MATEMÁTICA - 6o Ano - Aula 1 - Contar, medir e codificar - reforcoescola

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Sistemas de numeração

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esde quando os números existem? Quando e como foram criados?

A origem dos números perde-se no tempo, em uma época em que ainda não existia a linguagem escrita.

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A humanidade levou centenas de milhares de anos para construir a ideia de número. Na verdade, a história dos números é apenas uma parte da história da humanidade. Investigar a sua origem é investigar as necessidades práticas das civilizações antigas, quando estas passaram de nômades a sedentárias e contar passou a ser importante no controle do que possuíam.

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Então, vamos viajar um pouco pela História.

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Contagem primitiva – um pouco de história No início da história da humanidade, os homens viviam em pequenos grupos, abrigavam-se em cavernas e alimentavam-se, principalmente, de caça, pesca, raízes e frutos. Com a vida voltada para as necessidades imediatas, o homem das cavernas, como é conhecido, comunicava-se com seus semelhantes por meio de gestos, grunhidos e desenhos. Há aproximadamente 12 000 anos, o homem deixou de ser caçador nômade (sem habitação fixa), procurou as margens dos rios para se fixar, começou a construir sua habitação, dedicou-se à criação de animais e às plantações e passou a observar as fases da Lua e as estações do ano à procura da melhor época para plantar e colher. Nessa época começaram a surgir alguns povoados. Na atividade diária de levar e buscar o rebanho no pasto, o homem aprendeu a corresponder uma pedrinha a cada ovelha ou cabra, pois assim poderia verificar se estava recolhendo todos os animais que havia levado para pastar. Veja uma situação que pode ter acontecido com o homem primitivo:

Além de pedras, o homem também usou outras formas de controle, como dar nós em cordas ou fazer entalhes em pedaços de madeira ou osso. Seu senso numérico* não ia além de um, dois, três e muitos.

1 Marcas em pedra, osso ou madeira.

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*Senso numérico é a capacidade de reconhecer e comparar pequenas quantidades. O senso numérico é diferente da capacidade de contar – capacidade mais elaborada que, em todo reino animal, somente o ser humano possui.

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Nós em cordas.

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A correspondência um a um estabelecida entre o conjunto de ovelhas ou cabras e o conjunto de pedras possibilitava ao homem dessa época comparar duas coleções sem conhecer as quantidades envolvidas.

Realizando experiências de contagem, o homem foi gradativamente construindo o conceito de números que inicialmente estava relacionado ao concreto: três bastões, três peixes, três carneiros, por exemplo. Os dedos, marcadores sempre ao alcance do homem, foram muito usados na correspondência unidade com unidade, na representação de coleções com até dez elementos e, posteriormente, como inspiração e recurso para a contagem em grupos, de coleções com número maior de elementos. A evolução da vida comunitária levou o homem a agrupar os objetos de cinco em cinco, de dez em dez, de vinte em vinte, usando os dedos das mãos e dos pés. Quando os dedos eram insuficientes, continuava os agrupamentos formando montes de pedrinhas, geralmente com cinco pedras. A contagem por agrupamentos, relacionada com os dedos, tornou-se uma prática na vida diária. A partir dessa forma de contagem, a escrita dos números passou a ser feita com base na representação desses agrupamentos, de cinco em cinco ou de dez em dez, por exemplo. Essas experiências possibilitaram ao homem a criação de sistemas de numeração.

Sistemas de numeração Alguns desses povoados antigos desenvolveram-se e deram origem a importantes civilizações, algumas responsáveis por muitos feitos, dentre eles a criação de sistemas de numeração. Cada uma desenvolveu símbolos próprios para representar números. Com o tempo, o homem aprendeu a trabalhar com metais para fabricar suas ferramentas e armas, aperfeiçoou suas construções e começou a desenvolver atividades comerciais. Surgiram formas primitivas de escrita que, aos poucos, foram evoluindo para uma escrita simples, a escrita cuneiforme. Ela foi assim chamada porque era feita com cunhas – espécie de bastões de ponta afinada – sobre placas de barro ainda mole. Com a escrita, as civilizações antigas encontraram formas organizadas de representar quantidades. Surgiram, então, os *sistemas de numeração, entre os quais vamos estudar o egípcio, o babilônico, o romano e o indo-arábico (decimal).

*Um sistema de numeração compõe-se de regras (agrupamentos de símbolos) que permitem ler e escrever qualquer número.

Sistema de numeração egípcio

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A civilização egípcia desenvolveu-se no vale do Rio Nilo, no continente africano. As inundações anuais do Nilo proporcionavam aos egípcios, como proporcionam até hoje, um solo fértil, favorável à agricultura. Por causa dessas inundações, as demarcações de terras se perdiam e os egípcios tiveram de aprender desde cedo a precisar a época das enchentes.

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Rio lo Ni

Acredita-se que os egípcios antigos tinham um avançado conhecimento matemático para sua época, pois a construção das pirâmides, de canais de irrigação e açudes exigiu cálculos complexos e uma grande capacidade de planejamento.

