CADERNO DE RECOMENDAÇÕES DE USO DAS SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS_9º ANO EF_MATEMÁTICA

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Caderno de recomendações de uso das SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS 9º Ano do Ensino Fundamental Matemática

São Paulo 2018

Caro professor, A realização da Avaliação Diagnóstica neste início de ano tem o propósito de localizar os estudantes em seu momento de aprendizagem, reconhecendo o trajeto já percorrido. Ela foi constituída por uma sondagem de retrospecção da situação de desenvolvimento do aluno, de modo a fornecer elementos para o planejamento e projeção das atividades futuras. Todos os envolvidos no desenvolvimento das aprendizagens dos alunos têm muito a ganhar com as análises e reflexões oriundas dos resultados dessa avaliação, uma vez que a partir delas podese produzir um melhor ajuste do processo ensino-aprendizagem considerando as características dos alunos reveladas nesse processo. Não há como fugir da necessidade de avaliação de conhecimentos, muito embora se possa, com efeito, torná-la eficaz naquilo a que se propõe: a melhora de todo o processo educativo. De fato, a avaliação representa um dos pontos vitais para o alcance de uma prática pedagógica competente. Ela é um desafio que exige mudanças por parte do professor. Mudança requer muito estudo, busca por inovação, reflexão e ação que provoquem mudanças na postura frente às ações a serem desencadeadas em sala de aula, possibilitando aos alunos maior autonomia no desenvolvimento de seu conhecimento. Partindo desses princípios é que vamos discutir as questões propostas na avaliação diagnóstica e, de acordo com as dificuldades apresentadas pelos alunos, vamos fazer indicações de trabalho com determinado grupo de atividades que possibilitarão a eles construir, modificar, enriquecer e diversificar seus esquemas de conhecimento, a partir do significado e do sentido que poderão atribuir aos conteúdos envolvidos e ao próprio fato de aprendê-los. Sabemos que o tempo destinado às semanas de apoio às aprendizagens é pouco para a aplicação de todas as sequências didáticas disponibilizadas, portanto sugerimos que você professor, no momento do planejamento, escolha a(s) mais adequada(s) a sua turma e reserve as demais para utilização no momento que achar mais adequado durante o ano letivo. Por esse motivo, elaboramos o roteiro de indicações de uso das sequências didáticas alinhado com o resultado da avaliação diagnóstica para que, com esse material, você tenha um apoio para a recuperação contínua. As atividades propostas apoiam-se em processos de investigação, contribuindo para um currículo mais dinâmico e coerente com o raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos. Uma atividade de investigação matemática se diferencia das demais por ser uma situaçãoproblema desafiadora e aberta, possibilitando aos alunos mobilizarem sua intuição e conhecimentos antigos em alternativas diversas de exploração. Esse tipo de atividade de ensino e aprendizagem ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE, BROCADO, OLIVEIRA, 2003, p. 23).

ANÁLISES DAS QUESTÕES DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA E INDICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA.

Nestas análises não vamos necessariamente seguir a ordem das questões apresentadas na avaliação, mas sim considerá-las pelas habilidades que nortearam a sua elaboração e que foram consideradas como essenciais para a continuidade dos estudos neste ano de escolaridade. Vamos iniciar pelas questões que abordaram as seguintes habilidades: reconhecer as diferentes representações de um número racional, localizar números racionais na reta e relacionar um número racional com um conjunto de frações equivalentes. QUESTÃO 3 da Avaliação Diagnóstica Ana precisa digitar a fração 8 na calculadora, mas não consegue. Ela poderá substituir a fração 10

por outras representações. Indique a alternativa que apresenta duas possibilidades que Ana poderá usar: (A) 0,8 e 80% (B) 0,08 e 80% (C) 0,8 e 8% (D) 0,08 e 8% O aluno que escolheu a alternativa A identificou que

8 10

= 0,8 e que também pode ser escrito como

80%. Ao escolher a alternativa B, possivelmente o aluno identificou corretamente a representação percentual, mas se confundiu ao transformar a fração em número decimal, talvez considere que por ser decimal sempre será após a vírgula e o segundo zero vem do número 10. No caso do aluno que indicou a alternativa C, houve a identificação da representação decimal. Para representar a fração como percentual considerou apenas o número indicado no numerador da fração. O aluno que escolheu a alternativa D não identifica nenhuma das duas representações corretas. Talvez considere que por ser decimal sempre será após a vírgula e o segundo zero vem do número 10 e na representação percentual considera apenas o número indicado no numerador da fração.

QUESTÃO 4 da Avaliação Diagnóstica Observe os números representados por letras na reta numérica a seguir:

As letras A e B representam, respectivamente, os números: (A)

0,3 e 1,4

(B)

0,6 e

1 8

(C)

(D)

6 18 e 10 10 1 e 1,9 3

O aluno que indicou a alternativa C reconhece que a unidade de medida é de 2mm e identifica corretamente os números representados pelas letras. Ao indicar a alternativa A, possivelmente, o aluno considerou a unidade de medida indicada na reta numérica como 1mm, contando do zero em direção ao 1 para achar o valor de A e de um em direção ao 2 para achar o valor de B. Outra hipótese seria de escolher uma alternativa que fosse representado apenas por números decimais, por ter mais dificuldade de interpretar frações. O aluno que escolheu a alternativa B percebe que a unidade de medida indicada é de 2mm. A representação decimal está correta e a fração não, mas escolhe essa alternativa talvez por considerar que na fração o traço representa a vírgula do número decimal (1,8). Ao indicar a alternativa D é possível que o aluno tenha considerado a unidade de medida indicada na reta numérica de 1mm. Considerando equivocadamente 1 para representar o número que 3 está entre o 0 e 1 e o 1,9 indicando como sendo a letra B que está próximo do 2.

