Aula 2 Geodésia

SAVE OFFLINE

Engenharia Civil Geodésia

Geodésia Geométrica e Sistema de Coordenadas Profa. Olga Rubênia Caminha

Geodésia é a ciência que estuda o conjunto de métodos e procedimentos adotados para definir a forma e a dimensão da terra, o seu campo de gravidade e suas variações temporais, tendo como principal objetivo a determinação de coordenadas de pontos situados sobre a superfície terrestre. Divisões da Geodésia

• Geodésia Geométrica estuda o tamanho e forma da terra, a determinação das coordenadas dos pontos, comprimento e azimutes de linhas da superfície terrestre.

• Geodésia Física estuda o campo de gravidade da Terra ou direção e magnitude das forças que mantêm os corpos na superfície e atmosfera da terra. • Geodésia Espacial estuda a determinação de pontos na superfície terrestre através da observação de satélites artificiais

Sistema Geodésico Brasileiro (SGB)

O IBGE responsável pela definição, implantação e manutenção do SGB resolveu através da resolução R.PR 1/2005 adotar como sistema geodésico de referência para o SGB o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS2000). Caracterização do Sirgas2000: Elipsoide: (Global Reference System) GRS 1980 Origem: Datum geocêntrico, ou seja, centro do elipsoide coincidente com o centro de massa da Terra O IBGE estipulou um prazo de 10 anos para a transição do SAD1969 para o SIRGAS2000, durante este período os dois sistemas poderão ser utilizados

1. Geodésia Geométrica e Física Força de gravitação universal: rege-se pela Lei da Gravitação Universal que depende da atração entre objetos devido a sua massa (quantidade de matéria da constituição dos corpos) e distância entre os mesmos e pela segunda Lei de Newton que deduz a força mecânica, em que a mudança na quantidade de movimento depende da força motora impressa, ou seja, a força motora que atua sobre um corpo depende de sua massa e aceleração.

   Fi  m  a n

i 1

F – força resultante (N) m – massa do corpo (gravítica) (kg) a – aceleração absoluta (m/s²)

 m1  m2 Fi  G   2 d i 1 n

F – força gravitacional (N) G – 6,67 . 10-11 N.m²/kg² (constante gravitacional) m1 e m2 – massa dos corpos (kg) d – distância entre os corpos (m)

1.

Geodésia Geométrica e Física

Aceleração gravitacional: rege-se pela Lei da Gravitação Universal, sendo descrita como a intensidade de um campo gravitacional, em determinado ponto da Terra, que pode variar conforme a altitude em relação ao nível do mar e a latitude (j) da localização do corpo. gj  9,780318  (1  0,0053024  sen ²j  0,0000058  sen ²(2j ))  3,086 10 6  h gj – aceleração da gravidade na latitude j (m²/s), h – metros acima do nível do mar, e φ – latitude.

Superfície equipotencial: é aquela que une os pontos de um mesmo potencial em uma única superfície, ou seja, em todos os pontos de uma determinada superfície possui um mesmo valor numérico constante representado por um campo, seja elétrico, eletrostático ou gravitacional.

1.

Geodésia Geométrica e Física

gj  9,780318  (1  0,0053024  sen ²j  0,0000058  sen ²(2j ))  3,086 10 6  h gj – aceleração da gravidade na latitude j (m²/s), h – metros acima do nível do mar, e φ – latitude.

(m/s²)

1.

Geodésia Geométrica e Física

O geóide ou superfície de referência geoidal é uma superfície equipotencial de aceleração gravitacional materializada pelo nível médio dos mares não perturbado. Essa superfície não é regular, devido a variação na constituição densimétrica dos materiais dos materiais que constituem a Terra e a interação com o campo de força gravitacional de outros corpos celestes. Alguns autores definem o geóide como a forma da Terra real. No entanto, este postulado não é adequado para mapeamentos, pois essa superfície não tem uma definição geométrica, mas física.

1.

Geodésia Geométrica e Física

European Space Agency (ESA), Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer (GOCE), 20092013. Precisão:1-2 cm para a resolução vertical com 100 km na resolução horizontal A aceleração gravitacional na superfície terrestre é cerca de 9,8 m/s², variando de um mínimo de 9,788 m/s², no equador, até o máximo de 9,838 m/s² nos polos.

