Aula 6 - Elipse COMENTADO

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Curvas Cônicas: A Elipse Aula 6 - Elipse • Elementos e relações geométricas

- Equações da Elipse - Área e Perímetro da Elipse - Propriedade Refletora da Elipse

A Elipse Elipse é o lugar geométrico dos pontos P P de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos, chamados focos ( 1 e 2), têm soma constante e igual ao eixo maior “ ” , que é o segmento de reta que passa pelos dois focos 1 2 . Já o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é 1 2 perpendicular a este chama-se eixo menor 1 2 . As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor e são chamadas, respectivamente, de semieixo maior e semieixo menor , sendo as outras medidas e características relacionadas a estas. P

A1

B2

F1

F2

B1

A2

A Elipse Elementos característicos da elipse e suas relações geométricas: eixo maior; ( semieixo maior) 1 2 P B2 D eixo menor; ( semieixo menor) 1 2 centro; vértices; 1 2 1 2 F1 C A1 focos; 1 2 distância distância focal; ( 1 2 excentricidade; do centro ao foco) 2 corda focal. F Em toda elipse, o semieixo maior é igual à distância do Foco ( 1 ou 2) ao ponto onde ocorre o valor do semieixo menor ( 1 ou 2). Disso resulta que, no triângulo 1 2, tem-se a seguinte relação fundamental de uma elipse:

F2

A2

B1

B2 b A1

F1

F2 c

C

B1

A2

Equações da Elipse y

B2 a A1

F1

b c

F2

C

A2

B1

y A1 F1 a

c B1

b

C F2

A2

B2

x

x

Equações da Elipse Exercício exemplo: determinar a equação da elipse com focos sobre o eixo e centro coincidente com a origem (0; 0), sabendo que o eixo menor = 4 e a distância focal = 8. Qual o valor da ordenada positiva , para um ponto , com abscissa ? y

F1

b=2

a c=4

P F2

(Eq. Reduzida da elipse)

(Eq. Geral da elipse)

Quando Quando

.

x

Equações da Elipse y C(h; k)

x

y

C(h; k)

x

Equações da Elipse Exercício exemplo: seja um cilindro reto circular, com diâmetro de 30 cm, cortado por um plano a 45º com a sua base. Desse corte resulta uma elipse. Determinar todas as características desta elipse, inclusive sua equação. y

B

a A

B

C

45º

A

Características dimensionais:

= 2=

450

= 30

2=

225

B F1

b c

C

A F2

x

Eq. da elipse com centro na origem e focos no eixo x:

Área e Perímetro da Elipse Área :

Perímetro : *

*

aproximado.

Propriedade Refletora da Elipse Em qualquer elipse, um raio emitido de um dos seus focos “reflete-se” na linha da curva, passando pelo outro foco. Esta propriedade tem aplicações em várias áreas, como médico-cirúrgica, odontológica, automobilística, acústica, fotográfica, dentre outras. y

P P F1 F1

F2

x

F2 2𝛼 + 𝛽 = 180

A propriedade refletora da elipse mostra que, em qualquer reta tangente à mesma, pelo ponto de tangência passam retas que se refletem nos focos. O ângulo α, formado entre a tangente e os raios (retas) refletidos é igual nos dois lados 1 e 2.

Elipse e sua propriedade refletora • Se uma fonte de luz ou som é colocada ao mesmo tempo no foco de uma superfície com seções transversais elípticas, então toda a luz ou som é refletido da superfície para o outro foco.

Elipse e sua propriedade refletora •

As galerias de Sussurros – As galerias de sussurros podem ser elípticas ou elipsoidais, e muitas vezes são construídas sob uma cúpula ou uma abóbada.

– Se uma pessoa posicionada em um ponto específico sussurrar algo, outra pessoa, posicionada também em um ponto específico, pode ouvi-la, mesmo que o resto da sala não consiga. Geralmente, estes pontos específicos são os focos da elipse que configura o teto da sala. – Temos o exemplo na Catedral de São Paulo (Saint Paul), que foi a primeira galeria de sussurros, fundada em 1710, em Londres, e o Grand Central Terminal, em Manhattan, New York, os sons são refletidos através dos focos.

Elipse e sua propriedade refletora • Elipses e o dentista – Os dentistas também aproveitam das propriedades da elipse em suas luminárias com espelhos elípticos, que possuem a propriedade de concentrar os raios luminosos em um ponto, que é ajustado pelo dentista para iluminar o dente que está sendo tratado. com isso, os dentistas conseguem duas vantagens: • A primeira é concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando, e • a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o paciente, o que aumentaria o desconforto causado pelo tratamento dentário.

Elipse e sua propriedade refletora • Pedras nos rins

– O fato que uma fonte de luz ou som colocada no foco de uma superfície com seções transversais elípticas, refletido da superfície para o outro foco, também tem aplicações na litotripsia, um tratamento para pedras nos rins. – Em resumo, um refletor com seção elíptica é posicionado de maneira que a pedra nos rins esteja em um dos focos e então, ondas sonoras de alta intensidade geradas no outro foco são refletidas na pedra e a destroem sem danificar o tecido ao redor.

Escoamento sobre formas elípticas

Propriedade Refletora da Elipse 2 Exercício exemplo: considerando a elipse: 2 no ponto de abscissa igual a , calcule a distância de

e a reta , tangente a ela até cada um dos focos. y

b

P1(+3; +1,32) F1

6,92

F2

x

P2(+3; -1,32)

1,32

P1 P1 F1 (3,46+3)

F2 (6,92-6,46)

Exercícios 2 1) Sabendo que uma elipse tem equação: 2 , pedem-se: a) os valores dos semieixos maior e menor b) a imagem geométrica da elipse; c) o valor da distância focal d) a área do retângulo inscrito à elipse, onde os lados menores são perpendiculares ao eixo maior e passam pelos focos; e e) considerando o lado AB do retângulo inscrito com abscissas de e positivas, determinar as equações das retas e , onde é a origem dos eixos cartesianos coincidente com o centro da elipse.

2) Determinar as coordenadas cartesianas dos pontos de interseção da elipse 2 e a reta que passa pelo foco da elipse de abscissa positiva e forma eixo . Mostrar a imagem geométrica aproximada do conjunto.

2 o

com o