QUESTÃO 5 da Avaliação Diagnóstica Uma professora pediu para seus alunos pegarem a cartela que apresenta frações equivalentes ao número 0,60. Indique a cartela que eles devem pegar: (A)

3 6 9 ; ; 4 8 12 (B)

3 6 9 ; ; 5 10 15

(C)

6 36 42 ; ; 10 20 30

(D)

60 120 180 ; ; 10 20 30

O aluno que indicou a alternativa B pode ter primeiro representado a fração 6 e em seguida 10

localizou nas cartelas, possivelmente adotando uma estratégia no reconhecimento de frações equivalentes: multiplicou ou dividiu o numerador e o denominador pelo mesmo número diferente de zero. O aluno que optou pela alternativa A possivelmente identificou que essas frações são equivalentes, mas não percebeu que essas frações não representam o número decimal 0,60 mais sim 0,75. Ao escolher a alternativa C o aluno pode ter identificado a fração 6 como uma representação do 10

número 0,60. O que não percebeu foi que apesar de ter uma regularidade (numeradores múltiplos de 6 e denominadores múltiplos de 10) não são frações equivalentes e nem equivalentes ao número 0,60. A opção pela alternativa D mostra que o aluno pode ter representado o número decimal de modo incorreto, como 60 e, em seguida, encontrado frações equivalentes a essa. 10

Professor, se um grupo de seus alunos apresentou dificuldade neste conjunto de questões é recomendado que você, no momento que achar mais adequado durante o ano letivo, proponha a eles que trabalhem com a Sequência Números Racionais - Representações que aborda as seguintes habilidades:   

Localizar números racionais na reta. Reconhecer as diferentes representações de um número racional. Relacionar um número racional com um conjunto de frações equivalentes.

SEQUÊNCIA DIDÁTICA: NÚMEROS RACIONAIS – REPRESENTAÇÕES

Professor o propósito destas discussões é a de promover debates e análises sobre as infinitas possibilidades de representações numéricas e despertar o olhar para aquelas representações que são equivalentes.

ATIVIDADE 1: DE VOLTA AO PASSADO a) Durante toda sua vida escolar você aprendeu que há várias possibilidades de classificar os números. Eles podem ser Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais. No quadro abaixo circule os números naturais, faça um quadrado em torno dos inteiros, um triângulo em torno dos racionais.



Como são chamados os números do quadro que não foram marcados? Números irracionais



Todos os números do quadro são números reais



Você deve ter percebido que alguns números naturais estão representados de um modo 𝟔

“disfarçado”. Quais são eles? 𝟐 e √𝟏𝟔.



Pense em outras representações para esses mesmos números. Espera-se que o aluno reconheça diferentes possibilidades de representação para os números.

b) Todos os números possuem infinitas representações, dentre elas algumas são mais usadas e precisamos ser capazes de as reconhecer rapidamente, principalmente as representações fracionárias e decimais equivalentes. 

Observe as conversões feitas entre duas representações de números racionais. 2 = 0,2 10

45 = 4,5 10

70 = 7,0 = 7 10

2 = 0,02 100

45 = 0,45 100

70 = 0,70 = 0,7 100

2 = 0,002 1000

45 = 0,045 1000

70 = 0,070 = 0,07 1000

Quadro 1

Quadro 2

Quadro 3

Professor, oriente os alunos a observarem o que se mantém e o que muda em cada um dos quadros e que se perguntem “o que será que está acontecendo?” a) Escreva o que descobriu observando o Quadro 1. Espera-se que os alunos identifiquem a relação entre o número de ordens decimais na escrita decimal e o número de zeros no denominador da fração. Essa relação deve ser depois ressaltada por você como a mudança para ordens decimais no quadro de ordens e classes. b) Observando o Quadro 2, complete as conversões:

c) Observando o Quadro 3, faça as conversões da representação decimal para a fracionária. 𝟗𝟎

9,0 = 𝟏𝟎 = 𝟗

20 =

𝟐𝟎 𝟏

=

𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎

0,6 =

𝟔 𝟏𝟎

𝟑𝟔

0,036 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟏

0,001 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟓𝟐

0, 252 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

ATIVIDADE 2: EM BUSCA DA EQUIVALENTE E se a fração não tiver denominador 10, 100, 1000? É preciso escrever uma equivalente a ela que tenha um desses denominadores! Escrever uma fração equivalente a outra significa representar o mesmo número de com outra fração. Existem infinitas frações equivalentes a uma fração dada. Por exemplo: 1 2

2

3

4

5

6

7

8

= 4 = 6 = 8 = 10 = 12 = 14 = 16 = ⋯ 1

Observe que a fração assinalada é uma fração decimal equivalente a 2. a) Encontrar frações equivalentes a cada uma das frações dadas. 1 4

= 𝟖 = 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎 = 𝟐𝟒...

𝟐

3 5

= 2 3

𝟔 𝟏𝟎 𝟒

𝟑

=

𝟗 𝟏𝟓

𝟒

=

𝟔

𝟏𝟐 𝟐𝟎 𝟖

𝟓

=

𝟏𝟓 𝟐𝟓

𝟏𝟎

𝟔

=

𝟏𝟖 ... 𝟑𝟎

𝟏𝟐

= 𝟔 = 𝟗 = 𝟏𝟐 = 𝟏𝟓 = 𝟏𝟖...

b) Dentre as frações acima só uma não tem fração decimal equivalente a ela. Que fração é essa? 𝟐 . 𝟑

Por que não é possível escrever a fração decimal equivalente a ela?

Espera-se que o aluno reconheça que 3 não possui múltiplos como 10, 100, 1.000 etc. Aqui poderá surgir a pergunta sobre como então transformar essas frações em números decimais. Proponha a eles que façam uma pesquisa sobre isso, alertando-os de que encontrarão as dízimas periódicas. Depois proponha que apresentem aos colegas a pesquisa feita.

c) Dê outros exemplos de frações que não possuem frações decimais equivalentes a elas. Os alunos poderão apresentar outras frações com denominador 3, mas poderão surgir também as de denominador 7, 9, 11 etc. d) Que tipo de número essas frações representam? As dízimas periódicas e) Converta as representações fracionárias em representações decimais. 1 4

= 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟓

3 5

= 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟔

5

𝟐𝟓 𝟔

− 3 = - 1, 666...

ATIVIDADE 3: A RETA E OS NÚMEROS SOBRE ELA Outro modo de reconhecer números é posicionando-os numa reta. Para isso, lembre-se de que podemos dividir cada inteiro representado na reta do modo que for mais interessante para o que precisamos.

a) Observe as diferentes divisões feitas nas retas abaixo e complete cada uma com os números que faltam:

b) Complete com > (maior), = (igual) ou < (menor) a partir do que observou nas retas acima. 1

2

−2 > −3

2 3

2

>5

5

4

−4 < −5 −

14 3

>−

9 3

=

15 5

13 6

<

11 5

19 4

c) Ainda observando as retas, complete com frações que tornem as sentenças verdadeiras: ----- < --------- > ----Respostas pessoais

----- = -----

----- > -----

----- < -----

Vamos agora considerar as questões que abordaram as seguintes habilidades: resolver situações-problema que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais e resolver problemas aplicando o Teorema de Tales. QUESTÃO 1 da Avaliação Diagnóstica Na figura a seguir, temos GF//HI. O valor de y no triângulo

(A) (B) (C) (D)

EFG , em centímetros, é igual a:

50. 46. 18. 16.

