LISTA 14 - FUNÇÃO AFIM

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ESTADO DO RIO DE JANEIRO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO FAETEC – FUNDAÇÃO DE APOIO À ESCOLA TÉCNICA ETEFV – ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL FERREIRA VIANA

FUNÇÃO AFIM 1. FUNÇÃO CONSTANTE É uma função real, definida por f(x) = k, onde k é uma constante real. O gráfico de uma função constante é dado por uma reta paralela ao eixo Ox (eixo das abscissas).

2. FUNÇÃO AFIM ou FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1o GRAU É uma função f: R→R, definida por f(x) = ax + b, onde a e b são coeficientes reais e a  0. A função do 1o grau pode ser classificada em: - FUNÇÃO AFIM: quando o coeficiente b  0. Ex: f(x) = 3x + 10 - FUNÇÃO LINEAR: quando o coeficiente b = 0. Ex: y = 5x EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Dada a função afim f, sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escrever a função f e calcular f(2). Resolução: Se f é função afim, então f é da forma f(x) = ax + b. Portanto, para: f(1) = a.1 + b  4=a+b f(-2) = a.(-2) + b  10 = -2a + b resolvendo o sistema formado, obtém-se a = -2 e b = 6. Logo, a função f é definida por: f(x) = -2x + 6 e o valor de f(2) = -2.2 + 6 = -4 + 6 = 2. Resposta: f(2) = 2 2) Sabendo-se que f(x – 2) = 3x + 1, calcular f(2) para todo x real. Resolução: Para f(2) = f(4 – 2), tem-se que x = 4 então f(2) = 3.4 + 1 = 13 Resposta: f(2) = 13

3) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Expresse a função que representa o salário mensal desse vendedor. Resposta: Considerando que o salário do vendedor está em função (depende) das suas vendas, então podese indicar o total de vendas feitas no mês por x e o salário do vendedor no mês por f(x). Logo, 𝟖 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝟎𝟎 + 𝒙 𝟏𝟎𝟎 b) Calcule o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 6.000,00 em produtos. Resolução: Para calcular o salário f(x) quando x = 60000, tem-se que calcular f(6000), ou seja: 8 8 𝑓(𝑥) = 1200 + 𝑥 ⇒ 𝑓(6000) = 1200 + . 6000 = 1200 + 480 ⇒ 𝒇(𝟔𝟎𝟎𝟎) = 𝟏𝟔𝟖𝟎 100 100 Resposta: O salário será de R$ 1680,00. 3. GRÁFICO A função polinomial do 1o grau é representada graficamente por uma reta não paralela aos eixos Ox e Oy.

NOTAS 1a) Uma função do 1o grau pode ser: • CRESCENTE → quando o coeficiente a > 0. • DECRESCENTE → quando o coeficiente a < 0. 2a) O ponto onde a reta intercepta o eixo das abscissas (Ox) é a raiz ou o zero da função. 3a) O ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas (Oy) é o termo independente (b) da função.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 4) Construir o gráfico da função real definida por f(x) = 2x – 1. Resolução: Primeiramente obtém-se dois pontos, porém sabendo-se que o termo independente é igual a -1 (b = -1), ou seja, tem-se o ponto de interseção com o eixo Oy, que é (0, -1), logo, agora só é necessário o outro ponto e para isso atribui-se um valor para x, como por exemplo, x = 2. Isso resulta em f(2) = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3, ou seja, ponto (2, 3).

5) Determine a função real indicada no gráfico abaixo.

Resolução: Como a representação gráfica é uma reta oblíqua em relação aos eixos Ox e Oy, então a função é afim, ou seja, é da forma y = ax + b ou f(x) = ax + b. Sendo que a reta intercepta o eixo Oy no ponto y = 4, então as coordenadas são (0, 4) e a mesma reta intercepta o eixo Ox no ponto x = 2 (raiz ou zero), então as coordenadas são (2, 0). Logo, substituindo as coordenadas na equação y = ax + b, tem-se: • para (0, 4)  4 = a.0 + b  b = 4 (já sabíamos pela interseção da reta no eixo Oy qual seria o valor de b); • para (2, 0)  0 = a.2 + 4  2.a = -4  a = -4/2  a = -2. Então a função é dada por y = -2x + 4. Resposta: y = -2x + 4 ou f(x) = -2x + 4 6) Determine a lei que define a função afim f, cuja reta passa pelos pontos A(-1, 3) e B(1, 1). Resolução: Como a função f é afim, então f é da forma f(x) = ax + b e substituindo as coordenadas dos pontos A(-1, 3) e B(1, 1) na lei de formação, obtém-se:

f(-1) = 3 = a.(-1) + b  -a + b = 3; f(1) = 1 = a.1 + b  a + b = 1. Resolvendo o sistema de variáveis a e b formado, tem-se: a = -1 e b = 2. Portanto a lei que define f é f(x) = -x + 2. Resposta: f(x) = -x + 3 4. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM Uma característica da função afim é a proporcionalidade entre os seus valores, portanto vale a propriedade abaixo: Seja f: R → R uma função afim dada por f(x) = ax + b. A taxa média de variação de f, quando x varia de x1 a x2, com x1  x2, é constante e igual ao coeficiente a. Logo,

𝒂=

𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟐 ) 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐

