80658_060 - IOB - Matematica

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Matemática

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

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Matemática / [Obra organizada pelo Instituto IOB] — São Paulo: Editora IOB, 2011. Bibliografia. ISBN 978-85-63625-75-5

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Sumário

Capítulo 1 — Conjuntos, 11 1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais; Símbolo de Pertinência e Inclusão, 11 2. Subconjuntos / Triângulo de Pascal, 12 3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades / Descobertas, 13 3.1 Apresentação: Propriedades do Triângulo de Pascal, 13 4. Triângulo de Pascal: Problemas de Combinatória, 14 5. Números Triangulares, 16 6. Números Figurados, Sequência de Fibonacci e suas Aplicações, 18 7. Fibonacci, 19 8. Diagramas de Venn, 21 9. Dica de Resolução, 24 10. Problema da Pizza, 26 11. Férias em Cabo Friu, 27 12. Questões Envolvendo Sistemas Lineares, 27 13. Questões, 29 14. Questão do Delegado Federal, 30

15. Princípio das Gavetas de Dirichlet, 32 Capítulo 2 — Conjuntos Númericos, 35 1. Conhecimentos Básicos, 35 1.1 Testando seus Conhecimentos, 35 2. Conhecimentos Básicos: Resolução Continuação, 36 3. Números Naturais, 36 4. Números Naturais: Contagem de Algarismos, 38 5. Números Naturais: Quantas vezes Aparece o Algarismo 1 quando Escrevemos de 1 até 1000?, 40 6. Números Naturais: Operações e Propriedades, 40 7. Números Naturais: Quadro Posicional, 41 7.1 Sistema de Numeração Decimal, 41 7.2 Sistemas de Numeração em Outras Bases, 42 8. Números Naturais: Sudoku, 43 9. Números Inteiros: Introdução, 45 9.1 Adição, 45 9.2 Subtração, 46 9.3 Valor Absoluto, 46 10. Números Inteiros: Operações, 47 10.1 Números Simétricos, 47 10.2 Operações com Números Inteiros (Z), 47 10.3 Adições e Subtrações com Números Inteiros, 48 10.4 Multiplicação, 49 10.5 Divisão Inteira, 50 10.6 Exercícios Resolvidos, 51 11. Múltiplo e Divisor de um Número, 52 11.1 Múltiplo de um Número, 52 11.2 Divisor de um Número, 52 12. Divisibilidade, 55 12.1 Critérios de Divisibilidade, 55 12.2 Divisibilidade e Aplicações, 56 12.3 Divisibilidade por 11 e por 13, 57 12.4 Divisibilidade: Questões de Prova, 58 13. Questões de Prova Envolvendo Números, 59 14. Teste seus Conhecimentos, 60 15. Números Primos, Compostos — Total de Divisores de um Número, 63 15.1 Números Primos, 63 15.2 Números Compostos, 63 15.3 Reconhecimento de Números Primos, 63

15.4 Decomposição de um Número em Fatores Primos, 64 15.5 Total de Divisores Naturais de um Número Composto, 64 16. MMC e MDC, 65 16.1 Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum, 65 16.2 Divisores Comuns e Máximo Divisor Comum, 67 16.3 Determinação do MDC pelo Processo Simplificado, 68 16.4 Propriedades do Mmc e do Mdc, 69 17. Problemas com MMC E MDC, 70 18. Conjuntos Numéricos, 71 19. Números Racionais, 73 19.1 Números Racionais — Operações e Propriedades, 73 20. Números Racionais: Dízima Periódica, 74 20.1 Representação Fracionária, 74 20.2 Representação Decimal de um Número Racional, 74 20.3 Determinação de uma Fração Geratriz, 75 20.4 Números Mistos, 77 21. Potenciação, 78 21.1 Propriedades Operatórias com Potências, 78 21.2 Regras de Sinais nas Potenciações, 80 22. Radiciação, 80 22.1 Propriedades Operatórias, 81 22.2 Exercícios Resolvidos, 81 21.3 Radical de Radical, 82 22.4 Regra do Apartamento, 82 Capítulo 3 — Sistema Legal de Medidas, 84 1. Notação Científica, 84 1.1 Transformação de Unidades, 84 1.2 Notação Científica, 85 2. Unidades de Medidas, 85 3. Unidades de Medidas Aplicações, 87 Capítulo 4 — Matemática Comercial, 90 1. Razão, 90 2. Velocidade Relativa, 91 3. Escala, 92 4. Proporções: Sistema de Cotas, 94 4.1 Grandezas Inversamente Proporcionais, 95 4.2 Relação entre Proporção Inversa e Proporção Direta, 95 4.3 Divisão em Partes Diretamente Proporcionais, 96

5. Proporções: Cotas X Juros, 97 6. Proporções: Sistema de Cotas e Fracionários, 98 7. Proporções: Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais, 100 8. Regra de Três, 102 9. Regra de Três: Questões, 104 10. Problema das Torneiras, 105 11. Porcentagem: Conceitos Básicos, 107 11.1 Porcentagem, 107 11.2 Resumindo: Porcentagem, 108 12. Aumentos e Descontos Sucessivos, 109 13. Porcentagem X Estatística, 111 14. Operações com Mercadoria, 113 15. Parcelas Iguais com e sem Entrada, 116 16. Taxas, Reajustes e Índices Inflacionários, 117 17. Problemas Envolvendo Porcentagem, 120 18. Juros Simples e Compostos, 122 18.1 Juros e Descontos, 122 18.2 Juros Simples, 123 18.3 Cálculo de Juro Simples, 123 18.4 Montante, 124 18.5 Juro Comercial e Exato, 124 18.6 Juro Composto ou Capitalizado, 127 Capítulo 5 — Sistemas e Equações de 1º e 2º Graus, 130 1. Equação do 1º Grau, 130 2. Sistemas de Equações, 131 3. Equação do 2º Grau, 135 Capítulo 6 — Função, 139 1. Definição e Conceito, 139 1.1 Plano Cartesiano, 139 1.2 Produto Cartesiano, 140 1.3 Conceito de Função, 141 1.4 Construção de uma Função, 144 1.5 Valor Numérico, 145 2. Função Composta, 148 3. Função Composta e suas Aplicações, 150 4. Análise de Gráficos, 151 5. Taxa de Variação: Física, 154 6. Gráficos e Valor Numérico, 158

7. Domínio e Imagem, 159 7.1 Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem, 159 7.2 Determinação do Domínio de Função, 160 7.3 Funções Crescentes e Decrescentes, 161 8. Função Inversa, 166 9. Rotação de Gráficos, 168 10. Translação de Gráficos, 172 11. Rotação e Translação de Gráficos Simultânea, 176 12. Modular, 180 12.1 Definição, 180 12.2 Gráfico, 180 13. Equação Modular, 189 13.1 Equação Modulares, 189 14. Função do 1º Grau, 190 15. Função do 1º Grau no Cotidiano, 194 16. Função do 1º Grau: Alternativas de Investimentos, 196 17. Questões de Função do 1º Grau: Gráficos, 197 18. Questões: Inequações do 1º Grau, 199 19. Função do 2º Grau, 200 19.1 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática, 200 18.2 Condição de Existência das Raízes, 201 19.3 Função do 2º Grau: Vértice da Parábola, 203 20. Função do 2º Grau: Crescimento e Decrescimento, 205 21. Função do 2º Grau: Questões, 207 22. Função do 2º Grau: Questões e Inequações, 209 Capítulo 7 — Equação Exponencial, 214 1. Método, 214 2. Exponencial: Inequações e Gráficos, 216 2.1 Função Exponencial, 217 Capítulo 8 — Logaritmo, 219 1. Definição e Conceito, 219 1.1 Logaritmo, 219 2. Consequências da Definição e Propriedades, 221 3. Logaritmo Decimal e Neperiano, 223 4. Logaritmo: Aplicações do Dia a Dia, 225 4.1 Função Logarítmica, 225

Capítulo 9 — Sequências, 229 1. Definição e Construção, 229 2. Progressão Aritmética, 231 2.1 Progressão Aritmética (PA), 231 2.2 Fórmula do Termo Geral de uma PA, 231 2.3 Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos de uma PA, 232 3. Progressão Geométrica, 234 3.1 Definição, 234 3.2 Fórmula do Termo Geral, 234 3.3 Representações Especiais, 235 3.4 Fórmulas da Soma dos N Termos de uma PG Finita, 235 3.5 Soma dos Termos de uma Pg Infinita, 235 Capítulo 10 — Estatística, 238 1. Definição e Conceito, 238 1.1 População, 238 1.2 Experimento Aleatório, 239 1.3 Dados Qualitativos, 239 1.4 Dados Quantitativos, 239 1.5 Recenseamento, 240 1.6 Método Estatístico, 240 1.7 Método Experimental, 240 1.8 Método Estatístico, 240 1.9 Variável, 240 1.10 Variável Discreta ou Descontínua, 241 1.11 Variável Contínua, 241 2. Frequências Relativa e Absoluta, 241 2.1 Amostragem Métodos Probabilísticos, 242 2.2 Amostragem Casual ou Aleatória Simples, 242 2.3 Amostragem Proporcional Estratificada, 243 2.4 Amostragem Sistemática, 243 2.5 Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos), 243 3. Tabelas, 244 3.1 Tabela, 244 3.2 Série Estatística, 244 3.3 Séries Homógradas, 244 3.4 Séries Conjugadas, 245 3.5 Título, 245 3.6 Corpo, 245 3.7 Cabeçalho, 245

3.8 Elementos que Completam a Tabela, 245 4. Gráficos, 247 4.1 Gráficos Estatísticos, 247 4.2 Gráficos de Informação, 248 4.3 Gráficos de Análise, 248 4.4 Classificação dos Gráficos, 248 5. Diagramas, 248 5.1 Gráficos em Barras Horizontais, 248 5.2 Gráficos em Barras Verticais (Colunas), 248 5.3 Gráficos em Barras Compostas, 249 5.4 Gráficos em Colunas Superpostas, 249 5.5 Gráficos em Linhas ou Lineares, 250 5.6 Gráficos em Setores, 251 5.7 Estereogramas, 251 5.8 Pictogramas, 252 5.9 Cartogramas, 252 6. Distribuição de Frequências, 255 7. Médias, 257 7.1 Média Aritmética, 257 8. Medianas e Separatrizes, 258 8.1 Mediana, 258 8.2 Propriedades da Mediana, 259 9. Desvios Médios, Variância e Padrão, 261 10. Fatorial, 263 11. PFC: Introdução, 265 12. PFC: Problema do Salgado, 266 13. PFC: Método, 267 14. Tabuleiro de Xadrez, 269 15. Uso do E e do OU, 270 16. Anagramas, 272 17. Anagramas: Exercício do Cinema, 273 18. Anagramas com Repetição, 274 19. Combinação e Pascal, 275 20. Comissões, 279 21. Outro Enfoque: Problema das Lâmpadas, 280 22. Agrupamento de Pessoas, 281 23. Exercício da Lanchonete, 286 Capítulo 11 — Propabilidades, 289 1. Definição, 289

2. Probabilidade de um Evento Qualquer: Problema da Moeda, 291 3. Eventos Complementares e Exclusivos, 293 4. Probabilidade Equiprovável, 293 5. Exercício de Conjunto, 294 6. Probabilidade Condicional, 295 7. Eventos Independentes, 296 8. Lei de Murphy, 297 9. Probabilidade de não Ocorrer um Evento, 298 10. Distribuição Binomial, 300 11. Exercício da CESGRANRIO-ESAF, 301 12. Propriedades da Condicional, 303 13. Teorema de Bayes, 304 14. Questões, 306 15. Problema do Filme Quebrando a Banca, 307

Capítulo 1

Conjuntos

1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais; Símbolo de Pertinência e Inclusão Resumo: Daremos início ao estudo de Raciocínio Lógico.

A ideia de conjunto e seus subconjuntos devem estar diretamente relacionados com a lógica e toda sua simbologia: Simbologia: ∈ → pertence ∉ → não pertence ⊂ → está contido ⊄ → não está contido ⊂ → contém ⊃ → não contém

12 ∪ → união (ou) ∩ → interseção (e)  — → diferença (exceto) Dica: A ou B é o mesmo que A ∪ B A e B é o mesmo que A ∩ B Exceto B é o mesmo que A – B ; Não B...Jamais B. Subconjuntos ou Partes de um Conjunto A B

Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que B ⊂ A (B está contido em A) ou que A ⊃ B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto. Ex.: A = {1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja, P(A) = {∅, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

2. Subconjuntos / Triângulo de Pascal Na última unidade de estudos vimos que: Número de Subconjuntos é dado por 2 , onde n é número de elementos do conjunto. n

Matemática

Resumo: Questão de subconjuntos e construção do Triângulo de Pascal.

Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3 elementos desse conjunto, quantos subconjuntos terá o novo conjunto? Resolução: 512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29, ou seja, o novo conjunto tem n = 9, mais 03 elementos teremos 12 elementos. Então o primeiro conjunto ficará com 212 = 4.096 subconjuntos.

13 O Triângulo de Pascal assim como o conhecemos, na verdade não foi descoberto por Pascal, ou por Tartaglia, como é conhecido na Itália; na verdade o cálculo de combinações e arranjos, data 200 a.C. com Pingala, na Índia. Na China, 1700 antes de Pascal, mas em 1.654 um famoso jogador denominado “O Cavaleiro de Méré” escreveu uma carta ao famoso matemático Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos como jogos de dados e probabilidades. Triângulo de Pascal N=0

1

N=1

1

1

N=2

1

→2↓

1

N=3

1

3

→3↓

1

N=4

1

4

6

→4↓

1

N=5

1

5

10

10

→5↓

1

N=6

1

6

15

20

15

→6↓

1

N=7

1

7

21

35

35

21

→7↓

1

N=8

1

8

28

56

70

56

28

9

1

P=0

P=1

P=2

P=3

P=4

P=5

P=6

P=7

P=8

3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades / Descobertas Curiosidade: Cor da pele humana No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b). Se acontecer um cruzamento entre di-híbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência? Usando a Genética: (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?).

1. Toda linha começa e termina com o número 1. 2. Relação de Stifel: Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima. 3. Simetria: O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura.

Matemática

3.1 Apresentação: Propriedades do Triângulo de Pascal

14 4. A soma das linhas é sempre 2n, onde n é o número da linha. 5. Os números naturais aparecem na segunda diagonal. Aplicação matemática do Triângulo de Pascal 1. (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b² (n = 2) 2. (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ (n = 3) 3. (a+b)4 = 1a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1b4 (n = 4) Método »» em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a ⋅ b ; »» a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”; »» a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio; »» o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero; »» o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio; »» a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio. »» em todos os termos aparece o produto a ⋅ b (lembre-se que a0 = b0 = 1, a1 = a, b1 = b) »» expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente) »» expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente) »» soma dos expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do binômio) »» a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1) Qual é o desenvolvimento do binômio (a + b)6

4. Triângulo de Pascal: Problemas de Combinatória

Matemática

O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta nos problemas de análise combinatória, onde teremos a linha representando os elementos disponíveis e a coluna representando os elementos “pedidos”.

15

Exercícios 1.



(ESAF) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é: a. 35. b. 45. c. 210. d. 73. Resposta: N = 7 e P = 3 → 35 (Vide triângulo).

(UNB/Téc. Ad./ANCINE/2006) Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem. Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de animação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação. Resposta: Comédia: N = 05 e P = 02 → 10 Animação: N = 06 e P = 02 → 15 10 ⋅ 15 = 150. O item está correto. 3. (CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas. Resposta: 3 em 7 (N = 07 e P = 03) = 35 2 em 4 (N = 04 e P = 02) = 6 2 em 2 (N = 02 e P = 02) = 1 35 ⋅ 6 ⋅ 1 = 210. 4.

(TRT/9ª) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.

5.

(FUNIVERSA — 2010 — CEB — Advogado) A cela da delegacia D1 tem capacidade para abrigar, em caráter provisório, 6 detentos. Na noite em que

Matemática

2.

16 foram capturados 4 homens e 5 mulheres, 3 dessas pessoas tiveram que ser transportadas para a cela de outra delegacia. De quantas maneiras distintas puderam ser selecionados os 6 que ficariam na se, de acordo com as normas dessa delegacia, o número de homens não pode exceder o número de mulheres naquela cela? a. 44 b. 54 c. 64 d. 74 e. 84 6.

Se M = {1, 2, 3, … 7}; o número de subconjuntos de M, com 3 elementos, é igual a: a. 6. b. 21. c. 35. d. 49. e. 210.

7.

Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

5. Números Triangulares Estudaremos os Números Triangulares.

Números Triangulares, também chamados de números figurados, é um número que pode ser representado na forma de um triângulo equilátero. Tais números são calculados através de duas fórmulas:

Matemática

T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n que é o mesmo que: Tn = [n(n + 1)]/2 Ou como no teorema: O quadrado de todo número inteiro maior que um é a soma de dois números triangulares consecutivos.

17 T(1) = 1 T(n + 1) = T(n) + (n + 1)

01) (FCC) Um número que pode ser representado pelo padrão abaixo é chamado número triangular. T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

... T4 = 10







A soma dos oito primeiros números triangulares é a. 110. b. 120. c. 140. d. 130. e. 150. Resposta: 120 ⋅ 1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 + 6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36 ⋅ 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120. 02) (FUNDEP) “No meio do caminho tinha uma pedra tinha uma pedra no meio do caminho.” Carlos Drummond de Andrade Suponha que Ronando passa por esse caminho todo dia. Suponha, ainda, que, no caminho de Ronando, uma nova pedra se soma às anteriores, a cada dia. Assim sendo, é correto afirmar que, no final de 100 dias, Ronando terá tido em seu caminho a. 100 pedras. b. 5.050 pedras. c. 6.250 pedras. d. 8.850 pedras. Comentário: Fórmula: = (100 ⋅ 101) ÷ 2 = 5050. Matemática



18

6. Números Figurados, Sequência de Fibonacci e suas Aplicações Os números tetraédricos são no fundo o número de pontos com que se pode definir um tetraedro. 1

Tn =

6

n(n + 1)(n + 2) 1 1

1

4

1 5

1 6

1

9

1 1

1

5 6

15 20 15 21

1 7

36

84 126 126 84 36

1 1

8 9

1 1

01) (FCC) Números figurados são assim chamados por estarem associados a padrões geométricos. Veja dois exemplos de números figurados. Número triangulares

1

3

6

10

Número quadrados

1

Matemática

1

45 210 252 210 210 120 45 10

11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

1



10

10 10

28 56 70 56 28

8

1

1

4

6

21 35 35

7

1

1

3

3

1

1

2

1

4

6

16

19

A tabela abaixo traz algumas sequências de números figurados. Números triangularest

1

3

6

10

?

Números quadrados

1

4

9

16

?

Número pentagonais

1

5

12

22t

?

Número hexagonais

1

6

15

28

?

Observando os padrões, os elementos da quinta coluna, respeitando a ordem da tabela, devem ser a. 20, 30, 40, 50. b. 18, 28, 45, 50. c. 16, 36, 46, 56. d. 15, 25, 40, 50. e. 15, 25, 35, 45.

7. Fibonacci Muitos estudantes de matemática, ciências ou artes ouviram falar de Fibonacci somente por causa do seguinte problema do Liber Abaci: um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir do segundo mês? Logo a sequência fica: 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... “As somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci”. Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal: 1

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

1

4

1

1

5

10 10

5

1

1

6

15 20 15

6

3

5

8

13

1 Matemática

2

20 Se dividirmos cada termo desta sequência, a partir do 21, pelo seu precedente obteremos aproximadamente o número 1,618, o “número de ouro” dos gregos: 21 ÷ 13 = 1,61538; 34 ÷ 21 = 1,61904; 55 ÷ 34 = 1,61764; 89 ÷ 55 = 1,61818 Razão Áurea pode ser escrita como: 1

∅=1+

=

1

1+

1+ 5 2

= 1,6180339887...

1

1+ 1+

1 1 + ...

Matemática

Existem várias aplicações da sucessão de Fibonacci, ou mesmo da razão áurea, tais como O Nautilus, a razão entre as diversas configurações de uma borboleta, a razão entre os ossos de cada membro do nosso corpo, as simetrias dos animais e plantas, a simetria do nosso rosto, em odontologia a Peri ontologia é baseada na razão áurea, movimentos de frequência na física etc.

21

8. Diagramas de Venn Interseção: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes formam a interseção destes conjuntos. A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} Exemplos:

Propriedades

B

A

A

A

B

B 1) A ∩ A = A 2) A ∩ ∅ = ∅ 3) A ∩ B = B ∩ A

A∩B=B

A∩B

A∩B=∅

União: Dados dois conjuntos quaisquer, a união destes conjuntos é agrupar em um só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B} Exemplos:

Propriedades

B

A

A

A

B

B 1) A ∪ A = A 2) A ∪ ∅ = A 3) A ∪ B = B ∪ A

A∪B=A

A∪B

A∪B

Diferença: Dados dois conjuntos quaisquer, a diferença entre eles é tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. A–B={x/x∈Aex∈B} Exemplos:

Observação

B

A

A

A

B

B

B⊂A então (A – B) é o conjunto complementar de B em relação a A. B

A-B

A-B

Matemática

A-B

CA = A – B com B⊂A

22

Exercícios 8.

(FCC — 2010 — SJCDH — BA — Agente Penitenciário) Em relação às pessoas presentes em uma festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual temos: P M

C



P: conjunto das pessoas presentes nessa festa; M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo masculino; C: conjunto das crianças presentes nessa festa. Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na festa que são do sexo feminino está representado em cinza. a. P M

d. P M

C C

b.

P M

e.

P M

C C

c.

P M

Matemática

C



Resposta: A.

23 9.

(FCC — 2010 — BAHIAGÁS — Téc. Processos Organizacionais — Adm) Admita as frases seguintes como verdadeiras. I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas também são tenistas (T). II. Alguns tenistas e futebolistas também jogam vôlei (V). III. Nenhum jogador de vôlei surfa. IV. A representação que admite a veracidade das frases é:

T

a. S

V

T

d.

S F V F T

b. S

F

e. S

V V

T

F

c.

S

T

F V

Resposta: A.

10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos? Resposta: 40%.

Matemática



24 11. (UPENET — 2010 — SERES — PE — Agente Penitenciário) Uma pesquisa de opinião envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) determinou que 57% das pessoas eram favoráveis ao candidato A e que 61% eram favoráveis ao candidato B. Sabendo-se que 23% eram favoráveis tanto ao candidato A quanto ao B, é correto afirmar que: a. a pesquisa não é válida, pois o total das preferências, considerando o candidato A e o candidato B, é de 118%, o que não é, logicamente, possível. b. exatamente 5% das pessoas entrevistadas não são favoráveis a nenhum dos dois candidatos. c. exatamente 4% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato A, mas não, ao candidato B. d. exatamente 4% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato B, mas não, ao candidato A. e. exatamente 38% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato A e indiferentes ao candidato B. Resposta: B.

9. Dica de Resolução

Matemática

Para resolvermos as questões de conjunto devemos antes demais nada ler atentamente o enunciado e iniciarmos a solução pelas interseções, para depois computarmos os outros dados do problema. Veja a questão e acompanhe a solução: 01) Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanças, 320 estudam Lógica e 110 deles estudam as duas matérias (Finanças e Lógica). Pergunta-se: a. quantos alunos estudam apenas Finanças? b. quantos alunos estudam apenas Lógica? c. quantos alunos estudam Finanças ou Lógica? d. quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas? Respostas: 340 estudam apenas Finanças 210 estudam apenas Lógica 660 (340 + 210 + 110) estudam Finanças ou Lógica 210 não estudam nem Finanças e nem Lógica, pois estão fora dos diagramas.

25



02) (FUNDEP) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: 210 pessoas compram o produto A 210 pessoas compram o produto B 250 pessoas compram o produto C 20 pessoas compram os 3 produtos 100 pessoas não compram nenhum dos 3 60 pessoas compram os produtos A e B 70 pessoas compram os produtos A e C 50 pessoas compram os produtos B e C Quantas pessoas foram entrevistadas? a. 670. b. 970. c. 870. d. 610. Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn: A

B 40

100 50

20

120 30

150 C

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados (letra d). E se perguntássemos o seguinte: Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja:

P1 =

370 610

=

37 61

Matemática

a. Consumidora de apenas um dos produtos?

26 b. Consumidora de no mínimo 02 produtos?

P2 =

140 610

=

14 61

10. Problema da Pizza Neste bloco trabalharemos com a primeira lei da lógica que é a Lei da Exclusão, ou seja, só existem dois valores: certo ou errado; gosto ou não gosto; verdade ou mentira etc. Na questão a seguir podemos resolvê-la usando esta ideia:

01) (FUNDEP) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: »» 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; »» 78% do total de entrevistados gostam de pizza; »» 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.



Então, é correto afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de a. 25%. b. 30%. c. 35%. d. 40%.

Solução: Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja passam 135% de um todo (100%) que é o equivalente às interseções de choc. com pizza e com batata (a flor do centro); porém ao somarmos dois a dois como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento, teremos: 82 + 75 = 157%, passou 57% 82 + 78 = 160%, passou 60% 75 + 78 = 153%, passou 53%

Matemática





Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como achamos acima, logo 35% “estão repetidos”, ou seja, consomem os três alimentos, no mínimo. Ou ainda usando a lei da exclusão, acompanhe a explicação.

27

Exercício 12. (DESAFIO) Uma pesquisa foi feita no melhor curso do Brasil, IOB, contando-se 1000 alunos, 800 dos quais são mulheres, 850 prestarão prova em Campinas, 750 usarão caneta azul e 700 levarão garrafinha de água. Qual o número mínimo de alunos que apresentam, ao mesmo tempo, todas as características citadas? a. 50. b. 100. c. 150. d. 200.

11. Férias em Cabo Friu

01) Questão das Férias do Prof. Délio em Cabo Frio No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na praia. Houve sol pela manhã em 7 dias e sol à tarde em 12 dias. Em 11 dias houve chuva e se chovia pela manhã, não chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia? a. 11. b. 12. c. 13. d. 14. e. 15.



Ma7ˆ : Esta dica serve apenas para este estilo de problema: É só somarmos tudo e o resultado dividirmos por 2:



7 + 12 + 11 = 30 →

30 ÷ 2 = 15 dias

Neste bloco vamos resolver questões importantes de conjuntos que utilizam álgebra linear na solução, ou seja, o problema requer um pré-requisito de álgebra para a solução. Na resolução de problemas deste tipo devemos utilizar apenas operações aritméticas simples, para não alterar a dimensão do problema, ou seja, apenas

Matemática

12. Questões Envolvendo Sistemas Lineares

28 operações lineares, como soma, subtração e multiplicação por uma constante, não alterando assim a grandeza em questão. Veja a solução da questão abaixo:

01) (Valéria Lanna) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam, pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: »» das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais; »» das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais; »» das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais; »» oito pessoas frequentam as três livrarias. a. Determine o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias. b. Determine o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas livrarias. c. Determine o número total de pessoas ouvidas.

Solução:

A

B x

28

26

8 y

z C

24

De acordo com diagrama acima teremos:

28 + 8 + x + y = 90  26 + 8 + x + z = 84 24 + 8 + y + z = 86

Matemática



efetuando as operações teremos

se somarmos todas as 03 equações teremos: 2x + 2y + 2z = 158

54 + z = 79  x + y + z = 79 50 + y = 79 54 + x = 79

R1) 28 + 26 + 24 = 78 pessoas

logo

z = 25  y = 29 x = 25

x + y = 54  x + z = 50 y + z = 54

29 R2) x + y + z + 8 = 79 + 8 = 87 pessoas R3) 78 + 87 = 165 pessoas Resp.: a) 78. b) 87. c) 165. Na compra de equipamentos para um grupo de técnicos, foram gastos R$ 1.040,00 em 4 arquivos, 3 cavaletes e 2 walkie talkie; logo depois foram gastos R$ 1.000,00 na compra de 2 arquivos, 3 cavaletes e 4 walkie talkie. Para adquirir um objeto de cada, ou seja, uma arquivo, um cavalete e um walkie talkie serão necessários: a. R$ 324,00. b. R$ 360,00. c. R$ 280,00. d. R$ 340,00. e. R$ 420,00. Resposta: D.



01) (ESAF/Tec.M.Faz/2009) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a. 40%. b. 33%. c. 57%. d. 50%. e. 25%.



02) Na sequência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são múltiplos de 3 e nem de 4 ? a. 50. b. 48. c. 46. d. 44. e. 42.

Matemática

13. Questões

30 Solução: Múltiplos de 3 de 1 até 100, é só dividir por 3 → 100 ÷ 3 = 33 e resto 1 Múltiplos de 4 de 1 até 100, é só dividir por 4 → 100 ÷ 4 = 25 Múltiplos de 12 de 1 até 100, é só dividir por 12 → 100 ÷ 12 = 8 e resto 4 O resto não é importante, mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo: M(3)

33 – 8 = 28



M(4)

8

25 – 8 = 28

Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 2 e nem de 4, ok!

03) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. a. Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b. Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c. Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? Respostas a) 36 b) 59 c) 20

14. Questão do Delegado Federal

Matemática



01) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de vírus — A, B e C. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgue os itens abaixo. I. O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas.

31 II. O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230. III. 345 moradores apresentaram somente um dos vírus. IV. Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus. V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas. Solução:

A

40 + x

B

80 – x

80 + x

x 90 – x

70 – x



40 + x + 80 – x + 80 + x + x + 70 – x + 90 – x + y + 5 = 500 365 + y = 500 y = 135 C = 2 de apenas B 90 – x + x + 70 – x + y = 2(80 + x) 160 – x + 135 = 160 + 2x 135 = 3x x = 45



02) (UnB/Téc./STF/2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram

Matemática

I) 45/500 = 9%( item certo) II) C = 90 – x + x + 70 – x + y = 90 + 70 – 45 + 135 = 250 (item errado) III) 40 + x + 80 + x + y = 120 + 45 + 45 + 135 = 345 (item correto) IV) 80 – x + 90 – x + 70 – x + x = 240 – 90 = 150 (item correto) V) B e C = 70; restante = 430 Logo: 430/500 > 16% (item errado)

32 professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. a. (  ) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. b. (  ) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários. Solução:

Doutores

Mestres

10 10 15

20

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. ( ) (UnB/Téc./STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. Certo = 15 + 10 + 20 = 45 ( ) (UnB/Téc./STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários. Certo = 5

15. Princípio das Gavetas de Dirichlet

Matemática

Exemplo 1

Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês?



Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês. O argumento empregado acima é conhecido como

33 Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas dos Pombos. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte:

Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. (Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva).

Exemplo 2

Uma prova de concurso possui 10 questões de múltipla escolha, com cinco alternativas cada. Qual é o menor número de candidatos para o qual podemos garantir que pelo menos dois deles deram exatamente as mesmas respostas para todas as questões?



Solução: Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida de 5 modos, a prova pode ser preenchida de 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ … 5 = 510 = 9 765 625 modos. Logo, só se pode ter a certeza de que dois candidatos fornecem exatamente as mesmas respostas se houver pelo menos 9 765 626 candidatos.

Exemplo 3 Ricardo Erse veste-se apressadamente para um encontro muito importante. Pouco antes de pegar as meias na gaveta, falta luz. Ele calcula que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas misturadas ele resolve pegar certo número de meias no escuro e, chegando ao carro, escolher duas que tenham cor igual para calçar. Qual é o menor número de meias que Ricardo Erse poderá pegar para ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor? a. 12. b. 10. c. 8. d. 6. e. 5. Matemática



34

Exercícios 13.

