Aula 09 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9

AULA 9: 6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático (parte II) Números fracionários e Operações com frações; Números Decimais e Dízimas Periódicas; Porcentagem.

SUMÁRIO I. Números Fracionários e Operações com Frações. ................................ 2 1.1 C o n ce ito ........................................................................................ 2 1.2 Frações equivalentes. ..................................................................... 3 1.3 Simplificação de Frações. .............................................................. 4 1.4 Comparação de Frações e Redução ao denominador com um . ..........5 1.5 Operações com Fraçõ es..................................................................8 II. Dízimas Periódicas. ...........................................................................13 III. Porcentagem .................................................................................. 17 IV. Mais Questões Comentadas. ........................................................... 21 VIII. Lista das Questões A presentadas..................................................38

E aí, Pessoal, tudo em ordem? Eu estou meio triste... Meu Vasco vai de mal a pior... Perdeu de 5 do Avaí (pela segundona) e depois foi eliminado da Copa do Brasil... Que fase.... Mas vida que segue! Dando continuidade à segunda fase de nosso Curso, dentro dos seguintes tópicos do Edital: "Álgebra"; e "Raciocínio Matemático". Estudaremos hoje: Números fracionários e Operações com frações; Números Decimais e Dízimas Periódicas; Porcentagem. Vamos lá?

"O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein"

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I. Números Fracionários e Operações com Frações Olá queridos Alunos! Vamos falar hoje de frações! - Mas peraí, Professor! Eu já estudei isso lá no Ensino Fundamental! Isso é muito fácil! - Eu sei, caro aluno! Mas existem alguns detalhes que caem em concurso que é bom nós relembrarmos. Vamos com calma e você vai pegar todo o jeito de resolver as questões! Além disso, quero deixar claro que é muito raro (mas não impossível!) cair uma questão que cobre exclusivamente conhecimentos sobre as operações com frações. Na maioria das vezes, este conhecimento será uma ferramenta para resolver questões de outros assuntos. I.1 Conceito

V

Fração, para nós, é uma divisão entre dois números na forma -. O número

p é chamado numerador e q é chamado denominador da fração. Para encontrar o número que a fração representa, basta efetuar a divisão do numerado pelo denominador. Assim: 3 4

= 0 ,7 5

A fração, como o próprio nome sugere, representa uma parte de um todo. i Por exemplo, se eu tenho direito a - de uma herança de R$ 30 milhões, eu pego a herança toda, divido em 3 partes iguais de R$ 10 milhões e fico com uma parte para mim. Assim:

10

10

10

— de R$ 30 milhões = R$ 10 milhões - Ok, Professor, entendi o conceito de fração. É só isso? - Claro que não, nobre Aluno! Rsrsrs Mas vamos com calma que você vai ver que é tudo muito fácil e muito simples!

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 I.2 Frações equivalentes

CAIU

na prova!

As frações possuem uma característica muito interessante e muito útil: elas possuem o que nós chamamos de "Frações Equivalentes".

- Mas o que são essas frações equivalentes? - São frações que querem dizer a mesma coisa! Vamos retomar o exemplo da herança. Se, em vez de repartir a herança em 3 partes iguais e tomar 1 para mim, eu a tivesse repartido em 6 partes iguais e tomado 2 para mim, qual seria o efeito? Vamos analisar?

5

6

5

5

5

5

5

de R$ 30 milhões = R$ 10 milhões

Uau!!!! Repararam que deu na mesma????? Ou seja, nós acabamos de verificar que: 1

2

3_ 6 Ou seja, as frações são ditas equivalentes. - Mas Professor, como é que eu vou saber quais são as frações equivalentes a uma fração dada? - Muito simples! Basta multiplicar "em cima e em baixo" (numerador e denominador) pelo mesmo número. No nosso exemplo, multiplicamos por 2 em cima e em baixo para obter a fração equivalente: 1 _ 1x2 _ 2

3~3x2~ 6 Vamos ver como a ESAF cobrou esse conceito simples em prova?

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 Questão 1: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2001 Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. a) 52/68 b) 54/66 c) 56/64 d) 58/62 e) 60/60 SOLUÇÃO:

Para achar uma fração equivalente, multiplicamos "em cima e em baixo" pelo mesmo número k: 7 _ 7-k 8_ ê ü

Para que a soma dos termos seja igual a 120, fazemos: 7 - k + 8 - k = 120

Resolvendo a equação: 15 - k = 12 0 k =8

A fração equivalente é: 7

7-k

7-8

56

8 _ l T k ~ { T ê _ 64

Gabarito: Letra C

I.3 Simplificação de Frações Decorrente do conceito de frações equivalentes, surge uma outra ideia: a simplificação de frações! Simplificar, como o próprio nome sugere, significa reduzir, tornar menor. Assim, encontraremos um maneira de simplificar o numerador e o denominador de uma fração mantendo sua equivalência com a fração original. Pensem comigo: se, para achar uma fração equivalente, eu posso multiplicar em cima e em baixo pelo mesmo número, o que me impede de dividir em cima e em baixo pelo mesmo número para achar uma fração mais simples? Nada!

