Pró-Exacta - Apostila 2º ano

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Apostila de Matemática 2º Ano

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1. Matrizes 1.1.

Introdução

Em várias situações envolvendo diversas áreas da ciência, as informações são apresentadas na forma de uma tabela retangular, formada por linhas e colunas. Tal formatação justifica-se pela notável organização propiciada por essa configuração, aliada à facilidade de se efetuar vários cálculos simultâneos com os dados nesse formato. Essa tabela retangular é chamada de matriz. A teoria das matrizes encontra aplicação em diversas áreas, tais como Computação, Engenharia, Física, Economia, Administração, entre outras. Na Matemática, as matrizes integram a teoria da chamada Álgebra Linear, da qual fazem parte também os determinantes e os sistemas lineares.

1.2.

Definição de Matriz

Vamos considerar a tabela a seguir, que indica o faturamento de três filiais de uma empresa, nos meses de janeiro e fevereiro de um certo ano:

Essa tabela é um exemplo de matriz, e pode ser representada nos seguintes formatos:

Observação Cada matriz anterior é formada por 3 linhas e 2 colunas. Por isso, dizemos que elas são de ordem 3x2. De maneira geral, podemos definir uma matriz como uma tabela numérica na qual os elementos estão dispostos em linhas e colunas.

1.3.

Representação Genérica

Consideremos a matriz genérica Amxn, ou seja, com m linhas e n colunas. Assim, temos:

2

Cada elemento da matriz A é indicado por aij. O índice i indica a linha, e o índice j, a coluna a que os elementos pertencem. As linhas são numeradas da esquerda para a direita, enquanto as colunas são numeradas de cima para baixo. Por exemplo, a23 representa o elemento da linha 2 e coluna 3.

Observação Uma matriz pode estar representada de forma abreviada, por meio de uma lei de formação. Exemplo Escrever na forma de tabela a matriz A = (aij)3x3, tal que aij = 4i + 3j. Resolução: Nesse caso, a matriz é dada por

Vamos calcular o valor de cada um dos termos da matriz, utilizando a lei de formação dada:

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1.4. Matrizes Especiais 1.4.1. Matriz Linha É toda matriz que possui uma única linha (ordem 1xn). Exemplo A = [3 4 –1] Matriz Coluna É toda matriz que possui uma única coluna (ordem mx1). Exemplo:

1.4.2. Matriz Nula É toda matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplo

1.4.3. Matriz Quadrada É toda matriz na qual o número de linhas é igual ao de colunas. A matriz quadrada do tipo nxn pode ser chamada de matriz de ordem n. Exemplo Tomemos uma matriz genérica 3x3. Assim, temos:

Observe que a diagonal principal é formada pelos elementos i = j. Já a diagonal secundária é formada pelos elementos i + j = n + 1.

1.4.4. Matriz Diagonal É toda matriz quadrada em que os elementos situados fora da diagonal principal são nulos.

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1.4.5. Matriz Identidade (ou Matriz Unidade) É toda matriz quadrada em que os elementos situados fora da diagonal principal são nulos, e os elementos da diagonal principal são iguais à unidade. Representamos a matriz unidade de ordem n por In.

e assim por diante.

1.4.6. Matriz Oposta Dada a matriz A, sua oposta –A é obtida trocando-se os sinais dos elementos da A. Exemplo

1.4.7. Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo mxn, chama-se transposta de A, e indica-se por At, à matriz do tipo nxm, que possui as linhas ordenadamente iguais às colunas de A e as colunas ordenadamente iguais às linhas de A. Exemplo

➢ Propriedades da Transposta Sendo A e B matrizes e α um número real, e supondo as operações a seguir possíveis, temos:

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Observações Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = At. Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica se A = –At.

1.5. Operações entre Matrizes. 1.5.1. Igualdade de matrizes Sejam duas matrizes A e B de mesma ordem mxn. As matrizes A e B são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes de A e B são iguais. Exemplo Determinar os valores de x, y e z na igualdade a seguir:

Resolução: Igualando-se os termos correspondentes, obtemos:

1.5.2. Adição de matrizes Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Chamamos de soma das matrizes A e B, e escrevemos A + B, a uma matriz C, também do tipo mxn, tal que seus elementos sejam obtidos somando-se os elementos correspondentes das matrizes A e B. Exemplo

Resolução:

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Propriedades da adição de matrizes Sendo A, B e C matrizes de mesma ordem e O a matriz nula, e supondo as operações a seguir possíveis, temos:

1.5.3. Multiplicação de uma matriz por um número Seja k um número real e A uma matriz do tipo mxn. Definimos o produto de k por A e escrevemos k.A uma matriz B, também do tipo mxn, tal que seus elementos são obtidos multiplicando-se todos os elementos da matriz A pelo número k. Exemplo

Resolução:

1.5.4. Multiplicação de matrizes Sejam as matrizes Amxn e Bnxp. Chama-se produto das matrizes A e B, nessa ordem, a matriz Cmxp, tal que cada elemento Cij da matriz C é obtido pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos da coluna j de B.

Observações. 1.

Somente é possível a multiplicação de duas matrizes, se o número de

colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, isto é:

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2.

Na matriz produto Cmxp, o número de linhas é igual ao número de linhas

da primeira matriz, e o número de colunas é igual ao número de colunas da segunda matriz.

Exemplo

Observamos que o produto A.B existe, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Podemos utilizar o seguinte algoritmo: Escrevemos, inicialmente, a matriz A e, em seguida, escrevemos a matriz B. O produto A.B é obtido do seguinte modo: Multiplicamos cada elemento de uma determinada linha de A pelo elemento correspondente de uma coluna de B. Em seguida, somamos esses produtos, obtendo o elemento correspondente da matriz produto A.B.

Propriedades da multiplicação de matrizes Sendo A, B e C matrizes e α um número real e supondo as operações a seguir possíveis, temos:

Observação Dadas as matrizes A e B, e supondo que o produto A.B exista, há três possibilidades para o produto B.A: 1ª possibilidade: B.A pode não existir. 2ª possibilidade: B.A pode existir e ser diferente de A.B. 3ª possibilidade: B.A pode existir e ser igual a A.B.

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No terceiro caso, dizemos que as matrizes A e B comutam na multiplicação.

Exemplo

Resolução: Temos que A2 = A.A. Efetuando o produto, obtemos:

Observação Embora existam A.B e B.A, as matrizes obtidas não são iguais. Portanto, dizemos que A e B não comutam na multiplicação.

1.6. Matrizes Inversas 1.6.1. Introdução O conceito de matriz inversa nasceu da necessidade de se resolver equações matriciais da forma A.X = B. Como não existia um equivalente matricial da divisão, os matemáticos desenvolveram um conjunto de técnicas para efetuar uma operação chamada inversão de matrizes, de maneira similar ao cálculo do inverso multiplicativo de um número real.

1.6.2. Definição Dada a matriz Anxn, chamamos de sua inversa a matriz A–1nxn, tal que:

Em que Inxn é a matriz identidade de ordem n.

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Observação Convém ressaltar que uma matriz A podem não possuir inversa. Caso possua, A é dita inversível, e sua inversa é única. Caso contrário, a matriz A é chamada singular. Obtenção da matriz inversa Exemplo:

Resolução:

Assim, temos:

Igualando termo a termo, obtemos:

Unicidade da matriz inversa Se a matriz A é inversível, então a sua inversa é única. Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que exista uma outra matriz B, tal que A.B = B.A = I. Sabemos que A.A–1 = I. Multiplicando-se, à esquerda, ambos os membros da equação anterior, temos: B.(A.A–1) = B.I ⇒ (B.A).A–1 = B.I Mas, B.A = I. Logo, I.A–1 = B.I ⇒ A–1 = B. Portanto, a matriz inversa de A é única. Propriedades da matriz inversa Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Assim, temos:

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1.7. Exercícios 1º) (PUC Minas) Qual o valor de x para que o produto das matrizes

A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

2º) Um construtor tem contratos para construir 2 estilos de casa: moderno e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa é dada pela matriz:

Suponha que o construtor vá construir 2 casas do tipo moderno e 3 do tipo colonial. Se os preços por unidade de ferro, madeira e tijolo são, respectivamente, R$15,00, R$8,00 e R$10,00, então o custo total do material empregado é igual a: a) R$1923,00. b) R$1602,00. c) R$1973,00. d) R$1932,00. 2 1 2 1 3º) Calcule AB, BA, A2 e B2, sabendo que A = [ ]eB=[ ]. −4 −2 1 0 4º) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, tal que A = 2 . At. 𝑥 −2 1 9 5º) Se [ ]. [ ] = [ ], determine os valores de x e y. 1 −2 𝑦 3 6º) Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j. 1 A) A = ( 5 1 B) A = ( 4 2 C) A = ( 5 2 D) A = ( 4 5 E) A = ( 4

2 ) 4 2 ) 5 1 ) 4 1 ) 5 2 ) 1

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2. Determinantes Neste segundo capítulo, trabalharemos as noções de determinantes, eles os números que representam uma matriz, como uma identidade ou o sobrenome de uma matriz por exemplo. Ele é necessário quando queremos associar uma matriz a um número, como veremos a seguir.

