RICARDO SILVEIRA - TEORIA DAS ESTRUTURAS I - APOSTILA

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I Parte 3 Notas de Aula – CIV208

Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Colaboração:

A ndréa Regina D ias da Silva

Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008

SUMÁRIO

1. Linhas de Influência 1.1.

Aplicações ..................................................................................................... 1

1.2.

Objetivos ........................................................................................................ 3

1.3.

Trem-Tipo ...................................................................................................... 4

1.4.

Definição ......................................................................................................... 6

1.5.

Vigas .............................................................................................................. 8

1.6.

Treliças ........................................................................................................ 12

2. Deslocamentos em Estruturas 2.1.

Introdução .................................................................................................... 14

2.2.

Causas ......................................................................................................... 14

2.3.

Métodos de Análise ..................................................................................... 17

2.4.

Método da Integração Dupla ........................................................................ 17

2.5.

Método da Viga Conjugada .......................................................................... 23

2.6.

Método do Trabalho Virtual .......................................................................... 29

2.7.

Treliças: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual .................................... 33

2.7.

Vigas e Pórticos: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual ....................... 41

Referências Bibliográficas ................................................................................. 59

1. LINHAS DE INFLUÊNCIA

1.1. APLICAÇÕES

a. Pontes em vigas

b. Pontes treliçadas

Teoria das Estruturas I

1

LINHAS DE INFLUÊNCIA c. Pontes rolantes

d. Pontes rodoviária e ferroviária

Ponte rodoviária

Ponte ferroviária

Teoria das Estruturas I

2

LINHAS DE INFLUÊNCIA 1.2. OBJETIVOS

Teoria das Estruturas I

3

LINHAS DE INFLUÊNCIA

1.3. TREM-TIPO

15 tf 15 tf

Veículo Tipo

15 tf

0,5 tf/m2 Faixa Secundária

Faixa Principal

0,5 tf/m2

0,5 tf/m2

Vigas Principais 3,1

6,6

Barreira Lateral 3,1

12,8

14,88 tf

Projeto

1,5 m

1,5 m

q = 3,57 tf/m

Teoria das Estruturas I

44,64 tf

14,88 tf 14,88 tf

Anteprojeto

q = 3,57 tf/m

4

LINHAS DE INFLUÊNCIA 1 5 tf 1 5 tf 1 5 tf

0 ,5 tf/m 2

0 ,5 tf/m

2

0 ,5 tf/m

2

b a rre ira la te ra l 2

10

12 tf

Projeto

12 tf

36 tf

12 tf

Anteprojeto

1,5 m 1,5 m

q = 5 tf/m

q = 5 tf/m

10 tf 10 tf 10 tf

0,5 tf/m 2

VP1

Projeto

7 tf

1,5 m 1,5 m

q = 2,48 tf/m

Teoria das Estruturas I

VP3

VP2

4

7 tf

0,5 tf/m2

0,5 tf/m2

4

21 tf

7 tf

Anteprojeto

q = 2,48 tf/m

5

LINHAS DE INFLUÊNCIA 1.4. DEFINIÇÃO

Linha de influência de um efeito elástico em uma dada seção S é a representação gráfica ou analítica do valor desse efeito, naquela seção S, produzido por uma carga unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura. Exemplo: P=1 A

s

-

rótula

a

B

b

+

• Ms = a → P = 1 em A • Ms = - b → P = 1 em B

Observações:
A seção e o efeito estudados são fixos, a posição da carga é que varia.
Não confundir: linha de influência x diagrama solicitante.
Efeitos elásticos: momento fletor, esforço cortante, reação de apoio e deformação (flecha).
Considerar válido o Princípio da Superposição dos Efeitos.

Fases de Solução do Problema: 1a FASE: Definida a classe da ponte e as plantas arquitetônicas, obter o trem-tipo. 2a FASE: Dada a estrutura, o efeito elástico E e a seção S, obter a linha de influência. 3a FASE: Conhecidos o trem-tipo e a linha de influência, obter os efeitos devido a esse trem-tipo. Sejam os exemplos:

Teoria das Estruturas I

6

LINHAS DE INFLUÊNCIA a. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS CONCENTRADAS

Pi

P2

P1

Pn

LIEs η1

η2

n

Es = ∑ Piηi

ηn

ηi

( Princípio da superposição dos efeitos)

i=1

b. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS DISTRIBUÍDAS

b a

qdz q dz

A

LIEs

ηi

b

∫

Es = (qdz) ηi , ou seja, a

b

∫

Es = q ηi dz ∴ a

b

∫

Es = q A, pois A = ηi dz

( Princípio da superposição dos efeitos)

a

Teoria das Estruturas I

7

LINHAS DE INFLUÊNCIA c. CASO GERAL (superposição dos casos 1 e 2) n

Es = ∑ Piηi + q A

( Princípio da superposição dos efeitos)

i=1

P tf

P tf

P tf

1,5 m 1,5 m

q tf/m

Observações: ► Os princípios estudados até aqui são válidos para estruturas isostáticas e hiperestáticas. ► É fácil verificar que as unidades das linhas de influência de momentos fletores são unidades de comprimento, e que as linhas de influência de esforços cortantes, normais e reações de apoio são adimensionais.