(PROMINP 08) O enunciado abaixo refere-se às duas questões. Em uma urna, há 18 esferas: 5 azuis, 6 brancas e 7 amarelas. Não é possível saber a cor de uma esfera sem que ela seja retirada. Também não é possível distingui-las a não ser pela cor. N esferas serão retiradas simultaneamente dessa urna. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá 2 da mesma cor? a. 2 b. 3 c. 4 d. 7 e. 8 Resposta: C.

Matemática

Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá 2 com cores diferentes? a. 2. b. 3. c. 4. d. 7. e. 8. Resposta: E.

Capítulo 2

Conjuntos Númericos

1. Conhecimentos Básicos 1.1

Testando seus Conhecimentos

Apenas com seus conhecimentos básicos julgue os itens a seguir, V se verdadeiro ou F, se falso: 1. (

) Se x < y, então x2 < y2. 2

2. ( ) x = x , ∀ x ∈ R 3. ( ) Todo número natural é divisível por ele mesmo. 4. ( ) O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito. 5. (

)

(−3) ⋅ (−27) = (−3) ⋅ (−27) = 81 = 9

6. ( ) Se x2 = 25 ∴ x = ± 5, assim 25 = –5 7. ( ) Se o que já passou são 3/5 do que falta, então agora são 14 horas e 24 min. 8. ( ) Pai e filho moram juntos e trabalham na mesma fábrica. O filho vai de casa à fábrica em 20 minutos, e o pai, em 30 minutos. Então, se o pai sair de casa 5 minutos antes do filho, este levará 10 minutos para alcançar o pai.

36 9. (  ) Número primo é todo número que divide apenas por um e ele mesmo. 10. (  ) Se Amanda recebe 50% a mais que Carla e Beatriz recebe 25% a mais que Carla, então Amanda ganha 20% a mais que Beatriz.

2. Conhecimentos Básicos: Resolução Continuação 11. ( )

(−3) ⋅ (−27) = (−3) ⋅ (−27) = 81 = 9

12. (  )Se x2 = 25 ∴ x = ± 5, assim 25 = –5 13. (  ) Se o que já passou são 3/5 do que falta, então agora são 14 horas e 24 min. 14. (  ) Pai e filho moram juntos e trabalham na mesma fábrica. O filho vai de casa à fábrica em 20 minutos, e o pai, em 30 minutos. Então, se o pai sair de casa 5 minutos antes do filho, este levará 10 minutos para alcançar o pai. 15. (  ) Número primo é todo número que divide apenas por um e ele mesmo. 16. (  ) Se Amanda recebe 50% a mais que Carla e Beatriz recebe 25% a mais que Carla, então Amanda ganha 20% a mais que Beatriz.

3. Números Naturais Números Naturais N= {0, 1, 2, 3, ...} N*= {1, 2, 3, 4, ...}

Matemática

Exercício 14. (FUNDEP) Em relação aos números naturais, a única afirmativa falsa é: a. Todo número divisível pelo produto de dois outros é divisível por qualquer um deles. b. Se um número divide o produto de dois outros, ele divide um deles. c. Um divisor comum de dois números divide a soma deles. d. Se um número divide dois outros, ele divide o máximo divisor comum deles. e. Se um número é múltiplo de dois outros, ele é múltiplo do mínimo múltiplo comum deles. Resposta: B.

37 Para escrevermos um número, usamos o sistema de numeração decimal. Esse sistema utiliza dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Dependendo das posições que ocupam, esses símbolos (algarismos) têm um valor. Ex.: a) 547 = 500 + 40 + 7 b) 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 c) XYZ = 100X + 10Y + 1Z

01) Considere um número de dois algarismos tal que a soma desses algarismos seja 13. Adicionando-se 9 ao número, obteremos outro nº formado com os algarismos dispostos em ordem inversa. O novo número é a. menor que 49. b. maior que 50 e menor que 60. c. maior que 61 e menor que 77. d. maior que 78 e menor que 86.

Solução: Sejam a e b os algarismos das dezenas e das unidades do número 10a + b tais que a + b = 13 (1) O número formado com os mesmos algarismos na ordem inversa é 10b + a. Da hipótese, temos: (10a + b ) + 9 = 10b + a , ou seja, a – b = –1 (2) Das equações (1) e (2), obtemos o sistema:

a − b = −1  a + b = 13

Cuja solução é a = 6 e b = 7 Portanto, o novo número obtido com os algarismos em ordem inversa é 76. Resposta: Alternativa C.

I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1.000

Matemática

Curiosidade: Sistema de Numeração Romana Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números. Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:

38 Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes. I = 1 X = 10 C = 100 M = 1.000

II = 2 XX = 20 CC = 200 MM = 2.000

III = 3 XXX = 30 CCC = 300 MMM = 3.000

Vamos aprender alguns numerais romanos. I=1

XX = 20

CCC = 300 CD = 400

II = 2

XXX = 30

III = 3

XL = 40

D = 500

IV = 4

L = 50

DC = 600

V=5

LX = 60

DCC = 700

VI = 6

LXX = 70

DCCC = 800

VII = 7

LXXX = 80

CM = 900

VIII = 8

XC = 90

M = 1.000

IX = 9

C = 100

MM = 2.000

X = 10

CC = 200

MMM = 3.000

Atenção! Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais. Exemplos: VII = 7 (5 + 2) LX = 60 (50 + 10) CX = 110 (100 + 10) CXXX = 130 (100 + 30)

LXXIII = 73 (50 + 20 + 3) MCC = 1.200 (1.000 + 200)

Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais. Exemplos: IV = 4 (5 – 1) IX = 9 (10 – 1) XL = 40 (50 – 10) XC = 90 (100 – 10) CD = 400 (500 – 100) CM = 900 (1.000 – 100)

Matemática

4. Números Naturais: Contagem de Algarismos Quantas vezes o número 1 aparece ou repete entre 1 e 1111? Antes vamos recordar o QVL ou QI de hoje, vejamos:

39 1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 123 dezenas + 4 unidades = 12 centenas + 34 unidades = 1 milhar + 234 unidades. Quando representamos no QVL, cada vez que contamos 10 unidades, amarramos e ela vai para casa das dezenas; a cada 10 dezenas amarramos e ela vai para casa das centenas e assim por diante. Assim cada vez que amarramos 10 unidades cada algarismo aparece uma única vez por serem unidades; Cada vez que amarramos 10 dezenas, o algarismo em questão aparece 10 vezes por serem dezenas; cada vez que amarramos 10 centenas o algarismo parece 100 vezes por serem centenas e assim por diante... Por exemplo, quantas vezes escrevemos o algarismo 5 quando escrevemos de 1 até 1234? 1234 = são 123 dezenas mais 4 unidades; 1234 = 12 centenas mais 34 unidades; 1234 = 1 milhar mais 234 unidades. Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

0 ⋅ 1000 + 0

1 ⋅ 100 + 0

12 ⋅ 10 + 0

123 ⋅ 1 + 0

0

100

120

123

Total: 100 + 120 + 123 = 343 vezes

Exercícios

Matemática

15. (UFRJ/TEC./MAPA/2005) Sabemos que o número 4 é escrito com um algarismo, o número 27 com dois algarismos e o número 123 com três algarismos. O total de algarismos escritos para enumerar as páginas de um livro com 150 páginas é um número: a. Menor que 300. b. Entre 300 e 349. c. Entre 350 e 399. d. Entre 400 e 449. e. Maior que 450. Resposta: B.

40 16. (TRT) Um técnico responsável pela montagem de um livro observou que na numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas desse livro era a. 137. b. 139. c. 141. d. 143. e. 146. Resposta: D.

5. Números Naturais: Quantas vezes Aparece o Algarismo 1 quando Escrevemos de 1 até 1000? Quantas vezes escrevemos o algarismo 2 quando escrevemos de 1 até 789? Unidades: 78 ⋅ 1 + 1 = 79 Dezenas: 7 ⋅ 10 + 10 = 80 Centenas: 0 ⋅ 100 + 100 = 100 Total: 259 vezes Na unidade de estudo anterior vimos o método da questão: Quantas vezes o número 1 aparece ou repete entre 1 e 1111? 1111 = 111 + 1 1111 = 110 + 2 1111 = 100 + 12 1111 = 112 Total = 448

6. Números Naturais: Operações e Propriedades

Matemática

Exercícios 17. Considere a sequência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior: Comece com um número X, subtraia 2; multiplique por 3/5; some 1; multiplique por 2; subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o número 21. O número x pertence ao conjunto a. {1, 2, 3, 4}. b. {–3, –2, –1, 0}.

41



c. {5, 6, 7, 8}. d. {–7, –6, –5, –4}. Resposta: D.

18. José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar será a. terça-feira. b. quarta-feira. c. quinta-feira. d. sexta-feira. e. sábado. Resposta: B. 19. Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março, de um certo ano, ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi a. quinta-feira. b. terça-feira. c. quarta-feira. d. sexta-feira. Resposta: D. 20. Sejam N um número natural de dois algarismos não nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N? a. 7. b. 4. c. 5. d. 6. Resposta: B.

7. Números Naturais: Quadro Posicional

Como o nome diz, é o sistema de base 10. Utiliza os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Baseia-se na propriedade a seguir: “Se um algarismo está escrito à esquerda de outro, seu valor é 10 vezes mais que esse outro”. Desse modo, no número 352,

Matemática

7.1 Sistema de Numeração Decimal

42 o algarismo 2 vale 2 unidades, pois não está escrito à esquerda de nenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3 vale 300 unidades. Como o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral, dizemos que esse é um sistema posicional.

7.2 Sistemas de Numeração em Outras Bases A base de um sistema de numeração não precisa ser necessariamente 10. O fato de usarmos o sistema decimal é uma “fatalidade” anatômica: temos 10 dedos nas mãos. Mas nada impede de usarmos outras bases. Assim, por exemplo, no sistema binário, ou seja, de base 2, usaríamos apenas os algarismos 0 e 1, e a propriedade: “Se um algarismo está escrito à esquerda de outro, seu valor é 2 vezes mais que esse outro”. Portanto, no sistema binário, no número (111)2, o primeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 ⋅ 2 ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 unidades, representando portanto no sistema decimal o valor 7. De um modo geral, se b é a base do sistema e pqr representa um número desse sistema, temos: (pqr)b = r + q ⋅ b + p ⋅ b2

Exercícios

Matemática

21. Se m é um número de três algarismos e n é obtido de m, permutando-se os algarismos das unidades e das centenas, então m – n é sempre um múltiplo de: a. 2. b. 7. c. 11. d. 13. e. 15. Resposta: C. 22. Um número inteiro, de dois dígitos, é k vezes a soma dos seus dois dígitos. Trocando-se a posição desses dígitos, a soma dos dígitos desse novo número fica multiplicada por a. 9 – k. b. 9 + k. c. 11 + k. d. 11 – k Resposta: D.

43 23. Qual o menor valor do algarismo a para que o número natural seja divisível por 15? a. 0. b. 1. c. 2. d. 3. e. 4. Resposta: A.

8. Números Naturais: Sudoku Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de matemática envolvida. 9

4

1

6

2

5

5 2

4

4 3

1

2 5

6 8

2

4

6

1 8

1

6

7 4

8

8

7

4 3

5

3 9

1

2



9

4

7

1

6

2

3

5

8

6

1

3

8

5

7

9

2

4

8

5

2

4

9

3

1

7

6

1

2

9

3

8

4

5

6

7

5

7

8

9

2

6

4

3

1

3

6

4

7

1

5

2

8

9

2

9

1

6

3

8

7

4

5

7

8

5

2

4

1

6

9

3

4

3

6

5

7

9

8

1

2

Matemática

Cada jogo dura de 10 a 40 minutos, dependendo do nível de dificuldade e da experiência do jogador. Solução:

44

01) (UnB/Escrit./BB-NE/2007) Julgue o item a seguir: O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modo que cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes. 1

3 5 1

5

6

E 6 3 8 2 4 7

5 2

2

4

Resposta: Certo. A B C D 1 3 9 8 2 8 2 1 3 6 7 4 4 3 7 5 5 9 4 6 8 5 3 7 1 2 8 7 9 6 2 9 8

4 2

F

G

9 6 1

4 8 1 2

8 5 3

6 3 9

2 1

4 3



6

H 7

3

I 1 6

2 4

5 9 7

6 8

2

02) (UnB/Analista/SEGER/ES/2006) Um quebra-cabeça que se tornou bastante popular é o chamado SUDOKU. Para preenchê-lo, basta um pouco de raciocínio lógico. Na tabela anterior, que ilustra esse jogo, cada célula é identificada por uma letra, que se refere à coluna, e por um algarismo, que se refere à respectiva linha. Após preencher as células em branco com os algarismos de 1 a 9, de modo que cada algarismo apareça uma única vez em cada linha e em cada coluna, julgue os itens a seguir. (  ) Está correto preencher com o algarismo 4 a célula B6. Desenvolvendo...teremos:

Matemática





A

B

C

D

E

1

3

4

9

8

6

2

5

8

2

1

3

F

G

H

I

2

5

7

1

7

4

9

6

3

6

7

1

4

5

9

8

2

3

4

2

3

7

5

9

6

1

4

8

5

9

6

4

7

8

1

2

3

5

6

8

1

5

3

2

4

7

6

9

7

1

2

3

9

4

8

6

5

7

8

7

9

6

2

1

5

3

8

4

9

4

5

8

6

7

3

9

1

2

Resposta: Errado.

45

03) (UnB/Analista/PRODEST/ES/2006) Os algarismos 5 e 6 são os que preenchem as células B9 e D9, respectivamente. Resposta: Certo.

04) (UnB/Analista/PRODEST/ES/2006) As três células vazias do cruzamento das linhas 1, 2 e 3 com as colunas G, H e I devem ser preenchidas 5, 9 e 3, respectivamente. Resposta: Certo.

9. Números Inteiros: Introdução Números Inteiros (Z) Z = {..., –3, –2 , –1, 0, 1, 2, 3, ...} Z* = {..., –3 , –2, –1, 1, 2, 3, ...} Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} → Inteiros não negativos Z- = {..., –3, –2, –1, 0} → Inteiros não positivos Z*+ = {1, 2, 3, ...} → Inteiros positivos Z*- = {..., –3, –2, –1 } → Inteiros negativos Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. 01. Se a,b ∈ Z*, então certamente serão números inteiros: a) a + b, a – b, a/b b) a + b, a/b, ab c) ab, ab, a + b d) a + b, ab e) a + b, a – b, ab

9.1 Adição

a+b=b+a

Matemática

Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total. 1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição:

46 O zero é elemento neutro da adição: 0+a=a+0=a

9.2 Subtração O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença. Minuendo – subtraendo = resto ou diferença A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a–b≠b–a Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k. Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k. A subtração é a operação inversa da adição: M–S=R  R+S=M A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. M+S+R=2⋅M

9.3 Valor Absoluto O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Matemática

Atenção: 1. O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância. 2. A representação do valor absoluto de um número n é |n|. (Lê-se “valor absoluto de n” ou ”módulo de n”).

Definição

47 Chamamos de módulo o número:  x, se x ≥ 0 |x| =  – x, se x < 0 

Exercício 24. O valor de 2 − 5 + 3 − 5 é:



a. 5 – 2 5 b. 5 + 2 5 c. 5 d. 1 Resposta: D.

10. Números Inteiros: Operações 10.1 Números Simétricos Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a+b=0 Exemplos: –3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (–3) + (3) = 0. 4 e –4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (–4) = 0. O oposto de 5 é –5. O simétrico de 6 é –6. O oposto de zero é o próprio zero. Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo. Exemplo: |–3| = 3 e |3| = 3

Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão

Matemática

10.2 Operações com Números Inteiros (Z)

48 bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.

10.3 Adições e Subtrações com Números Inteiros Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes: Exemplo 1: Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4 Solução: Faremos duas somas separadas uma só com os números positivos: 15 + 4 = + 29 Outra só com os números negativos: (–7) + (–9) + (–3) = –19 Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados. + 29 – 19 = + 10

Atenção: É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!

Exemplo 2: Calcular o valor da seguinte expressão: – 10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2 1º passo: Achar os totais (+) e (–): (+): + 4 +3 = +7 (–): –10 – 7 – 8 – 2 = – 27

Matemática

2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo: – 27 + 7 = – 20

49

01) (CESGRANRIO) a1 = 2   a2 = 3  an = an−1 − an−2



Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima? a. 2 b. 1 c. –1 d. –2 e. –3

10.4 Multiplicação Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é denominado produto. 1º fator ⋅ 2º fator = produto O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador. A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a⋅b=b⋅a O número 1 é elemento neutro da multiplicação: 1⋅a=a⋅1=a Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a ⋅ b = c  (a + k) ⋅ b = c + (k ⋅ b) Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k. a ⋅ b = c  (a ⋅ k) ⋅ b = k ⋅ c

a ⋅ (b ± c) = (a ⋅ b) ± (a ⋅ c)

Matemática

Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer:

50

10.5 Divisão Inteira Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que: Q ⋅ D + R = N e 0 ≤ R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D) A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo). Exemplos: Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4. 8 ⋅ 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < | 7 | Na divisão inteira de – 60 por 7 o dividendo é – 60, o divisor é 7, o quociente é – 9 e o resto é 3. – 9 ⋅ 7 + 3 = – 60 e 0 ≤ 3 < | 7 | Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q ⋅ D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q; Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N. O zero é divisível por qualquer número não nulo: D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0; Todo número inteiro é divisível por 1: ∀N, N ÷1 = N; Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q) não será alterado, mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R x k < D, ou será igual ao resto da divisão de R x k por D, se R x k ≤ D.

Exercício

Matemática

25.

Sejam x e y dois números inteiros positivos. Dividindo-se x por y, o quociente é 5 e o resto o maior possível. Dividindo-se x pelo dobro de y, o quociente é 2 e o resto 45. O valor de x + y é: a. 160. b. 170.

51



c. 172. d. 178. e. 179. Resposta: A.

10.6 Exercícios Resolvidos 01) Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total? Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t+8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: t+8–5=t+3 Portanto, o total ficará acrescido de 3 unidades. 02) Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo? Solução: Sejam m o minuendo, o s o subtraendo e o r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que: m–s=r→s+r=m (a soma de s com r nos dá m) Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever: m + (s + r) = m + m = 2m O total será sempre o dobro do minuendo. Deste modo, temos: m + s + r = 264 2m = 264 m = 264 ÷ 2 = 132 Resp.: O minuendo será 132. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo? Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos.

Matemática



52

n = (quociente) ⋅ (divisor) + (resto) n = 5 ⋅ 12 + 11 n = 60 + 11 n = 71 O dividendo procurado é 71.

11. Múltiplo e Divisor de um Número 11.1 Múltiplo de um Número Múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um inteiro qualquer. Todo número inteiro não nulo tem infinitos múltiplos. Assim, sendo n um número inteiro positivo qualquer, podemos indicar o conjunto dos múltiplos de m por: M(n) = {0, ±1n, ±2n, ±3n, ±4n, ±5n, ±6n, ±7n, ±8n, ...} Qualquer número inteiro é um múltiplo de 1: M(n) = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ...} Somente o próprio zero é múltiplo de zero: M(0) = {0} O zero é múltiplo de todos os números inteiros (zero é o múltiplo universal).

11.2 Divisor de um Número Divisor de um número inteiro a é qualquer inteiro d tal que a = d ⋅ n para algum inteiro n. Deste modo, podemos indicar o conjunto dos divisores de um inteiro a por:

Matemática

D(a) = {d ∈ Z / ∃ n ∈ Z, d x n = a} Quando d é um divisor de n diz-se que n é divisível por d. O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer é 1. O maior divisor de um inteiro n qualquer é |n|. O número 1 é divisor de todos os números inteiros (1 é o divisor universal). O zero não pode ser divisor de qualquer número inteiro.

53 Obs: Número de Divisores O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números naturais que são divisores de x. Exemplo: o conjunto dos divisores de 36. D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número: (vamos utilizar o 36 como exemplo). 1º) fatoramos o número 36 18 9 3

2 2 3 3 1

2º) colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos. 1 36 2 18 2 9 3 3 3 1 3º) na linha de cada fator primo vamos colocando os produtos dele pelos números já colocados nas linhas de cima. 36 18 9 3 1

1 2 2 2 4 3 3 3 9, 6, 12, 18, 36

D(36) = {1, 2 , 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Matemática

Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nD(x) (vamos utilizar o 36 como exemplo).

54 1º) fatorar o número 36 19 9 3 1

2 2 3 3 2 2 ⋅ 32

36 = 22 . 32

2º) a cada expoente acrescentamos uma unidade e a seguir efetuamos o produto, resultando assim o número de divisores naturais do número 36 = 22 ⋅ 32 ( 2 + 1 ) ⋅ ( 2 + 1 ) = 3 ⋅ 3 = 9 então 36 possui 9 divisores naturais OBS: De um modo geral, o número de divisores naturais do número natural x = an ⋅ bm ⋅ cp ⋅ ... nD(x) = (n + 1) ⋅ (m + 1) ⋅ (p + 1) ⋅ ...

Exercício

Matemática

26. (TRE/Cargo: Técnico Judiciário — Administrativa) Considere que A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {(x, y) ∈ A ⋅ A ÷ 2|(x – y)}, ou seja, B é o subconjunto de pares ordenados (x, y) ∈ A ⋅ A tais que x – y seja múltiplo de 2. Nessa situação, a quantidade de elementos do conjunto B é igual a a. 0. b. 2. c. 5. d. 13. e. 25. Resposta: D.

55

12. Divisibilidade 12.1 Critérios de Divisibilidade Um critério de divisibilidade é uma regra que permite decidir se uma divisão é exata ou não, sem que seja preciso executar a divisão. Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 sempre que o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8. Assim, 91.956 é divisível por 2, pois seu algarismo das unidades é 6. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 sempre que o algarismo das unidades for 0 ou 5. Então 74.380 é divisível por 5, pois seu algarismo das unidades é zero. Divisibilidade por 10, 100, 1000 etc. Um número é divisível por 10, 100, 1.000 etc, quando termina, respectivamente, com 1, 2, 3 etc zeros à direita. Então 1.900, 14.000, e 780 são divisíveis, respectivamente, por 100, por 1.000 e por 10. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Deste modo, 7.996, que termina em 96, é divisível por 4, pois o próprio 96 é divisível por 4. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formarem um número divisível por 8. Assim, 158.960 é divisível por 8 porque os seus três últimos algarismos formam o número 960 que é divisível por 8.

Matemática

Divisibilidade por 25 Um número é divisível por 25 quando os seus dois últimos algarismos formam 25, 50, 75 ou 00. Portanto, os números 17.475, 854.325, 79.000 e 123.450 são todos divisíveis por 25.

56

12.2 Divisibilidade e Aplicações Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é divisível por 3. O número 74.022 é divisível por 3, pois 7 + 4 + 0 + 2 = 15, que é divisível por 3. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos do número é divisível por 9. O número 8.514 é divisível por 9, pois 8 + 5 + 1 + 4 = 18, que é divisível por 9. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e também por 3. O número 317.100 é divisível por 2 porque é par e também é divisível por 3, pois 3 + 1 + 7 + 1 + 0 + 0 = 12. Logo, o número 317.100 é divisível por 6. Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e também por 4. O número 231.456, por exemplo, é divisível por 3, pois 2 + 3 + 1 + 4 + 5 + 6 = 21 e também é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam o número 56, que é divisível por 4. Logo, 231.456 é divisível por 12. Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7. Assim, em 819 temos 81 dezenas e 9 unidades. Como 81 – (9 ⋅ 2)m = 81 – 18 = 63 é divisível por 7, então o número 819 também é divisível por 7.

Matemática

Exercício 27. (BACEN/2010) Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o seguinte procedimento: Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 7, mesmo que seja zero. Veja os exemplos a seguir:

57 2

3

– 2

3

2

1

4

3

1

7 (7 ⋅ 2 = 14) (1 ⋅ 2 = 2)

3

1

2

(1 ⋅ 2 = 2)

2

1

(que é múltiplo de 7)

2

5

9

1

2

2

4

7

– 1

4

(7 ⋅ 2 = 14)

1

0

(que não é múltiplo de 7)

–

–



5

2

–



4

6 (6 ⋅ 2 = 12)

Seja a um algarismo no número 13.477.307. O valor de a para que este número seja divisível por 7 é a. 1. b. 3. c. 5. d. 7. e. 9. Resposta: C.

Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par é um múltiplo de 11. No número 23.859, os algarismos de ordem ímpar, a partir das unidades, são 9, 8 e 2, cuja soma resulta 9 + 8 + 2 = 19. Os algarismos de ordem par são 5 e 3, cuja soma nos dá 5 + 3 = 8. Como a diferença entre estas duas somas é 19 – 8 = 11, o número 23.859 será divisível por 11.

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12.3 Divisibilidade por 11 e por 13

58

Exercício 28. (CESGRANRIO/CEF) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? a. 90. b. 142. c. 220. d. 229. e. 232. Resposta: C. Divisibilidade por 13 Um número é divisível por 13 quando a soma das suas dezenas com o quádruplo do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 13. O número 351 é divisível por 13, pois 35 + (1 ⋅ 4) = 35 + 4 = 39, que é divisível por 13. Regra Geral de Divisibilidade Sejam a e b dois números, decompostos em seus fatores primos. O número a será divisível por b se ele contiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais. Exemplo: a) O número 23 ⋅ 32 ⋅ 7 é divisível por 3 ⋅ 7. b) O número 34 ⋅ 52 ⋅ 7 é divisível por 32 ⋅ 52 c) O número 25 ⋅ 32 ⋅ 5 não é divisível por 23 ⋅ 35. d) O número 32 ⋅ 5 ⋅ 73 não é divisível por 2 ⋅ 3 ⋅ 72.

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12.4 Divisibilidade: Questões de Prova 29. Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por a. 2. b. 3. c. 5. d. 7. e. 11. Resposta: E.

59 30. Seja n = 235ab um número natural, cujos 5 algarismos são 2, 3, 5, a e b. Sabe-se que n é ímpar e que n é divisível por 5 e por 9. A diferença b – a é igual a: a. 2. b. 3. c. 5. d. 7. e. 8. Resposta: A. 31. O algarismo da unidade da potência 31475 é: a. 1. b. 3. c. 7. d. 9. Resposta: C. 32. (BACEN/2010) Considerando-se N um número inteiro e positivo, analise as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N: I. N2 + N + 1 é um número ímpar; II. N ⋅ (N + 1) ⋅ (N + 2) é um número múltiplo de 3; III. N2 tem uma quantidade par de divisores; IV. N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6. A quantidade de afirmações verdadeiras é a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. e. 0. Resposta: B.

33. Em uma disputa, há 34 pessoas: 20 homens e 14 mulheres. A cada etapa da competição, três concorrentes são eliminados, sendo sempre 2 homens e 1 mulher. O número de homens igualar-se-á ao número de mulheres após a eliminação de número: a. 7. b. 6. c. 5.

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13. Questões de Prova Envolvendo Números

60 d. 4. e. 3. 34. (FCC/TRT/2004) Em uma nota fiscal, o valor pago na compra de 45 blocos de papel aparecia como R$ _8,7_, faltando o primeiro e o último algarismos do número que, evidentemente, representava o preço total dos blocos. Sabendo que este valor é maior que R$ 50,00, cada bloco foi vendido por a. R$ 1,20. b. R$ 1,25. c. R$ 1,50. d. R$ 1,75. e. R$ 1,80. Resposta: D.

14. Teste seus Conhecimentos

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35. A soma e a diferença dos pesos, em quilogramas, de duas crianças são, respectivamente, iguais a 27 e 2. A respeito dessa situação, julgue os itens seguintes: ( ) (UnB/Assistente/FUB/2008) O peso de casa criança, em quilogramas, é superior a 10 e inferiro a 15. ( ) (UnB/Assistente/FUB/2008) O produto dos pesos das crianças, em quilogramas, é um número inteiro. Resposta: C, E. 36. (UnB/Técnico/SEAD/PA/2008) Considere os itens a seguir os quais contêm o resultado de uma operação realizada a partir de dois números irracionais positivos x e y: I. x + y II. x – y III. x y IV. x/y V. xy É correto afirmar que, independentemente dos valores de x e y, o resultado da operação é sempre um número irracional: a. em nenhum dos itens. b. apenas no item III. c. apenas no item IV. d. apenas no item V. Resposta: D.

61 37. (UnB/Auxiliar/SEAD/PA/2008) Considere que MN seja um número natural de dois algarismos: M é o algarismo das dezenas e N é o algarismo das unidades. Sabe-se que 4M = 3N e que a soma MN + NM é igual a 154. Nesse caso, é correto afirmar que a diferença N – M é igual a: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 Resposta: A. 38. (UnB/Agente/FUNDAC/PB/2008) Certa quantia em reias doi divida entre 1 3 três irmãos. Um deles ficou com eo da quantia, outro ficou com 4 5 terceiro, com o restante. Então, o terceiro ficou com uma fração da quantia igual a: a. 7 20 b. c. d.

5 20 3 20 1 20

Resposta: C.

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39. (UnB/Agente/FUNDAC/PB/2008) Dois amigos compraram uma pizza e a dividiram em duas partes iguais. Com a chegada de outros três amigos, eles repartiram cada um dos dois pedaços da pizza em cinco pedaços iguais. Considerando que cada um dos cinco amigos comeu a mesma quantidade da pizza, o número de pedaços que coube a cada um é igual a a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 Resposta: A.

62 40. (UnB/Agente/FUNDAC/PB/2008) julgue os itens a seguir: I. Existem números naturais que não são números inteiros. II. A cada número inteiro corresponde outro número inteiro que, somando ao primeiro, dá como resultado o número zero. III. Todo número racional é um número real. IV. O número real apresentado pela dízima periódica 0,333... não é um número racional.



Estão certas apenas os itens: a. I e III. b. I e IV. c. II e III. d. II e IV. Resposta: C.

41. (FUMARC/Eletrecista/CEMIG/2006) Analise as seguintes afirmativas: I. O produto de dois números múltiplos de 2 é sempre um número par. II. O produto de dois números múltiplos de 15 é também um múltiplo de 3. III. O produto de dois números, ambos múltiplos de 3, é também um múltiplos de 5.



São verdadeiras as afirmativas: a. I e II, apenas. b. I e III, apenas. c. II e III, apenas, d. I, II e II. Resposta: A.

42. (F.C.Chagas/Técnico/TRF-5ªR./2008) O diagrama abaixo apresenta o algorritmo da adição de dois números inteiros, no qual alguns algarismo forma substituídos pelas letras A, B, C, D e E. 7 + E

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B

2

5

A

D

C

B

5

8

A

8

6

Determinano-se corretamente esses algarismo, verifica-se que: a. A + C = 2 ⋅ D b. B + D = E c. B – A = D d. C = 2 ⋅ B e. C – E = A Resposta: B.

63

15. Números Primos, Compostos — Total de Divisores de um Número 15.1 Números Primos Dizemos que um número inteiro é primo quando ele tem exatamente dois divisores positivos. p é primo ↔ D(p) = {1, |p|} Exemplos: O número 19 é primo, pois, tem exatamente dois divisores positivos, que são: 1 e 19. Já o número 91 não é primo, pois tem mais de 2 divisores inteiros: 1, 7, 13 e 91. O número 1 também não é primo, pois tem apenas um divisor positivo: ele próprio. Existem infinitos números primos. Citando apenas os primeiros números primos positivos teríamos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ....

15.2 Números Compostos Denominamos número composto a todo número que tenha mais que dois divisores positivos. Exemplos: O número 18 é composto, pois tem mais que dois divisores positivos: 1, 2, 3, 6, 9 e 18. O número 1 não é composto, pois tem apenas um divisor positivo: ele próprio.