O aluno que indicou a alternativa C fez uso do Teorema de Tales e provavelmente fez um procedimento como: Os lados

HI

e

GF são paralelos, então:

EH EI 10 30     10 y  180  y  180 : 10  18cm HG IF 6 Y O aluno que optou pela alternativa A embora demonstre conhecimento de que deve escrever uma 6 relação entre as medidas dos segmentos dados, não identifica a relação correta, escrevendo: = 10 𝑦

30

→ 6y = 300 → y = 50cm

Ao escolher a alternativa B o aluno possivelmente adicionou todas as medidas explicitadas na figura, o que mostra a não compreensão do Teorema de Tales. O aluno que optou pela alternativa D reconhece a necessidade de uso da proporcionalidade, mas desconhece como estabelecê-la e, consequente, chega a uma resposta incorreta.

QUESTÃO 6 da Avaliação Diagnóstica Um supermercado vende jarras térmicas de 6L e 10L. A jarra de 6L é vendida por R$ 96,00. Se o preço é proporcional à capacidade de litros, a jarra de 10L custará: (A) R$ 60,00 (B) R$ 160,00 (C)

R$ 192,00

(D) R$ 960,00 O aluno que optou pela alternativa B mostra reconhecer relações de proporcionalidade e aplicá-las em situações diversas. A escolha da alternativa A indica que possivelmente o aluno não entendeu o enunciado do problema fazendo uma escolha aleatória. Ao escolher a alternativa C o aluno pode ter considerado que o preço seria obtido dobrando o preço da jarra de 6L, o que indica que ele reconhece que existe uma relação a ser estabelecida entre os dados por meio de uma multiplicação, mas não identifica qual relação é essa. Ao indicar a alternativa D o aluno entende que na proporcionalidade é preciso usar uma multiplicação, então multiplica por 10 o preço dado no problema.

Professor, ao notar que seus alunos tenham apresentado grande dificuldade nesses tipos de problema é interessante que proponha a eles, no momento que achar mais adequado durante o ano letivo, um trabalho com a sequência de Proporcionalidade.

SEQUÊNCIA DIDÁTICA: PROPORCIONALIDADE Você já pensou em questões matemáticas como algo a ser investigado? Algo que precisa ser observado com cuidado para colher pistas e seguir rastros, como fazem os investigadores, os cientistas? É assim que você poderá agir ao realizar essas atividades! Professor, forme grupos para que os alunos possam conversar sobre as propostas, incentive-os a descobrirem o que está sendo pedido e promova a discussão entre os diferentes grupos de modo que eles próprios possam validar suas descobertas. Só ao final apresente uma síntese das discussões. ATIVIDADE 1: PROPORCIONALIDADE- O QUE É? PARA QUE SERVE? a) Observe as figuras abaixo. Elas correspondem às tentativas de ampliação da figura 1, feitas por um iniciante neste trabalho.

Fig 1

Fig 2

Fig 3

Fig 4

Qual delas é a ampliação correta? Fig 4. Por quê? Espera-se que o aluno observe que esta figura não apresenta deformações em relação à Fig 1.

b) Compare como duas pessoas pensaram na preparação de 6 L de um suco a partir das indicações da embalagem da polpa concentrada.

Vou usar 4 L de água e 2 L de suco

Pessoa1

Vou usar 4,5 L de água e 1,5 L de suco

Pessoa2

Qual das duas pessoas seguiu exatamente as instruções da embalagem? A pessoa 1. Espera-se que o aluno perceba que se com 500 mL se produz 1,5 L de suco é porque se adicionou 1 L de água. Professor quando se trata de reconhecer a proporcionalidade é interessante propor aos alunos que montem uma tabela para que observem a sequência de valores obtidos. Neste caso teríamos: Polpa concentrada

Água

Suco

500 mL

1L

1,5 L

1.000 mL = 1 L

2L

3L

2L

4L

6L

c) Para fazer concreto uma das possibilidades é usar um traço 1:2:3, isto quer dizer que a cada parte de cimento serão adicionadas duas partes de areia e três partes de brita, sempre nessa ordem. Se um pedreiro usar um saco de 50 kg de cimento, então ele deverá usar 100 kg de areia e 150 kg de brita. Duas pessoas fazem um mesmo percurso de 250 km, sem paradas. A primeira gasta 2,5 horas e a segunda 5 horas. O que você pode afirmar sobre a velocidade de cada uma neste percurso? Espera-se que o aluno perceba que ao aumentar o tempo do percurso houve uma diminuição na velocidade. d) Uma máquina produz 80 peças por hora de funcionamento, se forem postas 4 máquinas, desse mesmo tipo, em funcionamento, em quanto tempo serão produzidas as 80 peças? ¼ de hora ou 15 minutos. e) Ao fazer comparações entre as situações apresentadas anteriormente pode-se notar semelhanças e diferenças entre elas. Quais semelhanças você notou? Espera-se que o aluno perceba que em todas há a presença da proporcionalidade

E quais diferenças? Espera-se que o aluno reconheça que em algumas situações ao multiplicar um dos elementos o outro também será multiplicado pelo mesmo fator, o que caracteriza a proporcionalidade direta. Em outros casos tem-se a proporcionalidade inversa, na qual enquanto um é multiplicado o outro será dividido pelo mesmo fator. f)

Quais operações estiveram presentes nas diversas situações? A multiplicação e sua inversa a divisão A ideia que está por trás de todas as situações apresentadas é a de proporcionalidade, direta ou inversa

ATIVIDADE 2: PROPORCIONALIDADE E RAZÃO – A DUPLA PERFEITA Na atividade anterior você fez algumas descobertas sobre a proporcionalidade, nesta você vai investigar o que a proporcionalidade tem a ver com as frações. a) Observe as figuras abaixo e complete.