2.1. Introdução Anteriormente, vimos que matriz quadrada é toda matriz que apresenta o mesmo número de linhas e de colunas. Dizemos que são matriz 𝑛 × 𝑛. A toda matriz quadrada, através de certos cálculos, podemos associar um único número. Esse número é chamado de determinante. Trabalhar com determinantes facilita muitos outros cálculos, dentre eles: ➢

Resolução de sistemas lineares: esse assunto será visto mais adiante, mas

podemos adiantar que determinantes ajudam a solucionar várias equações que estão relacionadas. ➢

Cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano: se as coordenadas

dos vértices do triângulo forem conhecidas, podemos calcular a sua área através de determinantes. ➢

Cálculo da matriz inversa: com o determinante, há uma forma mais

simples de calcular a inversa de uma matriz, bem como determinar se ela é ou não invertível.

Já foi definido que matriz é uma tabela com vários números. Como então associar a uma tabela um único número, isto é, um determinante?

2.2. Definição de Determinante O determinante de uma matriz quadrada é calculado de diversas maneiras, que variam de acordo com a ordem da matriz. Chamamos de det 𝑀 o determinante de uma matriz 𝑀 com 𝑛 linhas e 𝑛 colunas, e podemos obtê-lo operando os elementos de 𝑀 da seguinte forma: ➢

Se 𝑀 tem ordem 𝑛 = 1, então det 𝑀 é o único elemento de M. 𝑀 = [𝑎11 ] ⟹ det 𝑀 = |𝑎11 | = 𝑎11

Exemplo: 𝑀 = [6] ⇒ det 𝑀 = |6| = 6 𝑀 = [−2] ⇒ det 𝑀 = |−2| = −2

Para definir matrizes, utilizamos colchetes ou parênteses. Para indicar o determinante de uma matriz, utilizamos barras verticais.

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➢

Se 𝑀 tem ordem 𝑛 = 2, então det 𝑀 é o produto da diagonal

principal menos o produto da diagonal secundária.

➢

Se 𝑀 tem ordem 𝑛 = 3, o cálculo do determinante se torna mais

elaborado. Temos a seguinte matriz: 𝑎11 𝑀 = [𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33

O determinante dessa matriz é obtido por meio do seguinte cálculo: det 𝑀 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 −𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 Podemos observar que há três expressões precedidas pelo sinal positivo e três, pelo sinal negativo. Não há, no entanto, necessidade de decorar essa soma de produtos, pois existem vários métodos para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3. Todos eles serão vistos a seguir. A Regra de Sarrus consiste dos seguintes passos: 1)

As duas primeiras colunas da matriz são repetidas do lado direito;

2)

Os termos positivos são obtidos multiplicando os valores no sentido da

3)

Os termos negativos são obtidos multiplicando os valores no sentido da

diagonal principal;

diagonal secundária; 4)

Os seis termos são somados.

Desta forma, temos o seguinte:

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-

-

-

+

+

Exemplo: 2 Ache o determinante da matriz A = |3 1

1 2 4

6 3| pela regra de Sarrus: 1

Resolução: efetuando a regra de Sarrus abaixo:

= 4 + 3 + 72 − 12 − 24 − 3 = 40

Veja mais um exemplo: 5 3 Dada a matriz B = |2 1 0 3

1 0| encontre o determinante pela segra de Sarrus: 1

Resolução:

=5+0+6−0−0−6=5

2.3. Menor Complementar e Cofator Menor complementar é um número associado a um elemento de uma matriz quadrada, que é calculado por meio de determinante. Ele existe para matrizes com ordem 𝑛 ≥ 2. Considerando um elemento 𝑎𝑖𝑗 de determinada matriz 𝑀, o menor complementar 𝐷𝑖𝑗 relativo a este elemento é o determinante da matriz 𝑁 obtida excluindo a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 da matriz 𝑀. Exemplo: Temos a seguinte matriz

2 𝑀 = [5 3

1 0 4 1] Vamos calcular os menores 2 0

complementares 𝐷11 , 𝐷32 e 𝐷21. Resolução:

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a) Calculando 𝑫𝟏𝟏 O primeiro passo consiste em transformar a matriz 𝑀 em 𝑁, removendo a linha 1 e a coluna 1 (de acordo com os índices de 𝐷11).

O determinante dessa matriz corresponde ao menor complementar do elemento 𝑎11 . Logo:

b) Calculando 𝑫𝟑𝟐 Removemos a linha 3 a coluna 2

c) Calculando 𝑫𝟐𝟏 Removemos a linha 2 a coluna 1.

Vamos calcular agora o menor determinante de uma matriz de ordem 2. Considere a seguinte matriz: 𝑀=[

1 5 ] 3 4

d) Calculando 𝑫𝟏𝟏 Retiramos a linha 1 a coluna 1.

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De forma semelhante, o cofator é um número associado a um elemento de uma matriz quadrada. Ele é calculado a partir do menor determinante associado a esse mesmo elemento. Considerando determinado elemento 𝑎𝑖𝑗 e o menor determinante 𝐷𝑖𝑗 associado a ele, o cofator 𝐴𝑖𝑗 associado a esse elemento equivale à seguinte expressão: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 ∙ 𝐷𝑖𝑗

Exemplo: 2 Considerando a seguinte matriz 𝑀 = [8 0

0 2 3 5] Vamos calcular os cofatores 1 4

𝐴13 , 𝐴22 e 𝐴32 . a) Calculando 𝑨𝟏𝟑 O primeiro passo é calcular o menor determinante associado a 𝑎13 . Para calcular 𝐷13, retiramos a linha 1 e a coluna 3 da matriz 𝑀 para encontrar a matriz 𝑁. Depois, calculamos o seu determinante.

Em posse do menor determinante, podemos calcular o cofator. Sabemos que 𝑖 = 1 e 𝑗 = 3. Assim: 𝐴13 = (−1)1+3 ∙ 8 𝐴13 = (−1)4 ∙ 8 𝐴13 = 1 ∙ 8 𝐴13 = 8 b) Calculando 𝑨𝟐𝟐 Seguimos as mesmas etapas do item anterior. Primeiro passo: calcular o menor determinante 𝐷22.

Agora podemos encontrar o cofator 𝐴22 . Temos que 𝑖 = 𝑗 = 2. Logo: 𝐴22 = (−1)2+2 ∙ 8 𝐴22 = (−1)4 ∙ 8 𝐴22 = 1 ∙ 8 𝐴22 = 8

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c) Calculando 𝑨𝟑𝟐 Encontramos o menor determinante 𝐷32 .

Fazemos os últimos cálculos para encontrar o cofator 𝐴32 . 𝐴32 = (−1)3+2 ∙ (−6) 𝐴32 = (−1)5 ∙ (−6) 𝐴32 = (−1) ∙ (−6) 𝐴32 = 6

2.4. Definição de Determinante (Caso Geral) No item 2.2, definimos determinante para matrizes de ordem 1, 2 e 3. Em posse do conceito de cofator, podemos definir determinante para matrizes de qualquer ordem. Temos uma matriz 𝑀 de ordem 𝑛. Definimos o determinante dessa matriz, chamado de det 𝑀, da seguinte forma

➢ Para 𝑛 = 1, então 𝑀 = [𝑎11 ] e det 𝑀 = 𝑎11 . ➢ Para 𝑛 ≥ 2, então: 𝑎11 𝑎21 𝑀=[ ⋮ 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2

… 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ] … 𝑎𝑛𝑛

e definimos seu determinante como:

det 𝑀 = 𝑎11 ∙ 𝐴11 + 𝑎21 ∙ 𝐴21 + 𝑎31 ∙ 𝐴31 + ⋯ + 𝑎𝑛1 ∙ 𝐴𝑛1 Isto é, o determinante de uma matriz equivalente à soma do produto dos elementos da primeira coluna pelos seus respectivos cofatores. Calculando o determinante de uma matriz de ordem 2: 𝑎 𝑏 Seja uma matriz 𝑋 = [ ]. 𝑐 𝑑

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Essa expressão equivale à expressão encontrada 𝑎 determinante de uma matriz de ordem 3: Seja uma matriz 𝐵 = [𝑑 𝑔

anteriormente. Calculando o 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 ]. ℎ 𝑖

Essa expressão coincide com a expressão definida anteriormente. Calculando o determinante de uma matriz de ordem 4: 1 2 1 1 Seja uma matriz 𝐶 = [2 1 4 3 ] 3 0 0 2 4 3 2 −5

Vamos calcular os cofatores separadamente para não haver confusão.

