Matemática e Raciocínio Lógico - Aula 09

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Aula 09 Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas Pós-Edital

Autor: Guilherme Neves

Aula 09

15 de Julho de 2020

Guilherme Neves Aula 09

Sumário 1.

Conjuntos Numéricos e Operações ............................................................................................... 3

1.1.

Conjunto dos Números Naturais ............................................................................................. 4 Adição ............................................................................................................................... 5

1.1.1.

1.1.1.1. Propriedade comutativa ...................................................................................................... 6 1.1.1.2. Propriedade Associativa ...................................................................................................... 6 1.1.1.3. Existência do elemento neutro da adição ............................................................................. 6 1.1.1.4.

Propriedade do fechamento ............................................................................................ 7 Multiplicação ..................................................................................................................... 7

1.1.2.

..................................................................... 8 1.1.2.1. Propriedade Comutativa ................................ 1.1.2.2.

Propriedade Associativa .................................................................................................. 8

1.1.2.3.

Existência do elemento neutro da multiplicação ................................................................ 9

1.1.2.4.

Propriedade do fechamento ............................................................................................ 9

1.1.2.5.

Propriedade Distributiva .................................................................................................. 9

1.1.3.

Fatoração ........................................................................................................................ 14

1.1.4.

Quadrado Perfeito ............................................................................................................ 15

1.1.5.

Cubo Perfeito................................................................................................................... 16

1.1.6.

Quantidade de Divisores de um Número Natural ............................................................... 16

1.1.7.

Mínimo Múltiplo Comum .................................................................................................. 18

1.1.8.

Máximo Divisor Comum .................................................................................................... 21

1.1.8.1.

Método da Fatoração Simultânea ................................................................................... 22

1.1.8.2.

Algoritmo de Euclides ................................................................................................... 23

1.1.8.3.

Relação entre MMC e MDC ........................................................................................... 26

1.2.

Conjunto dos Números Inteiros ............................................................................................ 27

1.2.1.

Quantidade de números em uma sequência de inteiros consecutivos .................................. 29

1.2.2.

Quantidade de algarismos em uma sequência de naturais consecutivos ............................... 30

1.2.3.

Regras dos Sinais com Números Inteiros ............................................................................ 33

1.3.

Conjunto dos Números Racionais ......................................................................................... 34

1.3.1.

Dízimas Periódicas ............................................................................................................ 36

1.3.2.

Divisão ............................................................................................................................ 41

1.3.3.

Multiplicação envolvendo números decimais ...................................................................... 41

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1.3.4.

Divisão envolvendo números decimais ............................................................................... 42

1.3.5.

Subconjuntos Notáveis dos Racionais ................................................................................ 45

1.3.6.

Simplificação de Frações ................................................................................................... 45

1.3.7.

Adição e Subtração de Frações ......................................................................................... 47

1.3.8.

Multiplicação de Frações .................................................................................................. 49

1.3.9.

Divisão de Frações ........................................................................................................... 51

1.4.

Conjunto dos Números Irracionais ........................................................................................ 51 Aproximação de Raiz Quadrada ........................................................................................ 52

1.4.1. 1.5.

Conjunto dos Números Reais ............................................................................................... 54

1.5.1.

Reta Real ......................................................................................................................... 55

1.5.2.

Intervalos Reais ................................................................................................................ 55

1.5.3.

Potenciação ..................................................................................................................... 58

1.5.3.1.

Propriedades Operatórias das Potências ......................................................................... 60 Radiciação ....................................................................................................................... 65

1.5.4. 1.5.4.1.

Raízes de Índice Par ...................................................................................................... 66

1.5.4.2.

Raízes de Índice Ímpar ................................................................................................... 67

1.5.4.3.

Propriedades dos Radicais ............................................................................................. 67

1.5.4.4.

Potência de Expoente Racional ...................................................................................... 68

1.5.4.5.

Racionalização de Denominadores ................................................................................. 68

1.5.4.6.

Comparação de Radicais ............................................................................................... 70

2.

Lista de Questões de Concursos Anteriores ................................................................................. 72

3.

Gabaritos ................................................................................................................................ 110

4.

Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários .................................................... 113

5.

Considerações Finais ................................................................................................................ 215

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Oi, pessoal. Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! Hoje vamos estudar conjuntos numéricos e operações. Lembre-se que vocês podem me acompanhar com dicas diárias no meu instagram @profguilhermeneves.

1.

CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES

Não é possível escrever uma aula de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo desta aula. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números. O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: “Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indoeuropéias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los”. Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: “Os números governam o mundo”. Nesta capítulo, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.

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1.1. Conjunto dos Números Naturais

A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo: ℕ = {0,1,2,3 … } Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”. A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais. Caso haja necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N. ℕ∗ = {1,2,3,4 … } Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação. Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim. Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição. Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim. Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0. Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação. Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Não.

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Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração. Da mesma maneira, sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural). Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc. Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos.

1.1.1.

Adição

Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação. Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma. Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição. Definimos então a operação de adição: 𝑎, 𝑏 → 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 2 𝑐 → 𝑠𝑜𝑚𝑎 No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. Vejamos algumas propriedades importantes da adição.

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1.1.1.1.

Propriedade comutativa

Esta propriedade afirma que a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ∀ significa “para todo”. Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.

1.1.1.2.

Propriedade Associativa

A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parênteses. (2+3) + 5 = 5 + 5 = 10 2 + (3+5) = 2 + 8 = 10 Assim, (2+3)+5 = 2+(3+5).

1.1.1.3.

Existência do elemento neutro da adição

Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. 𝑎+0=0+𝑎 =𝑎 Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

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1.1.1.4.

Propriedade do fechamento

A soma de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Pretende adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural. Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc.

1.1.2.

Multiplicação

Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo: 3 × 4 = 12 Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o × 𝑜𝑢 ∙. Às vezes também é conveniente utilizar um asterisco para representar a multiplicação. Assim, 3 × 4 = 3 ∙ 4 = 3 ∗ 4 = 12. Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parênteses é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim, 3𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 3 ∙ 𝑎 Ou seja, 3𝑎 = 3 ∙ 𝑎 = 3 × 𝑎. Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo (𝑥 + 2)(𝑥 − 1). Observe que não há símbolo algum entre os parênteses do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parênteses. (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 1) = (𝑥 + 2) × (𝑥 − 1) Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos × 𝑒 ∙. Normalmente utilizaremos × quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos ∙ quando houver

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letras na expressão. Mas não se preocupe, pois você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize. Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas. 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 I

𝑎, 𝑏 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐 → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜

Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.

1.1.2.1.

Propriedade Comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto. É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12. Desta forma, podemos afirmar que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ. Lembre-se que 𝑎𝑏 significa a vezes b. Ou seja, 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 2 × 7 = 14 M 2 × 7 = 7 × 2 7 × 2 = 14

1.1.2.2.

Propriedade Associativa

A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores. (3 ∙ 4) ∙ 5 = 12 ∙ 5 = 60 P (3 ∙ 4) ∙ 5 = 3 ∙ (4 ∙ 5) 3 ∙ (4 ∙ 5) = 3 ∙ 20 = 60

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1.1.2.3.

Existência do elemento neutro da multiplicação

Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: 𝑎∙1=1∙𝑎 =𝑎 Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

1.1.2.4.

Propriedade do fechamento

O produto de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Pretende multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural. Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc. Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.

1.1.2.5.

Propriedade Distributiva

Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 ∙ (3 + 5). Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parênteses, no caso, 2 ∙ 3 + 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 ∙ 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 ∙ 3 + 5 = 6 + 5 = 11.

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Mas no nosso caso há os parênteses. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parênteses. 2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 8 = 16 A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 ∙ (3 + 5) podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. 2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16 Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”. Por exemplo, a expressão 2 ∙ (𝑥 + 3) pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 2 ∙ (𝑥 + 3) = 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 3 = 2 ∙ 𝑥 + 6

Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” MARRA +MARRA TORTA Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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e) maior que 85000. Comentário

Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos. Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A+A=A. Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo? Só pode ser o número zero. Tem-se, então, que A=0. Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.

Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R+R e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10). Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5. Será que R = 6? Vejamos o que acontece. Lembre-se que 6 + 6 =12.

Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que

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“subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6. Chega-se a conclusão de que R=9.

Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:

Logo, MARRA=81980. Gabarito: D

Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11

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c) 12 d) 13 e) 14 Comentário

Foquemos na tabuada do 3. 3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12, 3 x 5 = 15, 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21, 3 x 8 = 24, 3 x 9 = 27 Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, C =8. Como 3 x 8 = 24, ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.

O produto 3.B deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 x 2 = 6.

Finalmente, o número A deve ser tal que 3.A termine em 2. Portanto, A = 4.

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Como A = 4, B = 2, e C = 8, temos que A + B + C = 14. Gabarito: E.

1.1.3.

Fatoração

Fatorar um número natural significa transformá-lo em um produto de números primos. Número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais. Os números primos naturais são {2,3,5,7,11,13,...}. É muito importante saber fatorar números naturais. Qual é o procedimento? Imagine que queremos fatorar o número 360. Fique na mente com os primeiros números primos. Tem algum número primo naquela lista que divide 360? Sim! O número 2 divide 360 e o quociente é 180. Repita o procedimento até encontrar o quociente 1. 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

Observe a coluna da direita: o produto destes números é exatamente 360. Portanto, a fatoração prima de 360 é 23 x 32 x 51.

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Vamos fazer novamente. Fatore 784. 784 392 196 98 49 7 1

2 2 2 2 7 7

Assim, a fatoração prima de 784 é 24 x 72. Observação: Um número é par quando 2 faz parte de sua fatoração prima. Caso 2 não figure na fatoração prima, o número será ímpar. Por exemplo: 34 x 53 é um número ímpar, enquanto 27x32 é um número par. Verifique na calculadora!

1.1.4.

Quadrado Perfeito

Um número é quadrado perfeito quando ele é igual ao quadrado de um número natural. É igualmente verdade dizer que um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes de sua fatoração prima forem números pares. 9 é um quadrado perfeito porque 32 = 9. Neste caso, dizemos que a raiz quadrada de 9 é igual a 3, ou seja, √9 = 3. 121 é um quadrado perfeito porque 112 = 121. Neste caso, √121 = 11. 26 x 38 x 54 é um quadrado perfeito porque todos os expoentes da fatoração prima são números pares. Para calcular sua raiz quadrada, basta dividir todos os expoentes por 2. Assim, √2T ∙ 3U ∙ 5V = 2W ∙ 3V ∙ 5X .

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1.1.5.

Cubo Perfeito

Um número é cubo perfeito quando ele é igual ao cubo de um número natural. É igualmente verdade dizer que um número é cubo perfeito quando todos os expoentes de sua fatoração prima forem múltiplos de 3. 8 é um cubo perfeito porque 23 = 8. Neste caso, dizemos que a raiz cúbica de 8 é igual a 2, ou Y seja, √8 = 2. Y

64 é um cubo perfeito porque 43 = 64. Neste caso, √64 = 4. 26 x 312 x 59 é um cubo perfeito porque todos os expoentes da fatoração prima são múltiplos de Y 3. Para calcular sua raiz cúbica, basta dividir todos os expoentes por 3. Assim, √2T ∙ 3ZX ∙ 5[ = 2X ∙ 3V ∙ 5W .

1.1.6.

Quantidade de Divisores de um Número Natural

Depois que temos a fatoração prima de um número, é muito fácil calcular a sua quantidade de divisores. Vejamos um exemplo com um número pequeno. Os divisores naturais de 12 são {1,2,3,4,6,12}. São 6 divisores naturais. Observe a fatoração prima de 12. 12 6 3 1

2 2 3

12 = 22 x 31. A regra é a seguinte. Para calcular a quantidade de divisores, adicione 1 a cada expoente e multiplique os resultados. Neste exemplo, temos que a quantidade de divisores de 12 é (2+1)*(1+1) =3*2 = 6.

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Esta regra é facilmente explicada pelo princípio fundamental da contagem (assunto de Análise Combinatória). E em casos como 16 = 24, que só tem um fator primo? Basta adicionar 1 ao expoente. Portanto, 16 tem 4 + 1 = 5 divisores. São eles {1,2,4,8,16}. Vejamos mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 60. 60 30 15 5 1

2 2 3 5

Portanto, 60 = 22 . 31 . 51 A quantidade de divisores naturais é (2+1)(1+1)(1+1) = 12.

Mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 125. 125 25 5 1

5 5 5

Como 125 = 53, então 125 possui 3+1 = 4 divisores.

(FCC 2016/Técnico Judiciário – TRF 3ª Região 2016) A diferença entre o menor número natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número natural par, também com cinco divisores positivos distintos, é igual a

(A) 39. (B) 27.

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(C) 83. (D) 65. (E) 41. Comentário

Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima. Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 34 = 81 (observe que devemos adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores). O menor número par com 5 divisores é 24 = 16. A diferença entre eles é 81 – 16 = 65. Gabarito: D

1.1.7.

Mínimo Múltiplo Comum

Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do conjunto dos números naturais pelo número 4. 4×0=0 4×1=4 4×2=8 4 × 3 = 12 4 × 4 = 16 ⋮ Os múltiplos de 4 são {0,4,8,12,16,20,24, … }. Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos. Devemos nos lembrar dos seguintes fatos:

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è O zero é múltiplo de qualquer número. è Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo. è O único múltiplo de zero é o próprio zero. O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Qual o m.m.c. entre 8 e 12? 𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 8 = {0,8,16, 𝟐𝟒, 32,40, 𝟒𝟖, 56,64, 𝟕𝟐, 80, … } 𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 12 = {0,12, 𝟐𝟒, 36, 𝟒𝟖, 60, 𝟕𝟐, 84, … }

Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os múltiplos comuns não-nulos, o menor é 24. Portanto, 𝑚𝑚𝑐(8,12) = 24. Normalmente os problemas envolvendo mmc são aqueles que surgem periodicidades. Por exemplo: Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa Manuella folga no seu trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje, quando folgarão juntos novamente? A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24 dias. Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a PRÓXIMA vez em que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi anteriormente, percebemos que eles também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias, etc. Normalmente, utilizamos o método da fatoração simultânea para calcular o mmc. Vejamos: mmc(8,12) = ?

8, 12

Devemos pensar em um número que divida algum deles. Que tal 2?

8, 12 2 4, 6 Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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Continuando...

8, 12 2 4, 6 2 2, 3

Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar a fatoração. Dividindo por 2 (repetimos o 3).

8, 12 2 4, 6 2 2, 3 2 1, 3

E agora dividimos por 3.

8, 12 2 4, 6 2 2, 3 2 1, 3 3 1, 1

Desta forma, 𝑚𝑚𝑐(8,12) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 Caso você tenha a fatoração prima dos números, o MMC é o produto dos fatores comuns elevados aos maiores expoentes e dos fatores não-comuns. Vejamos um exemplo. Qual o MMC entre 24x35x112 e 23x37x51? Quais são os fatores comuns? 2 e 3. Coloquei até em vermelho para que você perceba.

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Observe que no número da esquerda o expoente de 2 é 4 e no número da direita o expoente de 2 é 3. Pois bem, escolha o MAIOR expoente, beleza? Assim, no MMC o expoente de 2 será 4. Da mesma maneira, o expoente de 3 no MMC será 7. Os fatores que não são comuns também vão entrar na resposta. Portanto, o MMC entre os números dados é 24x37x51x112.

1.1.8.

Máximo Divisor Comum

Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do primeiro. Desta forma temos que: 15 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 3 3 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 15 O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os divisores do número em questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é: 𝐷T = {1,2,3,6} O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.). Qual é o m.d.c. entre 8 e 12? Vamos listar os divisores de cada número. 𝐷U = {𝟏, 𝟐, 𝟒, 8} 𝐷ZX = {𝟏, 𝟐, 3, 𝟒, 6,12} Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os divisores comuns, qual é o maior? A resposta é 4. Portanto, 𝑚𝑑𝑐(8,12) = 4. Se mdc(x,y) = 1, dizemos que x e y são primos entre si (ou co-primos). Isto significa dizer que apenas o número 1 divide x e y simultaneamente. Observe que é possível que x e y sejam primos entre si, mesmo que x e y não sejam primos. Por exemplo, mdc(8,9) = 1, ou seja, 8 e 9 são primos entre si, mas 8 não é primo e 9 não é primo.

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Observe, por exemplo, que a fração 8/9 é irredutível, pois o único divisor comum entre 8 e 9 é o número 1. Assim, sempre que mdc(x,y) = 1, a fração x/y é irredutível. Vamos aprender dois métodos para calcular MDC.

1.1.8.1.

Método da Fatoração Simultânea

Vamos calcular o 𝑚𝑑𝑐(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números. Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2?

84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30.

84, 144 , 60 2 42, 72 , 30

Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15.

84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 2 21, 36, 15

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Pense em um número que divida 21, 36 e 15. 21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5.

84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 2 21, 36, 15 3 7, 12, 5

Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. Vamos agora aprender o chamado Algoritmo de Euclides.

1.1.8.2.

Algoritmo de Euclides

Vamos começar com um exemplo bem fácil. Calculemos o MDC(20,25). Estes números são “simpáticos”. Poderíamos utilizar o método da fatoração simultânea, mas vou utilizá-los para ensinar o algoritmo de Euclides. O Algoritmo de Euclides pode requisitar muitas divisões sucessivas (ele também é chamado de Método das Divisões Sucessivas) até que se chegue ao resto zero (sempre se chegará!). Por conta disso, é melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores e deixa espaço para os próximos, caso sejam necessários. Para começar, monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):

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Na grade, insira os números envolvidos na linha do meio (vou manter os números do nosso exemplo inicial). Assim,

25

20

Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de 25 por 20, o quociente é 1. Ficamos com: 1 25

20

O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão de 25 por 20 o resto é 5.

1 25

20

5

Como o resto não foi igual a 0, copiamos o resto (5) ao lado do 20, na próxima casa. Repete-se todo o processo anterior, lembrando que agora devemos dividir 20 por 5. 1 25

20

5

5

Na divisão de 20 por 5, o quociente é 4 e o resto é 0. Registre assim: 1

4

25

20

5

5

0

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Como o resto é 0, você para! O MDC será o último divisor utilizado. No nosso caso, o MDC é 5.

Vamos fazer mais um exemplo: Calcule MDC(117,81). Resolução

Comece construindo a grade para efetuar a divisão de 117 por 81.

117

81

Na divisão de 117 por 81, o quociente é 1 e o resto é 36. Registre assim: 1 117

81

36

Como o resto foi diferente de 0, copiamos o resto (36) ao lado do 81. 1 117

81

36

36

Devemos agora dividir 81 por 36. Nesta divisão, o quociente é 2 e o resto é 9. Registre assim na tabela: 1

2

117

81

36

36

9

Como o resto é diferente de 0, devemos copiá-lo ao lado de 36.

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1

2

117

81

36

36

9

9

Devemos agora dividir 36 por 9. Nesta divisão, o quociente é 4 e o resto é 0. Pode parar! 1

2

4

117

81

36

9

36

9

0

Como o resto é 0, então o MDC é o último divisor utilizado. Portanto, MDC(117,81) = 9.

1.1.8.3.

Relação entre MMC e MDC

Qual é a relação entre o MMC e o MDC de DOIS números naturais? A propriedade seguinte é válida para apenas dois números. Se temos dois números naturais x e y, é válida a seguinte relação: 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑚𝑚𝑐(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) Ou seja, o produto entre o MMC e o MDC é igual ao produto entre os próprios números! Por exemplo: mmc(6,8) = 24 e mdc(6,8) = 2. 6 x 8 = 48 mmc(6,8) x mdc(6,8) = 24 x 2 = 48

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1.2. Conjunto dos Números Inteiros

Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais. Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão). Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Dizemos que o número – 𝑥 é o simétrico ou oposto do número 𝑥. Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de −5.

Neste conjunto 𝑍 destacam-se os seguintes subconjuntos: (1) Conjunto 𝑍 ∗ dos inteiros não nulos (diferentes de zero): 𝑍 ∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≠ 0} = {… − 3, −2, −1,1,2,3, … } (2) Conjunto 𝑍o dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): 𝑍o = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≤ 0} = {… − 3, −2, −1,0} (3) Conjunto 𝑍q dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): 𝑍q = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 ≥ 0} = {0,1,2,3,4 … } (4) Conjunto 𝑍o∗ dos inteiros negativos (menores que zero): 𝑍o∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 < 0} = {… − 3, −2, −1} (5) Conjunto 𝑍q∗ dos inteiros positivos (maiores que zero): 𝑍q∗ = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥 > 0} = {1,2,3,4 … }

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Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.

Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: 5 + (−5) = 0 2 + (−2) = 0 −3 + 3 = 0 Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) 𝑎 → 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 u → 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 → 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro. Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros, ou seja, ℕ ⊂ ℤ.

