + 40 = 20.

Crédito 100,00 _ Compra 75,00 Saldo 25,00 Compra 50,00 _ Saldo - 25,00 _ Compra 25,00 Saldo - 50,00 _ Crédito 30,00 Saldo - 20,00 _ Crédito 40,00 Saldo 20,00

Esse caso prático ilustra as operações de soma de números com sinais diferentes, em que devemos proceder da seguinte forma:

Matemática Básica e Financeira

23

• Sinais iguais – somamos os valores e repetimos o sinal.

24

• Sinais diferentes – subtraímos os números e damos o sinal do maior número. Exemplos:

1) 2 + 6 = 8

2) 19 + 3 = 22

3) - 3 - 15 = -18

4) -8 - 9 = -17

5) 15 - 3 = 12

6) -25 + 10 = -15

2.2. Regra de sinais Considere o seguinte exemplo: possuo duas dívidas de R$ 1.000, logo posso representar o valor total da dívida por 2 * (-1.000). Assim, ao final terei uma dívida de R$ 2.000, ou seja, –R$ 2.000. Analogamente, se temos um crédito de R$ 5.000 e ele triplica, representamos como 3 * 5.000, logo nosso crédito passa a ser de R$ 15.000. Quando queremos multiplicar ou dividir números com sinais diferentes, devemos aplicar a seguinte regra de sinais: • Sinais iguais – resultado positivo. • Sinais diferentes – resultado negativo. Isto é: (+) * (+) = + ou (+) ÷ (+) = + (-) * (-) = + ou (-) ÷ (-) = + (+) * (-) = - ou (-) ÷ (+) = (-) * (+) = - ou (-) ÷ (+) = -

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Se um número não possuir sinal, significa que é positivo. Por exemplo, 3 = o + 3. Exemplos: 1) 3 * 5 = 15

2) (- 3) * (- 5) = 15

3) 3 * (- 5) = - 15

4) (- 3) * 5 = - 15

5) 6 ÷ (- 2) = -3

6) (- 6) ÷ 2 = - 3

7) (- 6) ÷ (- 2) = 3

Comentário do Autor

d

Note que, nas multiplicações - 2 * 2 = - 4, - 2 * 1 = - 2 e - 2 * 0 = 0, quando multiplicamos um número negativo por outro número, conforme diminuímos a segunda parcela, o resultado aumenta ao invés de diminuir. Logo, se continuarmos diminuindo as parcelas, teremos: - 2 * - 1 = 2 e - 2 * - 2 = 4.

2.3. Expressões numéricas Juntamos agora as somas algébricas com as regras de sinais e, ainda, operações de multiplicação e divisão. Para organizar melhor, usamos parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }.

Para resolver expressões numéricas, você deve realizar primeiro as operações de multiplicação e divisão e depois somas e subtrações. Quando aparecerem parênteses, colchetes ou chaves, efetue as operações primeiro dos parênteses, depois dos colchetes e por último das chaves. Fique atento às regras de sinais também!

Matemática Básica e Financeira

25

Exemplos:

26

1) 2 + [2 – 5 * (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 * 5 – 1] = 2 + [2 – 25 - 1] = 2 + [- 24] = 2 - 24 = - 22

2) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 2 + {3 – [ 1 + 1 ] + 8} = 2 + {3 – 2 + 8 } = 2 + 9 = 11

3) {2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 (3 – 1)]} + 1 = {2 – [12 ÷ 2 – 2 * 2]} + 1 = {2 – [6 – 4]} + 1 = {2 - 2} + 1 = 0 + 1 = 1

3. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e máximo divisor comum (m.d.c.) Os cálculos que envolvem mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum são relacionados com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por múltiplo o produto gerado pela multiplicação entre dois números. Assim, podemos dizer que 30 é múltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30, isto é, existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30, que é o número 6. Indicamos os múltiplos pelo símbolo M( ). Veja mais alguns números e seus múltiplos a seguir. Exemplos:

M(3) = 0,3,6,9,12,15,18,21,…



M(4) = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,…



M(8) = 0,8,16,24,32,40,48,56,…

Observe que os múltiplos de um número formam um conjunto de infinitos elementos.

• Todo número inteiro múltiplo de 2 é chamado de par. Exemplos: 6 = 2 * 3 e 30 = 2 * 15. • Todo número inteiro que não é múltiplo de 2 é denominado ímpar. Exemplos: 15 = 3 * 5 e 21 = 3 * 7. Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Indicamos os divisores de um número pela notação D( ). Observe alguns números e seus divisores.

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Exemplos: 1) D(3) = 1,3

2) D(9) = 1,3,9

3) D(10) = 1,2,5,10

4) D(11) = 1,11

5) D(20) = 1,2,4,5,10,20

6) D(25) = 1,5,25

Atenção

`

Números que são divisíveis apenas pelo número 1 e por eles próprios são chamados de números primos. No exemplo anterior podemos verificar que 3 e 11 são números primos.

3.1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) O m.m.c. entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Denotamos o mínimo múltiplo comum pela notação m.m.c. ( , ). Exemplo: 1) Vamos encontrar m.m.c.(4,8). Para isso precisamos encontrar os múltiplos de 4 e os múltiplos de 8 e o menor número que aparece em ambas as listas, ou seja: M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,… M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,… Portanto, m.m.c.(4,8)=8. Podemos calcular de outra forma. Para isso decompomos os números simultaneamente por números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... Vamos refazer o exemplo anterior desta forma: 4-8|2 2-4|2 1-2|2 1-1|/ Matemática Básica e Financeira

27

Logo: m.m.c. (4,8) = 2 * 2 * 2 = 8

28 2) Calcule o m.m.c. (12, 16, 45)

12 - 16 - 45 | 2 6 - 8 - 45 | 2 3 - 4 - 45 | 2 3 - 2 - 45 | 2 3 - 1 - 45 | 3 1 - 1 - 15 | 3 1-1-5|5 1-1-1|/ Dessa forma: m.m.c. (12, 16, 45) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 720

O m.m.c. é útil para resolver problemas práticos. Acompanhe! Exemplos: rês tratores numa colheita percorrem um mesmo trajeto saindo todos ao mesmo tempo, 1) T do mesmo ponto e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 minutos, o segundo em 36 minutos e o terceiro em 30 minutos. Gostaríamos de saber em quanto tempo os tratores voltam a se encontrar. Para resolver essa questão, precisamos calcular o m.m.c. entre os tempos dos tratores, pois esse será o menor múltiplo do tempo entre eles, ou seja, o momento em que se encontrarão novamente. Vamos calcular o m.m.c.: 30 - 36 - 40 | 2 15 - 18 - 20 | 2 15 - 9 - 10 | 2 15 - 9 - 5 | 3 5-3-5|3 5-1-5|5 1-1-1|/ Logo: m.m.c. (30, 36, 40) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 360 minutos = 6 horas Portanto o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida é após 6 horas do início da colheita.

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2) Um médico veterinário, ao prescrever uma receita para um bovino, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo animal de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas; remédio B, de 3 em 3 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 h da manhã, então o próximo horário em que ele tomará os três medicamentos simultaneamente de novo será o valor do m.m.c. (2, 3, 6) + 8 h. Calculando o m.m.c., temos: 2-3-6|2 1-3-3|3 1-1-1|/ Assim, o m.m.c. (2, 3, 6) = 6. Portanto o bovino deverá tomar os três remédios novamente às 14 h. Para entender melhor, veja a representação do m.m.c. no esquema a seguir.

Medicamento 1 Medicamento 2 Medicamento 3

3.2. Máximo divisor comum (m.d.c.) O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números, representado por m.d.c.( ,).

29

Exemplo: Vamos calcular o m.d.c. (20, 30). Precisamos primeiro encontrar os divisores de 20 e 30 e depois o maior valor comum aos dois, isto é: D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20 D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Logo, podemos ver que o m.d.c. (20, 30) = 10. Também podemos encontrar o m.d.c. utilizando um método por decomposição simultânea em fatores primos, ficando: 20 - 30 | 2 10 - 15 | 2 5 - 15 | 3 5-5|5 1 - 1 |/

Matemática Básica e Financeira

30

Para calcular o mdc multiplicamos apenas os fatores primos que dividiram ambos os números, neste caso 2 e 5. Portanto m.c.d. (20, 30) = 2 * 5 = 10. Assim como o m.m.c., o m.d.c. pode ser utilizado em exemplos práticos, confira. Exemplos: 1) U ma indústria fabrica rolos de arames de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas bobinas restantes tinham as seguintes medidas: 156 metros e 234 metros. Gostaríamos de cortar as sobras em partes iguais com o maior comprimento possível. Para encontrarmos esse valor, precisamos calcular o m.d.c. (156, 234). Utilizando o método que você aprendeu, temos: 156 - 234 | 2 78 - 117 | 2 39 - 117 | 3 13 - 39 | 3 13 - 13 | 13 1-1|/ Logo, o m.d.c. (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78. Portanto devemos cortar os pedaços de arame em tamanhos iguais de 78 metros.

2) Uma empresa do agronegócio é composta de três áreas. A área administrativa tem 30 funcionários, a operacional 48 funcionários e a de vendas 36 funcionários. Se quisermos formar grupos de funcionários com o mesmo número de integrantes, devemos calcular o m.d.c. (30, 36, 48). Assim: 30 - 36 - 48 | 2 15 - 18 - 24 | 2 15 - 9 - 12 | 2 15 - 9 - 6 | 2 15 - 9 - 3 | 3 5-3-1|3 5-1-1|5 1-1-1|/ Portanto o m.d.c. (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6. Assim as equipes devem conter 6 funcionários cada.

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Atividade 2: Operações fundamentais Calcule: a) 2 + 3 – 1

b) – 2 – 5 + 8

c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5

d) 2 * (- 3)

e) (- 2) * (- 5)

f) (- 10) * (- 1)

g) (- 1) * (- 1) * (- 2)

h) 4 : - 2

i) - 8 : 4

j) - 20 / - 10

31

k) [( 4) * ( 1)] 2

l) [( - 1 + 3 - 5) * (2 - 7)]: -1

m) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1

n) 8 - { - 20 [ ( - 3 + 3 ) : ( - 58 )] + 2 (- 5)}

o) 0,5 * (0,4 : 0,2)

p) (4 : 16 ) * 0,5

Matemática Básica e Financeira

q) m.m.c. (36, 60), m.m.c. (18, 20, 30)

32

r) m .d.c. (18, 36), m.d.c. (20, 60)

Tópico 3: Frações Uma fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros, ou seja, uma fração é uma divisão. O dividendo é chamado numerador, e o divisor recebe o nome de denominador.

fração

=

numerador denominador

Veja como representar frações em desenhos por meio de pedaços de pizza ou lotes de um terreno:

1 __ 2

1 __ 4

1 __ 8

4 __ (quatro sextos) 6 5 ___ (cinco doze avos) 12 18 ___ (dezoito vinte e quatro avos) 24 22 ___ (vinte e dois quarenta e oito avos) 48

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1. Multiplicação de frações O conceito de multiplicação é muito usado para calcular percentuais: multiplicar um valor por 1 é o mesmo que multiplicar por 0,5 ou calcular 50% desse valor. 2

Para efetuar a multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores. Obtemos, assim, uma nova fração. Exemplos: 1)

1 2

*

3 7

3 = 12 * 37 = 14 *

2)

15 2

*

4 9

= 10 = 60 = 30 18 3 9

Note que, nas duas últimas parcelas do exemplo 2, fizemos simplificações, isto é, dividimos ambas as parcelas por um número em comum, 2 e 3 respectivamente.

2. Soma e subtração de frações Para somar ou subtrair duas frações, precisamos ficar atentos aos seus denominadores: • Frações com denominadores iguais – repetimos o denominador e somamos/subtraímos o numerador. Por exemplo, imagine que um terreno é dividido em quatro lotes iguais e 2 efetuamos duas compras de lotes: primeiro compramos 1 e depois 4 . A soma dessas 4 frações nos fornece quantos lotes do terreno possuímos, isto é, 3 do terreno. Veja a 4 ilustração seguinte, que exemplifica essa operação

+

=

1 __ 4

2 __ 4

3 = __ 1 + __ 2 __ 4

4

4

Exemplos: 1) 3 5

+

6 5

= 3 +5 6 =

9 5

2) 15 + 18 + 18 = 15 + 18 + 2 = 35 = 5 * 7

= 5*

3) 1

=

7

4

7

-

3 4

7

7

7

7

= 1 4- 3 = -24 = -21*22 = -12 *

*

2 2

-1 2

7 7

= 5* 1 = 5

*1=

-1 2

Matemática Básica e Financeira

33

34

• Frações com denominadores diferentes – quando os denominadores são diferentes, precisamos transformar essas frações em frações de mesmo denominador. Isso quer dizer que precisamos de frações equivalentes às que tínhamos, mas com o mesmo denominador. O mesmo processo deve ser realizado nas subtrações. Observe, por meio da ilustração a seguir, como procedemos na soma das frações

1 + __ 2 __ 5

3

2 __ 3

1 __ 5

1 = ___ 3 __ 5 15

2 = 10 __ ___ 3 15

3 + ___ 10 = ___ 13 ___ 15 15 15

1 + ___ 2 = ___ 13 ___ 5 3 15

Curso Técnico em Agronegócio

1 e 2 5 3

A técnica usada para transformar essas frações em frações de mesmo denominador se resume a encontrar o m.m.c. entre os denominadores, depois dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador de cada fração e multiplicar pelo seu numerador, respectivamente, para cada fração. Por fim, é feita a soma ou subtração entre os novos numeradores. Exemplos: 1) 1 2

+

1 3

Primeiro devemos calcular o m.m.c. (2, 3) = 6. Em seguida, para encontrar as novas frações, dividimos o m.m.c. pelo denominador e multiplicamos pelo numerador de cada fração. Veja como fazer: 1 2

2)

1 2

+

+

5 6

1 3

=

-

2 3

1 2

*1 +

1 3

*1 =

1 2

*

3 3

+

1 3

*

2 2

= 1*3 + 1*2 = 2*3 2*3

3 6

+

2 6

=

3+2 6

=

5 6

Nesse exemplo, vamos aplicar a técnica diretamente, de forma mais prática.

1 2

+

5 6

Assim como fizemos no exemplo anterior, primeiro calculamos o m.m.c. (2, 6, 3) = 6.

2 3

-

1 *3+ 5 * 1 - 2 * 2 6

Agora devemos reescrever as frações. Como 6 é o novo denominador, dividimos 6 pelos denominadores antigos e multiplicamos o resultado pelo numerador. Nesse caso, 6 ÷ 2 = 3, então fazemos 1 * 3. Em seguida, calculamos 6 ÷ 6 = 1 e então escrevemos 5 * 1. Por fim, realizamos 6 ÷ 3 = 2, logo o último numerador fica 2 * 2.

3+5-4 6

Observe que 6 = 2 * 3 e que 4 = 2 * 2. Dessa forma,

1 5 + 2 6

-

4 6

= = 2 3

=

2 3

4 6

=

2 3

2 3

3. Divisão de frações Quando dividimos duas frações, operamos da seguinte forma: 3 5 7 9

=

3 5 7 9

3 5 7 9

9 7 9 7

* 1= * =

3 5 7 9

9

*7 9

*7

=

27 35 63 63

=

27 35 1 1

=

27 35

Matemática Básica e Financeira

35

36

Note que 3/5 = 3/5 7/9

1 7/9 *

7 9 e que, 1 = 9/7 porque, pela regra de multiplicação, teremos * = 1 9 7 9/7

e deixaremos de trabalhar com a divisão de frações para trabalhar com o produto, com o qual já sabemos como proceder. Uma maneira mais prática de efetuarmos divisão de frações é “repetindo a fração de cima e multiplicado pelo inverso da fração de baixo (invertendo numerador por denominador e vice-versa)”. 3 5 7 9

Exemplos: 1) 1/2 5/3

=

1 2

*

3 5

1 3 3 = * = 2 * 5 10

2) 3/7 2/5

=

3 7

*

5 2

3 5 15 = * = 7 * 2 14

Atividade 3: Frações a) 1

+

1 10

b) 2

-

4 3

c) 1

-

1 3

*

2 5

5

3

2

d) 1 3

+

1 6

e) 3 + 1 + 2 7

3

5

Curso Técnico em Agronegócio

=

3 5

9 3 9 27 * 7 = 5 ** 7 = 35

f)

1 6

-

* -

2 5

g) 1/3 1/2

h)

2 3

: -

i)

1 2

:

j)

1 3

+

2 3

2 4

1 5

1

*4

:

1 2

k) 1 + 1/3 3

Tópico 4: Equações de primeiro grau Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1, então a equação é dita equação do primeiro grau com uma incógnita. Nesta unidade curricular, sempre que dissermos equação do primeiro, estamos nos referindo a uma equação do primeiro grau com uma incógnita x (normalmente se utiliza o x como incógnita, mas qualquer letra pode ser atribuída, como y, z ou t). Por exemplo, se 3 - x = 2, então o único valor possível de x é 1.

1. Resolução de equações de primeiro grau Quando encontramos um valor para x que resolve a equação, chamamos esse valor de raiz da equação. No caso de uma equação do primeiro grau, conseguimos resolvê-la isolando a incógnita no primeiro membro da equação (o lado esquerdo do sinal de “=”). Para isso utilizamos as operações inversas àquelas que acompanham a incógnita em ambos os lados da equação para “transferir” ao segundo membro da equação (o lado direito do sinal de “=”) os termos que não contenham a incógnita.

Matemática Básica e Financeira

37

As operações inversas são:

38

• adição e subtração; • multiplicação e divisão; • potenciação e radiciação (veremos estes conceitos nos tópicos subsequentes). Exemplos: 1) 3 + x = 2 ⟹ 3 + x -3 = 2 - 3 ⟹ x = -1 Ou, ainda, isolando a incógnita no primeiro membro da equação, temos x = 2 – 3 = - 1.

2) - 2x - 4 = 4 ⟹ - 2x = 4 + 4 ⟹ - 2x = 8 ⟹ x =

8 ⟹x=-4 -2

Atividade 4: Equações de primeiro grau Resolva as seguintes equações: a) 4x = 8

b) -5x = 10

c) 7 +x=8

d) 3 - 2x = -7

e) 16 + 4x - 4 = x + 12

f) 8 + 7x - 13 = x - 27 - 5x

g)

2x 3

=

3 4

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h) 1 4

=

3x 4

i) 9x + 2 - (4x + 5) = 4x + 3

j) 3 * (2 - x) - 5 * (7 - 2x) = 10 - 4x + 5

Tópico 5: Proporcionalidade Suponha que você precisa comprar determinado produto químico para o controle de uma praga. Tal produto apresenta uma recomendação de dose na proporção de dois litros para um hectare de lavoura. Considerando que a propriedade possui quatro hectares plantados, como encontramos a quantidade ideal a ser aplicada? O conceito matemático que nos auxilia na resolução desse problema é chamado de regra de três. Para compreender essa regra, primeiro devemos entender os conceitos de razão e proporção e o que significam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

1. Razão Dados dois números quaisquer, por exemplo, 2 e 3, a razão entre esses números é representada por:

2 ou 2/3 ou 2:3 3 De forma genérica, se os números são a e b, denominamos razão entre a e b o quociente a/b. É importante lembrar que b nunca poderá ser o número 0. Veja alguns exemplos práticos que envolvem razões. Exemplos: 1) Suponha que em determinado ano as vendas de frutas de uma fazenda tenham sido de 300 mil reais e que as vendas do ano seguinte sejam de 450 mil reais. Poderíamos comparar esses dois valores dizendo que sua diferença é de 150 mil reais. Porém, a diferença dos valores não nos fornece uma ideia do crescimento de vendas entre os dois anos. Para avaliarmos esse crescimento, calculamos a razão entre as vendas, isto é:

450 300

=

1,5

Concluímos, assim, que as vendas de frutas do segundo ano são uma vez e meia maiores que a do primeiro ano, o que representa um aumento de receitas de 50%.