2.5. Teorema Fundamental de Laplace O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, pode ser definido pela soma dos produtos de uma fila qualquer (pode ser linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Ou seja, tendo a matriz M: 𝑎11 𝑎 𝑀 = [ 21 ⋯ 𝑎𝑛1

𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑗 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑗 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑗

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ] ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎4𝑛

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Utilizando a coluna j como referência, podemos calcular o determinante da matriz M como: 𝑑𝑒𝑡 𝑀 = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + … + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 Por exemplo, para calcularmos o determinante da matriz A, a seguir, usando o Teorema de Laplace: Exemplo: 1 Cálculo do determinante da matriz 𝐴 = [2 3 4 Resultado:

2 1 0 3

1 4 0 2

1 3] pelo Teorema de Laplace: 2 5

É mais conveniente escolher a terceira linha para o cálculo do determinante, pois é a que possui maior número de elementos nulos (zeros). Nesse caso, maior número de parcelas será igual a zero e não influenciará nos cálculos, não sendo necessário calcular seus cofatores.Logo: det 𝐴 = 3. 𝐴31 + 0. 𝐴32 + 0. 𝐴33 + 2. 𝐴34 = 3. 𝐴31 + 2. 𝐴34 Calculando os cofatores A31 e A34, temos que: 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝐷𝑖𝑗 𝐴31 = (−1)4 . 22 = 22. 𝐴34 = (−1)7 . 16 = −16. Nesse caso, temos que: det 𝐴 = 3.22 + 2. (−16) = 34.

2.6. Propriedades dos Determinantes O Teorema de Laplace é válido para o cálculo do determinante de qualquer matriz quadrada. No entanto, dependendo de suas dimensões, esse cálculo pode se tornar bastante complicado. Nesse caso, há certas propriedades de determinantes de matrizes que facilitam o encontro do determinante.

2.6.1. Matriz Transposta Se At é a matriz transposta de A, então det(𝐴𝑡 ) = det(𝐴) Exemplo: Calcule o determinante abaixo: 1 2 1 3 |=| | = −2 3 4 2 4 1 2 3 1 4 7 |4 5 6| = |2 5 8| = 0 7 8 9 3 6 9

|

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2.6.2. Fila Nula Seja M uma matriz qualquer, de ordem n,possuir uma linha ou uma coluna completamente nula, ou seja, que todos os seus elementos sejam nulos, então: det(𝑀) = 0 Exemplo: 1 8 A=| 6 1

3 4 3 2

0 0 0 0

7 5 |=0 9 1

2.6.3. Multiplicação de uma Fila por uma Constante Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por uma constante K, e sendo M’ a nova matriz obtida, então: det(𝑀′ ) = 𝐾. det(𝑀) É importante notar que, se multiplicarmos uma matriz inteira, de ordem n, por uma constante α, é o mesmo que multiplicarmos cada fila da matriz por essa constante, logo: det(𝛼. 𝑀) = 𝛼𝑛 . det(𝑀) Exemplo: Calcule o determinante abaixo: 2 |8 2

3 12 9

4 1 64| = 2 × |4 4 1

1 1 2 × 3 × 4 × |1 1 1 3

3 12 9

4 1 64| = 2 × 3 × |4 4 1

4 1 16| = 2 × 3 × 4 × 4 × |1 4 1

1 4 3

4 64| 4

1 1 1 4| = −576 3 1

2.6.4. Troca de Filas Paralelas Seja M uma matriz quadrada qualquer de ordem n. Se trocarmos duas colunas ou duas linhas de posição, de modo a obtendo a matriz M’, temos que: det(𝑀′ ) = −det(𝑀) Exemplo: Calcule o determinante abaixo: 9 3 M=| | = 51 4 7 M′ = |4 7| = −51 9 3

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2.6.5. Filas Paralelas Iguais Se uma matriz M de ordem n ≥ 2, possuir duas filas paralelas (sejam duas colunas ou duas linhas) iguais, então: det(𝑀) = 0 Exemplo: Calcule o determinante abaixo: 1 8 1 |2 6 2| = 0 3 4 3 2.6.6. Teorema de Cauchy O Teorema de Cauchy diz que a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz pelos cofatores de uma fila paralela é sempre igual a zero. Seja a matriz M: 𝑎11 𝑎 𝑀 = [ 21 ⋯ 𝑎𝑛1

𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑗 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑗 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑗

⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ] ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎4𝑛

Então, nesse caso: 𝑎11. 𝐴12 + 𝑎21. 𝐴22 + … + 𝑎𝑛1. 𝐴𝑛2 = 0 Exemplo: Calcule o determinante da matriz: 3 4 2 𝑀 = [ 1 3 5] 5 6 7 Na primeira linha temos: 𝑎11 = 3; 𝑎12 = 4 e 𝑎13 = 2 4 2 Na terceira linha temos: 𝐴31 = (−1)3+1 ∙ | | = 14 3 5 3 2 𝐴32 = (−1)3+2 ∙ | | = −13 1 5 3 4 𝐴33 = (−1)3+3 ∙ | |=5 1 3 Portanto, se multiplicarmos os elementos da 1ª linha pelos cofatores da terceira linha e somarmos os resultados, temos: 𝑆 = 𝑎11 ∙ 𝐴31 + 𝑎12 ∙ 𝐴32 + 𝑎13 ∙ 𝐴33 𝑆 = 3 ∙ 14 + 4 ∙ (−13) + 2.5 𝑆 = 0 (𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦)

2.6.7. Filas Paralelas Proporcionais Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, tal que, por exemplo: 𝑎11 𝑀 = [𝑎21 𝑎31

𝐾. 𝑎11 𝐾. 𝑎21 𝐾. 𝑎31

𝑎13 𝑎23 ], então: 𝑎33

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det(𝑀) = 0 Exemplo: Calcule o determinante da matriz: 𝑥 2 𝑥𝑦 2 𝑥 𝑀 = [𝑥 2 𝑦 𝑦 3 𝑦𝑥 ] 3𝑥 2 2𝑦 2 3𝑥 Na 1ª coluna podemos colocar um fator “x” em evidência, ficando: 𝑥 𝑥𝑦 2 𝑥 𝑀 = 𝑥 [𝑥𝑦 𝑦 3 𝑦𝑥 ] 3𝑥 2𝑦 2 3𝑥 Dessa forma, a 1ª e a 3ª coluna ficam iguais e pela propriedade 5 o valor do determinante é nulo. Assim, toda matriz que possui filas proporcionais tem determinantes nulos.

2.6.8. Adição de Determinantes Seja M uma matriz de ordem n, em que os elementos da coluna j são tais que: 𝑎1𝑗 = 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑗 𝑎2𝑗 = 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑗 𝑎3𝑗 = 𝑏3𝑗 + 𝑐3𝑗 ⋮ 𝑎𝑛𝑗 = 𝑏𝑛𝑗 + 𝑐𝑛𝑗 Sendo os elementos b e c pertencentes, respectivamente, às matrizes M’ e M’’, então temos que: det(𝑀) = det(𝑀′ ) + det(𝑀′′ ) Exemplo: Verifique que o determinante determinantes: 3 𝑀 = [1 6

da matriz abaixo equivale à soma de dois 4 3 8

2 5] 4

Observe que a 1ª e a 3ª linhas são proporcionais (pode-se colocar o fator “2” em evidência). Assim, seu determinante é nulo. 3 𝑀 = [1 6

4 2 3 5] = 8 4

3 4 [1 3 3 4

2 5] + 2

3 4 [1 3 3 4

2 5] 2

Observe que a 1ª e a 3ª linha das duas matrizes são iguais. Então o determinante de cada uma é nulo. Logo a soma é S = 0 + 0 = 0 que é igual ao valor obtido no item (i).