As figuras 1 e 3 são ampliações da figura 2 porque as medidas de seus lados são proporcionais às medidas dos lados da figura 2 e a forma foi mantida. Na figura 1 as medidas dos lados correspondem ao dobro das medidas dos lados da figura 2. Um outro modo de dizer a mesma coisa é que a relação entre a figura 1 e a figura 2 é de 2:1 (leia de dois para um), isto é, cada 2 quadradinhos que formam os lados da figura 1 corresponde a 1 quadradinho na figura 2.



Na figura 3 as medidas dos lados correspondem ao quádruplo das medidas dos lados da figura 2. Então podemos escrever que a relação entre a figura 3 e a figura 2 é de 4 : 1, porque cada 4 quadradinhos da figura 3 corresponde a 1 da figura 2.



Continuando a pensar do mesmo jeito, o que você pode afirmar sobre as medidas dos lados das figuras 1 e 3? Espera-se que o aluno reconheça que a figura 3 também pode ser considerada uma ampliação da figura 1 na razão de 2 : 1.



Se quisermos pensar que a figura 2 é uma redução da figura 1, como escrever a relação entre elas? Espera-se que o aluno perceba a inversão da situação e, portanto, também a inversão da operação multiplicação para a divisão e a inversão da razão para 1 : 2 As relações 2:1, 4:1, 1:2 que escrevemos para as figuras são chamadas de razão de proporcionalidade e também podem ser expressas na forma de fração 2 4 1 𝑎 , , , … , 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 1 1 2

𝑏≠0

b) Na malha abaixo desenhe a figura 2, proporcional à figura 1, na razão de 1:3 e a figura 3, também proporcional à figura 1, na razão de 1:2.



Ao comparar a figura 2 com a figura 1, a razão de proporcionalidade entre as medidas dos 1

lados é: 3 = 

𝟐 𝟔

Ao comparar a figura 3 com a figura 1, a razão de proporcionalidade entre as medidas dos lados é

1,5 3

=

𝟑 𝟔

𝟏

=𝟐

ATIVIDADE 3: UMA PROPORCIONALIDADE HISTÓRICA a) A observação da proporcionalidade de segmentos está presente na história da Matemática. Foi usando esse conhecimento que Tales de Mileto conseguiu medir a altura da Pirâmide de Quéops no Egito, imaginando os raios solares que provocam a sombra. Veja que ideia genial!

Ele colocou um bastão no limite da sombra lançada pela pirâmide, imaginando o raio de sol tangente aos dois triângulos, demonstrou que a relação entre a primeira sombra e a segunda era a mesma que entre a pirâmide e o bastão e que as medidas dos lados dos dois triângulos são proporcionais.

Disse o filósofo e matemático Michel Serres que “medir o inacessível consiste em reproduzi-lo ou imitá-lo no acessível.”



Use a ideia de Tales para resolver a seguinte questão: A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?

b) O teorema de Tales é hoje assim enunciado: “Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais.” 

Usando esse teorema, imagine que você queira uma estante como a abaixo.

Você passa ao marceneiro as distâncias que quer entre as prateleiras e a primeira medida da haste externa. Como o marceneiro poderá obter as medidas x e y indicadas? Espera-se que o aluno reconheça o Teorema de Tales. 𝟐𝟎

𝐱

𝐲

Encontre essas medidas. 𝟏𝟎 = 𝟒𝟎 = 𝟑𝟎 x = 80 cm e y = 60 cm c) Em muitas situações o Teorema de Tales pode estar “escondido” e é preciso que o façamos “aparecer’, para depois fazermos os cálculos pretendidos. 

Destaque, em cada caso, as paralelas cortadas por transversais.

Fig 1 

Fig 2

Fig 3

Na fig 1 determine x sabendo que AM = 2, MB = 4, AN = 3, NC = x. 𝟐 𝟑 = →𝒙=𝟔 𝟒 𝒙



Na fig 2, determine y sabendo que KM = 3, KD = 7, KC = 5,5, ML = 2 e DC = y. 𝟑 𝟕



𝟐

=𝒚→𝒚=

𝟏𝟒 𝟑

Na fig 3, encontre os valores de w e z sabendo que IJ = 2, HJ = 3, 𝟑

𝟐

HI = z e FG = w. 𝟓 = 𝒘 → 𝒘 =

HF = 5, HG = 4,

𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟓

𝒛 𝟒

= →𝒛=

𝟏𝟐 𝟓

Professor, nestas questões chame a atenção dos alunos para que observem os triângulos que devem considerar para escrever as razões de proporcionalidade dos lados.

ATIVIDADE 4: RAZÕES POR TODA PARTE a) As escalas de mapas são razões que indicam a relação de proporcionalidade entre a medida no mapa e a medida real do espaço representado. Veja um exemplo de escala presente em mapas.

Neste exemplo aparecem dois tipos de representação da escala: numérico e gráfico. O numérico apresenta a razão, que deve ser lida como “1 centímetro no mapa representa 450.000 cm na realidade”. 

Como é difícil imaginar uma distância de 450.000 cm transforme essa medida em km. 1 km = 1.000 m

1 m = 100 cm

1km = 100.000 cm

450.000 cm = 4,5 km 

Observando o que obteve acima, explique a escala gráfica. Espera-se que o aluno reconheça que na escala gráfica o espaço de 1 cm está representando os mesmos 4,5km obtidos na transformação feita.



Determine a distância real entre dois pontos de um mapa que apresenta essa escala, sabendo que a distância no mapa é de 2,5 cm. 2,5 x 4,5 = 11,25 A distância real é de 11,25 km

b) Na arquitetura as escalas também são muito importantes e as plantas que os arquitetos e engenheiros desenham seguem normas determinadas por lei. Estas são as escalas que eles usam:



Se as medidas de um salão de festas são 10m x 20m, então sua representação na escala 1 : 100 terá as medidas de 10 cm x 20 cm



Se as medidas reais de um terreno são 12m x 35m e sua representação na planta está com 24cm x 70cm, então qual a escala utilizada? 1:50 A velocidade é outra razão com a qual convivemos sempre. Se você percorre um trajeto de 250 km em 2,5 horas, qual sua velocidade média? 100 km/h. Qual é a razão que expressa essa velocidade?