Matemática Básica e Financeira

39

40

2) Ao compararmos mapas de propriedades, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:

escala =

medida no mapa medida real

Por exemplo, a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 m foi representado por um segmento de 3 cm é:

3 cm 6.000 cm

=

1 2.000

= 1 ∶ 2.000

Então nossa escala está na razão de 1 cm para 2.000 cm, ou seja, 1 cm no mapa significa 2.000 cm no terreno.

3) V elocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso: velocidade média

=

distância percorrida tempo total de percurso

A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou cinco horas para percorrer esse trajeto. Dessa forma:

velocidade média

=

400 km 5h

= 80 km/h

2. Proporção Para compreender melhor o conceito de proporção, vamos nos aprofundar no exemplo anterior, da venda de frutas. Você viu que no primeiro ano as vendas de frutas da fazenda somaram 300 mil reais e no segundo ano, 450 mil reais. Suponha que as vendas no terceiro ano sejam de 600 mil reais e as do quarto ano, 900 mil reais. Dessa forma a razão das vendas do quarto ano para as vendas do terceiro ano pode ser calculada pelo quociente:

900 600

= 1,5

Observe que:

450 300

900

= 1,5 = 600

Logo, a razão entre as vendas do primeiro e do segundo ano são proporcionais à razão das vendas entre o terceiro e o quarto ano.

Curso Técnico em Agronegócio

Conforme vimos, dadas duas razões entre elas é a igualdade

a b

=

c d

a b

e

c d

(b e d não podem ser o número zero), a proporção

.

Lemos essa expressão da seguinte forma: “a está para b assim como c está para d”. Toda proporção satisfaz a seguinte propriedade: a c ⟹ a *d = b *c = b d Resumidamente, em toda proporção os produtos cruzados são iguais. Exemplos: 1) Em virtude da demanda crescente de economia de água, há equipamentos e utensílios, como as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros usados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí:

6 360 15 = 24 = ⟹ 15 * x = 60 * 6 ⟹ x = x 15 60 O resultado mostra que a bacia ecológica gasta 34 litros, enquanto a não ecológica gasta 60 litros. Assim a economia será de: 60 - 24 = 36 litros

3. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

41

Definimos como grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, por exemplo, o tempo, a velocidade, o comprimento, o preço, a idade, a temperatura, entre outros. As grandezas são classificadas em diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

3.1. Grandezas diretamente proporcionais São aquelas grandezas em que a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra, a outra dobra. Se uma triplica, a outra triplica. Se uma é dividida em duas partes iguais, a outra também é dividida à metade. Exemplos: 1) Se três rastelos custam R$ 80,00, o preço de seis rastelos será R$ 160,00. Observe que, se dobramos o número de rastelos, também dobramos o valor final deles.

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42

2) P ara percorrer 30 km, um trator gastou 30 litros de diesel. Nas mesmas condições, o trator percorrerá 60 km com 60 litros de diesel. E com 120 litros percorrerá 120 km.

A distância percorrida e o consumo de combustível são diretamente proporcionais: se uma aumenta, a outra também aumenta. Fonte: Shutterstock

3.2. Grandezas inversamente proporcionais Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas, temos de dividir a outra por dois. Se triplicamos uma delas, devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. Exemplos: 1) Para encher um bebedouro de bovinos, são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, será preciso 60 vasilhas para encher o mesmo bebedouro. Observe que as grandezas “quantidades de vasilhas” e “capacidade das vasilhas” são inversamente proporcionais, pois, ao diminuirmos a capacidade de cada vasilha, precisamos de um número maior de vasilhas para encher o mesmo bebedouro. 2) O agricultor Pedro deseja realizar em sua fazenda uma festa junina em comemoração à boa colheita que teve. Para isso irá comprar 30 latas de refrigerante com capacidade de 200 mL cada uma. Caso ele compre latas de 600 mL, deverá comprar dez latas para ter a mesma quantidade de refrigerante. Note que as grandezas “quantidade de latas” e “capacidade de cada lata em mL” são inversamente proporcionais, pois, ao comprar latas com maior capacidade, Pedro precisou de um número menor de latas para obter a mesma quantidade de antes.

Curso Técnico em Agronegócio

Grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, o que fazemos com frequência, às vezes sem perceber. Nos casos que envolvem proporcionalidade direta e inversa, é de extrema importância conhecer a regra de três para a obtenção dos resultados.

4. Regra de três (simples) Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que envolvem grandezas proporcionais. Exemplos: 1) Uma colheitadeira se desloca com velocidade constante, percorrendo 4 km em 1 hora. Qual o tempo gasto para percorrer 10 km? As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, pois, quanto maior a distância, maior o tempo necessário. Teremos então uma regra de três simples e direta. Dispomos os dados do problema colocando frente à frente aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do valor procurado, da seguinte forma:

distância

__

__

4 km

1 hkm

10 km

xh

_

_

tempo

As setas para baixo nos auxiliam a perceber que ambas as grandezas são proporcionais. Sendo a regra de três simples e direta, as grandezas são dispostas na mesma ordem de correspondência, desta forma: 1 4 10 = ⟹ 4 * x = 10 * 1 ⟹ x = ⟹ x = 2,5 10 x 4

43

Portanto o tempo gasto para percorrer 10 km é de 2,5 horas.

2) Dois trabalhadores juntos conseguem capinar certo terreno em 6 horas de trabalho. Se, em vez de dois, fossem três trabalhadores, em quantas horas o terreno poderia ser capinado? Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais, pois, quanto mais trabalhadores tivermos, menos horas serão necessárias para terminar o serviço. Assim, teremos uma regra de três simples e inversa. Dispondo os dados do problema com as setas para nos ajudar, temos:

horas

2 trabalhadores

xh

3 trabalhadores

_

6h

__

_

__

trabalhador

Matemática Básica e Financeira

44

Como as grandezas são inversas, invertemos um dos lados para montar a nossa equação, ficando assim: 2 x 12 = ⟹ 3 x =2 * 6 ⟹ x = = 4 ⟹ x = 4 3 6 3 Portanto seriam necessárias 4 horas de 3 trabalhadores para capinar o mesmo terreno. Comentário do autor

d

Como estão seus estudos até aqui? Lembre-se de que você pode assistir às videoaulas e acessar o AVA para se aprofundar. Além disso, conte sempre com apoio da Tutoria a distância! Resolva todas as suas dúvidas, pois assim você fica mais seguro para estudar os tópicos seguintes.

5. Porcentagem A porcentagem tem inúmeras aplicações no dia a dia. No mercado financeiro, por exemplo, é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos e taxas de juros. Os números percentuais possuem representações na forma de fração com denominador igual a 100 e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Veja três representações de porcentagem de um mesmo valor:

1%

1 ____ 100

0,01

O símbolo “%” é lido como “por cento” e significa centésimos. Por isso, “5%” lemos “5 por cento”. Para calcularmos uma porcentagem, é importante lembrarmos o produto de frações, pois procedemos da seguinte forma:

x x % de y = y 100 * Exemplos: 1) 5% de um terreno de 80 m2 =

2) 4% de 32 litros de leite =

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4 100

5 100

* 80 = 0,05 * 80 = 4 m²

* 32 = 0,04 * 32 = 1,28% litro de leite

Para transformar frações em porcentagem, realizamos a divisão, depois multiplicamos por 100 e colocamos o símbolo de porcentagem à sua direita. Exemplos: 3

1) Se um produtor rural perder da safra de determinado período, podemos dizer que ele 15 perdeu 20% da safra, pois:

3 = 0,2 ⟹ 0,2 * 100 = 20% 15 Desse modo, para transformarmos

3 em 15

porcentagem, fazemos a divisão, depois multiplica-

mos por 100 e colocamos o símbolo “%”.

18

2) Procedendo da mesma maneira que no exemplo anterior, em fração equivale a 40%, 45 pois: 18 = 0,4 ⟹ 0,4 * 100 = 40% 45

Atividade 5: Proporcionalidade a) Uma bomba eleva 272 litros de água de um poço em 16 minutos. Quantos litros elevará em 1 hora e 20 minutos?

b) Doze operários levaram 25 dias para executar determinada obra num celeiro. Quantos dias levarão dez operários para executar a mesma obra?

c) Num armazém existem 200 pilhas de caixas com 30 caixas em cada pilha. Se houvesse 25 caixas em cada pilha, quantas pilhas teríamos no armazém?

d) Metade de uma obra em um silo foi feita por dez operários em 13 dias. Quantos tempo levaria para terminar essa obra com três operários a mais?

e) Converta as frações a seguir para porcentagem:

3 8 45 14 , , , 4 50 18 42

f) Calcule as porcentagens a seguir: 15% de 180, 18% de 150, 35% de 126, 100% de 715, 115% de 60 e 200% de 48.

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45

Tópico 6: Potências 46

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação por um mesmo número repetidas vezes e é representada da seguinte forma:

Um número base a (que será multiplicado) elevado a um expoente n (quantidade de vezes que ele será multiplicado): an = “multiplicar a * a por n repetidas vezes” Exemplos: 1) 23 = 2 * 2 * 2 = 8

2) (-1)2 = (-1) * (-1) = 1 3) 1 2

2

=

1 2

1

1* 1 *2

* 2=2

=

1 4

Comentário do autor

d

Este conceito será muito útil no próximo tema, sobre matemática financeira, pois as fórmulas que veremos utilizam potências. Por isso, fique atento às propriedades a seguir e à forma como realizamos as operações fundamentais para potências.

1. Regras de potencialização Devemos ficar atentos às seguintes propriedades das potências: a) Quando o número não possuir expoente, sua potência será 1, isto é, a = a1.

b) Se o expoente for o número 1, o resultado será a própria base: a1 = a. • 31 = 3 • 171 = 17

c) Toda potência de 1 é igual a 1 : 1n = 1. • 17 = 1 • 199 = 1

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d) Toda potência de 0 é 0: 0n = 0.

e) Qualquer número, exceto 0, elevado a 0 é igual a 1 : a0 = 1. • 190 = 1 • 00 não faz sentido, ou seja, não podemos fazer essa conta.

f) Se o expoente for negativo, exceto 0, devemos fazer o inverso do número, isto é: a-n = • 2-1 1 =

1 an

2

1 1 • 3-2 = 2 = 3

9

g) Em potência de frações, devemos elevar o numerador e o denominador ao mesmo expoente: •

3

1 3

• -

13 33

=

1 2

5

=

=

a b

n

=

an bn

1 27

1 (- 1)5 =5 32 2

h) Potência de base dez – efetuamos as potências de 10 escrevendo à direita do número 1 tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. • 103 = 1.000 • 102 = 100

47

i) Expoentes pares – uma potência com expoente par será sempre um número positivo. • (-3)2 = (-3) * (-3) = 9 • 54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625

j) E xpoentes ímpares – uma potência com expoente ímpar terá o sinal do número base. • (-3)3 = -27 • (-2)5 = -32

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2. Multiplicação de potências

48

Ao multiplicar potências, devemos ficar atentos às bases destas. Temos dois casos: potências de mesma base e potências de bases diferentes. Por exemplo: 23 e 24 são potências de mesma base, enquanto 32 e 72 são de bases diferentes. Multiplicação de potências de mesma base Observe o que acontece quando multiplicamos duas potências de mesma base: 22 * 23 = (2* 2) * (2 * 2 * 2) = 4 * 8 = 32 Note que essa operação é igual a: 22 + 3 = 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 Logo, quando multiplicamos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes: an * am = an + m Exemplos:

1) 23 * 25 = 23 + 5 = 28 2) 45 * 41 = 45 + 1 = 46 Multiplicação de potências de bases diferentes e mesmo expoente Veja agora o que acontece quando multiplicamos duas potências de bases diferentes e com os expoentes iguais: 22 * 32 = (2 * 2) * (3 * 3) = 4 * 9 =36 Isso é o mesmo que fazer: (2 * 3)2 = 62 = 6 * 6 = 36 Dessa forma, quando multiplicamos potências com bases diferentes e expoentes iguais, nós multiplicamos os números base e conservamos o expoente: an * bn = (a * b)n Exemplos:

1) 32 * 52 = (3 * 5)2 = 152 2) 33 * 73 = (3 * 7)3 = 213

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3. Divisão de potências Na divisão de potências, procedemos como na multiplicação, isto é, temos dois casos. Divisão de potências de mesma base Considere a seguinte divisão entre potências de mesma base: 24 2 * 2 * 2 * 2 16 = = =4 22 2*2 4

Observe que essa operação é equivalente a:

24 - 2 = 22 = 4 Assim, quando dividimos potências de mesma base, devemos manter a base e subtrair os expoentes (“o de cima menos o de baixo”):

an = an-m am

Exemplos:

1)

45 = 45 - 2 = 43 42

2 2) 3 = 32 - 1 = 31 = 3

3

Divisão de potências de bases diferentes e mesmo expoente Veja o que acontece quando dividimos potências de base diferentes e mesmo expoente: 22 2 * 2 4 = = 32 3 * 3 9

49

Agora, utilizando produto de frações, observe que: 2 3

2

=

2 3

*

2 3

2 2 4 = * = 3*3 9

Logo, para dividir potências de bases diferentes e mesmo expoente, dividimos os números da base e conservamos o expoente: an = bn

a b

n

Exemplos:

1)

72 = 32

2) 83

= 3

3

7 2

2

8 3

3

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4. Potência de potências

50

Agora vejamos outra operação entre potências. Observe o exemplo a seguir, em que calculamos a potência de uma potência: (22)3 = (22) * (22) * (22) = 4 * 4 * 4 = 64 Por outro lado, também podemos dizer que: 22*3 = 26 =2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64 Dessa forma, para calcularmos potência de potências, devemos multiplicar os expoentes e repetir a base: (an)m = an * m Exemplos: 1) (72)4 = 72 * 4 =78

2) (157)2 = 157 * 2 = 1514

Dica

Todo número natural pode ser escrito como produto de potências de números primos. Esse fato é conhecido como decomposição em fatores primos, assim como procedemos para calcular m.m.c. e m.d.c. Ele é muito útil para simplificarmos expressões matemáticas.

'

Exemplos: 1) 4 = 2 * 2 = 22 2) 12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 22 * 3 3) 30 = 2 * 15 = 2 * 3 * 5

Atividade 6: Potenciação a) 13

b) 04

c) (-2)3

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d) (-4)3

e) 23 * 25

f) 3 * 32 * 34

5 g) 3

34

h) 3 * 3 4

2

35

i) (-3)5 * 55

j) 153 : 33

k) (24)2

l) [(52)3]5

m)

n)

2

5 3 2 32

3

51

o) (23 * 53)0

p) 4-2

q) 2 * 3-1

r) (23 * 53)0

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Tópico 7: Raízes 52

Uma raiz é a operação inversa à potenciação, assim como são inversas a soma e a subtração ou a multiplicação e a divisão. Quando calculamos uma raiz quadrada, por exemplo, estamos procurando qual número que elevado 2 nos fornece o número dentro da raiz. Exemplo: √9 = 3, pois 32 = 9

2

De forma genérica, temos: n

√a = x significa qual x é tal que xn = a

Chamamos o número n de índice ou grau da raiz (que deve ser um número natural diferente de 0 e 1) e o número a de radicando.

• Para encontrarmos o valor de determinada raiz, devemos consultar a tabuada desse número. • Nem todo número possui um valor exato para raiz. • Quando não aparece índice, subentendemos o número 2, isto é, √a = 2√a.

• Se o radicando é o número 1, então para qualquer índice teremos como resultado o número 1, ou seja, n√1 = 1.

• A raiz de índice 2 é recebe o nome de raiz quadrada e a de índice 3 de raiz cúbica. Para outros números, dizemos raiz quarta, raiz quinta etc.

Quando resolvemos um exercício que envolve raízes e a raiz em questão não tem resposta exata, a menos que o enunciado peça, é melhor deixar indicado o resultado com raiz. Por exemplo, é preferível escrever √2 a escrever 1,4 (valor aproximado para raiz quadrada do número 2). Isso porque, como vimos no tópico sobre números irracionais, √2 é um número irracional e, portanto, não pode ser escrito em forma decimal com todas as suas casas decimais. Informação extra

j

As raízes são utilizadas em diversas situações. Você sabia, por exemplo, que os formatos de papel mais utilizados no mundo seguem a proporção de 1:√2? Isso garante que ao cortar um papel A4 ao meio (aquele que costumamos utilizar nas impressoras), você terá exatamente dois papéis A5. Da mesma forma, dois papéis A4 formam um A3. Essa proporção garante cortes e ampliações sem perdas (A0, A1, A2, ...) e é toda baseada na √2.

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1. Propriedades da raiz 1.1. Radicandos positivos e negativos Quando estivermos calculando uma raiz cujo radicando tem sinal negativo, devemos ficar atentos se o índice é par ou ímpar.

Índice par

Índice ímpar

Se o índice da raiz for um número par, então o radicando não pode ser um número negativo. Por exemplo, 2√-8 não existe, pois não existe um número que ao quadrado resulte em -8. Caso o índice seja um número ímpar, o radicando poderá ter qualquer sinal. Por exemplo:

√-8 = -2, pois (-2)3 = (-2) * (-2) * (-2) = -8

3

1.2. Simplificação de raízes Como você viu no início deste tópico, nem todo número possui um valor exato de raiz. Porém, em alguns casos, podemos simplificar e reescrever a raiz. É possível retirarmos um fator do radical, bastando escrever o número em fatores primos e em seguida retirarmos todo número cujo expoente é igual ao índice da raiz. Exemplos: 1) 2√12 = ?