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1.2.1.

Quantidade de números em uma sequência de inteiros consecutivos

Imagine que você precisa ler da página 354 até a página 678 de um livro. Quantas páginas você lerá? Fazendo uma pergunta mais técnica: quantos números há no conjunto {354, 355, 356, 357, ..., 678}? A maneira mais rápida de responder esta pergunta é assim: subtraia o maior número do menor e adicione 1. No nosso exemplo, 678 - 354 + 1 = 325. Portanto, você lerá 325 páginas. Por que devemos adicionar 1? Ora, quando subtraímos 678 - 354, estamos excluindo o número 354. Devemos adicionar 1 para que ele volte à nossa contagem.

(BIORIO 2014/NUCLEP) O capítulo III de um livro começa na página 187 e vai até a página 235. João resolveu ler o capítulo todo num único dia. João gasta em média 4 minutos e meio para ler uma página. Para cumprir a resolução ele gastará:

(A) 3h 36min. (B) 3h 40min 30s. (C) 3h 45min. (D) 3h 49min 30s. (E) 3h 54min. Comentário Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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O primeiro passo é saber o número de páginas. O capítulo III de um livro começa na página 187 e vai até a página 235. Desta maneira, o capítulo III possui 235 – 187 + 1 = 49 páginas. Ele gasta 4,5 minutos para ler uma página. Portanto, para ler as 49 páginas ele levará 49 x 4,5 = 220,5 minutos = 220 min 30 s = 3 horas 40 min 30s Gabarito: B

1.2.2.

Quantidade de algarismos em uma sequência de naturais consecutivos

Vamos resolver o seguinte problema. Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro? a) 327 b) 339 c) 342 d) 345 e) 350 Resolução

Da página 1 até a página 9 há 9 – 1 + 1 = 9 páginas. Como cada página neste intervalo possui 1 algarismo, são usados 9 x 1 = 9 algarismos.

Da página 10 até a página 99 são 99 – 10 + 1 = 90 páginas. Como cada página neste intervalo possui 2 algarismos, são usados 90 x 2 = 180 algarismos.

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Da página 100 até a página 150 são 150 – 100 + 1 = 51 páginas. Como cada página neste intervalo possui 3 algarismos, são usados 51 x 3 = 153 algarismos.

Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos.

Gabarito: C

Vamos produzir um resultado geral para problemas neste estilo. Suponha que o número de páginas de um livro é P tal que 100 ≤ P ≤ 999.

Quantos algarismos são utilizados na numeração das páginas deste livro?

Da página 1 até a página 9 são utilizados 9 x 1 = 9 algarismos. Da página 10 até a página 99 são utilizados 90 x 2 = 180 algarismos. Da página 100 até a página de número P, temos P – 100 + 1 = P – 99 páginas. Como cada página tem 3 algarismos, são utilizados 3(P – 99) algarismos.

O total de algarismos A é igual a 9 + 180 + 3(P – 99).

𝐴 = 9 + 180 + 3(𝑃 − 99) 𝐴 = 189 + 3𝑃 − 297 𝐴 = 3𝑃 − 108

Assim, se o problema fornecer a quantidade de páginas, basta multiplicar esta quantidade por 3 e subtrair 108 para calcular a quantidade de algarismos utilizados na numeração do livro.

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No exemplo anterior, temos:

𝐴 = 3 × 150 − 108 = 342 Podemos também isolar P na expressão acima.

𝐴 + 108 = 3𝑃

𝑃=

𝐴 + 108 3

Com esta expressão, podemos calcular a quantidade de páginas de um livro, sendo dada a quantidade de algarismos utilizados em sua numeração, sendo o número de páginas 100≤P≤999.

No caso, a fórmula acima é válida se a quantidade de algarismos A for tal que 192≤A≤2889.

Se o número de páginas for superior a 999 (1.000≤P≤9.999), as fórmulas acima tomam as seguintes formas:

𝐴 = 4𝑃 − 1.107

𝑃=

𝐴 + 1.107 4

A demonstração é análoga.

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Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos, então N é igual a

(A) 235 (B) 244 (C) 245 (D) 254 (E) 255 Comentário

Basta utilizar a relação que que desenvolvemos. 𝑁= 𝑁=

𝐴 + 108 3

657 + 108 = 255 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎𝑠 3

Gabarito: E

1.2.3.

i) ii) iii)

Regras dos Sinais com Números Inteiros

– (– a) = a a. (–b) = (–a).b = –(a.b) = –a.b (–a)( –b) = ab

As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.

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Sinais dos números

Resultado

iguais

positivo

diferentes

negativo

Exemplos:

Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros. Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal. +2 + 3 = +5 −2 − 3 = −5 Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior. +5 − 2 = +3 −5 + 2 = −3

1.3. Conjunto dos Números Racionais

Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.

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𝑝 ℚ = 2𝑞 ~𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ∗ M O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração. O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração. Todos os números naturais são números racionais (ℕ ⊂ ℚ), pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 2=

2 1

Todos os números naturais e todos os números inteiros são números racionais (ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ), pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. −2 =

−2 1

Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma: −2 2 2 = = − = −2 1 −1 1 Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais. Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; −3,0154. Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos: i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula. ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais. 1,47 =

147 100

2,513 =

2.513 1.000

−3,0154 =

−30.154 10.000

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Observação: O conjunto dos números racionais goza da propriedade da densidade. Isso significa que entre dois números racionais quaisquer existem infinitos outros números racionais.

1.3.1.

Dízimas Periódicas

Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais periódicas. Em outra palavras, é preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos: 0,14141414141414141414141414141414141414141414 …. Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes. 32,021𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒𝟔 … Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes. Os Matemáticos adoram inventar abreviações, notações e símbolos. A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto, ‚‚‚‚‚ 32,021546546546546546 … = 32,021546 Muito mais simples, não? A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações? Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples e eficiente por vários razões: i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?

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ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não? iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica? Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851 … O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente. ‚‚‚‚‚ 3,12851851851 … = 3,12851 Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, 𝑁𝐶 = 312.851. Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra (não coloque a vírgula). No nosso exemplo, 𝑁𝐹𝐵 = 312. Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número 𝑁𝐶 − 𝑁𝐹𝐵. Por enquanto, nossa fração está assim: ‚‚‚‚‚ = 3,12851

312.851 − 312

E como fica o denominador? Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 algarismos embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os algarismos embaixo da barra. Como são 3 algarismos embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador. ‚‚‚‚‚‚ = 3,12𝟖𝟓𝟏

312.851 − 312 𝟗𝟗𝟗

Pronto? Ainda não. Vamos olhar agora para os algarismos que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? Dois algarismos. A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra.

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‚‚‚‚‚‚ = 3, 𝟏𝟐𝟖𝟓𝟏

312.851 − 312 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎

Agora é só simplificar o numerador. ‚‚‚‚‚ = 3,12851

312.851 − 312 312.539 = 99.900 99.900

Exemplo: Calcule a fração geratriz do número 0,666666 … Vamos colocar na notação da barra. ‚ 0,666 … = 0, 6 𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 6 𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0 Quantos algarismos há na barra? Apenas um. Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum. Portanto, não colocamos zeros no denominador. 0,666 … =

6−0 6 2 = = 9 9 3

Exemplo: Transforme em fração o número 0,13434343434 … Vamos colocar na notação da barra. ‚‚‚‚ 0,1343434 … = 0,134 𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 134 𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 1 Quantos algarismos há na barra? Dois. Portanto, colocamos dois 9’s no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um. Portanto, colocamos um zero no denominador.. 0,1343434 … =

134 − 1 133 = 990 990

Exemplo: Transforme em fração o número 0,999 … Vamos colocar na notação da barra.

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‚ 0,999 … = 0, 9 𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 9 𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0 Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador. 0,999 … =

9−0 9 = =1 9 9

Portanto, 0,999 … = 1 Observe que 0,99999999999... não é aproximadamente 1. Este número é igual a 1. A bem da verdade, 0,999 … e 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes.

A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92 Comentário

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Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra. ‚‚‚‚ 0,011363636 … = 0,01136 𝑁𝐶 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 = 1.136 𝑁𝐹𝐵 → 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 11 Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador. ‚‚‚‚ = 0,01136

1.136 − 11 1.125 = 99.000 99.000

A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5. 1.125 225 = 99.000 19.800 Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes. 225 45 9 = = 19.800 3.960 792 Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9. 9 1 = 792 88 Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível. 0,011363636 … =

1 88

A questão pede para efetuar 𝑚 + 𝑛 onde 𝑚 = 1 𝑒 𝑛 = 88. 𝑚 + 𝑛 = 1 + 88 = 89 Gabarito: B

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1.3.2.

Divisão

ìD ® dividendo ï ïd ® divisor D | d ou D = d × q + r í ïq ® quociente r q ï îr ® resto Exemplo: 38 | ___9__ 2 4

Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 ∙ 4 + 2 = 38. Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata. É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0. Assim, não há sentido na fração 5/0.

1.3.3.

Multiplicação envolvendo números decimais

Basta multiplicar os números como se não houvesse casas decimais. Depois você conta todas as casas decimais e coloca a mesma quantidade na resposta.

Exemplo: 23,1 x 1,234

Primeiro, vamos multiplicar os números sem levar em consideração as casas decimais. 231 x 1.234 = 285.054

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E as casas decimais? 23,1 tem UMA casa decimal; 1,234 tem TRÊS casas decimais. A resposta terá 1 + 3 = 4 casas decimais. Portanto, 23,1 x 1,234 = 28,5054.

1.3.4.

Divisão envolvendo números decimais

O primeiro passo é igualar a quantidade de casas decimais do dividendo e do divisor. Depois é só apagar as vírgulas. Exemplo: 80,4 / 0,00025 O número 80,4 tem apenas uma casa decimal. O número 0,00025 tem cinco casas decimais. O que fazer? Vamos acrescentar zeros no número que tem menos casas decimais até que os dois números possuam a mesma quantidade de casas decimais. No caso, para que 80,4 também tenha cinco casas decimais, devemos acrescentar 4 zeros. 80,4 = 80,40000 A nossa divisão fica assim: 80,4 / 0,00025 = 80,40000 / 0,00025 Agora é só apagar as vírgulas. 8.040.000 / 25 = 321.600

Outra dica importante: nem sempre você precisa efetuar a conta completamente… Vejamos um exemplo. Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês? a) R$ 7.455,96

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b) R$ 7.600,00 c) R$ 7.982,12 d) R$ 8.270,45 e) R$ 9.000,00

Não vamos entrar nos méritos da Matemática Financeira aqui. Ao resolver esta questão, nos deparamos com a seguinte divisão no final dos cálculos:

100.000 / 13,412090 Observe que as alternativas são bem diferentes! Vamos truncar as casas decimais. Farei a seguinte divisão: 100.000/ 13,4 Como 13,4 tem uma casa decimal, então acrescentaremos uma casa decimal em 100.000 e depois apagamos as vírgulas. 100.000,0 / 13,4 = 1.000.000 / 134 Vamos efetuar a divisão. Como 7 x 134 = 938, então o primeiro algarismo do quociente é 7. O resto, por enquanto, é igual a 1.000 – 938 = 62. Já podemos descartar as alternativas D e E. 1.000’.000 / 62

134

.

7

Agora baixamos um zero. 1.000’.0’00 / 620

134

.

7

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620 dividido por 134 dá 4 e algum resto. 1.000’.0’00 / 620

134

.

74

Olhe para as alternativas e adivinhe a resposta a) R$ 7.455,96 b) R$ 7.600,00 c) R$ 7.982,12 d) R$ 8.270,45 e) R$ 9.000,00

Letra A. Isto mesmo! Está vendo como foi fácil?

Considere 𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑 e 𝒃 = 𝟑. 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões. b) cento e vinte bilhões. c) um bilhão e duzentos milhões. d) cento e vinte milhões. e) um milhão, cento e vinte mil. Comentário

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Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”. 𝑏 3.600.000,00000 360.000.000.000 = = = 120.000.000.000 𝑎 0,00003 3 Gabarito: B

1.3.5.

Subconjuntos Notáveis dos Racionais

Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los: (1) Conjunto ℚ∗ dos racionais não nulos (diferentes de zero): ℚ∗ = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≠ 0} (2) Conjunto ℚo dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero): ℚo = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≤ 0} (3) Conjunto ℚq dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero): ℚq = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≥ 0} (4) Conjunto ℚ∗o dos racionais negativos (menores que zero): ℚ∗o = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 < 0} (5) Conjunto ℚ∗q dos racionais positivos (maiores que zero): ℚ∗q = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 > 0}

1.3.6.

Simplificação de Frações

Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Por exemplo, a fração 6/8 pode ser simplificada por 2.

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6:2 = 3 e 8:2 = 4. Portanto, 6/8 = 3/4. Às vezes, não conseguimos pensar em bons números para simplificar de uma vez só. Por exemplo, vamos simplificar 48/60. Se você consegue perceber que 48 e 60 são divisíveis por 12, ótimo! 48:12 = 4 e 60:12 =5. Portanto, 48/60 = 4/5. Caso você não perceba, vá simplificando aos poucos: 48 24 12 4 = = = 60 30 15 5 No caso, simplifiquei por 2, por 2 e depois por 3. O ideal é simplificar pelo MDC. Veja o próximo exemplo.

Exemplo: Simplifique a fração 851/1.147. Para simplificar esta fração, devemos pensar em um número que divida 851 e 1.147. Para ter menos trabalho e simplificar a fração de uma só vez, devemos calcular o MDC. A grade do algoritmo de Euclides ficará assim: 1

2

1

7

1.147

851

296

259

37

296

259

37

0

Portanto, MDC(1.147,851) = 37. A fração 851/1.147 deve ser simplificada por 37. 851 dividido por 37 é igual a 23. 1.147 dividido por 37 é igual a 31. Resposta

𝟖𝟓𝟏 𝟐𝟑 = 𝟏. 𝟏𝟒𝟕 𝟑𝟏

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1.3.7.

Adição e Subtração de Frações

Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações de mesmo denominador, devemos repetir os denominadores e operar com os numeradores. Exemplos: 4 3 1 4+3−1 6 + − = = 5 5 5 5 5

2 6 5 2−6+5 1 − + = = 7 7 7 7 7

1 4 8 1 + 4 − 8 −3 −1 + − = = = 9 9 9 9 9 3

Observe que a fração do último exemplo foi simplificada. É importante notar que o resultado do último exemplo pode ser escrito de três maneiras. −1 1 1 =− = 3 3 −3 Sendo as duas primeiras formas as mais comuns. Em outras palavras: em uma fração negativa, o sinal de “menos” pode ser colocado no numerador, no denominador, ou à esquerda da fração. Se os denominadores forem diferentes, vamos seguir os seguintes passos: i)

Calcular o MMC dos denominadores. Substituiremos todos os denominadores por este MMC. Dividiremos o MMC por cada denominador e multiplicaremos o resultado pelo numerador. O resultado desta multiplicação será o novo numerador de cada fração.

ii)

Exemplo: 5 2 7 − + 6 9 12 O primeiro passo é calcular o MMC entre 6,9 e 12. Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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6,9,12 3,9, 6 3,9, 3 1,3, 1 1,1, 1

2 2 3 3

Desta maneira, MMC(6,9,12) = 2x2x3x3 = 36. Vamos substituir todos os denominadores por 36. 5 2 7 − + = − + 6 9 12 36 36 36 Também é correto escrever uma única fração com denominador 36. 5 2 7 − + = 6 9 12 36 Em cada fração, vamos dividir o MMC, que é 36, pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador. Primeira fração: dividimos 36 por 6 e multiplicamos o resultado por 5. 36/6 = 6 e 6x5 = 30. Este será o novo denominador da primeira fração. Segunda fração: dividimos 36 por 9 e multiplicamos o resultado por 2. 36/9 = 4 e 4x2 = 8. Este será o novo numerador da segunda fração. Terceira fração: dividimos 36 por 12 e multiplicamos o resultado por 7. 36/12 = 3 e 3x7 = 21. Este será o novo numerador da terceira fração. 5 2 7 30 8 21 − + = − + 6 9 12 36 36 36 Agora estamos no caso anterior: adição e subtração de frações com mesmo denominador. Repetiremos os denominadores e operaremos com os numeradores. 5 2 7 30 8 21 30 − 8 + 21 43 − + = − + = = 6 9 12 36 36 36 36 36 Exemplo: 3 5 7 + − 8 12 16 Primeiro passo: calcular MMC(8,12,16).

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8,12,16 4, 6, 8 2, 3, 4 1, 3, 2 1, 3, 1 1,1, 1

2 2 2 2 3

Portanto, MMC(8,12,16) = 2x2x2x2x3 = 48. Este será o novo denominador. Vamos agora dividir 48 por cada denominador e multiplicar o resultado pelos respectivos numeradores. 3 5 7 18 20 21 17 + − = + − = 8 12 16 48 48 48 48

1.3.8.

Multiplicação de Frações

Para multiplicar frações, não precisamos ter denominadores iguais. Basta multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores. 2 4 8 × = 3 7 21 Se a multiplicação for entre um número inteiro e uma fração, o número inteiro multiplicará o numerador da fração. 2×

5 10 = 7 7

Isso porque 2 = 2/1. Sempre que for possível, simplifique as frações antes de multiplicar. Desta forma, você terá bem menos trabalho. O detalhe é que qualquer numerador pode ser simplificado com qualquer denominador, se possível. 9 21 5 ∙ ∙ 14 6 8 Observe que 14 e 21 podem ser simplificador por 7. Ademais, 9 e 6 podem ser simplificados por 3.

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9 21 5 3 3 5 45 ∙ ∙ = ∙ ∙ = 14 6 8 2 2 8 32

(FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a

(A) 3,072072072 ... (B) 3,636363 ... (C) 3,121212 ... (D) 3,252525 ... (E) 3,111... Comentário

A = 8/3 B = 15/7 C = 14/22 Queremos o produto ABC. 8 15 14 ⋅ ⋅ 3 7 22 Vamos simplificar. 15/3 = 5, 14/7 = 2 e podemos simplificar 8 e 22 por 2. 4 5 2 40 ⋅ ⋅ = 1 1 11 11 Agora é só dividir 40 por 11. 40/11 = 3,636363636363... Gabarito: B

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1.3.9.

Divisão de Frações

Para dividir frações, devemos repetir a primeira fração e multiplicar pelo recíproco (fração invertida) da segunda. Exemplo: 2 5 2 9 ÷ = × 3 9 3 5 Observe que agora podemos simplificar 9 e 3 por 3. 2 5 2 9 2 3 6 ÷ = × = × = 3 9 3 5 1 5 5 Exemplo: 8÷

3 16 128 =8× = 16 3 3

Exemplo: 16 16 1 ÷8= × 3 3 8 Observe que 16 e 8 podem ser simplificados por 8. 16 16 1 2 1 2 ÷8= × = × = 3 3 8 3 1 3

1.4. Conjunto dos Números Irracionais

Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais. Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais. Alguns exemplos famosos: √2 = 1,4142135 …

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𝜋 = 3,1415926535 … 𝑒 = 2,718281 … 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜𝑤𝑛𝑒 = 0,12345678910111213141516 … A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑝𝑒𝑟𝑙𝑎𝑛𝑑 − 𝐸𝑟𝑑ö𝑠 = 0,235711131719 … A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟𝑜𝑛𝑖 = 𝛾 = 0,5772156649 … Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros. De uma maneira geral, a raiz quadrada de um número natural que não é quadrado perfeito é um número irracional. Vamos agora aprender um método para aproximar raízes quadradas de tais números.

1.4.1.

Aproximação de Raiz Quadrada

Certamente em algum momento da sua vida você deve ter se deparado com o cálculo de alguma raiz quadrada. Seja em equações do segundo grau, seja para calcular o desvio-padrão em Estatística ou em outros inúmeros casos. O método que julgamos mais simples e eficaz para a obtenção de uma boa aproximação no cálculo de raízes quadradas chama-se Método de Newton-Raphson. O método de complicado só tem o nome. Isaac Newton não precisa de apresentações. Para ilustrar um pouco da sua importância na história da ciência, suas realizações foram expressas poeticamente por Alexandre Pope nos versos A Natureza e as Leis da Natureza jaziam ocultas na noite; Deus disse, “Faça-se Newton”; e a luz se fez.

