Aula 1 Geometria Analítica

Geometria Analítica
Profº Ms. Gilclécio Dantas

No espaço

z




 v = OP = ( x, y, z )

z

y No Plano

y 

P

v

x

O

x

são as coordenadas ou  v componentes de

z

xOz ou

plano xy

xz

yOz ou yz plano z

y

y Vetor nulo: 0 = ( 0,0,0 )

x

x abscissa

Cada par de eixos determina um plano

xy

P

x

x, y

xOy ou

o




 v = OP = ( x, y)

 v

y ordenada

Pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados x = 0  y = 0

xz

(0,0, z)

y=0

x=0 (0, y, z) (0, y,0)

(x,0, z)

y

(x, y,0)

y

x

x

z cota

(x,0,0)

y = 0  z = 0

x = 0  z = 0

z=0

1

Operações Algébricas com vetores

  No plano: u = (x1 , y1 ) v = (x 2 , y2 ) Igualdade:

  u=v

⇔ x1 = x 2 e y1 = y 2

  Adição: u+ v = (x + x , y + y ) 1 2 1 2 

Adição

Mult. por escalar

y

y

y1 + y 2 u+v

y1 v

Multiplicação por escalar: αu = (αx1 ,αy1 )

αu

α y1

y2

o x2

u

x1

x1 + x2

x

y1

u

o

x1

α x1

x

Número real α

  No espaço: u = (x1 , y1 ,z1 ) v = (x 2 , y2 ,z2 )



 = v ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2   Adição: u + v = (x1 + x2 , y1 + y2 ,z1 + z 2 )

Igualdade: u



Mult. por escalar: αu = (αx1 ,αx2 ,αx3 )




 AB= B- A= ( x2 , y2 ) - ( x1 , y1 ) = ( x2 - x1 , y2 - y1 ) y

y1 y2

o

 



B(x 2, y 2 )

x1



u//v ⇒ u = α v para algum α ∈ 

Ponto médio de AB No plano

No espaço

A=( xA,yA) , B=( xB ,yB ) A=( xA,yA,zA) , B=( xB ,yB,zB) x +x y +y  M = A B , A B  2   2

x2

 v

Representante


 natural de AB

x

P(x 2 - x 1 , y 2 - y 1 )

Dados os Pontos:

A(1,-2,3) B(5,-3,2) C(3, -2,6) Obter as Coordenadas do ponto











D(m,n, p) Tais que: AB = 2CD

 x + x y + y z +z  M = A B , A B , A B  2 2   2

M A




 v = OP

A (x 1 , y 1 )

B











De AB= 2CD , temos

B- A= 2( D-C) ⇒

⇒ ( 5 -1,-3+ 2,2- 3) = 2( m- 3,n+ 2, p-6) ⇒

2











B- A= 2( D-C) ⇒

De AB= 2CD , temos

⇒ ( 5 -1,-3+ 2,2 - 3) = 2( m- 3,n+ 2, p-6) ⇒

 No plano R 2 : v = ( x, y ) =

⇒ ( 4,-1,-1) = ( 2m - 6,2n+ 4,2p - 12 )

y

Da igualdade entre vetores, temos:

 4 = 2m - 6   -1 = 2n + 4  -1 = 2p - 12 

m = 5  ⇒  n = -5 /2  p = 1 1 /2 

y

z

P

x

x



Versor de um vetor (v 0 )  0 v v =  v

Vetor unitário, com mesma direção e  sentido de v

0

z

o

 v

O

Assim, o ponto D é (5,-5/2, 11/2)

 No espaço R3 : v = ( x, y,z ) = x 2 + y 2 + z 2

x2 + y2

 v

x

P y

y

Importante! (v ) Também é versor de  todos os vetores múltiplos de v que tiverem o mesmo sentido dele.