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2.6.9. Teorema da Combinação Linear Dizemos que uma fila s1 de uma matriz M qualquer é combinação linear de outras filas se a fila s1 pode ser obtida através da soma das outras filas, multiplicada cada uma por uma constante. Por exemplo, seja a matriz M: 9 7 𝑀 = [18 8 13 1

1 5] 6

Nesse caso, podemos ver que a primeira linha pode ser formada pelas duas outras: 9 = 1.7 + 2.1 18 = 1.8 + 2.5 13 = 1.1 + 2.6 Logo, podemos dizer que a primeira coluna é combinação linear das duas outras. O Teorema da Conservação Linear enuncia que, se uma matriz quadrada M de ordem n tem uma linha ou uma coluna que é combinação linear de outras linhas ou colunas, então: det(𝑀) = 0 Exemplo: Calcule o determinante da matriz: 2 3 4 𝑀= [1 2 5] 10 17 32 Se multiplicarmos a 1ª linha por 3, teremos: [6 9 12] Se multiplicarmos a 2ª linha por 4, teremos: [4 8 20] Logo,

se

somarmos

as

duas,

teremos:

[6 + 4 9 + 8

12 + 20]

=

[10 17 32] que é exatamente a 3ª linha. Portanto o determinante da matriz é nulo.

2.6.10.

Teorema de Jacobi

Seja uma matriz M de ordem n, adicionando a uma fila dessa matriz uma outra fila da mesma matriz multiplicada por uma constante, de forma que obtenhamos uma nova matriz M’, então: det(𝑀′ ) = det(𝑀) Por exemplo, seja uma matriz A, tal que: 1 3 𝐴 = [4 2 4 1

5 7] −6

Se adicionarmos a segunda fila multiplicada por -3 à primeira fila, obtemos a matriz A’: 1 0 5 𝐴′ = [4 −10 7 ] 4 −11 −6

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Note que o determinante não se altera. Exemplo: Calcule o determinante: 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒃

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒃

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒄

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒄

| |

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒂 𝟐 | 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒃 𝟐 | 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒄 𝟐

Pelo Teorema de Jacobi, multiplicando a 3ª coluna por 2 e somando com a 2ª coluna, teremos: 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 1 2 | 2 | | | 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 2 2 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐𝑜𝑠 2𝑏 1 2 2 | | 2 | 2 | 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐 2 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 2𝑐 1 2 2 Da trigonometria sabemos que sen2 𝑎 + cos2 𝑎 = 1 e que cos 2𝑎 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 − 1 Portanto, somando a 2ª coluna com a 1ª , teremos: 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑎 + 1 1 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑎 1 2 | 2 | | | 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 𝑏 1 𝑐𝑜𝑠 2𝑏 + 1 1 2 2 | | | 2 | 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛2 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑐 + 1 1 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑐 1 2 2 Multiplicando a 3ª coluna por 4 e somando com a 1ª coluna, teremos: 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 + 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 1 2 ∗ (𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑎) 1 2 | | 2 | | 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 2 ∗ (𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑎) 1 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑏 + 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝑏 1 2 2 | | 2 | 2 | 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐 2 2 2 2 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑐 + 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑐 1 2 ∗ (𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎) 1 2 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 2 1 2 | | 𝑠𝑒𝑛2 𝑏 =0 2 1 2 | | 𝑠𝑒𝑛2 𝑐 2 1 2 Como a 1ª e a 2ª coluna são proporcionais, o determinante é nulo.

2.6.11. Matriz Triangular Matriz triangular é a matriz que possui apenas zeros acima ou abaixo da diagonal principal, por exemplo, a matriz A:

24

4 1 𝐴 = [0 7 0 0

8 3] 1

A matriz A é chamada de triangular superior, pois só há elementos não-nulos acima da diagonal principal. É válido dizer que o determinante da matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, nesse caso: det(𝐴) = 4.7.1 = 28. Exemplo: Calcule o determinante: 3 0 0 𝑀 = [ 1 3 0] 6 8 4 Aplicando o teorema de Laplace na 1ª linha, temos que: 3 0 det M = 3*| | 8 4 Aplicando novamente o teorema de Laplace: det M = 3*3*|4| = 3*3*4 = 36 Ou seja, o determinante da matriz é a multiplicação dos elementos da diagonal principal.

2.7. Abaixamento da ordem de um determinante – Regra de Chió Devido a validade do Teorema de Jacobi, há um processo bastante prático para reduzir a ordem da matriz em questão sem alterar o seu determinante. A seguir, o procedimento à Regra de Chió: ➢

Desde que M tenha a11 = 1, suprimimos a 1ª linha e a ªcoluna de M.

➢

De cada elemento restante na matriz subtraímoso produto dos elementos

que se enconram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ªcoluna. ➢

Com as diferenças obtidas, construímos uma matriz de ordem (n-1) cujo

determinante é igual ao de M. Exemplo: 𝒂 𝒂 𝒂 Mostre que |𝒂 𝒃 𝒃| = 𝒂 ∗ (𝒃 − 𝒂) ∗ (𝒄 − 𝒃) 𝒂 𝒃 𝒄 Colocando o fator “a” em evidência da 1ª coluna, temos: 𝑎 |𝑎 𝑎

𝑎 𝑏 𝑏

𝑎 1⋮ 𝑎 𝑏 | = 𝑎 ∗ |1 ⋮ 𝑏 𝑐 1⋮ 𝑏

𝑎 𝑏| 𝑐

Pela regra de Chió, temos:

25

1⋮ 𝑎 𝑎 ∗ |1 ⋮ 𝑏 1⋮ 𝑏

𝑎 𝑏−1∗𝑎 𝑏| = 𝑎 ∗ | 𝑏−1∗𝑎 𝑐

𝑏−1∗𝑎 𝑏−𝑎 |=𝑎∗| 𝑐−1∗𝑎 𝑏−𝑎

𝑏−𝑎 | 𝑐−𝑎

Colocando o fator (b-a) em evidência da 1ª coluna, temos: 𝑏−𝑎 𝑎∗| 𝑏−𝑎

𝑏−𝑎 | = 𝑎 ∗ (𝑏 − 𝑎)|𝑐 − 𝑎| = 𝑎 ∗ (𝑏 − 𝑎) ∗ (𝑐 − 𝑎 𝑐−𝑎

2.8. Exercicios 1º) Calcule os determinantes: A) |

13 7 | 11 5

2 4 B) |2𝑚 2𝑚3 − 𝑚| 𝑚 𝑚 −1 1 1 0 C) |0 1 0| 0 1 1 −3 1 7 D) | 2 1 −3| 5 4 2

1 2 2º) Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A = (1 1 1 1

3 𝑚) cujo 1

determinante é D, qual será o determinante da nova matriz?

3º) Determine x tal que: 𝑥−1 | 0 3𝑥

2 𝑥 3𝑥 1 −1| = | 4 𝑥 + 1 2𝑥

2𝑥 | −𝑥

4º) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz A: 1 2 A = (0 𝑥 0 0

3 𝑧) 𝑦

5º) Calcule os determinantes abaixo utilizando o teorema de Laplace:

a)

3 |5 0 −1

4 0 0 0

2 1 −1 −2| 4 0 3 3

26

b)

𝑥 0 0 𝑎 𝑦 0 |𝑙 𝑝 𝑧 |𝑚 𝑛 𝑝 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐

0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 𝑥 0 0| 𝑒 𝑦 0 𝑑 𝑒 𝑧

6º) Determine o valor de x para que o determinante abaixo seja menor que -32: 𝑎 0 𝑏 𝑐 0 𝑑 | M = |𝑓 0 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 0 0

0 𝑥 0 𝑖 0

𝑥 𝑒 0|| 𝑗 0

7º) Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os determinantes abaixo:

a)

𝑥2 |𝑥𝑦 𝑥2

𝑥𝑦 2 𝑦3 𝑦2

b)

2 7 6 11 9 22 | |−2 14 4 21 15 55 6 49 30 121

c)

3 2 |9 | 16 21

5 13 27 51 73

𝑥 𝑦| 𝑥

0 0 0 0 0

4 19 25 42 54

7 17 35|| 47 49

27

3. Progressões 3.1. Sequencias Numéricas Uma sequência numérica é um grupo de números dispostos em uma ordem definida. Por exemplo, podemos considerar a sequência dos números naturais ímpares, dada por (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Observe que o exemplo citado se refere a uma sequência infinita. Já o conjunto dos números primos naturais menores do que 10 é dado por (2, 3, 5, 7), ou seja, é um exemplo de uma sequência finita. Uma sequência infinita pode ser representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) Em que • a1 indica o elemento da posição 1, • a2 indica o elemento da posição 2, • a3 indica o elemento da posição 3,

 • an indica o elemento da posição n.