Para saber se um inteiro n é primo ou não, pode-se proceder da seguinte forma: 1º — Consideramos as divisões de n por todos os números primos p, tais que o quociente da divisão de n por p seja, em valores absolutos, maior que o próprio p; 2º — n será primo se, e só se, nenhuma destas divisões for exata. Exemplo: Deseja-se saber se o número 131 é ou não primo. Ao considerarmos as divisões 131 ÷ 2, 131 ÷ 3, 131 ÷ 5, 131 ÷ 7, 131 ÷ 11, observamos (aproveitar os critérios de divisibilidade apresentados) que nenhuma delas é

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15.3 Reconhecimento de Números Primos

64 exata e que divisão 131 ÷ 13 já apresenta quociente menor que o próprio 13. Então 131 é primo.

15.4 Decomposição de um Número em Fatores Primos Todo número composto pode ser expresso como um produto de dois ou mais fatores, todos primos. Para decompor um número composto qualquer em fatores primos, devemos: »» dividir o número dado pelo menor de seus divisores primos positivos; »» repetir este procedimento com cada um dos quocientes obtidos, até que o quociente encontrado seja ±1; »» o número composto será igual ao produto de todos os divisores primos utilizados. Exemplo: Decompor o número 126 em fatores primos. Anotando o menor divisor primo sempre à direita de cada valor considerado e cada quociente imediatamente abaixo do dividendo anterior, poderemos apresentar a fatoração como segue: 126 ÷2 Então a decomposição de 126 em 63 ÷3 fatores primos nos deu: 21 ÷3 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 21 ⋅ 32 ⋅ 71 7 ÷7 1

15.5 Total de Divisores Naturais de um Número Composto

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Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é N = pa ⋅ qb ⋅ rc ⋅ ... ⋅ tn onde a, b, c, ..., n são os expoentes dos fatores primos p, q, r, ..., t, então, o total de divisores naturais do número N é (Nº de divisores naturais de N) (a + 1) ⋅ (b + 1) ⋅ (c + 1) ⋅ ... ⋅ (n + 1)

65 Exemplo: Decompondo o número 12 em fatores primos obtemos: 12 = 22 ⋅ 31, onde os expoentes são 2 e 1. Então o total de divisores naturais de 12 é (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 3 ⋅ 2 = 6.

O número de divisores positivos que possui o número: M = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 é: a. 512. b. 1024. c. 256. d. 270. Comentário: 2 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 23 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ 5 9/B2 ⋅ 5/B3 ⋅ 3/B5 ⋅ 2/B7= 270 Resposta: D.

Exercício 43. O número 2a ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 20 tem 48 divisores, o valor de a é: a. 2. b. 3. c. 4. d. 5. Resposta: C.

16. MMC e MDC 16.1 Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum

M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, ±12, ±16, ±20, ±24, ±28, ±32, ±36, ±40, ±44, ...} M(4) = {0, ±4, ±8, ±12, ±16, ±20, ±24, ±28, ±32, ±36, ±40, ±44,...} e M(6) = {0, ±6, ±12, ±18, ±24, ±30, ±36, ±42,...}

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Dados dois ou mais números inteiros não nulos, os conjuntos dos múltiplos destes números terão sempre infinitos elementos comuns a todos eles, aos quais chamamos múltiplos comuns. Observe os conjuntos dos múltiplos dos números 3, 4 e 6, que são respectivamente:

66 Neles podemos notar os primeiros múltiplos comuns a 3, 4 e 6 que estão destacados em negrito nos conjuntos acima: 0, ±12, ±24 e ±36. Denominamos mínimo múltiplo comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos ao menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados. Assim, no exemplo dado acima o MMC dos números 3, 4 e 6 é o 12, pois ele é o menor número positivo que é múltiplo, simultaneamente, de 3, de 4 e de 6. MMC (3, 4, 6) = 12 Determinação do MMC por decomposições em fatores primos Determinar o MMC dos números 36, 45 e 60: 1º – Decompor os números dados em fatores primos: 36 = 22 ⋅ 32 45 = 32 ⋅ 51 60 = 22 ⋅ 31 ⋅ 51 2º – O MMC de 36, 45 e 60 será o produto de todos os fatores primos encontrados, tomados sempre com os maiores expoentes com os quais cada um deles ocorreu dentre todos os números decompostos: MMC (36, 45, 60) = 22 ⋅ 32 ⋅ 51 = 4 ⋅ 9 ⋅ 5 = 180 Determinação do MMC pelo processo simplificado Determinar o MMC dos números 36, 45 e 60. 1º – Traçar uma linha vertical, anotando à sua esquerda todos os números dados; 36, 45, 60

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2º – Escrever à direita da linha vertical o menor número primo capaz de dividir algum dos números da esquerda, anotando abaixo destes o resultado da divisão (se divisível) ou repetindo o número (se a divisão não for exata), e repetir o procedimento até que todos estes sejam reduzidos à unidade:

67 36, 45, 60 18, 45, 30 9, 45, 15 3, 15, 5 1, 5, 5 1, 1, 1

2 2 3 3 5

3º – O MMC de 36, 45 e 60 será o produto de todos os números primos encontrados à direita: MMC (36, 45, 60) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180

16.2 Divisores Comuns e Máximo Divisor Comum Dados dois ou mais números inteiros não nulos, os conjuntos dos divisores destes números terão sempre dois ou mais elementos comuns a todos eles, aos quais chamamos divisores comuns. Observe os conjuntos dos divisores dos números 12, 18 e 30. Neles podemos notar os divisores comuns que estão destacados em negrito: D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}, D(18) = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} e D(30) = {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30} Denominamos máximo divisor comum (MMC) de dois ou mais inteiros não nulos, ao maior dos divisores comuns aos números apresentados. Assim, o MDC dos números 12, 18 e 30 é 6, pois ele é o maior número que divide, simultaneamente, 12, 18 e 30. MDC(12, 18, 30) = D(6) = {±1, ±2, ±3, ±6}

Determinação do MDC por decomposições em fatores primos Determinar o MDC dos números 120, 140 e 200:

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O conjunto dos divisores comuns (DC) a dois ou mais inteiros não nulos sempre coincide com o conjunto dos divisores do MDC destes números: DC(12, 18, 30) = D(6) = {±1, ±2, ±3, ±6}

68 1º – Decompor os números dados em fatores primos: 120 = 23 ⋅ 31 ⋅ 51 140 = 22 ⋅ 51 ⋅71 200 = 23 ⋅ 52 2º – O MDC de 120, 140 e 200 será o produto dos fatores primos comuns, tomados sempre com os menores expoentes com os quais cada um deles ocorreu dentre todos os números decompostos. MDC (120, 140, 200) = 22 ⋅ 51 = 4 ⋅ 5 = 20

16.3 Determinação do MDC pelo Processo Simplificado Determinar o MDC dos números 360, 420, 600: 1º – Traçar uma linha vertical, anotando à sua esquerda todos os números dados; 360, 420, 600

2º – Escrever à direita da linha vertical o menor número primo capaz de dividir todos os números da esquerda, anotando abaixo destes o resultado de cada divisão e repetir o procedimento até que algum deles seja reduzido à unidade ou que não seja mais possível encontrar um número primo que divida todos os números restantes: 360, 420, 600 180, 210, 300 90, 105, 150 30, 35, 50 15, 7, 10

2 2 3 5

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3º – O MDC de 360, 420, 600 será o produto de todos os números primos encontrados à direita: MDC (360, 420, 600) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

69

16.4 Propriedades do Mmc e do Mdc »» Se o MDC(a, b) = 1, então a e b são denominados primos relativos ou primos entre si. Exemplo: MMC (25, 36) = 1. Então 25 e 36 são primos entre si. MMC (a, n ⋅ a) = n x a e MDC (a, n ⋅ a) = a Exemplo: MMC (15, 30) = 30 e MDC (15, 30) = 15, pois 30 = 2 ⋅ 15. MMC (a, b) ⋅ MDC (a, b) = a ⋅ b. Exemplo: 84 ⋅ 90 = 7.560. Então MMC (84, 90) = 7.560. Comentário: MMC (15, 18) = 90 MDC (15, 18) = 3 MDC (a, b) ⋅ MMC (a, b) = a ⋅ b 3 ⋅ 90 = 15 ⋅ 18 Se MMC (a, b) = m, então MMC (ka, kb) = km (k 0) Exemplo: MMC (6, 8) = 24, então MMC (60, 80) = 240 (que é 24 ⋅ 10). »» Se MDC (a, b) = d então MDC(ka, kb) = kd (k 0) Exemplo: MDC (6, 8) = 2, então MDC (60, 80) = 20 (que é 2 ⋅ 10). »» Dois números consecutivos são sempre primos entre si, ou seja, MDC (n, n + 1) = 1. Exemplo: MDC (25, 26) = 1

Exemplo: MMC (4, 5, 9) = 4 ⋅ 5 ⋅ 9 = 180, pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si.

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»» Se dois ou mais números são, dois a dois, primos entre si, o seu MMC será o produto deles.

70

17. Problemas com MMC E MDC 01) A partir das 7 horas, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Itabira, Barbacena e Patos de Minas obedecem ao seguinte horário. Para Itabira, de 20 em 20 minutos. Para Barbacena, de 30 em 30 minutos. Para Patos de Minas, de 50 em 50 minutos. Depois de quanto tempo, após as 7 horas, saem simultaneamente, pela primeira vez os três ônibus? Solução: Os ônibus sairão juntos toda vez que o intervalo de tempo, contando, a partir das 7 horas, for um múltiplo comum de 20, 30 e 50 minutos. m.m.c. (20, 30, 50) = 300 minutos = 5 horas. Portanto, se eles saem às 7 horas, sairão simultaneamente pela 2ª vez depois de 5 horas.





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02) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que haja perda de material. O menor número total possível de pedaços é: Solução: Se vamos dividi-los em pedaços de comprimentos iguais e sem que haja perda de material, calcularemos o m.d.c. (36, 48, 72), que será o tamanho de cada pedaço. m.d.c. (36, 48, 72) = 12. O tamanho de cada pedaço é 12m. Para sabermos quantos são os pedaços, faremos: 36 ÷ 12 = 3 48 ÷ 12 = 4 72 ÷ 12 = 6, assim 3 + 4 + 6 = 13 pedaços iguais. Ao cercar um terreno de sua chácara, o professor Renato tentou deixar todas as estacas da cerca igualmente espaçadas. Mas ao tentar colocar as estacas a cada 2m, 3m, 4m, 5m, 6m ou 7m, acabava sempre sobrando uma ponta menor, a saber, respectivamente com 1m, 2m, 3m, 4m, 5m e 6m. Sabendo que o comprimento total da cerca é menor que 500m, qual é este comprimento? a. 329. b. 369. c. 389. d. 419.

71 Comentário: MC (2, 3, 4, 5, 6, 7)

Resto: 1 2 3 4 5 6 420 – 1 = 419m



03) Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma x + y é: a. 36. b. 34. c. 30. d. 25. e. 33.



04) 247 ÷ x possui resto 07, ao passo que 315 ÷ x possui resto 03. Para se ter um divisor exato, comum, tanto de 247 e 315, subtrai o resto do número a ser dividido (247 – 7 e 315 – 3). O mesmo raciocínio se aplica para o Y. Tem-se, portanto:

X = MDC (240, 312) e Y = MDC (162, 210). 162 210 2 81 105 3 27 35 6 = y 240 312 2 120 156 2 60 78 2 30 39 3 10 13 24 = x



01) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número

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18. Conjuntos Numéricos

72



de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi: a. 4 b. 6 c. 8 d. 9 e. 12 Comentário: MDC (144,192, 216) 144 72 36 18 6

192  216 2 96  108 2 48  54 2 24  27 3 8  9 24 famílias



02) Todos os domingos, Murilo almoça em um certo restaurante. Saulo almoça no mesmo lugar a cada 15 dias. Se no dia 07 de março de 2004, um domingo, os dois almoçaram nesse restaurante, em qual das seguintes datas almoçarão juntos novamente? a. 23/06/2004. b. 22/06/2004. c. 21/06/2004. d. 20/06/2004. e. 19/06/2004. Comentário: 7 em 7 15 em 15

MMC= 105 DIAS

07/03/2004 (domingo)

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24 março 30 abril 31 maio

24 + 30 + 31 Quanto falta dessa soma para 105 dias? Faltam 20 dias

73

19. Números Racionais 19.1 Números Racionais — Operações e Propriedades Dados dois números inteiros a e b, com b ≠ 0, denomina-se número racional a todo número x = a , tal que x . b = a. b a ↔ x . b = a (com a ∈b e b ∈ Z*) x= b Subconjuntos Importantes Q* (conjunto dos números racionais não nulos): Q* = { x ∈ Q / x ≠≠ 0} Q* + (conjunto dos números racionais positivos): Q* + = { x ∈ Q / x > 0 } Q + = (conjunto dos números racionais não negativos): Q+ = { x ∈ Q / x ≥0 } Q * – = (conjunto dos números racionais negativos): Q * – = { x ∈Q / x < 0 } Q – = (conjunto dos números racionais não positivos): Q–={x∈Q/x≤0}

44. Considerando-se o conjunto dos números racionais, é correto afirmar que: a. a soma de dois números racionais é sempre um número racional, existindo apenas uma exceção. b. as dízimas decimais periódicas contêm um número infinito de casas decimais e, por isso, não são números racionais. c. 5(n!) se anula apenas para um único valor natural de n.

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Exercícios

74 d. a raiz de índice par de um número racional positivo nem sempre é um número racional. 45. Certo dia, um funcionário foi incumbido de digitar certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: »» nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; »» nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; »» nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a. 5 e 8. b. 8 e 11. c. 11 e 14. d. 14 e 17.

20. Números Racionais: Dízima Periódica 20.1 Representação Fracionária Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão a de um número racional na forma . b

20.2 Representação Decimal de um Número Racional A representação decimal de um número racional poderá resultar em um dos três casos seguintes: Inteiro Neste caso a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente. 14

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2

= 7;

−9 9

= – 1;

0 13

=0

75 Expansão Decimal Finita Neste caso há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal.

−3 2

= –1,5;

5 4

= 1,25

3 8

= 0,375

Expansão Decimal Infinita Periódica Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma sequência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta sequência é denominada período. 1 3

= 0,333...

1 6

= 0,1666...

20.3 Determinação de uma Fração Geratriz Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são denominadas frações geratrizes. Como determinar uma fração geratriz: 1º Caso – Números com expansão decimal finita A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de “zeros” do denominador: 524 816 8,16 = 52,4 = 10 100 0,035 =

0035 1000

=

35 1000

Exercícios 0, 2929... − 0, 222... 0,555... + 0,333...

é:

47. Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de é a dízima periódica 7,363636... Então, o valor de x + y + z é a. 190. b. 193.

Matemática

46. O valor exato de

76 c. 191. d. 192. Resposta: C.



Curiosidade Útil Sabemos que nosso sistema é decimal (base 10), se fatorarmos o número 10 ou um de seus múltiplos a fatoração será do tipo: 2n ⋅ 5m. Qualquer número fracionário onde o denominador é do tipo 2n ⋅ 5m, será um número decimal finito e se dentre seus fatores primos estiver um número que não seja uma potência de 2 ou de 5, esta fração será uma dízima periódica!!!

  2 20 2 ⋅ 5  1 1  = 3 2  são números decimais finitos 200 2 ⋅ 5  1 1  = 5  160 2 ⋅ 5  1

1

=

  6 2.3   são números decimais infinitos 1 1 =  2 90 2 ⋅ 3 ⋅ 5  1 1  = 4  240 2 ⋅ 3 ⋅ 5  1

=



Dica para dividir rápido:



  2  1 = 0, 25   4  Dividir por uma pot~encia de 2, tem que dar uma potência de 5 1 = 0,125   8  1 = 0, 0625  16 1

Matemática

1

= 0,5

77

E vice-versa, dividir por uma potência de 5 o resultado decimal será uma potência de 2: 1

= 0, 2

5 1

25

= 0, 04

1 125

= 0, 008

1 625



= 0, 0016

20.4 Números Mistos Dados três números inteiros, n, a e b, com n ≠ 0 e 0 < a < b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma. n

a b

a

=n

b

Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, então pode-se representar o seu resultado por um número misto. Exemplo: A divisão inteiro de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2. Então pode-se escrever: 30 7

=4

2 7

Calcule:

 

a) 1 +

1  1  1   1   1 +  1 +  ... 1 +  2   3   4   100 

Resposta: 101/2

 1  1  1   1   1 −  1 −  1 −  ... 1 −  2   3   4   1000 

Resposta: 1/1000

Matemática

b)

78

21. Potenciação Seja a um número inteiro qualquer e n um número inteiro positivo, definem-se: I. a0 = 1 (com a ≠ 0) II. an = a . an — 1 O número a é chamado base, n é o expoente e o resultado, an, ‘;e chamado potência n-ésima de a.  base = 5  53 = 125  expoente = 3  potência = 125  Da definição anterior pode-se concluir que para todo n ≥ 2, o resultado de an será o produto de n fatores iguais a a. an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a n fatores

21.1 Propriedades Operatórias com Potências Para simplificar expressões envolvendo potências é útil conhecermos as seguintes propriedades: 1. an ⋅ am = an + m 2. an ÷ am = an — m 3. (an)m = an x m 4. (a ⋅ b)n = an ⋅ bn 5. (a ÷ b)n = an ÷ bn

Matemática

Regras de sinais nas potenciações O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou –) e da paridade do expoente (par ou ímpar).

O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso: Quando a base é negativa e o expoente é ímpar.

79 Exemplos: (+2)4 = +16 (+2)5 = +32 (–2)4 = + 16 (–2)5 = –32 ← base negativa e expoente ímpar. Cuidado! Não confunda (–2)4 = +16 enquanto que –24 = –16 Vejamos por que o resultado da segunda expressão é negativo: –24 = –1 ⋅ 24 = –1 ⋅ 16 = –16 como se vê no desenvolvimento da expressão, o sinal negativo não é base, mas, sim, um indicativo do número –1 que multiplica a potência toda. Da mesma forma também teremos: (–3)2 = + 9 enquanto –32 = –1 ⋅ 32 = -9 (–10)4 = + 10.000 enquanto –104 = –1 ⋅ 104 = –10.000

Exercícios 30

33

48. O valor de

é:

15

99

49. Em relação aos números reais, a alternativa correta é: 52

5

( ) 9

b. 33 c.

8

5

÷3 = 3

a. 3

10

26

9

3

=3

3

= 10

24

32

d. 8 = 86 3 8 e. 78 + 77 = 1415 Resposta: D.

Matemática



80 n

50. Se n ∈ N > 1, a expressão a. b.

c.

20 4

n+2

+2

2n+2

é:

4 n 1 n

4 2n 1 2

n

d. 1 4

Resposta: D.

21.2 Regras de Sinais nas Potenciações O sinal da potência depende sempre do sinal da base (+ ou –) e da paridade do expoente (par ou ímpar). O resultado de uma potenciação só é negativo em um único caso: Quando a base é negativa e o expoente é ímpar. Um número natural n (n > 1) que tem como divisores naturais apenas o 1 (um) e o próprio n é chamado número natural primo. Os primeiros naturais primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Todo natural primo diferente de 2 pode ser escrito, de forma única, como a diferença dos quadrados de dois números naturais consecutivos. Por exemplo, 7 = 42 – 32 Represente, dessa forma, os números naturais primos 3, 11 e 19. Resposta: 3 = 2 2 – 12 11 = 62 – 52 19 = 102 – 92

Matemática

22. Radiciação Seja a um número inteiro qualquer e n um número inteiro positivo, define-se a raiz n-ésima aritmética de a como sendo o número x = tal que: 1. n a = x, quando xn = a e n for ímpar; 2. n a = |x|, quando xn = a e n for par.

81   43 = 64 → = 4   

radical: radicando: 64 índice: 3 raiz cúbica de 64: 4

Atenção: Devemos lembrar que a raiz aritmética, que é representada pelo radical ( ), é uma operação aritmética e, como tal, deve apresentar resultado único sempre que estiver bem definida. É incorreto afirmar, por exemplo, que 25 = ±5. O certo é 25 = 5. Conforme se pode observar na definição dada anteriormente, quando o radical apresenta um índice par o resultado da operação é um valor absoluto (que nunca é negativo). Deste modo, (±5)2 = 25 → 25 = |5| = 5

22.1 Propriedades Operatórias Para simplificar expressões envolvendo radicais, é útil conhecermos as seguintes propriedades. n

1.

n

a ⋅

2.

n

a ÷

3.

( a)

4.

nm

5.

n m

a

=

6.

n d

d n

n

n

m

n

b = b =

a⋅b

n

a ÷b

n m

= a

a =

n⋅m

a

n.m n.m

a

a = a

22.2 Exercícios Resolvidos Simplificar as seguintes expressões com potências, indicando os resultados com uma única potência: 1. x6 ÷ x-3 2. 25 ⋅ 43 ⋅ 162 3. (x–2 ⋅ x5) ÷ (x–3)2 4.   (–22)3 ⋅ (–23)2

Matemática



82 Soluções: 1. x6 ÷ x–3 = x6–(–3) = x6 + 3 = x9 2. 25 ⋅ 43 ⋅ 162 = 25 ⋅ (22)3 ⋅ (24)2 = 25 ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 24 ⋅ 2 = 25 ⋅ 26 ⋅ 28 = 25 + 6 + 8 = 219 3. (x–2 ⋅ x5) ÷ (x–3)2 = x–2 + 5 ÷ x–3 ⋅ 2 = x3 ÷ x–6 = x3–(–6) = x3 + 6 = x9 4. (–22)3 ⋅ (–23)2 = (–1)3 ⋅ (22)3 ⋅ (–1)2 ⋅ (23)2 = (–1) ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ (+1) ⋅ 23 ⋅ 2 = –1 ⋅ 26 1 . 26 = –1 ⋅ 26 + 6 = –212

21.3 Radical de Radical pq r

a =

3 5

p.q.r

a

7 = 2.3.5 7 = 30 7

Simplificando a expressão abaixo encontramos:

( x . x) ÷ 3

2

6

x, com x ≥ 0

22.4 Regra do Apartamento p

q

a br c =

p.q.r

r

c.b .a

q.r

2 2 2 4 =2 8

2

4

8

7

2 2 2 = 2.2 .2 = 2

Matemática



x

−1

x x =

83 7 + 13

01) Sobre o número m=



foram feitas quatro afirmativas: I. m é uma número primo. II. m é um número racional. III. m é múltiplo de 42. IV. m é um número natural



O número de afirmativas falsas é: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Resposta: C.



) ⋅ (10 − 91) + 2

3

27

Matemática

(



Capítulo 3

Sistema Legal de Medidas

1. Notação Científica Sistemas MKS Unidades Fundamentais

1.1

Metro = m Quilograma = kg Segundos = s

Transformação de Unidades

Dado o número 254,36 corra a vírgula a. 4 casas para a direita: 2543600 b. 2 casas para a esquerda: 2,5436 Obs.: Quando são muitas casas para correr, pode-se indicar a operação mantendo-se a vírgula no lugar e multiplicando-se o número por uma potência de base dez.

85 c. Correr 9 casas para a direita: 254,39 ⋅ 10+9 d. Correr 12 casas para a esquerda: 254,36 ⋅ 10–12 Observe que se corrermos a vírgula para a direita o número aumenta e se corrermos a vírgula para a esquerda, o número diminui.

1.2

Notação Científica

a. 583 000 000 = 5,83 ⋅ 108 b. 0,0000043 = 4,3 ⋅ 10 –6 » Destacamos 4 situações básicas ao passar para notação científica. 1. 3456 ⋅ 108 em notação científica

3,456 ⋅ 1011 diminui aumenta 3 casas 3 casas

2. 0,0028 ⋅ 1015 em notação científica

2,8 ⋅ 1012 aumentou diminuiu

3. 5438,25 ⋅ 10–12 em notação científica

5,43825 ⋅ 10–9 diminuiu aumentou

4. 0,000037 ⋅ 10–20 em notação científica

3,7 ⋅ 10–25 aumenta diminui de 5 casas –20 para –25

Regra Básica Diminui de um lado aumenta do outro e vice-versa.

2. Unidades de Medidas Unidades de Comprimento km

hm

dam

m

dm

Cm

mm

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

km2

hm2

Matemática

Unidades de Superfície

86 Unidades de Volume km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Cada “pulinho” arrasta a vírgula 3 casas. OBS.: 1 Are = 10m ⋅ 10m 1Ha = 1 Hectare = 100 Are = 100m ⋅ 100m 1 Ca = 1 Centiare = 0,01 Are = 1m2 Medida de Volume (Litro) 1 Litro = 1dm3 ou 1 Litro = 1000 cm3 Cuidado: 1 litro não é 1 kg! 1 litro é somente igual a 1kg de água destilada a 4º C sob pressão de 1 atm. l

dl

cl

ml

Cada pulo arrasta a vírgula 1 casa. Relação entre M3 e Litro km3

hm3

dam3 l

m3 dl

dm3 cl

cm3

mm3

ml

1l = 1 dm3 UNIDADES DE MASSA kg

hg

dag

G

Matemática

Sistema Sexagesimal 10h e 30min = 10h30’ 8h e 45min = 8h45’ 2h 32 min e 18s = 2h32’18” Sistema Decimal 10h e 30min = 10,5h 4 h e 18min = 4,3h Obs.: 6min = 0,1h 5h e 45min = 5,75h 0,1 mês = 3 dias 0,1 ano comercial = 36 dias

dg

cg

mg

87

3. Unidades de Medidas Aplicações Exercícios 51. Uma casa tem dez janelas, cada uma com quatro vidros retangulares e iguais, de 0,45m de comprimento e 0,40 m de largura. Cada vidro custa R$ 0,25 o dm2 e a mão de obra para colocá-lo, R$ 4,00 por janela. A importância a ser gasta para colocar os vidros nessas janelas é: a. R$ 44,50 b. R$ 220,00 c. R$ 225,00 d. R$ 445,00 e. R$ 450,00 Resposta: B. 52. Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 15 km possui 5 cm; nessa mesma fotografia, aparece um desmatamento de 9 cm2. O valor real do desmatamento, em km2, é de a. 3. b. 9. c. 27. d. 81. Resposta: D.

54. Uma senhora comprou 4 m de fazenda a R$ 12,00 o metro. No entanto, o metro do lojista media 2 cm a mais. A quantia que o lojista deixou de ganhar pelo tecido vendido é: a. R$ 0,81. b. R$ 0,96.

Matemática

53. Um paciente está recebendo, por via intravenosa, em um período de 6 horas, um frasco de 2.400 cm3 de soro fisiológico. O aparelho de aplicação do soro tem um fluxo constante, medido em gotas por minuto. Se 1 cm3 equivale a 18 gotas, pode-se estimar que o fluxo do aparelho, em gotas por minuto, é: a. 120. b. 140. c. 160. d. 180. Resposta: A.

88



c. R$ 1,08. d. R$ 1,20. Resposta: B.

55. Um barril cheio de água pesa 1.160 g e com água até metade de sua capacidade, 6,5 hg. O peso do barril vazio, em kg, é: a. 0,07. b. 0,12. c. 0,14. d. 0,25. Resposta: C. 56. Uma maquete de um prédio, feita na escala 1 : 1000 , a piscina , com a forma de um cilindro circular reto, tem a capacidade de 0,6 cm3. O volume, em litros, dessa piscina será: a. 600. b. 6.000. c. 60.000. d. 600.000. Resposta: D.

Matemática

57. Ao reforma-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. A s tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos, 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos necessários para essa substituição foi: a. 1029. b. 1050. c. 1470. d. 1500. Resposta: C. 58. Supondo-se que 48 quilogramas de chumbo custam o mesmo que 56.000 gramas de aço e 7 quilogramas de aço custam R$ 300,000, o preço de 150 quilogramas de chumbo é: a. R$ 7.500,00. b. R$ 9.000,00. c. R$ 12.600,00. d. R$ 13.500,00. Resposta: A.

89 59. Uma caixa de fósforos tem 1 cm de altura e o comprimento tem 2 cm mais que a largura. Se o volume da caixa é de 24 cm², o comprimento da caixa, em metros, é: a. 0,04 b. 0,05 c. 0,06 d. 0,10 e. 0,12 Resposta: C.

Matemática

60. Se um tijolo, dos usados em uma construção, pesa 4,8 kg, então um tijolinho de brinquedo feito do mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará: a. 75g b. 300g c. 1.728g d. 1.200g Resposta: A.

Capítulo 4

Matemática Comercial

1. Razão Razão é o quociente entre dois números. Alguns casos particulares: d= m v D=

vm =

População área

i% =

i 100

dt tt Escala = Objeto Real juros =

aumento devedor

01) Um motorista dirige seu carro da cidade X até a cidade Y, distantes entre si 100km, a uma velocidade média de 30km/h, e volta pelo mesmo percurso,

91 a uma velocidade média de 60km/h. Nesse caso, é correto afirmar que a velocidade média desenvolvida pelo motorista em todo o percurso é de a. 40km/h b. 45km/h c. 47,5km/h d. 50km/h Média Harmônica Mh =

n 1 + 1 + .... n2 n1

Usamos sempre que dois objetos não estão em harmonia. 02) Em uma viagem Rio-São Paulo, metade da distância foi percorrida com um rendimento de 11 km/l de combustível, e a outra metade , com rendimento de 9 km/l. O rendimento da viagem toda foi de : a. 9,8 km/l b. 9,9 km/l c. 10 km/l d. 10,1 km/l e. 10,2 km/l Suponha que a distância entre Rio — São Paulo seja 99 km. Para sabermos a quantidade de combustível usada devemos dividir a distância percorrida pelo consumo de cada trajeto.

2. Velocidade Relativa Velocidade Relativa!!! Sentidos Opostos Somamos as velocidades Mesmo sentido Subtraímos as velocidades

01) Maurício e Julinho brincam com seu cachorro numa praia. Estão inicialmente separados por uma distância de 100 metros e começaram a caminhar cada um em direção ao outro, um deles com velocidade de 2 metros por segundo e o outro com velocidade de 3 metros por segundo.

Matemática

Exercício de Concurso

92









Neste mesmo instante o cachorro, que estava junto de um deles começa a correr em direção ao outro e, chegando, volta imediatamente ao primeiro recomeçando tudo outra vez até que Julinho e Maurício se encontrem. Quantos metros, ao todo, terá percorrido cachorro se mantiver uma velocidade de 8 metros por segundo? a. 100 metros. b. 120 metros. c. 140 metros. d. 160 metros. e. 180 metros. Resposta: D. 02) Um coelho está 80 metros à frente de uma raposa que o persegue. Enquanto o coelho percorre 19 metros, a raposa percorre 21 metros. Quantos metros a raposa deverá percorrer para alcançar o coelho? a. 760. b. 840. c. 441. d. 560. Resposta: B. Solução: Enquanto o coelho corre 19 metros a raposa percorre 21 metros, portanto a raposa aproxima 2 metros do coelho. Suponha que a velocidade do coelho seja de 19m/seg e a da raposa 21m/seg, assim, a cada segundo a raposa aproxima-se do coelho de 2 metros; Porém ela precisa cobrir uma distância de 80 metros, portanto correrá durante 80 ÷ 2 = 40 segundos. Como sua velocidade sugerida foi de 21m/s ela correrá 40 ⋅ 21 = 840 m.