Observe que não existe nenhum número que elevado a 2 resulte em 12. Entretanto podemos reescrever essa raiz de uma forma mais simples. Para isso, você precisa lembrar que qualquer número inteiro pode ser escrito como multiplicação de números primos. Vamos decompor o número 12 em fatores primos, isto é: 12 = 2 * 6 = 2 * 2 * 3 = 22 * 3 Dessa forma: √12 = 2√22 * 3

2

Por fim retiramos da raiz o número 2, pois sua potência é a mesma do índice da raiz, ficando: 2 √12 = 2√22 * 3 = 2 * 2√3 = 22√3

Apenas para fins de comparação, usando uma calculadora podemos verificar os valores aproximados das raízes e fazer uma comparação: √12 = 22√3 = 3,46…

2

2) 2√180 = 2√22 * 32 * 5 = 2* 3 * 2√5 = 625

Matemática Básica e Financeira

53

54

3) 3√81 = 3√34 = 3√3 * 33 = 33√3

2. Adição e subtração de raízes A soma e a subtração de raízes podem ser feitas apenas quando os radicandos e os índices são iguais. Mas não somamos os números entre das raízes, apenas os que estão do lado de fora delas. Exemplos: 1) 2√3 + 32√3 = 42√3 2) 52√2 + 32√2 = 82√2

3. Multiplicação e divisão de raízes Podemos multiplicar e dividir raízes de mesmo índice. Nesse caso, multiplicamos ou dividimos os radicandos conforme a operação que estivermos fazendo e repetimos a raiz e o índice. Exemplos: 1) 3√2 * 3√5 = 3√2 * 5 = 3√10 2) √5 * √7 * √3 = √5 * 7 * 3 = 105 3)

4)

√15

=

√3

15 = √5 3

*

4. Expoentes fracionários Uma raiz também pode ser representada por meio de uma potência. Utilizamos para isso uma potência fracionária da seguinte forma:

Exemplo:

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No caso de o radicando ser ele mesmo uma potência, escrevemos a raiz em forma de fração deste modo:

Exemplos: 1)

2)

-

1 2

3) 2 =

1

2

1 2

=

1

Nesses dois últimos exemplos, note que primeiro escrevemos a raiz em forma de potência e depois aplicamos a regra de potência de potências. Comentário do autor

d

Compreender alguns conceitos matemáticos pode exigir certo esforço, mas com seu empenho você conseguirá superar as dificuldades. Lembre-se de que você conta com apoio da Tutoria a distância caso tenha dúvidas sobre algum assunto ou ao resolver os exercícios.

Atividade 7: Raízes a) √5 + 3√5 - 2√5

55

b) √32 + 2√8 - 3√2 c) √8 * √3 d) (-√2)2

e) 3√-3 * 3√9

f)

g) (3√3

*

22)2

Matemática Básica e Financeira

h)

56

3

1 2

3 2

3

3

i) Escrever em forma de raízes: 2 4 e 5 5

Tópico 8: Medidas agrárias Para encerrarmos este primeiro tema sobre matemática básica, vamos estudar as medidas agrárias utilizadas para medir áreas rurais.

Fonte: Shutterstock

As medidas de áreas rurais são diferentes das medidas urbanas: metro, centímetro, decâmetro, hectômetro etc., mas elas se relacionam entre si. Por isso, primeiro vamos relembrar as medidas de comprimento mais usadas e, em seguida, veremos as medidas agrárias.

1. Unidades de medidas De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), o metro (m) é considerado a unidade principal de medida de comprimento. Os múltiplos do metro são o quilômetro (km), o hectômetro (hm) e o decâmetro (dam) e os submúltiplos são o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro (mm).

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Para converter uma unidade em outra, procedemos como no esquema a seguir.

Quilômetro km

Hectômetro hm

: 10

Decâmetro dam

: 10

Metro m

: 10

Decímetro dm

: 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

x 10

Milímetro mm

Centímetro cm

: 10

: 10

Da esquerda para a direita – devemos multiplicar pelo número 10 o número de vezes de casas que devemos andar. • 15 km correspondem a 150 hm (andamos apenas uma casa, dessa forma multiplicamos por 10) ou equivalem a 15.000 m (3 casas = multiplicar por 10 três vezes, ou seja, por 1.000). • 1 dm equivale a 100 mm (andamos duas casas e, por isso, multiplicamos por 10 duas vezes, isto é, por 100). Da direita para a esquerda – devemos dividir pelo número 10 o número de casas que tivermos de andar. • 7 cm corresponde a 0,07 m, pois tivemos de andar duas casas para a esquerda e, dessa forma, dividimos por 10 duas vezes.

Dica

'

Você pode usar a mesma tabela para conversão de áreas, mas ao invés de 10, deve multiplicar ou dividir por 100. Você também pode usar para conversão de volumes, mas nesse caso, multiplique ou divida por 1000.

2. Unidades de medidas agrárias As unidades de medidas agrárias se relacionam com as unidades de medidas de superfície da seguinte forma: • 1 are (a) = 100 m² • 1 a * 100 = 1 hectare (ha) = 100 a = 10.000 m² 1a • = 1 centiare (ca) = 1 centésimo de are = 1 m² 100

Matemática Básica e Financeira

57

58

No Brasil, a medida oficial de terras é esse sistema decimal, e o hectare é a medida mais usada. Outra medida de superfície comumente utilizada no Brasil é o alqueire, que tem como principais variações regionais: • 1 alqueire do norte = 27.225 m² = 2,72 ha • 1 alqueire mineiro = 48.400 m² = 4,84 ha • 1 alqueire paulista = 24.200 m² = 2,42 ha • 1 alqueire baiano = 96.800 m² = 9,68 ha Exemplos: 1) Uma propriedade com 11 hectares é equivalente a uma propriedade com 110.000 m², pois: 1 ha = 10.000 m2 ⇒ 11 ha = 11 * 10.000 m2 = 110.000 m2 2) Um terreno com 2,42 hectares é equivalente a um terreno com 242 a, visto que: 2,42 * 100 = 242

3) Um lote de 5,5 alqueires paulistas é equivalente a um lote com 133.100 m², porque: 5,5 * 24.200 m2 = 133.100 m²

Encerramento do tema Ao longo deste tema você estudou e praticou os conceitos fundamentais da matemática básica. Aprendeu os diferentes conjuntos de números e como realizar operações entre números com vírgulas ou frações. Conheceu proporcionalidade, regras de três e viu, ainda, potências e sua relação com raízes. Fechamos o tema com as principais unidades de medidas agrárias. No próximo tema, você estudará a matemática financeira. Para isso, certifique-se de ter compreendido bem os conceitos que viu até aqui, pois eles auxiliarão no entendimento das fórmulas e na resolução dos cálculos que virão.

Curso Técnico em Agronegócio

02 Matemática Financeira

60

Tema 2: Matemática Financeira A matemática financeira é muito importante dentro de uma empresa, pois ela fornece os instrumentos necessários para avaliar os recursos mais viáveis em termos de custo e os investimentos que podem ser mais rentáveis a curto ou longo prazo. Em outras palavras, a matemática financeira é essencial para que uma organização possa minimizar os custos e maximizar os resultados. Contudo, sua aplicação não se restringe apenas às empresas. A matemática financeira é uma importante aliada para cálculos pessoais, como a melhor forma de efetuar o pagamento de uma casa, de um carro ou até mesmo de eletrodomésticos e das compras do mês.

Fonte: Shutterstock

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De modo geral, há momentos em que precisamos guardar e capitalizar o dinheiro e momentos nos quais necessitamos gastar com bens e serviços. Quando nosso objetivo é formar um capital em uma data futura, temos um processo de capitalização (que pode ser simples ou composto). Caso contrário, quando queremos pagar uma dívida, temos um processo de amortização. Ao longo deste tema, você estudará diferentes conceitos de modo que desenvolva competências para: • Compreender e calcular juros simples e montante, juros exatos e comerciais. • Diferenciar os tipos de descontos simples. • Calcular a taxa média e o prazo médio em operações de desconto. • Realizar cálculos de montantes, taxas equivalentes, nominais e efetivas. • Compreender os tipos de desconto composto. • Reconhecer os tipos de pagamentos. • Calcular o valor presente e o valor futuro de uma renda imediata e de uma renda antecipada. • Entender o sistema de amortização constante (SAC). • Realizar análises de investimentos de forma básica.

Comentário do Autor

d

No decorrer deste tema você verá muitos exemplos resolvidos, mas nem todos os cálculos estão detalhados. O objetivo é que você compreenda os passos da resolução, e por isso algumas etapas apresentam números aproximados. Desse modo, mesmo sendo um exemplo resolvido, procure refazer as contas sem arredondar os números, pois eles podem mudar o resultado final. Ao término você pode considerar aproximações de números com vírgulas, escrevendo o sinal igualdade (≈), que deve ser lido como “aproximadamente”.

Antes de prosseguir, considere que a maioria das fórmulas presentes neste tema utiliza potências e que, em alguns casos, será preciso calcular raízes. Para isso, você necessitará de uma calculadora científica, dos modelos mais simples. Com ela você poderá calcular potências e raízes de quaisquer números, conforme o que você aprendeu no tema anterior. Dica

'

Você pode procurar a versão “calculadora científica” no seu celular, pode baixar um aplicativo específico ou, ainda, utilizar a calculadora do Windows. No AVA você encontra um tutorial de como calcular raízes e potências com a calculadora do Windows.

Matemática Básica e Financeira

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Tópico 1: Juros simples 62

O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma relação entre o dinheiro e o tempo.

Juros é o “aluguel” que pagamos pelo tempo em que determinada quantia de dinheiro fica emprestada a nós. Também é o pagamento que recebemos quando emprestamos dinheiro a alguém. O regime de juros simples, ou capitalização simples, consiste em somar os juros mensais ao capital no fim do prazo da operação financeira. Contudo, vale salientar que, atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Você verá esse assunto no Tópico 3.

1. Conceitos Antes de partir para os cálculos e exemplos, veja alguns conceitos importantes do universo financeiro:

Juros (j)

Juros é o valor cobrado pelo detentor do dinheiro para cedê-lo a quem o necessite. Em outras palavras, é um tipo de aluguel cobrado pela pessoa ou instituição que possui o dinheiro da pessoa ou instituição que precisa do dinheiro.

Capital (P)

Capital é a importância ou o dinheiro disponível para emprestarmos a quem dele necessite (do ponto de vista de um investidor) ou que necessitamos (do ponto de vista de quem toma emprestado).

Período (n)

Período é o intervalo de tempo em que o capital estará disponível para aplicação ou empréstimo. Montante é o valor resultante, ao final do período, da soma do capital (ou da aplicação financeira), com os juros recebidos (ou pagos), isto é:

Montante (F)

montante = capital + juros Usando as letras F para montante, P para capital e j para juros, podemos escrever a fórmula do montante do seguinte modo: F=P+j

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Taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital empregado, ou seja:

i Taxa de juros (i)

juros

j

= capital = P

As taxas de juros podem ser escritas de duas formas:

• Taxa percentual – utilizando a porcentagem, como 12% ao ano, ou 12% a.a. • Taxa unitária – usando uma representação decimal, como 0,12 ao ano, ou 0,12 a.a.

Atenção lembre-se da forma de transformação que você estudou sobre porcentagem. A conversão entre taxa percentual e unitária é feita da seguinte maneira: • Taxa percentual em taxa unitária – dividimos a taxa por 100 e tiramos o símbolo %. Por exemplo: uma taxa percentual de 1,25% equivale a taxa unitária de 0,0125, pois:

`

0,0125

1,25

= 100

• Taxa unitária em taxa percentual – multiplicamos a taxa unitária por 100 e colocamos o símbolo %. Por exemplo, uma taxa 1,53 unitária equivale a 153%, visto que:

153%

= 1,53 * 100

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Nas fórmulas, todos os cálculos são efetuados utilizando a taxa unitária de juros e tanto o prazo da operação quanto a taxa de juros devem estar na mesma unidade de tempo. Por exemplo, se a taxa for anual, o prazo (n) também deve estar em anos, mantendo-se, assim, o mesmo parâmetro de tempo. Usaremos sempre o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias. Para entender melhor, acompanhe este exemplo: qual a taxa de juros cobrada em um empréstimo de insumos agrícolas no valor de R$ 1.000 resgatado por R$ 1.200 ao final de um ano?

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O enunciado nos fornece os seguintes dados:

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• Capital inicial: P = 1.000 • Juros: j = 1.200 – 1.000 = 200 Portanto a taxa de juros ( i ) é dada por: i=

200 1.000

= 0,20 a.a., ou 20% a.a.

2. Cálculo de juros simples e do montante 2.1. Cálculo de juros simples No critério de juros simples, em cada período os juros são calculados sobre o capital inicial, sendo diretamente proporcionais ao valor e ao tempo de aplicação. O valor dos juros simples é obtido pela fórmula: juros simples = (capital) * (taxa de juros) * (período) Utilizando j para juros, P para capital, i para a taxa juros e n para período, podemos reescrever a fórmula anterior assim: j=P*i*n Exemplos: alcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo para a compra de um trator 1) C de R$ 12.500 pelo prazo de 18 meses à taxa de 1,5% ao mês (por abreviação, a.m.). Vejamos os dados que o problema nos fornece: • Capital: P = 12.500 • Período: n = 18 meses • Taxa de juros: i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m. • Juros: j = ? Note que o período e a taxa de juros estão na mesma unidade de tempo, ou seja, em meses. Aplicando diretamente a fórmula anterior, calcularemos os juros simples: j = 12.500 * 18 * 0,015 = 3.375 Portanto, o valor dos juros é R$ 3.375.

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2) Calcular o valor de um empréstimo para a reforma de um celeiro, à taxa de 36% ao ano e pelo prazo de 8 meses, sendo pagos R$ 12.000 de juros. Dados do problema: • Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. • Período: n = 8 meses • Juros: j = 12.000 • Capital: é o valor do empréstimo que desejamos calcular, isto é, P = ? Antes de aplicarmos a fórmula e encontrarmos P, precisamos fazer uma conversão na taxa de juros, pois o período é dado em meses e a taxa ao ano. Como em um ano temos 12 meses, para encontrar a taxa de juros ao mês devemos dividir o valor que temos por 12: i = 36% a.a. =

36% a.a. 12

= 3% a.m. = 0,03 a.m.

Vamos utilizar os dados na fórmula e isolar P: 12.000 = P * 0,03 * 8 ⟹ P =

12.000 0,24

= 50.000

Portanto o valor do empréstimo, ou seja, do capital, é R$ 50.000.

3) Uma aplicação numa letra de crédito do agronegócio (LCA) de R$ 19.000, pelo prazo de 120 dias, obteve um rendimento de R$ 1.825. Qual a taxa anual de juros simples dessa aplicação? Dados: • Capital: P = 19.000 • Período: n = 120 dias

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• Juros: aqui indicado pela palavra “rendimento”, j = 1.825 • Taxa de juros: queremos calcular a taxa ao ano, i = ? a.a. Vamos utilizar a fórmula dos juros simples isolando o termo i: 1.825 = 19.000 * i * 120 ⟹ i =

1.825 2.280.000

= 0,0008

Portanto encontramos uma taxa de juros de aproximadamente 0,008% ao dia, já que nosso período foi dado em dias. Mas precisamos da taxa anual. Como em um ano temos 360 dias, basta multiplicar a taxa diária que encontramos por 360. Dessa forma: i = 0,008 * 360 = 28,8 Portanto a taxa de juros é de 28,8% ao ano.

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2.2. Cálculo do montante

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O montante é o valor resultante, ao final do período, da soma do empréstimo (ou da aplicação financeira) com os juros pagos no período, isto é: montante = capital + juros Usando a fórmula dos juros simples e considerando F para montante, P para capital, i para taxa de juros e n para período, o montante é calculado por: F = P * (1 + i * n) Note que a fórmula de juros simples e esta são iguais. Dependendo dos dados que tivermos em mãos, podemos usar uma ou outra. Exemplos: 1) Um fazendeiro aplicou R$ 2.700 em uma LCA a uma taxa de juros simples de 2,8% ao mês pelo prazo de 3 meses. Quanto resgatou? Temos os seguintes dados: • Capital: P = 2.700 • Taxa de juros: i = 2,8% a.m. = 0,028 a.m. • Período: n = 3 meses • Montante: será o valor resgatado, logo F = ? Note que o período e a taxa de juros são indexados em meses. Assim basta aplicar diretamente a fórmula anterior: F = 2.700 * (1 + 0,028 * 3) = 2.700 * 1.084 = 2.926,80 Portanto o fazendeiro resgatou R$ 2.926,80.

2) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 7.500 aplicado a uma taxa de juros simples de 20% a.a., por 220 dias. Dados: • Capital: P = 7.500 • Taxa de juros: i = 20% a.a. = 0,2 a.a. • Período: n = 220 dias • Juros: j = ? • Montante: será o valor resgatado, logo F = ?

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Note que o período é dado em dias e a taxa de juros ao ano, logo precisamos fazer uma conversão. Como em um ano temos 360 dias, dividimos a taxa anual por 360, isto é: i = 20% a.a. =

0,2 a.a. 360

= 0,0005 a.d.

Nesse exemplo é mais fácil usarmos a primeira fórmula para o montante, que é: F=P+j Porém ainda não sabemos os juros. Utilizando a fórmula dos juros simples, temos: j = 7.500 * 0,0005 * 220 = 825 Dessa forma o valor dos juros é R$ 825. Por fim, vamos calcular o montante: F = 7.500 + 825 = 8.325 Portanto o valor dos juros é R$ 825 e o do montante R$ 8.325.

3. Juros exato e comercial São calculados quando o período n está expresso em dias. Utilizamos o ano civil com 365 dias, e a taxa é expressa ao ano:

Juros exato (JE) JE = P * i *

Juros comercial (JC)

n 365

a.a.

São calculados quando o período n está expresso em dias. Usamos o ano comercial com 360 dias, e a taxa é expressa ao ano:

JC = P * i *

n 360

a.a.

Exemplos: 1) Calcular o juro exato e o juro comercial de um capital de R$ 5.000 aplicado pelo prazo 40 dias à taxa de 36% a.a. por um fazendeiro que espera a entressafra. Dados do problema: • Capital: P = 5.000 • Período: n = 40 dias • Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a.

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Aplicando agora as fórmulas do JE e JC, temos que:

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JE =

JC =

5.000 * 0,36 * 40 365 5.000 * 0,36 * 40 360

=

=

72.000 365 72.000 360

= 197

= 200

2) Calcular o juro exato e o juro comercial de um capital de R$ 4.000 aplicado em 16/04/2001 e resgatado em 23/07/2001 à taxa de 48% a.a. Dados: • Capital: P = 4.000 • Taxa de juros: i = 48% a.a. = 0,48 a.a. • Período: n = ? • Juros: JE = ? e JC = ? Primeiro devemos encontrar o período, isto é, o número de dias entre as duas datas. Para isso, devemos usar a tabela de contagem de dias, que pode ser encontrada na biblioteca do AVA. Consultando a tabela, vemos que: • até 23/07 temos 204 dias; • até 16/04 temos 106 dias. Logo: n = 204 - 106 = 98 dias Por fim basta aplicar as fórmulas de juros exato e comercial: JE =

JC =

4.000 * 0,48 * 98 365 4.000 * 0,48 * 98 360

=

=

188.160 365 188.160 360

= 515,51

= 522,67

3) Um fazendeiro realizou um empréstimo de R$ 4.500 em 20/07/2001 e foi pago decorridos 148 dias. Sabendo que a taxa encontrada é de 45% a.a., calcule: a) a data de vencimento do empréstimo; b) o valor pago pelo juro exato; c) o valor pago pelo juro comercial.