3.1.1. Lei de formação Uma sequência numérica pode ser definida por uma fórmula ou lei de formação. Considere os seguintes exemplos: 1º) Escrever os 4 primeiros termos da sequência definida por an = 4n + 1, n ∈ N*. Resolução: Para n = 1 ⇒ a1 = 4.1 + 1 = 5 Para n = 2 ⇒ a2 = 4.2 + 1 = 9 Para n = 3 ⇒ a3 = 4.3 + 1 = 13 Para n = 4 ⇒ a4 = 4.4 + 1 = 17 Logo, a sequência é (5, 9, 13, 17). 2º) Escrever a sequência numérica definida por:

Resolução: Nesse caso, observe que os dois termos iniciais são dados. Os seguintes são obtidos por meio de uma regra, a chamada Fórmula de Recorrência, que utiliza os valores anteriores.

28

Assim, temos: a3 = a 2 + a1 = 1 + 1 = 2 a4 = a 3 + a2 = 2 + 1 = 3 a5 = a 4 + a3 = 3 + 2 = 5 a6 = a 5 + a4 = 5 + 3 = 8  A sequência é dada por (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...). Essa sequência é conhecida como Sequência de Fibonacci.

3.2. Progressão Aritmética (P.A.) Chamamos de progressão aritmética (P.A.) a toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido pela soma do termo anterior com uma constante dada, denominada razão da P.A., e indicada por r. Exemplos 1º) (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...) é uma P.A. crescente, em que r = 3. 2º) (10, 8, 6, 4, 2, 0, ...) é uma P.A. decrescente, em que r = –2. 3º) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. constante, em que r = 0.

3.2.1. Termo geral da P.A. Considere a P.A. de razão r representada a seguir: (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) Sabemos que:

a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r  an = an – 1 + r Somando-se essas igualdades membro a membro, obtemos:

Após efetuarmos as simplificações, obtemos a expressão:

Essa expressão é a fórmula do termo geral da P.A.

29

Exemplo Calcular o trigésimo segundo termo da P.A. (1, 4, 7, 10, ...). Resolução: Temos que a1 = 1 e r = 3. Logo: an = a1 + (n – 1)r ⇒ a32 = 1 + (32 – 1)3 ⇒ a32 = 1 + 31.3 ⇒ a32 = 94

1)

Cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética dos termos

antecessor e sucessor. Em outras palavras, sendo uma P.A. (a, b, c, ...), temos: b=ac+2 Por exemplo, na P.A. (7, 12, 17, 22, ...), podemos

Por exemplo, na P.A. (7, 12, 17, 22, ...), podemos observar que:

2)

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é

igual à soma dos extremos. Observação Dois termos são chamados equidistantes dos extremos se o número de termos que precede um deles for igual ao número de termos que sucede o outro.

Por exemplo, considere a P.A. (5, 10, 15, 20, 25, 30).

Notação Especial: Em vários problemas, a adoção de uma notação facilita bastante a determinação de uma P.A. Assim, temos as seguintes notações: 1) P.A. com 3 termos:

30

2) P.A. com 4 termos:

Nesse caso, observe que a razão r é dada por: r = (a – b) – (a – 3b) ⇒ r = a – b – a + 3b ⇒ r = 2b Reescrevendo a sequência anterior, temos:

3) P.A. com 5 termos:

Exemplo A soma dos três primeiros termos de uma P.A. crescente é igual a 30. Sabendo que o produto desses termos é igual a 990, determinar a razão da P.A. Resolução: Vamos representar a P.A. do seguinte modo: (a – r, a, a + r, ...) Sabemos que: a – r + a + a + r = 30 ⇒ 3a = 30 ⇒ a = 10 Logo, a P.A. é dada por (10 – r, 10, 10 + r). Assim, temos: (10 – r).10.(10 + r) = 990 ⇒ 102 – r2 = 99 ⇒ r2 = 100 – 99 ⇒ r2 = 1 ⇒ r = ±1 Como a P.A. é crescente, r = 1.

3.2.2. Soma dos termos da P.A. Considere a P.A. (a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...). Seja Sn o valor da soma dos seus n primeiros termos. Assim, temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an – 1 + an Escrevendo Sn em ordem inversa, temos: Sn = an + an – 1 + an – 2 + ... + a3 + a2 + a1 Somando-se membro a membro as duas expressões, obtemos: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + ... + (an + a1) Sabemos que a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, ou seja, podemos substituir (a2 + an – 1), (a3 + an – 2), ... por (a1 + an). Logo:

31

Essa expressão é a fórmula da soma dos n termos de uma P.A. (*) Se o número de termos de uma P.A. for ímpar, observe que teremos o seguinte:

sucessor. Como a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, temos:

Portanto, de (I), temos:

32

3.3. Progressão geométrica 3.3.1. Introdução. Chamamos de progressão geométrica (P.G.) a toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante dada, denominada razão da P.G., e indicada por q. Exemplos 1º) (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma P.G. crescente, com razão q = 2. 2º) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.G. constante, com razão q = 1. 3º) (20, 10, 5, 2.5, ...) é uma P.G. decrescente, em que q = 12. 4º) (3, –6, 12, –24, …) é uma P.G. oscilante, em que q = –2.

3.3.2. Termo geral da P.G. Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an, ...). Assim, temos: a2 = a1.q a3 = a2.q a4 = a3.q  an = an – 1.q Multiplicando membro a membro essas n – 1 igualdades, temos:

Simplificando os termos da expressão, obtemos:

Essa expressão é a fórmula do Termo geral da P.G. Exemplo Determinar o sétimo termo da P.G. (1, 3, 9, ...). Resolução: Sabemos que a1 = 1 e q = 3. Assim, temos: an = a1.qn – 1 ⇒ a7 = 1.37 – 1 ⇒ a7 = 36 ⇒ a7 = 729

3.3.3. Propriedades da P.G. 1ª) Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo antecessor e o sucessor. Ou seja, dada uma P.G. (a, b, c, ...), temos:

33

Por exemplo, observe a P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...). Temos: 62 = 2.18, 182 = 6.54, etc. 2ª)O produto dos termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Por exemplo, na P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32), temos:

3.3.4. Soma dos n termos de uma P.G. Considere a P.G. (a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...). Sendo Sn a soma dos seus n termos, temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ⇒ Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn – 1 (I) Multiplicando os dois membros da expressão (I) pela razão q, temos: qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn (II) Fazendo (II) – (I), obtemos:

Essa expressão é a fórmula da soma dos n termos de uma P.G. Exemplo Calcular a soma dos 5 primeiros termos da P.G. (3, 9, 27, ...). Resolução: Temos a1 = 3 e q = 3. Logo:

3.3.5. Soma dos infinitos termos de uma P.G. Em determinadas situações, podemos observar que a soma dos infinitos termos de uma P.G. pode convergir para um valor finito. Como exemplo, considere um quadrado de área igual a 1. Vamos dividi-lo em retângulos e quadrados menores, indicando a área de cada parte, conforme a figura a seguir:

34

Observe que o quadrado pode ser subdividido em infinitas figuras menores. A soma das áreas dessas figuras é dada por:

Logo, dizemos que o limite dessa soma, quando o número de parcelas tende ao infinito, é igual a 1, ou seja, a área do quadrado original. Assim, de maneira geral, a condição para que a soma dos infinitos termos de uma P.G. acabe convergindo para um valor finito é que a razão q seja um número entre –1 e 1. Logo, aplicando a fórmula da soma, temos:

Como q é um número entre –1 e 1, à medida que n se aproxima do infinito, o valor de qn fica próximo de zero. Portanto, à medida que n tende ao infinito, temos:

Essa expressão é a fórmula da soma dos infinitos termos de uma P.G. Exemplo

Resolução:

35

Exercício Resolvido 1º) (Mackenzie-SP) A soma dos termos da progressão (3–1, 3–2, 3–3, ...) é

Resolução: Podemos escrever a P.G. anterior do seguinte modo:

3.3.6. Produtos dos n Termos de um P.G. Consideremos a P.G. (a1, a2, a3, ..., an, ...). Denotemos por Pn o produto dos n primeiros termos dessa P.G. Assim, temos:

Observe que o expoente de q na expressão anterior é igual à soma dos n – 1 termos da P.A. (1, 2, 3, ..., n – 1). Logo, essa soma é dada por:

Substituindo na expressão do produto dos n termos, obtemos:

3.4. Exercicios 1º) Determinar a P.A. crescente de três termos, sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto deles é -8.