Mar Mediterrâneo

Mar Vermelho

A maioria das informações que temos sobre os conhecimentos matemáticos dos egípcios Nascente do Rio Nilo. deve-se aos escritos encontrados em dois famosos papiros (material de escrita parecido com o papel): de Ahmes e de Moscou. O primeiro está em Londres, Inglaterra, no British Museum, e o segundo, em Moscou, Rússia.

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Suas observações do dia, da noite e sua dedicação à astrologia possibilitaram a criação de um calendário com um ano de 365 dias, divididos em 12 meses de 30 dias cada e mais 5 dias no final do ano.

Temática Cartografia.

Nascente do Rio Nilo

O sistema egípcio de contagem fazia agrupamentos de dez em dez e os representavam com sete símbolos básicos, cujos valores eram adicionados na escrita dos números. Não tinha um Pirâmides dos faraós Quéops, Quéfren e Miquerinos. símbolo para o zero nem valor de posição, isto é, cada símbolo tinha sempre o mesmo valor qualquer que fosse a posição dele na escrita do número. Sinais usados pelos egípcios para escrever os números: Os egípcios escreviam os números usando estes sinais:

um traço vertical representava a unidade. um sinal em forma de alça indicava a dezena.

esse sinal, parecido com um pedaço de corda enrolada, valia cem.

essa flor de lótus com seu talo representava mil (lótus era uma planta sagrada no Egito Antigo).

esse desenho, representando um dedo dobrado, era o símbolo para dez mil.

essa figura ajoelhada, com as mãos para o alto, representava um milhão.

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esse girino representava cem mil.

Veja no quadro abaixo alguns exemplos de como os egípcios registravam seus números: Nossos símbolos

Símbolos egípcios

Significado

5

1+1+1+1+1

13

10+1+1+1

257

100+100+10+10+10+10+10+1+1+1+1+1+1+1

1312

1 000+100+100+100+10+1+1

Sistema de numeração babilônico A civilização babilônica desenvolveu-se numa região situada entre os rios Tigre e Eufrates. Os historiadores chamam essa região de Mesopotâmia, que significa “entre rios”.

Mar Cáspio

Rio

Mar Mediterrâneo

re

Em toda a Mesopotâmia utilizava-se a escrita cuneiforme, que influenciou também a representação do sistema babilônico de contagem, criado por volta de 1600 antes de Cristo (1600 a.C.).

Tig

Rio

Assíria

Temática Cartografia.

Egito - Mesopotâmia

Mesopotâmia

Palestina

Egito Rio o elh erm rV Ma

lo Ni

Golfo

Pérsico Nesse sistema já existia a ideia de valor de posição, ou seja, um mesmo símbolo, dependendo da posição que ocupa, assume valores diferentes. A base de contagem era 60 e ainda não Mesopotâmia da Antiguidade. havia um símbolo para o zero, que só foi inventado no final dessa civilização, por volta do século I a.C.

Veja como eles escreviam os números de um a nove: Escrita babilônica Nossa escrita

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Para escrever dez, usavam o mesmo símbolo, porém em posição horizontal:

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Escrita babilônica Nossa escrita

10

11

12

...

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20

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...

30

31

5

Escrita babilônica Nossa escrita

60

61

...

70

71

72

...

Esse sistema, apesar de usar o valor de posição, apresentava alguns inconvenientes como o mesmo símbolo assumindo vários valores e espaços vazios no numeral (antes do uso do símbolo para zero). Por exemplo: como representar o número 103.

60

40

3

As antigas civilizações da Mesopotâmia desapareceram e, com elas, o seu sistema numérico. Entretanto, alguns vestígios nos acompanham até os dias de hoje. Por exemplo: na contagem do tempo, sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora, mostrando que o sistema de numeração babilônico ainda continua presente.

Sistema de numeração romano A fundação de Roma data de 753 anos antes de Cristo (753 a.C.). Os romanos eram guerreiros e conquistadores. Formaram, ao longo dos anos, um grande império, aumentando seu território com as terras dos povos que venciam nas guerras. O sistema de numeração que criaram baseava-se no uso de letras de seu alfabeto para representar números. Vamos conhecer um pouco sobre esse sistema que, ainda hoje, é utilizado para registrar datas, indicar horas, capítulos de livros, títulos de reis e papas etc. O sistema romano de numeração utiliza sete símbolos básicos divididos em dois grupos: 1.º Símbolos que podem ser repetidos até três vezes: I – X – C – M 2.º Símbolos que não podem ser repetidos: V – L – D

Escrita romana

I

V

X

L

C

D

M

Nossa escrita

1

5

10

50

100

500

1000

O sistema romano de numeração baseia-se em três regras ou princípios:

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Observe a correspondência entre os símbolos romanos e a nossa escrita numérica atual:

Aditivo Os símbolos I, X, C, quando colocados imediatamente à direita de V, L, D, M, respectivamente, têm seus valores adicionados. Exemplos: VII