1.5. VIGAS a. Viga Engastada-livre P =1

z s

A x

L

Efeitos Elásticos • Reações de apoio • Esforços simples

Teoria das Estruturas I

8

LINHAS DE INFLUÊNCIA • Reações de Apoio P=1

z s

A x

L

Representação Analítica

Representação gráfica

+

+1

RA = + 1

+1

A

LIRA

L 45 o

MA = - z A

LIMA L

• Esforços Simples P=1

z s

A x

L

Representação Analítica

Vs =

Ms =

Representação gráfica +1 s

0, para z < x +1,para z > x

+1

LIVS

A x

0, para z ≤ x - (z - x), para z > x

+

s A

45o

(L - x)

LIMS

x

Teoria das Estruturas I

9

LINHAS DE INFLUÊNCIA b. Viga Simplesmente Apoiada P=1

z s

A

B

x L

Efeitos Elásticos • Reações de apoio • Esforços simples

• Reações de Apoio

P=1

z s

A

B

x L

Representação Analítica

Representação gráfica

1

RA = + (L - z)/L

+ B

A

+

RB = z/L

Teoria das Estruturas I

A

LIRA

1 B

LIRB

10

LINHAS DE INFLUÊNCIA • Esforços Simples

Representação gráfica

Representação Analítica

1

Vs =

-z/L (= - RB), para z < x -+ (L - z)/L (= RA), para z > x

-

A

LIVS

1

s +

z/L (L - x) , para z ≤ x

B +

A

Ms =

s

x

B + L-x

(L - z) x/L , para z > x

LIMS

Observações: • No estudo das L.I. de esforços simples, devemos sempre examinar separadamente as possibilidades da carga unitária estar à esquerda ou à direita da seção em estudo. • A L.I. de esforço cortante numa seção apresenta sempre uma descontinuidade igual a 1 nessa seção, conforme verificado nos casos já analisados.

Teoria das Estruturas I

11

LINHAS DE INFLUÊNCIA 1.6. TRELIÇAS

Pontes rodoviárias e ferroviárias

Pontes rodoviárias e ferroviárias; pontes rolantes

Teoria das Estruturas I

12

LINHAS DE INFLUÊNCIA Aplicações: 1. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada mostrada na figura a seguir.

2. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada mostrada na figura abaixo.

3. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC da ponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de 20 k e uma acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft.

Teoria das Estruturas I

13

2. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 2.1. INTRODUÇÃO

a. Possíveis causas dos deslocamentos (flechas e rotações) nas estruturas:
Cargas
Temperatura
Erros de fabricação
Erros de montagem b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:
Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de se evitar fissuras e fraturas (concreto, plástico, madeira, etc).
Conforto: pequenas vibrações e deflexões.
Método das Forças: estruturas estaticamente indeterminadas (fundamentos baseados no método do trabalho virtual – método da carga unitária).

2.2. CAUSAS a. Carregamento: peso próprio + sobrecarga + acidental

Teoria das Estruturas I

14

DESLOCAMENTOS

Teoria das Estruturas I

15

DESLOCAMENTOS

b. Temperatura

Teoria das Estruturas I

16

DESLOCAMENTOS 2.3. MÉTODOS DE ANÁLISE

1. Método da Integração-Dupla 2. Método da Viga-Conjugada 3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)

2.3.1. Método da Integração-Dupla

a. Equações Básicas Hipóteses: • Euler-Bernoulli • Lei de Hooke • Pequenos deslocamentos e rotações

Tem-se:

dθ =

M dx EI

(1)

sendo M o momento atuante na seção, E o módulo de elasticidade do material e I o momento de inércia da seção. Mas, dθ =

Teoria das Estruturas I

dx ρ

17

DESLOCAMENTOS

Então:

1 M 1 d2 v dx 2 = ∴ = 3/2 2 ρ EI ρ  1 + ( dv dx ) 

(2)

onde v é a deflexão da viga.

M d2 v dx 2 = 3/2 2 EI  1 + ( dv dx ) 

d2 v M = dx 2 EI

d2 v EI 2 = M dx

(3)

Condições de contorno e continuidade:

Teoria das Estruturas I

18

DESLOCAMENTOS b. Procedimento de Análise

1. Curva Elástica
Desenhe a configuração deformada da viga (forma exagerada).
Estabeleça as coordenadas x e v.
O(s) sistema(s) x(x´s) deve(m) ser paralelo(s) à viga indeformada.
No caso de cargas descontínuas, estabeleça coordenadas x´s válidas em cada região da viga entre as descontinuidades.
O eixo positivo da deflexão v normalmente é direcionado para cima.

2. Avaliação da Função Momento
Em cada região que existe uma coordenada x, defina a expressão do momento M como uma função de x.
Sempre assuma que M atua na direção positiva quando aplicar a equação de equilíbrio do momento.

3. Deflexão e Rotação
Aplique a equação EI d 2 v / dx 2 = M( x ) , que requer duas integrações.
Para cada integração inclua uma constante de integração.
Essas constantes são avaliadas através das condições de bordo e continuidade.

Teoria das Estruturas I

19

DESLOCAMENTOS c. Aplicações Problema 1: Para a viga mostrada abaixo, submetida a um momento M0 na sua extremidade, obtenha a curva elástica.

Solução: i. Curva elástica (desenho aproximado)

ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre)

M = M0

iii. Deflexão e Rotação 2 2 Aplique a equação EI d v / dx = M( x )

EI

M0 x 2 d2 v dv M EI M x C EIv = ∴ = + ∴ = + C1x + C2 0 0 1 dx 2 dx 2

Condições de contorno: x = 0 : dv / dx = 0 → C1 = 0 x =0: v = 0

Teoria das Estruturas I

→ C2 = 0

20

DESLOCAMENTOS Ou seja:

θ=

M0 x EI

v=

M0 x 2 2EI

Problema 2: Para a viga mostrada a seguir, pede-se avaliar o deslocamento vertical do ponto C.