1.

Geodésia Geométrica e Física

1.

1.2

Geodésia Geométrica e Física

Superfície de referência esférica

O esferoide ou superfície de referência esférica é utilizado se a área a ser mapeada for extensa. Este modelo implica em cálculos de trigonometria esférica, mapas de pequenos formatos, que demonstra grandes extensões da superfície terrestre e em escalas pequenas (< 1:5.000.000). Monte Everest 8.844 m ≈ 9 km Fossas das Marianas 11.034 m ≈ 11 km

Terra esférica

6 cm  6 10 5 km

Terra esférica Modelo reduzido

6.378 km 6 10 5 km  9 km x km x  0,084666 mm 6.378 km 6 10 5 km  11 km y km y  0,1034 mm x  y  0,1874 mm  0,2 mm

1.

Geodésia Geométrica e Física

Esferoide: esfera Semieixo maior: 6.371.000,0 m Semieixo menor: 6.371.000,0 m Achatamento (Inverse Flattening): 0,0

1.

Geodésia Geométrica e Física

1.3

Superfície de referência elipsoidal

Elipsoide de Revolução: Sólido geométrico gerado pela rotação da elipse em torno do seu semieixo menor. É a superfície matemática adotada pelos geodesistas para todos os cálculos geodésicos.

1.

Geodésia Geométrica e Física

O elipsoide ou superfície de referência elipsoidal é utilizado se a área mapeada não for pequena e nem tão extensa, sendo o modelo matemático que melhor representa a superfície da Terra. Neste modelo leva-se em conta o achatamento nos polos (ƒ). Depende de cálculos e levantamentos geodésicos, sendo que as medições são reduzidas ao elipsoide de revolução. É adotado nas cartas topográficas (mapeamento sistemático e temático), náuticas e aeronáuticas, em escalas que podem variar de 1:1.000.000 até 1:5.000.

O achatamento, f, é simplesmente uma medida de quanto o eixo de simetria é comprimido em relação ao raio equatorial, ou em relação ao raio polar.

b a

a b

f 

a b b  1 a a

f '

a b b

1º Achatamento

2º Achatamento

GRS_1980 a = Semieixo maior: 6.378.137,0 m b = Semieixo menor: 6.356.752,314140356 m (Inverse Flattening) f = 1º Achatamento :298,257222101 =0,00335 f’ = 2º Achatamento : 297,257222101=0,00336

1.

Geodésia Geométrica e Física Excentricidade: alongamento do eixo maior em relação ao menor (adimensional). GRS_1980 a = Semieixo maior: 6.378.137,0 m b a b = Semieixo menor: 6.356.752,314140356 m a j = 28º 32’ 17’’ S b e² = 0,00669438 e²’ = 0,0067394968 N = 6.383.015,201 m N’ = 6.340.284,872 m

a ²  b² e²  a²

1ª Excentricidade

a ²  b² e'²  b²

2ª Excentricidade

a b b f   1 a a

a b f ' b

1º Achatamento

2º Achatamento

O valor da excentricidade varia entre 0 e 1. O elipsoide estudado em Geodésia tem excentricidade fraca com valor próximo de zero

1.

Geodésia Geométrica e Física

A linha projetante perpendicular ao elipsoide chama-se normal que na figura é representada pelo segmento P’P’’’. A normal é dividida ou caracterizada por duas partes que são a grande e pequena normal. P’P’’’ = N = Grande Normal P’P’’ = N’ = Pequena Normal

Onde φ: é a latitude geodésica de P; e²: é a 1ª excentricidade.

1.

Geodésia Geométrica e Física

Uma esfera possui apenas um raio, já o elipsoide de revolução por possuir semieixos maior e menor, tem a sua curvatura variando entre os valores máximo (a) e mínimo (b). É necessário que se conheça a formulação matemática que permita o cálculo destes raios de curvatura para qualquer ponto da superfície elipisóidica.

Existem infinitos planos que contém a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o elipsoide de revolução, gera o que se denomina seção normal. A cada uma destas seções, corresponde um raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois são de especial interesse, o raio de curvatura da seção 1º vertical (o raio máximo N) e o raio da seção meridiana (o raio mínimo M).