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Inicialmente vamos anotar os dados do problema: • Capital: P = 4.500 • Taxa de juros: i = 45% a.a. = 0,45 a.a. • Período: n = 148 dias Vamos resolver cada item em separado agora. a) Utilizando a tabela de contagem de dias que se encontra na biblioteca do AVA, temos que até 20/07 são 201 dias. Dessa forma: data de vencimento = 201 + 148 = 349 dias Novamente pela tabela, temos que o vencimento do empréstimo é 15/12/2001. b) Pela fórmula do montante, o valor do juro exato é:

F = 4.500 * (1 +

0,45 365

* 148) = 4.500 * (1 + 0,1824) = 5.321,10

c) Pela fórmula do montante, o valor do juro comercial é:

F = 4.500 * (1 +

0,45 360

* 148) = 4.500 * (1 + 0,1850) = 5.322,50

Atividade 1: Juros simples a) Quanto obterei ao final de um ano, três meses e quinze dias se aplicar um capital de R$ 2.500 a juros simples de 15% a.a.? b) Um agricultor aplicou R$ 4.500 à taxa de 10% a.a., gerando um montante de R$ 9.000. Calcule o prazo da aplicação. c) Determine o capital necessário para gerar um montante de R$ 7.950 ao final de 1 ano e 9 meses a uma taxa de 4,5% ao trimestre. d) O capital de R$ 3.500 aplicado pelo período de 1 ano, 4 meses e 20 dias formou um montante de R$ 3.950. Calcule a taxa semestral de juros. e) Um empréstimo de R$ 8.000 foi realizado por um pecuarista em 27/02/2001 e foi pago em 03/08/2003. Sabendo que a taxa contratada é 38% a.a., determine: • o valor pago em 03/08/2003 pelo juro exato; • o valor pago em 03/08/2003 pelo juro comercial. f) D etermine o montante gerado pela aplicação de um capital no valor de R$ 3.500 aplicado no período de 18/05/2001 até 07/03/2003 e com taxa de juros comercial de 23,5% a.a.

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Tópico 2: Desconto simples 70

No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas empresas e pessoas. Essas operações geram ao credor um título de crédito, que é a garantia da dívida. Como exemplos de títulos, podemos citar:

Duplicata

Papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos ou jurídicos especificando vendas de mercadorias com prazo ou prestação de serviços a serem pagos mediante contrato firmado entre as partes.

Nota promissória

Título que comprova uma aplicação com vencimento determinado. Este produto é muito utilizado entre duas pessoas físicas e ou entre pessoas físicas e instituições financeiras credenciadas.

Letra de câmbio

Como a promissória, é um título que comprova uma aplicação com estabelecimento prévio do vencimento. No caso da letra, o título ao portador somente é emitido por uma instituição financeira credenciada.

Letra de Crédito do Agronegócio

A LCA é um título de crédito de livre negociação e com promessa de pagamento em dinheiro que pode ser emitido por instituições financeiras públicas e privadas. Em geral, é um título de renda fixa oferecido por agentes financeiros e isento de IOF e imposto de renda (IR) para os investidores.

Cédula de Produtor Rural

A CPR, criada em 1994 pela Lei no 8.929, é um título de crédito lastreado em garantia real que pode ser emitido tanto pelo produtor rural como por uma cooperativa de crédito. Esse é um título para uma venda a termo, ou seja, uma venda que será concluída no futuro.

Em outras palavras, podemos dizer que o título é “conta a ser paga” ou “boleto de pagamento”. Esses títulos possuem datas de vencimento predeterminadas, mas o devedor tem o direito de antecipar o pagamento. Caso isso aconteça, um abatimento chamado de desconto é efetuado. O desconto pode ser: • Comercial – calculado sobre o valor nominal. • Racional – calculado sobre o valor atual.

1. Valor nominal (N) e atual (V) de um título Antes de iniciarmos os descontos simples, é preciso entendermos a diferença entre valor nominal e valor atual.

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Data atual

Data do vencimento

Valor atual de um título (V): É o valor que um título tem em uma data que antecede ao seu vencimento.

Valor nominal de um título (N): É o valor do título na data do seu vencimento.

Para calcular o valor nominal ou o valor atual de um título, utilizamos a seguinte fórmula: N = V * (1 + i * n) Em que N é o valor nominal, V o valor atual, i a taxa de juros e n o período. Exemplos: 1) Calcular o valor nominal de um título de R$ 5.000 assinado hoje, com vencimento daqui a 9 meses, com taxa de juros de 36% a.a. Dados do problema: • Valor atual: V = 5.000 • Período: 9 meses

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• Taxa de juros: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. • Valor nominal: N = ? Antes de aplicarmos a fórmula, devemos mudar a taxa de juros para “ao mês”, pois o período é dado em meses. Nossa taxa é ao ano, e em um ano há 12 meses. Logo, para encontrar a taxa mensal, temos de dividir a taxa anual por 12, isto é: i=

36% a.a. 12

= 3% a.m. = 0,03 a.m.

Agora basta aplicar os dados na fórmula: N = 5.000 * (1 + 0,03 * 9) = 5.000 * 1,27 = 6.350 Portanto o valor nominal do título é R$ 6.350.

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2) O valor nominal de um título é R$ 8.000, e o devedor quer quitar esse título cinco meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual se a taxa de juros é de 24% a.a.? Dados: • Valor nominal: N = 8.000 • Período: n = 5 meses • Taxa de juros: i = 24% a.a. = 0,24 a.a. • Valor atual: V = ? Primeiramente devemos converter a taxa de juros para meses, pois o período está em meses. Logo, como em um ano há 12 meses e a nossa taxa de juros é anual, devemos dividi-la por 12, isto é: 24% a.a. i= = 2% a.m. = 0,02 a.m. 12 Agora isolamos V na fórmula para encontrar o valor atual: 8.000 = V * (1 + 0,02 * 5) ⟹ V =

8.000 1.1

= 7.272,72

Portanto o valor atual do título, cinco meses antes do seu vencimento, é R$ 7.272,72.

O desconto é a diferença entre o valor nominal (N) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (V) na data em que é efetuado o pagamento. desconto = valor nominal - valor atual

O T E OL

B

Os descontos podem ser simples ou compostos dependendo do regime de juros (se simples ou composto). Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em: desconto comercial e desconto racional.

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2. Desconto comercial simples (DC) Em operações bancárias é usado o desconto comercial simples (DC). Ele consiste em negociar o título com uma instituição financeira visando antecipar o recebimento de parte dele. É obtido pelo cálculo de juros simples sobre o valor nominal (N) do compromisso saldado n períodos antes do vencimento: desconto comercial = (valor nominal) * (taxa de juros) * (período) Ao reescrevermos utilizando as letras e sendo DC o desconto comercial simples, i a taxa de juros e n o período, temos: DC = N * i * n O valor líquido recebido ou valor atual comercial (VC) é dado pela seguinte fórmula: VC = N * (1 - i * n) Exemplos: 1) Uma nota promissória referente a uma compra de fertilizantes, no valor de R$ 15.000 em seu vencimento, foi descontada três meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto comercial é 60% a.a., calcular o valor do desconto e o valor atual. Dados do problema: • Valor nominal: N = 15.000 • Período: n = 3 meses • Taxa de juros: 60% a.a. = 0,6 a.a. • Desconto: DC = ?

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• Valor atual: VC = ? Primeiramente devemos converter a taxa de juros para mensal. Como nossa taxa é anual e em um ano há 12 meses, temos de dividi-la por 12: i=

60% a.a. 12

= 5% a.m. = 0,05 a.m.

Agora basta aplicar os dados nas fórmulas: DC = 15.000 * 0,05 * 3 = 2.250 VC = 15.000 * (1 - 0,05 * 3) = 15.000 - 2.250 = 12.750 Portanto, pagando a nota promissória três meses antes do vencimento, o devedor receberá um desconto de R$ 2.250, pagando ao todo R$ 12.750.

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2) O desconto comercial simples de um título referente à compra de uma colheitadeira foi de R$ 90.000; e a taxa de desconto, de 80% a.a. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título se seu valor nominal fosse de R$ 150.000? Dados do problema: • Desconto simples: DC = 90.000 • Taxa de juros: 80% a.a. = 0,8 a.a. • Valor atual: VC = 150.000 • Período: n = ? Para encontrarmos o período, utilizamos a fórmula do desconto comercial simples com o valor atual e isolamos a variável n, isto é: 90.000 = 150.000 * 0,8 * n ⟹ n =

90.000 120.000

= 0,75

Portanto, encontramos um período de 0,75 de 1 ano, ou seja, 75% do ano. Para achar o valor em meses, devemos primeiro encontrar o equivalente em dias e depois em meses. Para o equivalente em dias, multiplicamos por 360: n = 360 * 0,75 = 270 dias Como cada mês (comercial) possui 30 dias, basta dividirmos o número de dias por 30: n=

270 30

= 9 meses

Portanto faltariam 9 meses. Comentário do Autor

d

Como estão seus estudos até aqui? Ao analisar os exemplos fornecidos em cada um dos tópicos, verifique se você conseguiu entender cada um dos passos apresentados. Compreender o porquê de cada etapa na resolução é essencial para que você possa resolver os exercícios com autonomia.

3. Desconto racional (DR) O desconto racional (DR) é obtido pelo produto do juro simples ( i ) pelo valor atual ( V ) do compromisso, pelo período n antes de seu vencimento por meio seguinte fórmula: DR = V * i * n

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Usando a fórmula do valor atual e nominal, temos que V = N ÷ (1 + i * n). Assim podemos reescrever a fórmula anterior como: N*i*n DR = 1+i*n O valor atual racional (VR) é dado pela fórmula: VR =

N 1+i*n

Observe a diferença: o desconto comercial é calculado sobre o valor nominal e o desconto racional, sobre o valor atual, conforme podemos conferir ao comparar suas fórmulas: DC = N * i * n

DR = V * i * n

Acompanhe o exemplo seguinte, que exibe as diferenças entre o desconto comercial e o desconto racional. Suponha que temos uma conta de R$ 100 para pagar daqui a 60 dias. Sabendo que ela foi calculada com juros de 10% a.m., qual o valor “certo” para pagá-la já? Nosso credor informa que calcula usando o “desconto racional” e propõe R$ 83,33. Devemos aceitar ou não? Podemos raciocinar das seguintes formas: • 10% de 100 é 10, em dois meses seriam 20, logo deveríamos pagar R$ 80,00. • Qual o valor que, tomado hoje à taxa de 10% a.m., daria 100 daqui a 60 dias? Para isso, devemos calcular o valor que, com 20% de juros, dá 100. Fazendo 100÷1,20, encontramos exatamente os R$ 83,33. O primeiro raciocínio emprega o desconto comercial; e o segundo, o desconto racional. Na prática os dois modos de calcular são usados. O “certo” será o “negociado” e aceito pelas partes. Veja mais alguns exemplos: 1) Um agricultor pretende saldar um título de R$ 4.600 referente a compras de sementes em quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto racional de 30% a.a. Determine o valor do desconto racional e o valor descontado. Dados: • Valor nominal: N = 4.600 • Período: n = 4 meses • Taxa de juros: i = 30% a.a. = 0,3 a.a. • Desconto racional: DR = ? • Valor atual racional: VR = ?

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Primeiro devemos converter a taxa de juros para mensal:

76

i=

30% a.a 12

= 2,5% a.m = 0,025 a.m.

Agora basta aplicar as fórmulas do desconto racional e do valor atual racional: DR =

N*i*n 1+i*n

=

4.600 * 0,025 * 4 1 + 0,025 * 4

=

4.600 * 0,1 1 + 0,1

=

460 1,1

= 418,182

4.600 0,025 * 4 Portanto o desconto racional é de R$ 418,18 e o valor atual racional, de R$ 4.181,81.

2) O desconto racional de um título referente à venda de um bezerro, vencendo em 247 dias, é igual a R$ 1.687,25. Calcular o valor nominal se a taxa de desconto é de 30% a.a. Temos os seguintes dados: • Desconto racional: DR = 1.687,25 • Período: 247 dias • Taxa de juros: i = 30% a.a. = 0,3 a.a. • Valor nominal: N = ? Primeiro devemos converter a taxa de juros anual para diária: i=

33% a.a. 360

= 0,083 % a.d. = 0,00083 a.d.

Para encontrarmos o valor nominal, isolamos N na fórmula do desconto racional: N * 0,00083 * 247 1.687,25 * 1,20501 1.687,25 = ⟹N= = 9.917,34 1 + 0,00083 * 247 0,20501 Portanto o valor nominal do título é R$ 9.917,34.

Atividade 2: Desconto simples a) Calcule a taxa de desconto comercial simples mensal de um título referente à compra de arame farpado negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o seu valor de resgate igual a R$ 2.600 e seu valor atual na data de desconto igual a R$ 2.260,87.

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b) Determine o valor do desconto simples de um título referente à compra de pesticida no valor nominal de R$ 5.400 descontado 95 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto de 6,5% a.m. Calcule também o valor atual do título.

c) Um título de valor nominal de R$ 7.500 referente à compra de biocidas, com vencimento em oito meses, foi comprado por R$ 6.950. Determine a taxa de desconto racional anual.

d) Uma agropecuarista pretende saldar um título de valor nominal R$ 5.000 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto racional de 48% a.a. Calcule o valor do desconto racional e o valor atual racional.

Tópico 3: Juros compostos O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

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1. Cálculo dos montantes e de juros compostos 1.1. Cálculo do montante (F) O montante F, resultante de uma aplicação do capital P a uma taxa de juros compostos i (por período de capitalização) durante n períodos de capitalização, é dado por: F = P * (1 + i) n Como nos juros compostos a taxa incide sobre o valor acumulado, e não sobre o capital inicial, a taxa (i) é somada a 1 e elevada ao período (n). Conseguiu perceber essa diferença em relação aos juros simples, que você estudou antes? Lembre-se de que o período de tempo e a taxa de juros devem estar na mesma unidade de tempo.

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Para entender melhor a diferença entre os juros simples e os compostos, acompanhe a comparação a seguir. Juros compostos Problema: calcular o valor de resgate de uma aplicação em um fundo agrícola de R$ 1.200,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 3,5% a.m. Temos os seguintes dados: • Capital: P = 1.200 • Período: n = 8 meses • Taxa de juros: i = 3.5% a.m = 0,035 a.m. • Montante: F = ? Como o período e a taxa são indexadas pelo mês, basta aplicar a fórmula do montante para juros compostos: F = 1.200 * (1 + 0,035) 8 = 1.200 * 1,31 = 1.571 Portanto o valor do resgate será R$ 1.571.

Juros simples Agora, usando os mesmos dados do exemplo anterior, vamos calcular o valor de resgate usando os juros simples com a fórmula F = P * (1 + i * n). Assim temos: F = 1.200 * (1+ 0,035 * 8) = 1.536

No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes, assim o valor do resgate é R$ 1.536. Diferentemente da capitalização simples, na capitalização composta ou nos juros compostos há a incidência de juros sobre juros. Dessa forma, como você pôde perceber, o valor do resgate com os mesmos dados, porém utilizando juros compostos, é R$ 1.571. Veja mais alguns exemplos de juros compostos: 1) Qual é a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação em um fundo agrícola de R$ 4.000 que produz um montante de R$ 4.862,03 ao final de 4 meses? Dados: • Capital: P = 4.000 • Montante: F = 4.862,03 • Período: n = 4 meses • Taxa de juros: i = ?a.m.

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Basta aplicarmos a fórmula do montante e isolar i, lembrando que, para isso, devemos usar a operação inversa da potenciação, que é a operação de raiz:

4.863,03 = 4.000 * (1+i)4 ⟹ =

4.862,03 4.000

= (1 + i)4

4

⟹i=

4.862,03 -1 = 4√1,22 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 4.000

Portanto a taxa de juros mensal é 0,05, ou 5%. Informação extra Cálculo de juros compostos (J)

O

Até agora calculamos o montante nos juros compostos. Para calcular os juros, utilizamos a seguinte fórmula: J = P * [ (1+i ) n -1 ] Em que P é o capital, i a taxa de juros compostos e n o período.

2) Calcular o juro de um empréstimo de R$ 8.000,00 para compra de produtos fitossanitários pelo prazo de 5 meses à taxa de juros compostos de 5,5% ao mês. Dados do enunciado: • Capital: P = 8.000

79

• Período: n = 5 meses • Taxa de juros: i = 5,5% a.m. =0,055 a.m. • Juros compostos: J = ? Basta aplicarmos a fórmula, já que o período e a taxa de juros estão em meses. Logo: J = 8.000 * [(1+0,055)5 -1] = 2.455,68 Portanto os juros do empréstimo são de R$ 2.455,68.

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80

3) Só para compararmos, vamos calcular agora os juros simples com os dados do exemplo anterior utilizando a fórmula j=P*i*n. Temos então: j = 8.000 * 0,055 * 5 = 2.220 Note que, no regime de capitalização simples, os juros são calculados utilizando como base o capital inicial e geram o valor de R$ 2.220. Já no regime de capitalização composta, as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos juros, gerando o valor de R$ 2.455,68.

2. Equivalência de taxas O conceito de taxas equivalentes é bastante utilizado no mercado financeiro. Dizemos que duas taxas são equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital e durante o mesmo prazo de aplicação, se elas produzirem montantes iguais. Por exemplo, as taxas 0,025 a.m. e 0,34488882 a.a. são equivalentes, pois, se aplicadas ao mesmo capital de R$ 1.500,00 pelo prazo de 2 anos (ou 24 meses), produzem montantes iguais. De fato: F = 1.500 * (1+0,025)24 = 1.500 * 1.8087 = 2.713,09 F = 1.500 * (1+0,34488882)2 = 1.500 * 1.8087 = 2.713,09 O cálculo da taxa equivalente é dado pela seguinte fórmula: nd

ieq = (1 + i) nc -1 Em que i é a taxa conhecida, nd o período da taxa desconhecida e nc o período da taxa conhecida.

Os períodos nd e nc devem estar na mesma unidade de tempo. Então se estivermos comparando trimestres e semestres, por exemplo, precisamos considerar que 1 semestre = 2 trimestres, e assim por diante, igualando as unidades de tempo. Exemplos: 1) Calcule a taxa anual equivalente a 2% a.m. Dados do problema: • Taxa: i = 2% a.m. = 0,02 a.m. • Período da taxa conhecida: nc = 1 mês • Período da taxa desconhecida: nd =1 ano = 12 meses

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Aplicando a fórmula, temos: 12

ieq = (1 +0,2) 1 -1 = ( 1,02)12 -1 = 0,268241 Portanto a taxa anual equivalente à taxa de 2% a.m. é 0,268241 a.a., ou aproximadamente 27% a.a.