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Em 1690, Joseph Raphson, um membro da Royal Society de Londres, publicou um opúsculo, Analysis aequationum universalis, que, essencialmente, descreve o método de Newton. Por essa razão. Esse método é hoje muitas vezes conhecido como Método de Newton-Raphson. Na realidade, o que vamos ensinar neste tópico é apenas um caso particular do método. Ensinaremos como calcular uma BOA APROXIMAÇÃO de raízes quadradas. Em geral, a raiz quadrada será “transformada” em uma fração. Para começar o método, você deve procurar o quadrado perfeito mais próximo do número em questão. Por exemplo, se estamos querendo calcular a raiz quadrada de 87, então o quadrado perfeito mais próximo é 81 (92). O método é descrito da seguinte maneira: √𝑎 ≈

𝑎 + 𝑥X 2𝑥

Em que x2 é o quadrado perfeito mais próximo de a. Vamos interpretar cada termo dessa fração. O numerador é formado por uma soma de dois números: o próprio número e o quadrado perfeito mais próximo. Já no denominador, você vai multiplicar a raiz quadrada do quadrado perfeito por 2. Por exemplo, se o quadrado perfeito mais próximo for 81 (9x9), então 81 que é o quadrado perfeito vai para o numerador e 9 vai para o denominador. Por exemplo, vamos calcular um valor aproximado para a raiz quadrada de 67. Qual o quadrado perfeito mais próximo de 67? Lembre-se que 8x8=64; o quadrado perfeito mais próximo de 67 é 64. Some esses dois números e coloque no numerador.

A raiz quadrada de 64 é 8. Multiplique esse número por 2 e coloque no denominador. A aproximação ficará assim:

√67 ≈

67 + 64 ≈ 8,18 2∙8

Na calculadora encontramos 8,1853... Obtivemos uma excelente aproximação.

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Vejamos outro exemplo: Calcule um valor aproximado para a raiz de 129,4. Qual o quadrado perfeito mais próximo de 129,4? A resposta é 121 (11x11). Portanto, somamos 129,4 com 121 e colocamos no numerador. Depois multiplicamos 11 por 2 e colocamos no denominador. •129,4 ≈

129,4 + 121 ≈ 11,38 2 ∙ 11

Enquanto que o valor encontrado na calculadora é 11,375.

1.5. Conjunto dos Números Reais

Chama-se conjunto dos números reais - ℝ - aquele formado por todos os números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Assim, adotando o conjunto dos números reais como universo, o conjunto dos números irracionais é o complementar do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos números reais. ‚‚‚‚ = ℝ ℚ ∪ ℚ ‚‚‚‚ = ∅ ℚ ∩ ℚ ‚‚‚ é o conjunto dos números irracionais. Onde ℚ

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1.5.1.

Reta Real

Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada denominada Reta Real.

1.5.2.

Intervalos Reais

Vamos considerar a e b números reais tais que 𝑎 ≤ 𝑏. Os seguintes subconjuntos definidos a seguir são chamados intervalos reais.

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Quando a = b, o intervalor fechado [a,b] reduz-se a um único elemento e chama-se intervalo degenerado. Neste caso, os intervalos (a,b], [a,b) e (a,b) são conjuntos vazios. Observações: - É comum escrever ℝ = (−∞, +∞). - Os símbolos +∞ e −∞ não representam números reais. São apenas parte da notação de intervalos ilimitados. - A bola fechada indica que o número na extremidade pertence ao intervalo. A bola aberta indica que o número na extremidade não pertence ao intervalo.

Considere os conjuntos: N, dos números naturais. Z, dos números inteiros. Q, dos números racionais. R, dos números reais. Assinale a alternativa correta.

(A) a, b ∈ N temos a − b ∈ N. (B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. (C) N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R. (D) a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0 ⇒ a/b ∈ Z. (E) A equação 3x −1 = 0 não tem solução em Q. Comentário

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a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b ∈ N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e −2 ∉ N.

b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um maior elemento.

c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional e todo número racional é um número real.

d) Falsa. Se a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0, nem sempre a/b ∈ Z. Por exemplo, 8 ∈ Z, 5∈ Z e 8/5 = 1,6 ∉ 𝑍. e) Vamos resolver a equação 3x −1 = 0. 3𝑥 = 1 𝑥=

1 ∈𝑄 3

Portanto, a alternativa E é falsa. Gabarito: C

Considere os conjuntos: N dos números naturais, Q dos números racionais, Q+ números racionais não-negativos, R dos números reais. O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.

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b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q. Comentário

a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N. b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo, 2,37 reais.

c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m. d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número irracional. e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional. Gabarito: B

1.5.3.

Potenciação

A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe: 4ž = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1.024 Na potência 4ž → 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete). Sendo 𝑎 um número real e 𝑛 um número inteiro maior que 1, define-se: 𝑎Ÿ = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 (𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠) Exemplos: 5W = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125

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(−8)X = (−8) ∙ (−8) = 64 2 X 2 2 4 − ¡ = − ¡∙ − ¡= 3 3 3 9 (−2)W = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = −8

IMPORTANTE Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo.

Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.

•

Toda potência de expoente 1 é igual a base. 𝑎Z = 𝑎

•

Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 𝑎¢ = 1, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0

Observação: 0¢ é uma indeterminação matemática. •

Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. 𝑎oŸ =

1 𝑎Ÿ

Exemplos: 5Z = 5

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3 ¢ ¡ =1 4 2 oW 5 W 125 ¡ = ¡ = 5 2 8 oZ

5

1.5.3.1.

1 Z 1 = ¡ = 5 5

Propriedades Operatórias das Potências

𝑥 £ ∙ 𝑥 ¤ = 𝑥 £q¤ 𝑥£ = 𝑥 £o¤ , 𝑥 ≠ 0 𝑥¤ (𝑥 ¥ )Ÿ = 𝑥 ¥Ÿ Em palavras: • • •

Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados. Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos. Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados.

Exemplos

5X ∙ 5V = 5XqV = 5T 5T = 5ToX = 5V 5X (5X )T = 5X∙T = 5ZX

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A soma dos algarismos do número 𝟏𝟎𝟏𝟎 − 𝟑 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97 Comentário

Qual o significado de 𝑥 Z¢ = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 Com dez fatores “x”. Portanto, 10Z¢ = 10.000.000.000 10Z¢ − 3 = 10.000.000.000 − 3 = 9.999.999.997 A soma dos algarismos é 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 7 = 88. Gabarito: A

Simplificando

𝟐𝟐𝟎 q𝟐𝟏𝟗 𝟐𝟏𝟖

, encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

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e) 221 Comentário

Vamos relembrar algumas propriedades das potências. Para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

𝒙𝒂 ∙ 𝒙𝒃 = 𝒙𝒂q𝒃 𝒙𝒂 /𝒙𝒃 = 𝒙𝒂o𝒃 E da mesma forma que 𝒙𝒂 ∙ 𝒙𝒃 = 𝒙𝒂q𝒃 , temos que 𝒙𝒂q𝒃 = 𝒙𝒂 ∙ 𝒙𝒃 . Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto: 2X¢ = 2ZUqX = 2ZU ∙ 2X

2Z[ = 2ZUqZ = 2ZU ∙ 2Z

2X¢ + 2Z[ 2ZU ∙ 2X + 2ZU ∙ 2Z = 2ZU 2ZU

Podemos colocar 218 em evidência:

2ZU ∙ 2X + 2ZU ∙ 2Z 2ZU ∙ (2X + 2Z ) = = 2X + 2Z = 4 + 2 = 6 2ZU 2ZU Gabarito: C

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Simplificando a expressão

𝟑𝒏¨𝟏 q𝟑𝒏¨𝟐 q𝟑𝒏¨𝟑 𝟑𝒏©𝟐 q𝟑𝒏©𝟏 q𝟑𝒏

onde n pertence ao conjunto dos números inteiros,

obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9 Comentário

Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior. 3ŸoZ + 3ŸoX + 3ŸoW 3Ÿ ∙ 3oZ + 3Ÿ ∙ 3oX + 3Ÿ ∙ 3oW = 3ŸqX + 3ŸqZ + 3Ÿ 3Ÿ ∙ 3X + 3Ÿ ∙ 3Z + 3Ÿ ∙ 3¢ Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador.

3Ÿ ∙ 3oZ + 3Ÿ ∙ 3oX + 3Ÿ ∙ 3oW 3Ÿ ∙ (3oZ + 3oX + 3oW ) 3oZ + 3oX + 3oW = = 3Ÿ ∙ 3X + 3Ÿ ∙ 3Z + 3Ÿ ∙ 3¢ 3Ÿ ∙ (3X + 3Z + 3¢ ) 3X + 3Z + 3¢

1 1 1 9+3+1 13 3oZ + 3oX + 3oW 3 + 9 + 27 27 27 = 13 ∙ 1 = 1 = = = 3X + 3Z + 3¢ 9+3+1 13 13/1 27 13 27

Vejamos uma maneira bem mais fácil.

Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de 𝑛 não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.

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3ŸoZ + 3ŸoX + 3ŸoW 3ŸqX + 3ŸqZ + 3Ÿ

Esta é a expressão. Vamos substituir 𝑛 por 3.

3WoZ + 3WoX + 3WoW 3X + 3Z + 3¢ 9+3+1 13 = ž = = WqX WqZ W V W 3 +3 +3 3 +3 +3 243 + 81 + 27 351

Simplificando por 13: 13 1 = 351 27 Bem melhor, não?! Gabarito: B

Considere-se que 𝟏𝟎𝟎,𝟒𝟕𝟕 = 𝟑 . O valor de 𝒙 tal que 𝟏𝟎𝒙 = 𝟗. 𝟎𝟎𝟎 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954 Comentário

Perceba que 9.000 = 9 ∙ 1.000 = 3X ∙ 10W .

Mas o enunciado nos disse que 3 = 10¢,Vªª . Portanto: Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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9.000 = 9 ∙ 1.000 = 3X ∙ 10W = (10¢,Vªª )X ∙ 10W

Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

9.000 = (10¢,Vªª )X ∙ 10W = 10¢,Vªª×X ∙ 10W = 10¢,[žV ∙ 10W = 10¢,[žVqW = 10W,[žV 10« = 9.000 10« = 10W,[žV 𝑥 = 3,954 Gabarito: E

1.5.4.

Radiciação

Se 𝑎 é um número não-negativo (𝑎 ≥ 0) e 𝑛 é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de 𝑎 é um número 𝑏 não-negativo (𝑏 ≥ 0) tal que 𝑏 Ÿ = 𝑎. Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito. √9 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3X = 9. ¬

√32 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 2ž = 32.

-

√0 = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 0T = 0. ®

√𝑎 = 𝑏 → 𝑛 é 𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒, 𝑎 é 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑏 é 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧.

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1.5.4.1.

Raízes de Índice Par

Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos: (+5)X = 25 (−5)X = 25 Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo. Portanto: √25 = 5 (𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) √25 = −5 (𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜) Desta maneira, é falso afirmar que √49 = ±7. Por outro lado, podemos escrever que −√25 = −5. Não é o radical que “causa” o sinal, e sim o sinal que o antecede.

É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais). Por exemplo, √−16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê −16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo. Note a diferença: −√16 = −4 √−16 → 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑚 ℝ

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1.5.4.2.

Raízes de Índice Ímpar

Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo. Y

√8 = 2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 2W = 8

Y

√−8 = −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)W = −8

𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 → 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 → 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

1.5.4.3.

Propriedades dos Radicais

Considere 𝑎, 𝑏 números reais não-negativos (𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0), 𝑛 um número natural maior que 1 e 𝑚 um número inteiro qualquer. ®

®

®

√𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎𝑏

®

√𝑎

® 𝑎 = ´ → 𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏 ≠ 0 𝑏 √𝑏

®

®

¥

®

µ √𝑎 ¶ = √𝑎¥ · ®

´ √𝑎 =

·®

√𝑎

Exemplo: Efetue √3 ∙ (√12 − 2√27 + 3√75).

√3 ∙ √12 − 2√3 ∙ √27 + 3√3 ∙ √75 = √3 ∙ 12 − 2√3 ∙ 27 + 3√3 ∙ 75 = = √36 − 2√81 + 3√225 = 6 − 2 ∙ 9 + 3 ∙ 15 = 33

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Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo: √28 = √4 ∙ 7 = √4 ∙ √7 = 2√7 √300 = √100 ∙ 3 = √100 ∙ √3 = 10√3 4 √4 2 •0,444 … = ¸ = = 9 √9 3

1.5.4.4.

Potência de Expoente Racional

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos: ¥

®

√𝑎¥ = 𝑎 Ÿ

Exemplos: Z

¹

X

Y

3X = •3Z = √3 Y

5W = •5X = √25 Z

Y

27¢,WWWW… = 27W = √27 = 3

1.5.4.5.

Racionalização de Denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração. Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador. Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador. 1º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2

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Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical. Lembre-se que se 𝑎 é um número não-negativo, √𝑎 ∙ √𝑎 = √𝑎X = 𝑎. Veja os exemplos: 8 √2

=

10 2√5

8 ∙ √𝟐 √2 ∙ √𝟐

=

=

10 ∙ √𝟓 2√5 ∙ √𝟓

8√2 = 4√2 2 =

10√5 10√5 = = √5 2∙5 10

Ao racionalizar um denominador, não mudamos o valor da fração, mudamos apenas a forma de escrevê-la.

2º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2 ®

Lembre-se que se a é um número não-negativo, √𝑎Ÿ = 𝑎. 𝟓

8 ∙ √𝟐𝟐

8

¬

8 √4

¬

8√4 ¬ =¬ =¬ = = 4√4 ¬ 𝟓 2 √2W √2W ∙ √𝟐𝟐 √2ž Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 − 3 = 2

3º caso → Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical

Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”. (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎X − 𝑏 X Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 + 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) ∙ (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜) = (𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜)X − (𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)X Pois bem, vamos ver um exemplo: 6 √5 + √2

=

6 ∙ µ√𝟓 − √𝟐¶ µ√5 + √2¶ ∙ µ√𝟓 − √𝟐¶

=

6 ∙ µ√5 − √2¶ X

X

µ√5¶ − µ√2¶

=

6 ∙ µ√5 − √2¶ 6 ∙ µ√5 − √2¶ = = 5−2 3

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= 2 ∙ µ√5 − √2¶ = 2√5 − 2√2

7 4 − √3

=

7 ∙ µ𝟒 + √𝟑¶ µ4 − √3¶ ∙ µ𝟒 + √𝟑¶

=

7 ∙ µ4 + √3¶ X

(4)X − µ√3¶

=

7 ∙ µ4 + √3¶ 7 ∙ µ4 + √3¶ = 16 − 3 13

Observe que o fator racionalizante de √5 + √2 é √𝟓 − √𝟐 (troca o sinal). O fator racionalizante de 4 − √3 é 𝟒 + √𝟑.

1.5.4.6.

Comparação de Radicais

Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a seguinte propriedade: ®

®»

√𝑎¥ = √𝑎¥º

Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos multiplicar (ou dividir) o índice por certo número p e, para não alterar o valor da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o expoente do radicando pelo mesmo número p. Exemplo: Y

Y∙¹

-

•2V = •2V∙X = •2U ¬

¼

Exemplo: Quem é maior: √2 ou √3 ? Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de 4 e de 5. Que tal 20? Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5 é igual a 20? Este número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do primeiro radical por 4. ¬

¬∙¼

¹½ √2 = •2V = √16

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Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20? Este número é 5. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do segundo radical por 5. ¼∙¬

•3ž = ¹½√243 ¬

¼

¹½

Desta forma: perguntar quem é maior: √2 ou √3 é o mesmo que perguntar quem é maior: √16 ¹½ ou √243? ¹½

¹½

¼

¬

Como √243 > √16, então √3 > √2.

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2.

LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES

1. (CESPE 2018/IFF) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui a

A) 30 dias. B) 74 dias. C) 120 dias. D) 240 dias. E) 960 dias.

2. (CESPE 2018/SEDUC-AL) Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações unitárias, isto e, aquelas em que o numero 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, um importante registro matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de frações unitárias. As frações unitárias na forma 1/n sempre podem ser decompostas em exatamente duas frações unitárias, por exemplo

𝟏 𝟐

𝟏

𝟏

=𝟒+𝟒.

Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária Z

Z

Z

Z V

Z

Z

Z

são V = U + U

e V = T + ZX.

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3. (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) O número

𝟏𝟎𝟎 × µ√𝟏𝟖q𝟏¶ √𝟐o𝟏

é

A) superior a 1.000 e inferior a 1.500. B) superior a 1.500 e inferior a 2.000. C) superior a 2.000. D) inferior a 500. E) superior a 500 e inferior a 1.000.

4. (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há mais suco no recipiente I que no II.

Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a:

a) 8/15 b) 8/13 c) 3/10 d) 4/3 e) 7/20

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5. (CESPE 2017/SEDF)

Se uma TV digital tiver uma resolução de 1.080 pixels de largura por 720 pixels de altura, então o quociente, em pixels, da altura pela largura correspondera a um numero decimal que poderá ser representado por uma dizima periódica.

6. (CESPE 2017/SEDF) A respeito de números reais e números complexos, julgue os itens subsecutivos.

O resultado da soma dos números reais a e b será um numero racional se, e somente se, cada um dos números a e b for um numero racional.

7. (CESPE 2016/CPRM) Depois das simplificações possíveis, o número Z =

𝟐

µ𝟐𝟎q √𝟐¶ oµ𝟐𝟎o√𝟐¶ √𝟐

𝟐

será igual a

A) 3. B) 40. C) 80. D) 400. E) 566.

8. (CESPE 2014/SEDF) ZV

Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração X¾qZ é um numero inteiro.

9. (CESPE 2014/MDIC) Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de abertura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise,

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com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional à participação financeira de cada um dos sócios no ato de abertura da loja. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.

Se M for a quantidade média de acessos por minuto ao sítio eletrônico da loja Lik e 𝑀X = 0,8, então M será um número irracional menor que 0,8.

10. (CESPE 2013/SEE-AL)

Um número é irracional se, e somente se pode ser representado por uma dizima não periódica.

11. (CESPE 2013/SEE-AL)

O produto de dois números irracionais é um numero irracional.

12. (CESPE 2013/ANS)

Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m∈ 𝑁 o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(15) ∩ A(10) contém o conjunto A(60).

13. (CESPE 2013/ANS)

Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m∈ 𝑁 o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(6) U A(8) contém o conjunto A(14).

14. (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue os itens seguintes, com base nas informações apresentadas.

É correto afirmar que N > 210.

15. (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue os itens seguintes, com base nas informações apresentadas.

Se P é o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7, então N é múltiplo de P.

16. (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições: I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro. Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

O número 28 é um número perfeito.

17. (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições:

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I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro. Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos.

18. (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições: I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro. Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

Nenhum número primo é um número perfeito.

19. (CESPE 2012/TJ-RO) Uma empresa possui 658 servidores: 308 do sexo masculino e 350 do sexo feminino. Em uma reunião com a presença de todos os servidores, seriam formados vários grupos: todos os grupos teriam a mesma quantidade de pessoas, e cada grupo seria formado apenas com pessoas do mesmo sexo. Nesse caso, para que se tenha a menor quantidade de grupos e se mantenha as mesmas condições anteriores, os servidores serão divididos em

A) 14 grupos. B) 22 grupos.

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C) 25 grupos. D) 42 grupos. E) 47 grupos.

20. (CESPE 2011/CORREIOS) Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após

A) 45 dias. B) 60 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 30 dias.

21. (CETRO 2010/Ministério dos Transportes) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações: I. ℝ = ℚ ∪ 𝑰𝒓 II. N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R III. ℚ ∪ 𝑰𝒓 = ∅ IV. ℚ ∩ 𝑰𝒓 = ℝ V. 𝑰𝒓 = ℝ − ℚ Considere: Ir = Conjunto dos números irracionais.

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N = Conjunto dos números naturais. Q = Conjunto dos números racionais. R = Conjunto dos números reais. Z = Conjunto dos números inteiros. As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas. b) I e III apenas. c) I, II e V apenas. d) II, III, IV e V apenas. e) I, II, III, IV e V.

22. (BIORIO 2016/ELETROBRAS) A professora pergunta à turma: “Quantos números naturais são maiores do que 238 e menores do que 452?”. Flávia respondeu corretamente:

a) 212 b) 213 c) 214 d) 222 e) 223

23. (VUNESP 2010/Fundação CASA) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior

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possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a

(A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89.

24. (VUNESP 2009/SEAP-SP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados

(A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos.

25. (VUNESP 2010/Instituto Butantan) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia

(A) 28, às 19 horas. (B) 28, às 23 horas.

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(C) 29, às 7 horas. (D) 29, às 11 horas. (E) 30, às 7 horas.

26. (VUNESP 2010/Pref. de Sorocaba) Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia

a) 15 de maio b) 26 de maio c) 25 de junho d) 30 de junho e) 27 de julho

27. (VUNESP 2009/SEAP-AP) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada

(A) 1 h 24 min. (B) 1 h 18 min. (C) 1 h 12 min. (D) 1 h 06 min. (E) 1 h.