𝟐𝟓𝟎 𝟐,𝟓

𝟓𝟎

= 𝟎,𝟓 =

𝟏𝟎𝟎 𝟏

=

𝑺 𝒕

c) Ao cobrar uma falta em um jogo de futebol, alguns jogadores chegam a imprimir à bola uma velocidade de 108 km/h. Em um chute desse tipo, sabendo que a bola gasta 1,5 s até atingir as redes, determine a distância percorrida pela bola. 108 km/h = 108.000 m/3.600 s = 30 m/s 1,5 x 30 = 45 m

Vamos considerar agora as questões que abordaram as seguintes habilidades: identificar a expressão algébrica que representa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras e identificar a expressão algébrica que representa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras. QUESTÃO 7 da Avaliação Diagnóstica Observe a sequência de números abaixo: 3, 5, 7, ..., n A expressão que permite obter o número que ocupará a enésima posição nesta sequência é: (A) 2n + 1. (B)

2n – 1.

(C)

3n + 1.

(D) 3n – 1. O aluno que optou pela alternativa A identifica que a sequência se refere aos números ímpares a partir de 3, expressando corretamente o padrão percebido de ser um número par mais 1. Ao indicar a alternativa B o aluno mostra ter reconhecido tratar-se de uma sequência de números ímpares, porém não validou a expressão, que é possível para números ímpares se a sequência começasse no 1. Ao optar pela alternativa C o aluno pode ter considerado que a representação da regularidade da sequência tinha de ser expressada usando o primeiro termo 3, indicando a não compreensão da expressão como representante de todos os termos da sequência. A escolha da resposta D indica que o aluno pode ter percebido que o 3 já estava presente na expressão e validado para o 5, desconsiderando o restante da sequência.

QUESTÃO 10 da Avaliação Diagnóstica A sequência de losangos abaixo apresenta uma regularidade.

a) Descreva a regularidade que observou nesta sequência de figuras.

Resolução: Existem diferentes maneiras de perceber a regularidade. Uma possibilidade que facilita a obtenção da representação algébrica é a apresentada abaixo:

Outra possibilidade é considerar que cada figura da sequência é obtida da anterior com o acréscimo de 2 quadrinhos, o que também está correto Outra possibilidade também é a de observar as colunas de cada figura de modo que: na fig 1 tem-se 2 x 3 ou 3 + 3 ou o dobro de 3, na fig 2 tem-se 2 x 4 ou 4 + 4 ou o dobro de 4, na fig 3 tem-se 2 x 5 ou 5 + 5 ou o dobro de 5 b) Quantos losangos deve ter a figura 4? Desenhe, se quiser. A figura 4 terá 12 losangos c) Escreva uma expressão algébrica que represente os termos dessa sequência. Na primeira possibilidade de percepção da regularidade a expressão algébrica já aparece indicada: 2n + 4, com n correspondendo ao número da figura. Na segunda possibilidade a obtenção da expressão algébrica vai exigir a observação da recorrência: Fig 1: 6 Fig 2: 6 + 2 Fig 3: 6 + 2 + 2 Fig 4: 6 + 2 + 2 + 2 Desse modo tem-se: 6 + 2 (n – 1), com n correspondendo ao número da figura, que também pode ser expresso por 2n + 4. Na terceira possibilidade a regularidade pode ser expressa a partir da observação da sequência 2 x 3, 2 x 4, 2 x 5, 2 x 6, ...2 (n + 2), com n correspondendo ao número da figura, que também pode ser expressa por 2n + 4.

Professor se um grupo de seus alunos apresentou dificuldades na resolução dessas questões você pode propor a eles, no momento que achar mais adequado durante o ano letivo, que trabalhem com as atividades presentes na sequencia Generalização de Padrões que aborda as seguintes habilidades:   

Resolver problemas geométricos aplicando a generalização de padrões. Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras. Relacionar uma expressão matemática a uma expressão na língua materna e viceversa.

SEQUÊNCIA DIDÁTICA: GENERALIZAÇÃO DE PADRÕES

ATIVIDADE 1: UM NOVO OLHAR SOBRE VELHAS CONHECIDAS Sequências numéricas já são velhas conhecidas de todos! Veja como você conhece várias delas. Professor a intenção é de colocar o aluno em terreno conhecido para propor a ampliação de seu modo de ver e fazer em matemática. Proponha sempre que eles trabalhem em grupo para poderem discutir as possibilidades de respostas. Seu papel deve ser de estimulador para a busca de respostas e não o de validar ou não as respostas dos alunos. a) Escreva a sequência de números naturais pares. 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... O que todos os números pares têm em comum? Espera-se que os alunos percebam que são todos múltiplos de 2 ou que são divisíveis por 2.

b) Se todos os números pares apresentam essa característica, então ela pode ser colocada na linguagem algébrica. Verifique se a expressão 2n, com n natural de fato gera a sequência de números pares que você escreveu acima. 2 x 0 = 0; 2 x 1 = 2; 2 x 2 = 4; 2 x 3 = 6; 2 x 4 = 8; 2 x 5 = 10, ... Professor destaque o fato de que a expressão algébrica evidencia a característica comum a todos os números pares. c) O que você faria na expressão dos números pares para que ela se transforme na expressão dos números ímpares? Espera-se que os alunos percebam que um ímpar se

transforma em par pela adição de 1 ao par: 2n + 1. Eles poderão referir-se também à subtração de 1. Neste caso, deixe-os fazer o teste de validação que logo perceberão que para n = 0 o resultado será -1, que não é natural. Teste sua proposta verificando se ela gera a sequência de números ímpares. 2 x 0 + 1 = 1, 2 x 1 + 1 = 3; 2 x 2 + 1 = 5, ...

d) Pense na sequência dos números naturais múltiplos de 3. Escreva uma expressão algébrica que gere essa sequência. Espera-se que o aluno utilize aqui o que fez para os múltiplos de 2: 3n, com n natural. Teste a expressão que escreveu para verificar se ela de fato gera a sequência dos múltiplos de 3. 3 x 0 = 0; 3 x 1 = 3; 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, 3 x 4 = 12; ...

e) Apenas observando as expressões algébricas a seguir, escreva a sequência de números naturais que ela representa. 

5n, com n natural. 0, 5, 10, 15, 20, ...



n2, com n natural. 0, 1, 4, 9, 16, 25, ...



n + 1, com n natural. 1, 2, 3, 4, 5, ... (sequência de naturais sem o zero)

ATIVIDADE 2: O QUE SE MANTÉM E O QUE MUDA. Descobrir o padrão de uma sequência de figuras exige observar com atenção, de uma figura para outra, o que mudou e o que não mudou. Quando buscamos escrever uma expressão algébrica que a represente, pensamos também em números.

