MATEMaTICA I - Aula 09 - Progressao Aritmetica e Geometrica _

SAVE OFFLINE

Matemática|Material de Apoio Prof. Altevir | https://www.facebook.com/altevir.rossicarneiro SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS – PA e PG

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem, obedecendo a um padrão pré-estabelecido. Na matemática nos interessa estudar as sequências numéricas. As sequências devem ser representadas colocando seus elementos entre parênteses. Vejamos alguns exemplos de sequências numéricas: o o o o o o o o o

Números Pares Números Ímpares Números Primos Números Naturais Múltiplos de 10 Múltiplos de 3 maiores que 10 e menores que 30 Números Triangulares Números Quadrados Perfeitos Sequência de Fibonacci

(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...) (0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...) (12, 15, 18, 21, 24, 27) (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)

As sequências numéricas podem classificadas em finitas ou infinitas:  Sequência finita é aquela que possui uma quantidade finita de elementos, ou seja, é possível determinar a quantidade de seus elementos. Por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 3 maiores que 10 e menores que 30.  Sequência infinita é aquela que possui uma quantidade infinita de elementos, isto é, uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito. Por exemplo: a sequência dos números naturais. Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a1, o segundo termo é a2, o terceiro a3 e assim por diante. Em uma sequência numérica desconhecida, o último elemento estudado é representado por an, sendo que a letra n representa o número de elementos estudados da sequência. Assim, temos  (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita.  (a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita. Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei de formação da sequência. Por exemplo: Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 10.n + 6, n ∈ N*: Temos: n=1 ⇒ a1 = 10.1 + 6 = 16 n=2 ⇒ a2 = 10.2 + 6 = 26 n=3 ⇒ a3 = 10.3 + 6 = 36 n=4 ⇒ a4 = 10.4 + 6 = 46 n=5 ⇒ a5 = 10.5 + 6 = 56 Progressão Aritmética (PA) É uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão). Para calcularmos a razão de uma PA efetuamos a diferença entre um termo qualquer e seu anterior. Termo Geral de uma PA Para calcularmos qualquer termo de uma PA usamos a fórmula do termo geral: onde: an = representa o termo procurado a1 = representa o primeiro termo da PA n = representa o número de termos 1

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR

Matemática|Material de Apoio Prof. Altevir | https://www.facebook.com/altevir.rossicarneiro r = representa a razão da PA Principais Propriedades P1: Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma PA, dizemos que o termo b, central entre eles, é a média aritmética dos outros dois. P2: Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Fórmula da Soma dos Termos da PA

onde: Sn = representa a soma dos termos da PA a1 = representa o primeiro termo da PA an = representa o último termo a ser somado da PA n = representa o número de termos somados da PA Progressão Geométrica (PG) Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão). Para calcularmos a razão de uma PG dividimos um termo qualquer por seu antecessor. Fórmula do Termo Geral da PG

onde: an = representa o termo procurado a1 = representa o primeiro termo da PG q = representa a razão da PG n = representa o número de termos Principais Propriedades P1: Se três números quaisquer x, y, z são termos consecutivos de uma P.G, então o termo central é média geométrica dos outros dois. P2: Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos extremos. Fórmula da Soma dos Termos da PG Finita

onde: Sn = representa a soma dos termos da PG a1 = representa o primeiro termo da PG an = representa o último termo a ser somado da PG q = representa a razão da PG Fórmula da Soma dos Termos da PG Infinita Convergente

onde: 2

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR

Matemática|Material de Apoio Prof. Altevir | https://www.facebook.com/altevir.rossicarneiro S∞ = representa a soma dos infinitos termos da PG convergente a1 = representa o primeiro termo da PG q = representa a razão da PG

EXERCÍCIOS 01 (2016 / Banca: FCC / Órgão: SEGEP-MA) Na progressão geométrica 8/9;4/3;2;3;...,o primeiro termo que supera o número 11 é o termo que se encontra na posição de número a) 7. b) 10. c) 11. d) 9. e) 8. 02 (2014 / Banca: FCC / Órgão: METRÔ-SP) Os 8 primeiros termos de uma sequência numérica são, nessa ordem, , ...1/2, 3, 4/3, 7/4, 11/7, 18/11, 29/18, 47/29, ... Nessa sequência, a posição do termo cuja fração irredutível possui soma de numerador com denominador igual a 843 é: a) 13º b) 17º c) 16º d) 12º e) 10º 03 (2012 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 2ª REGIÃO / Prova: Técnico Judiciário) Considere que os termos da sucessão seguinte foram obtidos segundo determinado padrão. (20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...) Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e Y são o décimo e o décimo terceiro termos dessa sucessão, então a razão Y/X é igual a a) 44%. b) 48%. c) 56%. d) 58%. e) 64%. 04 (2011 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado critério:

Se x/y é o nono termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x + y é um número a) menor que 400. b) múltiplo de 7. c) ímpar. d) quadrado perfeito. e) maior que 500. 05 (2011 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Considere que os termos da sequência seguinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...) O décimo termo dessa sequência é a) 1537. b) 1929. 3

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR

Matemática|Material de Apoio Prof. Altevir | https://www.facebook.com/altevir.rossicarneiro c) 1945. d) 2047. e) 2319. 06 (2010 / Banca: FCC / Órgão: MPE-RS / Prova: Agente Administrativo) Considere as progressões aritméticas: P: (237, 231, 225, 219, ...) e Q: (4, 9, 14, 19, ...). O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da sequência P também localizado na posição n é igual a a) 22. b) 23. c) 24. d) 25. e) 26. 07 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TRE-AC / Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa) Considere que em 1990 uma Seção Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos - 18 do sexo feminino e 34 do sexo masculino - e que, a partir de então, a cada ano subsequente o número de mulheres inscritas nessa Seção aumentou de 3 unidades, enquanto que o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o número de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao número dos eleitores do sexo masculino em a) 2004. b) 2005. c) 2006. d) 2007. e) 2008. 08 (2010 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Segundo a Associação Brasileira de Franchising, o faturamento de franquias ligadas aos setores de saúde e bem estar quase dobrou de 2004 a 2009, pois neste período a receita total das empresas passou de 5 bilhões para 9,8 bilhões de reais. Se esse crescimento tivesse ocorrido de forma linear, a receita total das empresas desse setor, em bilhões de reais, teria sido de a) 5,34 em 2005. b) 6,92 em 2006. c) 7,44 em 2007. d) 8,22 em 2008. e) 8,46 em 2008. 09 (2010 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15o depósito, o total depositado por ela era a) R$ 4 700,00. b) R$ 4 800,00. c) R$ 4 900,00. d) R$ 5 000,00. e) R$ 5 100,00. 10 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 4ª REGIÃO / Prova: Analista Judiciário – Contabilidade) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como:

4

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR

Matemática|Material de Apoio Prof. Altevir | https://www.facebook.com/altevir.rossicarneiro

Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o "delta". Após ter gasto 2014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era a) 155. b) 152. c) 145. d) 143. e) 134. 11 (2010 / Banca: FCC / Órgão: AL-SP) A sequência de números inteiros (F1, F2, F3, ... , Fn-1, Fn , Fn+1, ...) cujos os termos são obtidos utilizando a lei de formação F1= F2= 1 e Fn = Fn-1 + Fn-2, para todo inteiro n ≥ 3, é chamada Sequência de Fibonacci - famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a a) 73 b) 69 c) 67 d) 63 e) 81 12 (2010 / Banca: FCC / Órgão: DNOCS / Prova: Administrador) A expressão

em que n é um número inteiro maior do que 3, é equivalente a a)

b)

c)

d)

e)

13 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TCE-SP) Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram dispostos segundo determinado padrão.

Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa tabela? a) 585 b) 623 c) 745 d) 816 e) 930 14 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TCE-SP) Seja a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) em que o termo geral an é dado pela lei:

5

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR

Matemática|Material de Apoio Prof. Altevir | https://www.facebook.com/altevir.rossicarneiro

Com base na informação dada, é verdade que a soma a4 + a6 é igual a a) 4,125. b) 4,2. c) 4,375. d) 4,5. e) 4,875. 15 (2007 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 1ª REGIÃO / Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contracapa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126 16 (2007 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 1ª REGIÃO / Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água. Entretanto, um furo em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então, às 18 horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros de água em seu interior. Considerando que o furo não foi consertado e não foi colocada água dentro do tanque, ele ficou totalmente vazio às a) 11 horas de 02/06/2007. b) 12 horas de 02/06/2007. c) 12 horas de 03/06/2007. d) 13 horas de 03/06/2007. e) 13 horas de 04/06/2007.

RESPOSTAS 1) E 6) B 11) A

2) A 7) C 12) B

3) C 8) B 13) C

4) D 9) E 14) E

5) D 10) E 15) C

16) B

6

WWW.FOCUSCONCURSOS.COM.BR