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28. (FCC 2011/TRT 24ª Região) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência NÃO ocorrerá em

(A) 18 de maio. (B) 24 de abril. (C) 31 de março. (D) 10 de fevereiro. (E) 18 de janeiro.

(SABESP 2014/FCC) Para responder às questões seguintes, considere as informações abaixo. Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. O tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, a dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento completo cumprindo rigorosamente as instruções de doses e horários. 29. Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a

(A) 90. (B) 88. (C) 96. (D) 92. (E) 66.

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30. Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, simultaneamente, as doses dos remédios X e Y foi no sábado às

(A) 11 horas. (B) 8 horas. (C) 23 horas. (D) 13 horas. (E) 16 horas.

31. (FCC 2009/SEFAZ-SP) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será

(A) 2013 (B) 2014 (C) 2016 (D) 2018 (E) 2019

(FCC 2009/SEFAZ-SP) Instruções: Para responder às questões seguintes, considere o texto e o quadro abaixo. O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 6º ano.

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A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor. 32. Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados nas diversas casas do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número

(A) 77 (B) 81 (C) 84 (D) 87 (E) 96

33. Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o jogo, pois não conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é chamada de “buraco negro”. Para que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, necessariamente, estar numa outra casa específica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obter pontuação igual a

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

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34. (CEPERJ 2009/SEPLAG-RJ) Em certa cidade de Minas Gerais, foi terminada em 1832 a construção de uma igreja dedicada a São José. O padre que inaugurou a igreja decretou que, a cada 7 anos os fiéis deveriam fazer uma grande festa em homenagem ao santo. Como esta tradição foi mantida, o próximo ano de realização da festa será:

a) 2010 b) 2011 c) 2012 d) 2013 e) 2014

35. (CESGRANRIO 2014/Petrobras) O produto de dois números naturais, x e y, é igual a 765. Se x é um número primo maior que 5, então a diferença y – x é igual a

(A) 6 (B) 17 (C) 19 (D) 28 (E) 45

36. (VUNESP 2016/CM de Registro) Dois amigos brincam com seus carros de controle remoto em uma pista circular. Os carros partiram de um ponto A e, enquanto o carro mais rápido demora 1min 30s para dar uma volta completa na pista, o outro carro demora 1min 35s. Quando os dois carros passarem ao mesmo tempo pelo ponto A, pela primeira vez, o carro mais lento terá dado um número de voltas na pista igual a

a) 14

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b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

37. (FCC 2010/Metro-SP) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às

(A) 19h42min. (B) 21h48min. (C) 21h36min. (D) 23h42min. (E) 23h48min.

38. (FUNIVERSA 2012/SEPLAG-DF) Durante uma excursão de um grupo de amigos, na qual participavam 15 homens, 18 mulheres e 21 crianças, ao programarem um passeio de jangada, decidiram que cada jangada levaria um grupo formado só por homens ou só por mulheres ou só por crianças, com o maior número possível de pessoas em cada jangada. Se todos participaram desse passeio e, em cada jangada, havia o mesmo número de pessoas, é correto concluir que as jangadas que levaram só as mulheres para o passeio programado foram em número de

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7

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e) 18

39. (CETRO 2010/ANVISA) Entre os números 5.028, 1.331, 3.375, 2.744 e 4.096, assinale a alternativa que apresenta aquele que não foi obtido a partir da mesma relação matemática que os demais.

a) 1.331. b) 2.744. c) 3.375. d) 4.096. e) 5.028

40. (AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) Se os elementos de um conjunto A são todos os divisores positivos de 12, então esse conjunto será dado por

(A) A = {1, 2, 3, 4, 6} (B) A = {2, 3, 4, 6, 12} (C) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} (D) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} (E) A = {1, 12}

41. (BIORIO 2016/Eletrobrás) A quantidade de xícaras da coleção de Marcela é igual à metade da quantidade xícaras da coleção de Laura. Se somarmos a quantidade de xícaras das duas coleções, essa soma pode ser igual a:

a) 64

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b) 65 c) 66 d) 67 e) 68

42. (VUNESP 2010/TJ-SP) Uma barra de madeira maciça, com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, tem as seguintes dimensões: 48 cm, 18 cm e 12 cm. Para produzir calços para uma estrutura, essa barra deve ser cortada pelo carpinteiro em cubos idênticos, na menor quantidade possível, sem que reste qualquer pedaço da barra. Desse modo, o número de cubos cortados será igual a

a) 54 b) 52 c) 50 d) 48 e) 46

43. (FCC 2016/ TRF 3ª Região 2016/Técnico Judiciário) O valor da expressão numérica 0,00003 ∙ 200 ∙ 0,0014 ÷ (0,05 ∙ 12000 ∙ 0,8) é igual a

𝑎)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10ož 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

𝑏)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10oª 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

𝑐)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10W 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

𝑑)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10¢ 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

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𝑒)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10oX 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

44. (FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista Judiciário) As letras da expressão x − (w − y) − (z − h), representam números diferentes e serão substituídas, uma a uma e para efeito de cálculo, pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, não necessariamente nessa ordem. Opere apenas no conjunto dos números naturais. Para que o resultado da expressão seja 8, as letras w e h devem ser substituídas, respectivamente, por

(A) 15 e 13. (B) 17 e 12. (C) 13 e 9. (D) 15 e 12. (E) 17 e 9.

45. (CESGRANRIO 2015/LIQUIGAS) A fração 2/13 pode ser representada pela dízima periódica 𝟎, ‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ 𝟏𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔 a qual o traço acima dos algarismos indica que 1, 5, 3, 8, 4, 6 repetem-se infinitamente nessa ordem após a vírgula. Se a dízima fosse escrita sem usar a notação do traço, ou seja, repetindo-se três vezes o período e indicando a continuação por reticências, qual seria o décimo algarismo após a vírgula?

a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

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46. (FGV 2006/SERC-MS)

√𝟎, 𝟒𝟒𝟒 … é igual a: a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,555... e) 0,666...

47. (ESAF 2006/SUSEP) Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 7,233....

a) 723/99 b) 723/90 c) 716/99 d) 716/90 e) 651/90

48. (ESAF 2006/SUSEP) Indique qual dos números abaixo é um número irracional.

a) 0 b) 0,5 c) 0,33... d) 1/3 e) π, que mede a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.

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49. (ESAF 2006/SUSEP) Calcule (2022)3/2.

a) 0 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16

50. (ESAF 2006/SUSEP) Dados o conjunto A={2,4,6,8,10} e o conjunto B={x | x ∈ Z, 0 5/3. d) x ≤ –1 ou x > 5/3. e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3.

70. (FCC 2016/SEDU-ES) Sendo 𝑨 = √𝟏𝟒, 𝑩 = √𝟕, 𝒆 𝑪 = √𝟐, o valor da expressão numérica

𝑨𝑩 𝑪

é igual a

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a) √98/2 b) √7/7 c) 7 d) 2√7 e) 24,5

71. (CEPERJ 2010/SEE-RJ) Na igualdade

√𝟕q√𝟓 √𝟕o√𝟓

= 𝒂 + √𝒃 , o valor de 𝒂𝟐 − 𝒃 é:

a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7

72. (ESAF 2008/APO-MPOG) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

𝒛=

𝒙 − 𝟐√𝟑 𝟑 − 𝒚√𝟑

.

Com essas informações, conclui-se que:

a) 𝑥 ∙ 𝑦 = −6 b) 𝑥 + 𝑦 = 6 c) 𝑥 ∙ 𝑦 = 0 d) 𝑥/𝑦 = 6

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e) 𝑥 ∙ 𝑦 = 6

73. (FJG 2005/SMF-RJ) 𝟐

𝟔

𝟑

Os valores √𝟒, √𝟖 𝒆 √𝟏𝟔, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação: ¹

Y

¹

-

-

a) √4 > √16 > √8 Y

b) √4 > √8 > √16 Y

¹

-

c) √16 > √4 > √8 -

¹

Y

d) √8 > √4 > √16

74. (FCC 2016/COPERGAS) O resultado da expressão 𝟏

𝟏

𝟑 − 𝟕𝟑 ∙ 𝟒𝟗𝟑 − 𝟐𝟑 ¡ ∙

𝟏 𝟕 − 𝟒 𝟖

é igual a

a) 7/3 b) 19/8 c) -3/4 d) 13/4 e) 11/6

75. (FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité-MG) Considere as igualdades a seguir, em que a é um número real maior do que zero e b e c são números inteiros positivos.

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𝑰. •𝒂𝟐 = ±𝒂

𝑰𝑰. 𝒂

o

𝒃 𝒄

𝒃

=¸

𝟏 𝒄 ¡ 𝒂

𝒃𝟐

𝒃 𝑰𝑰𝑰. •𝒂𝒃𝒄 = √𝒂𝒄

Baseando-se nessas informações, estão incorretas as igualdades:

a) I e II, apenas. b) I e III, apenas. c) II e III, apenas. d) I, II e III.

76. (IBFC 2016/TCM-RJ) O resultado da raiz cúbica do número quatro ao quadrado é um número entre:

a) 1 e 2 b) 3 e 4 c) 2 e 3 d) 1,5 e 2,3

77. (FCC 2017/SABESP) Se a = 53000, b = 27000, c = 35000, então

a) b > c > a b) c > a > b c) c > b > a d) b > a > c

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e) a > b > c

78. (FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité) Dados os números naturais a e b, em que mmc(a,b) 72 e o mdc(a,b) = 12, é correto afirmar que o número de divisores do produto ab é

a) 17 b) 18 c) 24 d) 36

79. (FCC 2017/SABESP) Se a = 2/5, b = 7/20, c = 9/27 e d = 11/30, então:

a) c < d < b < a. b) b < c< d < a. c) c < b < a < d. d) b < c < a < d. e) c < b < d < a.

80. (FCC 2017/SABESP) O número de divisores positivos de 144 é

a) 12 b) 15 c) 16

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d) 14 e) 13

81. (FCC 2013/ALE-PB) Ernesto comprou uma calculadora que está com problemas na realização de adições de números naturais. Algumas adições são feitas corretamente, e outras de forma incorreta, mas seguindo sempre uma mesma lógica. Veja a seguir oito exemplos de adições com os respectivos resultados indicados nessa calculadora:

Ernesto fez nessa calculadora a conta 339+872 e, em seguida, pegou o resultado fornecido por ela e somou, na calculadora, com um número natural que indicaremos por x. O resultado final indicado na calculadora foi 1230. Nas condições descritas, todos os possíveis valores de x vão de

(A) 19 até 29. (B) 20 até 30. (C) 10 até 14. (D) 16 até 24. (E) 9 até 20.

82. (FCC 2013/TRT 1ª Região) Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido transcorridos no planeta X, exatamente,

(A) 1ano,6 meses e 4 dias. (B) 2 anos e 4 dias. (C) 2 anos e 14 dias.

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(D) 2 anos, 5 meses e 14 dias. (E) 2 anos, 5 meses e 4 dias.

83. (FCC 2009/SEFAZ-SP) Um torneio de futebol passará a ser disputado anualmente por seis equipes. O troféu será de posse transitória, isto é, o campeão de um ano fica com o troféu até a próxima edição do torneio, quando o passa para o novo campeão. Uma equipe só ficará definitivamente com o troféu quando vencer quatro edições consecutivas do torneio ou sete edições no total, o que acontecer primeiro. Quando isso ocorrer, um novo troféu será confeccionado. Os números mínimo e máximo de edições que deverão ocorrer até que uma equipe fique com a posse definitiva do troféu valem, respectivamente,

(A) 4 e 7 (B) 4 e 37 (C) 4 e 43 (D) 6 e 36 (E) 6 e 42

84. (FCC 2009/SEFAZ-SP) Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num dos pátios da escola. Na Espiral do Tempo, todos os anos da era cristã são representados segundo a lógica da figura a seguir, na qual só foram mostrados os anos de 1 a 9.

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A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a mesma lógica dos anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral do Tempo em 2009 é igual a S, então, em 2010, essa soma passará a ser igual a

(A) S + 4040100 (B) S + 4038090 (C) S + 4036081 (D) S + 2010 (E) S + 2009

85. (AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) Ao final de um campeonato de futebol disputado por cinco times, A, B, C, D e E, verificou-se que o time A ganhou 3/5 os pontos que disputou, enquanto os times B, C, D e E ganharam, respectivamente 4/7, 5/8, 1/2 e 1/4 dos pontos que disputaram. Considerando que cada time poderia disputar pela mesma quantidade de pontos, o vencedor desse campeonato foi o time

(A) A. (B) B. (C) C. (D) D. (E) E.

86. (FCC 2011/TRT 24ª Região) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E.

𝑨 𝟗 𝟎 𝑩 𝟐 −𝟕 𝟖 𝑪 𝟗 𝑫 𝟐 𝑬 𝟏 𝟕 𝟖

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Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E, que tornam a diferença correta, devem ser tais que (𝑨 − 𝑩 + 𝑪 − 𝑫 + 𝑬)² é igual a

(A) 49 (B) 36 (C) 25 (D) 16 (E) 9

87. (FCC 2016/ELETROSUL) Considere o número natural A e o número natural B. Sabe-se que B é divisor de A, e que o quociente entre A e B é igual a 24. O quociente entre o dobro do número A e o triplo do número B é igual a

(A) 12. (B) 16. (C) 8. (D) 15. (E) 36.

88. (FCC 2016/ELETROSUL) Existem três bolos iguais na primeira mesa, e três bolos iguais a esses, na segunda mesa. Os bolos da primeira mesa estavam, respectivamente, divididos em terços, quintos e nonos. Os bolos da segunda mesa estavam, respectivamente, divididos em quartos, sextos e oitavos. João pega um pedaço de cada bolo da primeira mesa e come. A menor quantidade de bolo, expressa em número de fatias inteiras de um mesmo bolo da segunda mesa, que Lucas precisará comer para superar a quantidade de bolo que João comeu é igual a

(A) 3. (B) 5.

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(C) 4. (D) 6. (E) 2.

89. (VUNESP 2010/CREA-SP) O quociente A:B entre as expressões 𝑨 = 𝟎, 𝟓 ∙ (𝟑𝟒 − 𝟒𝟐 ) e 𝑩 = Ë√𝟑𝟔 − µ√𝟔𝟒 + 𝟐¶Ì + 𝟏 vale

a) – 1/3 b) 1/3 c) – 3 d) 3 e) – 9

90. (VUNESP 2010/Imprensa Oficial-SP) Uma mercadoria custa R$ 395,12. Ao registrar seu preço no sistema, o funcionário responsável digitou os cinco algarismos corretos que compõem o preço, mas numa ordem errada, resultando um valor maior do que o real. Sabendo que a vírgula foi digitada no local correto, a diferença entre o preço registrado pelo funcionário e o preço real pode ser, no máximo de

(A) R$ 179,73 (B) R$ 198,00 (C) R$ 271,17 (D) R$ 540,09 (E) R$ 558,09

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91. (IBFC 2012/Pref. de João Pessoa) Observe as afirmações: I) O número 124 tem exatamente 6 divisores naturais. II) A soma entre duas dízimas periódicas pode resultar num número inteiro. III) O valor da expressão {−𝟑 ∙ [(−𝟐)𝟐 − (−𝟓)]𝟎 + (−𝟏)𝟑 } = −𝟒. Pode-se dizer que são corretas:

a) I e II, somente. ==7ee66==

b) Todas c) Somente III. d) II e III, somente.

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3.

GABARITOS

01. C 02. Errado 03. A 04. E 05. Certo 06. Errado 07. C 08. Certo 09. Errado 10. Certo 11. Errado 12. Certo 13. Errado 14. Certo 15. Errado 16. Certo 17. Errado 18. Certo 19. E 20. B 21. C 22. B 23. E 24. A 25. B 26. C 27. C 28. D 29. C 30. B 31. D 32. D 33. B 34. E 35. D

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36. C 37. D 38. C 39. E 40. D 41. C 42. D 43. B 44. E 45. A 46. E 47. E 48. E 49. D 50. B 51. D 52. A 53. B 54. C 55. C 56. C 57. E 58. C 59. E 60. E 61. C 62. C 63. D 64. D 65. D 66. C 67. C 68. C 69. D 70. C 71. A 72. E 73. C 74. B 75. A 76. C 77. C

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78. C 79. E 80. B 81. D 82. E 83. B 84. A 85. C 86. B 87. B 88. C 89. C 90. E 91. B

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4.

LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS

1. (CESPE 2018/IFF) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos nesse voo ocorrerá daqui a

A) 30 dias. B) 74 dias. C) 120 dias. D) 240 dias. E) 960 dias. Comentário

Se o comissário A trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 8 dias, daqui a 16 dias, daqui a 24 dias, e assim por diante. O comissário A trabalha nos múltiplos de 8. Se o comissário B trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 10 dias, daqui a 20 dias, daqui a 30 dias, e assim por diante. O comissário B trabalha nos múltiplos de 10. Se o comissário C trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 12 dias, daqui a 24 dias, daqui a 36 dias, e assim por diante. O comissário C trabalha nos múltiplos de 12. Para saber quando os comissários trabalharão juntos, temos que encontrar um múltiplo comum a 8, 10 e 12.

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Os comissários trabalharão muitas vezes juntos, pois há infinitos múltiplos comuns entre 8, 10 e 12. Como queremos saber a próxima vez que eles trabalharão juntos, vamos procurar o menor múltiplo comum, ou seja, o MMC entre 8,10 e 12. 8, 10, 12 4, 5, 6 2, 5, 3 1, 5, 3 1, 5, 1 1, 1, 1

2 2 2 3 5

Assim, o menor múltiplo comum entre 8, 10 e 12 é 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120 dias. Os três trabalharão juntos daqui a 120 dias. Gabarito: C 2. (CESPE 2018/SEDUC-AL) Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização das frações unitárias, isto e, aquelas em que o numero 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, um importante registro matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de frações unitárias. As frações unitárias na forma 1/n sempre podem ser decompostas em exatamente duas frações unitárias, por exemplo

𝟏 𝟐

𝟏

𝟏

𝟒

𝟒

= + .

Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária Z

Z

Z

Z V

Z

Z

Z

são V = U + U

e V = T + ZX. Comentário

Queremos decompor 1/4 em uma soma de duas frações unitárias.

1 1 1 = + 4 𝑚 𝑛

Como 1/m e 1/n são menores que 1/4 (vamos somar dois números positivos e o resultado será positivo; portanto, as parcelas são menores que a soma), então m e n são maiores que 4.

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Vamos reescrever a expressão acima.

1 1 1 − = 4 𝑚 𝑛

Sabemos que m é um número maior que 4. O enunciado já substituiu m por 6, 8 e 12.

Vamos testar alguns valores. O primeiro número natural maior que 4 é 5. Vamos fazer m = 5.

1 1 5−4 1 − = = 4 5 20 20

1 1 1 − = 4 5 20

Portanto,

1 1 1 = + 4 5 20

Desta forma, existe pelo menos mais uma decomposição da fração unitária 1/4.

Lembre-se: para provar que algo é falso, basta mostrar um contra-exemplo. Gabarito: Errado

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3. (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) O número

𝟏𝟎𝟎 × µ√𝟏𝟖q𝟏¶ √𝟐o𝟏

é

A) superior a 1.000 e inferior a 1.500. B) superior a 1.500 e inferior a 2.000. C) superior a 2.000. D) inferior a 500. E) superior a 500 e inferior a 1.000. Comentário

Vamos racionalizar o denominador. Para tanto, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo fator racionalizante √2 + 1.

X

Observe que µ√2 − 1¶µ√2 + 1¶ = µ√2¶ − 1X = 2 − 1 = 1.

Ficamos com:

100 × µ√18 + 1¶ √2 + 1 100 × µ√18 + 1¶(√2 + 1) ∙ = µ√2 −ÐÐÑÐ 1¶µ√2 +ÐÒ 1¶ √2 − 1 √2 + 1 ÏÐÐÐ ÐÐÐ Z

100 × µ√18 + 1¶(√2 + 1) = 100 × µ√18 + 1¶(√2 + 1) 1

Vamos agora desenvolver este produto.

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100 × µ√18 + 1¶µ√2 + 1¶ = 100 × µ√18 ∙ √2 + √18 ∙ 1 + 1 ∙ √2 + 1 ∙ 1¶ =

= 100 × µ√36 + √18 + √2 + 1¶ = 100 × µ6 + √18 + √2 + 1¶ =

= 100 × µ7 + √18 + √2¶

Não precisamos saber o valor exato desta expressão. Queremos apenas uma aproximação.

