conteúdo geometria plana - AULA 05

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Circulo e Circunferência

Professor: Vitor José

CIRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Círculos e circunferências são figuras geométricas planas diferentes e bem abundantes na natureza. Podemos observar vários objetos no nosso dia a dia que representa uma dessas figuras. Então, vamos primeiro fixar bem os conceitos para não nos confundirmos perante o decorrer do estudo.  Circunferência: É uma região do plano formada por pontos que são equidistantes de um ponto fixo chamado de centro da circunferência.  Círculo: Região interna da circunferência.

CIRCUNFERÊNCIA Uma vez que entendemos o conceito de circunferência iremos analisar sua forma e seus elementos. Na figura temos uma circunferência de centro C e raio r.

 Elementos da circunferência:  Toda circunferência possui 3 elementos raio, diâmetro e corda.  Raio (r): É o segmento de reta de liga o centro da circunferência à sua extremidade. Observando a figura anterior podemos perceber o raio r unindo os pontos C e P.  r = ̅̅̅̅ 𝑪𝑷  Diâmetro (d): É o segmento que passa pelo centro da circunferência e une duas de suas extremidades. O diâmetro é o dobro do raio.  D = 2r  Corda (c): É o segmento de reta que une dois extremos da circunferência e que não passa pelo centro. Exemplo: Determine o raio de uma circunferência de diâmetro igual a 30 cm. Resolução: Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, então; d = 2r 30 = 2r 2r = 30 r = 30/2 r = 15 cm

 Perímetro da circunferência (comprimento da circunferência): Para entender o conceito de comprimento da circunferência observe a imagem e imagine a seguinte situação.

Imagine que possamos cortar a nossa circunferência em um ponto e esticá-la a um ponto que ela seja um segmento de reta. Deste modo fica fácil determinar o seu comprimento, né? Porém, não há como esticar toda circunferência toda vez que precisamos calcular o seu comprimento. Então, de que modo podemos determinar este valor? Arquimedes, um matemático grego, dentre muitas outras coisas, notou que a razão entre o comprimento da circunferência(C) e o diâmetro (d) resultava num mesmo número. Número tal que recebeu o nome de pi (π). Logo, temos que:

π=

𝑪 𝒅

𝑪=𝝅⋅𝒅

Como sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, temos que a fórmula do comprimento da circunferência é:

𝑪 = 𝟐𝝅 ⋅ 𝒓 Obs: O valor de π é bastante extenso em números de casas decimais. De modo geral usamos π = 3,14. Mas, fique atento! Na maioria das questões de vestibulares e no Enem o valor de π é informado no final do enunciado, quando é preciso o valor de π . O que pode variar de questão para questão π = 3, π = 3,1 e até π = 5 (piada de engenheiro rs).

Exemplo: Determine o comprimento de uma circunferência de raio 25 cm. Solução: C=2⋅𝜋⋅𝑟 C = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 25 C = 50 ⋅ 𝜋 C = 50 ⋅ 3,14 C = 157 cm

CÍRCULO Círculo é a região interna da circunferência. Toda a parte azul da figura representa um círculo.

 Elementos do círculo: Os elementos do círculo coincidem com os elementos da circunferência, logo, todo círculo apresenta raio, diâmetro e corda.

 Área do círculo: A área do círculo (A) é a medida de toda a região delimitada pela circunferência. A dedução da fórmula requer noções que no momento estão fora do nosso campo de estudo. Porém, é uma fórmula muito simples e que sempre está presente nos vestibulares.

𝑨 = 𝝅 ⋅ 𝒓² Exemplo: Determine a área de um círculo de raio igual a 3 cm. Solução: Sabemos que: A = 𝜋 ⋅ 𝑟 2 , então: A = 𝜋 ⋅ 32 A=𝜋⋅9 Logo, A = 9𝜋 𝑐𝑚²

Exercícios Resolvidos: 01. A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50cm. Determine a distância percorrida, em metros, por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar π = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem. Solução:

Para sabermos a distância percorrida precisamos primeiro saber qual o comprimento da roda do automóvel. Sabemos a fórmula que calcula o comprimento da circunferência e sabemos a medida do diâmetro da roda, então; 𝑪=𝟐⋅𝝅⋅𝒓

→

𝑪 = 𝟐 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝟐𝟓

A questão é em metros, logo, 25 cm = 0,25m. 𝑪 = 𝟐 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝟎, 𝟐𝟓

→

𝑪 = 𝟎, 𝟓𝟎 ⋅ 𝝅

→

𝑪 = 𝟎, 𝟓𝝅

Agora que sabemos o valor do comprimento da roda podemos calcular a distância. A distância é o produto do comprimento da roda pelo seu número de voltas. 𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝟎, 𝟓𝝅 ⋅ 𝟏𝟕𝟓𝟎

→

𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝟖𝟕𝟓𝝅

No enunciado foi imposto que π = 3,14, então; 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 = 𝟖𝟕𝟓 ⋅ 𝟑, 𝟏𝟒

→

𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 = 𝟐. 𝟕𝟒𝟕, 𝟓𝐦

Resposta: 2.747, 5 m.

02. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado.

Solução: A imagem pode assustar um pouco, porém, é um exercício bem simples. Perceba que temos um quadrado em vermelho, 4 semicírculos de linhas verde e as 4 pétalas pintadas inteiramente de verde. A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado. 𝑨𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄𝒊𝒓 =

𝝅 ⋅ 𝒓² 𝟐

→

𝑨𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄𝒊𝒓 =

𝟐𝟓𝝅 𝟐

Área dos 4 semicírculos é: 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄 = 𝑨𝒒𝒖𝒂𝒅. +𝑨𝒑é𝒕𝒂. = 𝟒 ⋅ 𝑨𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄𝒊𝒓 Logo,

𝟒 ⋅ 𝟐𝟓𝝅 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝑨𝒑é𝒕𝒂. 𝟐 𝟓𝟎𝝅 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝑨𝒑é𝒕𝒂. → 𝑨𝒑é𝒕𝒂. = 𝟓𝟎𝝅 − 𝟏𝟎𝟎 𝑨𝒑é𝒕𝒂. = 𝟓𝟎(𝝅 − 𝟐)𝒄𝒎²

𝟒 ∙ 𝑨𝒔𝒆𝒎𝒊𝒄𝒊𝒓 = 𝑨𝒒𝒖𝒂𝒅. + 𝑨𝒑é𝒕𝒂.

→

Resposta: 50 (π - 2) cm² EXERCÍCIOS 01. (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular de raio 200m. Considerando π = 3,14, o número de voltas que ele deve dar é: a) 500 b) 350 c) 450 d) 400 e) 300 02. (ENEM - 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em: a) 8π. b) 12π c) 16π. d) 32π. e) 64π. 03. Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.

Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para √𝟑. O valor de R, em centímetros, é igual a. a) 64,0 b) 65,5 c) 74,0 d) 81,0 e) 91,0 04. (ENEM – 2013) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio. Use 3 como aproximação para π. Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? a) 0,30km b) 0,75 km c) 1,50 km d) 2,25 km e) 4,50 km 05. (UNIFOR - 2015) A figura mostra três circunferências de centros A, B e C e tangentes duas a duas. Se as retas que ligam os pontos C a Q e P a T são perpendiculares e se o raio da circunferência maior é 6m, quantos metros deve uma pessoa percorrer para ir do ponto P ao ponto Q seguindo a trajetória dada pela figura? a) 6π b) 7π c) 8π d) 9π e)10π

Gabarito: 1. (d) / 2. (a) / 3. (c) / 4. (e) / 5. (d)

VIDEO AULAS Clique nas imagens para assistir uma aula sobre circulo e circunferência nos canais “Equaciona com Paulo Pereira” e “Brasil Escola”.

MAPAS MENTAIS

Relações métricas na Circunferência

Professor: Matheus Leal

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA Antes de iniciar a aula sobre relações métricas na circunferência, é importante lembrar alguns conceitos e o que eles significam, para que não haja dúvida na hora das explicações posteriores. Observe a imagem:

 DIÂMETRO: é um segmento de reta que, passando pelo centro, divide a circunferência em duas partes iguais.  RAIO: é a metade do diâmetro e une o centro a um ponto qualquer da circunferência.  CORDA: é um segmento de reta que une quaisquer dois pontos da circunferência.  SECANTE: é uma linha reta que passa pela circunferência e a cruza em dois pontos sem passar pelo centro.  TANGENTE: é uma linha reta que passa pela circunferência tocando apenas num ponto, sendo que, a reta tangente e o raio são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90°.

Relação entre cordas: Quando duas cordas se cruzam no interior de uma circunferência, o ponto de cruzamento determina segmentos de reta que são proporcionais entre si. Essa proporcionalidade pode ser dada através de uma multiplicação. Veja o esquema:

O segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 multiplicado pelo segmento ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 é proporcional ao segmento ̅̅̅̅ 𝐶𝑃 multiplicado pelo segmento ̅̅̅̅ 𝑃𝐷. Veja a representação a seguir para entender melhor: ̅̅̅̅ 𝑨𝑷 ∙ ̅̅̅̅ 𝑷𝑩 = ̅̅̅̅ 𝑪𝑷 ∙ ̅̅̅̅̅ 𝑷𝑫 Exemplo: Na figura, vamos determinar o valor do seguimento ̅̅̅̅ 𝑨𝑷.