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O que mudou da figura 1 para a figura 2? Foram acrescentados 2 quadrinhos.



O que permaneceu da figura 1 para a figura 2? O quadrinho da figura 1



O que mudou da figura 2 para a figura 3? Aumento de 2 quadrinhos



O que permaneceu da figura 2 para a figura 3? Os quadrinhos e a forma



O que mudou da figura 3 para a figura 4? Aumento de 2 quadrinhos



Desenhe a figura 5 da sequência.



Quantos quadradinhos terá a figura 6? 11 quadrinhos



Qual sequência numérica está representada por esta sequência de figuras? 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...



Qual a expressão algébrica que a representa? 2n + 1, com n natural

Espera-se que os alunos percebam tratar-se da sequência dos números naturais ímpares, para os quais já escreveram a expressão algébrica.



O que mudou da figura 1 para a figura 2? O número de quadrinhos



O que permaneceu da figura 1 para a figura 2? A forma quadrada



O que mudou da figura 2 para a figura 3? O número de quadrinhos



O que permaneceu da figura 2 para a figura 3? A forma quadrada



O que mudou da figura 3 para a figura 4? O número de quadrinhos



Desenhe a figura 5 da sequência.



Quantos quadradinhos terá a figura 6? 6 x 6 = 36



Qual sequência numérica está representada por esta sequência de figuras? 12; 22; 32; 42; 52; ...



Qual a expressão algébrica que a representa? (n + 1)2, com n natural ou n2, com n natural e n > 0. Professor, é comum o uso do n como o número da figura ou do termo na sequência, mas no modo apresentado aqui a referência é sempre o conjunto dos Números Naturais.

Professor discuta o cuidado necessário na escrita da expressão algébrica para que de fato ela represente a sequência de modo correto.



Escreva a sequência numérica correspondente à quantidade de quadradinhos brancos em cada figura. 0, 2, 6, 12.



Quantos quadradinhos brancos terá a Fig 5? 5 E a Fig 6? 6



Qual a expressão algébrica que a representa? n2 – n, com n natural e n > 0, ou (n + 1)2 – (n + 1) com n natural.



Quantos triângulos formarão a figura 5? 25



Quantos triângulos formarão a figura n? n2

Professor, observe que neste caso não foi pedida a expressão que representa a sequência, por isso não foi preciso fazer a menção ao tipo de número que está sendo representado. e) Elabore uma sequência numérica e uma sequência de figuras e peça para um colega descobrir como continuar cada uma delas. Professor, aproveite para colocar os alunos para explicarem as sequências que montaram.

ATIVIDADE 3: TEXTOS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Não são só nas sequências que precisamos reconhecer qual expressão algébrica escrever, na resolução de problemas com enunciados também! Então, vamos ler problemas e desvendar a expressão algébrica do enunciado.

a) A idade de um pai é o triplo da idade de seu filho. Sabendo que juntos têm 60 anos, calcule essas idades. 

O que o problema pede para ser encontrado? As idades do pai e do filho Então, esses são os desconhecidos a serem descobertos! Para não ficar escrevendo por extenso “a idade do pai é...” vamos representá-la por p e “a idade do filho é...” vamos representar por f.



Quais as informações do problema sobre as idades? Uma é o triplo da outra e juntas somam 60. Usando p e f escreva as operações que correspondem às informações dadas. p = 3 f e p + f = 60 Observe as expressões que escreveu e verifique a possibilidade de, a partir das duas, escrever uma só que represente as duas ao mesmo tempo. 3 f + f = 60



Resolva essa expressão, que pode ser chamada de equação, porque apresenta uma igualdade, para encontrar o que foi pedido. 3 f + f = 60

4 f = 60

f = 60 : 4

f = 15

Como p = 3f, então tem-se p = 3 x 15, logo p = 45. 

Verifique se as respostas encontradas são adequadas ao problema, validando os números encontrados com as condições propostas. As idades juntas devem somar 60: 45 + 15 = 60

b) Leia o problema abaixo e compare-o ao anterior. Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? 

Aponte semelhanças e diferenças entre eles. Espera-se que o aluno perceba que os problemas são do mesmo tipo, apenas as idades foram trocadas por carros e motos.



A partir das semelhanças, escreva a equação que expressa o problema e resolva-a. C=5xM e

C + M = 78

5 x M + M = 78

6 x M = 78

M = 13 1

c) Alice foi ao shopping e fez algumas compras. Na primeira compra gastou 4 do dinheiro 1

que levou, na segunda gastou 3 do dinheiro que levou, ficando com R$ 25,00. Qual a quantia de dinheiro que ela levou?



O que o problema pede para ser encontrado? uma quantia inicial de dinheiro



Quais as informações dadas que devem ser usadas para a descoberta? Os dois gastos feitos.



Represente com uma letra o número que quer descobrir. Resp. pessoal



Escreva uma equação que indique os cálculos a serem feitos para determinar o número que procura e resolva-a. 𝐝–

𝟏 𝟒

𝟏

𝟏𝟐 𝐝−𝟑𝐝−𝟒𝐝 𝟏𝟐

𝐝 – 𝟑 𝐝 = 𝟐𝟓

5d = 300

= 𝟐𝟓

d = 300 : 5 = 60

Validação da resposta: 60 – 60/4 – 60/3 = 60 – 15 – 20 = 25 d) Os alunos da turma do 9º ano de uma escola estão assim divididos para a prática de esportes: 40% praticam vôlei, 30% praticam basquete, 20% praticam futebol de salão e 12 alunos praticam ginástica. Qual o total de alunos dessa turma? 

Compare esse problema com o anterior e aponte semelhanças e diferenças. Espera-se que os alunos reconheçam que a estrutura do problema é a mesma, mudando apenas o contexto. O procedimento de solução é o mesmo. Se quiserem podem trabalhar com as frações de denominador 100 no lugar das porcentagens.



A partir das semelhanças escreva a equação que expressa o problema e resolva-a.100% A – 40% A – 30% A – 20% A = 12 100%A – 90%A = 12



10%A = 12

A = 120

Valide sua resposta verificando se ela de fato se adequa ao problema. 40% de 120 = 48

30% de 120 = 36

20% de 120 = 24

48 + 36 + 24 + 12 = 120 e) Uma professora estabeleceu o seguinte critério para correção de uma prova de 16 questões. A cada questão correta ela dava 5 pontos e a cada questão errada ela tirava 3 pontos. Paulo ficou com zero pontos, quantas questões ele acertou? 