Sabemos que √16 = 4 e √25 = 5. Portanto, √18 é um número entre 4 e 5.

Sabemos que √1 = 1 e √4 = 2. Portanto, √2 é um número entre 1 e 2.

Se colocarmos uma aproximação exagerada por baixo, teríamos:

100 × µ7 + √𝟏𝟖 + √𝟐¶ ≅ 100 × (7 + 𝟒 + 𝟏) = 1.200

Se colocarmos uma aproximação exagerada por cima, teríamos:

100 × µ7 + √𝟏𝟖 + √𝟐¶ ≅ 100 × (7 + 𝟓 + 𝟐) = 1.400

Assim, o valor exato de 100 × µ7 + √18 + √2¶ é um número entre 1.200 e 1.400.

Se este valor está entre 1.200 e 1.400, também está entre 1.100 e 1.500.

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Gabarito: A 4. (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há mais suco no recipiente I que no II.

Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a:

a) 8/15 b) 8/13 c) 3/10 d) 4/3 e) 7/20 Comentário

O primeiro recipiente foi dividido em 8 partes iguais e 6 partes foram preenchidas. Isto corresponde a 6/8 do volume. O segundo recipiente, foi dividido em 5 partes iguais e 2 partes foram preenchidas. Isto corresponde a 2/5 do volume. Para saber o quanto o recipiente I tem a mais que o recipiente II, basta calcular a diferença. A diferença é

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6 2 3 2 15 − 8 7 − = − = = 8 5 4 5 20 20 Gabarito: E 5. (CESPE 2017/SEDF)

Se uma TV digital tiver uma resolução de 1.080 pixels de largura por 720 pixels de altura, então o quociente, em pixels, da altura pela largura correspondera a um numero decimal que poderá ser representado por uma dizima periódica. Comentário

Vamos dividir a altura 720 pela largura 1.080.

720 72 = 1.080 108

Podemos simplificar por 36.

72 2 = 108 3

Dividindo 2 por 3, encontramos 0,666666...., que é uma dízima periódica. Gabarito: CERTO 6. (CESPE 2017/SEDF) A respeito de números reais e números complexos, julgue os itens subsecutivos.

O resultado da soma dos números reais a e b será um numero racional se, e somente se, cada um dos números a e b for um numero racional. Comentário

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O conjunto dos números irracionais não é fechado em relação à adição. Assim, se somarmos dois números irracionais, o resultado pode ser irracional ou racional.

Observe por exemplo, que √2 é irracional, −√2 também é irracional, mas a soma deles √2 + (−√2) é igual a zero, que é racional. Gabarito: ERRADO 7. (CESPE 2016/CPRM) Depois das simplificações possíveis, o número Z =

𝟐

µ𝟐𝟎q √𝟐¶ oµ𝟐𝟎o√𝟐¶ √𝟐

𝟐

será igual a

A) 3. B) 40. C) 80. D) 400. E) 566. Comentário

Vamos desenvolver as expressões do numerador.

X

µ20 + √2¶ = µ20 + √2¶µ20 + √2¶ = 20 ∙ 20 + 20 ∙ √2 + 20 ∙ √2 + √2 ∙ √2

X

µ20 + √2¶ = 400 + 40 ∙ √2 + 2 = 402 + 40√2

Você poderia ter resolvido um pouco mais rápido se já conhecesse o produto notável (𝑎 + 𝑏)X = 𝑎X + 2𝑎𝑏 + 𝑏 X (o quadrado da soma é o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo).

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X

X

Ficaria assim: µ20 + √2¶ = 20X + 2 ∙ 20 ∙ √2 + µ√2¶ = 400 + 40√2 + 2 = 402 + 40√2

Vamos desenvolver a outra expressão.

X

µ20 − √2¶ = µ20 − √2¶µ20 − √2¶ = 20 ∙ 20 − 20 ∙ √2 − 20 ∙ √2 + √2 ∙ √2

X

µ20 − √2¶ = 400 − 40 ∙ √2 + 2 = 402 − 40√2

Você poderia ter resolvido um pouco mais rápido se já conhecesse o produto notável (𝑎 − 𝑏)X = 𝑎X − 2𝑎𝑏 + 𝑏 X (o quadrado da diferença é o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo).

X

X

Ficaria assim: µ20 − √2¶ = 20X − 2 ∙ 20 ∙ √2 + µ√2¶ = 400 − 40√2 + 2 = 402 − 40√2

Voltemos à expressão original do enunciado.

X

𝑍=

µ20 + √2¶ − µ20 − √2¶ √2

𝑍=

X

=

µ402 + 40√2¶ − µ402 − 40√2¶

402 + 40√2 − 402 + 40√2 √2

√2

=

80√2 √2

= 80

Gabarito: C

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8. (CESPE 2014/SEDF) ZV

Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração X¾qZ é um numero inteiro. Comentário

Para que esta fração seja um número inteiro, o denominador tem que ser um divisor de 14. Os divisores de 14 são 1, 2, 7, 14 e seus recíprocos -1, -2, -7, -14. Desta forma, o denominador 2r + 1 pode ser igual a 1,2,7,14,-1,-2,-7 ou -14.

Podemos ter:

2r + 1 = 1 → r = 0 → 𝐫 é 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐢𝐫𝐨

2r + 1 = 2 → 2r = 1 → r = 1/2 → r não é inteiro

2r + 1 = 7 → r = 3 → 𝐫 é 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐢𝐫𝐨

2r + 1 = 14 → 2r = 13 → r = 13/2 → r não é inteiro

2r + 1 = −1 → r = −1 → 𝐫 é 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐢𝐫𝐨

2r + 1 = −2 → 2r = −3 → r = −3/2 → r não é inteiro

2r + 1 = −7 → r = −4 → 𝐫 é 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐢𝐫𝐨

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2r + 1 = −14 → 2r = −15 → r = −15/2 → r não é inteiro

ZV

Portanto, existem exatamente 4 valores inteiros de r que tornam a fração X¾qZ um número inteiro. Gabarito: CERTO 9. (CESPE 2014/MDIC) Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de abertura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional à participação financeira de cada um dos sócios no ato de abertura da loja. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.

Se M for a quantidade média de acessos por minuto ao sítio eletrônico da loja Lik e 𝑀X = 0,8, então M será um número irracional menor que 0,8. Comentário

𝑀X = 0,8

𝑀X =

8 10

𝑀X =

4 5

𝑀=

𝑀=

√4 √5

2 √5

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Vamos calcular uma aproximação para √5 pelo método de Newton-Raphson.

O quadrado perfeito mais próximo de 5 é 4. Portanto,

√5 =

5+4 9 = = 2,25 2∙2 4

Esta é uma excelente aproximação, já que 2,25X = 5,0625.

Ficamos com:

𝑀=

2 √5

=

2 2,00 200 = = ≅ 0,88 2,25 2,25 225

Portanto, M é maior que 0,8. O item está errado.

Muitas pessoas pensam que a raiz quadrada de um número é sempre menor que o número. Isto só é verdade para números maiores que 1.

Para números entre 0 e 1, a raiz quadrada de um número é maior que o próprio número. Se você soubesse deste fato, já poderia marcar direto o gabarito como errado sem fazer contas. Gabarito: ERRADO 10. (CESPE 2013/SEE-AL)

Um número é irracional se, e somente se pode ser representado por uma dizima não periódica. Comentário

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Perfeito. Os números irracionais só podem ser representados por dízimas não-periódicas e toda dízima não-periódica corresponde a um número irracional. Gabarito: CERTO 11. (CESPE 2013/SEE-AL)

O produto de dois números irracionais é um numero irracional. Comentário

O conjunto dos números irracionais não é fechado em relação à multiplicação. Em outras palavras, o produto de dois números irracionais pode ser racional ou irracional, a depender dos números.

Por exemplo, √2 é irracional e √8 também é irracional, mas o produto √2 ∙ √8 = √2 ∙ 8 = √16 = 4 é um número racional. Gabarito: ERRADO 12. (CESPE 2013/ANS)

Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m∈ 𝑁 o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(15) ∩ A(10) contém o conjunto A(60). Comentário

A(15) é formado pelos múltiplos de 15. Assim,

A(15) = {15,30, 45, 60, 75, ...}

Da mesma forma, temos A(10) = {10,20,30,40,...}.

O conjunto A(15) ∩ A(10) é formado pelos múltiplos comuns de 15 e 10, ou seja, A(15) ∩ A(10) = {30,60,90,120,...}, que são os múltiplos de 30.

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Como todo múltiplo de 60 é também múltiplo de 30, então o conjunto A(15) ∩ A(10) contém o conjunto A(60). Gabarito: Certo. 13. (CESPE 2013/ANS)

Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m∈ 𝑁 o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(6) U A(8) contém o conjunto A(14). Comentário

O conjunto A(6) é formado pelos múltiplos de 6. O conjunto A(8) é formado pelos múltiplos de 8. O conjunto A(14) é formado pelos múltiplos de 14. O conjunto A(6) U A(8) não contém o conjunto A(14) porque há múltiplos de 14 que não são múltiplos de 6 e também não são múltiplos de 8. Gabarito: Errado. 14. (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue os itens seguintes, com base nas informações apresentadas.

É correto afirmar que N > 210. Comentário

Quando dividimos N por 5, o resto é 1. Portanto, N – 1 é divisível por 5, ou seja, N – 1 é múltiplo de 5. Quando dividimos N por 6, o resto é 1. Portanto, N – 1 é divisível por 6, ou seja, N – 1 é múltiplo de 6.

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Quando dividimos N por 7, o resto é 1. Portanto, N – 1 é divisível por 7, ou seja, N – 1 é múltiplo de 7. Portanto, N – 1 é múltiplo de 5, 6 e 7. O menor valor possível para N – 1 é o menor múltiplo comum entre 5, 6 e 7. Vamos calcular mmc(5, 6, 7).

5, 6, 7

2

5, 3, 7

3

5, 1, 7

5

1, 1, 7

7

1, 1, 1

Portanto, mmc(5, 6, 7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210. Portanto, o menor valor para N – 1 é 210.

𝑁 − 1 = 210 𝑁 = 211

O menor valor possível para N é 211; portanto, N > 210. Gabarito: Certo 15. (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos.

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Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue os itens seguintes, com base nas informações apresentadas.

Se P é o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7, então N é múltiplo de P. Comentário

Vimos na questão passada que o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7 é 210. Portanto, P = 210.

Vimos também que o menor valor possível para N é 211. Os outros valores possível para N são os múltiplos de 211: 422, 633, 822, ... .

O item afirma que N é múltiplo de P. Ora, 211 não é múltiplo de 210. Gabarito: Errado 16. (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições: I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro. Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

O número 28 é um número perfeito. Comentário

Os divisores próprios de 28 são 1, 2, 4, 7 e 14. A soma de seus divisores próprios é 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Como a soma dos divisores próprios de 28 é igual a 28, então, por definição, 28 é um número perfeito. Gabarito: CERTO 17. (CESPE 2012/TJ-RO)

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Considere as seguintes definições: I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro. Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 elementos. Comentário

O item está errado. Basta pensar nos números primos. O número 7, por exemplo, possui apenas dois divisores: 1 e 7. Desta forma, o número 7 possui apenas um divisor próprio, que é o número 1. Gabarito: ERRADO 18. (CESPE 2012/TJ-RO) Considere as seguintes definições: I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n, exceto o próprio n; II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios do outro. Com base nessas definições, julgue os itens que seguem.

Nenhum número primo é um número perfeito. Comentário

Um número N é primo quando possui apenas dois divisores positivos: 1 e N. Assim, se N é primo, ele possui apenas um divisor próprio: 1.

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A soma dos divisores próprios de um número primo N é igual a 1.

Para que N fosse perfeito, a soma de seus divisores próprios deveria ser igual a N. Portanto, nenhum número primo é perfeito. Gabarito: CERTO 19. (CESPE 2012/TJ-RO) Uma empresa possui 658 servidores: 308 do sexo masculino e 350 do sexo feminino. Em uma reunião com a presença de todos os servidores, seriam formados vários grupos: todos os grupos teriam a mesma quantidade de pessoas, e cada grupo seria formado apenas com pessoas do mesmo sexo. Nesse caso, para que se tenha a menor quantidade de grupos e se mantenha as mesmas condições anteriores, os servidores serão divididos em

A) 14 grupos. B) 22 grupos. C) 25 grupos. D) 42 grupos. E) 47 grupos. Comentário

Se queremos formar a menor quantidade de grupos, deveremos alocar em cada grupo o maior número possível de pessoas.

Além disso, todos os grupos terão a mesma quantidade de pessoas. Portanto, o número de pessoas em cada grupo tem que ser um divisor simultâneo de 308 e de 350.

Deixe-me detalhar um pouco mais. O grupo dos homens, formado por 308 pessoas, pode ser dividido em grupos de 4, porque 308/4 = 77. Entretanto, o grupo das mulheres, formado por 350 pessoas, não pode ser dividido em grupos de 4, porque 350/4 = 87,5.

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Desta maneira, a quantidade de pessoas em cada grupo tem que dividir perfeitamente 308 e também dividir perfeitamente 350, ou seja, tem que ser divisor de 308 e também tem que ser divisor de 350.

Resumindo: o número de pessoas em cada grupo tem que ser divisor comum de 308 e 350 e também tem que ser o maior número possível.

Conclusão: o número de pessoas em cada grupo tem que ser o maior divisor comum entre 308 e 350.

Vamos calcular o MDC(308,350) utilizando o algoritmo de Euclides.

Primeiro dividimos 350 por 308. Encontramos quociente 1 e resto 42.

1 350

308

42

Vamos agora dividir 308 por 42. Encontramos quociente 7 e resto 14.

1

7

350

308

42

42

14

Finalmente vamos dividir 42 por 14.

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1

7

3

350

308

42

14

42

14

0

Como o resto foi zero, descobrimos que MDC(350,308) = 14.

Em outras palavras, há 14 pessoas em cada grupo.

Os 308 homens serão divididos em 308/14 = 22 grupos e as 350 mulheres serão divididas em 350/14 = 25 grupos.

O total de grupos é igual a 22 + 25 = 47. Gabarito: E 20. (CESPE 2011/CORREIOS) Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após

A) 45 dias. B) 60 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 30 dias. Comentário

Questões envolvendo repetições periódicas são rapidamente resolvidas com o cálculo do MMC.

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A primeira carreta repete a viagem a cada 4 dias, a segunda carreta a cada 5 dias e a terceira carreta a cada 6 dias.

Assim, se a primeira carreta partiu hoje, partirá novamente daqui a 4 dias, daqui a 8 dias, e assim por diante (múltiplos de 4).

Se a segunda carreta partiu hoje, partirá novamente daqui a 5 dias, daqui a 10 dias, daqui a 15 dias, e assim por diante (múltiplos de 5).

Se a terceira carreta partiu hoje, partirá novamente daqui a 6 dias, 12 dias, 18 dias, e assim por diante (múltiplos de 6).

As carretas partem juntas nos dias múltiplos comuns entre 4, 5 e 6. Para saber a próxima coincidência, basta calcular o menor múltiplo comum entre 4, 5 e 6.

4, 5, 6

2

2, 5, 3

2

1, 5, 3

3

1, 5, 1

5

1, 1, 1

Portanto, MMC(4, 5, 6) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 dias. Gabarito: B 21. (CETRO 2010/Ministério dos Transportes)

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Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações: I. ℝ = ℚ ∪ 𝑰𝒓 II. N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R III. ℚ ∪ 𝑰𝒓 = ∅ IV. ℚ ∩ 𝑰𝒓 = ℝ V. 𝑰𝒓 = ℝ − ℚ Considere: Ir = Conjunto dos números irracionais. N = Conjunto dos números naturais. Q = Conjunto dos números racionais. R = Conjunto dos números reais. Z = Conjunto dos números inteiros. As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas. b) I e III apenas. c) I, II e V apenas. d) II, III, IV e V apenas. e) I, II, III, IV e V. Comentário

Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais. Como vimos na questão anterior, N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R.

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Assim, I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois ℚ ∪ 𝐼𝑟 = ℝ . IV é falsa, pois ℚ ∩ 𝐼𝑟 = ∅. V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado por todos os números reais que não são racionais. Gabarito: C 22. (BIORIO 2016/ELETROBRAS) A professora pergunta à turma: “Quantos números naturais são maiores do que 238 e menores do que 452?”. Flávia respondeu corretamente:

a) 212 b) 213 c) 214 d) 222 e) 223 Comentário

Ora, já sabemos calcular a quantidade de números inteiros de 238 até 452 (incluindo os extremos). Basta fazer 452 - 238 + 1 = 215. Como não estamos interessados nos extremos 238 e 452, vamos excluir dois números: 215 - 2 = 213. Gabarito: B 23. (VUNESP 2010/Fundação CASA) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a

(A) 24.

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(B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89. Comentário

Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84 dividido por 4 é igual a 21 e resto 0. Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4. O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior possível. Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, D de divisor e C de comum.

Vamos calcular o 𝑚𝑑𝑐(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números. Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? 84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30.

84, 144 , 60 2 42, 72 , 30

Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente?

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42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15.

84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 2 21, 36, 15

Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3? 21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5.

84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 2 21, 36, 15 3 7, 12, 5

Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. Conclusão: cada pedaço terá 12 metros. O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio X será dividido em: 84 = 7 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 12

Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 ∙ 7 = 𝟐𝟖 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔. O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Y será dividido em:

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144 = 12 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 12

Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 ∙ 12 = 𝟑𝟔 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔. O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Z será dividido em:

60 = 5 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 12

Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 ∙ 5 = 𝟐𝟓 𝒑𝒆𝒅𝒂ç𝒐𝒔. Dessa maneira, 28 + 36 + 25 = 89.

ele

deverá

obter

um

número

total

de

pedaços

igual

a

Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços. Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é igual a 4 ∙ 84𝑚 = 336 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y é igual a 3 ∙ 144𝑚 = 432 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é igual a 5 ∙ 60𝑚 = 300 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 + 432 + 300 = 1.068 𝑚. Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos:

1.068 = 89 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 12 Gabarito: E

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24. (VUNESP 2009/SEAP-SP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados

(A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos. Comentário

Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos, portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. O processo para o cálculo do MDC está descrito na questão anterior. Devemos fatorar os números apenas por números que dividam os dois números simultaneamente.

240, 160 2 120, 80 2 60, 40 2 30, 20 2 15, 10 5 3, 2 Portanto, 𝑚𝑑𝑐(240,160) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 80. Isto significa que cada grupo terá 80 detentos. Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400 dividido por 80 é igual a 5). Gabarito: A 25. (VUNESP 2010/Instituto Butantan)

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Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia

(A) 28, às 19 horas. (B) 28, às 23 horas. (C) 29, às 7 horas. (D) 29, às 11 horas. (E) 30, às 7 horas. Comentário

Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

4, 8, 10 2 2, 4, 5 2 1, 2, 5 2 1, 1, 5 5 1, 1, 1

Desta forma, 𝑚. 𝑚. 𝑐. (4,8,10) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. Isto significa que os 3 medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Ora, sabemos que 40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1 𝑑𝑖𝑎 + 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de novembro de 2009. 7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de 2009. Gabarito: B 26. (VUNESP 2010/Pref. de Sorocaba)

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Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia

a) 15 de maio b) 26 de maio c) 25 de junho d) 30 de junho e) 27 de julho Comentário

Para calcular o período que os três trabalham juntos, devemos calcular o mínimo múltiplo comum de 10, 15 e 18.

10,15, 18 2 5, 15, 9 3 5, 5, 3 3 5, 5, 1 5 1, 1, 1

Assim, 𝑚𝑚𝑐(10,15,18) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 90 dias. Observe que o problema não considera meses de 30 dias. Devemos considerar a quantidade de dias que cada mês realmente tem. Muitas pessoas confundem os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses.

Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo.

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Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:

Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo:

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Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo:

Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias). Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. Como o mês de março possui 31 dias, então vamos contar 4 dias em março. O mês de abril tem 30 dias e o mês de maio tem 31 dias. Já contamos 4 + 30 + 31 = 65 𝑑𝑖𝑎𝑠. Para completar os 90 dias, precisamos de 90 − 65 = 25 dias, que serão contados em junho. Portanto, próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia 25 de junho.