A C

B

Solução: i. Curva elástica (desenho aproximado) e definição do sistema de coordenadas:

P x1 A vC

B C

a

2a x2

ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre):

P x1 2

Trecho x1:

M1 = −

Trecho x2:

M2 = −

P 3P x2 + (x 2 − 2a) = Px 2 − 3Pa 2 2 M2

P/2

2a 3P/2 x2

Teoria das Estruturas I

21

DESLOCAMENTOS iii. Deflexão e rotação Aplique a equação EI d 2 v / dx 2 = M( x ) Trecho x1:

EI

d2 v1 dv P P P = − x1 ∴ EI 1 = − x12 + C1 ∴ EIv1 = − x13 + C1x + C2 2 2 dx1 4 12 dx1

Trecho2:x

EI

d2 v 2 dv P = Px 2 − 3Pa ∴ EI 2 = x 22 − 3Pax 2 + C3 2 dx 2 2 dx 2

EIv 2 =

P 3 3 x 2 − Pax 22 + C3 x 2 + C4 6 2

Condições de contorno:

Em x1 = 0, v1 = 0

∴ 0 = 0 + 0 + C2

Em x1 = 2a, v1 = 0

∴ 0=−

Em x 2 = 2a, v 2 = 0 ∴ 0 = dv1(2a) dv 2 (2a) = dx1 dx 2

P (2a)3 + C1(2a) + C2 12

P 3 (2a)3 − Pa(2a)2 + C3 (2a) + C4 6 2

∴ − P (2a)2 + C1 = P (2a)2 − 3Pa(2a) + C3 4 2

Solução do sistema:

C1 =

1 2 10 2 Pa ; C2 = 0; C3 = Pa e C4 = −2Pa3 3 3

Para o trecho x2 (v2):

v2 =

P 3 Pa 2 10 Pa2 Pa3 x 23 − x2 + x2 − 2 6EI 2 EI 3 EI EI

Finalmente, fazendo x2 = 3a:

vC = −

Teoria das Estruturas I

Pa3 EI 22

DESLOCAMENTOS 2.3.2. Método da Viga-Conjugada a. Considerações Iniciais • Idealizado por Otto Mohr em 1860. • Base do método: princípios da estática. • Base do método: similaridade entre as equações: 1. Esforço Cortante Rotação

dV = −w dx dθ M = dx EI 2. Momento Fletor Deslocamento

d2M = −w dx 2 d2 y M = dx 2 EI • Integrando... 1. Esforço Cortante Rotação

V = − ∫ wdx

M θ = −   dx  EI 

∫

2. Momento Fletor Deslocamento

M =  − wdx  dx  

∫ ∫

 M  y=  dx dx  EI 

∫∫

Teoria das Estruturas I

23

DESLOCAMENTOS b. Viga Conjugada

Viga Real

Viga-Conjugada

Teorema 1: A inclinação de um ponto na viga real é igual ao esforço cortante no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente. Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é igual ao momento fletor no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.

c. Condições de apoio (viga conjugada)

Viga Real θ ∆=0 θ ∆ =0 θ =0 ∆ =0 θ ∆ θ ∆ =0 θ ∆ =0 θ ∆

Teoria das Estruturas I

Viga Conjugada

pin

V M=0

pin

roller

V M=0

roller

fixed

V=0 M=0

free

V M

fixed

internal pin

V M=0

hinge

internal roller

V M=0

hinge

V M

roller

free

hinge

24

DESLOCAMENTOS

Viga Real

Viga Conjugada

d. Procedimento de análise 1. Viga-Conjugada
Desenhe a viga-conjugada para a viga real.
A viga-conjugada deve ter o mesmo comprimento da viga real.
Se um apoio na viga real permite uma inclinação, o apoio correspondente na viga-conjugada deverá desenvolver um esforço cortante.
Se um apoio na viga real permite um deslocamento, o apoio correspondente na viga-conjugada deverá desenvolver um momento fletor.
A viga-conjugada é carregada com o diagrama M/EI da viga real.
Esse carregamento é assumido ser distribuído sobre a viga conjugada e é direcionado para cima quando M/EI é positivo e é direcionado para baixo quando M/EI é negativo. 2. Equilíbrio
Avalie as reações nos apoios da viga-conjugada.
Usando as equações de equilíbrio, avalie o esforço cortante (V’) ou o momento fletor (M’) na viga conjugada onde a inclinação (θ θ) ou o deslocamento (∆ ∆) deve ser determinado na viga real.
Se esses valores são positivos, a inclinação acontece no sentido contrário ao do ponteiro do relógio e o deslocamento é para cima . Teoria das Estruturas I

25

DESLOCAMENTOS e. Aplicações Problema 1. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto B da viga metálica mostrada na figura abaixo. As reações já foram calculadas. Assuma: E = 29 (103) ksi e I = 800 in4. 5k 5k 75 kft

A B 15 ft

15 ft

Solução: i. Viga-Conjugada 15 ft

15 ft

B’

A’ 75/(EI)

ii. Equilíbrio da viga-conjugada Diagrama de corpo-livre:

5 ft

25 ft

MB’ VB’ 562.5/(EI)