3. Escala Escala: utilizada em mapas, maquetes e projetos.

Matemática

E=

Tamanho objeto Tamanho real

93

05) Numa maquete de um condomínio a escala utilizada é de 1 : 1000 e uma piscina cilíndrica possui 0,6 cm3 de volume. Determine, em litros, a capacidade da piscina: a. 600. b. 6000. c. 60.000. d. 600.000.



Solução: Sabe-se que 1 cm3 = 1 ml e que 1 dm3 = 1 litro A escala é linear, portanto só mede uma dimensão , então teremos que usá-la 03 vezes, pois o volume é uma grandeza de 03 dimensões. Assim sendo: 0,6.1000.1000.1000 1000

= 600.000 litros

Conclusão: Para usar a escala devemos observar que Comprimento → usá-la 01 vez Área → usá-la 02 vezes Volume → usá-la 03 vezes





06) Um tijolo pesa 4,8 kg, uma miniatura 4 vezes menor, feita do mesmo material, pesará quantos gramas? a. 1200 g b. 300 g c. 75 g d. 750 g Resposta: C. Solução: Massa ocupa volume, portanto temos que usar a escala três vezes: 4800 : 4 = 1200 1200 : 4 = 300 300 : 4 = 75 gramas 07) Em um mapa na escala 1:10.000.000, a distância entre dois pontos é de 2,5 cm. Assim sendo, no terreno, a distância entre esses pontos é de: a. 5 km. b. 00 km. c. 250 km. d. 1.000 km. Resposta: C.

Matemática



94



08) O números de aeronaves entre 04 empresas brasileiras é distribuído da seguinte maneira: »» TAM: 1/3 da frota brasileira »» GOL: 1/3 do restante »» TRIP: 1/3 do restante »» AZUL: 80 aeronaves O total de aeronaves desse grupo brasileiro é: a. 270 aeronaves. b. 300 aeronaves. c. 360 aeronaves. d. 540 aeronaves.

1/3 = TAM 1/3 = GOL

FROTA 2/3 = Rest

1/3 = TRIP 2/3 = Rest 2/3 = AZUL 80 aviões

2 2 2 de de da frota = 80 3 3 3 2 ⋅ 3

2 ⋅ 3

2 ⋅ = 270 aeronaves 3

Matemática

4. Proporções: Sistema de Cotas Grandezas diretamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4,...), dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4,...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

95 a1 = b1

a2 a = 3 = ..... b2 b3

O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamado de fator de proporcionalidade. Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois as razões 6 , 7 , 10 e 15 são todas iguais, 12 14 20 30 sendo igual a o fator de proporcionalidade da primeira para a segunda. Como se pode observar, as sucessões de números diretamente proporcionais formam proporções múltiplas.

4.1 Grandezas Inversamente Proporcionais Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4,...), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4,...), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2 ⋅ 30, 3 ⋅ 20, 5 ⋅ 12 e 12 ⋅ 5 são todos iguais.

4.2 Relação entre Proporção Inversa e Proporção Direta

Matemática

Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são inversamente proporcionais aos números da outra, então os números de uma delas serão diretamente proporcionais aos inversos dos números da outra. Esta relação nos permite trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais.

96

4.3 Divisão em Partes Diretamente Proporcionais 1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, c,..., significa encontrar os números A, B, C, ..., tais que A = a

C B = = ..... c b

A + B + C +...= N

09)Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa um tijolo e meio: Resposta: 3 quilos »» Dicas de proporcionalidade: uso de cotas a = b a2 = b2

a±c b±d ac bd

=

ka ± pc kb ± pd



Ou seja, o que se faz em cima, se faz em baixo!!!



10) Se a razão entre dois números x e y é 3/5 e a soma deles é 64, então estes números serão: É só pensarmos em cotas(como em uma empresa!) X tem 3 cotas e y tem 5 cotas, a empresa toda tem 8 cotas e se ela vale 64, cada cota vale: 64 : 8 = 8, daí x = 3 ⋅ 8 = 24 e y = 5 ⋅ 8 = 40





11) Se os números a,b e c são proporcionais a 3, 4 e 5 e 3a – 2b + c = 36, determine os valores de a,b e c.  a b c  = = 4 5  3  3a – 2b + c = 36 

Matemática

c = d c2 = d2

36 = 6 (valor da cota) → 3a – 2b + c = 6 3⋅3–2⋅4+5

 a = 3 ⋅ 6 = 18  Portanto  b = 4 ⋅ 6 = 24  c = 5 ⋅ 6 = 30 

97

Exercício 61. O montante de uma aplicação é diretamente proporcional ao capital investido. Três investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00. Se o montante total recebido pelos três foi de R$ 10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um deles? Resposta: 2.400, 3.600 e 4.800.

5. Proporções: Cotas X Juros Exercícios 62. Os juros de uma aplicação devem ser diretamente proporcionais ao capital investido e à taxa de juros da aplicação. Três investidores aplicaram, durante o mesmo período, seus capitais de R$ 200,00, R$ 300,00 e R$ 500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%, respectivamente. Sabendo que o total dos juros das três aplicações foi de R$ 270,00, determinar que parte desse total cabe a cada investidor. Resposta: 80, 90 e 100.

64. (UnB/Assistente/FUB/2008) Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número de homens e mulheres é, nessa ordem, igual a 4/3. A propósito dessa situação, julgue os itens a seguir. (  ) O número de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa é superior a 38. (  ) (UnB/Assistente/FUB/2008) Ao se somar 2/3 do número de mulheres a 75% do número de homens dessa empresa, obtém-se um número racional não inteiro. Resposta: Errada, errada.

Matemática

63. Dois sócios, A e B, abriram uma empresa com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente. Quando a sociedade completou o seu quinto mês de existência, A investiu mais R$ 1.000,00 na empresa. Dois meses depois desta data, B aumentou a sua participação para R$ 6.000,00. Ao fim de um ano de atividades, verificou-se um lucro de R$ 2.400,00. Que parte deste lucro coube ao sócio A? Resposta: 1100.

98

6. Proporções: Sistema de Cotas e Fracionários Exercícios 65. Um avicultor afirmou que 2/5 dos ovos de sua granja eram do tipo “extragrande”, sendo o restante do tipo “grande”. Posteriormente verificou-se que um em cada oito ovos classificados como “extragrandes” era, na verdade, “grande” e que um em cada oito ovos classificados como “grandes” era, na verdade, “extragrande”. Do total de ovos que este avicultor produzia, a porcentagem de ovos “extragrandes” era de: a. 42,5% b. 45% c. 55% d. 57,5% Resposta: A. 66. (FUNDEP) Para calcular o comprimento do segmento AB, usam-se duas unidades de medida. Representadas por U e V, essas unidades correspondem a 1/5 e 1/6 de AB, respectivamente. Considere um ponto F sobre AB. Se a medida de AF com a unidade U é 2, então a medida de AF com a unidade V é: a. 0,1. b. 1,2. c. 1. d. 2,4. Resposta: D.

Grandezas direta e inversamente proporcionais

Matemática

Total  = valor da cota x  multiplicamos por Σ números  cada número somado »» Números Fracionários: Tiramos o mmc e trabalhamos com os novos numeradores, que serão as novas cotas; »» Inversamente: Invertemos os números; »» Simultaneamente:

99 A) Diretamente proporcionais a a e b e inversamente proporcionais a c e d: a = c

b d

Resumindo: diretamente vai para cima e inversamente vai para baixo!!!!!

01) Dividir 360 em partes proporcionais a 3, 4 e 5. É como se fosse uma empresa e as cotas de cada sócio fossem em números de 3, 4 e 5, logo a empresa tem um total de 12 cotas e se ela vale 360, então cada cota vale: 360 ÷ 12 = 30, assim teremos: 3 ⋅ 30 = 90 4 ⋅ 30 = 120 5 ⋅ 30 = 150

02) Dividir 470 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 Solução: A divisão será diretamente proporcional a: 1/3 ,1/4 ,1/5; Tirando o mmc teremos 20 , 15 , 12 60 60 60

Logo, os novos denominadores 20, 15 e 12 serão as novas cotas, daí: 470 ÷ 47 = 10 (valor de cada cota) Assim: 10 ⋅ 20 = 200; 10 ⋅ 15 = 150 10 ⋅ 12 = 120 03) Leo, Teo e Beto têm 11, 13 e 16 anos, respectivamente. Se eles recebem mesadas proporcionais às suas idades e Beto recebe R$ 50,00 a mais que Leo, quanto recebe Teo?

5 anos = R$ 50,00, logo 1 ano = R$ 10,00

Portanto Teo receberá 31 ⋅ 10 = R$ 130,00

Matemática

 x1 = Leo mesada = k  x13 = Teo  40  x16 = Beto 

    



100

04) Três sócios: Miguel, Pedro e João, lucraram juntos R$ 38.000,00.Miguel investiu R$ 5.000,00 durante 1 ano; Pedro investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e João investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. A parte do lucro que Pedro recebeu foi de: a. R$ 20.000,00. b. R$ 10.000,00. c. R$ 08.000,00. d. R$ 06.000,00.

Solução: Miguel: 5000 ⋅ 12 = 60 quotas Pedro: 4000 ⋅ 6 = 24 quotas João: 6000 ⋅ 5 = 30 quotas Logo teremos: Pedro = 38000 ÷ 114 ⋅ 24 = 8.000



05) (CESPE/BRB) Uma empresa decidiu agraciar os empregados Antônio, Pedro e João, que tiveram a menor quantidade de faltas ao serviço durante o ano passado, com 42 cotas de determinado título de capitalização. Antônio, Pedro e João registraram, respectivamente 3,5 e 6 faltas, e a empresa destinará a cada um deles uma quantidade de cotas inversamente proporcional ao número de suas faltas. Dessa forma, o número de cotas destinadas a Antônio será igual a: a. 07. b. 10. c. 12. d. 14. e. 20. Resposta: E.

7. Proporções: Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

Matemática

Exercícios 67. Um biólogo capturou 60 araras de uma mata e colocou um anel de Identificação em cada uma delas. Em seguida, as soltou na mesma mata. Alguns dias depois, o biólogo capturou novamente 60 araras dessa mata e somente 15 tinham o anel de identificação.

101



Assim, é correto afirmar que, nessa mata, deve haver aproximadamente: a. 180 araras. b. 240 araras. c. 280 araras. d. 320 araras. Resposta: B.

68. O governo dispõe de uma verba de R$ 140.000.000,00 para equipar a Polícia Militar, a Polícia Civil e o Corpo de Bombeiros. Esse valor deverá ser dividido entre essas corporações em partes respectivamente proporcionais a 2 , 1 ,3 3 6 2



Nesse caso, o valor a ser alocado ao Corpo de Bombeiros será de: a. R$ 80.000.000,00. b. R$ 90.000.000,00. c. R$ 92.000.000,00. d. R$ 95.000.000,00. Resposta: B.

69. O montante de uma aplicação é diretamente proporcional ao capital investido. Três investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00. Se o montante total recebido pelos três foi de R$ 10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um deles? Resposta: 2.400, 3.600 e 4.800.

71. Julgue os itens abaixo: a. Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra também aumenta na mesma proporção. b. Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma proporção. c. Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporção.

Matemática

70. Os juros de uma aplicação devem ser diretamente proporcionais ao capital investido e à taxa de juros da aplicação. Três investidores aplicaram, durante o mesmo período, seus capitais de R$ 200,00, R$ 300,00 e R$ 500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%, respectivamente. Sabendo que o total dos juros das três aplicações foi de R$ 270,00, determinar que parte desse total cabe a cada investidor. Resposta: 80, 90 e 100.

102



d. Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra também diminui na mesma proporção. e. O número de ganhadores de um único prêmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador são grandezas inversamente proporcionais. Resposta: C-E-C-E-C.

8. Regra de Três Chamamos de regra de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Quando o problema envolve somente duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três simples. Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, então, quanto custarão 6 bilhetes? »» As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes. Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas? »» As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário. Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existente entre as duas grandezas envolvidas no problema. Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três composta. Resumindo: 1. Escrever a pergunta e depois os outros dados: Pergunta 1º Dado 2º Dado

3º Dado

Matemática

2. Comparamos cada dado com a pergunta separadamente: Aumentou → Aumentou → Diretamente Aumentou → Diminuiu → Inversamente 3. Colocamos os números, invertemos os Is e multiplicamos cruzado! Pergunta 1º dado 2º dado nº nº nº x nº nº

103 Ex. 20 operários cavam 400 metros de um poço, em 15 dias de 8 horas. Em quantos dias de 9 horas, 15 operários, cuja capacidade de trabalho é três vezes a dos primeiros, poderão fazer 900 metros de outro poço, cuja dificuldade de cavar seja 3/5 da do primeiro? I

I

D

I

D

Dias

Oper

h/d

Metros

Capac

Dificuld

I

I

D

I

D

dias

op

h/d

m

cap

dif

15

20

8

400

1

1

x

15

9

900

3

3/5

Agora vamos inverter os Is (grandezas inversas): I

I

D

I

D

dias

op

15

15

h/d

m

cap

dif

9

400

3

x

20

1

8

900

1

3/5

15. 20. 8.900.1.3/5 1.3.400.9.15

= 8 dias

Assim o número de dias será: x=



24)Um gato e meio come um rato e meio em um minuto e meio. Em quanto tempo 100 gatos comerão 200 ratos?

Tempo gatos ratos 1,5 1,5 1,5 x 100 200 I D Invertendo, teremos: 1,5.1,5.200 =3 1,5.100

Matemática



104

9. Regra de Três: Questões Exercícios 72. A faz uma peça em 9 dias. B é 50% mais eficiente que A. Então, o número de dias que B deverá demorar para fazer a mesma peça é: a. 3. b. 4. c. 9/2. d. 6. Solução:

Inversa Dias

Eficiência

9

100%

x

150%

x = 9 ⋅ 100 = 6 150

Resposta: D.

Matemática

73. Certo trabalho pode ser realizado por 16 digitadores em 20 dias, trabalhando 6 horas diárias. Para executar metade desse trabalho em 16 dias, 12 digitadores teriam que trabalhar diariamente: a. 4 horas. b. 5 horas. c. 6 horas. d. 7 horas. Resposta: B. 74. (F.C.Chagas/Téc. Jud./TRE/Acre/10-03) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e a. 30 minutos. b. 35 minutos. c. 45 minutos. d. 40 minutos. e. 50 minutos. Resposta: A.

105 75. Hoje, Filomena gastou 3 horas de trabalho ininterrupto para digitar 3/5 do total de páginas de um texto e, amanhã, Gertrudes deverá digitar as páginas restantes. Considerando que a capacidade operacional de Gertrudes é 80% da capacidade de Filomena, então, o esperado é que Gertrudes digite a sua parte em: a. 2 horas. b. 2 horas e 30 minutos. c. 3 horas. d. 3 horas e 30 minutos. e. 4 horas. Resposta: B. 76. Um automóvel poderia rodar 6 horas consecutivas, sem ser reabastecido, se partisse com um tanque de gasolina completo. Entretanto, tendo partido com um vazamento no tanque, rodou somente por 4 horas, logo após ter completado o tanque. Quanto tempo foi necessário para que 1/20 da gasolina do tanque fosse perdido pelo vazamento? Solução: Tanque cheio: rodaria 6 horas. Tanque furado: 4 horas. Portanto, vazou 2 horas. Ou seja, um terço do tanque vazou durante um período de 4 horas, que foi o tempo que ele rodou. Comentário: Assim, teremos: Tempo (minutos) 240

Vazamento 1/3

x

1/20

x = 36 minutos

10. Problema das Torneiras O Macete é: Média harmônica!

T1

+

1 T2

+

1 T3

+ ... −

1 R1

−

1 R2

− ... =

1 Juntas Matemática

1

106

01) Um tanque tem três torneiras. As duas primeiras enchem-no, sozinhas, respectivamente em 4h e 6h. A terceira o esvazia em 3h. Quantas horas serão necessárias para enchê-lo se as três torneiras ficarem abertas e o tanque já estiver cheio com ¾ de sua capacidade? Solução Em uma hora elas farão: 1 4

+

1 6

−

1 3

=

1 x

3x + 2x − 4x = 12 12x x = 12

Exercícios 77. Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar X cópias de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadora executaria o mesmo serviço em 4 horas. Se duas máquinas operassem juntas, que fração das X cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto? a.

b.

c.

d.

Matemática

e.

5 12 1 2 7 12 2 3 5 6

107 78. Paulo demora 5 dias a mais do que Pedro para fazer um serviço. Se juntos fazem o serviço em 6 dias, em quanto tempo cada um faz o serviço individualmente? a. 3 e 10. b. 10 e 15. c. 3 e 8. d. 9 e 14. Resposta: B.

11. Porcentagem: Conceitos Básicos 11.1 Porcentagem As frações que apresentam denominadores iguais a 100 são chamadas também de razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo %. Por exemplo, as razões 3 , 108 , 75 , 15 podem ser representadas 100 100 100 100 por 3%, 10,8%, 75%, 15%, respectivamente. A partir dessas considerações, podemos escrever as seguintes igualdades: 3 = 0,03 100 25 = b) 50% = 50 = 0,50 = 50 100 75 c) 7,5% = 7,5 = = 0,075 100 100 a)

3% =

1 2

DESCONTO / PREJUÍZO:

100 — i (%)

JUROS / LUCRO:

100 + i (%)

Exemplo: a) Uma loja está oferecendo 15% de desconto para pagamento à vista na compra de um automóvel que custa R$ 8.000,00. Quanto uma pessoa irá pagar por esse carro, à vista?

Matemática

Os problemas que envolvem porcentagem são, em geral, resolvidos utilizando-se os conhecimentos sobre frações, razões e regra de três. Para resolvermos problemas envolvendo desconto ou juros, basta usarmos a seguinte regra:

108 100 – 15 = 85% 6.800,00

→

85 ⋅ 8.000,00 = 6.800 100

Resposta: Ela pagará R$ 6.800,00. b) Efetuando o pagamento do imposto predial após o vencimento, uma empresa pagou R$ 30,00 de multa. Como o imposto devido era de R$ 1.200,00, qual a taxa de multa? 3000 100 1200 → x= = 2,5% 1200 x 30 Portanto, taxa de multa foi de 2,5% do imposto devido. Podemos resolvê-lo utilizando razões: i = 30 = 0,025 ⋅ 100 = 2,5% 1200

Obs.: Dadas diversas porcentagens, elas só podem ser adicionadas quando se referem a um mesmo número. Além disso, se um todo é dividido em partes, as porcentagens correspondentes, adicionadas, dão um total de 100%.

11.2 Resumindo: Porcentagem i: taxa proporcional i/100: taxa unitária 20% = 20/100 = 0,2 Referencial = 100% Aumento, lucro, juros: 100 + i% Desconto, desvalorização, prejuízo: 100 — i%

Matemática



36) Se seu salário subiu 32% e os preços subiram 10%, no mesmo período, de quanto aumentou o seu poder de compra? Solução: Compra ⋅ Aumento = Salário Compra ⋅ 110% = 132% Compra = 132/110 Compra = 1,2 = 120%, ou seja, o seu poder de compra aumentou de 20%

109 Descontos ou aumentos sucessivos: 20% de 30% de 40% é o mesmo que: 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4 = 0,024 ⋅ 100% = 2,4% do total Resumo: aumento:

(VA – VP) VP

⋅ 100 = %

índice de atualização:

VA VP

→ 1 + ia

VA = valor atual VP = valor anterior ia = taxa de atualização

12. Aumentos e Descontos Sucessivos 01) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses é correto afirmar que: a. o valor das ações permaneceu inalterado; b. as ações desvalorizam 7,84%; c. as ações valorizaram 7,84%; d. as ações desvalorizaram 8,48%; Solução: 1,2 ⋅ 1,2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = 0,9216 Ou seja, Queda de –0,0784 = 7,84% 02) Uma lavoura de 50 hectares de soja foi infectada por certo fungo, e a perda média é de 8% por quinzena. Se não for combatido, no final de dois meses, esse fungo reduzirá essa lavoura a um número de hectares a. menor que 34. b. entre 34 e 38. c. entre 38 e 41. d. maior que 41. Solução: Perda de 8% é mesmo que multiplicar por 0,92 por quinzena. Dois meses = 4 quinzenas

Matemática



110 Portanto faremos: 50 ⋅ 0,924 = 50 ⋅ 0,71639296 = 35,819648 hectares Resposta: B.

Exercício 79. Uma mercadoria sofre um aumento de 20% e logo depois, a título de promoção, um desconto de 30%, assim: 120% (aumento de 20%) 70% (desconto de 30%) 70% de 120% = 0,7 ⋅ 1,2 = 0,84 = 84%, ou seja, Resposta: O comerciante teve um prejuízo de 16%. 80. (F.C.Chagas/Téc. Jud./TRT — 24ºR/08-03) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta: a. uma diminuição de 10%. b. uma diminuição de 2%. c. um aumento de 2%. d. um aumento de 8%. e. um aumento de 10%. Resposta: D.

Matemática

81. (F.C.Chagas/Aux. Jud./TRT — 22ºR/11-04) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o número de mulheres está para o de homens, assim como 12 está para 13. Relativamente ao total de funcionários dessa empresa, é correto afirmar que o número de funcionários do sexo feminino corresponde a: a. 40% b. 42% c. 45% d. 46% e. 48% Resposta: E.

111

13. Porcentagem X Estatística Exercícios 82. Antonio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos, 20% a menos que Antonio. Se a diferença entre os salários de Antonio e de Carlos e de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz? 83. (CESPE — INSS) A falta de informações dos micros e pequenos empresários ainda é o principal motivo para a baixa adesão ao SIMPLES — o sistema simplificado de pagamento de impostos e contribuições federais. Segundo pesquisa realizada pelo Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas (SEBRAE) junto a 1.312 empresas, entre 19 e 31 de março, a adesão ao SIMPLES apresentou o resultado mostrado no gráfico abaixo.

Vão aderir. (19%)

Não podem aderir. (17%) Não pretendem

Ainda não

aderir. (3%)

decidiram. (22%) Já aderiram. (39%)



Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem: a. O número de empresas consultadas que ainda não decidiram aderir ao SIMPLES é inferior a 280. b. Mais de 260 empresas consultadas não podem ou não pretendem aderir ao SIMPLES. c. Entre as empresas consultadas, a porcentagem das que já se decidiram em relação ao SIMPLES é superior a 74%. d. Entre as empresas consultadas que podem aderir ao SIMPLES, mais de 25% ainda não se decidiram. Resposta: E – C – C – C. Matemática



112 84. (Cespe — BB) IPCA e INPC têm nova fórmula — A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estruturas e ponderação. Com base na Pesquisa de Orçamento Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE repassou os hábitos de consumo e estabeleceu nova relação entre a quantidade, o preço e a participação de cada um dos produtos que compõem a lista de itens pesquisados no orçamento das famílias brasileiras. Veja, nos gráficos abaixo, a evolução da participação percentual de cada item na apuração do IPCA. Até julho de 1999 Alimentação e bebidas (27,72%) Comunicação (1,00%)

Transporte (16,87%)

Educação (3,80%)

Artigos de residência (8,34%) Saúde e cuidados pessoais (8,80%)



Vestuário (13,24%) Habitação (10,29%) Despesas pessoais (9,80%)

A partir de agosto de 1999 Alimentação e bebidas (24,15%) Comunicação (2,10%)

Transporte (10,10%)

Educação (4,84%)

Artigos de residência (6,78%)

Matemática

Saúde e cuidados pessoais (10,40%)

Vestuário (6,64%) Habitação (15,39%) Despesas pessoais (10,64%)

113





Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem, relativos ao cálculo do IPCA. I. A partir de agosto, o item “Saúde e cuidados pessoais” passou a ter maior participação do que tinha até julho de 1999. II. A partir de agosto, o item “Vestuário” passou a ter menos da metade da participação que tinha até julho de 1999. III. Até julho, a participação atribuída ao conjunto dos itens “Transporte”, “Alimentação e bebidas”, “Comunicação” e “Educação” era maior que a participação atribuída a esse mesmo conjunto a partir de agosto de 1999. IV. A partir de agosto, a participação do item “Comunicação” aumentou mais de 90% com relação à que tinha até julho de 1999. A quantidade de itens certos é igual a: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Resposta: E.

14. Operações com Mercadoria A porcentagem está relacionada, frequentemente, no mercado financeiro e na contabilidade principalmente nas operações de compra e venda, onde tais percentuais são calculados em relação ao preço de venda ou ao preço de custo. Para simplificar destacaremos apenas os seguintes valores nestas transações: C = preço de custo L = valor do lucro (ou juros) V = preço de venda P = valor do prejuízo (ou desconto) Dessa maneira, é fácil concluir que, numa transação comercial, são válidas as seguintes relações:

Matemática

C+L=V C–P=V

114 Ou seja, quando houver lucro teremos C < V e quando houver prejuízo C > V. Para conseguirmos compreender as operações com mercadorias, observemos os quadros abaixo: Operações com Mercadorias SOBRE O PREÇO DE CUSTO Lucro (juros)

SOBRE O PREÇO DE VENDA

Prejuízo (desconto)

Lucro (juros)

Prejuízo (desconto)

C

100%

C

100%

V

100%

V

100%

V

100 + i

V

100 — i

C

100 — i

C

100 + i

i = taxa porcentual Exemplo: 1. O custo total de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do custo? Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de venda? Resolução: L = 40% de C = 40% ⋅ C = 0,40.200 = 80,00 Portanto, o preço de venda é de R$ 280,00 L 80 = = 0,2857 = 28,57% V 280 Resposta: O preço de venda é de R$ 280,00 e o lucro é de 28,57% em relação ao preço de venda. 2. O custo total de um objeto é de R$ 200,00. Por quanto deve ser vendido esse objeto para que se obtenha um lucro equivalente a 40% do preço de venda? Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de custo? Resolução: Como L + C = V e L = 40% de V = 0,40V, teremos: 0,40 + C = V C = 0,60V

Matemática



200 V= C = = 333,33 0,6 0,6 Logo: L = V – C = 333,33 – 200,00 = 133,33 L 133,33 = = 0,6667 = 66,67% C 200,00

115

outro modo:



V

100



200

60



Resposta: O objeto deve ser vendido por R$ 333,33 e o lucro é equivalente a 66,67% de custo. Comparando os dois exemplos concluímos que o lucro calculado sobre o preço de venda é maior do que o lucro calculado sobre o custo, assim como o prejuízo também será maior.

→

V = 200,10 = 333,33 60

L = 133,33

Exercícios 85. Paulo comprou um aparelho de som e o revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Nesse caso, o lucro que Paulo obteve sobre o preço de compra é de: a. 10% b. 25% c. 20% d. 40% Resposta: E. 86. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria correspondente a quanto por cento se for calculado sobre o preço de venda? 87. Um prejuízo de 50% sobre o preço custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento do preço de venda?

Matemática

Observação: Quando uma porcentagem se refere a um número que está relacionado com outra porcentagem, não podemos adicionar as porcentagens, devemos primeiro aplicar uma porcentagem e, sobre o resultado obtido, aplicar a outra.

116

15. Parcelas Iguais com e sem Entrada Problemas com 2 parcelas iguais (Preço Total — Entrada ) 1, i = Entrada ou Prestação =

Preço à vista ⋅ (100 + %) 200 + %

Ex.: Um objeto à vista custa R$ 430,00, será parcelado em duas vezes iguais (entrada mais 30 dias), com uma taxa de juros mensal de 15% . Se as parcelas são iguais o valor de cada parcela é: Parcela =

430 ⋅ 115 215

= R$ 230, 00

Como ficaria a montagem se não houvesse entrada, ou seja, 30 e 60 dias? (430,00 ⋅ 1,15 – parcela) ⋅ 1,15 = parcela E se fossem 03 parcelas iguais, entrada, 30 e 60 dias? P = parcela [(430 – p) ⋅ 1,15 – p ] ⋅ 1,15 = p E assim por diante... Valor à vista

p

0

1

p

p

p

2

3

4

menos x (1 + i)

Matemática



(Valor à vista – P1) = saldo devedor Saldo devedor x (1 + i) = novo SD Novo SD – P2 = novo SD E assim por diante... Para um número n parcelas o estudo é abordado em Rendas e amortização.

117

01) Pedro comprou uma geladeira — cujo preço à vista é de R$ 780,00 — em duas prestações, que foram pagas em 30 e 60 dias da data da compra. A loja cobrou juros de 6% ao mês. A primeira parcela paga foi de R$ 400,00. Então, o valor da segunda parcela foi de: a. R$ 426,80 b. R$ 450,60. c. R$ 447,60. d. R$ 452,40.

Solução: 780 ⋅ 1,06 = 826,80 826,80 – 400,00 = 426,80 426,80 ⋅ 1,06 = 452,40 Resposta: D.

02) Um liquidificador foi comprado segundo o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 20,60 e mais uma parcela de R$ 20,60 em 30 dias. Se o consumidor pagou efetivamente uma taxa de 3% ao mês, o valor à vista desse liquidificador era de: Solução: Temos que voltar ... 20,60 ÷ 1,03 = 20,00 20,00 + 20,60 (entrada) = 40,60

16. Taxas, Reajustes e Índices Inflacionários

Matemática

Campanha Antifumo

118 Comentário

Fdc Fac

=

8 11

=

25600 x

O produto dos meios é igual aos extremos: Fdc Fac

=

8

=

11

25600 x

x = 35200

32% 100%

32% 100%

=

=

35200 y

35200 y

Matemática

y = 110000

119

03) A empresa “X-Tudo” precisa dispensar 15% de seus funcionários para que possa dar o aumento salarial exigido pelo sindicato. Com isto sua folha de pagamento sofrerá um aumento de 10,5%. Podemos concluir que o aumento médio salarial foi de: a. 5,5% b. 30% c. 25,5% d. 57,5% Solução: nº de funcionários ⋅ salário = folha de pagamento 85% ⋅ salário = 110,5% Salário = 1,3, ou seja, 130% Aumento de 30%





04) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço da venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um: a. lucro de 5% b. prejuízo de 4% c. lucro de 4% d. prejuízo de 2% e. lucro de 2% Solução: 20% sobre o custo equivale a uma venda de 120% 20% de desconto é o mesmo que calcular 80% da venda, ou seja: 80% de 120% = 96%, prejuízo de 4%. 05) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo período seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi: a. 34% b. 38% c. 40% d. 42% e. 45% Solução: Aluguel Razão = 30% + aumento de 700% = 240% Salário = 100% + aumento de 500% = 600% entre eles 240 600

= 40%

Matemática



120

17. Problemas Envolvendo Porcentagem

01) O preço de um televisor está tabelado em R$ 1.050,00. Em promoção, esse aparelho foi colocado à venda por R$ 892,50. O desconto foi de: a. 0,10% b. 10% c. 12% d. 15% Solução: É só dividirmos 892,50 por 1.050 Que resultará em 0,85, ou seja, 85% do valor inicial, portanto um desconto de 15%. Resposta: D.

Exercícios 88. (F.C.Chagas/Téc. Jud./TRT — 17ºR/05-04) Atualmente, José gasta 17% do seu salário no pagamento da prestação de um carro. Se a prestação for reajustada em 2% e o seu salário em 36%, então, após os reajustes, a porcentagem do salário que ele gastará para pagar a prestação será a. 12,75% b. 12,5% c. 12,25% d. 11,75% e. 11,5%

Matemática

89. (F.C.Chagas/Téc Jud./TRE/BA/09-03) Comparando as quantidades de processos arquivados por um técnico judiciário durante três meses consecutivos, observou-se que, a cada mês, a quantidade aumentara em 20% com relação ao mês anterior. Se no terceiro mês ele arquivou 72 processos, qual o total arquivado nos três meses? a. 182. b. 186. c. 192. d. 196. e. 198.