0

 αv

 αv

 v



0 De fato: ( αv ) =  =  =  =v αv α v v α >0

x

Representação pelos versores Calcule o módulo e o versor de v = ( -1, 2, 2 )

 v = ( -1,2,2) =

2

( -1) + 22 + 22 = 9 = 3

 0 ( -1, 2, 2 ) =  -1 , 2 , 2  . v v =  =   v 3  3 3 3

    v = ( x, y, z ) = xi + yj + zk z zk

 i = ( 1,0,0 )

 j = ( 0,1,0 )

k

 k = ( 0,0,1 )

i

x

o

 v

P

j

yj

y

xi

3



( u.v ) No plano:

  u = ( x 1 , y1 ) v = ( x 2 , y 2 )

⇓

  u ⋅ v = x1 x2 + y1 y2 No espaço:

  u = ( x1 , y1 , z1 ) ,v = ( x2 , y2 , z2 )

⇓

  u ⋅ v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

Importante:  1) O resultado de u .v é um número real. 2)

 0.u= ( 0,0,0) .( x, y,z) =0x+0y+0z =0

Exemplo 3:

Determine o produto escalar entre os vetores   
   
 u= 4i - 5 j + 2k e v = -3i + j - k



 u⋅v = ( 4,-5,2) ⋅( -3,1,-1) =4( -3) +( -5) 1+2( -1) = -12 - 5 - 2 = -19

  2 u.u = u Essa é importantíssima!! Vamos mostrá-la?

  u.u = ( x, y, z ) .( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2

2 u =

(

x2 + y2 + z2

)

2

 
 Sejam vetores u,v,w e α ∈ R, temos

 

 

  


 



  



( c) u⋅ u >0, se u ≠ 0 ( d) α( u⋅v) = ( αu) ⋅v =u⋅( αv)  

 

  2

( e) u⋅ u=0⇔u=0 ( f ) u⋅ u= u

Proposição: O produto escalar entre dois   vetores u e v não nulos é dado também por:         u ⋅ v = u v cos ( u,v ) co s u , v = u ⋅ v  u v u

(

)

 

( u,v )

 v

= x2 + y2 + z2

 


( b) u⋅( v+w) =u⋅v+u⋅ w

( a) u⋅v =v⋅ u

Ângulo  entre u e v

    π u ⋅ v > 0 ⇒ 0 ≤ ( u,v ) < 2     u ⋅ v < 0 ⇒ π < ( u,v )≤ π 2

4

Condição de ortogonalidade de dois vetores não nulos



Calcule o ângulo entre os vetores u= ( -2,2,0)  e v= ( 1,0,-1) .

   u ⊥ v ⇔ u.v = 0    π  π u ⊥ v ⇔ ( u,v ) = ⇔ cos ( u,v ) = cos ⇔ 2 2   u.v   = 0 ⇔ u.v = 0 uv

    u ⋅v cos u , v =   u v

(

)

  ( -2,2,0) ⋅ ( 1,0,-1) cos u,v = ( -2,2,0) ( 1,0,-1)

( )

  ( -2,2,0) ⋅ ( 1,0,-1) cos u,v = ( -2,2,0) ( 1,0,-1)

( )

-2 ( 1) + 2 ( 0 ) +0 ( -1)

=

( -2) =

2

+ 22 +02 12 +02 + ( -1)

2

Calcule o valor dem para que os  vetores u = ( m - 1) i + 2j - ( m + 3 ) k e  v = ( 2,m,-1 ) sejam ortogonais.

-2 -2 -2 1 = = =2 8 2 16 4

 Logo, u,v =120°

( )

 

u× v )  (

Produto vetorial

Determine o produto vetorial entre:

 u = ( x1 , y1 ,z1 ) ,v = ( x2 , y2 ,z2 ) vetor



  u = ( 3,1, 2 ) v = ( -2, 2,5 )



u×v 

( y 1 z 2 - y 2 z 1 , z 1 x 2 - z 2 x 1 , x 1 y 2 - x 2 y1 ) Det. de ordem 3 (regra de sarrus)





j

k

i   u × v = x1

x1

y1

z1

x2

x2

y2

z2



i









j y1

k z1



 j

k

= 3

1

2

y2

z2

-2

2

5

i



5





i

3



j

k

1

2

i

 

j

3 -2 2 5 -2 

Características de u × v

1 2

= 







   u×v ⊥ u

1 ⋅ 5 ⋅ i + 2 ⋅ ( -2 ) ⋅ j + 3 ⋅ 2 ⋅ k



- ( -2 ) ⋅ 1 ⋅ k - 2 ⋅ 2 ⋅ i - 5 ⋅ 3 ⋅ j   

v

π

u

  u ×v

u

v

 