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 Exemplo: Simplifiquemos então a fração 56/64. Nossa, 56/64 é uma fração composta por números grandes mesmo né? Vamos começar a dividir, achando divisores que sirvam aos dois (numerador e denominador). Como os dois são pares, ambos são divisíveis por 2. 56

56^2

28

6 4 _ 64 ^ 2 _ 32

Opa!!! 28 e 32 também são divisíveis por 2. Já que a ideia é simplificar, vamos adiante na divisão... 56 56 ^ 2 28 28^2 14 64 _ 6 4 T 2 _ 32 _ 3 2 ^ 2 _ 16

Ué!!! Ainda dá pra dividir mais... 14 e 16 também são divisíveis por 2. Simbora... 5 6 56^2 28 2 8 ^ 2 14 14^2 7 64 _ 6 4 T 2 _ 32 _ 3 2 T 2 ~ 16 _ 1 6 T 2 _ 8

É! Agora não dá pra reduzir mais né! Chegamos na forma irredutível da fração. - Professor, mas isso é assim mesmo? Esse trabalho braçal? Ficar dividindo um a um? - Caro Aluno, a teoria nos ensina a dividir pelo MDC entre o numerador e o denominador para achar a forma irredutível. Como o MDC(56,64)=8 (esse você já sabe fazer né?) temos: 56 56^8 7 64 _ 6 4 ^ 8 _ 8 Mas fique à vontade para fazer o que você quiser. Ou você acha o MDC e faz uma única divisão OU vai dividindo, na sua prova mesmo, riscando a lápis e colocando o novo valor acima! Aqui, você é quem manda!

I.4 Comparação de Frações e Redução ao denominador comum - Ok, caro Aluno, percebo que você está entendendo tudo. Mas agora tenho uma pergunta de seleção! Quem é maior?

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 - Poxa, Professor, agora você me pegou! Como que eu saio dessa? - Simples! Para comparar frações, elas devem estar com o mesmo denominador

CAIU

na prova!

Para comparar frações, elas devem estar com o mesmo denominador

- Tá! Até aí eu entendi, Professor... Mas como que eu faço isso? - Muito fácil, caro Aluno! Calcule o MMC entre os denominadores! E depois é só seguir a receitinha de bolo que eu vou ensinar...

Para reduzir frações a um denominador comum, você deve calcular o MMC entre os denominadores e DES s A multiplicar o numerador pelo resultado da divisão do na prova MMC pelo respectivo denominador______________ Vamos responder a nossa pergunta inicial. Quem é maior?

1. Calculamos o MMC entre 7 e 4. MMC(7,4) = 28 2. Analisando a primeira fração (2/7). Pegamos o 28 e dividimos pelo denominador 7 (28^7=4). Multiplicamos 4 pelo numerador 2 (2x4 = 8). Esse é o novo numerador; 2x4 _ 8 7 ~ 7 x 4 ~ 28 2 _

3. Analisando a segunda fração (1/4). Pegamos o 28 e dividimos pelo denominador 4 (28^4=7). Multiplicamos 7 pelo numerador 1 (1x7 = 7). Esse é o novo numerador; 1

1x7 _

7

4 _ 4 ^ 7 _ 28 Vamos adaptar a nossa pergunta inicial. Quem é maior? 8

ou

7

Muito fácil, né? Para comparar frações com denominador comum, basta comparar o numerador e concluir com toda certeza:

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Logo,

Vamos fazer uma questão de concurso sobre o assunto?

Questão 2: FCC - ADP (DPE SP)/DPE SP/Administrador de Redes/2013 O total de frações entre 3/7 e 9/19 com numerador par e denominador 133 é igual a a) 7. b) 4. c) 5. d) 6. e) 3.