121 90. Um comerciante vendeu um produto por R$ 1980 ,00, tendo um lucro de 10%. No dia seguinte, vendeu outro produto por R$ 1980,00 e perdeu 10%. Com os dois negócios, ele teve um a. prejuízo de R$ 40,00. b. prejuízo de R$ 80,00. c. lucro de R$ 180,00. d. prejuízo de R$ 220,00. 91. Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a percentagem de homens na sala passe a ser 98%? a. 1. b. 2. c. 10. d. 50. Solução: 100 pessoas; Homens = 99; Mulheres = 1 Nova porcentagem 1 mulher = 2 % x pessoas = 100% → x = 50 pessoas 1 mulher e 49 homens, portanto saíram 50 homens. Resposta: D.

Matemática

92. Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a. 10. b. 20. c. 40. d. 70. Resposta: D.

122

18. Juros Simples e Compostos 18.1 Juros e Descontos Introdução: Ao se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores:

Matemática

1. Risco: probabilidade de o tomador de empréstimo não resgatar o dinheiro. 2. Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 3. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo de empréstimo. 4. Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimento (“custo de oportunidade”), justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilização do capital. Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador. Entretanto, o que ocorre no mundo financeiro atual é que muitas aplicações resultam em taxas negativas de juros, quando considerado o efeito inflacionário. Isto vem acontecendo com maior frequência nos últimos anos, principalmente entre países em que os preços internos têm-se elevado mais acentuadamente. Mas, na falta de melhor opção, e obviamente o mais aconselhável é aplicar recursos a taxas negativas — e sofrer um pequeno prejuízo do que deixar de aplicar e com isso sofrer um prejuízo muito maior. Do ponto de vista do tomador do empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo uso que fará dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior quanto for o grau de premência desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o empréstimo em um negócio qualquer, com objetivo de lucro, sua despesa de juros deverá ser menor do que a receita prevista. No caso específico dos Bancos e das Financeiras, as taxas de remuneração dos recursos captados devem ser menores que as taxas cobradas nas operações de empréstimos ou financiamentos, sendo que a diferença deve ser suficiente para cobrir as despesas e proporcionar lucro; o aspecto inflacionário, neste caso, não é relevante, visto que as operações são normalmente “casadas”, isto é, os valores e os prazos das operações de captação (obtenção de recursos) são normalmente compatíveis com os valores e os prazos das operações de empréstimo ( aplicação de recursos).

18.2 Juros Simples Capital é uma riqueza capaz de produzir renda sem a intervenção do trabalho. Ao associarmos este conceito a ideia de juro, que é rendimento do capital, ou seja, o custo do uso do crédito. Portanto, o juro corresponde simultaneamente ao preço do tempo de utilização de um capital e ao preço do risco que corre o credor. E por estes motivos, a taxa de juro se eleva em função do aumento de duração da operação ou quando não há garantias suficientes por parte do devedor. A remuneração em dinheiro pelo empréstimo de um capital, a uma taxa e prazo determinados é chamada de juros simples quando produzida apenas pelo capital inicial (ou principal).

18.3 Cálculo de Juro Simples ou J = Cit onde i é a taxa unitária equivalente a J: Juro

C: Capital

i: Taxa de juros

t: Prazo de juros

Devemos levar em consideração o tempo utilizado na operação, onde a taxa e o prazo têm que ser expressos na mesma unidade, ou seja: Taxa mensal e o prazo mensal; se a taxa for anual o prazo deverá ser anual e assim sucessivamente. Os problemas de juros simples envolvem várias atividades financeiras, com taxas proporcionais, equivalentes e etc. Taxas proporcionais são assim chamadas se em razão de seus períodos (na mesma unidade de tempo) formam uma proporção: i1 T1

=

i2 T2

Ex.: As taxas 120% a.a. (ao ano) e 60% a.s. (ao semestre), 30 % a.t. (ao trimestre) e 10% a.m. (ao mês) são proporcionais, pois ao transformá-las para mês, teremos: 120 60 30 10 = = = 12 6 3 1

124

18.4 Montante É o valor acumulado de um capital C somado com o juro do capital produzido no prazo determinado. M = C + J ou M = C (1 + in) M: Montante C: Capital inicial (principal) J: Juros i: Índice percentual (30% a.m. tem i = 0,30 a.m.) n: No de períodos (n e i estão na mesma unidade de tempo) Ex.: Determine o montante produzido por um capital de R$ 100,00 aplicado à uma taxa de 7,5% a.m. (juro simples), durante 6 meses. Resolução: C: 100 i: 7,5% ou 0,075 t: 6 meses ou n = 6 M: ? Se usarmos: M = C + J M = 100 +

100 ⋅ 7,5 ⋅ 6 100

= 100 = 45 = 145

Usando: M= C (1 + in) M= 100 (1 + 0,075 ⋅ 6) M= 100 . 1,45 M= 145 Portanto o montante será de R$ 145,00.

18.5 Juro Comercial e Exato

Matemática

Existem dois métodos para achar o número de dias entre duas datas do calendário, a partir dos quais chegamos a resultados diferentes, porém aproximados. O tempo exato é aquele que nos dá o número preciso de todos os dias decorridos entre as duas datas. Tabelas financeiras apresentam os dias do ano através de números seguidos, o que torna simples a tarefa de encontrar o total de dias desejado.

01) Qual o tempo exato entre os dias 09 de maio e 16 de novembro do mesmo ano? Resolução:

125

Dia 09 de maio é o 129º do ano e 16 de novembro é o 320º do ano. Logo, entre estas duas datas foram decorridos 191 dias, pois:



O tempo ordinário ou comercial é aquele que nos dá o número de dias entre duas datas, considerando que cada mês tenha 30 dias. Resolução: Entre 09 de maio e 09 de novembro são decorridos 6 meses mais 7 dias até o dia 16 de novembro, totalizando 187 dias, pois: 6 ⋅ 30 = 180 + 7 = 187 dias Obs.: vários modelos de calculadoras financeiras calculam diretamente o tempo exato e o tempo aproximado ou comercial entre duas datas.



02) Uma empresa aplica uma importância de R$ 10.000,00 em um rendimento de juro simples de 0,5% a.d. (ao dia). Se o investimento foi feito em 17 de maio, com vencimento em 10 de setembro do mesmo ano, qual o total de juros, supondo: a) Tempo exato? b) Tempo comercial?

Resolução: a) Tempo exato (supondo que o ano não seja bissexto) 17 de maio é o 137º dia do ano e 10 de setembro é o 253º dia do ano, portanto: 253 – 137 = 116 O número preciso de dias decorridos é de 116 dias, logo teremos: J = 10.000 ⋅ 0,005 ⋅ 116 = 5800 b) Tempo Comercial (ou aproximado) No período de 17 de maio a 17 de setembro temos 4 meses decorridos menos 7 dias de setembro, teremos um total de: 4 ⋅ 30 = 120 – 7 = 113 O número aproximado de dias decorridos é de 113 dias, Logo teremos: J = 10.000 ⋅ 0,005 ⋅ 113 = 5650 Resposta: a) Total de juros exatos é de R$ 5.800,00 b) Total de juros aproximados é de R$ 5.650,00

OBS.: Sempre que nada for especificado considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial. Existem também casos onde desejamos descobrir a taxa, prazo ou capital aplicados. Podemos usar a mesma fórmula ou a seguinte regra:

Matemática



126

J = Juros C = Capital inicial  i%  i = Taxa percentual   t = Prazo (tempo)  100 

J C

i

t

Assim se o problema pedir: Capital C=

Taxa J Ct em % multiplicamos por 100

J it

i=

Tempo T=

J Ci

Exercícios Resolvidos

Apliquei 1/3 de meu capital durante 1 ano à taxa de 2% a.m. e o restante, durante o mesmo período à taxa de 3% a.m. Recebi de juros a importância de 6.400 um (unidade monetária). Determine o valor do meu capital inicial. Resolução: J = C1 i1 t1 + C2 i2 t2 C ⋅ 0,02.12 + 2C ⋅ 0,03.12 ∴ 6400 = 0,08 + 0,24c 3 3 6400 C= = 20.000 0,32 Resposta: O capital inicial é de 20.000 um 6400 =



Qual o tempo que ficou aplicado um capital à taxa 5% a.a., tendo aumentado 3/4 do seu valor? 3 ⋅C 3 100 T= = 4 = ⋅ = 15 anos 5 4 5 Ci C ⋅ 100 J

Matemática



A que taxa mensal um capital produz, em 4 anos e 2 meses, juros iguais ao dobro de si mesmo? T = 4a 2m = 50 meses

127 i=

J = 2C = 0,04 = 4%a.m. tC C⋅50

Durante quanto tempo esteve aplicado um capital, que triplicou o seu valor, a uma taxa de 20% a.m.? M = 3C M = ? M =20% a.m. = 0,20 t = J = 2C = 10 meses M = C+J J = 2c tC C ⋅ 0,20

18.6 Juro Composto ou Capitalizado Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M o montante C o capital inicial, n, o prazo e i, a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir que nos defrontamos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. C = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao mês M=?

Como ainda não conhecemos uma fórmula para a solução fácil e rápida desse problema, e sabendo que a taxa de juros para cada período unitário incide sobre o capital inicial mais os juros acumulados, calculemos o montante da forma mais primária possível. Vamos representar por Mt (t = 1, 2, 3, 4, 5) o valor do montante no final de cada período unitário, que em nosso exemplo é o mês. O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.

Matemática

Dados:

128 Mês (t)

Capital no início do Mês (Ct)

Juros correspondentes ao Mês (Jt)

Montante no final do mês Mt

1

1.000,00

1.000,00 ⋅ 0,04 = 40,00

1.040,00

2

1.040,00

1.040,00 ⋅ 0,04 = 41,60

1.081,60

3

1.081,60

1.081,60 ⋅ 0,04 = 43.26

1.124,86

4

1.124,86

1.124,86 ⋅ 0,04 = 45,00

1.169,86

5

1.169,86

1.169,86 ⋅ 0,04 = 46,79

1.216,65

Portanto o valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. Observa-se que o montante no final de cada mês constitui-se no capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é extremamente trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, mas sem que sejam efetuadas as operações de multiplicação e soma, apenas usando a propriedade distributiva do produto em relação à soma. S0 =

1.000,00

S1 =

1.000,00 + 0,04 ⋅ 1.000,00 = 1.000,00 (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)1

S2 =

1.000,00(1,04) + 0,04 ⋅ 1.000,00 (1,04) = 1.000,00 (1,04) (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)2

S3 =

1.000,00 (1,04)2 + 0,04 ⋅ 1.000,00(1,04)2 = 1.000,00(1,04)2 (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)3

S4 =

1.000,00 (1.04)3 + 0,04 ⋅ 1.000,00(1,04)3 = 1.000,00(1,04)3 (1 + 0,04) = 1.000,00(1,04)4

S5 =

1.000,00(1,04)4 + 0,04 ⋅ 1.000,00(1,04)4 = 1.000,00(1,04)4 (1 + 0,04) = 1.000,00(1,04)5

O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 =1.000(1,04)5. Como (1,04)5 = 1,21665 → M5 = 1.000 ⋅ 1,21665 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.

Matemática

Portanto, a relação adotada é: M = C (1 + i)n J=M–C M → é o montante C → é o capital inicial (principal) i → é a taxa unitária (% : 100) n → é o número de períodos da capitalização A taxa percentual e o tempo deverão estar na mesma unidade do período de capitalização. Por se tratar de juros compostos e para evitar confusão com as fórmulas de juros simples, vamos chamar o capital inicial de P (principal) e o montante de

129 S (soma dos montantes de cada período de capitalização), obtendo-se a seguinte expressão: S = P (1 + i)n Exemplo Determinar o montante determinado por um capital de 10.000 um, aplicado a juros capitalizados trimestralmente, à taxa de 2% a.m., durante 1 semestre. Resolução: S=? P = 10.000 Capitalização trimestral T = 1 semestre = 2 trimestres → n = 2 i = 2% a.m. i = 6% at → i = 0,06 S = P (1 + i)n S = 10.000 (1 + 0,06)2 S = 10.000 (1,06)2 S = 10.000 – 1,1236 S= 11.236 um Resumindo: Juros Simples

Compostos

J=C⋅i⋅n

M = C ⋅ (1 + i)n

M=C+J

n é o número de períodos de capitalização e deve estar na mesma unidade da taxa i.



01) Um capital é empregado nas seguintes condições: a metade a 3% ao ano, a terça parte a 5% ao ano e o restante a 8% ao ano. A que taxa única anual poderia ser empregado todo o capital a fim de se obter o mesmo rendimento anual? 1 ⋅ 3% + 1 ⋅ 5% + 1 ⋅ 8% = (9 + 10 + 8)% = 4,5% a.a 6 6 3 2



02) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a 10% ao mês durante 3 meses. O montante final é de: Simples

Compostos

J = 1000 ⋅ 0,1 ⋅ 3 = 300

M = 1000 ⋅ (1 + 0,1)3 = 1331

M = 1000 + 300 = 1300

Matemática



Capítulo 5

Sistemas e Equações de 1º e 2º Graus

1. Equação do 1º Grau Uma relação importante em R é a relação de igualdade. a=b Chamamos de Equação do 1º Grau de incógnita x uma igualdade do tipo: ax + b = 0 Procedimento para resolução de uma equação do 1º grau: 1. Isole os termos que contêm x de um “lado” da igualdade e os demais no outro “lado”, termos que estão somando ou subtraindo “passam para o outro lado” subtraindo ou somando, respectivamente. 2. Reduza todos os termos com x a um só. 3. Termos que estão multiplicando ou dividindo x, “passam para o outro lado” dividindo ou multiplicando, respectivamente.

131

Exercícios 93.

Dois números têm por soma 160 e o maior vale 7 vezes o menor. Quais são os números?

94.

Se a média de cinco números inteiros consecutivos é 17, então o menor dos cinco números é a. 11. b. 12. c. 13. d. 14. e. 15.

95.

Se forem tirados 2/3 do conteúdo de um recipiente cheio de água e recolocarmos 30 litros de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é a. 40 litros. b. 75 litros. c. 120 litros. d. 145 litros. e. 180 litros.

2. Sistemas de Equações Sistemas e problemas Métodos: 1. Substituição 2. Adição 3. Comparação

1º Método — Substituição

Matemática

Consiste em calcular uma incógnita em função de outra e em seguida, com o valor encontrado, substituir e achar o valor da outra.

132

2x − 3y = 5   x − y = 3

∴x = 3+ y

2º Método — Adição Baseia-se na propriedade: a= b a+c=b+c

x − y = 7  1)  x + y = 11

2x + y = 7  2)  x + y = 5

3x − 4y = 1  3)  2x + 3y = 12

Exercícios 96. Certa quantidade de sacos precisa ser transportada e para isto dispõe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos, se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados? a. 44. b. 45. c. 57. d. 22. e. 30.

Matemática

97. A prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos por questão e perdia 1 ponto por questão que deixava em branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, o número de questões que ele acertava foi: a. 25. b. 30. c. 35. d. 45.

133

01) Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em a. 15 minutos. b. 22 minutos. c. 25 minutos. d. 36 minutos. Comentário: Di = DV Vf Ti = Vv ⋅ Tv 12X = 8(3 – x) 12X = 24 – 8X 20X = 24 I = X = 1,2 V= 1,8 0,6 hs 0,6 ⋅ 60= 36

Exercícios

99. Para pesar 3 maçãs dispomos de um peso de 100 g e uma balança de pratos iguais. O peso da maçã maior é igual ao peso das outras duas juntas. O peso da menor mais 100 g é igual ao peso das outras. A maior mais a menor pesam 100g. O peso total das três maçãs será: a. 12g. b. 150g. c. 175g. d. 200g.

Matemática

98. Sabe-se que as marcas Skol e Brahma detêm juntas, 70% do mercado nacional; Brahma e Antártica, juntas, 60% e Antártica e Skol, juntas, 50% do mercado. Com base nestas informações pode-se dizer que: a. A Skol sozinha detém 20% do mercado. b. A Antártica sozinha detém 30% do mercado. c. A Brahma sozinha detém 40% do mercado. d. A Skol sozinha detém 45% do mercado.

134



02) (UnB/Prof. Mat./SEED-PR/2003) Uma cooperativa rural escoa sua produção de cereais por meio de um trem cujos vagões têm capacidade máxima de 2,8 toneladas (t) cada um. Essa cooperativa comercializa soja e milho em sacas padronizadas, que são vendidas de acordo com a tabela abaixo. Produtos

Kg por saca

preço por saca (R$)

Joja

50

10,00

Milho

60

8,00

Sob essas condições, o total de sacas de soja somado ao total de sacas de milho que podem ser transportadas juntas em um vagão, de modo a ocupar toda a sua capacidade e de modo que o valor da carga seja igual a R$ 400,00, é a. 44. b. 45. c. 47. d. 46. e. 48.

Comentário: 50S + 60M = 2800 10S + 8M = 400 (x5) 50S + 40M = 2000 20M = 800 M = 40 → 105 + 320 = 400 → S + M = 48 105 = 80 S=8

Matemática



03) (UnB/Téc. /BASA/2004) Considere a seguinte situação hipotética. Dispostos em linha reta, estão 10 focos de incêndio e uma torneira, onde se encontram um balde e um bombeiro, que deve apagar os focos de incêndio. Sabe-se ainda que »» a torneira dista 50 m do primeiro foco de incêndio e cada foco de incêndio está a 20 m do seguinte. »» basta um único balde de água para apagar cada foco de incêndio. »» o bombeiro deve encher o balde de água na torneira, caminhar até o primeiro foco de incêndio, apagá-lo, retornar à torneira para encher novamente o balde com água, caminhar até o segundo foco de incêndio, apagá-lo, voltar à torneira e assim proceder, até apagar o último foco de incêndio, quando retornará à torneira para deixar o balde.

135

Nessa situação, ao apagar todos os focos de incêndio e recolocar o balde junto à torneira, o bombeiro terá caminhado mais de 3 km. Comentário: T F1 F2 ....... F10 50 20 100 140 180 220 260 → Item errado 300 340 380 420 460 2800 m

3. Equação do 2º Grau Equação do 2º grau em R, na incógnita x, é toda igualdade do tipo: a ⋅ x2 + b ⋅ x + + c = 0 ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números reais e a é não nulo. A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando b ≠ 0 e c ≠ 0 (a é sempre não nulo), a equação é chamada de completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Exemplos: 1. 3x2 + 4x – 5 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3; b = 4; c = –5. 2. x2 + 5x = 0 é uma equação de 2º grau incompleta com a = 1; b = 5; c = 0.

Fórmula de Bhaskara: x =

−b –

b

2

2a

− 4ac

Matemática

Resolução das equações completas: A resolução da equação completa de 2ª grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1.114; por meio dela sabemos que o valor da incógnita que satisfaz a igualdade é:

136 O número b2 – 4ac chama-se discriminante da equação e é representado, geralmente, pela letra grega ∆ (delta). Fazendo, então: ∆ = b2 – 4ac

x1 =

Reescrevendo as soluções da equação como segue:

x2 =

−b −

∆

2a

−b +

∆

2a

Observação: A fórmula acima só se aplica quando ∆ ≥ 0; quando ocorre ∆ < 0, a equação não tem soluções reais. Exemplos: Para a equação x2 – 5x + 6 = 0, temos: a = 1; b = –5 e c = 6 Portanto, ∆ = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 – 24 = 1 e as raízes são: x1 = x2 =

−b −

∆

2a

−b + 2a

∆

= =

−5 −

1

2 ⋅1

− (−5) + 2 ⋅1

=

5−1 2 1

=

=

4 2

5 +1 2

=2

=

6 2

=3

Matemática

e o conjunto-solução é S = {2, 3} Dica Achando as raízes por soma e produto: Se: a = 1 podemos usar soma e produto: Quais são os números que multiplicados resultam no c e somados resultam no b com sinal contrário? Ex.: x² – 5x + 6 = 0 → 2 e 3 x² – 4x + 3 = 0 → 1 e 3 x² – 8x + 15 = 0 → 3 e 5 x² – 7x + 12 = 0 → 3 e 4 x² + 4x + 3 = 0 → –1 e – 3 x² + 8x + 15 = 0 → – 3 e – 5

137 Frases importantes que vão mudar sua vida!!!! Raízes reais diferentes ou 2 pontos em comum ou duas soluções distintas

∆>0

Raízes reais iguais ou raiz dupla ou solução única

∆=0

Não existem raízes reais ou não possuem pontos de interseção ou as raízes são complexas

∆ 0. Se f(2) = 0,2 e f(3) = 0,5, o valor de f(96) é a. 0,5. b. 1,0. c. 1,5. d. 2,0. e. 2,5. Resposta: C. 107. (UFPA) Sejam os conjuntos A = {1,2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira? a. f: x → 2 x é uma função de A em B. b. f: x → x + 1 é uma função de A em B. c. f: x → x2 – 3x + 2 é uma função de A em B. d. f: x → x2 – x é uma função de B em A. e. f: x → x v 1 é uma função de B em A. Resposta: C. 108. (UFOP) Sejam f : R → R e g : N → N funções satisfazendo f(x – 2) = x3 e  . Então f(3) – g(3) é igual a: g(0) = 1

 g(n) g(n + 1) = 2



a. 11. b. 16. c. 93. d. 109. e. 125. Resposta: D.

Exemplo: 01) Seja f uma função de R em R definida por f(x) = (x3 – 3x). Calcular: a. f(0) b. f(1)

Matemática

1.5 Valor Numérico

146 c. f(–2) d. f (√2 ) Resolução: f(x) = x3 – 3x a) f(0) = 03 – 3 ⋅ 0 = 0 b) f(1) = 13 – 3 ⋅ 1 = –2 c) f(–2) = (–2)3 – 3 ⋅ (–2) = – 8 + 6 = –2 d) f (√2 ) = (√2 )3 – 3 ⋅ (√2 ) √23 – 3√2 = √8 – 3√2 = 2√2 = 3√2 = –√2

2) Dadas as funções f e g, determinar p e q de acordo com as condições dadas: f(x) = 2x + p q(x) = –x + q f(–1) = 4 e q(2) = –3

Resolução: Como f(–1) = 4 temos: Como q(2) = –3 temos:

4 – 2 (–1) + p → 4 = –2 + p = p 3 = (–2) + q → –3 = –2 + q

p=6 q = –1

3) Seja a função f : R → R tal que: f(x) = x – 2 se x ≤ –3 (I) 3x2 + 1 se – 3 < x < 3 (II) 10 se x ≥ 3 (III)



Calcule o valor de f(–3) + f(p) — 2f (√5 )

Resolução: Em f(–3) → substituiremos em (I) Veja: f(–3) = x — 2 → f(–3) = (–3) – 2 = –5 Em f(p) → substituiremos em (III) Veja: F(p) = 10 Matemática

Em f (√5 ) = substituiremos em (II) 2 Veja: f (√5 ) = 3 (√2 ) + 1 → 3 ⋅ 5 + 1 → 15 + 1 = 16



Logo: f(–3) + f(p) – 2f (√5 ) = –5 + 10 – 2 (16) = –5 + 10 – 32 = –27

147

Exercícios 109. O gráfico cartesiano de uma função f : IR → IR é apresentado abaixo. y 2 1 –2

0

1

2

3

x

–1

Determine a. f(–2) b. f(0) c. f(1) d. f(3) e. f(f(0)) f. f(f(3)) Resposta: a) 0; b) 1; c) 0; d) 2; e) 0; f) –1 110. (UFOP) Sejam f(x) = 3x e n ∈ N. Então a afirmativa falsa é: a. f(–0,5) ⋅ f(1) = 3 b. f(x) ⋅ f(y) – f(x + y) c. f(nx) = (f(x)n) d. f(x) ÷ f(y) – f(x –y) e. (f(x))n = f(xn) Resposta: E. 111. (COPEVE) Considere-se a função definida por:



O valor de f(2) + 2f( 2 ) – 4f(1/2) é: a. 4 – 2 2 b. 5 – 2 2 c. 2 2 d. 3 2 e. 7

Matemática

 x2 se x é racional f(x) =  1 – x se x é irracional

148 112. (UFMG) A função f:R → IR associa a cada número real x o menor inteiro maior do que 2x.  1 1  O valor de f(−2) + f −  -  + f   é  5 2 a. –4 b. –3 c. –2 d. –1 e. 0

3x se − 1 ≤ x ≤ 1  f(x) = 5 se 1 < x ≤ 4 x − 4 se x > 4 

113. Considere a função definida por Pode-se afirmar que o valor de f(f(f(2))) é: a. 1/3 b. 1 c. 3 d. 5 e. 9 Resposta: C.

2. Função Composta A

C

g.f

1

5

2

6

f

B 3

Matemática

4

g

149 Aplicar a nova função gof equivale a aplicar sucessivamente as funções f(x) e g(x). O leitor deverá se familiarizar com as seguintes notações: fog(x) = f[g(x)] gof(x) = f[(x)] fogof = f{g[f(x)]} fofof = f{f[f(x)]} Considere as funções reais f e g, assim definidas: f(x) = x2 – 3x + 5 e g(x) = 2x – 1 Encontre a função h, definida por h(x) = f(g(x)) A função h é chamada composta de f e g. Resposta: h(x) = 4x2 – 10x + 9 Considerando as mesmas funções da questão anterior, determine: a) g(f(x)), composta de g e f; b) g(g(x)), composta de g e g. Resposta: a) g(f(x)) = 2x2 – 6x + 9 b) g(g(x)) = 4x – 3

Exercícios

Matemática

114. (PUC-MG) Duas funções f e g são tais que f(x) = 2x + 3 e f[g(x)] = 5 – 2x. O valor g(–1) é igual a: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

150 115. Seja b um número positivo. Considere a função f : IR → IR dada por

 3 x + b f(x) =  2 x 2 − 3

se x < b se x ≥ b

b Se f(f( )) = 97 , o valor de b é: 2 a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 116. Para um número real fixo a, a função f(x) = ax – 2 é tal que f(f(1)) = –3. O valor de a é: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

3. Função Composta e suas Aplicações Exercícios

Matemática

117. (MCAMPOS) Se f(2x – 1) = 4x + 3 então f(0) é igual a a. 5 b. 0 c. 3 d. 4 e. 6 118. (UFMG) Seja f : R → R uma função tal que f(x + 1) = 2f(x) – 5 e f(0) = 6. O valor de f(2) é a. 0 b. 3 c. 8 d. 9 e. 12

151 119. (FEI-SP) Se f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, para todo x real, então f(1 – x) vale a. 2 – x2 b. 2 + x2 c. x2 + 2x – 4 d. 3x2 – 2x + 4 e. x2 + x – 1 120. Seja f : IR → IR uma função tal que f(3x + 1) = 1 – x. Então f(a) é: a. 1 – a b. 3a + 1 c. – 3a d. (4 – a) / 3 e. 4 – 3a Resposta: D.

4. Análise de Gráficos Exercícios 121. O gráfico de barras abaixo indica o número de dias de chuva, em cada mês do ano, numa certa cidade. Analise-o e responda: Mês

0

5

10

Nº dias de Chuva

15

Matemática

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

152 a. b. c. d.

Em que mês ocorreram mais dias de chuva? Em que meses ocorreram menos dias de chuva? Quantos dias de chuva ocorreram no 1º trimestre do ano? Sem efetuar cálculos, faça urna estimativa da média mensal de dias de chuva naquele ano. Em seguida, calcule a média e confirme sua estimativa. e. Que outras informações podem ser extraídas desse gráfico? Resposta: a) Maio. b) Fevereiro, novembro. c) 19 dias d) 7,25 122. O gráfico a seguir representa o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de um ano. Nivel (m) 70 60 50

10 1/jan

31/dez

Tempo

Qual foi o nível máximo atingido pela barragem? E o nível mínimo? Quantas vezes no ano o nível atingiu 54 m? Qual foi a taxa de variação média mensal do nível da água da barragem no 1º semestre? E no 2º semestre? E no ano? Resposta: a) 70m b) 10m c) 4 vezes d) 1º sem: –1,67 m/mês Matemática

a. b. c. d.

30/6

153 123. (Cesgranrio-Adaptação) Uma torneira alimenta um reservatório d’água. O volume da água, em função da altura que o nível da água atinge, é registrado por um cientista. Com os dados obtidos, ele constrói o gráfico abaixo. Volume d'água (L) 179.00

143.20 6



10

Altura do nível d'água (cm)

Qual é o percentual de aumento do volume de água nesse reservatório quando o nível da água varia de 6 cm para 10 cm? Resposta: 25%.

18

A

20





B

INGESTÃO (mg/dia)

Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/ dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa Falsa relativa ao gráfico é: a. A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia. b. Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. c. A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. d. Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. Resposta: C.

Matemática

ABSORÇÃO (mg/dia)

124. (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

154

5. Taxa de Variação: Física Exercícios

Espaço da terragem (m)

125. Chama-se espaço de frenagem de um automóvel a distância média que ele percorre desde o momento do acionamento do freio até parar. O espaço de frenagem depende de sua velocidade no momento e: o freio é acionado. Observe o gráfico. 96

60 36 16 4 20

40

60

80

100 Velocidade (km/h)

a. Quantos metros o carro percorre até parar, quando é freado a 20 km/h? b. Se o veículo percorreu 60 metros após freado, qual era então sua velocidade? c. Estime a distância aproximada que o carro percorre até parar, quando freado a 70 km/h. Resposta: a) 4 m. b) 80 km/h. c) 48 m aproximadamente. 126. O gráfico cartesiano abaixo representa a velocidade v (em km/h) de um automóvel em função do tempo t (em s). V (km/h) 50 40 30

Matemática

20 10 0

2

4

6

8

10

12

14

t (s)

155 Determine a. o valor de v para t = 2 s; b. a velocidade máxima atingida pelo automóvel; c. o instante em que ele atingiu tal velocidade; d. os instantes em que sua velocidade era de 30 km/h; e. os instantes em que ele estava em repouso. Resposta: a) 20 km/h b) 40 km/h c) 8 s d) 4 s e 12 s e) 0 s e 14 s 127. Os gráficos que aparecem nas atividades 167, 168 e 169 mostram, em três situações distintas, a posição x (em metros) de um corpo em movimento retilíneo em função do tempo t (em segundos). Em movimentos retilíneos, a taxa de variação média da posição de um corpo num dado intervalo de tempo é, por definição, a velocidade média do corpo naquele intervalo: Δx Velocidade média = Δt

A partir dessas informações, responda às perguntas relativas a cada um dos gráficos. x (m) 55 40 25 10 3

6

9

t (s)

a. Qual é a velocidade média de 0s a 3s? E de 3s a 6s? E de 6s a 9s? b. Que ocorre com as taxas de variação de uma função nos vários intervalos, quando seu gráfico é uma linha reta? Resposta: a) Constante = 5 m/s. b) É constante.

Matemática

0

156 128. x (m) 51 45

30

0

3

6

9

t (s)

a. Qual é a velocidade média de 0s a 3s? E de 3s a 6s? E de 6s a 9s? b. Que ocorre com as taxas de variação de uma função nos vários intervalos, quando seu gráfico é uma linha reta? Resposta: a) 10m/s; 5m/s; 2m/s. b) Diminuiu. 129. x (m) 54

24 9 0

3

6

9

t (s)

Matemática

a. Qual é a velocidade média de 0s a 3s? E de 3s a 6s? E de 6s a 9s? b. Nesse caso, o que ocorreu com as taxas de variação da função com o passar do tempo? Resposta: a) 3 m/s; 5 m/s; 10 m/s. b) Aumentou.