+ ↓ ∑ Fy = 0 ∴

θB = VB' = −

562.5 k ⋅ ft 2 + VB' = 0 EI

562.5 k ⋅ ft 2 562.5 k ⋅ ft 2 = EI 29(103 ) k/in2 ⋅ (144 in2 /ft 2 ) ⋅ 800 in4 ⋅ (1 ft 4 124 in4 )

θB = VB ' = −0.00349 rad

Teoria das Estruturas I

26

DESLOCAMENTOS

+

∑ MB ' = 0 ∴

562.5 k ⋅ ft 2 ( 25 ft ) + MB ' = 0 EI

∆B = MB' = −

14062.5 k ⋅ ft 3 14062.5 k ⋅ ft 3 = EI 29(103 ) k/in2 ⋅ (144 in2 /ft 2 ) ⋅ 800 in4 ⋅ (1 ft 4 124 in4 )

∆B = MB ' = −0.0876 ft = −1.05 in

A

∆B = -14062.5/(EI) B

θB = -562.5/(EI)

Problema 2: Determine a deflexão máxima da viga metálica mostrada na figura abaixo. As reações já foram calculadas. Assuma: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4.

8 kN B

A 3m

9m

6 kN

2 kN

Solução: i. Viga-Conjugada

18/(EI)

A’

B’

9m

Teoria das Estruturas I

3m

27

DESLOCAMENTOS ii. Equilíbrio da viga-conjugada Análise: A deflexão máxima da viga real ocorre no ponto onde a inclinação é nula. Portanto, nesse mesmo ponto, o esforço cortante é nulo na viga conjugada. Assim: Diagrama de corpo-livre: 81/EI

27/EI

18  x  2x  = EI  9  EI

M’ V=0 63/EI

45/EI

+ ↓ ∑ Fy = 0 ∴ −

45/EI

45 1  2x  +   x = 0 ∴ x = 6.71 m (0 ≤ x < 9 m) OK EI 2  EI 

Usando esse valor de x: +

∑M = 0∴−

∆máx = M' = −

45 (6 .7 1) + EI

 1  2(6.71)  1  2  E I  6 .7 1 3 ( 6.71) − M ' = 0  

−201.2 kNm3 201.2 kNm3 = = EI 200(106 ) kN / m2  60(106 ) mm4 (1 m4 (103 )4 mm4 

= −0.0168 m = −16.8 mm

Teoria das Estruturas I

28

DESLOCAMENTOS 2.3.3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)

a. Considerações Iniciais • Métodos anteriores: eficientes para vigas submetidas a carregamentos simples. • Métodos energéticos: eficientes para vigas, treliças e pórticos sujeitos a carregamentos quaisquer. • Base dos métodos energéticos: Princípio da Conservação de Energia

Ue = Ui onde: Ue : trabalho realizado pelas forças que atuam na estrutura. Ui : trabalho interno (energia de deformação) armazenado quando a estrutura se deforma.

b. Fundamentos

Trabalho Externo: Força P

Ue =

1 P∆ 2

Trabalho Externo: Força P (aplicada primeiro) + Força P’

Ue =

Teoria das Estruturas I

1 1 P ∆ + P∆' + F' ∆' 2 2

29

DESLOCAMENTOS Trabalho Externo: Momento M

Ue =

1 Mθ 2

Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’

Ue =

1 1 M θ + Mθ' + M' θ' 2 2

Trabalho Interno (Energia de Deformação): Força Axial S

Hipóteses:
Material elástico linear
Lei de Hooke: σ = Eε
Deformação: ε = ∆/L
Tensão: σ = S/A Deslocamento ∆: ∆ =

SL AE

Trabalho Interno: Ui =

S2L 1 S∆ = 2AE 2

Teoria das Estruturas I

30

DESLOCAMENTOS Trabalho Interno (Energia de Deformação): Flexão (Momento Fletor M)

Rotação dθ (elemento diferencial):

dθ =

M dx EI

Trabalho Interno:

1 dUi = Mdθ 2 L

Ui =

∫ 0

M2 dx 2EI

c. Princípio da Conservação da Energia

Nesse caso:

Ue =

1 P∆ 2 L

Ui =

∫ 0

M2 dx = 2 EI

L

∫ 0

( − Px ) 2 1 P 2 L3 dx = 2 EI 6 EI

Como, Ue = Ui :

1 1 P 2 L3 1 P∆ = ∴∆ = 2 6 EI 3

Teoria das Estruturas I

P L3 EI

31

DESLOCAMENTOS d. Princípio do Trabalho Virtual (PTV) • Baseado no princípio da conservação de energia: Ue = Ui . • Foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717. • Conhecido também como o Método da Carga Unitária. • Considere uma estrutura deformável submetida a uma série de cargas P que irão causar o aparecimento de forças internas u ao longo de toda a estrutura. Essas forças estão relacionadas por Equações de Equilíbrio. • Considere também que deslocamentos externos ∆ irão acontecer nos locais de aplicação das cargas P e deslocamentos internos δ irão ocorrer nos locais da forças internas u. Esses deslocamentos não precisam ser elásticos, podem não ser relacionados com as cargas, e ∆ e δ estão relacionados por Equações de Compatibilidade. • Princípio do Trabalho Virtual (PTV):

∑P ∆ (TVCE )

=

∑u δ (TVCI)

Considere: Cargas reais P1, P2 e P3 aplicadas na estrutura (deseja-se avaliar ∆).

P2

P1

∆

P3

Considere agora a carga virtual P’ = 1 aplicada na direção de ∆..