SOLUÇÃO:

A questão quer saber quantas frações com numerador par e denominador 133 são maiores que 3/7 e menores que 9/19. Ora, para compararmos frações, elas precisam ter o mesmo denominador. Vamos coloca-las sob um denominador comum? Ora o MMC entre 7 e 19 é exatamente 133. Então: 3

3 x 19

57

7 _ 7 x 19 _ 133 9

9x7

63

19 _ 19 x 7 _ 133

Devemos buscar quantas frações há com numerador par e denominador 133 e que são maiores que 57/133 e menores que 63/133. São elas: 58/133, 60/133 e 62/133. Total: 3. Gabarito: Letra E

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I.5 Operações com Frações Adicão/Subtracão: Para somar/subtrair frações, calcule o MMC, coloque-as sob denominador comum e efetue a operação normalmente. Exemplo: 2

5

7

um

2

3 + 9 _ 6 + 18 3 3 1 1

9 9 3 1

6 18 3 9 1 3 1 1

2 3 3 MMC = 2x3x3 = 18

1

1

1

Agora eu pego esse MMC e divido por cada um dos denominadores, anotando em baixo o resultado: 2

5

7

2

O próximo passo é multiplicar os numeradores pelo resultado da divisão e colocar todo mundo no mesmo denominador: 2

5

7

2

6x2 + 2x5 — 3x7 + 1x2

3 + 9 ~J6 + 18 “ / '6 2 '3 /1

18

3 _ 18

Assim: 2

5

7

2 _

3

3 + 9 _ 6 + 18 _ 18 Note ainda, caro aluno, que a fração 3/18 ainda não está na sua forma irredutível e pode ser simplificada. Dividindo em cima e embaixo por 3, temos: 3 3 -9 1 18 _ 18 - 9 _ 6 OBS: Para somar/subtrair um número inteiro a uma fração, multiplique o denominador por ele e depois some/subtraia o numerador. Assim:

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1

7x 4 + 1

29

x

Questão de prova para treinarmos...

Questão 3: FCC - AuxJ TRT6/TRT 6/Serviços Gerais/2006 Certo dia, do total de documentos entregues em diferentes setores de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, sabe-se que: a terça parte foi distribuída por Josué, os 2/5 por Rogério e os demais por Anacleto. Nessas condições, os documentos distribuídos por Anacleto equivalem a que fração do total que foi entregue pelos três? a) 11/15 b) 2/3 c) 8/15 d) 3/5 e) 4/15 SOLUÇÃO:

Seja x a fração que coube a Anacleto distribuir. Sabemos que a soma das partes distribuídas é igual ao todo, ou seja, igual a 1. Assim:

1

2

Calculando o MMC, temos: 15 - 5 - 6

4

Gabarito: Letra E

Multiplicação: Para multiplicar frações, multiplique os numeradores e depois multiplique os denominadores. Simples demais, né? Exemplo:

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 2 5 _ 2x5 _ 10 3X 9 _ 3x 9 _ 27 OBS: Ao multiplicar um número inteiro por uma fração, multiplique o numerador por ele e repita o denominador. Assim:

4x 1

4

~ 1~

7

Divisão: Para dividir frações, multiplique a primeira pelo inverso da segunda. - Hein????? Que troço estranho é esse, Professor? - É isso mesmo, caro Aluno. Vamos ver um exemplo para clarear as ideias. Exemplo: 2

5 _ 2 9 _ 18

3 ~ 9 _ 3 X 5 _ 15 OBS: Ao dividir um número inteiro por uma fração, multiplique-o pelo inverso da segunda. Assim:

4 +-

1

7

28

7

OBS 2: Ao dividir uma fração por um número inteiro, multiplique-a pelo inverso da número inteiro. Assim:

1

_ 1

7 ^4_

1_

1

7 X 4 _ 28

Outra Questão de prova para treinarmos...

Questão 4: FCC - AssTec Leg (AL PB)/AL PB/2013 A média aritmética simples entre dois números é igual à metade da soma desses números. Utilizando essa definição, a média aritmética simples entre 1/3 e 5/9 é igual a a) 1/2___________________________________________________

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 b) 2/9 c) 8/9 d) (2/3)2 e) (1/2)2 SOLUCAO:

2

Vamos resolver por partes. Primeiro vamos calcular a soma: 1

+

5

Calculando o MMQ temos: 1

5 _ 3 + 5 _ 8

3+ 9_ ~9~~ 9

Agora, vamos dividir esse resultado por 2: 8 9 2

Para dividir frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Note que a segunda é um número inteiro (2), cujo inverso é V2. Logo: 8 1 8 9 X2 _ 18 _

8^2 4 18T2_ 9

Para complicar nossa vida, a banca colocou a resposta em termos de exponenciais. Note que:

Gabarito: Letra D

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Resumindo Todas as vezes que você se deparar com uma operação de um número inteiro com uma fração, lembre-se que todo número inteiro é uma fração cujo numerador é ele mesmo e o denominador é igual a 1. Assim,

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II. Dízimas Periódicas As dízimas periódicas são aqueles números que não acabam nunca e que têm uma parte repetida (ou periódica). Por exemplo, pegue a sua calculadora e divida 5 por 9. Qual o resultado? 0,55555... Isto é uma dízima periódica. Outros exemplos: 0,33333333... 0,9494949494.... 0,123123123123.... 0,555262626262626... 1,27896896896896... Reparem que as dízimas SEMPRE têm uma parte que se repete até o infinito. É o nosso PERÍODO.