157 130. O gráfico a seguir mostra a variação da velocidade de um automóvel em função do tempo, em um movimento retilíneo, com duração de 28 segundos. v(m/s) 8

5 4

0

4

8

20

28 t (s)

a. Qual é o domínio da função? b. Em que intervalo de tempo a velocidade foi crescente? E constante? E decrescente? c. Qual foi a velocidade máxima atingida pelo automóvel? Em que instante(s) ela ocorreu? d. Qual foi a velocidade mínima atingida pelo automóvel? Em que instante(s) ela ocorreu? e. Qual é o conjunto imagem da função? Resposta: a) 0 ≤ t ≤ 28. b) Cresc: [0, 8]; const: [8, 20]; decresc: [20, 28]. c) 8m/s; 8 ≤ t ≤ 20. d) Zero; 28s. e) 0 ≤ v ≤ 8. 131. Em movimentos retilíneos, a taxa de variação média da velocidade de um corpo num dado intervalo de tempo é, por definição, a aceleração média do corpo naquele intervalo: aceleração média =

Δv Δt

Matemática



158

6. Gráficos e Valor Numérico 132. Observe a figura Y 5 4 3 2 1 –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X

–1

Essa figura contém o gráfico da função y = f(x) definida em A = {x ∈ IR : –7 ≤ x ≤ 8}. Todas as alternativas sobre a figura são corretas, exceto: a. A soma de todas as raízes distintas de f(x) é negativa. b. f(–5) < f(6) c. f(–4) + f(2) > 1 d. A soma de todos os valores distintos de x, x ∈ A, tais que f(x) = 3 é um número positivo. e. f(3) – f(–2) < 0 Resposta: E.

Matemática

133. Observe a figura

Nessa figura, estão representados os gráficos das funções f e g. Se f(2x) + g(2x + a) , então o valor de h(a) é: h(x) = f(g(x)) a. 1 + a

159



b. 1 + 3a c. 4/3 d. 2 e. 5/2 Resposta: D.

134. Observe a figura

y

f(x)

g(x)

h(x) a





b

c

x

Nessa figura, estão esboçados os gráficos das funções f(x), g(x) e h(x). A única afirmativa falsa é: a. para todo x tal que x ≤ a tem-se g(x) ≥ f(x). b. para todo x tal que b ≤ x ≤ c tem-se h(x) ≥ g(x). c. para todo x tal que a ≤ x ≤ c tem-se h(x) ≥ f(x). d. para todo x tal que x ≥ c tem-se g(x) ≥ h(x). Resposta: C.

7. Domínio e Imagem 7.1 Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem Sabemos que uma relação A em B recebe o nome de função quando obedece as duas condições:

Matemática

»» todo elemento de A tem correspondente em B. »» cada elemento de A tem um único correspondente em B.

160 Domínio de uma função A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A. É indicado por D ou Df. Temos Df = A. Contradomínio de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto B. É indicado por CD ou Cdf. Temos Cdf = B. Conjunto Imagem de uma função de A em B é o conjunto formado por todos os elementos de B que serão associados a algum elemento de A. É indicado por Im ou Imf. No gráfico abaixo, temos: D = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 7} = [2, 7] Im = {y ∈ R / 1 ≤ y ≤ 4} = [1, 4] y

4 imagem 1 2

domínio

7

x

Atenção: O Domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. A Imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. Para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y na imagem. Isto significa que cada reta vertical traçadas por ponto do domínio deve interceptar o gráfico da função num único ponto. Se a reta vertical interceptar o gráfico e mais de um ponto, então esse gráfico não representa uma função.

7.2 Determinação do Domínio de Função

Matemática

Quando uma função for descrita apenas por uma sentença aberta y = f(x), subentendemos que: O domínio é subconjunto de R, no qual são possíveis as operações indicadas de f(x): O contradomínio é R.

161 Exemplos: a. f(x) =

x +3

x−2 X – 2 ≠ 0x

Devemos impor que o denominador não pode ser nulo:

Logo: D(f) = {x ∈ R / x ≠ 2} = R – {2} b. f(x) = 4 2x − 6 Em R, o radicando de uma raiz de índice par não pode ser negativo: 2x – 6 ≥ 0 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3 Logo: D(f) ={x ∈ R / x ≥ 3} = [3, + ∞[ c. f(x) = 2x − 8 O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo ou nulo ou positivo, ou seja, 2x – 8 pode assumir todos os valores reais. Logo: D(f) = R 3

d. f(x) =

3− x 2x + 1

As operações indicadas em

3 – x ≥ 0 → –x ≥ –3 ⋅ (–1) → x ≤ 3 2x + 1 ≥ 0 → 2x ≥ – 1 → x ≥ –

1

3− x 2x + 1

são possíveis se, e só se:

1

2

2

Efetuando a interseção em 1 e 2 obtemos:

{

D(f) = x ∈ R / −

}

 1  < x ≤ 3 = − , 3  2  2

1

7.3 Funções Crescentes e Decrescentes Função Crescente Uma função y = f(x) é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2). Observe o gráfico seguinte: y

0

a < b → f(a) < f(b)

a

b

f f(b)

x

Matemática

  

f(a)

    

sobe

162 Verificamos que se a e b são dois números reais quaisquer com a < b, então ocorre f(a) < f(b); ou seja: quando x cresce, f(x) também cresce. Funções com esse comportamento chamam-se funções crescentes em IR. Função Decrescente Uma função y = f(x) é decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2). Analogamente, no gráfico seguinte

a

f(b)

  

0

desce

    

y

f(a)

b

f x

a < b → f(a) > f(b) Se a e b são dois números reais quaisquer com a < b, então ocorre f(a) > f(b), ou seja: quando x cresce, f(x) decresce. Este comportamento caracteriza uma função decrescente em IR. Observação: Se, no intervalo do domínio, uma função não é crescente nem decrescente, então ela é uma função constante.

Matemática

Exemplos 2 1. (Copeve) Seja f : IR → IR uma função dada por f(x) = 2 + x + 1 . Pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é: a. {y ∈ IR : y ≥ –1}. b. {y ∈ IR : y ≥ 0}. c. {y ∈ IR : y ≥ 2}. d. {y ∈ IR : y ≥ 3}. e. IR.

163

Gráfico: resumindo tudo Considerando a função g, representada pelo gráfico da figura, determine y 4 2 –5

0

–2

2

–1

4

x 6

Matemática

a. o domínio; b. o conjunto imagem; c. o(s) intervalo(s) em que é crescente; d. o(s) intervalo(s)em que é decrescente; e. o máximo e o mínimo, se houver; f. as raízes; g. os valores de x tais que g(x) < 0; h. os valores de x tais que g(x) > 0; i. g[g(–2)] + g[g(4)]. Resposta: a) ] –∞, 6[ b) ] –∞, 4[ c) ] –∞, -2] ∪ [2, 6[ d) [–2, 2] e) Não há. f) –5, 0 e 4 g) ] –∞, 5 [∪] 0, 4[ h) ] –5, 0 [∪] 4, 6[ i) –1

164

Exercícios 135. Considere a função f definida pelo gráfico abaixo. y 4

0

5

10

14

18

20 x

Matemática

4

Determine a. o domínio; b. o máximo (se houver); c. o mínimo (se houver); d. o conjunto imagem; e. o(s) intervalo(s) em que f é crescente; f. o(s) intervalo(s) em que f é decrescente; g. o(s) intervalo(s) em que f é constante; h. as raízes; i. os valores de x tais que y > 0; j. os valores de x tais que y < 0; k. o número de soluções da equação f(x) = 1; l. o número de soluções da equação f(x) = –4; m. a taxa de variação média da função no intervalo [10, 14]. Resposta: a) [0, 20] b) 4 c) –4 d) [–4, 4] e) [0, 5] ∪ [18, 20] f) [5, 14] g) [14, 18] h) 0, 10 e 20 i) ]0, 10[ j) ]10, 20[

165

k) 2 l) infinitas m) –1

136. Sejam A = {(x, y) ∈ IR x IR : –x2 + 2x + 3 ≥ 0 e –1 ≤ y ≤ 3}. Então, a região hachurada que melhor representa o conjunto A é: a.

y

d.

3

y 3

3

–1

x

–1

–1

3

x

3

x

–1 y

e.

y

b.

3

3

–1

3

x

3

x

–1

–1 –1

y

c.

3

–1 –1

Resposta: D.

Matemática



166

8. Função Inversa Definição: Observe as funções, cujos diagramas estão representados a seguir. A

f

1

B 4

2

5

3 (I)

A

g

B

A

h

B

1

4

1

4

2

5

2

5

3

6

3

6

(II)

7

(III)

Em todos eles, temos funções de A em B. Se pensarmos nas relações de B em A, ou seja, nas relações inversas que eles determinam, verificamos que: »» no caso do diagrama I, a relação inversa não determina uma função, pois o elemento 5 → B tem duas imagens, 2 e 3. »» para o diagrama II, a relação inversa também não determina uma função, pois o elemento 7 → B não tem imagem. »» já no caso do diagrama III, a relação inversa determina uma função, pois todo elemento de B tem uma única imagem em A. Veremos, a partir de agora, as condições para uma função ser inversa. Seja f: A → B uma função bijetora. Chama–se inversa de f e representa-se por –1 f à função f–1: B → A tal que, f(x) = y → f–1 (y) = x Observações: a) D(f) = Im(f–1) e Im(f) = D(f–1) b) O gráfico de f–1 é simétrico ao gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes.

Matemática

No caso da função ser dada por uma fórmula, considerando um domínio onde ela seja bijetora, a inversa é encontrada do seguinte modo: 1. Na fórmula y = f(x), trocamos y por x e x por y. 2. Calculamos o y.

167 Exemplo: Ache a inversa de y = 2x – 3 Solução: y = 2x — 3   x = 2y – 3 ÷ x + 3 = 2y ÷ y = x + 3 2 Resp: f1(x) = x + 3 2 Exemplos 1. (c0peve) A função inversa de f (–∞,0] → [0,+∞) tal que f(x) = x2 é a função g:[0,+∞) → (–∞,0] definida por: a. g(x) = 2 b. g(x) = – 2 c. g(x) = x2 d. g(x) = –x2 e. g(x) = |x| Gráfico y

x

A função inversa da Exponencial e a função Logaritmica!!! a>1

a>1 y

função crescente D=R Im = R++

0

x

0

1

x

função crescente

Matemática

y

168 00) y = ax

Observando agora a inclinação das curvas, ou seja, a abertura relacionada ao crescimento ou decrescimento e sua velocidade.

Matemática

Consideremos agora o caso de y = ax com a ≠ 0. Primeiramente, se a > 0, e fazendo a = 1, a = 2, a = 1/2, a = 1/3, por exemplo, observe na figura abaixo: para cada valor não nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente é, respectivamente, x, 2x, 1/2x,1/3 x. Além disso, para x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem.

175 Dessa maneira, variando o coeficiente a > 0 em y = ax, observamos que o ângulo de inclinação da reta varia: se a > 1, o ângulo é maior que 45º; se 0 < a < 1, o ângulo é menor que 45º. y = 2x

y=x

y = 1x 2 y = 1x 3

Agora considere, se a < 0, e fazendo a = –1, a = –2, a = –1/2, a = –1/3, por exemplo, observe na figura abaixo: para cada valor não nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente é, respectivamente, –x, –2x, –1/2x, –1/3x. Além disso, para x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem. Dessa maneira, variando o coeficiente a < –1 em y = ax, observamos que o ângulo de inclinação da reta varia: se a < –1: y = –2x y = – 1x 2 y = – 1x 3

y = –x

Matemática

Como fizemos no caso das funções de primeiro grau, vamos entender primeiro qual é a ação do coeficiente a. Para tanto, vamos examinar o caso das funções do tipo y = ax2, com a ≠ 0. Primeiramente, se a > 0, observe na figura abaixo: para cada valor não nulo das abscissa x, o valor da ordenada correspondente é, respectivamente x2, 2x2, 1 x2, 1 3 2 x2. Além disso, para x = 0 temos sempre x = 0, o que significa que as curvas passam pela origem.

176 Dessa maneira, o coeficiente a > 0 em y = ax2 faz mudar o ângulo de inclinação da curva: se a > 1, o ângulo aumenta (a parábola fica mais "fechada"), se 0 < a < 1, o ângulo diminui (a parábola fica mais "aberta") 1 2 x 1 2 2 x2 2x2 x 3

y=–

1 2 x 3

y=– y = –2x2

y = –x2

1 2 x 2

11. Rotação e Translação de Gráficos Simultânea Resumindo Translação e Rotação Vertical e Horizontal K POSITIVO

Matemática

F(x + k)

+K

–K F(x) – k

F(x) + k

+K

–K

F(x – k)

177 f(x) + k sobe k unidades f(x) + K

f(x)

f(x) – k desce k unidades f(x) + K

f(x)

f(x + k) move para esquerda k unidades

f(x)

f(x – k) move para direita k unidades

Matemática

f(x) + K

178

f(x)

f(x) – K

Vejamos então como fazer o gráfico de, por y = 3 . ( x + 3 )2 – 2, fazendo os vários 4

gráficos intermediários a fim de entender os movimentos ocorridos, a partir do gráfico de y = x2 y = 3 . ( x + 3 )2 4 y = ( x + 3 )2 4 y = x2 y = 3 . ( x + 3 )2 –2 4

É preciso observar que primeiro ( x + 3 )2 construímos o gráfico da função mais 4 simples y = x2; em seguida, o gráfico de y = ( x + 3 )2 no qual observamos a translação 4 horizontal de – 3/4; depois o gráfico de y = 3 ⋅ ( x + 3 )2 onde é possível visualizar 4 a mudança de inclinação da curva provocada pelo fator 3; finalmente, ( x + 3 )2 o 4 gráfico de y = 3. ( x – 3 )2 — 2 com a translação vertical de –2. O vértice da parábola 4 y = 3 ⋅ ( x + 3 )2 – 2 é o ponto ( x – 3 )2. 4

4

Exercícios 138. Observe a figura y

Matemática

1

–2

–1

1 –1

2

3

x

179 Nessa figura, está esboçado o gráfico da função f(x) definida no intervalo [–2, 3]. O gráfico de g(x) = f (x + 1) é: y a. 1

–2

–1

1

2

3

x

–1 –2

b.

y 2 1

–2

–1

c.

1

2

3

x

1

2

3

x

y 2 1

–2

–1

y

d.

1

–2

–1

1

2

3

x

–1 Matemática



180 139. Provão/1998 y 2 –2

–1

1

2

x

–2



Sendo a função F, definida em (–2, 2), representada no gráfico acima, pode-se afirmar que a função: a. G(x) = F(x) + 1 é positiva em todo domínio. b. H(x) = F(x) –1 é nagativa em todo o domínio. c. S(x) = –F(x) é positiva entre –1 e 0. d. S(x) = – F(x) é negativa entre 0 e 1. e. M(x) = |F(x)| é nagativa quando F(x) é nagativa. Resposta: C.

12. Modular 12.1 Definição Chamamos de função modular à função f : R → R definida por:  f(x) = |x| =  x, se x ≥ 0  –x, se x < 0 Como já vimos, |x| ≥ 0 para todo x real, logo lm(f) = R*

12.2 Gráfico

Matemática

De acordo com a definição de função modular, seu gráfico é formado pela parte do gráfico da reta y = x para o qual x ≥ 0 e pela parte do gráfico da reta y = –x para qual x < 0.

181 a. f(x) = |x – 2| y 2 y=x+2

y = –x + 2

2

x

b. f(x) = x2 – 2x – 3 y

–1

3

x

c. f(x) = |x – 3| + 5 y f(x) = |x–3| + 5 5 f(x) = |x| –5

0 –5

5

10

15

x

|5|

Matemática

–10

f(x) = |x–3|

182

Exercícios 140. O desenhos abaixo representa o gráfico de y = f(x). y

–1



1

O gráfico que representa o a função y = |f(x)| é a. y

–1

b.

0

1

x

0

1

x

0

1

x

0

1

x

y

–1

c.

y

–1

y

d.

–1

Matemática

0

x

183 e.

y

–1



0

1

x

Resposta: A.

Resumindo Translação e Rotação Vertical e Horizontal K POSITIVO

F(x + k)

+K

–K

F(x) + k

+K

F(x – k)

–K

F(x) – k

F(x) + K sobe K unidades f(x) + K

Matemática

f(x)

184 F(x) – k desce k unidades f(x)

f(x) – K

F(x + k) move para esquerda k unidades

f(x) + K

f(x)

F(x – k) move para direita k unidades

Matemática

f(x)

f(x) – K

185 Translação modular |F(x)| negativo fica positivo

f(x)

|f(x)|

|f(x)|

Matemática

f(x)

186 Retomando...... F(x)

|f(x)|

f(–x)

Matemática

–f(x)

187 f(x + 2)

f(x) + 1

f(x – 3)

f(x) – 1

f(x)

Matemática

|f(x)|

188 –f(x)

f(x + 2)

f(x ) + 2

Matemática

f(x – 2) + 2

189

13. Equação Modular 13.1 Equação Modulares Para resolver uma equação modular use as propriedades: a. Se a > 0, |f(x)| = a ↔ f(x) = a ou f(x) = –a b. |f(x) = g(x) ↔ f(x) = g(x) ou f(x) = –g(x) c. |f(x)| = f(x) ↔ f(x) ≥ 0 d. |f(x)| = f(x) ↔ f(x) ≤ 0

Resolva as equações: a. 5 – 3x = 1 Solução 5 – 3x = 1 ↔ 5 — 3x = 1 ou 5 — 3x = –1. Logo: 5 – 3x = 1 ↔ 5 – 3x = –1 –3x = –4 –3x = –6 4 x= x=2 3  4 s = 2  3   

b. x – 3 = –5 Solução Como |x – 3 ≥ 0, não existe x satisfazendo à equação acima e então S = ∅

c. 3x – 2 = 1 – x Solução Teremos: 3x – 2 = 1 – x 4x = 3 x = 4 3 S={4 , 1 } 3 2

3x – 2 = 1 + x 2x = 1 1 x= 2

Matemática



190

Exercício 141. O valor de x na equação | | | x – 1 | – 3 | – 2 | = 0 é:

14. Função do 1º Grau Denominamos Função do 1º Grau e função f : R → R, definida pela lei y = ax + b com a e b reais e a ≠ 0. f(x) = ax + b Na lei y = ax + b, os valores a e b são coeficientes números da função. O coeficiente a deve ser diferente de zero, pois do contrário, a lei da função fica reduzida a y = B, deixando de ser uma função do 1o grau, sendo, neste caso, chamada Função Constante. y

f(x) = b

h 0

x

Sempre que ocorrer b = 0, a função de 1º grau fica reduzida a forma y = ax, também chamada Função Linear, f(x) = ax (a ∈ R*). Observação: se uma função linear tem a = 1, sua lei reduz-se a forma f(x) = x, também chamada Identidade (passa pela origem). As funções a seguir são de 1º grau, pois suas leis podem ser escritas na forma y = ax + b (a ≠ 0).

Matemática

y = 5x + 1 (a = 5 e b = 1) y = 3 – x (a = –1 e b = 3) y = –2x (a = –1 e b = 0) O gráfico de uma função do 1º grau y = ax + b (a 0) é sempre uma reta do plano cartesiano, por essa razão a lei da função do 1º grau é também denominada

191 Equação da Reta Assim, para construir o gráfico da função do 1º grau, precisamos apenas de dois pontos. Na função de 1º grau y = ax + b, os coeficientes numéricos recebem nomes particulares: y = ax + b Cada um desses coeficientes nos dá uma característica do gráfico da função de 1º grau: o coeficiente angular (a) indica inclinação da reta; o coeficiente linear (b) indica o ponto onde intercepta o eixo oy. Podemos obter esses coeficientes a partir de dois pontos conhecidos da reta. Gráfico: o gráfico da função f(x) – a ⋅ x + b é uma retas não paralela aos eixos x e y. 1º caso: a > 0 (função crescente) 2º caso: a < 0 (função decrescente) f(x)

f(x)

x

x

O domínio de f(x) = a ⋅ x + b é D(f) = IR. A imagem de f(x) = a ⋅ x + b é Im(f) = IR. Raiz ou Zero de uma Função de 1º Grau Para obter a raiz ou zero de uma função de 1º grau, atribuímos a y o valor r zero e resolvemos a equação ax + b = 0. Veja: b a

com a ≠ 0

Matemática

ax + b = 0 → x = −

192 No gráfico de y = ax + b, a raiz x = − reta intercepta o eixo ox.

b a

corresponde à abscissa do ponto onde a

f(x)

0

x

Estudo do Sinal da Função do 1º Grau 1o exemplo: Dada a função f(x) = 2x – 4, determinar os valores reais de x para os quais: y

2 –4

x

f(x) = 0

Matemática

f(x) > o f(x) = o f(x) < o Solução: podemos afirmar que a função é crescente, pois a = 2 > 0. o zero da função é: 2x – 4 = 0 → 2x = 4 → x = 2. Logo a reta intercepta o eixo no ponto da abscissa x = 2. Pelo esquema, podemos dar a seguinte resposta ao problema: f(x) = 0 para x = 2 f(x) > 0 para {x ∈ R / x > 2} f(x) < 0 para {x ∈ R / x < 2}

193

QUADRO RESUMO a>0

y

f(x) = 0 → x =

−

f(x) > 0 → x >

−

f(x) < 0 → x <

−

+ –

x

b a

–

b a b a b a

a 0 → x <

−

f(x) < 0 → x >

−

b a b a b a

b

é zero ou raiz da função e que pode ser a obtido, substituindo y por zero na função y = a ⋅ x + b.

Exercício

n = 5c + 28 4 a. Qual é o número dos sapatos de uma pessoa cujo pé mede 24 cm? b. Quanto mede, aproximadamente, o pé de uma pessoa que calça 43? c. Verifique se aquela fórmula funciona para o seu caso. d. Para que medidas do pé, em centímetros, a numeração dos sapatos fornece valor exato? Resposta: a) n = 37. b) c = 28,8 cm. c) c múltiplo de 4.

Matemática

142. O número de seus sapatos tem a ver com o comprimento do seu pé. A numeração de sapatos varia de um país para outro. No Brasil, o número n dos sapatos de uma pessoa, em função do comprimento c do pé em centímetros, é, em valores aproximados, dado pela função

194

15. Função do 1º Grau no Cotidiano Exercício 143. A pressão da água do mar varia com a profundidade. Sabe-se que a pressão da água no nível do mar é de 1 atmosfera e que, a cada 10m de profundidade, a pressão sofre um acréscimo de 1 atmosfera. a. Encontre a expressão que fornece a pressão p, em atmosferas, em função da profundidade h, em metros. b. Qual é a pressão da água do mar a uma profundidade de 50m? c. Em que profundidade do oceano a pressão da água é de 4,5 atmosferas? d. Por que um mergulhador, ao atingir grandes profundidades do oceano, tem que usar equipamentos especiais? Resposta: a) p = 0,1h +1 b) 6 atm c) 35m d) por causa do grande aumento da pressão externa.

Matemática

144. (PUC MG/2005) O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função linear C(x) = b + mx, em que b é o valor inicial (bandeirada), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de quilômetros percorridos. Sabendo-se que foram pagos R$ 9,80 por uma corrida de 4,2 km e que, por uma corrida de 2,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,40, pode-se afirmar que o valor de b + m é: a. 5,00. b. 6,00. c. 7,00. d. 8,00. Resposta: A. 145. (UEG GO/2004/Julho) A prefeitura de uma cidade concede benefícios fiscais às indústrias que lá se instalam. Para obter os benefícios, o número de empregados que reside na cidade deve ser, no mínimo, o dobro mais 5% do número de empregados que não residem nela. Uma indústria que contratou 80 funcionários que residem fora da cidade deve contratar, entre os moradores da cidade, um número mínimo de a. 160 funcionários. b. 166 funcionários. c. 176 funcionários.

195



d. 164 funcionários. e. 178 funcionários. Resposta: D.

146. Um tanque com capacidade para 300 litros está, inicialmente, cheio de água. Abre-se um orifício, no fundo, por onde escoam 5 litros de água por minuto. a. Qual é a taxa de variação do volume de água no tanque? Ela é positiva ou negativa? Por quê? b. Qual é a expressão do volume V de água no tanque, em litros, t minutos após a abertura do orifício? c. Em quanto tempo a água ocupará 5% da capacidade do tanque? d. Em quanto tempo o tanque estará vazio? Resposta: a) –5 litros/min; o tanque está se esvaziando. b) v = ª5t + 300. c) 57 min. d) 1 hora.

Teste seus Conhecimentos

148. (UEG GO/2004/Julho) A prefeitura de uma cidade concede benefícios fiscais às indústrias que lá se instalam. Para obter os benefícios, o número de empregados que reside na cidade deve ser, no mínimo, o dobro mais 5% do número de empregados que não residem nela. Uma indústria que contratou 80 funcionários que residem fora da cidade deve contratar, entre os moradores da cidade, um número mínimo de a. 160 funcionários. b. 166 funcionários. c. 176 funcionários.

Matemática

147. (PUC MG/2005) O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função linear C(x) = b + mx, em que b é o valor inicial (bandeirada), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de quilômetros percorridos. Sabendo-se que foram pagos R$ 9,80 por uma corrida de 4,2 km e que, por uma corrida de 2,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,40, pode-se afirmar que o valor de b + m é: a. 5,00. b. 6,00. c. 7,00. d. 8,00. Resposta: A.

196



d. 164 funcionários. e. 178 funcionários. Resposta: D.

16. Função do 1º Grau: Alternativas de Investimentos Exercícios 149. (UFRJ RJ/2004) Um vídeo–clube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. Resposta: Não, já que a melhor opção para este cliente seria a opção III. Observe que a quantia de R$ 56,00 gasta na opção II corresponde ao aluguel de 18 DVDs mais R$ 20,00 de taxa. Na opção I, o cliente gastaria R$ 61,60 = 40 + 1,20 ⋅ 18; na opção III, gastaria R$ 54,00 = 3 ⋅ 18. 150. (UEPB PB/2006) O número do telefone residencial de Rebeca é 9374182 e do comercial é tal que  x, se x > 7 f(x) =   –x, se 1 ≤ 7

Matemática





Onde x é algarismo do telefone residencial. Dessa forma, a soma dos algarismos que compõem o telefone comercial será: a. 29. b. 28. c. 27. d. 30. e. 26. Resposta: A.

197

17. Questões de Função do 1º Grau: Gráficos Exercícios 151. (UFRJ RJ/2006) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. a. Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais. b. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A. Resposta: a) No plano A, o valor da conta será de R$ 57,50 e, no plano B, de R$ 40,00. b) A partir de 68 minutos em ligações locais. 152. O gráfico representa a função y = f(x) ax + b. y 50

20

0

10

70

x

a. Calcule a e b. b. Determine as coordenadas dos pontos A e B, em que a reta corta os eixos coordenados. c. Calcule f(f(15)). d. O que representa a abscissa de B? e. Analise os sinais dessa função. Resposta: a) a = ½ e b = 15 b) A(0, 15); B(–30, 0) c) 26,25 d) A raiz da função e) y < 0 para x < –30 e y > 0 para x > –30.

Matemática

B

A

198 153. Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f (x) = ax + b é: a. y

x

b.

y

x

c.

y

x

d.

y

x

e.

y

Matemática

x

199 154. Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função 300x f(x) = 150 – x Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a. 25. b. 30. c. 40. d. 45. e. 50.

18. Questões: Inequações do 1º Grau A solução de um sistema de inequações é o conjunto dos valores da incógnita que satisfazem, ao mesmo tempo, todas as inequações do sistema. Por isso, para se resolver um sistema de inequações: »» resolve-se cada inequação isoladamente; »» calcula-se a intersecção das soluções encontradas.

Exercícios 155. Resolva os seguintes sistemas de inequações:

3x + 1 ≥ x − 1   x + 1 3x − 1 > +1  3 2 Determine o domínio das funções reais. a. y = b. y =

−3x + 4 3 5+ x Matemática



200

c. y =

d. f(x) =

x

−3

+1

x +1 2

−x

Resposta: a) x ≤ 4/3 b) x > –5 c) x ≤ 3 d) x ≤ 1 156. Uma indústria química produz uma determinada substância. Mensalmente, ela tem uma despesa fixa de R$ 2700,00, independente da quantidade produzida. Além diss o, o custo de produção de uma tonelada é R$ 300,00. Toda a produção mensal é vendida a R$ 450,00 a tonelada. a. Expresse, em função da quantidade x de toneladas produzidas no mês, os valores da despesa mensal D, da receita mensal R e do lucro mensal L. b. Qual é o número mínimo de toneladas a ser produzido e vendido no mês para que não haja prejuízo? Resposta: a) D = 2700 + 300x; R = 450x; L = 150x – 2700. b) 18t.

19. Função do 2º Grau 19.1 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática Definição: É toda equação que pode ser reduzida à forma: ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0.

Matemática

Exemplos: a. 2x2 – 5x + 1 = 0 a = 2; b = –5; c = 1 b.

1 2 x –x–1=0 3 1 a = ; b = –1; c = –1 3

201

18.2 Condição de Existência das Raízes Se ∆ > 0 → (2 raízes diferentes) Se ∆ = 0 → raiz dupla igual a – b Se ∆ < 0 → não há raízes reais 2a Intersecção com os eixos intersecção com o eixo dos y: A parábola y = ax2 + bx + c corta o eixo dos y no ponto (0, c). Obtém-se esse ponto fazendo x = 0 em y = ax2 + bx + c. y

(0,c)



0

 x

Exemplo A parábola y = x2 – 4x + 3 corta o eixo dos y no ponto (0, 3). Veja que x = O implica y = 02 – 4 ⋅ 0 + 3 = 3 y

(0,3)

 3  

y = x2 – 4x + 3 x

intersecção com o eixo dos x: em relação ao eixo dos x, podem ocorrer três casos: 1. ∆ > 0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos. As abscissas desses dois pontos são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0; são elas: ∆

b 2a

a>0

e x2 =

b+ ∆ 2a x1

a0

a0 vx

a 0 (a = 2). Esse valor mínimo é dado por:

204 Imagem: para determinar a imagem de y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, considerem-se dois casos: a>0 A projeção do gráfico sobre o eixo dos y nos dá:

Im(f) = {y ∈ IR | y < yv}. a yv}. x

x v Exemplos: 1) Qual deve ser o valor de m para que o valor mínimo da função f(x) = 2x2 – 3x + m – 1 seja 1?

Solução a = 2; b = – 3; Inicialmente, temos: c = m – 1; ∆ = (–3)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ (m – 1) = = 9 – 8m + 8 = 17 – 8m. ∆ 17 – 8m =– e, como esse valor 4a 8 mínimo é dado e igual a 1, vem: – 17 – 8m = 1 ou – 17 + 8m = 8, obtendo-se m 8 = 25 . 8 O valor mínimo da função é ymin = yv = –

Matemática

Exercícios 159. (PUC/MG) O centro de uma bola de basquete, quando esta é arremessada, 8 1 2 x + x + 14 , segue uma trajetória plana vertical de equação y = – 5 5 5 em que x e y são dados em metros. A altura máxima atingida pelo centro da bola, em metros, é a. 6,0. b. 6,5.

205



c. 7,0. d. 7,5. e. 8,0. Resposta: A.

160. (UFMG) A soma de todas as raízes de f(x) = (2x2 + 4x – 30) (3x –1) é: a. 3/5. b. –3/5. c. 5/3. d. –5/3. Resposta: B. 161. (UFMG) Considere a equação (x2 – 14x + 38)2 = 112. O número de raízes reais distintas dessa equação é: a. 2. b. 4. c. 3. d. 1. Resposta: C.