A

P’ = 1

Princípio do Trabalho Virtual (PTV):

1× ∆ = (TVCE)

Teoria das Estruturas I

∑ u dL (TVCI) 32

DESLOCAMENTOS Se a rotação θ em um determinado ponto da estrutura é para ser determinada, um momento fletor virtual de magnitude unitária (M’ = 1) é aplicado nesse ponto. Como conseqüência da aplicação de M’ = 1 na estrutura, forças internas uθ aparecerão no sistema. Assim, o PTV pode ser escrito como: Forças virtuais

1× θ

=

∑ uθ dL

Deslocamentos reais

2.4. TRELIÇAS: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual

a. Efeito: Carregamento externo

Expressão Geral: 1 × ∆ = ∑ n dL

1× ∆ =

nNL

∑ AE

onde: 1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆ n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária ∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais N = forças normais reais atuantes nas barras causadas pelas forças externas reais L = comprimento de uma barra A = área da seção transversal de uma barra E = módulo de elasticidade

Teoria das Estruturas I

33

DESLOCAMENTOS b. Efeito: Temperatura

Expressão Geral: 1 × ∆ =

∑ n dL

1 × ∆ = ∑ n α ∆T L

onde: 1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆ n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária ∆ = deslocamento a ser avaliado causado pela mudança de temperatura α = coeficiente de dilatação térmica (depende do material) L = comprimento de uma barra ∆T = variação de temperatura da barra

c. Efeito: Erros de fabricação e montagem

Expressão Geral: 1 × ∆ =

∑ n dL

1 × ∆ = ∑ n ∆L

onde: 1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆ n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária ∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelo erro de fabricação e montagem ∆L = diferença de comprimento da barra (comprimento projetado – comprimento observado após a montagem ou fabricação da peça)

Teoria das Estruturas I

34

DESLOCAMENTOS d. Procedimento de análise

1. Forças Normais Virtuais n • Coloque a força unitária na junta e na direção do deslocamento que se deseja determinar. • Resolva a treliça para essa carga unitária atuante (método das juntas ou seções). • Assuma as forças normais de tração como positivas. 2. Forças Normais Reais N • Resolva a treliça para as forças externas reais atuantes (método das juntas ou seções). • Assuma as forças normais de tração como positivas.

3. Equação do Trabalho Virtual • Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento desejado. • Mantenha o sinal de u e N obtidos nos passos anteriores. • No caso de atuar simultaneamente forças externas, temperatura e erros de fabricação:

1 × ∆ = ∑n

Teoria das Estruturas I

NL + ∑ n α ∆T L + ∑ n ∆L AE

35

DESLOCAMENTOS e. Aplicações Problema 1: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica mostrada na figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0.5 in2.

E

F

10 ft B

A

C

10 ft

D

10 ft

10 ft

4k

4k

Solução:

i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na direção do deslocamento vertical procurado)

+ 0.333 k

- 0.333 k

+1k C

+ 0.333 k

+ 0.667 k

0.333 k

+ 0.667 k 0.667 k

1k

ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)

+4k 4k

Teoria das Estruturas I

+4k

+4k

-4k

0

+4k 4k

+4k 4k

4k

36

DESLOCAMENTOS iii. Aplicação da equação do PTV:

1 × ∆ = ∑n

NL AE

Membro

n (k)

N (k)

L (ft)

nNL (k2.ft)

AB BC CD DE FE EB BF AF CE

0.333 0.667 0.667 -0.943 -0.333 -0.471 0.333 -0.471 1.000

4 4 4 -5.66 -4 0 4 -5.66 4

10 10 10 14.14 10 14.14 10 14.14 10

13.33 26.67 26.67 75.47 13.33 0 13.33 37.70 40

Σ 246.50

Assim:

1k ⋅ ∆ Cv =

∑

nNL 246.50 k 2 ⋅ ft (246.50 k 2 ⋅ ft)(12 in/ft) = = AE AE (0.5 in2 )(29(103 ) k/in2 )

∴ ∆ Cv = 0.204 in

Problema 2: Considere para a treliça mostrada abaixo, cada barra com E = 200 GPa e A = 400 mm2. Pede-se: a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN for aplicada nesse mesmo ponto. b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em C se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em projeto?

C

4 kN 5m

5m

3m A

B 4m

Teoria das Estruturas I

4m

37

DESLOCAMENTOS Solução: a. i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na direção do deslocamento vertical procurado):

ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes):

iii. Aplicação da equação do PTV:

1 × ∆ = ∑n

NL AE

Membro

n (k)

N (k)

L (ft)

nNL (k2.ft)

AB AC CB

0.667 -0.833 -0.833

2 2.5 -2.5

8 5 5

10.67 -10.41 10.41

Σ 10.67 Assim: 1kN ⋅ ∆ C v =

∑

nNL 10.67 kN 2 ⋅ m (10.67 kN 2 ⋅ m ) = = AE AE 400(10 -6 ) m 2 (200(10 6 ) kN/m 2 )

∆ C v = 0.133 m m

Teoria das Estruturas I

38

DESLOCAMENTOS b. i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na direção do deslocamento vertical procurado):

ii. Note que apenas a barra AB é deformada (tem o tamanho diferente daquele de projeto):

∆L AB = − 0.005 m iii. Aplicação da equação do PTV (no caso: erro de fabricação ou montagem):

1× ∆ =

∑ n ∆L

No caso:

1 × ∆Cv = (0.667kN)(−0.005m)

∆Cv = −0.00333 m = −3.33 mm

Teoria das Estruturas I

39

DESLOCAMENTOS Problema 3: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a barra AD é submetida a um aumento da temperatura de ∆T = +120º F. Considere: E = 29 (103) ksi e α = 0.6 (10-5)/oF. A seção A de todas as barras é indicada na figura.