1. Geodésia Geométrica e Física 1.3 Superfície de referência elipsoidal Raio da seção meridiana [M ou R(x,y)] ou Raio mínimo

R ( x, z )  M  Raio médio (Rm)

Rm  M  N

GRS_1980 a = Semieixo maior: 6.378.137,0 m b = Semieixo menor: 6.356.752,314140356 m j = 28º 32’ 17’’ S M = 6.349.987,083 m Rm = 6.366.479,724 m

a  (1  e²)

(1  e²  sen²j )3 a  1  e2 Rm  1  e 2  sen 2j

(

)

1. Geodésia Geométrica e Física 1.4 Relação entre as superfícies de referência física, geoidal e elipsoidal

nível de abstração

1.

Geodésia Geométrica e Física

n

v

i

Superfície Física (S.F.) P

H P’

h

Superfície Geoidal (S.G.)

N P’’

Superfície Elipsoidal (S.E.) Projeção do ponto P na S.F.: na vertical ou linha de prumo formando a reta v; e na direção da normal originando uma reta ortogonal a superfície do elipsoide, a reta n.

hHN

hHN

1.

Geodésia Geométrica e Física

Altitude geométrica ou elipsoidal (h): é a distância medida entre a S.E. de referência e a S.F. (ou superfície topográfica) ou entre P e P’’. Pode ser obtida por levantamento topográfico com equipamento GNSS.

1.

Geodésia Geométrica e Física

Altitude ortométrica (H): é a distância medida entre a S.G. e a S.F. ou entre P e P’. Pode ser obtida por meio de nivelamento geométrico ou trigonométrico, com técnicas de gravimetria e barometria, e modelos de interpolação geoidal.

Ondulação geoidal (N): é a distância entre a S.G. e a S.E., medida ao longo da reta normal (n). Pode ser obtida por meio de cálculos de geodésia física, observações de satélites artificiais, modelos de interpolação geoidal e mapas geoidais.

1.

Geodésia Geométrica e Física

Convenções N+: Geoide acima do elipsoide N-: Geoide abaixo do elipsoide

1.

Geodésia Geométrica e Física

Porque os modelos de ondulações geoidais são necessários? A altitude determinada utilizando um receptor Sistema de Navegação por Satélite - GNSS não está relacionada ao nível médio do mar, mas a um elipsoide de referência com dimensões específicas. Portanto, torna-se necessário conhecer a ondulação geoidal (diferença entre as superfícies do geoide e elipsoide) para que a altitude acima do nível médio do mar possa ser obtida.

1.

Geodésia Geométrica e Física

Porque os modelos de ondulações geoidais são necessários?

2. Sistema de Coordenadas 2.1 Construção do Sistema Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a posição de pontos sobre uma superfície, seja ela um elipsoide, esfera ou plano. Para o elipsoide ou esfera adota-se o sistema de coordenadas esféricas ou, também denominado, sistema de coordenadas geográficas ou geodésicas. Para o plano é usualmente adotado o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. 2.2

Meridianos e Paralelos

Meridianos são círculos máximos que cortam a Terra em duas partes iguais de polo a polo. Sendo assim, todos os meridianos cruzam entre si em ambos os polos. O ponto de partida para a numeração dos meridianos é o que passa pelo Observatório de Greenwich sendo esse o marco (0º). Para leste e oeste, 180º.

2.

Sistema de Coordenadas

Paralelos são círculos que cruzam os meridianos perpendicularmente, isto é, em ângulos retos. Apenas um é o círculo máximo, o Equador (0º). E tanto no hemisfério Sul quanto no Norte eles diminuem de proporção ao se afastar do Equador, se transformando no polo em 90º.

2. Sistema de Coordenadas 2.3 Latitude (j) e Longitude (l) LATITUDE GEOGRÁFICA (j)

É o arco contado sobre o meridiano do lugar e que vai do Equador até lugar considerado. A latitude quando medida no sentido do polo Norte chamada Latitude Norte ou Positiva. Quando medida no sentido Sul chamada Latitude Sul ou Negativa. Sua variação é de: 0º à 90º N ou 0º à 90º; 0º à 90º S ou 0º à - 90º.

o é é +

2.