Solução: Temos que: ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 = X ; ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 = 2, ; ̅̅̅̅ 𝐶𝑃 = 3; ̅̅̅̅ 𝑃𝐷 = 6. Tendo as unidades de comprimento de cada segmento, podemos utilizar a regra de proporcionalidade: ̅̅̅̅ 𝑨𝑷 ∙ ̅̅̅̅ 𝑷𝑩 = ̅̅̅̅ 𝑪𝑷 ∙ ̅̅̅̅̅ 𝑷𝑫 𝑋 ∙ 2=3 ∙ 6 𝑋 ∙ 2 = 18 𝑋=

18 2

𝑋=9 Relação entre secantes: Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. Observe:

̅̅̅̅ multiplicado pelo segmento 𝑅𝑄 ̅̅̅̅ é proporcional ao segmento 𝑅𝑇 ̅̅̅̅ multiplicado pelo O segmento 𝑅𝑃 segmento ̅̅̅̅ 𝑅𝑆, assim: ̅̅̅̅ 𝑹𝑷 ∙ ̅̅̅̅ 𝑹𝑸 = ̅̅̅̅ 𝑹𝑻 ∙ ̅̅̅̅ 𝑹𝑺

Exemplo: Na figura, vamos determinar o valor do seguimento ̅̅̅̅ 𝑪𝑫.

Solução: Temos que: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 5; ̅̅̅̅ 𝑅𝐵 = 8; ̅̅̅̅ 𝑅𝐷 = 6; ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = X. Tendo as unidades de comprimento de cada segmento, podemos utilizar a regra de proporcionalidade: ̅̅̅̅ 𝑹𝑷 ∙ ̅̅̅̅ 𝑹𝑸 = ̅̅̅̅ 𝑹𝑻 ∙ ̅̅̅̅ 𝑹𝑺

Obs:

(6 + X) ∙ 6 = 13 ∙ 8

̅̅̅̅ 𝑅𝐴 = ̅̅̅̅ 𝑅𝐵 + ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 = 8 + 5 = 13

36 + 6X = 104

̅̅̅̅ = 𝑅𝐷 ̅̅̅̅ + 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ = (6 + X) 𝑅𝐶

6X = 104 − 36 6X = 68 𝑋=

68 6

X = 11,333... Relação entre secante e tangente: Ao se traçar um segmento secante e um segmento tangente a uma circunferência, sendo que estes segmentos de reta se encontram em um ponto externo a circunferência, estes segmentos irão se relacionar da seguinte forma:

O quadrado da medida do segmento tangente é igual a multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa, sendo assim: ̅̅̅̅)𝟐 = ̅̅̅̅ (𝑷𝑸 𝑷𝑺 ∙ ̅̅̅̅ 𝑷𝑹 Exemplo: Na figura, vamos determinar o valor do seguimento ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑨𝑷 = 𝒙.

Solução: Tendo as unidades de comprimento de cada segmento, podemos utilizar a regra de proporcionalidade: ̅̅̅̅)𝟐 = 𝑷𝑺 ̅̅̅̅ ∙ ̅̅̅̅ (𝑷𝑸 𝑷𝑹 (𝑋)2 = 24 ∙ 6 (𝑋)2 = 144 X = 12

Quadrilátero Circunscrito:  Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.  Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência. Observe:

̅̅̅̅ 𝑨𝑩 + ̅̅̅̅ 𝑫𝑪 = ̅̅̅̅ 𝑨𝑫 + ̅̅̅̅ 𝑩𝑪 Exemplo: Determine o valor do lado em questão.

Solução: Tendo as unidades de comprimento de cada segmento, podemos utilizar a regra de proporcionalidade: ̅̅̅̅ 𝑨𝑩 + ̅̅̅̅ 𝑫𝑪 = ̅̅̅̅ 𝑨𝑫 + ̅̅̅̅ 𝑩𝑪 2𝑥 + 26 = 34 + 24 2x = 58 – 26

x=

32 2

x = 16

EXERCÍCIO 01. Calcule x na figura abaixo: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 02. De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento ̅̅̅̅ 𝑷𝑨 da secante é o dobro do segmento da tangente e mede 16 m, qual deve ser, o raio da círcunferência, se a secante contém o diâmetro do mesmo? a) 2√3 b) 3√2 c) 2√6 d) 5 e) 6 ̅̅̅̅ do quadrilátero circunscrito na circunferência, sendo ̅̅̅̅ 03. Calcule a medida do lado 𝐁𝐂 𝐀𝐁 = 10 cm, ̅̅̅̅ 𝐂𝐃 = 15 cm e ̅̅̅̅ 𝐀𝐃 = 13 cm. a) 6 b) 7 c) 9 d) 12 e) 14 Gabarito: 01. (b) / 02. (e) / 03. (d)

VIDEO AULAS Clique nas imagens para assistir uma aula sobre Relações métricas na circunferência nos canais “Escola de Números com Thyago Araújo” e “Matemática no Papel”.

MAPAS MENTAIS

Bons Estudos!!!