6 ft

parede D

2

C

60 k

in2

2 in2 8 ft

2 in2 1.5

A

in2

B

2 in2

80 k

i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na direção do deslocamento vertical procurado):

ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes):

Teoria das Estruturas I

40

DESLOCAMENTOS iii. Aplicação da equação do PTV (efeitos: forças externas + temperatura, barra AD):

1 × ∆ Cv = =

NL

∑ n AE +∑ n α ∆T L =

(0.75)(120)(6)(12) (1)(80)(8)(12) ( −1.25)( −100)(10)(12) + + + 2  29(103 ) 2 29(103 ) 1.5 29(103 )

+(1) 0.6(10 −5 ) (120)(8)(12)

temperatura, barra AD

∆ Cv = 0.658 in

2.5. VIGAS E PÓRTICOS: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual

a. Energia de Deformação Virtual: Momento Fletor Objetivo: avaliar o deslocamento ∆ L

Expressão Geral: 1 × ∆ =

∫ 0

mM dx EI

Cargas reais

Cargas virtuais

onde: 1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de ∆ m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pela força unitária externa virtual

Teoria das Estruturas I

41

DESLOCAMENTOS ∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças externas reais E = módulo de elasticidade I = momento de inércia da seção transversal da barra L = comprimento da barra

Objetivo: avaliar o deslocamento θ L

Expressão Geral: 1 × θ =

∫ 0

mθM dx EI

onde:

1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de θ m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pelo momento unitária externo virtual θ = rotação a ser avaliada causada pelas forças externas reais M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças externas reais E = módulo de elasticidade I = momento de inércia da seção transversal da barra L = comprimento da barra

Teoria das Estruturas I

42

DESLOCAMENTOS Casos • Forças ou momentos concentrados atuantes • Carga distribuídas descontínuas atuantes

Cargas virtuais

Cargas reais

Solução 1: Escolher coordenadas x`s para aquelas regiões que não apresentam descontinuidade no carregamento e avaliar a integral

∫ (mM / EI) dx

para

cada região. Solução 2: Forma TABULAR (Método TABULAR) Os diagramas de momentos são avaliados (cargas reais e virtuais). Os diagramas para m e M são comparados com aqueles da tabela e assim a integral ∫ ( mM ) dx pode ser determinada através de fórmula apropriada. L

Avaliação de

∫ mm' dx 0

L

∫ mm' dx 0

mm'L

1 mm'L 2

1 m ( m1' + m'2 ) L 2

2 mm'L 3

1 mm'L 2

1 mm'L 3

1 m ( m1' + 2m'2 ) L 6

5 mm'L 12

1 m' ( m1 + m2 ) L 2

Teoria das Estruturas I

1 6 m1' ( 2m1 + m2 ) + 1 m' ( m1 + 2m2 ) L 6 + m'2 ( m1 + 2m2 )  L

1 mm'L 2

1 mm' (L + a ) 6

1 6m1 m1' (L + b ) +

1 mm'L 2

1 mm'L 6

1 m ( 2m1' + m'2 ) L 6

+ m2 (L + a ) 

1 m' ( 3m1 + 5m2 ) L 12  1 3a a2  − L mm'  3 + 12 L L2  

1 mm'L 4

43

DESLOCAMENTOS Procedimento de Análise 1. Momentos Virtuais m ou mθ
Aplique a força unitária na viga ou pórtico na direção do deslocamento que se deseja determinar.
Caso se deseje determinar a rotação de um ponto, deve-se aplicar um momento unitário nesse ponto.
Estabeleça

de

forma

apropriada

as

coordenadas

x`s

(objetivo:

evitar

descontinuidade do carregamento).
Resolva a viga ou pórtico para essa força ou momento unitário atuante (obtenha os momentos internos m ou mθ). 2. Momentos Reais M
Usando as mesmas coordenadas x`s usadas para avaliar m ou mθ, calcule os momentos internos M causados pelas forças reais atuantes.
Assuma a mesma convenção de sinal da etapa anterior. 3. Equação do Trabalho Virtual
Aplique a equação do trabalho virtual para determinar.
O deslocamento ou a rotação desejada.
Mantenha o sinal de m (ou mθ) e M obtidos nos passos anteriores.

1× ∆ =

∑∫

mM dx EI

ou

1× θ =

∑∫

mθM dx EI

Aplicações Problema 1: Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4. 12 kN/m

A

Teoria das Estruturas I

B

10 m

44

DESLOCAMENTOS Solução: i. Avaliação do momento virtual m 1 kN

1 kN

m = −x

B

A

v

x

x

10 m

ii. Avaliação do momento real M 12x

12 kN/m

x/2

A

B

M = − 6x2

x

V

10 m

x

iii. Aplicação da equação do PTV L

1 × ∆B =

∫ 0

10

1 × ∆B =

∫ 0

∆B =

mM dx EI

( −1x ) ( −6x 2 ) 15 (103 ) kN2m3 dx ∴ 1 kN × ∆B = EI EI 15 (103 ) kNm3

200 (106 ) kN / m2 ( 500(106 ) mm4 ) (10−12 m4 /mm4 )