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Gabarito: C 27. (VUNESP 2009/SEAP-AP) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada

(A) 1 h 24 min. (B) 1 h 18 min. (C) 1 h 12 min. (D) 1 h 06 min. (E) 1 h. Comentário

Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

36, 24, 18 2 18. 12, 9 2 9, 6, 9 2 9, 3, 9 3 3, 1, 3 3 1, 1 , 1

Desta forma, 𝑚. 𝑚. 𝑐. (36,24,18) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 72 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 72 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑚𝑖𝑛 + 12 𝑚𝑖𝑛 = 1ℎ 12 𝑚𝑖𝑛 Gabarito: C 28. (FCC 2011/TRT 24ª Região) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo,

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se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência NÃO ocorrerá em

(A) 18 de maio. (B) 24 de abril. (C) 31 de março. (D) 10 de fevereiro. (E) 18 de janeiro. Comentário

O intervalo das coincidências é calculado a partir do M.M.C. dos períodos.

6, 8 2 3, 4 2 3, 2 2 3, 1 3 1,1

Assim, 𝑚𝑚𝑐(6,8) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24. Ou seja, os plantões coincidem a cada 24 dias. Houve uma coincidência no dia 25 de dezembro de 2010. Vamos avançar de 24 em 24 dias. A próxima coincidência será no dia 18 de janeiro (6 dias de dezembro mais 18 dias de janeiro = 24 dias). Em seguida, há uma coincidência no dia 11 de fevereiro (13 dias em janeiro mais 11 dias de fevereiro = 24 dias). Já podemos marcar a alternativa D.

A próxima coincidência será no dia 7 de março (17 dias em fevereiro mais 7 dias de março = 24 dias). Como 7 + 24 = 31, então a próxima coincidência é no dia 31 de março.

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Correndo mais 24 dias, chegamos no dia 24 de abril. Finalmente, a próxima coincidência será no dia 18 de maio (6 dias em abril + 18 dias de maio = 24 dias). Gabarito: D (SABESP 2014/FCC) Para responder às questões seguintes, considere as informações abaixo. Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. O tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, a dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento completo cumprindo rigorosamente as instruções de doses e horários. 29. Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a

(A) 90. (B) 88. (C) 96. (D) 92. (E) 66. Comentário

O tratamento durará 5 dias e meio. Como cada dia tem 24 horas, o tempo total do tratamento será de 5,5 x 24 = 132 horas. Luiz toma o remédio X a cada 3 horas, assim ele tomará o remédio X 132/3 = 44 vezes. Como em cada vez que ele toma o remédio X ele deve ingerir apenas um comprimido, então ele deve ingerir 44 comprimidos do remédio X. Luiz toma o remédio Y a cada 5 horas. Dividindo 132 por 5, teremos 26 e resto 2, ou seja, ele tomará o remédio Y 26 vezes. Em cada vez que ele toma o remédio Y ele deve ingerir dois comprimidos. Portanto, ele deve tomar 26 x 2 = 52 comprimidos do remédio Y. O total de comprimidos ingeridos por Luiz é igual a 44 + 52 = 96.

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Gabarito: C 30. Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, simultaneamente, as doses dos remédios X e Y foi no sábado às

(A) 11 horas. (B) 8 horas. (C) 23 horas. (D) 13 horas. (E) 16 horas. Comentário

Luiz toma o remédio X a cada 3 horas e o remédio Y a cada 5 horas. Para saber de quanto em quanto tempo ele toma os dois remédios simultaneamente, devemos calcular o MMC (mínimo múltiplo comum) entre 3 e 5. Para tanto, vamos fatorar os dois números simultaneamente.

3,5 3 1,5 5 1,1

Concluímos que mmc(3,5) = 3x5 = 15, ou seja, Luiz toma os dois remédios simultaneamente a cada 15 horas. Dividindo 132 por 15, obteremos quociente 8 e resto 12. Isto significa que ele tomará os dois remédios juntos 8 vezes. Como o intervalo é de 15 horas, a oitava e última vez em que ele tomará os dois remédios juntos será daqui a 8 x 15 = 120 horas. Cada dia tem 24 horas, portanto 120 horas = 120/24 = 5 dias. Ele começou o tratamento tomando os dois remédios juntos na segunda-feira às 8 da manhã. A última vez em que ele tomará os dois remédios juntos será exatamente 5 dias depois, ou seja, sábado às 8 da manhã. Gabarito: B

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31. (FCC 2009/SEFAZ-SP) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será

(A) 2013 (B) 2014 (C) 2016 (D) 2018 (E) 2019 Comentário

Para verificar se um ano é bissexto ou não, devemos dividir o ano por 4 e verificar o resto. Se o resto for igual a 0, então o ano é bissexto e tem 366 dias, caso contrário, não será um ano bissexto e terá 365 dias. Gosto de dar uma boa dica para verificar se um ano é ou não bissexto. Para começar, os anos bissextos devem ser pares. Ora, sabemos que os anos pares ou são anos de Copa do Mundo ou são anos de Olimpíadas. Se o ano for de Copa do Mundo, então não é bissexto. Se o ano for de Olimpíada, então o ano é bissexto. Gostou? Quando dividimos 2010 por 4, obtemos resto igual a 2. O ano de 2010 não é um ano bissexto porque não é divisível por 4, portanto tem 365 dias. Estamos em Copa do Mundo, 2010 não é, portanto, um ano bissexto. Para saber o número de semanas em um ano, basta dividir 365 por 7.

365/ 7 1 52

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Isto significa que os anos não bissextos possuem 52 semanas completas e mais 1 dia. Ou seja, cada dia da semana aparece em um ano exatamente 52 vezes, sendo que um desses dias aparece 53 vezes. O dia da semana que aparece 53 vezes é o dia que começa e termina o ano. No caso de 2010, este dia é sexta-feira. Concluímos que o ano de 2010 começou na sexta-feira e terminará na sexta-feira. Se o ano for bissexto, serão dois dias que aparecerão duas vezes: o dia da semana que começará o ano (1º de janeiro) e o dia da semana que for 2 de janeiro. Seguindo o mesmo raciocínio, o dia da semana de 31 de dezembro é o mesmo de 2 de janeiro. Se 2010 terminará na sexta-feira, então 2011 (que também não é bissexto porque é ímpar) começará e terminará no sábado. 2012 é um ano bissexto (é divisível por 4 e será ano de Olimpíada). Como 2011 terminará no sábado, então 2012 começará no domingo. O dia 2 de janeiro será uma segunda-feira. Portanto, 2012 terminará na segunda-feira. Seguindo mesmo raciocínio, 2013, que não é bissexto (porque é ímpar), começa e termina na terça-feira. 2014 (também não é bissexto porque o resto da divisão por 4 é igual a 2. Lembre-se que 2014 será a Copa do Mundo no Brasil) começa e termina na quarta-feira, 2015 (também não é bissexto porque é ímpar) começa e termina na quinta-feira. 2016 (basta dividir 2016 por 4 e verificar que o resto da divisão é 0) é um ano bissexto e começará na sexta-feira. O dia 2 de janeiro de 2016 será um sábado. Portanto, 2016 terminará no sábado. O ano de 2017, que não é bissexto (porque é ímpar), começará e terminará no domingo. Assim, o ano de 2018 começará na segunda-feira. Gabarito: D (FCC 2009/SEFAZ-SP) Instruções: Para responder às questões seguintes, considere o texto e o quadro abaixo. O tabuleiro a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 6º ano.

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A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação obtida no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador que primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor. 32. Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados nas diversas casas do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número

(A) 77 (B) 81 (C) 84 (D) 87 (E) 96 Comentário

O número a ser trocado, deve possuir os mesmos restos das divisões de 27 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 respectivamente. Obviamente não precisamos testar as divisões por 1, já que qualquer número inteiro dividido por 1 deixa resto 0.

O resto da divisão de 27 por 2 é igual a 1. O resto da divisão de 27 por 3 é igual a 0. O resto da divisão de 27 por 4 é igual a 3. O resto da divisão de 27 por 5 é igual a 2. O resto da divisão de 27 por 6 é igual a 3.

77 Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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O resto da divisão de 77 por 2 é igual a 1. O resto da divisão de 77 por 3 é igual a 2. O resto da divisão de 77 por 4 é igual a 1.

O resto da divisão de 77 por 5 é igual a 2. O resto da divisão de 77 por 6 é igual a 5.

Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa A é falsa.

81

O resto da divisão de 81 por 2 é igual a 1. O resto da divisão de 81 por 3 é igual a 0. O resto da divisão de 81 por 4 é igual a 1. O resto da divisão de 81 por 5 é igual a 1.

O resto da divisão de 81 por 6 é igual a 3.

Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa B é falsa.

84

O resto da divisão de 84 por 2 é igual a 0.

O resto da divisão de 84 por 3 é igual a 0. O resto da divisão de 84 por 4 é igual a 0.

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O resto da divisão de 84 por 5 é igual a 4. O resto da divisão de 84 por 6 é igual a 0.

Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa C é falsa.

87

O resto da divisão de 87 por 2 é igual a 1. O resto da divisão de 87 por 3 é igual a 0. O resto da divisão de 87 por 4 é igual a 3. O resto da divisão de 87 por 5 é igual a 2. O resto da divisão de 87 por 6 é igual a 3.

A lista de restos coincidiu e a resposta é a letra D.

96

O resto da divisão de 96 por 2 é igual a 0.

O resto da divisão de 96 por 3 é igual a 0. O resto da divisão de 96 por 4 é igual a 0. O resto da divisão de 96 por 5 é igual a 1. O resto da divisão de 96 por 6 é igual a 0.

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Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa E é falsa. Não precisaríamos efetuar todas as divisões. Quando você percebe que algum resto não coincide, podemos eliminar a alternativa e verificar a próxima. Gabarito: D 33. Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o jogo, pois não conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é chamada de “buraco negro”. Para que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, necessariamente, estar numa outra casa específica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obter pontuação igual a

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Comentário

O “buraco negro” é uma casa que a pessoa fica presa, ou seja, o número de casas a serem avançadas ao lançar o dado é igual a 0. Isto significa que é um número divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Para encontrar um número que seja divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devemos calcular o mínimo múltiplo comum entre eles.

1,2,3,4,5,6 2 1,1,3,2,5,3 2 1,1,3,1,5,3 3 1,1,1,1,5,1 5 1,1,1,1,1,1

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Desta forma, 𝑚𝑚𝑐(1,2,3,4,5,6) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60. Isto significa que os múltiplos de 60 são divisíveis (deixam resto 0) por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O único número apresentado no jogo que é múltiplo de 60 é o próprio 60. Este é o buraco negro.

Buraco Negro

Perceba: quando dividimos 60 por 1, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. Quando dividimos 60 por 2, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. Quando dividimos 60 por 3, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. Quando dividimos 60 por 4, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. Quando dividimos 60 por 5, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. Quando dividimos 60 por 6, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. Interessante, não? Bom, vamos voltar à questão. Se o aluno estiver na casa de número 8 há alguma chance de ele avançar apenas uma casa para cair no buraco negro? Vejamos:

8 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 8 dividido por 2 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 8 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avança duas casas e pula o buraco negro.

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8 dividido por 4 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 8 dividido por 5 deixa resto 3, o aluno avança três casas e pula o buraco negro. 8 dividido por 6 deixa resto 2, o aluno avança 2 casas e pula o buraco negro.

Esta não é a casa que procuramos.

Se o aluno estiver na casa de número 41 há alguma chance de ele avançar duas casas para cair no buraco negro?

41 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 41 dividido por 2 deixa resto 1, o aluno avança apenas uma casa e não cai no buraco negro. 41 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avança duas casas e cai no buraco negro.

Esta é a casa que nos interessa. Portanto, o aluno deve estar na casa de número 41 e obter 3 pontos no dado. Gabarito: B 34. (CEPERJ 2009/SEPLAG-RJ) Em certa cidade de Minas Gerais, foi terminada em 1832 a construção de uma igreja dedicada a São José. O padre que inaugurou a igreja decretou que, a cada 7 anos os fiéis deveriam fazer uma grande festa em homenagem ao santo. Como esta tradição foi mantida, o próximo ano de realização da festa será:

a) 2010 b) 2011 c) 2012 d) 2013

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e) 2014 Comentário

Já que a festa acontece de 7 em 7 anos, a diferença entre o próximo ano de festa e 1832 deve ser múltiplo de 7. 2010 – 1832 = 178 (não é múltiplo de 7). 2011 – 1832 = 179 (não é múltiplo de 7). 2012 – 1832 = 180 (não é múltiplo de 7). 2013 – 1832 = 181 (não é múltiplo de 7). 2014 – 1832 = 182 (é múltiplo de 7). Portanto, a próxima festa será em 2014. Gabarito: E. 35. (CESGRANRIO 2014/Petrobras) O produto de dois números naturais, x e y, é igual a 765. Se x é um número primo maior que 5, então a diferença y – x é igual a

(A) 6 (B) 17 (C) 19 (D) 28 (E) 45 Comentário

Queremos descobrir dois números que multiplicados resultam em 765. Como são muitas possibilidades, vamos fatorar este número.

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765 3 255 3 85 5 17 17 1

Assim, descobrimos que 765 é o produto dos números 3, 3, 5 e 17. Queremos que x seja um número primo maior que 5. A única possibilidade é fazer x = 17. Se x = 17, então y = 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45. Portanto, y – x = 45 – 17 = 28. Gabarito: D 36. (VUNESP 2016/CM de Registro) Dois amigos brincam com seus carros de controle remoto em uma pista circular. Os carros partiram de um ponto A e, enquanto o carro mais rápido demora 1min 30s para dar uma volta completa na pista, o outro carro demora 1min 35s. Quando os dois carros passarem ao mesmo tempo pelo ponto A, pela primeira vez, o carro mais lento terá dado um número de voltas na pista igual a

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22 Comentário

O carro mais rápido demora 1 min 30 s = 90s para dar uma volta completa e o carro mais lento leva 1min35s = 95s. Para calcular o tempo que eles levarão para se encontrarem novamente no ponto A, vamos calcular mmc(90,95).

90, 95

2

45, 95

3

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15, 95

3

5, 95

5

1, 19

19

1, 1

Destarte, mmc(90,95) = 2x3x3x5x19 = 1710 segundos. O carro mais lento leva 95 segundos para dar uma volta. em 1710 segundos ele dá 1710/95 = 18 voltas. Gabarito: C 37. (FCC 2010/Metro-SP) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às

(A) 19h42min. (B) 21h48min. (C) 21h36min. (D) 23h42min. (E) 23h48min. Comentário

Para calcular o período de coincidência dos eventos, devemos calcular o MMC entre 78 e 84.

78, 84 2 39, 42 2 39, 21 3 13, 7 7 13, 1 13 1,1 Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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Assim, 𝑚𝑚𝑐(78,84) = 2 × 2 × 3 × 7 × 13 = 1.092 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. Vamos dividir este tempo por 60 para transformá-lo em horas.

1.092 å 60 12 𝑚𝑖𝑛 18 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Concluímos que eles se encontram a cada 18 horas e 12 minutos. Eles se encontraram às 5 horas e 30 minutos. O próximo encontro será às:

5ℎ 30 𝑚𝑖𝑛 +18ℎ 12 𝑚𝑖𝑛 23ℎ 42 𝑚𝑖𝑛 Gabarito: D 38. (FUNIVERSA 2012/SEPLAG-DF) Durante uma excursão de um grupo de amigos, na qual participavam 15 homens, 18 mulheres e 21 crianças, ao programarem um passeio de jangada, decidiram que cada jangada levaria um grupo formado só por homens ou só por mulheres ou só por crianças, com o maior número possível de pessoas em cada jangada. Se todos participaram desse passeio e, em cada jangada, havia o mesmo número de pessoas, é correto concluir que as jangadas que levaram só as mulheres para o passeio programado foram em número de

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 18 Comentário

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Se em cada jangada há o mesmo número de pessoas, então esse número deve ser divisor de 15, 18 e 21. Além disso, tem-se o maior número possível de pessoas em cada jangada. Dessa forma, o número de pessoas em cada jangada é o máximo divisor comum de 15, 18 e 21. Vejamos novamente o porquê de o número de pessoas ser o MDC. “Máximo” porque queremos o maior número possível de pessoas “Divisor Comum” porque tem-se o mesmo número de pessoas nas jangadas, portanto o número de pessoas em cada jangada é um divisor de 15, 18 e 21. O MDC de 15,18 e 21 é igual a 3. Assim, cada jangada levará 3 pessoas. Temos 18 mulheres, portanto serão 6 jangadas com 3 mulheres. Gabarito: C 39. (CETRO 2010/ANVISA) Entre os números 5.028, 1.331, 3.375, 2.744 e 4.096, assinale a alternativa que apresenta aquele que não foi obtido a partir da mesma relação matemática que os demais.

a) 1.331. b) 2.744. c) 3.375. d) 4.096. e) 5.028 Comentário

Observe que: 1.331 = 11W 3.375 = 15W 2.744 = 14W 4.096 = 16W

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Os números acima são cubos perfeitos. O número 5.028 não é um cubo perfeito. Gabarito: E 40. (AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) Se os elementos de um conjunto A são todos os divisores positivos de 12, então esse conjunto será dado por

(A) A = {1, 2, 3, 4, 6} (B) A = {2, 3, 4, 6, 12} (C) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} (D) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} (E) A = {1, 12} Comentário

O número 1 é o divisor universal, ou seja, ele é divisor de todos os números inteiros. Um número x é divisor de y quando a divisão de y por x é exata (resto zero). Assim, os divisores positivos de 12 são {1,2,3,4,6,12}. Gabarito: D. 41. (BIORIO 2016/Eletrobrás) A quantidade de xícaras da coleção de Marcela é igual à metade da quantidade xícaras da coleção de Laura. Se somarmos a quantidade de xícaras das duas coleções, essa soma pode ser igual a:

a) 64 b) 65 c) 66 d) 67 e) 68

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Comentário

Se a quantidade de xícaras de marcela for N, a quantidade de Laura será igual a 2N. A soma dessas quantidades é N + 2N = 3N. A quantidade de xícaras é um número inteiro. Portanto, o total de xícaras, 3N, tem que ser um múltiplo de 3.

Dentre as alternativas, a única que é divisível por 3 é 66. Gabarito: C 42. (VUNESP 2010/TJ-SP) Uma barra de madeira maciça, com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, tem as seguintes dimensões: 48 cm, 18 cm e 12 cm. Para produzir calços para uma estrutura, essa barra deve ser cortada pelo carpinteiro em cubos idênticos, na menor quantidade possível, sem que reste qualquer pedaço da barra. Desse modo, o número de cubos cortados será igual a

a) 54 b) 52 c) 50 d) 48 e) 46 Comentário

Um cubo tem as três dimensões com a mesma medida. Esta medida deve ser um divisor comum de 48, 18 e 12. Devemos calcular o divisor comum destes 3 números porque não pode restar qualquer pedaço da barra. E não pode ser um divisor comum qualquer. O enunciado fala explicitamente que devemos utilizar a menor quantidade possível de cubos. Para que utilizemos a menor quantidade possível de cubos, estes cubos devem ter a maior dimensão possível. Desta forma, a dimensão do cubo é o maior divisor comum de 48, 18 e 12. Matemática e Raciocínio Lógico p/ PC-DF (Agente) Com Videoaulas - Pós-Edital www.estrategiaconcursos.com.br

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Vamos efetuar divisões sucessivas por números que dividam simultaneamente os números dados.

48,18,12 2 24, 9, 6 3 8, 3, 2

mdc (48,18,12) = 2 x 3 = 6. A dimensão de cada cubo é de 6 centímetros. O volume do paralelepípedo é o produto das suas três dimensões. O volume do cubo é o produto das suas três dimensões. Para calcular a quantidade de cubos, vamos dividir o volume do paralelepípedo pelo volume de cada cubo.

48 × 18 × 12 = 48 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 6×6×6 Gabarito: D 43. (FCC 2016/ TRF 3ª Região 2016/Técnico Judiciário) O valor da expressão numérica 0,00003 ∙ 200 ∙ 0,0014 ÷ (0,05 ∙ 12000 ∙ 0,8) é igual a

𝑎)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10ož 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

𝑏)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10oª 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

𝑐)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10W 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

𝑑) 𝑒)

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10¢ 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10oX 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

Comentário

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Observe que: 0,00003 = 3 . 10-5 200 = 2 . 102 0,0014 = 1,4 . 10-3 0,05 = 5 . 10-2 12.000 = 1,2 . 104 0,8 = 8 . 10-1 Portanto: 0,00003 ⋅ 200 ⋅ 0,0014 3 ⋅ 10ož ⋅ 2 ⋅ 10X ⋅ 1,4 ⋅ 10oW = 0,05 ⋅ 12000 ⋅ 0,8 5 ⋅ 10oX ⋅ 1,2 ⋅ 10V ⋅ 8 ⋅ 10oZ

Para multiplicar potências de mesma base, repetimos as bases e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos as bases e subtraímos os expoentes.