20. Função do 2º Grau: Crescimento e Decrescimento A análise do gráfico de uma função quadrática também nos permite determinar os intervalos onde a função é Crescente ou Decrescente. a>0

xv

x

Matemática

x ≤ xy → f(x) decrescente x ≤ xy → f(x) crescente

206 a0

a0 –

sinais de y

+

0 x1

a>0

+

+

∆=0

+

+

x

x

–

a o, v x ∈ R

Duas raízes distintas x1 ≠ x2

–

a 0 x = 2 ou x = – 2 → f(x) = 0 –2 < x < 2 → f(x) < 0

210 f(x) = –x2 – 4x – 4 ∆=0 x = –b → x1 = x2 = – 2 2a a 0, em que a, b e c são números reais. 7 Sabe-se que x = 62 e x = satisfazem essa desigualdade; e x = –42 e 25 7 26 não a satisfazem. Assim sendo, é correto afirmar que 25 a. b > 0. b. b2 – 4ac > 0. c. c < 0. d. a > 0. Resposta: B. 175. (UFMG/COPEVE) Observe a figura: y

A 0

v

x

Nessa figura, a parábola de vértice V é o gráfico de y = x2 + bx + c. Sendo A0 = 2(0V) e a abscissa de V diferente de zero, o valor de c é: a. 0. b. ¼. c. ½. d. 1. e. 4. Resposta: E. 2

Matemática

176. (UFMG/COPEVE) Seja f : IR → IR uma função dada por f(x) = 2 + x + 1 . Pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é: a. {y ∈ IR : y ≥ -1}. b. {y ∈ IR : y ≥ 0}. c. {y ∈ IR : y ≥ 2}. d. {y ∈ IR : y ≥ 3}. e. IR. Resposta: D.

213 177. (UFMG/COPEVE) O conjunto de todos os valores reais de m para os quais o conjunto imagem de

f(x) = –x2 + mx –

1 2

Seja B = {y ∈ IR : y ≤ 2} é a. {0}. b. {2, –2}. c. {– 5 , 5 }. d. {– 6 , 6 }. e. {– 10 , 10 }. Resposta: E. 178. (UFMG/COPEVE) A função do 2º grau, y = f(x), cujo gráfico passa pelo ponto (–1, 3) e tangencia o eixo das abscissas no ponto (–2, 0), é: a. f(x) = x2 + 7x + 10. b. f(x) = –x2 + 4. c. f(x) = 3x2 + 12x + 12. d. f(x) = x2 + 6x + 8. e. f(x) = –3/2x2 – 3/2x + 3. Resposta: C. 4x – 3 > 2. Assinale a afirmax+1 tiva em que estão incluídas todas as possibilidades para x. 5 a. x > 2 b. x< –1 5 c. x< –1a x > 2 5 d. – 1 < x < 2

Matemática

179. (UFMG/COPEVE) O número real x satisfaz

Capítulo 7

Equação Exponencial

1. Método As condições impostas à base de uma função exponencial a tornam uma função bijetora. Desse modo, se ax = ay, então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais. Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra equivalente, da forma ax = ay. Para isso, use inicialmente as propriedades da potenciação. am ⋅ an = am + n am ÷ an = am – n –n (am) ⋅ an = am.n amn =

n

am

a–n = a b

–n

1 an = b a

n

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn

215 Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir. Observação: As equações redutíveis à forma ax = by com a ≠ b você aprenderá a resolver no capítulo sobre logaritmos. 1. Resolva a equação: 16x ⋅ 4x + 3 – 8x + 2 = 0 Solução: 16x ⋅ 4x + 3 – 8x + 2 ; 16x ⋅ 4x + 3 = 8x + 2 (21)x ⋅ (22)x + 3 = (23)x + 2 ; 21x ⋅ 22x + 3 = 23x + 6 26x + 6 = 23x + 6 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0 Resp. x = 0 2. Resolva a qeuação 2x + 2x + 1 – 2x + 2 + 2x = –8 Solução 2x + 2x ⋅ 2 – 2x ⋅ 22 + 2x ⋅ 2–1 = –8 2x ⋅ (1 + 2 – 4 +

1 ) = –8 ; 2x ⋅ – 1 = –8 ; 2x = 16 2 2

2x = 24 ; x = 4 Resposta: x = 4 3. Resolva a equação: 32x + 1 + 5 ⋅ 3x = 2 Solução: 32x ⋅ 3 + 5 ⋅ 3x — 2 = 0 ; Como 32x = (3x)2, se 3x = y obtemos: 3y2 + 5y — 2 = 0, Cujas raízes são 1 ou y = –2 3 1 Para y = vem 3x = 3–1 ; x = –1 3 y=

4. Resolva a equação: 7x + 7x — 1 = 8x Solução: 1 7x + 7x 7–1 = 8x ; 7x . (1 + ) = 8x 7 x 7 7 8 7 x x 7 7 . =8 ; x = ; = ;x=1 8 8 8 7 8 Resposta: x = 1

Matemática

Para y = –2 vem 3x = –2 (não admite solução) Resposta: x = –1

216

Exercício 180. (UFMG/COPEVE) A solução da equação 23x + 2 – 23x + 1 + 23x — 1 = 50x é um número: a. Menor do que –3. b. Entre –2 e –1. c. Entre 0 e 1. d. Entre 2 e 3. e. Maior do que 3. Resposta: C.

2. Exponencial: Inequações e Gráficos Inequações Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos: *Se a > 1, a junção é crescente, portanto: ax > ay ↔ x > y ax < ay ↔ x < y *Se 0 < a < 1, a junção é decrescente, e então: ax > ay ↔ x < y ax < ay ↔ x > y 1. Resolva a inequação: 1 2

x2 + 2

≥ 1 2

3x

Solução: Como a base é menor que 1, devemos ter: x2 + 2 ≥ 3x ; x2 – 3x + 2 ≤ 0 raízes: 1 e 2 Diagrama:

Matemática

++ 1

––

2

++

217 Solução: 1≤x≤2 2. Resolva a inequação: 3x + 2 + 3x + 1 – 3x > 33 Solução: 3x ⋅ 32 + 3x ⋅ 3 – 3x > 33 ; 3x ⋅ (9 + 3 – 1) > 33 3x ⋅ 11 > 33 ; 3x > 3 ; x > 1 Resp: x > 1

2.1 Função Exponencial Dado a, um número real tal que a > 0 e a ≠ 1, denomina-se Função Exponencial de base a a função: F : R → R f(x) = ax a. f(x) = 2x . a = 2 1 b. f(x) = 1 x . a = 2 2 c. f(x) = 3x . a = 3 d. f(x) = (0,0)x . a = 0,3 e. f(x) = (2,5)x . a = 2,5 f. f(x) = (√2)x . a = √2 Observe que na função exponencial: 1. O domínio é R e o contradomínio também é R. 2. O conjunto imagem é R*+ já que y = ax > 0 ∀ x ∈ R 3. A função é crescente em R se a > 1 e decrescente em R se 0 < a < 1. 4. A g. função é injetora. 5. A função não é sobrejetora porque o contradomínio é R e a imagem R*+

Matemática

Se definirmos f:R → R f(x) = ax então f(x) passa a ser sobrejetora, portanto bijetora. Logo, admite uma inversa, que é a função logarítmica.

218 Gráfico 1º caso: a > 1: a função é crescente

2º caso: 0 < a < 1: a função é decrscente

y

y

x

x

Exercícios 181. (UFMG/COPEVE) Observe a figura: y

12

3 2 -3

0

x

Nessa figura, está representado o gráfico f(x) = kax, sendo k e a constantes positivas. O valor de f(2) é: a. 3/8. b. ½. c. ¾. d. 1. Resposta: A.

Matemática

2

2

182. (UFMG/COPEVE)Suponha que a equação 8ax + bx + c = 43x + 5 ⋅ 25x — x + 8 seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a: a. 17/2 b. 28/3 c. 12 d. 5/3 Resposta: B.

Capítulo 7

Logaritmo

1. Definição e Conceito 1.1

Logaritmo Logab = x → ax = b » Condições de existência a, b, x ∈ R a>0ea≠1eb>0 » Consequências da definição loga1 = 0 (∀0 < a ≠ 1); logaa = 1 (∀0 < a ≠ 1); alogab = b (a ≠ 1 e b > 0); logab = logac ∴ b = c (0 < a ≠ 1) e b > 0 e C > 0.

220

Exercícios 183. (PUC-MG) A soma das raízes da equação log22x2 — 3x + 5 = 3 é: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. e. 5. Resposta: C. 184. (UNA-MG) O valor da soma S = log4(log39) + log2(log813) + log0,8(log1632) é a. – 3/2. b. – 5/2. c. – 7/2. d. – 9/2. Resposta: B. 185. (PUC-MG) O valor de 2log3a – 4log32 é a. – 2. b. – 1. c. 0. d. 1. e. 2. Resposta: C.

Matemática

 1  1 186. (PUCCAMP-MG) O valor de x tal que log 4  = é 4 log 2  x  a. 4. b. 1/2. c. 10. d. 1. e. 16. Resposta: E. 187. (FUVEST-SP)O número real x que satisfaz a equação log2 (12 – 2x) = 2x é. a. log25. b. log2 3 . c. 2. d. log2 5 . e. Log23. Resposta: E.

221

2. Consequências da Definição e Propriedades Propriedades operatórias: admitindo a existência de todos os logaritmos envolvidos, temos: log a b + log a c = log a bc; log a b − log a c = log a

b c

;

a

log a b = a ⋅ log a b; log

b= aα

1 α

⋅ log a b

Mudança de base: Para passarmos da base a (0 < a ≠ 1) para a base c (0 < c ≠ 1), usamos a relação: logab =

logcb logcc

Obs.: Quando a base não vier escrita, subentende-se que seu valor é 10 (não esqueça!).

Exercícios

189. (UFMG) Para todos os números reais a e b, pode-se afirmar que a. Ioga2 = 2 loga. b. log(1 + a2)2 = 2 log(1 + a2). c. Iog(a.b) = loga + Iogb. d. log a = loga – logb. b

Matemática

188. (UFLA-MG) Sendo Iog2( 11 – 3) = b então log2( 11 + 3) é a. 0. b. b2. c. b – 1. d. b. e. 1 – b. Resposta: E.

222



e. loga1/2 = Resposta: B.

loga .

190. (PUC-MG) Se logab = –2 e ab = 3, então b – a é a. 20/3. b. 22/3. c. 23/6. d. 25/9. e. 26/3. Resposta: E. 191. (PUC-MG) a e b são números reais positivos e logab ⋅ logb2a = 2. O valor de loga2 é a. 1/4. b. 1/2. c. 1. d. 2. e. 4. Resposta: C. 192. (UFMG) O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a equação

 

2log10 x = 1 + log10  x +

Matemática



11 



10 

é

a. {–1, 11}. b. {5, 6}. c. {10}. d. {11}. Resposta: D.

1 1 193. (UFV-MG) Se log (a + b) = log a + log b, então + é igual a a b a. 1/2. b. 1. c. 1/3. d. 2. e. 5/6. Resposta: B.

223 194. (UFES) Sabemos que loga2 = x e que logb2 – 3= y. Se b = a2, podemos afirmar que a. x = – 2/3y. b. x = – 3/2y. c. x = – 6y. d. x = – 3y. e. x = – 1/6y. Resposta: A. 195. (UFOP-MG) A soma das raízes da equação 4xlog2x = x3 é a. 0. b. 2. c. 3. d. 4. e. 6. Resposta: E.

3. Logaritmo Decimal e Neperiano Exercícios 196. (UFMG) O valor de x que satisfaz a equação 2logx + logb – log3 = log



 9b   4  , onde log representa o logaritmo decimal, pertence ao intervalo x 

a. [0, 1/2]. b. [1/2, 1]. c. [1, 2]. d. [2, 3]. e. [3, 4]. Resposta: C.

197. (PUC-MG) A solução da equação 23x = 32x+1 é In3 3In2 + In3 In2 b. 3In2 + In3 In3 c. 3In2 + 2In3

Matemática

a.

224 In3 3In2 + 2In3 In2 e. 3In3 d.



Resposta: C.

198. (PUC-MG) Se log 1,5 = 0,18 e log2x – log3x = 9, o valor de x é a. – 5. b. – 18. c. – 50. d. 5. e. 50. Resposta: C. 199. (UFSM-RS) Se log105 = a e log107 = b, então log10(122,5) é igual a a. a + b. b. a + b + 1. c. a + b – 1. d. 2a + 2b. e. 2a + 2b – 1. Resposta: E.

Matemática

200. (UNESP-SP) No que se segue, log representa o logaritmo decimal. Se log8 = 0,903 e log70 = 1,845, então o log14 vale a. 1,146. b. 1,164. c. 1,182. d. 1,190. e. 1,208. Resposta: A. 201. (Santa Casa-SP) São dados log2 = 0,30 e Iog3 = 0,48. O número real x, que é solução da equação 3x+1 = 75 é tal que a. x ≤ 0. b. 0 < x ≤ 2. c. 2 < x ≤ 3. d. 3 < x ≤ 5. e. x > 5. Resposta: C.

225

4. Logaritmo: Aplicações do Dia a Dia 4.1 Função Logarítmica F : R*+ → R, definida por f(x) = logax »» Domínio e imagem D(f) = R*+ e Im(f) = R »» se a > 1, f(x) = logax é crescente; »» se 0 < a < 1, f(x) = logax é decrescente; »» se a função f(x) = logax intercepta o eixo das abscissas no ponto (1; 0); »» a função f(x) = logax não intercepta o eixo das ordenadas. 1° caso: a > 1 2° caso: 0 < a < 1 y y = ax

y = ax y = logax

y = logax x

Exercícios 202. (UFMG) Observe a figura.

2

16

x

Matemática

0

226



Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = loga x. O valor de f(128) é a. 5/2. b. 3. c. 7/2. d. 7. Resposta: C.

203. (FCMMG) Sob certas condições, a função t = −





1

 3v − 15  ,  v +5 

log e 

em 30 que e é um número maior que 2, nos fornece o tempo gasto, em segundos, por um paraquedista, contado a partir da abertura de seu paraquedas, para atingir a velocidade de queda v, em m/s. A velocidade, em m/s, do paraquedista no instante da abertura de seu paraquedas é a. 30. b. 15. c. 10. d. 5. Resposta: C.

204. (UFOP-MG) O pH de uma solução é definido por pH = log



H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Dessa forma, o pH de uma solução, tal que H+ = 1,0 x 10–8, é a. – 8. b. 1/8. c. 8. d. 108. e. 10–8. Resposta: C.

205. (UFMG) Observe a figura. y

5 Matemática

 1   +  , onde H 

x –4

227



1

Nessa figura está representado o gráfico da função f(x) = log2 . Então a+b f(1) é igual a a. – 3. b. – 2. c. – 1. d. – 1/2. e. – 1/3. Resposta: B.

206. (UFMG) A grandeza M de uma estrela é definida pela fórmula M = –2,5 log10 (K.l.), sendo K uma constante positiva e I a intensidade de luz da estrela. Sirius, a estrela mais brilhante, tem urna grandeza de –1,6 e a estrela Betelgeuse tem uma grandeza de 0,9. A razão entre as intensidades de luz de Sirius e de Betelgeuse, nessa ordem, é a. – 16/9. b. 16/9. c. 5. d. 10. Resposta: D.

207. (FUVEST-SP) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. y

0,25

1 x





O valor de b é a. 1/4. b. 2. c. 3. d. 4. e. 10. Resposta: D.

Matemática

–1

228 208. (UFMG) A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por I=

2 3

E  , em que E é a energia liberada pelo terremoto, em quilo E0 

log10 

Matemática

watt-hora (kwh), e E0 = 10–3 kwh. A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica multiplicado por: a. 10. b. 20/3. c. 103/2. d. 101/2. Resposta: C.

Capítulo 9

Sequências

1. Definição e Construção Tomando como referência a parcela central e o número de parcelas, calcule as seguintes somas: a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + 11 b. 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +.... + 20 Atenção! Não vale somar; só vale multiplicar. Resposta: a) 66 = 6 ⋅ 11 b) 195 =13 ⋅ 15

230

Exercícios 209. Analise as duas sequências de somas abaixo. 1+2 1+2+3 1+2+3+4 ............................ 13 13 + 23 13 + 23 + 33 13 + 23 + 33 + 43 ................................ a. Estabeleça uma lei geral relacionando-as. b. Efetuando apenas uma multiplicação e uma potenciação, calcule o valor da seguinte soma: 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 113 Resposta: a) Cada soma da direita é o quadrado da soma da esquerda. b) 6 ⋅ 11 = 66 e 662 = 4356 210. Sendo n um número natural (n > 1), chama-se fatorial de n (símbolo n!) o produto de todos os naturais de 1 até n. Por exemplo, 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Supondo que n seja uma variável natural, considere as expressões 2n, n2, 2n, n! Quando o valor de n cresce cada vez mais, a. qual daquelas expressões cresce mais rápido? b. qual cresce de forma mais lenta? c. que ocorre com as frações abaixo? n z n , 2 , n! , 2n 2n n! nz 2n

Matemática

Resposta: a) n! b) 2n c) A 1ª, 2ª e a 4 se aproximam cada vez mais de zero; a 3ª cresce cada vez mais (tende a mais infinito).

211. Essa atividade deve ser desenvolvida em grupo, conforme orientações de seu professor. Investigue relações envolvendo a formação triangular abaixo, conhecida como Triângulo de Pascal. Encontre o máximo de relações que puder.

231 1 11 121 1331 14641 .................................... a. Encontre as duas próximas linhas do triângulo. b. Estabeleça a relação existente entre o triângulo de Pascal e as potências de base 11: 110, 111, 112, 113, ... c. Para expoentes acima de 4, essa relação ainda persiste? Haveria uma forma de se resolver o problema surgido? Resposta: a) 6ª linha: 1 5 10 10 5 1 b) 7ª linha: 1 6 15 20 15 6 1

2. Progressão Aritmética 2.1 Progressão Aritmética (PA) Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. Representação: (a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...) é uma PA de razão r. ou an+1 = an + r a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an = r

2.2 Fórmula do Termo Geral de uma PA Qualquer termo de uma P.A. pode ser obtido pela fórmula:

Em que: a1 é o primeiro tempo; an é o enésimo tempo; n é o número de termos; r é a razão da PA.

Matemática

an = a1 + (n – 1) r

232 Representações Especiais Podemos utilizar as seguintes representações de PA, que facilitam a resolução de exercícios: PA de 3 termos → x – r, x, x + r

Razão: r

2.3 Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos de uma PA Podemos obter a soma dos n termos da PA (a1, a2, a3, ..., an), finita, através da fórmula: sn =

(a1 + an)n 2

Em que: a1 é o primeiro termo; an é o último termo; n é o número de termos; Sn é a soma dos n termos. Exemplos: 01)Os números 3, 6, 10, 15 ... chamam-se números triangulares, pois podem ser representados pelas figuras:

an = a1qn-1 a. Qual é o sétimo número triangular da sequência dada? b. Que número se deve somar ao vigésimo nono termo da sequência para se obter o trigésimo termo?

Matemática

Resolução: a. Observe que o n-ésimo triângulo é do tipo: 1 ponto

→

2 pontos

→

3 pontos

→

(n + 1) pontos

233 Assim, o termo an da sequência 3, 6, 10, 15,... é dado por: an = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1) a7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 a7 = 36 b. Do item a), concluímos que an = 1 + 2 + 3 + ... + n (n + 1) ou, ainda, an = an-1 + (n + 1), (n + 2)

Resposta: a) 36

a30 = a29 + 31

b) 31

02) A sequência (4x + 1, x –2, x2 – 5) é uma P.A. calcule x. Resolução: Determos ter: (x – 2) – (4x + 1) = (x2 – 5) – (x –2) x – 2 — 4x – 1 = x2 – 5 – x + 2 x2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 Logo: x = 0 ou x + 2 = 0 x = –2 Resposta: x = –2 ou x = 0 03)Determine a quantidade de números naturais menores que 200, sabendo que divididos por 7 deixam resto 2. Resolução: Os números são: (9, 16, 23, ..., 198) a1 = 9 r=7 an = 198 an = a1 + (n – 1)r 198 = 9 + (n – 1) ⋅ 7 198 = 9 + 7n – 7 7n – 196 n = 28 Resposta: 28

04) Um atleta percorre sempre 500 m a mais do que no dia anterior. Sabendo que ao final de 15 dias ele correu um total de 67.500m, calcule o número de metros percorridos no terceiro dia.

Matemática



234 Resolução: A progressão é: (x, x + 500, x + 1000, ...) Logo: x + x + 500 + x + 1000 + ... = 67.500 Cálculo de an: an = a1 + (n – 1)r an = n + (15 – 1) ⋅ 500 an = x + 7.000

Cálculo de x:



Sn =



135.000 = (2x + 7.000) ⋅ 15 9.000 = 2x + 7.000 2x = 2.000 x = 1.000 Mas: a3 = x + 1.000 = 1.000 + 1.000 = 2.000 Resposta: 2.000 m

(x + x 7.000) . 15 (a1 + an)n → 67.500 = 2 2

3. Progressão Geométrica 3.1 Definição Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica. Algebricamente, temos: (a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...) PG razão q para uma PG de termos não nulos a2 a3 a = = ... = n+1 = q ou an+1 = an . q a1 a2 an

3.2 Fórmula do Termo Geral

Matemática

Qualquer termo de uma PG pode ser obtido através da fórmula:

an = a1qn–1 em que n é o número de termos da PG.

235

3.3 Representações Especiais Podemos utilizar as seguintes representações de PG, que facilitam a resolução de exercícios: x  PG de 3 termos:  , x, xq  razão q q 

3.4 Fórmulas da Soma dos N Termos de uma PG Finita A soma dos n termos da PG (a1, a2, a3, ..., an), finita, de razão q, pode ser obtida pelas fórmulas: Se q = 1 → Sn = n . a1 a (qn – 1) Se que q ≠ 1 → sn = 1 q–1 Em que Sn é a soma dos n termos.

3.5 Soma dos Termos de uma Pg Infinita A soma dos termos de uma PG infinita, de razão 0 < q < 1, é dada pela fórmula: a1 em que Sn, é a soma dos infinitos termos da PG. sn = 1–q Exemplos: 01) Sabendo que x, x + 9 e x + 45 formam, nessa ordem, uma PG de termos não-nulos, determine x: Resolução: Se os termos da PG são diferentes de zero, temos: a 2 a2 x + 9 x + 45 = → = (x + 9)2 = x(x + 45) a1 a1 x x+9

02) Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64 Resolução: an = a1qn–1 → 64 = 1 ⋅ q7–1

Matemática

x2 + 18x + 81 = x2 + 45x 27x = 81 → x = 3 Resposta: x = 3

236 64 = q6 26 = q6 q=±2 Se q = 2 → 1 2 4 8 16 32 64 Se q = –2 → 1 – 2 4 –8 16 –32 64 Resposta: Temos duas soluções: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou (1, –2, 4, –8, 16, –32, 64)

03) A soma de três números em PG é 42 e o produto entre eles é 512. Calcule os três números. Resolução:     

x + x + xq = 4 (1) q x ⋅ x ⋅ xq = 512 (2) q

De (2) , obtemos: 9 X3 = 512 → 3 512 → x = 3 2 → x = 8 Substituindo x = 8 na equação (1) , temos: 8 + 8 = 8q = 42 → 8q2 – 34q + 8 = 0 q q' = 4 q2 – 17q + 4 = 0 q'' = 1 4 Se q = 4 x = 8 → (2, 8 e 32) Resposta: Os números são 2, 8 e 32.

04) A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados obtém-se um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triângulo equilátero obtém-se um terceiro e assim por diante indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos. Resolução:

Matemática

Temos: perímetro do 1º triângulo = 30 perímetro do 2º triângulo = 15 perímetro do 3º triângulo = 15 . . 2 . . . . .

237



Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita (30, 15, 15 ,...) na 2 1 qual a1 = 30 e q = . 2 30 a1 30 →s= = = 60 s= 1 1 1–q 1– 2 2 Resposta: 60

Matemática



Capítulo 10

Estatística

1. Definição e Conceito “Ciência que dispõe de processos apropriados para recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar conjuntos de dados”.

1.1

População

Coleção de unidades individuais, que podem ser pessoas ou resultados experimentais, com uma ou mais características comuns, que se pretendem estudar. A amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar uma parte da população sem perder as suas características básicas. Uma amostra é um pequeno grupo dentro da população desejada. População é um conjunto de pessoas, de coisas, de objetos, de itens que têm uma característica própria: todos os alunos de uma escola; todos os funcionários

com mais de cinco anos de experiência; todas as garrafas de vinho; todos os carros produzidos por uma fábrica, e assim por diante. Você analisa o comportamento da população com base nos resultados da amostra. Justificam-se os trabalhos com amostras no lugar de estudar a população Velocidade: as pesquisas realizadas em amostras são mais rápidas em virtude de conter um menor número de observações. Praticabilidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão da população torna as pesquisas impraticáveis. Amostragem Aleatória É uma técnica que visa selecionar os integrantes de uma amostra de tal forma que cada elemento de uma população tem a mesma probabilidade de ser incluído na amostra.

1.2

Experimento Aleatório

Os experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar de se repetirem, várias vezes, em condições semelhantes. Atributo O atributo é o nome que se dá a uma variável. O atributo é “tudo aquilo que se diz ou é próprio de um ser, podendo ser qualitativo ou quantitativo”.

1.3

Dados Qualitativos

Representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades. Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as categorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado.

1.4

Dados Quantitativos

Representam a informação resultante de características susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta (descontínua) — dados discretos, ou contínua — dados contínuos. Exemplo: Consideremos uma amostra constituída pelo nº de irmãos de 10 alunos de uma determinada turma: 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2. Estes dados são de natureza discreta. Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo.

240

1.5 Recenseamento O termo recenseamento está, em regra geral, associado à contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo: Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo.

1.6 Método Estatístico »» Método: é o meio mais eficaz para atingir determinada meta. »» Métodos Científicos: destacamos o método experimental e o método estatístico.

1.7 Método Experimental Consiste em manter constantes todas as causas, menos uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física etc.

1.8 Método Estatístico Diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Ex: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui? A coleta, a organização, a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associados a uma margem de incerteza, ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial, também conhecida como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade.

Matemática

1.9 Variável É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Variável Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributos: sexo, cor da pele etc. Variável Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto

241 dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto, da estatística de variável, e se dividem em:

1.10 Variável Discreta ou Descontínua Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

1.11 Variável Contínua Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio, o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo Variável Aleatória Independente. Duas variáveis aleatórias que não se afetam mutuamente, ou o conhecimento do valor de uma delas não dá qualquer informação do valor da outra, são denominadas variáveis aleatórias independentes. Exemplificando, pode-se dizer que se numa sala houver homens e mulheres, a retirada de um homem não afeta o conjunto das mulheres, logo as variáveis homens e mulheres são independentes.

2. Frequências Relativa e Absoluta

Classes

Freq.abs.

Freq.rel.

0

4

0,20

1

8

0,40

2

4

0,20

3

3

0,15

4

1

0,05

Total

20

1,00

Matemática

Dados Discretos

242 Os dados são organizados na forma de uma tabela de frequências, análoga à construída para o caso dos dados qualitativos. No entanto, em vez das categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão constituir as classes. Exemplo: Consideremos a amostra constituída pelo nº de irmãos dos 20 alunos de uma determinada turma: 1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2 Exemplos »» Cor dos olhos das alunas: qualitativa »» Índice de liquidez nas indústrias capixabas: quantitativa contínua »» Produção de café no Brasil: quantitativa contínua »» Número de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta »» Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contínua »» O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta

2.1 Amostragem Métodos Probabilísticos Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento a ser selecionado será 1/N. Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências. Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra. É uma técnica especial para recolher amostras, que garantem, tanto quanto possível, o acaso na escolha.

2.2 Amostragem Casual ou Aleatória Simples

Matemática

É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.

243

2.3 Amostragem Proporcional Estratificada Quando a população se divide em estratos (subpopulações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos. Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que, dos 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos: Sexo

Populacão

10%

Amostra

Masc.

54

5,4

5

Femin.

36

3,6

4

Total

90

9,0

9

2.4 Amostragem Sistemática Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18, escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa etc.

Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se identifiquem seus elementos. Não obstante, isso pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado.

Matemática

2.5 Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos)

244

3. Tabelas 3.1 Tabela É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar: 1. um traço horizontal ( – ) quando o valor é zero; 2. três pontos ( ... ) quando não temos os dados; 3. zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; 4. um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. Obs: Os lados direito e esquerdo de uma tabela oficial devem ser abertos.

3.2 Série Estatística É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.

3.3 Séries Homógradas São aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica.

Matemática

a. Série Temporal Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva. b. Série Geográfica Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.

245 c. Série Específica O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.

3.4 Séries Conjugadas Também chamadas de tabelas de dupla entrada, são apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfico-temporal. Normas para Apresentação Tabular dos Dados Elementos essenciais em uma tabela: 1. 2. 3. 4.

Título Corpo Cabeçalho Coluna Indicadora

3.5 Título É a indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o fato observado, com a especificação de local e época referentes ao fato.

3.6 Corpo É constituído por linhas e colunas, que fornecem o conteúdo das informações prestadas.

3.7 Cabeçalho É a parte da tabela que apresenta a natureza do que contém cada coluna (conteúdo das colunas).

1. Fonte Designação da Entidade que forneceu os dados estatísticos

Matemática

3.8 Elementos que Completam a Tabela

246 2. Notas Esclarecimentos de natureza em geral 3. Chamadas Esclarecimentos de uma natureza específica

Exercícios 212. (TCU) Assinale a opção correta a. Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos. b. O processo utilizado para medir as características de todos os membros de uma dada população recebe o nome de censo. c. A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra. d. Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes. e. Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra aleatória. Resposta: B. 213. (AFC) A tabela abaixo apresenta a distribuição de um grupo de 200 estudantes segundo o curso que fazem (Estatística ou Matemática) e o sexo (homem ou mulher).

Matemática





Homem

Mulher

Estatística

40

20

Matemática

80

60

A única afirmação incorreta é: a. 40% dos homens estudam matemática. b. 75% das mulheres fazem o curso de matemática. c. Dois em cada três estudantes de estatística são homens. d. Um de cada três homens faz o curso de estatística. e. 60% dos estudantes são homens. Resposta: A.

247 214. (TCDF) Assinale a opção correta. a. Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas. b. A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. c. Frequência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável. d. A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo. e. Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo. Resposta: D. 215. (Petrobrás/analista) Em um determinado país, um grupo de 12 refinarias produz gasolina, óleo diesel e querosene. Sabe-se que »» 3 dessas refinarias produzem gasolina, óleo diesel e querosene; »» 6 refinarias produzem gasolina e querosene; »» 5 refinarias produzem gasolina e óleo diesel; »» 4 refinarias produzem óleo diesel e querosene; »» Alguma refinaria produz unicamente gasolina, assim como alguma refinaria produz unicamente óleo diesel.



Com base nas informações da situação hipotética acima, julgue os itens que se seguem: a. A partir dos dados apresentados, é correto concluir que não existe refinaria no grupo mencionado que produza unicamente querosene. b. Pelo menos 6 dessas refinarias produzem gasolina e óleo diesel. c. Mais de 6 dessas refinarias produzem óleo diesel. d. Não é possível que duas dessas refinarias produzam apenas querosene. e. Se existem nesse grupo pelo menos duas refinarias que produzam exclusivamente gasolina, então não existirá refinaria que produza exclusivamente querosene. Resposta: E – E – C – C – C.