5+2

7

LX

50 + 10

60

DCCC

500 + 300

800

Subtrativo Os símbolos I, X, C, quando colocados imediatamente à esquerda de V, L, D, M, respectivamente, têm seus valores subtraídos. Exemplos: IV

5–1

4

XL

50 – 10

40

CM

1 000 – 100

900

Multiplicativo Os símbolos romanos têm seus valores multiplicados por 1 000 cada vez que um traço horizontal é colocado sobre eles. Exemplos: IX

9 x 1 000

9 000

IVIII

4 x 1 000 x 1 000 + 3

4 000 003

Esse sistema não tem um símbolo para o zero. Os cálculos eram feitos com ábaco e apenas se registravam resultados ou datas em livros de contabilidade, documentos e fachadas de edifícios da época, porque os símbolos romanos não oferecem praticidade para cálculos. Durante mais de 1 000 anos, o sistema de numeração romano foi utilizado na Europa. Por volta do século XIII, com a expansão do comércio e das navegações, os símbolos romanos foram substituídos pelos algarismos indo-arábicos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Hoje, a numeração romana ainda é utilizada em algumas situações: mostradores de relógios, na escrita dos números dos séculos, numeração de capítulos de livros e de leis, nos nomes de papas etc. Leia um trecho da Declaração Universal dos Direitos da Criança e observe que a numeração dos princípios que a formam é feita no sistema romano. Isso é muito comum em textos oficiais como leis, contratos, regimentos etc.

Declaração Universal dos Direitos da Criança A criança tem direito: EF2_6A_MAT_001

Direito à igualdade, sem distinção de raça, religião ou nacionalidade. Princípio I – A criança desfrutará de todos os direitos enunciados nesta Declaração. Esses direitos serão outorgados a todas as crianças, sem qualquer exceção, distinção

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ou discriminação por motivos de raça, cor, sexo, idioma, religião, opiniões políticas ou de outra natureza, nacionalidade ou origem social, posição econômica, nascimento ou outra condição, seja inerente à própria criança ou à sua família. Direito a especial proteção para o seu desenvolvimento físico, mental e social. [...] Princípio VI – a criança necessita de amor e compreensão, para o desenvolvimento pleno e harmonioso de sua personalidade; sempre que possível, deverá crescer com o amparo sob a responsabilidade de seus pais, mas, em qualquer caso, em um ambiente de afeto e segurança moral e material; salvo circunstâncias excepcionais, não se deverá separar uma criança de tenra idade da mãe. A sociedade e as autoridades públicas terão a obrigação de cuidar especialmente do menor abandonado ou daqueles que careçam de meios adequados de subsistência. Convém que se concedam subsídios governamentais ou de outra espécie para manutenção dos filhos de famílias numerosas. Direito à educação gratuita e ao lazer infantil. Princípio VII – A criança tem direito a receber educação escolar, a qual será gratuita e obrigatória, ao menos nas etapas elementares. Dar-se-á à criança uma educação que favoreça sua cultura geral e lhe permita – em condições de igualdade de oportunidades – desenvolver suas aptidões e sua individualidade, seu senso de responsabilidade social e moral, chegando a ser um membro útil à sociedade. O interesse superior da criança deverá ser o interesse diretor daqueles que têm a responsabilidade por sua educação e orientação; tal responsabilidade incumbe em primeira instância a seus pais. A criança deve desfrutar plenamente de jogos e brincadeiras os quais deverão estar dirigidos para a educação; a sociedade e as autoridades públicas se esforçarão para promover o exercício deste direito. Direito a ser socorrido em primeiro lugar, em caso de catástrofes. (ONU – Organização das Nações Unidas. 20 nov. 1959.)

1. Podemos dizer que os símbolos tema de numeração egípcio?

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e

têm o mesmo significado no sis-

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Esse texto, além de exemplificar a utilização dos algarismos romanos, é um instrumento de importância social muito grande. Após fazer sua leitura, faça uma lista de palavras que você não conhece e escreva seus significados no caderno. Depois reflita e discuta com o profes­sor(a) e os colegas a importância desse documento.

Solução: Sim, porque esse sistema não é posicional, isto é, a ordem dos símbolos não altera a quantidade. Observe: = 10+10+1+1=22 = 1+1+10+10=22



Comstock Complete.

2. Usando algarismos romanos, escreva os números em destaque: O Rio Nilo, com seus 6 671 quilômetros, percorre de sul para norte o território egípcio por cerca de 1 500 quilômetros. Solução: 6 671 = 6 000 + 600 + 70 + 1 = VIDCLXXI

Rio Nilo.

1 500 = 1 000 + 500 = MD 3. Na numeração babilônica

significa:

Solução: Um grupo de sessenta mais três, o símbolo da esquerda, separado dos outros três, vale sessenta, logo significa 63.

1. Complete o quadro abaixo, escrevendo os números correspondentes aos símbolos egípcios.

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2. Podemos afirmar que o sistema de numeração egípcio é decimal? Justifique sua resposta.

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3. Compare os números representados na escrita egípcia e complete escrevendo =, > ou