3 ⋅ 10ož ⋅ 2 ⋅ 10X ⋅ 1,4 ⋅ 10oW = 5 ⋅ 10oX ⋅ 1,2 ⋅ 10V ⋅ 8 ⋅ 10oZ

=

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10oT 5 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10Z

=

3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10oª 5 ⋅ 1,2 ∙ 8

Gabarito: B 44. (FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista Judiciário) As letras da expressão x − (w − y) − (z − h), representam números diferentes e serão substituídas, uma a uma e para efeito de cálculo, pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, não

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necessariamente nessa ordem. Opere apenas no conjunto dos números naturais. Para que o resultado da expressão seja 8, as letras w e h devem ser substituídas, respectivamente, por

(A) 15 e 13. (B) 17 e 12. (C) 13 e 9. (D) 15 e 12. (E) 17 e 9. Comentário

O problema mandou operar apenas no conjunto dos números naturais. Portanto, w > y e z > h, pois não subtrair um número menor de um número maior nos naturais. Observe que x não pode ser igual a 9, pois assim jamais obteríamos o resultado igual a 8. Para verificar isto, imagine que x = 9. Para que o resultado fosse 8, teríamos que ter 9 – 1 – 0 ou 9 – 0 – 1, o que é impossível, pois não temos números iguais para termos uma diferença igual a 0

Vamos testar as alternativas. (A) w = 15 e h = 13 x − (15 − y) − (z − 13) Ainda temos os números 9, 12 e 17. z não pode ser 9 nem 12, pois teríamos uma diferença negativa dentro dos parênteses. Portanto, z = 17. x − (15 − y) − (17 − 13) Como x não pode ser 0, então y = 9 e x = 12. 12 – (15 – 9) – (17 – 13) = 12 – 6 – 4 = 2. O resultado não foi 8. A resposta não é a letra A. (B) w = 17 e h = 12. x − (17 − y) − (z − 12) Já sabemos que x não pode ser 9. Como faremos z – 12, z também não pode ser 9. Concluímos que y = 9.

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x − (17 − 9) − (z − 12). Temos agora duas possibilidades: x = 13 e z = 15 ou x = 15 e z = 13. Vamos testar os dois casos. 13 − (17 − 9) − (15 − 12) = 2 15 − (17 − 9) − (13 − 12) = 6 Não obtivemos 8 como resultado. (C) w = 13 e h = 9. x − (13 − y) − (z − 9) y não pode ser 15 nem 17, pois teríamos uma diferença negativa (lembre-se que estamos operando nos números naturais). Portanto, y = 12. x − (13 − 12) − (z − 9) Temos duas possibilidades: x = 15 e z = 17 ou x = 17 e z = 15. Vamos testar. 15 − (13 − 12) − (17 − 9)=6 17 − (13 − 12) − (15 − 9)=10 Não obtivemos 8 como resultado. (D) w=15 e h=12. x − (15 − y) − (z − 12) Já sabemos que x não pode ser 9. z, neste caso, também não pode ser 9. Portanto, y = 9. x − (15 − 9) − (z − 12) Temos dois casos para testar: x = 13 e z = 17 ou x = 17 e z = 13. 13 − (15 − 9) − (17 − 12)=2 17 − (15 − 9) − (13 − 12)=10 Não obtivemos 8 como resultado. Por exclusão você marcaria a alternativa E. Vejamos.

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(E) w = 17 e h = 9. x − (17 − y) − (z − 9) Temos 6 casos a testar. i) x = 12, y = 13, z =15 ii) x = 12, y = 15, z = 13 iii) x = 13, y = 12, z = 15 iv) x = 13, y = 15, z = 12 v) x = 15, y = 12, z = 13 vi) x = 15, y = 13, z = 12 i) 12 − (17 − 13) − (15 − 9) = 2 ii) 12 − (17 − 15) − (13 − 9) = 6 iii) 13 − (17 − 12) − (15 − 9) = 2 iv) 13 − (17 − 15) − (12 − 9) = 8 v) 15 − (17 − 12) − (13 − 9) = 6 vi) 15 − (17 − 13) − (12 − 9) = 8 Obtivemos 8 em dois casos. iv) x = 13, y = 15, z = 12 vi) x = 15, y = 13, z = 12 Gabarito: E 45. (CESGRANRIO 2015/LIQUIGAS) A fração 2/13 pode ser representada pela dízima periódica 𝟎, ‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ 𝟏𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔 a qual o traço acima dos algarismos indica que 1, 5, 3, 8, 4, 6 repetem-se infinitamente nessa ordem após a vírgula. Se a dízima fosse escrita sem usar a notação do traço, ou seja, repetindo-se três vezes o período e indicando a continuação por reticências, qual seria o décimo algarismo após a vírgula?

a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

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Comentário

Basta escrever os 10 primeiros algarismos da parte decimal, lembrando que a sequência de algarismos 153846 se repete infinitas vezes. 0,1538461538... O décimo algarismo após a vírgula é 8. Gabarito: A. 46. (FGV 2006/SERC-MS)

√𝟎, 𝟒𝟒𝟒 … é igual a: a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,555... e) 0,666... Comentário

O primeiro passo é calcular a fração geratriz de 0,444…

‚‚‚ = 0,444 … = 0, 4

4−0 4 = 9 9

Agora vamos calcular a raiz quadrada. 4 2 •0,444 … = ¸ = = 0,666 … 9 3 Gabarito: E

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47. (ESAF 2006/SUSEP) Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 7,233....

a) 723/99 b) 723/90 c) 716/99 d) 716/90 e) 651/90 Comentário

‚‚‚ = 7,233 … = 7,2 3

723 − 72 651 = 90 90

Gabarito: E 48. (ESAF 2006/SUSEP) Indique qual dos números abaixo é um número irracional.

a) 0 b) 0,5 c) 0,33... d) 1/3 e) π, que mede a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. Comentário

Um número é racional quando pode ser escrito como a razão entre dois números inteiros, sendo o denominador diferente de zero. O número 0 é racional, pois 0 = 0/1. O número 0,5 é racional, pois 0,5 = 5/10.

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O número 0,33... é uma dízima periódica. É, portanto, um número racional. Sua fração geratriz é igual a 3/9 = 1/3. 1/3 é uma fração, ou seja, é um número racional. O número π possui infinitas casas decimais não-periódicas. É, portanto, um número irracional. Gabarito: E 49. (ESAF 2006/SUSEP) Calcule (2022)3/2.

a) 0 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16 Comentário

Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes. Portanto, 2022 = 20+2 = 22. Lembre-se ainda que (xy)z = xyz, ou seja, para calcular a potência de uma potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Assim, W

(2X )W/X = 2æX×Xç = 2W = 8 Gabarito: D 50. (ESAF 2006/SUSEP) Dados o conjunto A={2,4,6,8,10} e o conjunto B={x | x ∈ Z, 0 √6. A frase I está errada. II – O número 0,555... é uma dízima periódica e, portanto, é um número racional. A frase II está correta. III – O conjunto dos números inteiros é 𝑍 = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … }. Como o conjunto dos inteiros não é limitado à esquerda, concluímos que todo número inteiro possui antecessor. A frase III está correta.

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Gabarito: E 60. (FCC 2010/Metro-SP) A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova soma será igual a

(A) 102 996. (B) 102 960. (C) 102 876. (D) 101 726. (E) 101 762. Comentário

O maior número de 5 algarismos distintos é 98.765. Vamos assumir que os três números inteiros positivos considerados são iguais a 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧. Portanto, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 98.765 O maior número inteiro de 3 algarismos é 999 (observe que aqui os algarismos não devem ser distintos). Vamos adicionar a cada um dos 3 números o número 999.

𝑥 + 999 + 𝑦 + 999 + 𝑧 + 999 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 3 ∙ 999 = 98.765 + 2.997 = 101.762 Gabarito: E 61. (FCC 2010/ALE-SP) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200 gramas pedidos na receita é

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Comentário

Para calcular a fração correspondente, devemos dividir a quantidade necessária de chocolate pelo total da barra.

200 350

A priori, deveríamos dividir a barra de chocolate em 350 partes iguais e tomar 200 destas partes.

Por outro lado, para facilitar a vida de Ana Maria, podemos simplificar esta fração. Percebe-se facilmente que podemos simplificar a fração por 50.

200 dividido por 50 é igual a 4 e 350 dividido por 50 é igual a 7.

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200 4 = 350 7

Vamos analisar cada uma das alternativas:

FALSO. A barra foi dividida em 16 partes e foram tomadas 9 partes. A fração correspondente é igual a 9/16. FALSO. A barra foi dividida em 15 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a 8/15. VERDADEIRO. A barra foi dividida em 14 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a 8/14. Simplificando a fração por 2 temos:

8 4 = 14 7

FALSO. A barra foi dividida em 12 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a:

8 2 = 12 3

FALSO. A barra foi dividida em 10 partes e foram tomadas 6 partes. A fração correspondente é igual a:

6 3 = 10 5 Gabarito: C

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62. (FCC 2009/Metro-SP) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada?

(A) 212 (B) 224 (C) 252 (D) 266 (E) 284 Comentário

Orozimbo multiplicou 14 por N (este N é “falso”) e obteve 2.142 reais.

14 ∙ 𝑁 = 2.142

𝑁=

2.142 = 153 14

Como o problema informou que Orozimbo inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N, então o valor verdadeiro de N é 135. A quantia certa a ser paga é igual a:

14 × 135 = 1.890 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠

A quantia certa a ser paga difere da errada 2.142 − 1.890 = 252 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. Gabarito: C

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63. (FCC 2006/TRT 4ª Região) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número natural em que todos os algarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é

(A) 27 (B) 29 (C) 33 (D))37 (E) 45 Comentário

Vamos lembrar uma propriedade importante: um número natural é múltiplo de 9 se e somente se a soma dos seus algarismos também for múltiplo de 9. Vejamos alguns exemplos: i) O número 18.324.072 é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que:

1 + 8 + 3 + 2 + 4 + 0 + 7 + 2 = 27

Como 27 (a soma dos algarismos) é múltiplo de 9 (já que 27 = 9 x 3), então o número dado também é múltiplo de 9. ii) O número 893.432 não é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que:

8 + 9 + 3 + 4 + 3 + 2 = 29

Como 29 (a soma dos algarismos) não é múltiplo de 9, então o número dado também não é múltiplo de 9.

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Pois bem, vamos voltar ao enunciado. O problema afirma que existe um número N tal que o produto de N por 9 é um número natural em que todos os algarismos são iguais a 1. Ou seja:

𝑁 × 9 = 111 … 1

O problema é que não sabemos quantos são os algarismos do resultado. Ou seja, não sabemos quantas vezes o algarismo 1 aparece. É neste ponto que entra a propriedade descrita no início da resolução: o resultado 111 … 1 é um múltiplo de 9. Portanto, a soma dos seus algarismos deve ser múltiplo de 9. Podemos por exemplo, colocar o algarismos 1 aparecendo nove vezes.

𝑁 × 9 = 111.111.111 O nove que está multiplicando no primeiro membro “passa” dividindo para o segundo membro.

𝑁=

111.111.111 9

𝑁 = 12.345.679

Se quiser conferir, basta fazer as contas e verificar que 12.345.679 × 9 = 111.111.111 A soma dos algarismos de N é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 37. Observe que o enunciado da questão está “errado”. Isto porque existem outros possíveis valores para N.

Vejamos o raciocínio novamente. Nós descobrimos que a soma dos algarismos de 111 … 1 deve ser um múltiplo de nove. E desta forma, nós fizemos o algarismo 1 aparecendo nove vezes.

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O raciocínio estaria perfeitamente correto se fizéssemos o algarismo 1 aparecendo 18 vezes, ou 27 vezes, ou 36 vezes, ou 45 vezes, etc. Na verdade, existem infinitas respostas para este problema. Vamos fazer com o algarismo 1 aparecendo 18 vezes.

𝑁 × 9 = 111.111.111.111.111.111

𝑁=

111.111.111.111.111.111 9

𝑁 = 12.345.679.012.345.679

Neste caso, a soma dos algarismos de N seria 74. Se quiser conferir, basta fazer o seguinte cálculo:

12.345.679.012.345.679 × 9 = 111.111.111.111.111.111 Gabarito: D 64. (FCC 2010/TRT 12ª Região) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em

(A) 9 de dezembro de 2010. (B) 15 de dezembro de 2010. (C) 14 de janeiro de 2011. (D) 12 de fevereiro de 2011. (E) 12 de março 2011.

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Comentário

Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

15, 12 2 15, 6 2 15,3 3 5,1 5 1, 1

Desta forma, 𝑚. 𝑚. 𝑐. (15,12) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60 𝑑𝑖𝑎𝑠. Houve uma coincidência em 15 de outubro de 2010. Vamos avançar 60 dias. Como há 31 dias em outubro (estamos em 15 de outubro), podemos avançar 16 dias em outubro. O mês de novembro possui 30 dias. Assim, já temos 16 + 30 = 46 dias. Para completar os 60 dias, devemos avançar mais 14 dias em dezembro. Assim, a próxima coincidência será em 14/12/2010. Esta data não aparece nas respostas. Vamos avançar mais 60 dias. Como o mês de dezembro possui 31 dias, então podemos avançar 17 dias em dezembro. O mês de janeiro possui 31 dias. Assim, já temos 17 + 31 = 48 dias. Para completar os 60 dias, devemos avançar 12 dias em fevereiro. Desta forma, a próxima coincidência será no dia 12/02/2011. Gabarito: D 65. (CETRO 2007/TRT-SC) Na reta real da figura abaixo estão representados os números 0; a; 1; b e 2:

O ponto P correspondente ao número a – b encontra-se

(A) à direita de 2.

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(B) entre 0 e 1. (C) entre 1 e 2. (D) à esquerda de 0. (E) entre a e b. Comentário

Como “a” está localizado à esquerda de “b”, então a < b. Portanto, a – b é um número negativo. Gabarito: D 66. (FCC 2016/TRT 14ª Região) Perguntaram para Álvaro, Bernardo e Cléber quantos filhos eles tinham, e eles responderam: - Eu tenho 4 (Álvaro); - Eu tenho 3 (Bernardo); - Eu tenho 5 (Cléber). Sabendo-se que um deles mentiu para mais do que realmente tem, e que os outros disseram a verdade, a soma máxima correta do número de filhos das três pessoas citadas é igual a

a) 7 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 Comentário

Se nenhum deles tivesse mentido, a soma seria 4 + 3 + 5 = 12 filhos. Como um deles mentiu para mais a quantidade de filhos, então o total de filhos é no máximo igual a 12 – 1 = 11. Gabarito: C

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67. (CONSULPLAN 2016/CBM-PA) Um conjunto pode ser representado por meio de uma propriedade que descreve seus elementos. Assim, considere o conjunto A = { x | x é real, inteiro, nulo ou positivo}. Essa propriedade descreve o conjunto dos números

a) Reais b) Inteiros c) Naturais d) Racionais e) Irracionais Comentário

O conjunto A é formado por números reais, inteiros, nulos ou positivos. A resposta não pode ser a alternativa A, pois o conjuntos dos números reais possui elementos que não são inteiros e também elementos negativos. O mesmo ocorre com as alternativas D e E. A resposta não pode ser a alternativa B, pois o conjunto dos números inteiros possui elementos negativos. O conjunto dos números naturais, por sua vez, é formado exatamente por números inteiros nãonegativos. Gabarito: C 68. (FCC 2016/SEDU-ES) Dados os conjuntos 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|−𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟗}; 𝑩 = {𝒚 ∈ ℝ|−𝟕 ≤ 𝒚 ≤ 𝟓}; 𝑪 = {𝒛 ∈ ℝ|−𝟓 ≤ 𝒛 < 𝟑} e 𝑫 = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ 𝑪. Pode-se concluir, corretamente, que a quantidade de números inteiros que pertencem ao conjunto D é igual a

a) 8 b) 10 c) 11

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d) 9 e) 12 Comentário

O primeiro passo é calcular a interseção entre os conjuntos A e B.

A interseção é formada pelos elementos comuns aos dois conjuntos. Desta forma, 𝐴 ∩ 𝐵 = [−3,5]. Vamos agora reunir os conjuntos 𝐴 ∩ 𝐵 e 𝐴 ∩ 𝐵.

Ao reunirmos os dois intervalos acima, teremos o intervalo [-5,5).

O problema pede a quantidade de números inteiros que pertencem a este intervalo. Os números inteiros que pertencem a este conjunto são {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,5}.

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Há 11 elementos neste conjunto. Você pode contar manualmente ou simplesmente calcular a diferença entre o maior e o menor e adicionar 1: 5 – (-5) + 1 = 11. Gabarito: C 69. (ESAF 2010/SMF-RJ) Considere x um número real. A negação da proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é:

a) –1 < x ≤ 2/3. b) –1 ≤ x < 2/3. c) x ≤ –1 e x > 5/3. d) x ≤ –1 ou x > 5/3. e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3. Comentário

A proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 representa a união de dois intervalos. Sempre que tivermos conectivo “ou” envolvendo conjuntos, devemos pensar em UNIÃO. Se tivermos conectivo “e”, devemos pensar em interseção. Outra dica: quando temos o símbolo de ≤ 𝑜𝑢 ≥, o intervalo é fechado, ou seja, inclui as extremidades. Quando temos símbolo de < ou >, o intervalo é aberto, ou seja, exclui as extremidades. O primeiro intervalo começa em 2/3 e vai até 5/3. O outro intervalo começa em -1 e vai até 1. Observe que o número 1 está entre 2/3 e 5/3. Assim, podemos unir os dois intervalos em um só: o intervalo que começa em -1 (sem incluir -1, porque o intervalo é aberto) e que vai até 5/3 (incluindo 5/3, porque o intervalo é fechado).

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Assim, a proposição do enunciado (2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1) é equivalente a −1 < 𝑥 ≤ 5/3, ou seja, 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 ≤ 5/3. Escrevemos a proposição do enunciado de uma maneira mais simples, só isso. Queremos negar esta proposição, ou seja, queremos negar 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 ≤ 5/3. Para tanto, vamos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Esta é a chamada Lei de DeMorgan. A negação pedida é 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 > 5/3. Veja que interessante. Negar a proposição acima é a mesma que calcular o “complementar” do intervalo dado, ou seja, dizer quais são os pontos que não pertencem àquele intervalo.

Gabarito: D 70. (FCC 2016/SEDU-ES) Sendo 𝑨 = √𝟏𝟒, 𝑩 = √𝟕, 𝒆 𝑪 = √𝟐, o valor da expressão numérica

𝑨𝑩 𝑪

é igual a

a) √98/2 b) √7/7 c) 7 d) 2√7 e) 24,5 Comentário

𝐴𝐵 √14 ∙ √7 14 ∙ 7 = =¸ = √49 = 7 𝐶 2 √2 Gabarito: C

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71. (CEPERJ 2010/SEE-RJ) Na igualdade

√𝟕q√𝟓 √𝟕o√𝟓

= 𝒂 + √𝒃 , o valor de 𝒂𝟐 − 𝒃 é:

a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7 Comentário

Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical.

4 √2

Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar “acabar com o número irracional do denominador”. Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2.

4

∙

√2

√2 √2

=

4√2 = 2√2 2

Desta forma:

4 √2

= 2√2

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Vamos lembrar o seguinte produto notável:

(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎X − 𝑏 X

Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado. Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais.

√7 + √5 √7 + √5 √49 + √35 + √35 + √25 7 + 2√35 + 5 12 + 2√35 ∙ = = = X X 7−5 2 √7 − √5 √7 + √5 µ√7¶ − µ√5¶

√7 + √5 √7 − √5

Como

√ªq√ž

= 6 + √35

= 𝑎 + √𝑏 , concluímos que 𝑎 = 6 𝑒 𝑏 = 35

√ªo√ž

O valor de 𝑎X − 𝑏 é 6X − 35 = 36 − 35 = 1 Gabarito: A 72. (ESAF 2008/APO-MPOG) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

𝒛=

𝒙 − 𝟐√𝟑 𝟑 − 𝒚√𝟑

.