- Ok, Professor, mas e daí? Isso cai em concurso? - Pior que cai, caro Aluno. E eu vou te explicar como. Todos os números nesse formato podem ser escritos na forma de uma fração, chamada de Geratriz. As questões de concurso costumam perguntar qual a geratriz de uma dízima. Para isso, temos um macete. Identifique a parte inteira (PI) Identifique a parte não periódica (NP) Identifique a parte periódica (P) Aplique a seguinte fórmula:

Geratriz =

P I NP P - PI NP 9 ( n Qd e a l g a r i s m o s do P) 0 ( n Qd e a l g a r i s m o s do NP)

Esta fórmula é mais um esquema para você memorizar, ela está longe de qualquer rigor matemático que se possa exigir. Para formar o numerador, você vai concatenar a parte inteira com a parte não periódica com a parte periódica. Depois, vai subtrair esse número do número formado a partir da concatenação da parte inteira com a parte não periódica. Para formar o denominador, você vai concatenar tantos "9" quantos forem os algarismos da parte periódica com tantos "0" quantos forem os algarismos da parte não periódica.

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 Entendidos? Eu sei que não! Rsrsrsrs... Então vamos fazer uns exemplo para ficar mais claro. Vamos começar do mais difícil para o mais fácil. • 1,27896896896896... Identifique a parte inteira (PI): 1 Identifique a parte não periódica (NP): 27 Identifique a parte periódica (P): 896

Geratriz =

PI NP P - PI NP 9(n Qde algarismos do P) 0(nQde algarismos do NP) Geratriz =

127896 - 127

127769

99900

99900

Pode testar na sua calculadora e ver se está certo! Divida 127769 por 99900 e veja quanto dá...

• 0,555262626262626... Identifique a parte inteira (PI): 0 Identifique a parte não periódica (NP): 555 Identifique a parte periódica (P): 26

Geratriz =

PI NP P - PI NP 9(nQde algarismos do P) 0 (nQde algarismos do NP) Geratriz =

55526 - 555

54971

99000

99000

Pode testar na sua calculadora e ver se está certo! Divida 54971 por 99000 e veja quanto dá...

• 0,123123123123... Identifique a parte inteira (PI): 0 Identifique a parte não periódica (NP): 0 Identifique a parte periódica (P): 123

Geratriz =

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PI NP P - PI NP 9(nQde algarismos do P) 0 (nQde algarismos do NP)

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 123 - 0 123 999

999

Pode testar na sua calculadora e ver se está certo! Divida 123 por 999 e veja quanto dá...

• 0,94949494949494... Identifique a parte inteira (PI): 0 Identifique a parte não periódica (NP): 0 Identifique a parte periódica (P): 94

Geratriz =

PI NP P - PI NP 9(nQde algarismos do P) 0 (nQde algarismos do NP) 9 4 -0

94

Pode testar na sua calculadora e ver se está certo! Divida 94 por 99 e veja quanto dá...

• 0,3333333333333... Identifique a parte inteira (PI): 0 Identifique a parte não periódica (NP): 0 Identifique a parte periódica (P): 3

Geratriz =

PI NP P - PI NP ■ 9(nQde algarismos do P) 0 (nQde algarismos do NP) Geratriz =

3 -0 9

=

3 ■ 9

Pode testar na sua calculadora e ver se está certo! Divida 3 por 9 e veja quanto dá...

Chega de exemplos né? Vamos para a vida real! Vamos ver como a ESAF cobrou isso em concursos anteriores?

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 9 Questão 5: ESAF - Ag Exec (SUSEP)/SUSEP/2006 Indique qual o número 7,233... .

racional geratriz da dízima

periódica

a) 723/99 b) 723/90 c) 716/99 d) 716/90 e) 651/90 SOLUÇÃO:

Parte inteira: 7 Parte não periódica: 2 Período: 3 Geratriz =

72 3 - 72

651

90

~9Õ~

Gabarito: Letra E

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