2) Calcule a taxa semestral equivalente a 4,5% ao trimestre. Dados: • Taxa: i = 4,5% a.t. = 0,045 a.t. • Período conhecido: nc = 1 trimestre (3 meses) • Período desconhecido: nd = 1 semestre (6 meses) = 2 trimestres Aplicando a fórmula, temos: 2

ieq = (1 +0,045) 1 -1 = ( 1,045)2 -1 = 0,0920 Portanto a taxa equivalente semestral é de 9,20%. Comentário do Autor

d

É importante que você observe aqui que a conversão de uma taxa anual em mensal, por exemplo, no regime de juros compostos é diferente do cálculo que fizemos nos juros simples. Enquanto nos juros simples 12% a.a. = 1% a.m. (pois basta dividir 1 ano por 12 meses), nos juros compostos 12% a.a. = 0,948%, pois é preciso fazer a equivalência de taxas.

Atividade 3: Juros compostos a) Se um agricultor de pequeno porte quiser comprar um trator usado no valor de R$ 18.000, quanto ele deve aplicar hoje para que daqui a dois anos possua tal valor a uma taxa de aplicação de 24% a.a.? b) Consideremos uma aplicação num fundo rural de R$ 10.000 a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. pelo prazo de 4 anos. Determine o montante. c) Calcule o juro de um empréstimo de R$ 6.000 para a compra de sementes pelo prazo de 12 meses à taxa de juros compostos de 2.5% a.m. d) Determine a taxa equivalente a 38% a.a. pelo prazo de 57 dias. e) Calcule a taxa para 214 dias equivalente a 18% ao semestre.

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81

Tópico 4: Desconto composto 82

Você viu no tópico anterior que o mecanismo atualmente utilizado nas operações no sistema financeiro é o juro composto, também conhecido como juros sobre juros. Uma operação bastante utilizada no meio financeiro são os descontos, que se referem ao abatimento que recebemos no pagamento de um título antes do vencimento estabelecido. Assim como temos os juros simples e os descontos simples, os descontos podem também ser simples ou compostos. Existem os descontos compostos comerciais e os racionais.

1. Valor nominal (N) e atual (V) de um título Para o desconto composto, os conceitos de valor nominal e valor atual são os mesmos.

Data atual

Data do vencimento

Valor atual de um título (V): É o valor que um título tem em uma data que antecede ao seu vencimento.

Valor nominal de um título (N): É o valor do título na data do seu vencimento.

Contudo, no desconto composto o valor nominal ou o valor atual de um título são calculados pela taxa de juros compostos. Por isso, utilizamos a seguinte fórmula: N = V * (1+i)n Em que N é o valor nominal, V o valor atual, i a taxa de juros compostos e n o período. Exemplos:

1) Quanto vale hoje um título que vence só daqui a 5 meses, de valor nominal R$ 4.690, se a taxa de juros é de 1,75% a.m.? Temos os seguintes dados: • Período: n = 5 meses • Valor nominal: N = 4.690 • Taxa de juros: i = 1,75% a.m. = 0,0175 a.m.

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Note que o período e a taxa de juros estão indexados em meses; logo, para calcular o valor nominal, basta aplicar a fórmula anterior isolando V:

log

Portanto o valor atual do título é R$ 4.300,32.

n=

M C

2) Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 8.000 faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine o valor atual sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês. Dados do problema: • Valor nominal: N = 8.000 • Período: n = 2 meses

log (1 + i)

• Taxa de juros: i = 3% a.m. = 0,03 a.m. Valor atual: V = ? Novamente, basta aplicarmos os dados na fórmula:

n=? Portanto o valor atual do título será R$ 7.540,80.

M = 22.125

2. Desconto comercial (dc)

83

O valor atual comercial (Vc) é dado pela fórmula:

C = 11.000

Vc = N * (1-i)n

Na qual N representa o valor nominal, a taxa de juros compostos e n o período.

i = 15% a.s. => 0,15

Portanto, o cálculo do desconto comercial composto é dado por: dc = N * [1 - (1-i)n ]

Exemplos: 1) Certo cliente descontou um título, de valor nominal R$ 6.700, 7 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Calcular o valor do desconto comercial e o valor recebido pelo cliente. Dados do exemplo: • Valor nominal: N=6.700 • Período: n=7 meses Matemática Básica e Financeira

• Taxa de juros: i = 3,5% a.m.= 0,035 a.m.

84

• Desconto comercial: dc = ? • Valor atual: Vc = ? Basta aplicarmos os dados que temos nas duas fórmulas: dc = 6.700*[1-(1-0,035)7 ] = 6.700 * [1-0,77928] = 1.478,85 Vc = 6.700 * (1-0,035)7 = 6.700 * 0,77928 = 5.221,17 Portanto, o valor do desconto é R$ 1.478,85 e o valor recebido pelo cliente é R$ 5.221,17.

2) Um título de valor nominal R$ 6.500 foi descontado 8 meses antes de seu vencimento, e o valor líquido recebido pelo seu portador é R$ 4.980. Determinar a taxa mensal de desconto comercial. Dados do problema: • Valor nominal: N = 6.500 • Período: n = 8 meses • Valor atual: Vc = 4.980 • Taxa de juros: i = ?a.m. Vamos utilizar a fórmula do valor atual e isolar a incógnita i, lembrando que a operação inversa da potência é a raiz:

n=

log

M

22125

C

11000 => n = log

log (1+i)

=> n = log 2,01136 = 5

log 1,15

log 1,15

Portanto a taxa de desconto comercial é de 0,0327 a.m., ou 3,27% a.m.

3. Desconto racional (dr) O valor atual racional (Vr) é dado pela fórmula: Vr =

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N (1 + i)n

Na qual N representa o valor nominal, i a taxa de juros compostos e n o período. O desconto racional (dr) é a diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (Vr) de um título descontado n períodos antes de seu vencimento, ou seja: dr = N - Vr Portanto o desconto racional composto será:

[- [

dr = N * 1

1

(1 + i)n

Dica

'

Para não confundir os descontos, lembre-se: • desconto comercial é calculado sobre o valor nominal; • desconto racional é calculado sobre o valor atual. A utilização de um ou outro sistema de juros depende do acordo entre as partes.

Exemplos: 1) Calcular o desconto racional de um título de valor nominal R$ 5.480 descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 4,75% a.m. Temos os seguintes dados: • Valor nominal: 5.480

85

• Período: n = 5 meses • Taxa de juros: i = 4,75% a.m. = 0,0475 a.m. • Desconto racional: dr = ? Basta aplicar na fórmula do desconto racional:

[

dr = 5.480 * 1 -

1 (1 + 0,0475)

5

[

[

= 5.480 * 1 -

1 1,26116

[

= 1.134,79

Portanto o desconto racional composto do título é de R$ 1.134,79. Agora, se quisermos descobrir seu valor atual racional, basta usar a fórmula do valor atual: Vr =

5.480 (1 + 0,0475)5

= 4.345,21

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86

2) Determinar o desconto racional de um título de valor nominal R$ 7.500, resgatado 8 trimestres antes de seu vencimento, à taxa de 25% a.a. Dados: • Valor nominal: N = 7.500 • Período: n = 8 trimestres • Taxa de juros: i = 25% a.a. = 0,25 a.a. • Desconto racional: dr= ? Primeiramente devemos perceber que a taxa de juros é anual e nosso período é trimestral. Dessa forma precisamos encontrar a taxa de juros trimestral equivalente à taxa anual dada. Para isso utilizamos a fórmula de equivalência de taxas: ieq = (1+i)

nd nc

-1

Em que nd = 1 trimestre (período desconhecido) e nc = 4 trimestres (período conhecido), pois cada ano é formado por 4 trimestres. Logo: 1

1

ieq = (1+0,25) 4 - 1 = (1,25) 4 - 1 = 4√1,25 - 1 = 0,05737126344 Agora, basta aplicarmos a fórmula do desconto racional usando i = 0,05737126344 a.t.

[

dr = 7.500 * 1 -

1 (1 + 0,05737126344)8

[

= 2.699,99

Portanto o valor do desconto racional é R$ 2.699,99.

Atividade 4: Desconto composto a) O valor nominal de um título referente à compra de maquinário é de R$ 190.000. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto composto é de 28% a.a. b) Determinar o valor nominal de um título referente à compra de agroquímicos com vencimento daqui a 2 anos sabendo que seu valor atual é R$ 5.900 e a taxa é de 26% a.a. c) Calcular o valor atual de um título referente à compra de desinfetantes de valor nominal igual a R$ 7.500, com 150 dias a vencer, sabendo que a taxa de desconto racional é de 5,75% a.m. d) Determinar a taxa trimestral de desconto racional adotada no resgate de um título de compra de praguicidas de valor nominal igual a R$ 8.000 com desconto de R$ 1.450 e antecipação de 1 ano.

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Tópico 5: Séries de pagamentos Nos tópicos anteriores você estudou os tipos de operações financeiras em que um capital era aplicado para formação de um montante ou uma dívida era saldada em pagamento único, realizando operações financeiras de descontos de títulos. Porém, em operações financeiras, o capital pode ser pago ou recebido de uma única vez ou em uma série de pagamentos.

Chamamos de série de pagamentos/recebimentos, série de prestações, anuidades ou rendas toda sequência finita ou infinita de pagamentos/ recebimentos em datas previamente estipuladas. Cada um desses pagamentos ou recebimentos, referidos a uma mesma taxa de juros compostos, receberá o nome de termo da série. O intervalo de tempo entre dois termos é denominado período, e a soma dos períodos define a duração da série de pagamentos ou anuidades. O valor atual ou valor presente de uma série de pagamentos ou anuidades é a soma dos valores atuais dos seus termos. Essa soma é realizada para uma mesma data e à mesma taxa de juros compostos. Analogamente, o montante ou valor futuro de uma série de pagamentos ou anuidades é a soma dos montantes ou valores futuros de seus termos, considerada uma dada taxa de juros compostos e uma data.

87

Legenda: A compra de imóveis, por exemplo, costuma ser feita por meio de uma série de pagamentos.

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1. Classificação

88

As séries de pagamentos podem ser classificadas da seguinte forma: Quanto ao número de termos Quanto à natureza de seus termos Quanto ao intervalo entre seus termos

• Finitas – quando existir a última prestação. • Infinitas ou perpétuas – quando não existir a última prestação. • Uniformes – quando todos os termos forem iguais. • Não uniformes ou variáveis – quando os termos forem diferentes. • Periódicas – quando o intervalo entre dois termos sucessivos for constante. • Não periódicas – quando o intervalo entre dois termos sucessivos não for constante. • Imediatas – quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. • Postecipadas ou vencidas – quando os termos ocorrerem ao final de cada período.

Quanto à forma de pagamento ou recebimento

• Antecipadas – quando os termos ocorrerem no início de cada período. • Diferidas – se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. A esse prazo damos o nome de prazo de diferimento ou prazo de carência. • Postecipadas ou vencidas – se os termos são exigíveis no fim dos períodos. • Antecipadas – se os termos são exigíveis no início dos períodos.

Quando falamos de “anuidade”, por exemplo, entendemos que as séries de pagamentos são, simultaneamente: • finitas ou temporárias; • uniformes ou constantes; • imediatas e postecipadas; • periódicas; • e que a taxa de juros (i) seja referida ao mesmo período dos termos. Para compreender melhor esse assunto, fique atento aos cálculos de valor presente e montante de uma anuidade imediata apresentados a seguir.

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2. Cálculo do valor presente de uma renda imediata Considerando um capital P a ser pago em prestações iguais de valores R nas datas 1, 2, 3,...,n e supondo que a taxa de juros cobrada seja i por período de tempo, chegamos à fórmula que relaciona o valor atual com a prestação, a taxa de juros e o número de prestações:

d=N-

N (1 + i )ⁿ

Veja como ela se aplica na prática: 1) Um fornecedor vende sacas de adubo em 6 prestações mensais iguais de R$ 81,43, e a primeira prestação é paga 1 mês após as compras. A taxa de juros do crédito pessoal da loja é de 4,5% a.m. Qual o preço à vista do adubo? Temos os seguintes dados: • Período: n = 6 meses • Valor das prestações: R = 81,43 • Taxa de juros: i = 4,5% a.m. = 0,045 a.m. • Capital: neste caso referido como preço à vista P = ? Como a taxa de juros e o período estão na mesma unidade de tempo, basta aplicarmos a fórmula: P = 81,43*

(1 + 0,045)6 -1 (1 + 0,045)6 * 0,045

= 81,43 *

0,3022 0,0586

= 81,43 * 5,1569 = 419,92

89

Portanto o valor à vista do adubo é R$ 419,92.

2) Um pulverizador e uma motosserra custam R$ 2.500 à vista, mas podem ser financiados sem entrada em 18 parcelas mensais iguais e sucessivas à taxa de juros de 3,5% a.m. Calcule o valor de cada prestação. Dados do problema: • Capital: P = 2.500 • Período: n = 18 meses • Taxa de juros: 3,5% a.m. = 0,035 a.m. • Valor das prestações: R = ?

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Basta aplicarmos a fórmula isolando a incógnita R:

90

2.500 = R *

(1+0,035)18 - 1 (1+0,035)18 * 0,035

⟹R=

=R*

2.500 13,1907

0,8574 0,0650

= R * 13,1907

= 189,54

Portanto o valor de cada parcela é R$ 189,54. 3) Um sítio foi adquirido com uma entrada de R$ 30.000 mais 48 prestações mensais de R$ 3.339,69. Qual o preço à vista do sítio se a taxa de juros do mercado imobiliário é de 1,25% a.m.? Dados: • Entrada: 30.000 • Período: n = 48 meses • Valor das prestações: R = 3.339,69 • Taxa de juros: i =1,25% a.m. = 0,0125 a.m. • Capital: P = ? • Preço à vista: P + 30.000 Note que, como foi dada uma entrada, o valor que encontrarmos com a fórmula deverá ser somado ao valor da entrada para que tenhamos o valor à vista do sítio. Vamos aplicar a fórmula: P = 3.339,69 *

(1 + 0,0125) 48 - 1 (1 + 0,0125) 48 * 0,0125

= 120.000

⟹P=120.000

Logo, o valor parcelado foi de 6 R$ 120.000 e com isso o preço à vista do sítio é: preço à vista = R$ 30.000 + R$ 120.000 = R$ 150.000

3. Cálculo do montante de uma renda imediata Considere n depósitos mensais iguais a R, nas datas 1, 2, 3, ..., n, rendendo juros compostos a uma taxa de mensal. Para descobrir a soma dos montantes desses depósitos logo após ter sido feito o último depósito, utilizamos a seguinte fórmula: F=R*

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(1 + i) n - 1 i

Veja na prática: 1) Uma pessoa deposita mensalmente R$ 600,00 num fundo que rende juros compostos à taxa de 1,5% a.m. Qual será seu montante no instante imediatamente após o 30o depósito? Dados: • Valor de cada depósito: R = 600 • Período: n = 30 meses • Taxa de juros: i = 1,5% a.m.= 0,015 a.m. • Montante: F = ? Aplicando a fórmula do montante de uma renda imediata, temos:

F = 600 *

(1 + 0,015)30 - 1 0,015

= 600 *

0,5630 0,015

= 600 * 37.53 = 22.518

Portanto o valor do montante será R$ 22.518.

2) Certa pessoa deseja comprar um carro por R$ 25.000 à vista daqui a 18 meses. Admitindo que ela vá poupar certa quantia mensal que será aplicada em título de renda fixa à taxa de 2,15% a.m. de juros compostos, determine quanto deve ser poupado mensalmente. Dados do problema: • Montante: F = 25.000 • Período: n = 18 • Taxa de juros: i = 2,15% a.m. = 0,0215 a.m.

91

• Valor poupado: R = ? Devemos utilizar a fórmula do montante isolando a incógnita R:

2.500 = R *

(1 + 0,0215)18 - 1 0,0215 ⟹R=

25.000 21,69

=R*

0,4665 0,0215

= R * 21,69

= 1.152,60

Portanto o valor mensal poupado deverá ser de R$ 1.152,60.

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Comentário do Autor

92

d

Observe que uma série de pagamentos pode servir tanto para quitar uma dívida, parcelando o valor, como para juntar dinheiro (capitalizar), com parcelas periódicas. Fique atento ao que pede cada situação, principalmente nas unidades de tempo da taxa de juros e dos períodos.

Atividade 5: Séries de pagamentos a) Um banco concedeu um empréstimo para uma pecuarista adquirir um motocultivador a diesel. O pagamento deveria ser feito em 12 prestações mensais de R$ 1.400 cada uma. Qual o valor do empréstimo sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco foi de 3% a.m.? b) Uma loja vende uma motosserra por R$ 1.200 à vista ou financia essa quantia em 5 prestações mensais iguais sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros compostos cobrada for de 2,5% a.m.? c) O dono de uma granja deposita mensalmente R$ 450,00. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação é de 1,12% a.m., quanto ele possuirá ao final de dois anos? d) Quanto um piscicultor deve depositar mensalmente, durante 18 meses, em um fundo de investimento que rende 1,5% a.m., para que, no instante do último depósito, tenha um montante de R$ 30.000?

Tópico 6: Sistemas de amortização O conceito de amortização se refere ao processo de extinção de uma dívida por meio de pagamentos periódicos, que são realizados de acordo com um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou dos juros do saldo devedor (juros sempre são calculados sobre o saldo devedor), podendo, ainda, ser o reembolso de ambos. Os principais sistemas de amortização são: Sistema de pagamento único Sistema de pagamento variável

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Ocorre um único pagamento (capital + juros) no final do período estipulado.

Ocorrem vários pagamentos diferenciados durante o período.

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Geralmente o mais utilizado. Os juros e o capital são calculados uma única vez e divididos para o pagamento em várias parcelas durante o período. Ao longo do prazo a amortização é constante, reduzindo o capital. Como os juros são calculados com base no capital, eles tendem a ser decrescentes.

Sistema price, ou francês

As prestações calculadas neste sistema são constantes. Cada prestação é composta de uma cota de amortização e juros, que variam em sentido inverso ao longo do prazo de financiamento.

Sistema de amortização misto

Calcula-se o financiamento pelos métodos SAC e price e faz-se uma média aritmética das prestações desses dois sistemas, chegando ao valor da prestação do sistema misto.

1. Sistema de Amortização Constante (SAC) Hoje em dia, há inúmeras facilidades para financiamento para quem deseja adquirir carros, imóveis, constituir um negócio próprio, investir na empresa, entre outras opções. As instituições financeiras oferecem um capital que deverá ser devolvido com juros durante um período predeterminado.