EXERCÍCIO RESOLVIDO: 7) Um automóvel foi comprado novo, em 2012, por R$ 42.000,00. Seu valor de mercado foi decrescendo linearmente com o tempo e, em 2019, era de R$ 35.000,00. Determine: a) o decréscimo anual de seu valor de mercado; b) o seu valor de mercado em 2015; c) a lei da função f que associa a cada ano x, a partir de 2012 (x = 0), o valor de mercado do automóvel. Resolução: a) O decréscimo anual é a taxa variação média da função que associa a cada ano x ao valor f(x) do automóvel, portanto: 𝑓(2012) − 𝑓(2019) 42.000 − 35.000 7.000 𝑎= = = ⇒ 𝒂 = −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 2012 − 2019 −7 −7 Resposta: 𝒂 = −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 b) Sendo 𝒂 = −𝟏. 𝟎𝟎𝟎, tem-se: 𝑓(2015) − 𝑓(2019) 𝑓(2015) − 35.000 𝑎= ⇒ −1.000 = ⇒ 𝒇(𝟐𝟎𝟏𝟓) = 𝟑𝟗. 𝟎𝟎𝟎 2015 − 2019 2015 − 2019 Resposta: 𝒇(𝟐𝟎𝟏𝟓) = 𝟑𝟗. 𝟎𝟎𝟎 c) Sabendo que a variação dos valores associados foi linear, pode-se afirmar que a função é afim e portanto, é da forma f(x) = ax + b. Como o valor do coeficiente a = -1.000, atribui-se à função os valores de uma das coordenadas conhecidas, como por exemplo, em 2012 tem-se x = 0; portanto, f(0) = 42.000: f(x) = ax + b  42000 = -1000.(0) + b  b = 42000 Resposta: f(x) = -1000x + 42000

5. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM Estudar ou discutir o sinal de uma função significa indicar para que valores de x a função f(x) é positiva, negativa ou nula. Para esse estudo, podemos seguir os procedimentos abaixo: 1o) determinar o zero da função; 2o) fazer um esboço do gráfico, onde consta a reta e o eixo Ox; 3o) colocar os sinais (nas regiões que estão entre a reta e o eixo Ox), sendo positivo quando for acima dos eixo Ox e negativo quando abaixo.

EXERCÍCIO RESOLVIDO: 8) Estuda o sinal de cada função afim abaixo: a) f(x) = 3x – 12 Resolução: (i) zero da função: f(x) = 0  0 = 3x – 12  3x = 12  x = 4; (ii) esboço do gráfico da função (a = 3, ou seja, a > 0, tem-se função (e reta) CRESCENTE): Resposta: (iii) Estudo: Para x < 4, tem-se f(x) < 0; Para x = 4, tem-se f(x) = 0; Para x > 4, tem-se f(x) > 0.

b) y = –2x + 10 Resolução: (i) zero da função: f(x) = 0  0 = –2x + 10  2x = 10  x = 5; (ii) esboço do gráfico da função (a = –2, ou seja, a < 0, tem-se função (e reta) DECRESCENTE): Resposta: (iii) Estudo: Para x < 5, tem-se y > 0; Para x = 5, tem-se y = 0; Para x > 5, tem-se y > 0.

6. INEQUAÇÃO DO 1o GRAU Uma inequação do 1o grau é uma desigualdade entre duas expressões matemática de grau um, cujo objetivo é determinar os valores das variáveis que satisfazem a desigualdade. Para resolver uma inequação do 1o grau pode-se utilizar o procedimento de isolar a variável, como visto no ensino fundamental, ou através do estudo do sinal da função afim. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 9) Resolva, em R, a inequação 4x – 12  0. Resolução: • 1o modo: 4x – 12  0  4x  12  x  12/4  x  3 • 2o modo: Considerando y = 4x – 12, faz-se o estudo de sinal e adota como solução o x tal que y  0. (i) raiz ou zero: 4x – 12 = 0  4x = 12  x = 3. (ii) esboço do gráfico, com a = 4 > 0 (função crescente) e assinale x para y  0: (iii) Resposta: S = {x  R/ x  3}

10) Resolver, em R, a inequação simultânea 1  2x + 3 < x + 5. Resolução: A inequação proposta equivale às duas inequações abaixo: (I) 1  2x + 3 e (II) 2x + 3 < x + 5 Resolvendo a (I): 1  2x + 3  -2  2x  -1  x ou x  - 1; Resolvendo a (II): 2x + 3 < x + 5  x < 2; De acordo com as resoluções de (I) e (II), a solução da inequação simultânea será a interseção das soluções obtidas: Resposta: S = {x  R/-1  x 0. Resolução: (i) Considerando f(x) = 4 – 2x e g(x) = 2x – 8, tem-se que o zero da função f é x = 2 e o zero da função g é x = 4. (ii) Fazendo os estudos de sinais das funções f (decrescente) e g (crescente), obtém-se: f(x) = 4 – 2x

g(x) = 2x – 8

(iii) Estudando o sinal do produto f . g, tem-se: Resposta: S = {x  R/2 < x < 4}

12) Resolver a inequação abaixo, no universo R: 3𝑥 − 15 ≤0 6 − 2𝑥 Resolução: (i) Considerando f(x) = 3x – 15 e g(x) = 6 – 2x, tem-se que o zero da função f é x = 5 e o zero da função g é x = 3. (ii) Fazendo os estudos de sinais das funções f (crescente) e g (decrescente), obtém-se: f(x) = 3x – 15

g(x) = 6 – 2x

(iii) Estudando o sinal do produto f / g, tem-se: Resposta: S = {x  R/3 < x ou x  5}

Referência: IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática – Ensino Médio. Vol. Único. São Paulo. Atual Editora. 2015.