2º)Numa P.A. decrescente de três termos, a soma desses termos é 6 e o produto é -24. Determine a P.A.

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3º) (UEL-PR) Uma decoradora usou 210 garrafas plásticas de 33 cm de altura para confeccionar uma árvore de Natal em forma de triângulo. Para isso, usou uma placa triangular na qual colou as garrafas da seguinte forma: uma garrafa na primeira fila, duas na segunda fila, e assim sucessivamente, acrescentando uma garrafa a cada fila. Qual deve ser a altura da placa, sabendo que não há sobreposição de garrafas, não há espaço entre uma fila e outra e que sobram 10 cm no topo e 10 cm na base da árvore? A) 3,8 m

B) 5,4 m

C) 6,6 m

D) 6,8 m

E) 7,13 m

4º) (UNESP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez foi A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 26

5º) (EFOA-MG–2006) Para arrecadar doações, uma entidade beneficente usou uma conta telefônica do tipo 0800. O número de pessoas que ligaram, por dia, variou de acordo com uma progressão aritmética de razão 4. Sabendo-se que cada doação foi de R$ 0,40 e que no primeiro dia duas pessoas ligaram, o número MÍNIMO de dias para de que o total arrecadado atingisse o valor de R$ 81 920,00 foi A) 230

B) 280

C) 250

D) 320

E) 300

6º) (UERJ) Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu comandante.

Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um tempo, em segundos, igual a A) 177

B) 188

C) 237

D) 240

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4. Análise Combinatória 4.1. Introdução Os problemas de contagem são frequentes no nosso cotidiano. Estão presentes, por exemplo, quando pensamos nas possibilidades de combinação de roupas, de planejamento de pratos em cardápios ou de combinações de números em um jogo de loteria. A análise combinatória é o campo de estudo que desenvolve métodos para fazer a contagem, de modo eficiente, do número de elementos de um conjunto. Associada à probabilidade e à estatística, a Análise combinatória constitui um poderoso instrumento de antecipação de resultados nos campos industrial, comercial, científico ou governamental. ➢ Fatorial (!) Muitos problemas de análise combinatória devem ser resolvidos com uma multiplicação de números naturais consecutivos, como 1. 2. 3 ou 5. 4. 3. 2. 1. Nesses exemplos, multiplicamos os números naturais de 1 até n, sendo no primeiro caso n = 3 e, no segundo, n = 5. Em geral, produtos do tipo 1.2.3,.....,(n – 1).n são escritos com a notação de fatorial (!). Dado um número natural n (n > 1), define-se n fatorial ou fatorial de n (indicado por n!) como sendo o produto dos n números naturais consecutivos, escritos desde n até 1. Exemplo: 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Convenção O fatorial de 1 é igual ao próprio 1 → 1! = 1 O fatorial de zero é igual a 1 → 0! =1 Observação Só existe fatorial de números inteiros positivos! (-5)! = NÃO EXISTE -(5)! = -1(5.4.3.2.1) = -120 O cálculo de n! fica complicado a medida que o número n aumenta. Por isso, podemos interromper (truncar) a qualquer momento, desde que colocado o símbolo ! depois do número. Exemplo:

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4.2.

Princípio Fundamental da Contagem

Para entendermos o princípio fundamental da contagem vamos analisar a seguinte situação: Um motorista deseja viajar de uma A para a cidade C, mas para ir à cidade C deve-se passar necessariamente pela cidade B, veja a figura.

Como observado na figura, o motorista pode escolher entre três estradas para se deslocar de A para B e depois deve escolher uma entre as duas estradas para se deslocar de B para C. Para que o motorista vá da cidade A para a cidade C tem de passar necessariamente pela cidade B. Isto é, tem de realizar duas ações para deslocar-se de A para C. Primeiro deve escolher uma estrada de A para B e em seguida outra que liga B a C. Vamos inserir para a resolução dessa questão o conhecido diagrama da árvore. Recebe esse nome pelas ramificações que lembram galhos de uma árvore. Veja: Primeiro escolhemos uma estrada que sai de A e vai até B

Assim temos 3 opções para o deslocamento. Após escolhido a primeira opção deve escolher o caminho de B para C. Assim tem-se:

39

É crucial que você entenda que da cidade A para a cidade B, há três opções para o motorista, no entanto ele optara apenas por uma delas. Após a escolha surge uma nova dúvida para nosso amigo. Qual estrada usar para deslocar-se de B para C. Assim com essas duas sucessivas escolhas, pelo diagrama da árvore, vemos que nosso motorista tem seis opções para fazer a viagem. Esse resultado é justamente o produto do número de opções para a escolha da primeira estrada pelo número de opções de escolha para a segunda. Portanto 3.2 = 6 ➢ Princípio Aditivo Veja esse exemplo: Adriana tem dinheiro apenas para ir ao parque de diversões e brincar em apenas um dos 7 brinquedos disponíveis ou ir ao cinema e assistir apenas um filme dos 5 disponíveis. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir? Se Adriana tem dinheiro apenas para uma diversão ela tem de optar ou por brincar em um dos brinquedos do parque ou assistir a um filme do cinema. Assim ela tem 7 opções para ir ao parque e 5 opções para ir ao cinema. Dessa forma ela tem 7 + 5 maneiras de se divertir.

7 brinquedos distintos + 5 filmes distintos = 12 maneiras distintas de se divertir.

Observação É importante ressaltar o significado do termo distinto. Significa diverso, separado, que não se confunde com outro; para passar a ideia de casos não idênticos.

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Para formalizar, observe a semelhança deste enunciado com o problema proposto anteriormente. Dados dois conjuntos disjuntos (sem nenhum elemento comum; sem interseção) A e B, A contém m elementos e B contém p elementos. De quantos modos diferentes podemos escolher um elemento de A ou de B. 7 brinquedos distintos + 5 filmes distintos = 12 maneiras distintas de se divertir. É importante ressaltar o significado do termo distinto. Significa diverso, separado, que não se confunde com outro; para passar a ideia de casos não idênticos. Prof. Gerson Henrique 4 Como queremos um elemento de A ou de B, temos (m + p) maneiras de escolher um dos elementos. Esse resultado nada mais é do que o número de elementos da união dos dois conjuntos disjuntos.

4.3. Permutação Simples Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades formação de uma fila ou sequência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema. Por exemplo, com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição) podemos formar? Formar números, em primeira análise, nada mais é do que ordenar algarismos em fila. Desse modo, a resposta, como vimos no princípio multiplicativo é 3 x 2 x 1 = 6 números, pois, não houve repetição de algarismos. Caso a repetição fosse permitida teríamos como formar 3 x 3 x 3 = 27 números, pois números como 222 anteriormente não permitidos foram, nesse ultimo caso, liberados em aparecer na contagem.

Exemplo: Adriana, Carlos e Jefferson vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras essa fotografia pode ser tirada: P3 = 3! = 3.2.1 = 6 Anagramas São palavras obtidas a partir de outra, quando se trocam as posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham sentido ou não Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra AMOR? Resolução: A M O R = 4 letras não repetidas P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas

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4.4. Permutação com Repetição Essa nova ferramenta, como o nome indica diferentemente das permutações simples, lida com elementos que se repetem. Isto é, busca formar filas ou seqüências com elementos repedidos. Vale a ressalva: todos os elementos em questão devem ser utilizados. Tomemos como exemplo os possíveis anagramas com a palavra ANA. Vamos, a titulo de ilustração diferenciar os A,s que aparecem na palavra ANA. O primeiro será colocado em negrito. Então fica: ANA. Desse modo os dois A,s se tornaram diferentes. Assim não temos mais uma palavra com elementos repetidos. Podemos, com essa nova palavra, formar 3x2x1 = 3! = 6 anagramas diferentes, são eles:

Seis anagramas com os dois As ditos diferentes ANA AAN ANA, NAA, NAA, AAN. Na verdade, a diferenciação dos As é artificial. Ela não existe. Por exemplo, nos anagramas AAN e AAN são dois, mas sem a diferenciação dos As tornam-se idênticos. Observe: AAN e AAN. O mesmo acontece com ANA e ANA ; NAA e NAA . Na verdade ao trocarmos os As de posição não formamos um novo anagrama. Assim ao invés de 6 temos 3 anagramas com a palavra ANA, pois contamos cada anagrama duas vezes que é o número de permutações com os As, isto é, 2! Isso acontece porque ao permutarmos os As eles não geraram um novo anagrama. Assim houve uma duplicação do resultado e para acharmos a resposta correta temos que dividir o resultado 6 por 2! para encontrarmos a resposta correta.

permutação de 3 elementos com um deles aparecendo duas vezes. O que temos que notar em combinatória é que em muitas situações é interessante, para se chegar a algum resultado verdadeiro, contar coisas iguais como se diferentes fossem e posteriormente corrigir o resultado obtido indevidamente para se chegar a resposta correta (Morgado). Em ANA contamos anagramas iguais como se diferentes fossem. Como contamos cada um duas vezes duplicamos a resposta. Assim para contornarmos esse erro dividimos por 2, ou 2! a resposta errada para se chegar a resposta certa. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ITATIAIA. Nesse caso as letras A e I aparecem três vezes cada uma e a letra T duas vezes. Desse modo basta contar quantos anagramas existem se todas as letras fossem diferentes. Obteríamos 8!. E em seguida

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dividimos esse resultado pela quantidade de vezes que contamos indevidamente cada anagrama. A letra A fez cada anagrama repetir 3! vezes. O mesmo ocorreu com a letra I. Já a letra T fez cada anagrama repetir 2! vezes. Se achar necessário verifique que 3! é o número de vezes que contamos repetidamente cada anagrama em decorrência da letra A. Em seguida verifique os resultados das demais letras.