Uma das formas de quitar o empréstimo é o Sistema de Amortização Constante (SAC), que consiste no pagamento da dívida baseada em parcelas de amortizações iguais com prestações e juros decrescentes. Dado um capital emprestado p por um período n, temos as seguintes fórmulas: 

• Valor da amortização:











An i

93

• Saldo devedor em um momento t : Pt= Pt-1 - A • Parcela de juros em um momento t : Jt = i*Pt - 1 • Prestação: amortização+juros Para entender melhor, acompanhe os exemplos a seguir, resolvidos com o auxílio de uma planilha para melhor visualização das fórmulas anteriores.

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94

1) Uma empresa pede emprestados R$ 100.000 a um banco, que entrega o capital no ato e sem carência. Sabendo que os juros serão pagos mensalmente, que a taxa de juros é de 4,5% a.m. e que o capital será amortizado em 10 parcelas mensais, construa a planilha do empréstimo. Dados do enunciado: • Valor do empréstimo: P = 100.000 • Período: n = 10 meses • Taxa de juros: i = 4,5% a.m. = 0,045 a.m. A primeira informação que precisamos calcular é o valor da amortização: 











An i

Em seguida, podemos construir a tabela com os cálculos do saldo devedor, dos juros e da prestação em cada mês: Mês

Saldo devedor

Amortização

Juros

Prestação

t=0

100.000

–

–

–

t=1

100.000 – 10.000 = 90.000

10.000

100.000 x 0,045 = 4.500

10.000 + 4.500 = 14.500

t=2

90.000 – 10.000 = 80.000

10.000

90.000 x 0,045 = 4.050

10.000 + 4.050 = 14.050

t=3

80.000 – 10.000 = 70.000

10.000

80.000 x 0,045 = 3.600

10.000 + 3.600 = 13.600

t=4

70.000 – 10.000 = 60.000

10.000

70.000 x 0,045 = 3.150

10.000 + 3.150 = 13.150

t=5

60.000 – 10.000 = 50.000

10.000

60.000 x 0,045 = 2.700

10.000 + 2.700 = 12.700

t=6

50.000 – 10.000 = 40.000

10.000

50.000 x 0,045 = 2.250

10.000 + 2.250 = 12.250

t=7

40.000 – 10.000 = 30.000

10.000

40.000 x 0,045 = 1.800

10.000 + 1.800 = 11.800

t=8

30.000 – 10.000 = 20.000

10.000

30.000 x 0,045 = 1.350

10.000 + 1.350 = 11.350

t=9

20.000 – 10.000 = 10.000

10.000

20.000 x 0,045 = 900

10.000 + 900 = 10.900

t = 10

10.000 – 10.000 = 0

10.000

10.000 x 0,045 = 450

10.000 + 450 = 10.450

Total

–

100.000

24.750

124.750

Observe que o juro é calculado sobre o valor do saldo devedor e as prestações são obtidas por meio da soma do juro do período com o valor da amortização. Ao ser paga a última parcela, o último saldo devedor é anulado, já que essa parcela contém a última amortização.

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2) Um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 reais deverá ser pago pelo SAC em 5 parcelas mensais com um juro mensal de 3,5%. Construa a planilha do pagamento dessa dívida. Dados: • Valor do empréstimo: P = 20.000 • Período: n = 5 meses • Taxa de juros: i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. O valor da amortização mensal será: carência







 











An i

A planilha para esse empréstimo fica da seguinte forma: Mês

Saldo devedor

Amortização

Juros

Prestação

t=0

20.000

–

–

–

t=1

20.000 – 4.000 = 16.000

4.000

20.000 x 0.035 = 700

4.000 + 700 = 4.700

t=2

16.000 – 4.000 = 12.000

4.000

16.000 x 0,035 = 560

4.000 + 560 = 4.560

t=3

12.000 – 4.000 = 8.000

4.000

12.000 x 0,035 = 420

4.000 + 420 = 4.420

t=4

8.000 – 4.000 = 4.000

4.000

8.000 x 0,035 = 280

4.000 + 280 = 4.280

t=5

4.000 – 4.000 = 0

4.000

4.000 x 0,035 = 140

4.000 + 140 = 4.140

Total

–

20.000

2.100

22.100

'

Dica Acesse o AVA e confira um tutorial de como elaborar uma planilha de amortização constante utilizando o Microsoft Excel.

2. Cálculo dos valores do SAC em um período qualquer Os exemplos que você acabou de ver continham poucas parcelas, mas imagine elaborar essa planilha para saber de quanto será a 270a prestação de um imóvel... Muitas vezes é necessário o cálculo do valor para determinado período, e para isso não é preciso elaborar a planilha completa. Os cálculos podem ser feitos usando as fórmulas a seguir, em que A é a amortização, n o período e i a taxa de juros.

Matemática Básica e Financeira

95

96

Valor do saldo devedor após o pagamento da prestação do mês t

Pt = A * (n-t)

Valor da parcela de juros da prestação do mês t

Jt = i * A * (n-t+1)

Valor da prestação do mês t

Rt = A + i * A * (n-t+1) 

Soma dos juros acumulados do primeiro período até o mês t

Soma das prestações acumuladas do primeiro período até o mês t



















 100x(1+0,02)=100x1,02 100x(1+0,02)=100x1,02 100x(1+0,02)=100x1,02 100x(1+0,02)=100x1,02

₅ ₀,₀₂ = 100 + (100  1,02) + (100  1,02) + (100  1,02)

₅ ₀,₀₂ = 100  (1,02 + 1,02 + 1,02 + 1,02) ₅ ₀,₀₂ = 100  5,204 = 520,4

Para entender melhor, acompanhe alguns cálculos utilizando como base este exemplo, que você já viu: Uma empresa pede emprestados R$ 100.000 a um banco, que entrega o capital no ato e sem carência. Sabendo que os juros serão pagos mensalmente, que a taxa de juros é de 4,5% a.m. e que o capital será amortizado em 10 parcelas mensais, calcule: a) o saldo devedor após o pagamento da sétima prestação; b) a parcela de juros da quinta prestação; c) o valor da sétima prestação; d) a soma dos juros das seis primeiras prestações; e) a soma das quatro primeiras prestações. Dados do enunciado: • Valor do empréstimo: P = 100.000 • Período: n = 10 meses • Taxa de juros: i = 4,5% a.m. = 0,045 a.m.

(1 + i) – 1

• Amortização:   = T  —————

i

Curso Técnico em Agronegócio

Vamos resolver cada item em separado utilizando os dados e as fórmulas. a) A sétima prestação nos fornece t=7, logo: P7 = 10.000 * (10-7) = 10.000 * 3 = 30.000 b) Na quinta prestação, t=5, dessa forma: J5 = 0,045 * 10.000 * (10-5+1) = 0,045 * 40.000 = 2.700 c) Para a sétima prestação, t=7, assim: R7 = 10.000 + 0,045 * 10.000 * (10-7+1) = 10.000 + 1.800 = 11.800 d) A soma dos juros para t=6 é:

(1 + ) – 1   = 7  —————  n

e) A soma das prestações para t=4 é:

(1 + i)( ⁺¹) – 1   = T  —————— Se quiser, você pode conferir esses dados na planilha de amortização que apresentamos no i início deste subtópico. Atividade 6: Sistemas de amortização a) Um banco libera a uma pessoa o crédito de R$ 120.000 para ser pago pelo SAC em 10 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros de 5% ao mês, construa a planilha. b) Um empréstimo no valor de R$ 48.000 deverá ser amortizado pelo SAC em 48 meses a uma taxa de juros de 5,75% a.m. Determine: • o saldo devedor após o pagamento da 20a prestação; • a parcela de juros da 36a prestação; • o valor da 15a prestação; • a soma dos juros das 12 primeiras prestações; • a soma das 35 primeiras prestações.

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97

Tópico 7: Análises de investimentos 98

De modo geral, chamamos de investimento toda aplicação de dinheiro que visa ganho. A aplicação pode ser tanto no mercado financeiro como em unidades produtivas de empresas em geral. Ao realizar determinado investimento, devemos levar em conta várias alternativas para sua execução final. O conjunto de certos métodos utilizados para otimizar as alternativas propostas é denominado análise de investimentos. Um estudo de análise de investimentos envolve: • um investimento a ser realizado, por exemplo: • compra de um veículo a prazo ou à vista; • substituição de um equipamento por outro; • construção de uma nova fábrica; • lançamento de um novo produto; • reposição de equipamentos; • condições de trabalho dos funcionários; • atendimento a novos padrões de qualidade; • construir uma rede de abastecimento de água. • enumeração das alternativas tecnicamente viáveis; • análise de cada alternativa; • comparação de cada alternativa; • escolha da melhor alternativa. A decisão da implantação de um projeto deve considerar: Critérios econômicos: rentabilidade do investimento Critérios financeiros: disponibilidade de recursos Critérios imponderáveis: fatores não conversíveis em dinheiro (boa vontade de um fornecedor ou a boa imagem da empresa)

Quando pensamos em fazer um investimento, naturalmente surgem questões como “o projeto vai se pagar?”, “o projeto vai aumentar a riqueza dos acionistas ou vai diminuí-la?”, “esta é a melhor alternativa de investimentos?”. Nesse caso, é preciso fazer um orçamento de capital, um processo que envolve a seleção de projetos de investimento e quantifica os recursos a serem empregados.

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O orçamento de capital requer uma estimativa de fluxos de caixa que serão obtidos com o projeto em análise. Comentário do Autor As previsões de investimentos em ativos, de vendas, de preços, de custos e de despesas devem ser elaboradas da forma mais realista a acurada possível. De qualquer modo, a incerteza em orçamentos de capital é elevada, pois envolve cenários econômicos e políticos de longo prazo.

d

1. Conceitos importantes na análise de investimentos Os conceitos listados a seguir são muito utilizados quando estudamos análise de investimentos. • Fluxo de caixa – é uma estimativa das entradas (receitas) e saídas (despesas) que envolvem cada alternativa do investimento. Esse demonstrativo proporciona uma análise mais abrangente do processo pelo qual a empresa gera caixa a partir de operações, investimentos e financiamentos. Ele ajuda a destacar áreas de fragilidade nas posições de caixa da empresa e em sua capacidade de saldar dívidas. Exemplo: 3.000

5.000

1

2

7.500

Entrada (+)

0

3 (meses)

Saída (-) 10.000

99

Mês

0

1

2

3

Valor em reais

10.000

3.000

5.000

7.500

O diagrama e a tabela representam um empréstimo, no valor de R$ 10.000 (tempo 0) que será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas (tempos 1, 2 e 3) de R$ 3.000, R$ 5.000 e R$ 7.500. • Taxa mínima de atratividade (TMA) – é a taxa de juros mínima aceita pelo investidor para optar por determinado projeto de investimento. Exemplos: • Pessoa física – taxa de juros da caderneta de poupanças. • Pessoa jurídica – taxa de juros dos bancos comerciais, ou taxa de juros dos bancos de investimentos.

Matemática Básica e Financeira

100

• Vida útil de um investimento – é o tempo em que o investimento proporciona retorno sobre o capital investido. Por exemplo, uma jazida mineral tem uma vida útil de acordo com o seu tamanho e a quantidade explorada. Os métodos mais comuns de avaliação de projetos de investimentos são:

Payback

Período de tempo necessário para que as entradas de caixa do projeto se igualem ao valor investido, ou seja, o tempo de recuperação do investimento realizado.

Payback descontado

Período de tempo necessário para recuperar o investimento, avaliandose os fluxos de caixa descontados, ou seja, considerando-se o valor do dinheiro no tempo.

Valor presente líquido (VPL)

Este cálculo leva em conta o valor do dinheiro no tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente.

Taxa interna de retorno (TIR)

É a taxa que iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido em um projeto.

Veja a seguir como funciona o método do valor presente líquido (VPL), um dos mais utilizados na análise de investimentos.

2. Método do valor presente líquido (VPL) Este método consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos), iguais ou diferentes a uma mesma taxa de juros (geralmente a taxa mínima de atratividade (TMA) é igual à taxa de juros média do mercado, como a Selic no Brasil), e deduzir desse valor o fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento). Desse modo, consiste na comparação de todas as entradas e saídas de dinheiro de um fluxo de caixa na data de hoje, ou data 0 (zero). Usamos a seguinte fórmula para o cálculo do VPL: VPL =

CF1

1+ i

+

CF2

(1+ i)2

+

CF3

(1+ i)3

+ ... +

CFn (1+ i)n

- CF0

Em que CFt é o valor do fluxo de caixa no tempo e a taxa mínima de atratividade. Depois desse cálculo, fazemos uma análise do valor encontrado:

VPL > 0

Haverá um ganho adicional em relação ao mesmo investimento aplicado à taxa de desconto (TMA), isto é, o investimento será atrativo.

VPL < 0

Ocorrerá uma perda, e o investimento não será atrativo.

Curso Técnico em Agronegócio

Então, quando aplicamos o método do valor presente líquido, devemos analisar o fluxo de caixa, aplicar a fórmula do VPL e verificar se o valor encontrado é maior ou menor que zero. Se você estiver comparando dois investimentos, escolha aquele que tem maior VPL. Entenda esse conceito na prática acompanhando os seguintes exemplos: 1) Um empréstimo no valor de R$ 10.000 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 3.000, R$ 5.000 e R$ 7.500. Sabendo que a taxa de juros é de 7% a.m., verificar se o investimento é atrativo pelo método do valor presente líquido. Temos o seguinte fluxo de caixa (o mesmo apresentado anteriormente): Mês

0

1

2

3

Valor em reais

10.000

3.000

5.000

7.500

Vamos aplicar a fórmula do VPL e avaliar este investimento, em que temos: • t=0, t=1, t=2, t=3 e t=4 • i=7% a.m.=0,07 a.m. • CF0=10.000

 = SD₍₋₁₎  

SD T = ————— (1 + i)n - 1 + 4.367,20 + 6.122,23 - 10.000 = 2.803,74 ————— i(1 + i)n

101

= 3.293,17

Como o VPL é R$ 3.293,17 (portanto maior que zero), o investimento é atrativo. Este valor do VPL corresponde ao ganho dos investimentos além da taxa mínima de atratividade.

2) Examinar se o projeto a seguir pode ser aceito, adotando-se uma taxa de juros de 8% a.m. • Investimento inicial: R$ 8.000 • Receitas líquidas mensais: R$ 900 • Vida útil: 10 meses • Valor residual: R$ 2.000

Matemática Básica e Financeira

Analisando os dados, podemos construir o seguinte fluxo de caixa:

102

Meses

0

Capital

8.000

1

2

3

4

5

6

7

8

900

900

900

900

900

900

900

900

9

10

900

900 + 2.000

Vamos aplicar a fórmula do VPL e avaliar esse investimento, em que temos os seguintes dados: • t de 0 a 10 • i=8% a.m.=0,08 a.m. • CF0=8.000 • Valor residual: R$ 2.000 (este valor deve ser somado à última parcela)

a = T-j = 833,33+771,60+714,45 +661,53+612,52+567,15+525,14+486,24+450,22+1.343,26-8.000 = -1.034,56 Como o VPL de - 1.034,56 < 0 , logo o projeto não deve ser aceito. 3) Dois projetos estão sendo analisados para um investimento. Os seguintes dados foram obtidos, conforme o quadro a seguir. Sabendo que a taxa mínima de atratividade é 10% a.a., qual o melhor projeto? Projeto A

Projeto B

Custo inicial

R$ 2.000

R$ 2.500

Custo anual

R$ 700

R$ 900

Valor residual

R$ 300

R$ 450

Vida útil

10 anos

10 anos

Receita anual

R$ 2.000

R$ 2.500

Curso Técnico em Agronegócio

Para o Projeto A, temos durante 9 anos as receitas líquidas anuais iguais a: 2.000 - 700 = 1.300 No décimo ano a receita líquida será: 2.000 - 700 + 300 = 1.600 Logo o fluxo de caixa do Projeto A é: Anos

0

De 1 a 9

10

Capitais

2.000

1.300

1.600

Agora, aplicamos a equação do VPL para o Projeto A com os seguintes dados: • t de 0 a 10 • i = 10% a.a. = 0,1 a.a. • CF0 = 2.050

SD n = SD (n-1 = SD (n-1) - a n - 2.000

=1.181,82+1.074,38+976,71+887,92+807,20+733,82+667,11+606,46+551,33+616,87-2.000 =6.103,60

103

Logo, o VPL do Projeto A é de R$ 6.103,60.

Para o Projeto B, durante 9 anos temos as receitas líquidas anuais iguais a: 2.500 - 900 = 1.600 No décimo ano a receita líquida será: 2.500 - 900 + 450 = 2.050 Assim, temos o seguinte fluxo de caixa para o Projeto B: Anos

0

De 1 a 9

10

Capitais

2.500

1.600

2.050

Matemática Básica e Financeira

Agora, aplicamos a equação do VPL para o Projeto A com os seguintes dados:

104

• t de 0 a 10 • i = 10% a.a. = 0,1 a.a. • CF0 = 2.050

= 100000

100000

T =

4

(1+0,15) - 1 0,15 (1+0,15)

=

35026,54

2,855 4

Logo o VPL do Projeto B é R$ 7.500,76. Conclusão: como o VPL do Projeto B é maior que o VPL do Projeto A, concluímos que o Projeto B deve ser o escolhido, pois apresenta melhor resultado financeiro. Comentário do Autor

d

Esse assunto de análise de investimentos será abordado com mais detalhes na unidade curricular de Finanças Aplicadas ao Agronegócio. Mas é importante que você compreenda os cálculos já, pois assim poderá tirar melhor proveito quando esse tópico surgir novamente.

Atividade 7: Análises de investimentos a) Uma empresa está interessada em investir R$ 600.000 num projeto cujo fluxo de caixa depois dos impostos está registrado a seguir. Aplicando o método VPL, verificar se esse projeto deve ser aceito utilizando as seguintes taxas de juros: 12% a.a. e 20% a.a. Anos

0

1

2

3

4

5

6

7

Capitais

600.000

120.000

150.000

200.000

220.000

150.000

180.00

80.000

b) Duas máquinas estão sendo analisadas para um investimento a uma taxa de atratividade de 10% a.a. Determinar qual máquina a ser escolhida.

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Os seguintes dados foram obtidos, conforme este quadro: Máquina A

Máquina B

Custo inicial

R$ 2.000

R$ 2.300

Custo operacional anual

R$ 600

R$ 500

Valor residual

R$ 400

R$ 500

Vida útil

8 anos

12 anos

Receita anual

R$ 1.200

R$ 1.200

Fluxo de caixa da Máquina A: Anos

0

De 1 a 7

8

Capitais

2.000

600

1.000

Fluxo de caixa da Máquina B: Anos

0

1 a 11

12

Capitais

2.300

700

1.200

Encerramento do tema A matemática financeira é essencial para analisar os custos e os investimentos que são mais adequados, a curto ou longo prazo, dependendo da estratégia adotada pela empresa. Também é uma importante aliada para cálculos corriqueiros, como ao comprar uma casa, um carro ou até mesmo eletrodomésticos e a compra do mês. Neste tema você aprendeu a calcular juros e descontos (simples e compostos), série de pagamentos e amortização. Viu também algumas noções de análise de investimentos para verificar a viabilidade econômica financeira de um projeto por meio do método do valor presente líquido.