O que o problema pede para ser encontrado? número de acertos na prova por Paulo



Quais as informações dadas que devem ser usadas para a descoberta? Número total de questões, pontos ganhos por acerto e perdidos por erro e o total de pontos de Paulo. Represente com uma letra o número que quer descobrir. Resposta pessoal Escreva uma equação que indique os cálculos a serem feitos para determinar o número que procura e resolva-a. Chamando de p o número de acertos de Paulo, podemos escrever: Acertos: p Erros: 16 - p Pontos ganhos: 5p Pontos perdidos: 3(16 – p) 5p – 3(16 – p) = 0 8p = 48 p = 6 Validação: Ganhos 5 x 6 = 303 x 10 = 30 30 – 30 = 0

 

As questões que vamos considerar agora são aquelas que apresentavam os sistemas lineares para avaliar as seguintes habilidades identificar o sistema de equações lineares que resolve um problema, resolver sistemas lineares (método da adição e da subtração) e interpretar graficamente a solução de um sistema linear. QUESTÃO 2 da Avaliação Diagnóstica Uma professora apresentou o problema, a seguir, para seus alunos: Marcela e Bianca têm, juntas, 30 livros de histórias infantis. Marcela tem o dobro da quantidade de livro de Bianca. Quantos livros tem Bianca? O sistema de equações que deve ser montado pelos alunos para resolver esse problema é:

O aluno que indicou a alternativa A fez a interpretação adequada da linguagem matemática relativa ao enunciado do problema, o que o levou à identificação do sistema de equações lineares que resolveria o problema. Ao escolher a alternativa B o aluno reconhece que a primeira equação está correta, mas na segunda o erro pode ser em decorrência da interpretação do enunciado “Marcela tem o dobro...” O aluno que indicou a alternativa C reconhece que a primeira equação está correta, mas para a segunda o aluno pode ter considerado que como uma tem o dobro da outra ele teria que dividir a quantidade por 2 para ficarem com a mesma quantidade, o que é um modo correto de se pensar, porém seria isso da Beatriz em relação à Marcela e não como está na alternativa. Ao escolher a alternativa D o aluno também reconhece que a primeira equação está correta, mas para a segunda o aluno possivelmente entendeu a expressão “dobro” como a indicação de uma divisão.

QUESTÃO 8 da Avaliação Diagnóstica O gráfico a seguir representa a solução de um sistema de duas equações do 1º grau.

A solução desse sistema é o par ordenado: (A) (2,3) (B) (0,5) (C) (5,2) (D) (1,4) O aluno que optou pela alternativa A percebeu que as retas da figura representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, cuja solução é o ponto de intersecção das duas retas correspondentes às duas equações, no caso, o par ordenado (2,3). Ao indicar a alternativa B o aluno pode ter achado que a solução estaria onde a reta cruza o eixo, e este ponto expressa um cruzamento com um eixo. A escolha da alternativa C indica que o aluno não compreende a representação gráfica de um sistema e pode ter feito uma escolha aleatória. Ao indicar a alternativa D o aluno pode ter pensado na indicação de um ponto que se mantivesse alinhado com os outros de modo a manter uma posição na mesma reta que os demais.

QUESTÃO 9 da Avaliação Diagnóstica Determine os valores de x e y que satisfazem o sistema: 4x − y = 18 { 6x + 4y = 38 Resolução por substituição Neste procedimento o aluno tem maiores possibilidades de errar por ter de enfrentar transformações nas expressões algébricas envolvendo sinal negativo e também o emprego de propriedade distributiva, que normalmente é fonte de dificuldade para os alunos. 4x – y = 18 - y = 18 – 4x y = 4x – 18 6 x + 4 (4x – 18) = 38 6x + 16x – 72 = 38 22 x = 110 X=5 Y = 4.5 – 18 = 2 Resolução pela soma das equações A possibilidade de erro é menor nesse procedimento, pois o aluno só enfrentará em um momento a troca de sinal envolvendo a incógnita y. 4 x – y = 18 (x4) 6 x + 4y = 38 16 x – 4y = 72 6 x + 4y = 38 22x

= 110 X=5

4. 5 – y = 18 -y=-2 Y=2

Professor aos alunos que apresentaram dificuldades neste grupo de questões indique que trabalhem com as atividades propostas na sequência Sistemas Lineares.

SEQUÊNCIA DIDÁTICA: SISTEMAS DE EQUAÇÕES

As atividades aqui propostas são para serem realizadas em grupos de 4 ou em duplas, para que os alunos possam discutir entre eles, além de pesquisarem juntos o que sentirem necessidade no decorrer dos trabalhos. ATIVIDADE 1: A MESMA EXPRESSÃO, MÚLTIPLOS SIGNIFICADOS. a) Escreva a operação que resolve cada um dos problemas abaixo: 

Com 3 bermudas e 4 camisetas de quantos modos diferentes uma pessoa pode se vestir? multiplicação



Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 5 m e 7 m? multiplicação



Uma cartela de botões é formada por 4 fileiras com 6 botões em cada uma. Quantos botões formam uma cartela? multiplicação



Paulo tem 6 anos e seu irmão Beto tem o triplo dessa idade. Quantos anos tem Beto? multiplicação

b) O que todos esses problemas têm em comum? a multiplicação 

Qual expressão matemática pode ser escrita para representar todos esses problemas? Espera-se que o aluno represente uma multiplicação em que os fatores e o resultado sejam expressos por meio de letras.

Professor, uma questão aqui é essencial de ser feita aos alunos: por que usaram uma letra para escrever essa expressão? Outras que poderão ser feitas são: Os problemas são todos iguais? Eles têm o mesmo significado? 

Invente um outro problema que possa ser representado pela mesma expressão escrita por você. Resposta pessoal. Professor discuta com a classe alguns dos problemas elaborados.

Pode-se dizer que as formas de representação usadas em Matemática assumem um significado de acordo com o contexto ao qual está sendo empregada.