Você deve ter notado, com o exposto acima, que ao tentarmos contar o número de permutações com repetição de elementos devemos no numerador colocar o número que remete a quantidade de elementos na forma fatorial e em seguida dividir pelo produto fatorial da quantidade de elementos repetidos de cada tipo. Para generalizar, o número de permutações com n elementos em que um deles aparece repetidamente a vezes, outro b vezes, outro c vezes e assim sucessivamente é dado por:

4.5. Arranjo Simples Arranjos Simples Suponha que tenhamos n objetos com os quais queremos preencher p lugares. O primeiro lugar pode ser preenchido de n maneiras diferentes. Tendo preenchido o primeiro lugar, restam (n − 1) objetos para preencher (p − 1) lugares e, portanto, o segundo lugar pode ser preenchido de (n−1) maneiras diferentes. E assim sucessivamente, vamos preenchendo as posições de forma que na p-ésima posição teremos (n − (p − 1)) maneiras diferentes de preenchê-la. Pelo princípio do produto, podemos dizer que as p posições podem ser preenchidas de n(n − 1)(n − 2)...(n − (p − 1)) maneiras diferentes. Denotando por

o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p,

ou seja, todas as escolhas ordenadas de p desses n elementos, temos (p − 1)). Se multiplicarmos e dividirmos

= n(n − 1)(n − 2)...(n −

por (n − p)!, segue que:

ou de maneira mais simples:

Exemplo (Arranjo de 5, 2 a 2). Considerando os dígitos 1,2,3,4,5, quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados?

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Solução: Desejamos o arranjo de 5 elementos tomados 2 a 2, isto é,

4.6. Arranjos com Repetição Caso sejam permitidas repetições de elementos, podemos na posição L1 escolher n elementos, na posição L2 também n elementos, e assim sucessivamente até a posição Lp. Logo, o número de arranjos com repetição de n elementos tomados p a p, denotado por

, é igual a

Exemplo (Placas de carro). Qual o total de placas de carro que podem ser construídas constando de 7 símbolos, sendo os 3 primeiros constituídos por letras e os 4 últimos por dígitos? Solução:

Permutação É um caso particular do arranjo, assim, qualquer problema que envolva permutações ou arranjo simples pode ser resolvido diretamente pelo princípio multiplicativo. Exemplo: Quantas são as maneiras de 6 carros serem estacionados em 6 vagas? Solução: Claramente é o arranjo de 6 carros tomados 6 a 6, ou seja, uma permutação de 6 carros. Assim, o número de maneiras é P6 = 6! = 720.

4.7. Combinação Simples Se temos n elementos e desejamos escolher p deles, mas a ordem com o que fazemos tais escolhas não for importante, dizemos que queremos a combinação simples de n elementos tomados p a p. Usamos a notação

para designar a combinação de n tomados p a p.

Vimos anteriormente que o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é igual ao número de maneiras de preencher p lugares com n elementos distintos e obtivemos:

Embora a ordem seja importante num arranjo simples, ela deixa de ser numa combinação simples. Então para cada combinação particular de n elementos p a p (que não

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importa a ordem), podemos fazer a permutação de seus p elementos, de forma que obtemos todos os arranjos de n elementos tomados p a p (onde importa a ordem). Dessa forma, fica claro que:

Exemplos 1º) De quantos modos é possível formar uma comissão de 4 alunos a partir de um grupo de 7 alunos? Resolução: Trata-se de um problema de combinações simples de 7 elementos, tomados 4 a 4. Temos, portanto:

2º) Quantos triângulos podem ser construídos a partir dos vértices de um hexágono convexo? Resolução: Sejam A, B, C, D, E e F os vértices do hexágono. Observe que os triângulos ABC e CBA são idênticos, ou seja, a ordem dos vértices não é importante. Trata-se, portanto, de um problema de combinações simples. Assim, temos:

ATENÇÃO! Não confunda quando usar a permutação, o arranjo ou a combinação. Como exemplo, vamos considerar o conjunto das vogais {A, E, I, O, U}. 1º) De quantas maneiras podemos alinhar as 5 vogais? A E I O U ou A I E U O ou O A I E U Repare que estamos trabalhando com todos os elementos do grupo, ou seja, formando outras configurações a partir da troca de posição dos elementos. Nesse caso usamos a PERMUTAÇÃO. 2º) Quantos subconjuntos de 3 vogais distintas podemos formar? {A, E, I} ou {A, I, E} ou {I, E, A} Repare que estamos escolhendo apenas uma parte do grupo de vogais para formar subconjuntos com 3 vogais distintas e, quando permutados dentro do agrupamento, NÃO forma uma nova configuração, ou seja, os agrupamentos NÃO DIFEREM pela ordem dos elementos no grupo. Nesse caso, usamos a COMBINAÇÃO. 3º) Quantos anagramas de 3 vogais distintas podemos formar? AEI ou AIE ou IEA

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Repare que estamos escolhendo apenas uma parte do grupo de vogais para formar anagramas com 3 vogais distintas e, quando permutadas dentro do agrupamento, FORMA uma nova configuração, ou seja, os agrupamentos DIFEREM pela ordem dos elementos no grupo. Nesse caso, usamos o ARRANJO.

4.8. Exercícios 1º) Quantos pares ordenados podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4? 2º) A quantidade de números inteiros compreendidos entre 350 e 700 que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 de modo que não figurem algarismos repetidos é: A) 34

B) 46

C) 68

D) 72

3º) Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja a placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Assinale, então, a única alternativa correspondente ao número de veículos suspeitos. A)1080

B) 10800

C) 10080

D)840

E)60840

4º) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 primeiro secretário e 4 a tesoureiro. Os números de resultados possíveis da eleição é: A) 4

B) 24

C) 72

D) 56

5º) (UFMG–2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabese, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas pode-se formar essa comissão? A) 70

B) 35

C) 45

D) 55

6º) (UFSCar-SP) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apoiam o prefeito, e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é A) 27.720

B) 13 860

C) 551

D) 495

E) 56

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7º) (UFV-MG–2008) Uma equipe de futebol de salão de cinco membros é formada escolhendo-se os jogadores de um grupo V, com 7 jogadores, e de um grupo W, com 6 jogadores. O número de equipes diferentes que é possível formar de modo que entre seus membros haja, no mínimo, um jogador do grupo W é A) 1.266

B) 1.356

C) 1.246

D) 1.376

8º) (VUNESP) Considere os algarismos 2,3,5,7,11. A quantidade total de números distintos que se obtêm multiplicando-se dois ou mais desses algarismos, sem repetição, é A) 120

B) 52

C) 36

D) 26

E) 21

9º) (Enem–2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. D) duas combinações. E) dois arranjos.