Matemática Básica e Financeira

105

03 Estatística e probabilidade

Tema 3: Estatística e probabilidade Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individuais e social, distribuíam terras ou cobravam impostos. Os métodos usados para coleta e análise desses dados foram denominados estatística.

De forma sucinta, a estatística é um conjunto de métodos que possibilita a tomada de decisões e a análise de dados coletados.

Fonte: Shutterstock.

Veremos a seguir alguns conceitos básicos de estatística, medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (amplitude, desvio médio, desvio-padrão e variância). Ao final deste tema, espera-se que você possa: • Identificar os conceitos básicos de estatística e alguns modelos de tendência centrais. • Compreender os conceitos básicos de probabilidade.

Tópico 1: Noções de estatística Conjuntos de dados desorganizados são inúteis. Para que os dados se transformem em informação útil, é necessário que estejam organizados e escritos de forma resumida em uma boa apresentação. A estatística que lida com a organização, o resumo e a apresentação de dados numéricos é denominada estatística descritiva. O resumo de conjuntos de dados é feito por meio das medidas, já a organização e apresentação são feitas pelas distribuições de frequências e dos gráficos ou diagramas.

Gestão da Produção e Logística

107

Comentário do autor

108

d

É comum que os dados de interesse sejam muitos. Dessa forma, mesmo com toda tecnologia de que dispomos nos dias atuais, é inviável estudar todo o conjunto de dados. Essa restrição é geralmente imposta pelo custo excessivo de uma análise completa e minuciosa de muitos elementos. Nesse caso, estudamos uma parte do conjunto.

O conjunto de todos os elementos que desejamos estudar é denominado de população e também universo. Note que “população”, para nosso estudo, possui um sentido mais amplo: para nós população significa uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse. Por exemplo: • o conjunto de alunos do curso de Agronegócio; • o conjunto de todas as notas do Enem 2016.

Fonte: IBGE.

Um levantamento efetuado sobre toda uma população é dito levantamento censitário, ou simplesmente censo. Fazer levantamentos, estudos, pesquisas, sobre toda uma população (censo) é, em geral, muito difícil e custoso, demandando um tempo considerável a ser realizado. Assim, normalmente se trabalha com partes da população, denominadas de amostras. Uma amostra pode ser caracterizada com uma porção ou parte de uma população de interesse.

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Veja alguns exemplos de situações em que são colhidas amostras: • antes e durante as eleições, diversos órgãos de pesquisa e imprensa, como o IBGE, questionam um conjunto selecionado de eleitores para ter uma ideia do desempenho dos vários candidatos nas futuras eleições; • o IBGE faz levantamentos periódicos sobre emprego, desemprego e inflação usando amostras; • redes de rádio e tevê se utilizam constantemente dos índices de popularidade dos programas para fixar valores de propaganda, por meio de amostragem, ou então modificar ou eliminar programas com audiência insatisfatória. Como não se trabalha com toda a população, e sim com uma parte, é importante salientar que o processo de amostragem envolve riscos. Para fornecer uma ideia do risco envolvido, pode ser utilizada a teoria da probabilidade, ou seja, do erro que se pode cometer ao utilizar uma amostra em vez de toda a população. A coleção de métodos e técnicas empregados para estudar uma população com base em amostras probabilísticas dessa mesma população recebe o nome de estatística indutiva.

Fonte: Shutterstock.

Um conjunto de dados, de qualquer tamanho, pode ser resumido de acordo com as medidas de tendência central ou as medidas de dispersão, entre outras. Veja agora mais detalhes dessas formas de medidas.

1. Medidas de tendência central A estatística é a ciência que analisa vários tipos de fenômenos. A maioria dos dados apresenta uma tendência diferente de se agrupar ou se concentrar em torno de um ponto central. Dessa forma, para um conjunto de dados em particular, geralmente podemos selecionar um valor típico ou médio para descrever todo o conjunto. Chamamos de medidas de tendência central os valores que tendem a se localizar em pontos centrais num conjunto de dados ou que ocupam uma posição específica dentro de uma distribuição. As principais medidas de tendência central são as médias aritméticas (simples e ponderada), a mediana e a moda.

Gestão da Produção e Logística

109

1.1. Média aritmética simples

110

A média é uma das principais e mais usadas medidas de posição. Ela pode ser classifica em simples ou ponderada. Nos cálculos que envolvem média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Para calcularmos a média aritmética simples de um conjunto de dados, devemos somar todos os valores e dividirmos pela quantidade deles. Assim, dados n valores representados por x 1 , x 2 , …, x n , a média aritmética simples será:

4.863,03 = 4.000 * (1+i)4 ⟹ =

4.862,03 4.000

= (1 + i)4

Exemplos: 1) A média aritmética simples dos números 4, 7, 6, 8 e 10 será: 4

ieq = (1 + i) ⟹i=

nd nc

-1

4.862,03 -1 = 4√1,22 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 4.000

2) Um fazendeiro trabalha durante uma semana 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 horas. Podemos calcular a média de horas trabalhadas na semana, isto é, em 7 dias. De fato:

Portanto, ele trabalhou uma média de 14 horas por dia na semana analisada.

1.2. Média aritmética ponderada Diferentemente da média aritmética simples, existem situações em que as ocorrências têm 12 importância relativa diferente. Nesses casos, o cálculo da média deve levar em conta essa 1 -1 = ( 1,02)12 -1 = 0,268241 i = (1 +0,2) importância ou o peso de cada ocorrência. Esse tipo de média recebe o nome de média eq aritmética ponderada. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu “peso”, isto é, sua importância relativa, e dividimos pela soma dos pesos. Dados n valores x1 , x2 ,…, xn e pesos p1 , p2 ,…, pn , temos a média aritmética ponderada, calculada por:

Curso Técnico em Agronegócio

Exemplos:

2 2 1) Um aluno participou do1Enem, em que foram realizadas provas de Português, Matemática,

ieq = (1 +0,045) -1 = ( 1,045) -1 = 0,0920

Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2 respectivamente. Sabemos que ele tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História. Podemos calcular sua média ponderada da seguinte forma:

Portanto a média desse aluno no Enem é 6,45.

4.690 e os seus 4.690 2) Uma empresa é constituída de 40 funcionários, salários são distribuídos da 4.690 = V * (1+0,0175)5 ⟹ V = = = 4.300,32 seguinte forma: 20 funcionários com salário de R$ 465,00, 15 com salário de R$ 930,00 (1,0175)5 1,09062 e 5 com salário de R$ 1.395,00. Para calcularmos o salário médio dos funcionários dessa empresa, usamos a média aritmética ponderada. Fazemos então:

Portanto a média salarial é de R$ 755,62.

1.3. Mediana Mediana é o valor que divide o conjunto de dados em dois subconjuntos de mesmo tamanho. De uma forma mais simples, é o valor que divide o conjunto de dados ao meio. Para calcular a mediana de um conjunto de dados, primeiro devemos colocar todos os dados em ordem crescente, isto é, ordenar do menor para o maior. Depois precisamos ficar atentos para o número de elementos, pois, se for ímpar, procedemos de uma forma e, se for par, de outra. Número ímpar de elementos

Quando o número de elementos for ímpar, a mediana será o elemento do meio.

Número par de elementos

No caso de o número de elementos ser par, devemos colocá-los em ordem e fazer a média aritmética simples dos dois elementos centrais.

Exemplo: 1) Considere o conjunto de dados a seguir, referentes ao salário médio dos funcionários de uma fazenda em reais: 1.500, 1.300, 1.200, 1.250, 1.600, 1.100, 1.450, 1.210, 1.980.

Gestão da Produção e Logística

111

112

Para calcularmos a mediana desses dados, o primeiro passo é colocá-los em ordem crescente e observar o número de elementos. Dispondo-os em ordem, temos 9 elementos assim ordenados: 1.100, 1.200, 1.210, 1.250, 1.300, 1.450, 1.500, 1.600, 1.980 Observe que temos um número ímpar de dados (9). Desse modo a mediana é o elemento do meio, no caso o número 1.300. Portanto a mediana desse conjunto é 1.300.

2) Considere o conjunto de dados seguinte, referente ao salário médio dos funcionários da mesma fazenda com o acréscimo de um dado funcionário. Temos então: 1.500, 1.300, 1.200, 1.250, 1.600, 1.100, 1.450, 1.210, 1.980, 1.420 Note que temos 10 valores. Colocando-os em ordem, obtemos a lista: 8.000 = V * (1+0,03)2 ⟹ V =

8.000

(1,03)

5

=

8.000

1,0609

= 7.540,77

1.100, 1.200, 1.210, 1.250, 1.300, 1.420, 1.450, 1.500, 1.600, 1.980 Nesse conjunto existem 10 elementos. No caso a mediana será a média aritmética simples dos dois valores centrais, isto é, entre os valores 1.300 e 1.420:

Portanto o valor da mediana é 1.360.

1.4. Moda Quando analisamos um conjunto de dados e um valor aparece com mais frequência, isto é, mais vezes, esse valor é chamado de moda.

Um conjunto de dados pode apresentar mais de um valor que se repete várias vezes ou pode não ter nenhum valor se repetindo. Exemplos: 1) A seguir está uma lista com as idades de 20 crianças de um projeto social rural: 12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 12, 11, 14, 13, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11, 14 Para calcularmos a moda desse conjunto, devemos contar o número de repetições de cada elemento. Vejamos: 12 aparece 7 vezes, 11 aparece 5 vezes, 13 aparece 5 vezes e 14 aparece 4 vezes. Como a moda é o elemento que se repete o maior número de vezes, nesse caso a moda do conjunto de idades é o número 12.

Curso Técnico em Agronegócio

2) Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos. 3) Se determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols. 4) Temos a seguir as alturas de um grupo de pessoas: 1,82 m, 1,75 m, 1,65 m, 1,58 m e 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.

Legenda: A média, a mediana e a moda são úteis quando se quer analisar os pesos dos bovinos de determinado rebanho, por exemplo. Fonte: Shutterstock

113 2. Medidas de dispersão Você acabou de estudar as medidas de tendência central média, mediana e moda. Elas descrevem apenas uma das características dos valores numéricos de um conjunto de observações: o da tendência central, como o próprio nome diz. Porém, nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados. Por exemplo, os dois conjuntos a seguir possuem variações distintas, mas suas médias aritméticas simples são iguais: • Grupo A: 7, 7, 7, 7 • Grupo B: 0, 5, 10, 10, 10. Calculando suas médias, temos:

média A=

7+7+7+7 4

=7

média B= 0 + 5 + 10 + 10 + 10 = 7 5 Gestão da Produção e Logística

114

As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descrevendo, então, o quanto os dados distam do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média. As principais medidas de dispersão são: amplitude, desvio médio, desvio-padrão e variância.

2.1. Amplitude A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, definida como a diferença entre os valores extremos do conjunto – ou seja, subtraímos o primeiro termo do último. Por exemplo, se listarmos as idades de funcionários de uma lavoura e obtermos 42, 34, 32, 27, 39, 29, 45, para calcularmos a amplitude dessas idades, devemos primeiro colocá-las em ordem. Teremos então: 27, 29, 32, 34, 39, 42, 45. Para saber a amplitude, basta calcularmos o último menos o primeiro: 45 - 27= 18.

d

Comentário do autor Note que, pelo valor da amplitude, você pode observar se a diferença entre o primeiro e o último termo é muito grande.

2.2. Desvio médio (absoluto) Desvio médio é a média dos valores, desconsiderando o sinal, dos desvios da distribuição em relação à média ou mediana. Esses desvios da distribuição são calculados pela subtração de cada termo do conjunto de dados da média ou mediana e nos ajudam a entender o quão “espalhado” é um conjunto de dados. De forma mais geral, se temos n valores x1 , x2 ,…, xn e a média aritmética simples desses valores é m, então os desvios são calculados da seguinte forma: d1 = x1 - m; d2 = x2 -m; …; dn = xn -m Dessa forma, o desvio médio é a média aritmética simples dos desvios sem seus sinais, que podemos representar como:

l d1 l + l d2 l + ... + l dn n As barras | | significam que devemos desconsiderar o sinal de cada d, ou seja, colocar o sinal + todos.

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O desvio médio é a medida associada a toda a amostra. Assim esse valor nos apresenta uma taxa de como os elementos se afastam da média aritmética simples tanto para cima como para baixo. Quanto menor o desvio médio, menor a variação entre os elementos e a média. Exemplos: 1) Sabemos que um técnico em agronegócio trabalha, durante uma semana (7 dias), 7, 8, 9, 8, 7, 9 e 8 horas. Logo sua média aritmética simples de horas trabalhadas nessa semana foi de:

7+8+9+8+7+9+8 7

=

56 = 8 horas 7

Vamos calcular agora o desvio em relação à média 8 horas. Observe que os dados das horas não estão muito distantes da média calculada. Dessa forma é de se esperar que o desvio médio seja um valor “pequeno”. Para isso devemos subtrair da média cada valor de horas: 7-8=-1 8-8=0 9-8=1 8-8=0 7 - 8 = -1 9-8=1 8-8=0

115

Por fim, para calcular o desvio médio, temos de fazer a média aritmética simples dos desvios, desconsiderando seus sinais. Desse modo, temos:

1+0+1+0+1+1+0 7

=

4 7

= 0,57

Portanto o desvio médio é 0,57. Isso nos diz que cada elemento varia 0,57 da média aritmética, tanto para mais quanto para menos.

2) Considerando o conjunto de dados 2, 5, 8, 15, 20, a média aritmética simples é:

2 + 5 + 8 + 15 + 20 50 = = 10 5 5

Gestão da Produção e Logística

116

Note que alguns dos dados que temos estão muito distantes da média. Assim é de se esperar que o desvio médio seja um número “grande”. O próximo passo é calcular os desvios: 2 - 10 = -8 5 - 10 = -5 8 - 10 = -2 15 - 10 = 5 20 - 10 = 10 Por fim calculamos a média aritmética simples dos desvios, sem os sinais, e obtemos o desvio médio:

8 + 5 + 2 + 5 + 10 5

=

30 =6 5

2.3. Variância A variância é a média aritmética ao quadrado dos desvios. Então, se temos n valores x1 , x2 ,…, xn e a média deles é m, para calcularmos a variância, fazemos:

( x1 - m)2 + ( x2 - m)2 + ...+ ( xn - m)2 n Podemos escrever a mesma fórmula calculando em separado os desvios d. Utilizando esses d, a fórmula fica assim:

( d1 )2 + ( d2 )2 + ...+ ( dn )2 n A variância nos mostra o quão longe da média está o conjunto de dados. Veja a análise no exemplo a seguir. Em uma semana, um agricultor vende sacas de café nas seguintes quantidades: 10, 9, 11, 12 e 8. Vamos calcular a média aritmética simples de sacas vendidas nessa semana:

10 + 9 + 11 + 12 + 8 5

=

50 5

= 10

Então a venda média é de 10 sacas por dia. Note que nem todos os dias foram vendidas 10 sacas. Podemos verificar essa diferença da média calculando a variância, por meio da fórmula:

(10 -10)2+ (9 -10)2+ (11 -10)2+ (12 -10)2+ (8 -10)2 5

Curso Técnico em Agronegócio

=

10 5

= 2

Portanto, por dia, esse agricultor esteve em média 2 sacas de café longe da média de 10 sacas vendidas diariamente. Observe que esse valor realmente confere com as vendas diárias.

2.4. Desvio-padrão O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Logo, se temos n variáveis x 1 , x 2 ,…, x n e sua média aritmética simples é m, então o desvio-padrão é calculado pela seguinte fórmula: 2

(x1 - m )2 + (x2 - m )2 +...+ (xn - m)2 n Podemos calcular os desvios em separado, obtendo a mesma fórmula em função dos desvios d:

2

(d1 )2 + (d2 )2 +...+ (dn )2 n

O desvio-padrão, assim como o desvio médio absoluto, é uma medida associada toda a amostra, e não a cada elemento individualmente. O desvio-padrão, do mesmo modo que o desvio médio absoluto, mede o quanto os elementos estão próximos ou afastados da média. Na prática, então, o desvio-padrão indica qual é o “erro” se quiséssemos substituir um dos valores coletados pelo valor da média. Veja na prática partindo do exemplo utilizado anteriormente:

117

Um agricultor vende sacas de café da seguinte forma: 10, 9, 11, 12 e 8. Calculamos a variância de suas vendas nessa semana e concluímos que ela foi de 2 sacas. Agora, para calcularmos o desvio-padrão, tomamos a raiz quadrada desse valor: 2

2 = 1,4

Portanto o desvio-padrão, ou seja, o afastamento entre os dados e a média das vendas de sacas de café durante a semana, foi de aproximadamente 1,4 saca.

Gestão da Produção e Logística

Atividades 1: Noções de estatística

118

a) Levantou-se que os alunos do curso Técnico em Agronegócio têm ao todo 11 filhos, cujas idades são iguais a: 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 15, 16. A moda e a mediana desses 11 valores correspondem a que números? b) Numa empresa rural, 20 engenheiros agrícolas têm salário de 4.000 mensais; 10 técnicos, de 3.000 mensais; e 30 operários, de 2.000 mensais. Qual é o salário médio dos funcionários dessa empresa? c) A média das idades de cinco colaboradores de uma fazenda é 23,2 anos. Se um membro dessa equipe, que possui 27 anos, for substituído por outro colaborador externo de 20 anos e os demais colaboradores forem mantidos, então qual passará a ser a média de idade dessa equipe, em anos? d) Considere um grupo formado por cinco filhos de fazendeiros com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece com a média de idade desse grupo se um sexto amigo com 16 anos se juntar ao grupo? e) O fazendeiro João vendeu 3 sacas de café a mais que Paulo, que vendeu 6 sacas a mais que o cafeicultor Luiz. A média aritmética entre os três foi de 6 sacas. Quantas sacas Paulo vendeu? f) Sete bezerros foram pesados, e os resultados em quilogramas foram: 57; 62,9; 63,5; 64,1; 6,1; 67,1; 73,6. Calcule a média, a variância e o desvio-padrão.

Tópico 2: Noções de probabilidade No começo deste tema você viu que a análise de dados permite ter uma boa ideia da distribuição desse conjunto. Em particular, a distribuição de frequências é uma ferramenta útil para avaliarmos determinado fenômeno. A partir dessas frequências, podemos calcular a média, a mediana ou, por exemplo, o desvio-padrão. Essas frequências e medidas calculadas são estimativas de quantidades desconhecidas, associadas em geral a populações das quais os dados foram extraídos em forma de amostras. Em particular, as frequências são estimativas de probabilidades de ocorrência de certos eventos. Por exemplo, se você descobre que o peso médio de um grupo de novilhos é 210 kg e que o desvio-padrão é pequeno, podemos dizer que há grandes chances de que, se você escolher qualquer um dos novilhos, ele tenha praticamente esse peso. Com suposições adequadas, podemos criar um modelo teórico que reproduza a distribuição de frequências. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos, e veremos algumas de suas noções neste tópico.