( u× v ) = - ( v × u )

  u ×v

    u × v = u v s e n (θ )

  u, v   Interpretação geométrica de u × v :    u,v ≠ 0

v

v

 

  

Comprimento de

Regra da mão direita

  

( u × v ) .v = 0 ( u × v ) .u = 0

v× u

Depende da orientação do ângulo entre os vetores.

u

Pois...

=

= -2-38+40=0 portanto...

u ×v

   u× v ⊥ v

u× v

i - 19j + 8k = ( 1,-19,8 ) Veja:    ( u×v) .v = ( 1,-19,8) .( -2,2,5) =1.( -2) +( -19) .2+8.5

Sentido de

e

v

θ

v×u

θ ângulo entre

v

Área do paralelogramo  determinado por u ,v

sen(θ)

u

u

Propriedades importantes

    u× v ≠ v × u       (u × v )× w ≠ u × (v × w )            u× v = 0 ⇔ u//v ( u×u=0 e u×0 =0 )        u × (v + w ) = ( u × v ) + (u × w )       α ( u×v ) = ( αu) ×v = u× ( αv )       u.( v × w ) = ( u× v ) .w

A

(2 , 1 , 1 )

B ( 3 , -1 , 0 )

Área do ▲ A B C ?





 A = AB × AC

C ( 4, 2, -2 )







 AB=( 1,-2,-1) AC = ( 2,1,-3)    A i j k





 AB× AC = 1 -2 -1 = 7,1,5

(

2

1

D

C

B

)

-3

6

   Produto misto ( ( u,v,w ) )







 AB × AC = (7,1,5 )





 AB× AC = 7 2 + 12 + 5 2 = 75 = 3.5 2 = 5 3





 AB × AC A▲ =

2

=

  

 



 



( u,v, w ) = u.( v × w ) = ( u × v ) .w    u= ( x1 , y1 ,z1 ) ,v = ( x2 , y2 ,z2 ) ,w= ( x3 , y3 ,z3 )

5 3 2

x1    ( u, v, w ) = x 2

y1

z1

y2

z2

x3

y3

z3

Determinante de ordem 3(regra de Sarrus)

Interpretação Geométrica

Propriedades do produto misto       ( u,v, w ) = - ( v,u, w )       ( u,v, w ) = - ( u, w,v )       ( u,v, w ) = - ( w,v,u )

  

(u , v , w ) =

  

( u,v, w )

v ×w

0 ⇔ são coplanares   v×w

   u. ( v × w )

= Volume do paralelepípedo    formado por u , v e w

u h

w

θ



u w

v

v

Volume do tetraedro:

V =

1    ( u,v, w ) 6

Calcule o volume do tetraedro cujos vértices são: A( 1,1,0) ,B( 6,4,1) ,C ( 2,5,0) e D( 0,3,3)

v ×w B

V =

u h

θ

C

A

w

v

D

1








 AB , AC , AD 6




(

)

AB = ( 5, 3,1 )


 AC = ( 1, 4,0 )


 AD = ( -1,2, 3 )

7

V =

1








 AB , AC , AD 6

(

)

3 1 4 0 = 1 4 0 1 4  -1 2 3 -1 2 3 -1 2  = 60 + 0 + 2 - ( -4 + 0 + 9 ) = 57

(










 AB , AC , AD =

5

3

1

5

3

1 5

)

Logo: V =

Uma geometria não pode ser mais verdadeira do que outra; outra; poderá ser apenas mais cômoda. cômoda. Poincaré

1 1 19 57 = .57 = u.v . 6 6 2

8