10º) (UFU-MG) Um sério problema enfrentado pelas autoridades de saúde é diagnosticar a chamada pneumonia asiática. Atualmente, são conhecidos 7 sintomas dessa doença. Se, em um paciente, forem detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar que o número total de combinações distintas dos sintomas possíveis para que o diagnóstico da pneumonia asiática seja efetivo é igual a

A) 21

B) 29

C) 147

D) 210

11º) (UFES) Uma cidade atravessada por um rio tem 8 bairros situados em uma das margens do rio e 5 bairros situados na outra margem. O número de POSSÍVEIS escolhas de 1 bairro qualquer situado em qualquer uma das margens do rio e 3 bairros quaisquer situados na outra margem é A) 280

B) 360

C) 480

D) 1.680

E) 2.160

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5. Probabilidade 5.1. Introdução. Há dois tipos de fenômenos que são objeto de estudo científico: os fenômenos determinísticos e os fenômenos aleatórios. Em

um

fenômeno

determinístico,

os

resultados

dos

experimentos

correspondentes podem ser determinados de antemão. Conhecemos as leis que os governam a ponto de afirmarmos que tais experimentos, repetidos nas mesmas condições, irão produzir resultados idênticos. Como exemplo, podemos descrever o movimento de um corpo em queda livre, determinando o tempo gasto para atingir o solo. Já em um fenômeno aleatório, os experimentos correspondentes, repetidos nas mesmas condições, não necessariamente produzem os mesmos resultados. Apesar de não sabermos com exatidão qual resultado será obtido, geralmente somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis para esses experimentos. A seguir, dizemos que um desses possíveis resultados possui uma determinada “chance” de ocorrer. Essa “chance” é denominada probabilidade de ocorrência de um evento. Como exemplo, temos o experimento “lançar uma moeda e observar a face superior”. A probabilidade de obtermos “cara” na face superior é igual a 1/2 , ou seja, 50%.

5.2. Experimento Aleatório É todo experimento que depende exclusivamente do acaso. Chamamos de acaso aos múltiplos fatores que atuam no fenômeno e cuja consideração nos cálculos é inviável dada a impossibilidade de controlarmos as suas causas. Exemplos 1°) Lançar um dado e observar o número obtido na face superior. 2°) Sortear uma das bolas numeradas de uma urna. 3°) Retirar duas cartas de um baralho e observar os seus naipes. ➢ Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, que será indicado por E. Denotamos por n(E) o número de elementos do espaço amostral. Exemplos 1°) Experimento: lançar uma moeda e observar a face superior. E = {cara, coroa} e n(E) = 2 2°) Experimento: lançar simultaneamente duas moedas e observar as faces superiores obtidas.

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Indicamos cara por C e coroa por K. Assim, temos: E = {(C,C), (C,K), (K,C),(K,K)} e n(E) = 4. Podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem na obtenção de n(E), como segue:

3°) Experimento: lançar simultaneamente dois dados e observar as faces superiores obtidas. Seja cada parêntese um experimento, no qual o primeiro valor foi obtido no primeiro dado, e o segundo valor, obtido no segundo dado. Assim, temos:

4°) Experimento: sortear uma comissão de 3 alunos entre 10 alunos de uma turma. Descrever tal espaço amostral é trabalhoso. Portanto, vamos determinar apenas n(E). Temos que o total de comissões de 3 alunos é dado por:

➢ Evento Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplos 1°) Evento A: No lançamento de um dado, obter um número ímpar. A = {1; 3; 5} n(A) = 3 2°) Evento B: No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, obter soma das faces igual a 7. B = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} n(B) = 6

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➢ Evento complementar Sejam E um espaço amostral finito e não vazio e A um evento de E. Chama-se de evento complementar do evento A aquele formado pelos resultados que não fazem parte do evento A (indicamos por A). Como exemplo, sendo A = {1; 3; 5} o evento “sair um número ímpar no lançamento de um dado”, temos: A= {2; 4; 6} Esquematicamente:

➢ Espaço Amostral Equiprovável Chamamos de espaço amostral equiprovável aquele cujos resultados possuem a mesma chance de ocorrerem. Em termos de frequências relativas, supomos que, ao aumentarmos indefinidamente o número de experimentos, os diferentes resultados tendem a aparecer na mesma frequência.

5.3. Probabilidade de Ocorrência de um Evento Consideremos um experimento aleatório com espaço amostral equiprovável E, com n(E) elementos. Seja A um determinado evento de E com n(A) elementos. A probabilidade de ocorrência do evento A é dada por:

Exemplo No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, qual é a probabilidade de obtermos uma soma das faces igual a 10? Resolução: Temos n(E) = 6 x 6 = 36. Seja A o evento de E “obter uma soma igual a 10”.

50

A = {(4, 6), (6, 4), (5, 5)} e n(A) = 3

Propriedades

5.4. Adição de Probabilidades Sendo A e B dois eventos de um espaço amostral E, conforme o esquema a seguir:

Sabemos que o número de elementos da união de dois conjuntos A e B é dado por: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Dividindo os dois membros por n(E), temos:

Ou seja:

Observação Se A ∩ B = ∅, dizemos que A e B são mutuamente exclusivos. Assim, P(A∩B)=0. Logo, para eventos mutuamente exclusivos, temos:

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5.5. Probabilidade Condicional Considere a seguinte situação: Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma pessoa sorteia uma bola e, ao invés de divulgar de imediato o resultado, ela declara: “O número sorteado é múltiplo de 6”. Com base nesses dados, pergunta-se: Qual é a probabilidade de o número sorteado ser um número maior do que 30? Observe que a probabilidade de o número ser maior do que 30 está condicionada ao fato de já sabermos de antemão que o número sorteado é múltiplo de 6. Portanto, tal informação altera o espaço amostral que normalmente seria considerado. Assim, temos: 1º) Números múltiplos de 6 entre 1 e 50 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}. 2º) Observe que, no conjunto anterior, os números 36, 42 e 48 são maiores do que 30. Portanto, a probabilidade pedida é igual a 3/8 . O problema anterior poderia também ser resolvido de outra forma. Consideremos os seguintes eventos: 1º) A: Sortear um número múltiplo de 6. A = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48} n(A) = 8 2º) B: Sortear um número maior do que 30. B = {31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50} n(B) = 20 3º) Como devemos considerar a ocorrência do evento B, uma vez que o evento A já ocorreu, estamos interessados nos elementos de B que pertencem também a A, ou seja, A ∩ B. A ∩ B = {36, 42, 48} n(A ∩ B) = 3 Observe que o conjunto A é o espaço amostral reduzido a ser considerado e que a probabilidade pedida é equivalente a:

Generalizando esse conceito, consideremos os eventos A e B de um espaço amostral E, conforme o diagrama a seguir:

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Denotamos por P(B/A) a probabilidade condicional de B em relação a A, ou seja, a probabilidade de ocorrer B dado que A já ocorreu. Assim, temos:

Dividindo o numerador e o denominador da fração por n(E), temos:

Observação. Se a ocorrência do evento B não está condicionada à ocorrência do evento A, dizemos que os eventos A e B são independentes. Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, P(B/A) = P(B).

5.6. Teorema da Multiplicação de Probabilidades Uma importante consequência da definição de probabilidade condicional é vista a seguir:

Do mesmo modo, temos:

Ou seja:

53

Observação Se os eventos A e B são independentes, temos:

6.

Exercícios

1º) (FUVEST-SP–2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de

2º) (UFMG–2007) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é

3º) (ENEM 2014) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é A) 0,02048.

B) 0,08192.

C) 0,24000.

D) 0,40960.

E) 0,49152.

4º) (ENEM 2013) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54/100 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, 25/1000 eram defeituosos. Por sua vez, 38/1000 dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina II eram

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defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. 0 ≤ P < 2/100 Excelente 2/100 ≤ P < 4/100 Bom 4/100 ≤ P < 6/100 Regular 6/100 ≤ P < 8/100 Ruim 8/100 ≤ P ≤ 1 Péssimo O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como A) excelente

B) bom

C) regular

D) ruim

E) péssimo

5º) (UFJF-MG–2006) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. A probabilidade de que pelos menos uma criança seja menino é de A) 25%.

B) 42%.

C) 43,7%.

D) 87,5%.

E) 64,6%.

6º) (UFRJ–2006) Com o intuito de separar o lixo para fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas dependências cinco lixeiras, de acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico.

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro. A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%. 7º) (Mackenzie-SP) Numa urna, são colocadas 60 bolas iguais, numeradas de 1 a 60. A probabilidade de sortearmos, sucessivamente, com reposição, 3 bolas com números que são múltiplos de 5 é A) 8%.

B) 0,8%.

C) 0,08%.

D) 0,008%.

E) 0,0008%.

8º) (FEI-SP) Uma moeda viciada apresenta probabilidade de ocorrer face cara quatro vezes maior que a probabilidade de ocorrer face coroa. Em 2 lançamentos consecutivos dessa moeda, qual a probabilidade de ocorrer 2 vezes a face coroa? A) 0,2

B) 0,1

C) 0,01

D) 0,02

E) 0,04

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