1. Conceitos básicos A probabilidade é um número que varia de 0 a 1 e que mede a chance de ocorrência de determinado resultado. Quanto mais próxima de zero for a probabilidade, menores serão as chances de ocorrer o resultado; e, quanto mais próxima de um for a probabilidade, maiores serão as chances. Curso Técnico em Agronegócio

As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive em decimais, frações e porcentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de certo evento pode ser expressa como 1%; 1 em 100; 0,01 ou 1/100.

Legenda: A probabilidade de se ganhar na Mega-Sena, por exemplo, é de 1 em 50.063.860 (cinquenta milhões, sessenta e três mil oitocentos e sessenta). Fonte: Shutterstock

1.1. Experimento aleatório Experimento é qualquer atividade realizada que pode apresentar diferentes resultados. Um experimento é dito aleatório quando não conseguimos afirmar o resultado que será obtido antes de realizar o experimento. Um experimento é chamado de equiprovável se todos os possíveis resultados possuem a mesma chance de ocorrer. Resumidamente, um evento aleatório é quando sabemos os possíveis resultados, mas não podemos afirmar qual acontecerá. Sempre que nosso objeto de estudo não for adulterado, por exemplo, uma moeda com caras em ambos os lados, nosso evento será equiprovável. Vejamos alguns exemplos de eventos aleatórios equiprováveis:

Fonte: Shutterstock

• Lançamento de uma moeda (honesta) – poderá ser cara ou coroa. • Lançamento de um dado (honesto) – um número de 1 a 6.

Gestão da Produção e Logística

119

1.2. Espaço amostral e evento

120

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:

Espaço amostral

É o conjunto cujos elementos são todos os possíveis resultados que podem ser obtidos na realização de um experimento. Ainda utilizando os exemplos da moeda e do dado: • Espaço amostral da moeda – será o conjunto formado pelos elementos cara e coroa, isto é, {cara, coroa}. • Espaço amostral do dado – é o conjunto formado por todos os possíveis números do dado, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}. É qualquer subconjunto, ou uma parte, de um espaço amostral. Por exemplo: • Um evento num lançamento seria “sair um número par”. Note que esse evento pode ser reescrito como {2, 4, 6} e essa é uma parte do conjunto do espaço amostral.

Evento

• No caso da moeda, um evento poderia ser sair cara, isto é, {cara}.

2. Cálculo de probabilidades A partir de agora você verá como calcular probabilidades de eventos únicos, dependentes ou independentes e da união de dois eventos. A forma de realizar esses cálculos é muito parecida, mas existem detalhes que precisam ser ressaltados. Então, fique atento! Considerando um evento de um espaço amostral referente a um experimento aleatório e equiprovável, a probabilidade de se obter o evento é dada pelo quociente:

probabilidade =

número de elementos do evento número de elementos do espaço amostral

Todos os casos que trabalharemos serão aleatórios e equiprováveis. Veja na prática: 1) Vamos calcular a probabilidade de sair o número 3 no lançamento de um dado. Temos os seguintes dados: • Espaço amostral: conjunto dos possíveis resultados, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Evento: apenas o número 3, isto é, {3}. • Cálculo da probabilidade: conforme a fórmula que acabamos de ver, devemos dividir o número de eventos (um evento) pela quantidade de possibilidades (seis possíveis casos), ou seja:

1 6

Curso Técnico em Agronegócio

≈ 0,16

Portanto a probabilidade de sair o número 3 num lançamento de um dado é de aproximadamente 16% (para chegar à porcentagem apenas multiplicamos o resultado da probabilidade por 100).

2) Qual seria a probabilidade de sair um número par no lançamento de um dado? Procedemos de forma parecida com a do exemplo anterior. • Espaço amostral: o conjunto das possibilidades, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Evento: apenas os números pares entre 1 e 6, isto é, {2, 4, 6}. • Cálculo da probabilidade: dividimos o número de eventos, que é 3 (ou seja, 2, 4 e 6) pelo número total de possibilidades, nesse caso 6. Dessa forma a probabilidade será:

3 6

=

1 2

= 0,5

Portanto temos 50% de chance de obter um número par num lançamento de um dado. Note que, intuitivamente, faz sentido o resultado que obtivemos, pois, num dado com números de 1 a 6, metade dos números são pares e a outra metade são ímpares. Logo temos 50% de chance para cada uma dessas possibilidades.

3) Um fazendeiro numera seus 50 funcionários para que um sorteio de bonificação seja feito. Se ele sortear ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4? Vamos analisar cada conceito e depois calcular a probabilidade. • Espaço amostral: o conjunto dos números de 1 a 50, isto é, {1, 2, 3, 4…, 50}. • Eventos: todos os múltiplos do número 4 entre 1 e 50, ou seja, {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}. • Cálculo da probabilidade: devemos dividir o número de elementos dos eventos pela quantidade total de número do espaço amostral. Logo:

12 6 = = 0,24 50 25 Conclusão, temos 24% de chance de sortear um múltiplo do número 4 entre os números 1 e 50.

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121

122

4) Uma pecuarista possui um rebanho de 100 cabeças de gado. Cada um dos seus animais é numerado com um número entre 1 e 100 sem repetições. Suponhamos que ela queira fazer uma pesquisa e sorteie honestamente alguns dos animais ao acaso. Qual é a probabilidade de o número do animal sorteado ser: a) 15? • Espaço amostral: conjunto de números entre 1 e 100, isto é, {1, 2,…, 100}. • Eventos: o número 15, ou seja, {15}. • Probabilidade:

1 100

= 0,01, ou 1% de chance.

b) Maior que 85? • Espaço amostral: conjunto de números entre 1 e 100, ou seja, {1, 2, …, 100}. • Eventos: os números maiores que 85 até 100, isto é, {86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}. • Probabilidade: 15 = 0,15 ou 15% de chance. 100

c) Formado por um algarismo? • Espaço amostral: conjunto de números entre 1 e 100, ou seja, {1, 2, …, 100}. • Eventos: entre os números 1 e 100, os únicos formados apenas por um algarismo são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. • Probabilidade:

9 = 0,09, ou 9% de chance. 100

3. Cálculo de probabilidades simultâneas O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a chance de dois ou mais eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente. Para realizar o cálculo dessas probabilidades, devemos verificar se os eventos são independentes ou dependentes. Vejamos estes dois casos e como procedemos.

Eventos independentes

Eventos dependentes

Dizemos que dois eventos são independentes quando o fato de um ocorrer não influenciar na probabilidade do outro acontecer. Calculamos a probabilidade independente de dois eventos da seguinte forma: (probabilidade evento 1)*(probabilidade evento 2)

Dois eventos são dependentes quando uma probabilidade interfere na outra. Para calcularmos essa probabilidade, devemos multiplicar a probabilidade de um evento pela probabilidade do outro, mas excluir o primeiro evento dessa probabilidade, isto é: (probabilidade evento 1)*(probabilidade evento 2 excluindo evento 1)

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Exemplos: 1) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de ocorrer coroa e número par? Vejamos primeiro as possibilidades que existem para esses lançamentos formados por uma posição da moeda e um número do dado: (cara, 1), (cara, 2), ..., (cara, 6), (coroa, 1), (coroa, 2), ... ou (coroa, 6). São possíveis 12 resultados diferentes, dos quais apenas (coroa, 2), (coroa, 4) e (coroa, 6) nos interessa, isto é, apenas 3 em 12 (25%). Note que os eventos “lançar uma moeda” e “lançar um dado” são independentes, pois um não influencia no outro. Então, para calcular essa probabilidade simultânea, devemos determinar cada probabilidade em separado e depois multiplicá-las. Analisando os dados do problema, podemos ver: • Espaço amostral da moeda: todas as possibilidades de escolhas são {cara, coroa}. • Evento da moeda: queremos saber a chance de obtermos apenas {coroa}. 1 2

• Probabilidade da moeda:

= 0,5, ou 50% de chance de sair coroa.

• Espaço amostral do dado: todos os possíveis números são {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Eventos do dado: como queremos apenas os pares, temos o conjunto {2, 4, 6}. • Probabilidade do dado:

3 6

=

1 2

= 0,5, ou 50% de chance de tirarmos um número par.

• Probabilidade simultânea: como os eventos não se interferem, a probabilidade simultânea será a multiplicação das probabilidades de cada evento, isto é, 1 * 1 = 1 = 0,25. 2

2

4

Portanto temos 25% de chance de tirarmos uma coroa na moeda e um número par no dado quando jogados ao mesmo tempo.

123 2) Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? Note que os eventos “tirar um múltiplo de 10” e “tirar um número ímpar” são dependentes, pois, quando retiramos a primeira bolinha, não a devolvemos antes de retirar a segunda. Dessa forma, quando tiramos a primeira bolinha interferimos na probabilidade da segunda. Vamos analisar cada caso: • Espaço amostral múltiplo de 10: todas as possibilidades entre 1 e 30, ou seja, {1, 2,…, 30}. • Eventos múltiplos de 10: todos os múltiplos de 10 entre 1 e 30, isto é, {10, 20, 30}. • Probabilidade dos múltiplos de 10:

3 = 10

1 = 0,1, ou 10%. 10

• Espaço amostral do número ímpar: como já retiramos uma bolinha, agora temos apenas 29 possibilidades, logo nosso espaço amostral é {1, 2, …, 29}.

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124

• Eventos de número ímpar: entre 1 e 30 temos os números ímpares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}. • Probabilidade de número ímpar: 15 ≈ 0,52, ou 52% de chance. 29

Agora que sabemos a probabilidade de tirarmos um múltiplo de 10 e a probabilidade de tirarmos um número ímpar, lembrando que não recolocamos a bolinha que foi sorteada primeiro, basta multiplicá-las e saberemos a probabilidade simultânea:

1 15 15 3 = = ≈ 0,05 * 10 29 290 58 Portanto a probabilidade de ambos os eventos acontecerem é de aproximadamente 5%.

4. Probabilidade da união de dois eventos Outro cálculo de probabilidade é o da união de dois eventos. Por exemplo, podemos querer saber a probabilidade de um dado ser jogado para cima com um número múltiplo de 2 ou de 3. Nesse tipo de probabilidade, utilizamos a fórmula: (probabilidade evento 1) + (probabilidade evento 2) - (probabilidade eventos 1 e 2 simultaneamente)

Existem casos em que os eventos 1 e 2 não podem ocorrer simultaneamente. Desse modo: (probabilidade eventos 1 e 2 simultaneamente)=0 Acompanhe o seguinte caso para entender melhor. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o número obtido ser múltiplo de 2 ou 3? Vamos calcular separadamente a probabilidade de ser um múltiplo de 2, depois de ser um múltiplo de 3 e, por último, de ser um múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo. Note que entre 1 e 6 temos um múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo, a saber, o número 6. • Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Eventos dos múltiplos de 2: {2, 4, 6} • Probabilidade dos múltiplos de 2:

3 = 6

1 2

= 0,5, ou 50% de chance

2 = 6

1 3

≈ 0,33, ou 33% de chance

• Eventos dos múltiplos de 3: {3, 6} • Probabilidade dos múltiplos de 3: • Eventos dos múltiplos de 2 e 3: {6} • Probabilidade dos múltiplos de 2 e 3:

Curso Técnico em Agronegócio

1 ≈ 0,16, ou 16% de chance 6

Portanto, a probabilidade de, num lançamento (honesto) de um dado, obtermos um múltiplo de 2 ou 3 é, conforme a fórmula anterior, a soma de cada probabilidade menos a probabilidade do evento simultâneo

3 6

+

2 6

-

1 4 = = 6 6

2 3

≈ 0,66 ou 66%

Atividades 2: Noções de probabilidade a) Uma bola será retirada de uma sacola que contém 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade de essa bola ser verde? b) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três caírem com a mesma face para cima? c) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade de a mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade de ela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? d) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade de ela ser verde ou amarela?

Encerramento do tema Desenvolvemos, ao longo deste tema, os conceitos básicos de estatística e da teoria de probabilidades. Os casos aqui apresentados podem ser transpostos para o dia a dia do técnico em agronegócio ou em qualquer outra área. Os métodos apresentados podem ser utilizados em diversas situações e fornecer dados que possam ajudar na tomada de decisões importantes em que deve se lidar com certo risco.

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Gestão da Produção e Logística

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Encerramento da unidade curricular A matemática sempre foi e sempre será muito importante em qualquer atividade, e no agronegócio isso não é diferente. Como o papel do gestor em agronegócio é gerir os recursos (financeiro, material, humano etc.), a matemática sempre estará presente, pois será por meio de contas e valores que ela fornecerá ao gestor os dados para tomar a melhor decisão ou maximizar os lucros. Dentro da cadeia do agronegócio, estão as propriedades rurais, com suas múltiplas atividades, os bancos que fornecem créditos, a indústria de insumos agrícolas, a indústria de tratores e peças, as lojas veterinárias e os laboratórios que fornecem vacinas e rações para pecuária de corte e leiteira. O gestor em agronegócio sempre terá de lidar com números e contas que estão ligados a esses segmentos, como quantidade, valor de produtos a serem comprados ou vendidos, valor de remuneração salarial, valor de maquinários, entre outros.

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Grande parte da matemática é baseada em deduções lógicas, dependentes umas das outras. Devemos ser capazes de partir um problema em etapas lógicas e resolvê-lo passo a passo, usando técnicas que muitas vezes são o resultado de anos de aprendizagem. O raciocínio que temos de desenvolver para a resolução dos problemas matemáticos pode, e deve, ser empregado em muitas outras áreas do conhecimento, como no próprio agronegócio. Estude este material sempre que for necessário, visto que são conteúdos que aparecerão novamente em outras unidades curriculares. Sucesso!

Curso Técnico em Agronegócio

Referências BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2002. FERREIRA, R. S. Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Viçosa/ MG: UFV, 1999. QUILELLI, P. Raciocínio lógico matemático. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009.

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Gestão da Produção e Logística

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Gabarito Tema 1: Matemática básica Atividades | Tópico 1: Conjuntos numéricos e) ℕ, ℤ, ℚ e ℝ j) ℕ, ℤ, ℚ e ℝ

f) I e ℝ k) ℚ e ℝ

g) ℚ e ℝ l) ℚ e ℝ

h) ℚ e ℝ m) ℚ e ℝ

i) I e ℝ n) I e ℝ

Atividades | Tópico 2: Operações fundamentais a) 4 h) -2 o) 1

b) 1 i) -2 p) 0,125

c) -15 j) 2 q) 180 e 180

d) -6 k) 8 r) 18 e 20

e) 10 l) -15

f) 10 m) 21

g) -2 n) 18

Atividades | Tópico 3: Frações a) g)

b) - 2

3 10 2 3

c)

3 10 h) 3

i)

1 3 3 16

d) j)

1 4 5 12

e) 122

f)

105 k) 4 9

1 15

Atividades | Tópico 4: Equações de primeiro grau a) 2 f) -2

b) -2 g) 9/8

c) 1 h) 1/3

d) 5 i) 6

e) 0 j) 4

Atividades | Tópico 5: Proporcionalidade a) 1.360 d) 10

b) 30 e) 75%, 16%, 250%, 33,33%

c) 240 f) 27, 27, 44,1, 715, 69, 96

Atividades | Tópico 6: Potências g) 1

h) 0

i) -8

j) -64

k) 256

l) 2.187

m) 3

n) 3

o) -155

p) 125

q) 256

r) 530

s) 25

t)

u) 1

9

v)

1 16

Curso Técnico em Agronegócio

w) 2 3

8 729

Atividades | Tópico 7: Raízes a) 2 5

b) 5 2

c) 5 24 = 2 6

f) 3 3

g) 3 3

h)

4

4

4

23

e 5

e) -3

d) 2

1

53

Tema 2: Matemática financeira Atividades | Tópico 1: Juros simples a) R$ 2.976,62 d) 4,64 a.s

b) 10 anos e) JE = R$ 15.387,61 e JC = R$ 15.405,77

c) R$ 6.045,62 f) R$ 4.990,07

Atividades | Tópico 2: Desconto simples a) i = 7,24% a.m.

b) DC = 1.077,30 e VC = 4.288,50

c) i =11,98% a.a.

d) R$ 689,65 e R$ 4.310,34

Atividades | Tópico 3: Juros compostos a) R$ 11.706,55

b) 14.641

c) R$ 2.069,33

a) 5,23% a.d.

b) 21,74% a.d.

Atividades | Tópico 4: Desconto composto a) R$ 139.553,63

b) R$ 9.366,83

c) R$ 5.675,79

d) 5,12% a.t.

129 Atividades | Tópico 5: Série de pagamentos a) R$ 13.957,37

b) R$ 257,53

c) R$ 12.310,71

d) 1.464,84

Atividades | Tópico 6: Sistemas de amortização a) Mês

Saldo devedor

Amortização

Juros

Prestação

t=0

120.000

-

-

-

t=1

120.000 – 12.000 = 108.000

12.000

120.000 x 0,005 = 6.000

12.000 + 6.000 = 18.000

Gestão da Produção e Logística

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Mês

Saldo devedor

Amortização

Juros

Prestação

t=2

108.000 – 12.000 = 96.000

12.000

108.000 x 0,005 = 5.400

12.000 + 5.400 = 17.400

t=3

96.000 – 12.000 = 84.000

12.000

96.000 x 0,05 = 4.800

12.000 + 4.800 = 16.800

t=4

84.000 – 12.000 = 72.000

12.000

84.000 x 0,05 = 4.200

12.000 + 4.200 = 16.200

t= 5

72.000 – 12.000 = 60.000

12.000

72.000 x 0,05 = 3.600

12.000 + 3.600 = 15.600

t= 6

60.000 – 12.000 = 48.000

12.000

60.000 x 0,05 = 3.000

12.000 + 3.000 = 15.000

t= 7

48.000 – 12.000 = 36.000

12.000

48.000 x 0,05 = 2.400

12.000 + 2.400 = 14.400

t= 8

36.000 – 12.000 = 24.000

12.000

36.000 x 0,05 = 1.800

t= 9

24.000 – 12.000 = 12.000

12.000

24.000 x 0,05 = 1.200

12.000 + 1.200 = 13.200

t= 10

0

12.000

12.000 x 0,05 = 600

12.000 + 600 = 12.600

12.000

33.000

153.000

Total

12.000 + 1.800 = 13.800

b) R$ 28.000, R$ 747,50, R$ 2.955, R$ 29.325 e R$ 89.031,25

Atividades | Tópico 7: Análises de investimentos a) R$ 121.387,53 e –R$ 31.107,11

b) Máquina B

Tema 3: Estatística e probabilidade Atividades | Tópico 1: Noções de estatística c) 13, 13 f) aumento de 0,3

d) 2.833,33 g) 7 pontos

e) 21,8 h) 64,9, 10,75, 3,27

Atividades | Tópico 2: Noções de probabilidade a) 41%

b) 25%

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c) 10,24%

d) 6

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