= 0.150 m = 150 mm

Problema 2: Determine a inclinação θ no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 3 kN C

B A

5m

Teoria das Estruturas I

5m

45

DESLOCAMENTOS Solução: i. Avaliação do momento virtual mθ v1

mθ1 = 0 1 kNm

x1

C

B A

1 kNm x1

v2

B

x2

m θ2 = 1 x2

5m

ii. Avaliação do momento real M 3 kN V1 3 kN

M1 = −3x1 B

x1

A

3 kN

C

x1

x2

V2

B

M2 = −3 ( 5 + x 2 ) x2

iii. Aplicação da equação do PTV L

1 × θB =

∫ 0

θB =

mθM dx = EI

5

∫

( 0 ) ( −3x1 ) EI

0

10

dx1 +

∫ 5

(1)  −3 ( 5 + x 2 )  dx 2 EI

−112.5 kNm2 EI

Observação: Método Tabular

1. Construção dos diagramas: m (kNm)

M (kNm)

1 5 5

10

x (m)

x (m)

10 -15 -30

Teoria das Estruturas I

46

DESLOCAMENTOS 2. Da apropriada linha e coluna da tabela: 10

1

1

∫ m Mdx = 2 m (M + M )L = 2 (1) ( −15 − 30)(5 ) = −112.5 kN m 1

θ

2

2

3

5

Que é o mesmo valor obtido anteriormente. Assim:

( 1 kNm ) × θB =

−112.5 kN2m2 = −0.00938 rad 200(106 ) kN/m2  60(106 ) mm4  (10−12 m4 /mm4 )

Problema 3: Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. Considere: E = 29(103) ksi e I = 800 in4.

6k 80 kft A

10 ft

D

C

B

10 ft

10 ft

Solução: i. Avaliação do momento virtual m 1k

x3

x2

0.75 k

x1 1.75 k

1k

m1 = −1x1 v1

x1 1k

x2 +15

m2 = 0.75x 2 − 15 v2

x2 1.75 k

m3 = −0.75x3 x3

v3

0.75 k

Teoria das Estruturas I

47

DESLOCAMENTOS ii. Avaliação do momento real M 6k 80 kft x2

x3

x1 7k

1k

M1 = 0

V1

x1

M2 = 7x 2 V2

x2 7k

80 kft

M3 = 80 − 1x3 x3

V3

1k

iii. Aplicação da equação do PTV

L

1 × ∆D =

∫ 0

∆D =

mM dx = EI

15

∫ 0

( −1x1 ) ( 0 )dx EI

1

10

+

∫

( 0.75x 2 − 15 )( 7x2 )dx

0

EI

10 2

+

∫ 0

( 0.75x3 )( 80 − 1x3 )dx EI

3

0 3500 2750 6250 k ⋅ ft 3 − − =− EI EI EI EI 3

∆D = −

6250 k ⋅ ft 3 (12 ) in3 / ft 3 29 (103 ) k/in2 ( 800 in4 )

Teoria das Estruturas I

= −0.466 in

48

DESLOCAMENTOS Problema 4. Determine a rotação θ no ponto C do pórtico metálico a seguir. Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4.

Solução: i. Avaliação do momento virtual mθ Barra BC

Barra AB

Teoria das Estruturas I

49

DESLOCAMENTOS ii. Avaliação do momento real M

M2 = 7.5

M1 = −2.5x1

iii. Aplicação da equação do PTV L

1 × θC =

∫ 0

θC =

mθM dx = EI

200 (106 )

3

∫ 0

2

( −1) ( −2.5x1 ) 11.25 15 26.25 KN ⋅ m2 ( )( ) + = dx1 + 1 7.5 dx 2 = EI EI EI EI EI

∫ 0

26.25 KN ⋅ m2 = 0.00875 rad KN / m2 16 (106 ) mm4  (10−12 m4 /mm4 )

Problema 5: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico mostrado abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4.

8 ft

B

C

x2 4 k/ft 10 ft

x1 A

Teoria das Estruturas I

50

DESLOCAMENTOS Solução: i. Avaliação do momento virtual m

v2 n2

1k x2

m2 = 1.25x 2

1.25 k 1k

8 ft 1.25 k v1

10 ft

m1 = 1x1 n1 x1 1k

1k

1.25 k

1.25 k

ii. Avaliação do momento real M

V2 N2

M2 = 25x 2

x2

25 k

8 ft

25 k 40 k

M1 = 40x1 − 2x12 V1 N1

5 ft

4x1

40 k

40 k 25 k

Teoria das Estruturas I

25 k

51

DESLOCAMENTOS iii. Aplicação da equação do PTV

L

1 × ∆Ch =

∫ 0

∆Ch =

mM dx = EI

10

∫

(1x1 ) ( 40x1 − 2x12 )dx EI

0

1

8

+

∫

(1.25x 2 )( 25x2 )dx

0

EI

2

8333.3 5333.3 13666.6 k ⋅ ft 3 + = EI EI EI

Observação: Método Tabular 1. Construção dos diagramas:

200 kft

10 kft 200 kft

10 kft

8 ft

8 ft

Força Virtual

Força Real 10 ft 10 ft

2. Das apropriadas linhas e colunas da tabela: 5

1

∫ mMdx = 12 (10 )( 200 )(10) + 3 (10 )( 200)(8) = 8333.3 + 5333.3 = 13666.6 k

2

⋅ ft 3

Que é o mesmo valor obtido anteriormente. Assim:

∆Ch =

13666.7 k ⋅ ft 3 = 0.113 ft = 1.36 in  29 (103 ) k / in2 ( (12 )2 in2 / ft 2 )  600 in4 ( ft 4 / (12 )4 in4 )     

Teoria das Estruturas I

52

DESLOCAMENTOS b. Energia de Deformação Virtual: Força Axial (Esforço Normal)

Ua =

nNL AE

∑

onde: n = forças normais virtuais internas atuantes nas barras causadas pela força externa virtual unitária N = forças normais internas atuantes nas barras causadas pelas forças reais L = comprimento da barra A = área da seção transversal da barra E = módulo de elasticidade do material

c. Energia de Deformação Virtual: Esforço Cortante L

Us =

 νV 

∑ ∫ K GA  dx 0

onde: n = forças cisalhantes virtuais internas atuantes nas barras, expressas como funções de x, causadas pela força externa virtual unitária V = forças cisalhantes internas atuantes nas barras, pressas como funções de x, causadas pelas forças reais K = fator dependente da forma da seção transversal (K = 1.2 : seção transversal retangular) (K = 10/9 : seção transversal circular) (K = 1.0 : seção transversal I, perfil I) A = área da seção transversal da barra G = módulo de elasticidade transversal do material

Teoria das Estruturas I

53

DESLOCAMENTOS d. Energia de Deformação Virtual: Torção

Ut =

t TL

∑ GJ

onde: t = momentos de torção virtuais internos atuantes nas barras causados pela força externa virtual unitária T = momentos de torção internos atuantes nas barras, causados pelas forças reais L = comprimento da barra J = momento de inércia polar da seção transversal (J = πc4/2, onde c é o raio da seção transversal) G = módulo de elasticidade transversal do material

d. Energia de Deformação Virtual: Temperatura

Efeito: Variação uniforme de temperatura ∆T

UTemp = ∑ n α ∆T L Efeito: Diferença de temperatura ao longo da seção transversal do perfil L

UTemp = ∑ ∫ m 0

α∆Tm dx c ∆Tm

T1

Rotação positiva

δx

c T1

T1 > T2

Tm =

T1 + T2 2

dθ c

c

M

T2 dx

α∆Tm dx dθ = c

Teoria das Estruturas I

c T2

∆Tm δx dx

54

DESLOCAMENTOS onde: m = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa unitária α = coeficiente de dilatação térmica ∆Tm = diferença entre a temperatura média e a temperatura do topo ou base da seção da viga c = metade da altura da seção L = comprimento da barra

Aplicações

Problema 1: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico mostrado abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4, e A = 80 in2 para ambos os membros.

8 ft

B

C

x2 4 k/ft 10 ft

x1 A

Teoria das Estruturas I

55

DESLOCAMENTOS Solução: i. Avaliação do momento virtual m v2 n2

1k x2

m2 = 1.25x 2

1.25 k 1k

8 ft 1.25 k v1

10 ft

m1 = 1x1 n1 x1

1k

1k

1.25 k

1.25 k

ii. Avaliação do momento real M V2 N2

M2 = 25x 2

x2

25 k

8 ft

25 k 40 k

M1 = 40x1 − 2x12 V1 N1

5 ft

4x1

40 k

40 k 25 k

25 k

iii. Aplicação da equação do PTV
Deformação de Flexão:

Ub =

∫

Teoria das Estruturas I

mM 13666.6 k 2 ⋅ ft 3 (123 in3 / ft 3 ) dx = = 1.357 in ⋅ k EI 29 (103 ) k / in2  ( 600 in4 )

56

DESLOCAMENTOS


Deformação Axial: Ua =

∑

(1 k ) ( 0 )( 96 in ) nNL (1.25k )( 25k )(120 in ) = + = 0.001616 in ⋅ k AE 80 in2 29 (103 ) k / in2  80 in2  29 (103 ) k / in2 


Deformação Cisalhante: 10 8 1.2 (1) ( 40 − 4x1 ) 1.2 ( −1.25 )( −25 )  υV  Us = K  dx1 + dx 2 =  dx = GA GA  GA  L

∫

∫

∫

0

0

0

540 k 2 ⋅ ft (12 in / ft ) = = 0.00675 in ⋅ k 12 (103 ) k / in2  ( 80 in2 )

1 k × ∆Ch = 1.357 in ⋅ k + 0.001616 in ⋅ k + 0.00675 in ⋅ k ∆Ch = 1.37 in

Problema 2: A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e a da base é 160º F, determine o deslocamento vertical no meio da viga devido a esse gradiente de temperatura. Considere: α = 6.5(10-6)/oF.

80º F 10 in 160º F 10 ft

Solução: i. Avaliação do momento virtual m 1 lb 5 ft

5 ft

v

m= x 1/2 lb

Teoria das Estruturas I

x 1/2 lb

x

1 x 2

1/2 lb

57

DESLOCAMENTOS

ii. Aplicação da equação do PTV
Temperatura média no centro da viga: Tm =

160 o + 80 o = 120 o F 2

Assim: ∆Tm = 120 o − 80 o = 40 0 F L

1 lb × ∆ Cv =

∫ 0

mα∆Tm dx = 2 c

60 in

∫ 0

(1 2 ) 6.5 (10−6 ) 5 in

o

F ( 40 oF )

dx

∆ Cv = 0.0936 in

Teoria das Estruturas I

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008. Soriano, H.L., Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007. Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto Alegre, 1994. Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 2, 12ª edição, Editora Globo, Porto Alegre, 1994.

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