Com essas informações, conclui-se que:

a) 𝑥 ∙ 𝑦 = −6 b) 𝑥 + 𝑦 = 6

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c) 𝑥 ∙ 𝑦 = 0 d) 𝑥/𝑦 = 6 e) 𝑥 ∙ 𝑦 = 6 Comentário Racionalizando o denominador:

𝑧=

𝑧=

𝑧=

𝑥 − 2√3 3 + 𝑦√3 ∙ 3 − 𝑦√3 3 + 𝑦√3

3𝑥 + 𝑥𝑦√3 − 6√3 − 6𝑦 9 − 3𝑦 X

(3𝑥 − 6𝑦) + (𝑥𝑦 − 6) ∙ √3 9 − 3𝑦 X

Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. Portanto,

𝑥𝑦 − 6 = 0

𝑥𝑦 = 6 Gabarito: E 73. (FJG 2005/SMF-RJ) 𝟐

𝟔

𝟑

Os valores √𝟒, √𝟖 𝒆 √𝟏𝟔, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação: ¹

Y

-

a) √4 > √16 > √8

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¹

-

Y

b) √4 > √8 > √16 Y

¹

-

c) √16 > √4 > √8 -

¹

Y

d) √8 > √4 > √16 Comentário

Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar, devemos pensar em um número que seja múltiplo dos índices. Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6? Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6. Devemos multiplicar 6 por 1 para obter 6. Devemos multiplicar 3 por 2 para obter 6. Desta forma:

¹∙Y

√4 = •4W = √64

¹

Y∙¹

√16 = •16X = √256

Y

Facilmente percebemos que:

-

-

-

√256 > √64 > √8

Portanto:

Y

¹

-

√16 > √4 > √8

Gabarito: C

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74. (FCC 2016/COPERGAS) O resultado da expressão 𝟏

𝟏

𝟑 − 𝟕𝟑 ∙ 𝟒𝟗𝟑 − 𝟐𝟑 ¡ ∙

𝟏 𝟕 − 𝟒 𝟖

é igual a

a) 7/3 b) 19/8 c) -3/4 d) 13/4 e) 11/6 Comentário

Observe que 49 = 72 , portanto:

Z

Z

Z

X

49W = (7X )W = 7æX×Wç = 7W

E assim,

Z

Z

Z

X

Z X

W

7W ∙ 49W = 7W ∙ 7W = 7æWqWç = 7W = 7Z = 7

Voltemos à expressão:

Z Z 1 7 1 7 1 7 3 − 7W ∙ 49W − 2W ¡ ∙ − = 3 − (7 − 8) ∙ − = 3 − (−1) ∙ − 4 8 4 8 4 8

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1 7 24 + 2 − 7 19 =3+ − = = 4 8 8 8 Gabarito: B 75. (FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité-MG) Considere as igualdades a seguir, em que a é um número real maior do que zero e b e c são números inteiros positivos.

𝑰. •𝒂𝟐 = ±𝒂 𝒃

𝒃

𝑰𝑰. 𝒂o 𝒄 = ¸

𝟏 𝒄 ¡ 𝒂

𝒃𝟐

𝒃 𝑰𝑰𝑰. •𝒂𝒃𝒄 = √𝒂𝒄

Baseando-se nessas informações, estão incorretas as igualdades:

a) I e II, apenas. b) I e III, apenas. c) II e III, apenas. d) I, II e III. Comentário

Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos: (+5)X = 25 (−5)X = 25 Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. De acordo com a definição, √25 = 5. O enunciado afirma que a é um número positivo. Desta maneira, √𝑎X = 𝑎. Cuidado, pois nem sempre √𝑎X = 𝑎 é uma sentença verdadeira. Isto só ocorre quando a ≥ 0. Desta forma, o item I está errado.

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Vamos ao segundo item.

¤ 𝑎o é

¤

1 é ê 1 ¤ = ¡ =¸ ¡ 𝑎 𝑎

O item II está errado. Finalmente, vejamos o item III.

ë¹

¤é

é

•𝑎¤é = 𝑎¤¹ = 𝑎¤ = ë√𝑎é

O item III está certo. Gabarito: A 76. (IBFC 2016/TCM-RJ) O resultado da raiz cúbica do número quatro ao quadrado é um número entre:

a) 1 e 2 b) 3 e 4 c) 2 e 3 d) 1,5 e 2,3 Comentário

Como quatro ao quadrado é 16, queremos calcular a raiz cúbica de 16. Observe que 23 = 8 e que 33 = 27. Portanto, a raiz cúbica de 16 é um número entre 2 e 3. Gabarito: C

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77. (FCC 2017/SABESP) Se a = 53000, b = 27000, c = 35000, então

a) b > c > a b) c > a > b c) c > b > a d) b > a > c e) a > b > c Comentário

𝑎 = 5W¢¢¢ = 5W∙Z¢¢¢ = (5W )Z¢¢¢ = 125Z¢¢¢

𝑏 = 2ª¢¢¢ = 2ª∙Z¢¢¢ = (2ª )Z¢¢¢ = 128Z¢¢¢

𝑐 = 3ž¢¢¢ = 3ž∙Z¢¢¢ = (3ž )Z¢¢¢ = 243Z¢¢¢

Desta forma, temos:

243Z¢¢¢ > 128Z¢¢¢ > 125Z¢¢¢

𝑐>𝑏>𝑎 Gabarito: C 78. (FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité) Dados os números naturais a e b, em que mmc(a,b) 72 e o mdc(a,b) = 12, é correto afirmar que o número de divisores do produto ab é

a) 17

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b) 18 c) 24 d) 36 Comentário

Dados dois números naturais a e b, é válida a seguinte relação:

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) ⋅ 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏)

Desta forma, temos:

𝑎 ⋅ 𝑏 = 72 ∙ 12 = 864

Para calcular o número de divisores deste número, precisamos fatorá-lo.

864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

Desta forma, 𝑎𝑏 = 2ž ∙ 3W . Em seguida, devemos adicionar 1 a cada expoente e multiplicar. A quantidade de divisores é igual a (5 + 1)(3 + 1) = 6 ∙ 4 = 24.

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Observação: A questão deveria ser mais rigorosa e pedir a quantidade de divisores naturais do produto ab. Gabarito: C 79. (FCC 2017/SABESP) Se a = 2/5, b = 7/20, c = 9/27 e d = 11/30, então:

a) c < d < b < a. b) b < c< d < a. c) c < b < a < d. d) b < c < a < d. e) c < b < d < a. Comentário

Para comparar frações, devemos reduzir todas ao mesmo denominador. Entretanto, neste caso, é mais rápido transformar as frações em números decimais. a = 2/5 = 0,4. b = 7/20 = 0,35 c = 9/27 = 1/3 = 0,333... d = 11/30 = 0,3666... Desta forma, c < b < d < a Gabarito: E 80. (FCC 2017/SABESP) O número de divisores positivos de 144 é

a) 12 b) 15 c) 16

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d) 14 e) 13 Comentário

Para calcular o número de divisores deste número, precisamos fatorá-lo. 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

Desta forma, 144 = 2V ∙ 3X . Em seguida, devemos adicionar 1 a cada expoente e multiplicar. A quantidade de divisores é igual a (4 + 1)(2 + 1) = 5 ∙ 3 = 15. Gabarito: B 81. (FCC 2013/ALE-PB) Ernesto comprou uma calculadora que está com problemas na realização de adições de números naturais. Algumas adições são feitas corretamente, e outras de forma incorreta, mas seguindo sempre uma mesma lógica. Veja a seguir oito exemplos de adições com os respectivos resultados indicados nessa calculadora:

Ernesto fez nessa calculadora a conta 339+872 e, em seguida, pegou o resultado fornecido por ela e somou, na calculadora, com um número natural que indicaremos por x. O resultado final indicado na calculadora foi 1230. Nas condições descritas, todos os possíveis valores de x vão de

(A) 19 até 29. (B) 20 até 30.

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(C) 10 até 14. (D) 16 até 24. (E) 9 até 20. Comentário

A calculadora está "arredondando" os resultados. Se a soma termina em 0 ou 5, a calculadora fornece o resultado correto. Se terminar em um número diferente de 5, temos duas possibilidades: i) O resultado termina em 1,2,3 ou 4. Neste caso, arredondamos para baixo. ii) O resultado termina em 6,7,8 ou 9. Neste caso arredondamos para cima. Por exemplo, 536+731= 1267. Terminou em 7.. arredondamos para cima = 1270. 234+88=322. Terminou em 2. arredondamos para baixo = 320 97+158 = 255. Terminou em 5, não precisa arredondar. A calculadora não arredonda se terminar em 0 ou 5. Ernesto agora vai fazer a conta 339+872=1211. Vamos arredondar para baixo. A calculadora vai fornecer o número 1210. Agora vamos somar 1210 com um número x e o resultado da calculadora será 1230. Neste caso, se a calculadora fizer a conta correta teremos x = 20. Se a calculadora fizer a conta errada, a calculadora pode arredondar para cima ou para baixo. O menor valor aceito pela calculadora para arredondar para cima será quando 1210+x=1226 --> x = 16. O maior valor aceito pela calculadora para arredondar para baixo será quando 1210+x = 1234 --> x = 24. Portanto, x varia de 16 a 24. Gabarito: D

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82. (FCC 2013/TRT 1ª Região) Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido transcorridos no planeta X, exatamente,

(A) 1ano,6 meses e 4 dias. (B) 2 anos e 4 dias. (C) 2 anos e 14 dias. (D) 2 anos, 5 meses e 14 dias. (E) 2 anos, 5 meses e 4 dias. Comentário

Vamos dividir 365 dias por 133.

365 å 133 99 𝑑𝑖𝑎𝑠 2 𝑎𝑛𝑜𝑠

Assim, em um período de 365 dias, temos 2 anos (de 133 dias) e ainda sobram 99 dias. Cada mês deste planeta fictício tem 133/7 = 19 dias. Vamos dividir os 99 dias por 19 para saber quantos meses temos.

99 𝑑𝑖𝑎𝑠 å 19 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Concluímos que em 365 dias, temos 2 anos, 5 meses e 4 dias no planeta fictício X. Gabarito: E

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83. (FCC 2009/SEFAZ-SP) Um torneio de futebol passará a ser disputado anualmente por seis equipes. O troféu será de posse transitória, isto é, o campeão de um ano fica com o troféu até a próxima edição do torneio, quando o passa para o novo campeão. Uma equipe só ficará definitivamente com o troféu quando vencer quatro edições consecutivas do torneio ou sete edições no total, o que acontecer primeiro. Quando isso ocorrer, um novo troféu será confeccionado. Os números mínimo e máximo de edições que deverão ocorrer até que uma equipe fique com a posse definitiva do troféu valem, respectivamente,

(A) 4 e 7 (B) 4 e 37 (C) 4 e 43 (D) 6 e 36 (E) 6 e 42 Comentário

O número mínimo é dado quando uma das equipes vence as 4 primeiras edições consecutivamente. O número máximo é dado quando cada equipe vencer 6 edições não consecutivas (6x6=36) e alguma das equipes vencer mais uma edição totalizando 37 edições. Gabarito: B 84. (FCC 2009/SEFAZ-SP) Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num dos pátios da escola. Na Espiral do Tempo, todos os anos da era cristã são representados segundo a lógica da figura a seguir, na qual só foram mostrados os anos de 1 a 9.

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A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a mesma lógica dos anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral do Tempo em 2009 é igual a S, então, em 2010, essa soma passará a ser igual a

(A) S + 4040100 (B) S + 4038090 (C) S + 4036081 (D) S + 2010 (E) S + 2009 Comentário

Observe que o número 1 aparece uma vez, o número 2 aparece duas vezes, o número 3 aparece três vezes, o número 4 aparece quatro vezes e assim sucessivamente. Desta forma, o número 2010 aparecerá 2010 vezes. Se a soma dos números até o ano de 2009 é igual a S, então em 2010 a soma será:

𝑆 + 2010 ÏÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÑÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÒ + 2010 + 2010 + ⋯ + 2010 = 𝑆 + 2010 × 2010 = 𝑆 + 4.040.100 X¢Z¢ º£îéïð£ñ

Gabarito: A 85. (AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) Ao final de um campeonato de futebol disputado por cinco times, A, B, C, D e E, verificou-se que o time A ganhou 3/5 os pontos que disputou, enquanto os times B, C, D e E ganharam,

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respectivamente 4/7, 5/8, 1/2 e 1/4 dos pontos que disputaram. Considerando que cada time poderia disputar pela mesma quantidade de pontos, o vencedor desse campeonato foi o time

(A) A. (B) B. (C) C. (D) D. (E) E. Comentário

Para comparar as frações acima, devemos fazer com que todas tenham o mesmo denominador. Vamos calcular o MMC dos denominadores. 5,7,8,2,4

2

5,7,4,1,2

2

5,7,2,1,1

2

5,7,1,1,1

5

1,7,1,1,1

7

1,1,1,1,1

Assim, o MMC(5,7,8,2,4) = 2x2x2x5x7 = 280. Para transformar cada fração, devemos dividir o MMC pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador.

3 4 5 1 1 , , , , 5 7 8 2 4

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As frações equivalentes com denominador 280 são, respectivamente:

168 160 175 140 70 , , , , 280 280 280 280 280

A maior fração é 175/280 = 5/8. Assim, o vencedor desse campeonato foi o time C. Outra maneira seria dividir o numerador pelo denominador, transformando cada fração em um número decimal. A = 3/5 = 0,60 B = 4/7 = 0,57... C = 5/8 = 0,625 D = 1/2 = 0,50 E = 1/4 = 0,25 O número C é o maior de todos e, portanto, o time C é o vencedor. Gabarito: C. 86. (FCC 2011/TRT 24ª Região) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E.

𝑨 𝟗 𝟎 𝑩 𝟐 −𝟕 𝟖 𝑪 𝟗 𝑫 𝟐 𝑬 𝟏 𝟕 𝟖 Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E, que tornam a diferença correta, devem ser tais que (𝑨 − 𝑩 + 𝑪 − 𝑫 + 𝑬)² é igual a

(A) 49 (B) 36 (C) 25

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(D) 16 (E) 9 Comentário

O algarismo D deve ser igual a 4, pois 12 – 4 = 8.

𝐴 9 0 𝐵 2 −7 8 𝐶 9 4 2 𝐸 1 7 8 Assim, B = 7.

𝐴 9 0 7 2 −7 8 𝐶 9 4 2 𝐸 1 7 8 Assim, C = 8.

𝐴 9 0 7 2 −7 8 8 9 4 2 𝐸 1 7 8 E = 0.

𝐴 9 0 7 2 −7 8 8 9 4 2 0 1 7 8 Finalmente, A = 9.

9 9 0 7 2 −7 8 8 9 4 2 0 1 7 8

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Concluindo... 𝐴 = 9, 𝐵 = 7, 𝐶 = 8, 𝐷 = 4, 𝐸 = 0.

(𝐴 − 𝐵 + 𝐶 − 𝐷 + 𝐸)X = (9 − 7 + 8 − 4 + 0)X = 6² = 36 Gabarito: B 87. (FCC 2016/ELETROSUL) Considere o número natural A e o número natural B. Sabe-se que B é divisor de A, e que o quociente entre A e B é igual a 24. O quociente entre o dobro do número A e o triplo do número B é igual a

(A) 12. (B) 16. (C) 8. (D) 15. (E) 36. Comentário

O quociente entre A e B é igual a 24. Como B é divisor de A, então o resto da divisão de A por B é zero.

𝐴 = 24 𝐵

Queremos calcular o quociente entre o dobro de A e o triplo de B.

2𝐴 2 = × 24 = 16 3𝐵 3 Gabarito: B

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88. (FCC 2016/ELETROSUL) Existem três bolos iguais na primeira mesa, e três bolos iguais a esses, na segunda mesa. Os bolos da primeira mesa estavam, respectivamente, divididos em terços, quintos e nonos. Os bolos da segunda mesa estavam, respectivamente, divididos em quartos, sextos e oitavos. João pega um pedaço de cada bolo da primeira mesa e come. A menor quantidade de bolo, expressa em número de fatias inteiras de um mesmo bolo da segunda mesa, que Lucas precisará comer para superar a quantidade de bolo que João comeu é igual a

(A) 3. (B) 5. (C) 4. (D) 6. (E) 2. Comentário

Os bolos da primeira mesa estavam divididos em terços, quintos e nonos. João comeu um pedaço de cada bolo. Assim, a fração que ele comeu foi

1 1 1 15 + 9 + 5 29 + + = = 3 5 9 45 45

Os bolos da segunda mesa estavam divididos em quartos, sextos e oitavos. Queremos calcular a menor quantidade de bolo, expressa em número de fatias inteiras de um mesmo bolo da segunda mesa, que Lucas precisará comer para superar a quantidade de bolo que João comeu. Vamos assumir que Lucas comerá x fatias. Vejamos as três possibilidades. i) Se Lucas for comer as fatias do bolo que está divido em quartos, então:

𝑥 29 > 4 45

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𝑥 >4∙

29 45

𝑥 > 2,57777 …

O menor inteiro maior que este número é 3. Neste caso, Lucas teria comido 3/4 = 75% do bolo. ii) Se Lucas for comer as fatias do bolo que está divido em sextos, então: 𝑥 29 > 6 45 𝑥 >6∙

29 45

𝑥 > 3,8666 …

O menor inteiro maior que este número é 4. Neste caso, Lucas teria comido 4/6 ≈ 66,67% do bolo. iii) i) Se Lucas for comer as fatias do bolo que está divido em oitavos, então: 𝑥 29 > 8 45 𝑥 >8∙

29 45

𝑥 > 5,15555 …

O menor inteiro maior que este número é 6. Neste caso, Lucas teria comido 6/8 = 75% do bolo. Assim, para que Lucas supere a quantidade de bolo comida por João com a menor quantidade inteira de fatias, ele deverá comer 4 fatias do bolo que está dividido em sextos. Gabarito: C 89. (VUNESP 2010/CREA-SP) O quociente A:B entre as expressões 𝑨 = 𝟎, 𝟓 ∙ (𝟑𝟒 − 𝟒𝟐 ) e 𝑩 = Ë√𝟑𝟔 − µ√𝟔𝟒 + 𝟐¶Ì + 𝟏 vale

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a) – 1/3 b) 1/3 c) – 3 d) 3 e) – 9 Comentário

Devemos respeitar a “hierarquia” das operações. Começamos a efetuar as potências e radiciações.

𝐴 = 0,5 ∙ (34 − 4X ) = 0,5 ∙ (34 − 16) = 0,5 ∙ 18 = 9

𝐵 = Ë√36 − µ√64 + 2¶Ì + 1 = [6 − (8 + 2)] + 1 = [6 − 10] + 1 = −4 + 1 = −3

Queremos calcular o quociente A : B.

𝐴 9 = = −3 𝐵 −3 Gabarito: C 90. (VUNESP 2010/Imprensa Oficial-SP) Uma mercadoria custa R$ 395,12. Ao registrar seu preço no sistema, o funcionário responsável digitou os cinco algarismos corretos que compõem o preço, mas numa ordem errada, resultando um valor maior do que o real. Sabendo que a vírgula foi digitada no local correto, a diferença entre o preço registrado pelo funcionário e o preço real pode ser, no máximo de

(A) R$ 179,73 (B) R$ 198,00

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(C) R$ 271,17 (D) R$ 540,09 (E) R$ 558,09 Comentário

O funcionário utilizou os algarismos 3, 9, 5, 1 e 2. Para calcular a maior diferença possível entre o preço registrado pelo funcionário e o preço real, devemos dispor os algarismos em ordem decrescente da esquerda para a direita. O funcionário deve ter digitado o valor R$ 953,21. A máxima diferença será igual a 953,21 − 395,12 = 558,09 reais. Gabarito: E 91. (IBFC 2012/Pref. de João Pessoa) Observe as afirmações: I) O número 124 tem exatamente 6 divisores naturais. II) A soma entre duas dízimas periódicas pode resultar num número inteiro. III) O valor da expressão {−𝟑 ∙ [(−𝟐)𝟐 − (−𝟓)]𝟎 + (−𝟏)𝟑 } = −𝟒. Pode-se dizer que são corretas:

a) I e II, somente. b) Todas c) Somente III. d) II e III, somente. Comentário

Vamos analisar cada uma das sentenças separadamente. I) Para calcular a quantidade de divisores naturais, precisamos fatorar o número. 124 62 31 1

2 2 31

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Assim, 124 = 2X ∙ 31Z Para calcular a quantidade de divisores naturais, devemos adicionar 1 a cada expoente e multiplicar: (2+1)(1+1) = 3 x 2 = 6. O item I está certo. II) O item 2 está certo. Por exemplo:

1 2 + = 1 ⟺ 0,333 … + 0,666 … = 0,999 … = 1 3 3

III) Observe que a expressão dentro dos colchetes está elevada a zero, que resultará em 1.

{−3 ∙ [(−2)X − (−5)]¢ + (−1)W } = {−3 ∙ 1 + (−1)W } = −3 − 1 = −4

O item III está certo. Gabarito: B

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5.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no nosso fórum de dúvidas.

Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato diretamente comigo pelo meu email [email protected]. Um forte abraço e até a próxima aula!!! Guilherme Neves

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