ATIVIDADE 2: QUANDO É NECESSÁRIO MAIS DE UMA EXPRESSÃO. Em algumas situações uma só expressão não é suficiente para representar o que é preciso. Veja alguns exemplos. a) Imagine que você e mais dois amigos cheguem em uma lanchonete e queiram aproveitar a promoção. PROMOÇÃO 3 sucos e 2 lanches por R$14,00 2 sucos e 1 lanche por R$ 8,00



Como dividir as despesas de modo que cada um pague apenas aquilo que consumiu, se um de vocês vai tomar apenas 1 suco? Espera-se que os alunos discutam possibilidades de determinação desse valor.



Escreva uma equação para cada promoção. 3S + 2L = 14 2S + 1L = 8 Professor destaque que cada um pode representar os dados do problema como preferirem, aqui optamos por usar S para suco e L para lanche.



A partir dessas duas equações descubra um modo de resolver o problema de vocês. Espera-se que os alunos explorem as equações em um processo investigativo. Professor, estimule-os a pensarem em diferentes modos de lidar com essas equações, como por exemplo, das duas formar uma só. Eles poderão perceber que se subtraírem a equação 2 da equação 1 irão obter: 1S + 1L = 6.



Na solução que deu para seu problema você encontrou o preço de cada lanche e de cada suco? Se não, descubra um modo de usar essas equações para encontrar esses preços. No item anterior eles podem ter chegado ao valor que cada um deve pagar, mas também podem ter determinado os valores do suco e do lanche, até por tentativa e erro.

Professor, estimule-os a pesquisarem um modo de trabalhar com as duas equações na busca do valor do lanche e do suco. 

Explique porque foi necessário usar duas equações para resolver este problema. Esperase que o aluno perceba que o problema apresenta dois valores a serem determinados e que esses valores dependem um do outro. Ao usar duas ou mais equações para resolver um problema dizemos que estamos tratando com um sistema de equações.

b) Já pensando em sistema de equações resolva mais este: Luís e Ana resolveram criar grupos nas redes sociais para divulgar informações e trabalhos a serem feitos para a escola a que pertencem. Eles criaram um grupo no Facebook, e outro no Instagram. No primeiro dia, o número de seguidores do Facebook mais o número de seguidores do Instagram atingiu 59. No segundo dia, o número de seguidores do Facebook foi 4 vezes maior que o do primeiro dia, enquanto o número de seguidores do Instagram dobrou, totalizando 178. Descubra o número de seguidores em cada uma das redes em cada dia. 

Por que será preciso escrever um sistema de equações para resolver este problema? Porque o problema apresenta dois valores a serem determinados e um depende do outro.



Escreva e resolva o sistema de equações para dar as respostas pedidas. F + I = 59 4F + 2I = 178 Caso o aluno não consiga resolver proponha que pesquisem em livros ou na internet sugestões de solução, mas que devem entender o que fazem para explicar uns aos outros. Podem usar o processo da substituição ou o da soma. Devem chegar a F = 30 e I = 29.

c) João utiliza o WhatsApp para trocar informações com seus amigos. No primeiro dia de férias, João enviou 67 informações entre mensagens e gravações de áudio. No dia seguinte, João dobrou a quantidade de mensagens enviadas e triplicou o número de gravações de áudio, enviando no total, 139 informações. Qual foi o número de mensagens e gravações de áudio que João enviou no primeiro dia? 

Escreva o sistema de equações que resolve este problema e resolva-o. Espera-se que o aluno chegue a um sistema como: M + G = 67 2M + 3G = 139

Obtendo que M = 62 e G = 5

ATIVIDADE 3: SISTEMAS, RETAS E SOLUÇÕES. a) Imagine que ao resolver um problema você tenha escrito a seguinte equação: p + q = 15. 

Se o valor de p for 0, então o valor de q será 15



Se o valor de p for 0,5, então o valor de q será 14,5



Se o valor de p for 1, então o valor de q será 14



Se o valor de p for 16, então o valor de q será -1



Se o valor de p for 20, então o valor de q será -5



É possível dar ao p qualquer valor? Sim. Justifique sua resposta. Espera-se que o aluno reconheça que esta adição será sempre possível.



Em vez de dar valores ao p, podemos dar valores ao q. Dê alguns valores a q e encontre os valores de p. Use a tabela. Resposta pessoal p

q

b) Continue imaginando a resolução do mesmo problema. Uma nova equação foi escrita por você: q = 2p. Complete a tabela 1 dando a p os mesmos valores usados no item a. Depois, dê a q os mesmos valores que usou na tabela acima. Tabela 1 p q 0 0 0,5 1 1 2 16 32 20 40



Algum valor de p e q coincidiu com os do item a? Resposta pessoal



Monte o sistema dessas duas equações e resolva-o. p + q = 15 q = 2p p = 5 e q = 10

c) Marque, no plano cartesiano alguns pares de valores colocados na tabela 1, referentes à equação q = 2p. Escolha aqueles que caibam na representação abaixo.



Os pontos que marcou são alinhados, ligue-os com régua.



Agora, marque nesse mesmo plano pontos encontrados para a equação p + q = 15, que caibam nessa representação, e também ligue-os traçando uma reta.



Essas retas se cruzam no ponto cujo par de números é (5 , 10).



Compare esse par de números com os valores encontrados por você quando resolveu o sistema formado por essas equações. Explique o que aconteceu. Espera-se que o aluno perceba que os resultados são os mesmos e, então o cruzamento das retas indica os valores que pertencem às duas retas ao mesmo tempo.



Complete o quadro em destaque. Um sistema de equações também pode ser resolvido usando sua representação gráfica.

d) Resolva os sistemas a seguir apenas pela sua representação gráfica.

3x + y = 9 2x + 3y = 13

A solução do sistema é (2 , 3) Professor discuta com o grupo a possibilidade de buscarem números inteiros como referência para localizarem no plano, mas não deixe também de discutir a localização de alguns fracionários. Outra discussão interessante é a de que como já sabemos que o gráfico de cada equação é uma reta, então para seu traçado bastam dois pontos.

x–2=-y x+y=4

Como ficaram essas retas? paralelas Qual a solução do sistema? Não existe, o sistema é impossível Explique o que aconteceu. Espera-se que o aluno perceba que não haverá ponto de cruzamento entre as duas retas, logo as equações não terão ponto em comum.

x+y=2 2x = 4 – 2y

Como ficaram as retas? coincidentes Qual a solução do sistema? todos os pontos, o sistema é indeterminado. Explique o que aconteceu. Espera-se que o aluno perceba que as duas equações representam os mesmos pontos do plano.