Sistema de Coordenadas

LONGITUDE GEOGRÁFICA (λ)

É o arco contado sobre o Equador e que vai de Greenwich até o Meridiano do referido lugar. A Longitude pode ser contada no sentido Oeste, quando é chamada LONGITUDE OESTE DE GREENWICH (W Gr.) ou NEGATIVA. Se contada no sentido Este, é chamada LONGITUDE ESTE DE GREENWICH (E Gr.) ou POSITIVA. A Longitude varia de: 0º à 180º W Gr. ou 0º à - 180º; 0º à 180º E Gr. ou 0º à + 180º .

2.

Sistema de Coordenadas

2.

Sistema de Coordenadas

2.

Sistema de Coordenadas

Coordenadas Cartesianas Tridimensionais Este sistema de coordenadas é caracterizado por um conjunto de três eixos (X, Y e Z), ortogonais entre si. A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso, é denominado de geocêntrico. Utilizado para calcular posições em Geodésia pelo sistema GPS. 2.4

0º (Grw)

90º E

2.

Sistema de Coordenadas 2.4 Coordenadas Cartesianas Tridimensionais

Esse sistema utiliza o eixo de rotação médio e o plano equatorial médio, devido a alterações no movimento de rotação da Terra.

Eixo X: Pertence ao plano do Equador positivo apontando para a longitude zero (Grw). Eixo Y: Pertence ao plano do Equador positivo apontando para longitude 90° Este Grw. Eixo Z: Coincidente com o eixo de rotação da Terra positivo para Norte.

Exercícios: 1. Qual é a diferença entre força de gravitação universal e a aceleração da gravidade? 2. O que é uma superfície equipotencial? 3. Explique o que é altitude ortométrica (H) e altitude geométrica (h). Como medilas? 4. O que é ondulação geoidal (N)? 5. Explique as diferenças entre um esferoide e um elipsoide nas aplicações geodésicas e de mapeamento. 6. Faça um estudo de sinal e de posição das medidas h (altitude geométrica), H (altitude ortométrica) e N (ondulação geoidal), nas figuras abaixo:

Exercícios: 7. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Um documento cartográfico a ser produzido na escala 1:10.000.000 utiliza a esfera como superfície de referência. b. ( ) No elipsoide a variável (a) é o semieixo maior, (b) o semieixo menor e (f) o achatamento do elipsoide. c. ( ) O valor do achatamento da esfera é 1. 8. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Para mapas com escala variando de 1:1.000.000 a 1:5.000, adota-se o modelo elipsoidico. b. ( ) Se para um determinado elipsoide o valor de a é 6.378.190 e o f é 1/299,75, então o valor de b é 6.356.910. c. ( ) No caso de uma esfera, a = b e f = 0. d. ( ) Os itens a., b., c. e d. são verdadeiros. 9. No ponto f = 16º 27’45” Sul e l = 49º 25’18” Oeste, foi obtida a altitude geométrica de h = 728,75 m, contudo nesta coordenada a ondulação geoidal é N = 1,29 m. Qual é o valor da altitude ortomérica (H)?

Exercícios: 10. Considerando um elipsoide hipotético denominado GEODT2008, com valor de a = 6378216 e f = 1/299,25, calcule os valores da primeira e da segunda excentricidades (e e e’). 11. Considerando o elipsoide GEODT2008, calcule o valor da grande normal N e da pequena normal N’ para a latitude f = 16º 27’45” Sul. 12. Quais são os valores de N e N’ para um ponto no equador considerando o elipsoide GEODT2008? 13. Calcule f, f’, e, e’, N, N’, M e Rm para o elipsoide de Bessel de 1841, que possui a = 6.377.397,155 e b = 6.356.078,962818189. Considere f = 15º 52’ 30’’. 14. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) O eixo X é orientado negativamente do centro do elipsoide até a intersecção do equador com o antemeridiano de Greenwich. b. ( ) No hemisfério sul a coordenada Z é sempre negativa. c. ( ) O eixo Y é definido pela intersecção do plano do plano meridiano de longitude 90º leste com o plano do equador. d. ( ) Todas as alternativas estão corretas.

Tarefas & Dicas de estudo: Ler Apostila “Elementos de Geodésia” da USP, da autora Nelsi Cogô de Sá, das páginas 20 até 37.