4. Gráficos

São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas. Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.

Matemática

4.1 Gráficos Estatísticos

248

4.2 Gráficos de Informação São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes.

4.3 Gráficos de Análise São gráficos que se prestam melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise frequentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico.

4.4 Classificação dos Gráficos »» Diagramas »» Estereogramas »» Pictogramas »» Cartogramas

5. Diagramas São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas

5.1 Gráficos em Barras Horizontais

Matemática

5.2 Gráficos em Barras Verticais (Colunas) Quando as legendas não são breves usam-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica.

249

5.3 Gráficos em Barras Compostas Valor 10000 8000 6000 4000 2000 0

01/07/2007 02/07/2007 06/07/2007 14/07/2007 24/07/2007 31/07/2007

01/08/2007

Data

O Gráfico de barras é muito útil para introduzir na comparação um parâmetro não quantitativo, como diferentes países (a relação alunos/professor em cada um deles, por exemplo), faixas de renda ou pesquisas realizadas anteriormente. Total de vendas por Estado

1000 800 600 400 200 0

PR

SP

RJ

RS

BH

SC

5.4 Gráficos em Colunas Superpostas Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais atributos. Participação relativa do pessoal assalariado e dos outros remunerações, segundo faixaz de pessoal ocupado – 1996/2003

80,0

76,0

70,0

68,4

60,0

30 a 99

56,9

49,9

50,0 40,0 30,0 20,0

100 e mais

34,1

27,7 15,4

16,0

10,0 0

1 a 29

1996

2003 pessoal assalariado

13,0

11,0 1996

18,6 13,0

salários

2003

Matemática

R$

250

5.5 Gráficos em Linhas ou Lineares São frequentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico. Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso. Gráfico de linha é o mais indicado para representar a correlação entre duas variáveis, por exemplo, entre a inflação e o déficit público, ou entre o consumo de proteínas e o quociente de inteligência (QI). O mais comum é tomar o próprio tempo (horas, dias, meses, anos etc.) como uma variável, para dar uma imagem da evolução de outra variável — por exemplo, o consumo de energia elétrica. Observe que quando o tempo é uma das variáveis, ele deve ser expresso no eixo horizontal. Cotação Nova York Cafés do Brasil: 2002 – 2005 e 2006 2006 100 2005 75 2002

Matemática

25

jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez

50

251

5.6 Gráficos em Setores Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados. Principais fontes de emissão de dioxinas no mundo (dados de inventários entre 1995 e 2005)

Prod./ uso de subst. químicas 3%

Aterros e incêndios 12%

Erosão 1%

Trat. efluentes 1%

Siderurgia / metalurgia 11% Incineração (RSU/RSSSS) 17% Geração de energia 2%

Combust. não controladas 29% Produção prods. mineiars 1% Transportes

Queimas caseiras 17%

Incineradores industriais 5%

1% Dados obtidos de inventários nacionais mais recentes disponíveis na internet dos seguintes países: Alemanha, Uruguay, Chile, Irlanda, Japão, México, Paraguai, EUA, Austrália, Dinamarca.

5.7 Estereogramas São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem. Ribbon Plot 5e+0 4e+0 3e+0 2e+0 1e+0 120 100 x data

80

60

40

20 0 1

6 5 4 3 2 x data

Matemática

z data

252

5.8 Pictogramas São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. = 32 mil hectares de floresta ardida Ano 2003 Ano 2004 Ano 2005 Ano 2006 Ano 2007

Matemática

5.9 Cartogramas São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Como organizar os dados? Enquanto que no caso de dados discretos, a construção da tabela de frequências não apresenta qualquer dificuldade, no caso das variáveis contínuas o processo é um

253 pouco mais elaborado, distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas páginas seguintes... Distribuições características Alguns histogramas apresentam formas que, pela frequência com que surgem, merecem referência especial. Assim, as distribuições mais comuns apresentadas pelos dados são: Distribuições simétricas A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média:

Distribuições enviesadas A distribuição das frequências faz-se de forma acentuadamente assimétrica, apresentando valores substancialmente menores num dos lados, relativamente ao outro:    

Matemática

Distribuições com “caudas” longas A distribuição das frequências faz-se de tal forma que existe um grande número de classes nos extremos, cujas frequências são pequenas, relativamente às classes centrais:

254 Distribuições com vários “picos” ou modas A distribuição das frequências apresenta 2 ou mais “picos” a que chamamos modas, sugerindo que os dados são constituídos por vários grupos distintos:

Exercício 216. Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte. Meninas Meninos Números de alunos 4 3 2 1 0

14

15

16

17

18

Matemática

Idade dos alunos em anos

Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que: a. o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse mesmo intervalo de idade. b. o número total de alunos é 19. c. a média de idade das meninas é 15 anos. d. o número de meninos é igual ao número de meninas. Resposta: D.

255

6. Distribuição de Frequências É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repetições de seus valores). Dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma ideia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados. Ex: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51. ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60.

Dados

Frequência

41

3

42

2

43

1

44

1

Classes

Frequência

45

1

41 |--------- 45

7

46

2

45 |--------- 45

3

50

2

49 |--------- 45

4

51

1

53 |--------- 45

1

52

1

57 |--------- 45

5

54

1

Total

20

57

1

58

2

60

2

Total

20

Classe São os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3.

Matemática

Distribuição de frequências Em intervalos de classe É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço.

256 Limites de Classe São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe ( li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53. O símbolo |------- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57. Amplitude do Intervalo de Classe É obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li — li. Ex: na tabela anterior hi = 53 — 49 = 4. Obs: Na distribuição de frequência com classe o hi será igual em todas as classes. Amplitude Total da Distribuição É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) — l(min). Ex: na tabela anterior AT = 61 — 41= 20. Amplitude Total da Amostra (Rol) É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax — Xmin. Em nosso exemplo AA = 60 — 41 = 19. Obs: AT sempre será maior que AA. Ponto Médio de Classe É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. ....... Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja x3=( l3 + L3 )/2.

Matemática

Observação: Vejamos um caso em que temos uma distribuição de frequências por intervalos, como na tabela abaixo: Números de Pontos

Frequência

0 |¾ 20

10

20 |¾ 40

30

40 |¾ 60

30

60 |¾ 80

20

80 |¾ 100

10

TOTAL

100

257 Para determinarmos as medidas de dispersão, acharemos os pontos médios dos intervalos:

Número de Pontos

Ponto Médio

Frequência

0 — 20

10

10

20 — 40

30

30

40 — 60

50

30

60 — 80

70

20

80 — 100

90

10

TOTAL

100

7. Médias 7.1 Média Aritmética A Média é a primeira e mais importante das Medidas de Posição. Designada por: Cálculo da Média para o Rol

 ∑ Xi    n 

X =

Cálculo da Média para Dados Tabulados:

 ∑ Xi ⋅ fi    n 

X=

Cálculo da Média para Distribuição de Frequências:

 ∑ PM.fi    n 

Matemática

X=

258 Propriedades da Média Aritmética: »» (Da Soma e Subtração) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou subtraída desta constante. »» (Do Produto e Divisão) Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por esta constante. Dica de Ouro da Média Aritmética: I. Se a distribuição de frequências é simétrica, e tem um número ímpar de classes, a Média será o Ponto Médio da classe intermediária. II. Se a distribuição de frequências é simétrica, e tem um número par de classes, a Média será o limite superior da primeira classe intermediária, que é igual ao limite inferior da segunda classe intermediária. Sejam os valores da variável X: 5, 7, 8, 10 e 15, então a sua média aritmética será: X=

5 + 7 + 8 + 10 + 15 5

=

45 =9 5

Sejam os valores da variável Y: 4, 7, 11, 15, 20 e 21, então a sua média aritmética será: Y=

4 + 7 + 11 + 15 + 20 + 21 6

=

78 = 13 6

8. Medianas e Separatrizes 8.1 Mediana

Matemática

Conceito: Mediana é a medida de tendência central, e também uma medida separatriz, que “separa”, que divide o conjunto em duas partes iguais. Relação entre a Mediana e as Demais Medidas Separatrizes: Trata-se de uma relação visual

259

!--------------------!--------------------! Md

!---------!----------!---------!----------! Q1

Q2

Q3

!----!----!----!----!----!----!----!----! D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

D8 D9

!----!----!----!----!----!----!----!----!

C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90 Ou seja: Md = Q2 = D5 = C50 Onde: → Q2 = segundo Quartil → D5 = quinto Decil → C50 (ou P50) = quinquagésimo centil (ou percentil)

1ª) Dica de Ouro da Mediana: Quando a Distribuição de Frequências for simétrica, teremos que a Mediana será igual à Média e à Moda:

= Mo = Md

2ª) Dica de Ouro da Mediana: Quando estivermos na fase de compararmos os valores da fac com o valor de referência (n/2) e, ao fazermos a pergunta de praxe, encontrarmos um valor de fac exatamente igual ao (n/2), pararemos, e diremos que a Mediana será o limite superior da classe correspondente!

8.2 Propriedades da Mediana

»» Se somarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova Mediana será (a Mediana anterior) também somada àquela mesma constante;

Matemática

A Mediana será, assim como a Média, influenciada por operações de soma, subtração, produto e divisão.

260 »» Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova Mediana será (a Mediana anterior) também multiplicada àquela mesma constante; »» Se dividirmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova Mediana será (a Mediana anterior) também dividida por aquela mesma constante.

Exercícios 217. (AFRF/2002-2º) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequência seguinte: Xi

Frequência (f)

29,5 – 39,5

4

39,5 – 49,5

8

49,5 – 59,5

14

59,5 – 69,5

20

69,5 – 79,5

26 79,5 – 89,5 18

89,5 – 99,5



10

Assinale a opção que corresponde à estimativa da Mediana amostral do atributo X: a. 71,04. b. 65,02. c. 75,03. d. 68,08. e. 70,02.

Matemática

218. (AFRF/1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

261

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Assinale a opção que corresponde à mediana (com aproximação de uma casa decimal): a. 9,0. b. 9,5. c. 8,5. d. 8,0. e. 0,0.

9. Desvios Médios, Variância e Padrão Exercício



Classes

P (%)

70 — 90

5

90 — 110

15

110 — 130

40

130 — 150

70

150 — 170

85

170 — 190

95

190 — 210

100

Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X: a. 138,00. b. 140,00.

Matemática

219. (AFRF/2002.1) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes

262 c. 136,67. d. 139,01. e. 140,66.

Desvio Médio: É a média aritmética dos módulos dos desvios. Variância: É a média aritmética dos quadrados dos desvios. Desvio-Padrão: É a raiz quadrada da variância. Amplitude: É a diferença entre o maior e o menor valor dessa distribuição. Desvio: É a diferença entre o ponto médio e a média ponderada calculada com: somatório do produto entre frequência vezes ponto médio, dividido pela frequência total (100). Observação: Vejamos um caso em que temos uma distribuição de frequências por intervalos, como na tabela abaixo: Números de Pontos

Frequência

0 ├ 20

10

20 ├ 40

30

40 ├ 60

30

60 ├ 80

20

80 ├ 100

10

TOTAL

100

Para determinarmos as medidas de dispersão, acharemos os pontos médios dos intervalos: Número de Pontos

Ponto Médio

Frequência

0 – 20

10

10

20 – 40

30

30

40 – 60

50

30

60 – 80

70

20

80 – 100

90

Matemática

TOTAL

10 100

263 Teremos para a média o seguinte valor: M = 10.10 + 30.30 + 30.50 + 20.70 + 10.90 = 48 100 Então ampliaremos nossa tabela: Número de Pontos

Ponto Médio

Frequência

Desvio

Módulo do Desvio

Quadrado do Desvio

0 – 20

10

10

20 – 40

30

30

–38

38

1.444

–18

18

324

40 – 60

50

30

2

2

4

60 – 80

70

20

22

22

484

80 – 100

90

10

42

42

1764

TOTAL 100

Logo, temos: para o desvio médio: DM = 10.38 + 30.18 + 30.2 + 20.22 + 10.42 = 18,4 100 para a variância: V = 10.1444 + 30.324 + 30.4 + 20.484 + 10.1764 = 516 100 para o desvio-padrão: DP = 516 = 22,7

10. Fatorial

Matemática

Análise Combinatória é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas etc.

264 Fatorial Definição: n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 para n ∈ N e n ≥ 1 O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial. Ex.: 2! = 2 ⋅ 1 Convenção: 4! + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 0! = 1. 1! = 1 Observação: n! = n (n – 1) ! Ex.: 8! = 8 ⋅ 7! 10 = 10 ⋅ 9! Simplificar as expressões: 7! 5!

7 . 6 . 5! = 42 5!

=

8! 8 . 6!

=

8 . 7 . 6! 8 . 6!

=7

Resolva as equações (n ∈ R): a. ( n – 5)! = 120 (n – 5)! = 5 n–5=5 n=5+5 n = 10 b. (n + 1)!− n !

= 7n (n − 1)! (n + 1)n(n − 1)!− n(n − 1)! (n − 1)!

Matemática

(n + 1)![(n + 1)n − n] (n − 1)!

= 7n

= 7n

n [(n + 1) – 1] = 7n

n+1–1=7∴n=7

265

11. PFC: Introdução Princípio Fundamental de Contagem Exemplos:





01) Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir? A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias. Portanto, o número total de escolhas será: 4 x 5 = 20. 02) Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas (a, b, c) onde a ∈ {C, K}, b ∈ {C, K} e c ∈ {C, K}, logo, o resultado procurado é 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 Pelo Diagrama da Árvore c

c

c—c—c

k

c—c—k

c

c—k—c

k

c—k—k

c

k—c—c

k

k—c—k

c

k—k—c

k

k—k—k

c k

c k k

03) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?

1º ↓ 9

⋅

2º ↓ 9

⋅

E se fossem com algarismos distintos? 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números

3º ↓ 9

=

729 números Matemática



266

04) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal? Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4.536 Resposta: 4.536 números 05) Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?

1º lugar

2º lugar

3º lugar

↓

↓

↓

6

x

5

x

4

=

120 possibilidades

12. PFC: Problema do Salgado Veja um outro ponto de vista a respeito de possibilidades: Quantos são os divisores de 72? Os divisores de 72 são do tipo 2x 3y (pois 72 = 23 ⋅ 32) onde: x ∈ {0, 1, 2, 3} e y ∈ {0, 1, 2} Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y. Total: 4 ⋅ 3 = 12

Matemática



01) De quantas maneiras podemos distribuir aleatoriamente, três bonés, quatro réguas e cinco canetas entre Henrique e Salgado? Solução: 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 120 maneiras 02) Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.

267

Pelo P. F. C., teremos: Jogo 1

Cl C C2 m 3 x

Jogo 2

Cl C C2 m 3

Jogo 14

Cl C C2 m x...x 3 = 314 resultados

Em resumo: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo! Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.

13. PFC: Método Método: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo! e o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.

01) (FGV — SP) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? Resolução:

Matemática



268 A



B

C

de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 ⋅ 4 = 12 Resposta: 12 modos. 02) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido? Resolução: Placa → ⋅

2

⋅

2

5

⋅

4

⋅

3

⋅

2

Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 480 Resposta: 480 placas.

03) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?



Resolução: Algarismos: 2, 3, 4, 5 e 7



Resposta: 60 números.



04) (Telecurso 2000) Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo?



Resolução: algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Matemática

5

Prefixo →→

⋅

4

5

⋅

3

→ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60

1 7

⋅

6

⋅

5

⋅

4

269

colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: → 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 840 Resposta: 840 números.

14. Tabuleiro de Xadrez

01) (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas? Resolução: Para se colocar 1 (uma) peça temos 16 maneiras. Para se colocar a 1ª peça temos 16 maneiras: •

Para colocar a 2ª peça temos 9 maneiras: • •



Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta: 576 maneiras. 02) (FAAP) Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F.

Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 ⋅ 15 = 360 maneiras

Matemática

Resolução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: escola E → 6 ⋅ 4 = 24 maneiras escola F → 5 ⋅ 3 = 15 maneiras

270

Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de: (6 ⋅ 1) ⋅ (1 ⋅ 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342 Resposta: 342 maneiras

03) (Telecurso 2000) De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor? Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por: 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 6.720 Resposta: 6.720 modos

15. Uso do E e do OU

01) (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a. 9 b. 15 c. 20 d. 24 e. 30

Matemática

Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8: 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções; Soma 10: 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções. Total de tentativas: 04 ⋅ 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.

271

02) Observe o diagrama R X

Y

Z

S



O número de ligações distintas entre X e Z é: a. 39 b. 41 c. 35 d. 45 Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3 ⋅ 1 = 3 XRYZ = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 XYZ = 1 ⋅ 2 = 2 XSYZ = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 XSZ = 3 ⋅ 2 = 6 TOTAL = 41 02) A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a. 10 b. 20 c. 48 d. 52 e. 100 Resolução: É um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeu o erro de fazer o cálculo: 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 (errado!)

Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos, assim: Nº com algarismos repetidos mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados.

Matemática



272

Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x Nº com algarismos distintos = 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 48 Total de nº formados = 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 Portanto, x + 48 = 100 x = 52 Resposta: D.



03) (UFMG/ 1995) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, é: a. 1225 b. 2450 c. 250 d. 49! Resolução: 50 ⋅ 49 = 2450

16. Anagramas O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema. Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: a. No total? Resolução: 6! = 720 b. Começados por BR? Resolução: 4! = 24 → |BR| 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 c. Começando por vogal e terminando em consoante? Resolução: 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 4 = 192

Matemática

Exercício 220. (UnB/Agente/PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um aces­so de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à

273



presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encon­tram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes. a. (  ) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 ⋅ 10!. b. (  ) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 ⋅ 990 ⋅ 56 ⋅ 30. c. (  ) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 ⋅ 42 ⋅ 20 ⋅ 6. d. (  ) “O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! ⋅ 8!. Resposta: D.

17. Anagramas: Exercício do Cinema Com relação à palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: a. Com as letras BR juntas nesta ordem? Resolução: BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120

De quantas maneiras podemos dispor 06 pessoas, dentre elas um casal de namorados, em uma fileira de cadeiras consecutivas no cinema, de maneira que o casal fique sempre junto? Comentário: Como queremos o casal “grudado” eles contam como uma pessoa e ai teremos que permutar 05 pessoas ao invés de seis. Além disso, eles não têm uma ordem definida, em podem permutar entre si, daí: 5! (pessoas) vezes 2! (casal em qualquer ordem) = 5! ⋅ 2! = 120 ⋅ 2 = 240

Matemática

b. Com as letras BR juntas em qualquer ordem? Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240

274

18. Anagramas com Repetição a. Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA? 5! 3! 2 !

=

120 6.2

= 10

b. E com a palavra ITATIAIA? 8! 3 !3 ! 2 ! Comentário: Uma questão tem 6 proposições do tipo v ou f. Sabe-se que 4 são verdadeiras e 2 falsas. De qtas maneiras podemos marcar o gabarito desta questão? Resposta: 15 Solução: É uma questão de análise combinatória, portanto vou usar o princípio fundamental de contagem: É do tipo de ARARA: VVVVFF 6! 4 !.2 !

=

30 2

= 15

Exercícios 221. (BB/2007) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas. Resposta: Correto.

Matemática



(OBMEP) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos observar? Resolução: É como se fosse uma sequência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja, 5! 3 !.2 !

= 10

275

Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”? .Q

P. Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo: DDDDCCC, ou seja: 7! 4 !.3 !

= 35



O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é: a. 120 b. 240 c. 360 d. 480 e. 600



Resolução: TOTAL — A juntas = A separadas 6! 2!

− 5! =

720 2

− 120 =

360 − 120 = 240

Em uma outra unidade de estudo abordamos o tema: Pascal, nela mostramos que toda a análise combinatória pode ser resolvida com o uso do triângulo aritmético de Pascal. O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números combinatórios.

Matemática

19. Combinação e Pascal

276 Triângulo de Pascal n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

1

n=6

1

6

15

20

15

6

1

n=7

1

7

21

35

35

21

7

1

n=8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8



Em que consideramos o conjunto A = {1, 2, 3} e que o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos (soma das linhas), ou seja, P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2 ,3}}. O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta em problemas como este, onde teremos a linha representando os elementos disponíveis e a coluna representando os elementos “pedidos”.



(ESAF) Quantas comissões de três pessoas pode-se formar num grupo de 7 componentes? Comentário: N = 7 e P = 3 → 35 (Vide triângulo).

(CESPE) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de animação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação.

Matemática

Comentário: »» Comédia: »» Animação:

N = 05 e P = 02 → 10 10 x 15 = 150. O item está correto. N06 e P = 02 → 15

277

(CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

Comentário: »» 3 em 7 (N = 07 e P =03) = 35 »» 2 em 4 (N = 04 e P = 02) = 6 »» 2 em 2 (N = 02 e P = 02) = 1

35 x 6 x 1 = 210.



Veja outros exemplos e suas soluções:



01) O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre: a. 15.000.000 e 25.000.000 b. 25.000.000 e 35.000.000 c. 35.000.000 e 45.000.000 d. 45.000.000 e 55.000.000

Resolução: 60 59 58 57 56 55 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 50.063.860 6 5 4 3 2 1 02) (Telecurso 2000) Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é: a. 12 b. 42 c. 160 d. 1.120 e. 1.200 Resolução: Beatles x Rolling Stones x U2 5 4 8 7 4 3 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ = 1120 2 1 2 1 3 2 1

Matemática



278

03) Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a: a. 55. b. 65. c. 110. d. 121. Resolução: Precisamos de 2 mãos:

Matemática

11 10 ⋅ = 55 2 1 O total de números com três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos (0, 1, 2, 3, 5 e 7) que sejam pares é:  “não consigo visualizar apenas os pares ou ímpares”. Solução: esta questão está com a resposta errada... Primeiro daremos prioridade para o número ser Par: _ _ 0 → 5 x 4 = 20 (terminados em zero) Ou _ _ 2 → Não temos número começando com zero, logo: 4 x 4 = 16 Total = 36 letra D Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000? Resposta: 464  Solução: Número depende da ordem, portanto é um problema classificatório, e não dividimos, ok! Teremos centenas e milhares, ou seja, números de 3 e quatro algarismos: Centenas: 5 _ _ 8 x 5 = 40 6__ 8 x 4 = 32 7__ 8 x 5 = 40 8__ 8 x 4 = 32 9__ 8 x 5 = 40 Milhares: 1 _ _ _ 8 x 7 x 5 = 280 Total = 464

279

Com os algarismos do conjunto a = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} podemos formar exatamente quantos números pares com 3 algarismos distintos? Resposta: 150 Solução: Numero depende da ordem, portanto é um problema classificatório, e não dividimos,ok! Os números poderão terminar em 0,2,4 ou 6: »» Terminados em zero: 7 ⋅ 6 = 42 »» Terminados em dois: 6 ⋅ 6 = 36 »» Terminados em quatro: 6 ⋅ 6 = 36 »» Terminados em seis: 6 ⋅ 6 = 36 »» Total = 150

20. Comissões

01) (Telecurso 2000) Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é: a. 35 b. 38 c. 40 d. 42

Resolução:



02) (Telecurso 2000) De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente? a. 120 b. 240 c. 14.400 d. 86.400 e. 3.608.800

Matemática

7 6 5 ⋅ ⋅ = 35 3 2 1

280 Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala; 10 9 8 ⋅ ⋅ = 120 3 2 1

03) (UFMG/ 2007) O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é: a. 250 b. 321 c. 504 d. 576

Resolução: Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto: 9⋅8

0 = 72

9 ⋅ 8 ⋅ 7 0 = 504 total = 576

21. Outro Enfoque: Problema das Lâmpadas

Matemática



01) (PUC/MG) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a. 63 b. 79 c. 127 d. 182 e. 201

Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa. As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1 (todas apagadas) = 63

281

02) (IBMEC/ 2000) O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (–). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é: a. 16 b. 64 c. 30 d. 8 e. 36

Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as opções por letra são duas (ponto ou traço), logo: 2 (1 letra) 2 ⋅ 2 = 4 (2 letras) 2 ⋅ 2 = 4 (2 letras) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 (3 letras) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2= 16 (4 letras)

03) (Telecurso 2000) O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é: a. 45 b. 90 c. 1022 d. 101

Resolução: São 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1024 – 2 = 1022 (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)

Veja uma abordagem diferente onde misturamos, em teoria, Arranjo e combinação: 01) Uma CPI (Comissão Parlamentar de Inquérito) será formada por 5 membros: três da base governista e dois da base oposicionista. Caberá ao governo indicar o presidente, o vice e o relator. A oposição indicará as duas

Matemática

22. Agrupamento de Pessoas

282 vagas restantes. Se o governo dispões de 4 candidatos para os cargos e a oposição 3, o número de comissões que podem ser formadas é: a. 24 b. 72 c. 144 d. 288 Solução: 4 3 2 3 2 . . x . = 72, 2 1

a primeira parte não divide porque são cargos classificatórios (presidente, vice e relator), ok!



02) (BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

Item Correto Comentário: Resolução: É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja:



12 ! 12 11 = 66 x = 66 pares diferentes, ou, C12,2 = 10 !. 2 ! 2 1 03) (CESPE) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários

Matemática

Resolução: 1ª agência x 2ª agência x 3ª agência 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ = 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 495 × 70 × 1 = 34650

283

04) (UFMG/2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a. 70 b. 35 c. 45 d. 55

Resolução: Total de comissões — comissões (Gustavo e Danilo juntos) 8 7 6 5 6 5 . . . − . = 70 − 15 = 55 4 3 2 1 2 1

05) Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

Resolução: O número total de pessoas é igual a 7, logo: A





Fixando a pessoa A no banco detrás, restam 6 pessoas para os quatro lugares restantes, isto é: A6,4. Como a pessoa A pode ser colocada em três lugares no banco detrás, temos: 3 . A6, 4 3



6! = 3 . 6 . 5 . 4 . 3 = 1.080 2!

Resposta: 1.080 alternativas

06) (Petrobras) Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de polígonos convexos que se pode obter com vértices nos pontos dados.

Matemática



284 B A

C D

G E

F Resolução: número de triângulo → C7,3 = 35 número de quadriláteros → C7,4 = 35 número de pentágonos → C7,5 = 21 número de hexágonos → C7,6 = 7 número de heptágonos → C7,7 = 1

Logo, o número total de polígonos é: 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 99

Resposta: 99 polígonos

07) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses? Brasileiros

Resolução: Diretoria → C 6,3 Logo: C6 ,3 . C4 ,2 =

Matemática



Japoneses C 4,2

6!

.

4!

3 !. 3 ! 2 !. 2 !

Resposta: 120 modos 08) Um agrônomo quer comprar 3 caminhões e 4 tratores de uma firma que possui 6 caminhões e 8 tratores, todos de modelos diferentes. Quantas escolhas ele tem?

Resolução: Como não importa a ordem de escolha dos caminhões e dos tratores, o problema é de combinação, logo:

285 caminhões → C6.3 maneiras diferentes tratores → C8,4 maneiras diferentes.

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: C6 ,3 . C8, 4 =

6!

.

8!

3 !. 3 ! 4 !. 4 !

= 20.70 = 1.400

Resposta: 1.400 escolhas

09) (UNICAMP-SP) Seis tijolos, cada um de uma cor, são empilhados. De quantos modos se pode fazer isto, de forma que o verde e o amarelo estejam sempre juntos?

Resolução: VERDE

2

AMARELO

5



Resposta: 240 modos



10) (EEM-SP) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?

Matemática

O número de modos é dado por: P5 ⋅ P2 = 5! ⋅ 2! = 120 ⋅ 2 = 240

286 Resolução: Matermática P2

Português P3

Física F1

F2

F3

F4

P2



Logo, devemos ter:



P2 . P3 . P3 = 2 . 6 .6 = 72



Resposta: 72 modos

23. Exercício da Lanchonete Soluções inteiras não negativas de uma equação linear Ex.: Considere a equação linear x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter: (0, 5); (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1); (5, 0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas. Considere agora a equação x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande, e corremos o risco de esquecer alguma solução.

Matemática

Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero. Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:

287 Logo teremos uma permutação com elementos repetidos (como em ARARA), assim: 9! 7 ! 2!

= 36

Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação. Questão da Lanchonete Fui à lanchonete do Seu Fausto e pedi 10 refrigerantes para levar para a equipe de filmagem. Ele disse que tinha: Coca, Fanta, Sprite e Guaraná. De quantas maneiras distintas posso fazer o pedido? Comentário: 10 Posso pedir tudo de um único sabor ou dois, ou três ou quatro sabores. Por exemplo: 03 cocas, 03 fantas, 02 sprites e 02 guaranás 05 cocas, 0 fantas, 05 sprites e 0 guaranás Traduzindo para o macete acima: C + F + S + G = 10 ◊◊◊ | ◊◊◊ | ◊◊ | ◊◊ = BBBTBBBTBBTBB, resumindo anagrama com repetição ou macete ds ARARA, logo teremos: 13 ! 13 . 12 . 11 . 10 ! = 286 = 10 !. 3 ! 10 !. 3 . 2 . 1 Resumo: Fatorial a) n! = n fatorial

n ∈ N e

1! = 1 0! = 1

Matemática





n > 1 → n ! = n.(n − 1).(n − 2)...3.2.1 n = 1 → n ! = 1  n = 0 → n ! = 1

288 b) Propriedade n! n − 1!

=

n.(n − 1)! (n − 1)!

=n

Análise Combinatória Simples a) Arranjo Simples: A n. p =

n! n − p!

agrupamentos que diferem pela ordem e natureza b) Permutação simples: Pn = n! agrupamentos que diferem pela ordem (Anagramas) c) Combinação simples: Cn.p =

n! (n − p !)!.p !

Matemática

agrupamentos que diferem pela natureza.

Capítulo 11

Propabilidades

1. Definição A probabilidade está associada ao estudo da Genética (exemplo visto anteriormente); jogos de azar; estatísticas etc. Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, em sua obra “Doutrina das Probabilidades”, publicada em 1718, ele apresenta mais de 50 problemas, além da lei dos erros ou curvas de distribuição. Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras. O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado evento. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. Espaço Amostral: Chamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimento aleatório a qualquer.

290 Probabilidade de um Evento Elementar Vejamos as situações seguintes: Lançamento de uma moeda e observação da face superior. Seja S = {k, c} o espaço amostral, onde c representa “cara” e k, “coroa”. Os números ½ e ½ podem representar as chances de ocorrência dos eventos elementares {k} e {c}. É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproximadamente metade deles ocorra cara e na outra metade ocorra coroa. Indicamos então: PK = ½ e PC = 1/2 Generalizando, sendo S = {e1, e2, e3, . . ., en}, Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um número real p({ei}) chamado probabilidade do evento elementar {ei}, que satisfaz as seguintes condições: ⇒ p({ei}) é um número não negativo: p({ei}) ≥ 0; ⇒A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1: p({e1}) + p({e2}) + . . . + p({en}) = 1 Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos: 0 ≤ p({ei}) ≤ 1

Matemática

Exemplo: Na sequência de números 1, 2, 3, ..., 100, qual a probabilidade de sortearmos um número que não é múltiplo de 3 e nem de 4 ? a. 50%    b. 48%    c. 46%     d. 44%    e. 42% Comentário: Trata-se de uma questão matemática, onde o conhecimento de conjuntos numéricos é necessário. Múltiplos de 3 de 1 até 100, é só dividir por 3 ⇒ 100 ÷ 3 = 33 e resto 1 Múltiplos de 4 de 1 até 100, é só dividir por 4 ⇒ 100 ÷ 4 = 25 Múltiplos de 12 de 1 até 100, é só dividir por 12 ⇒ 100 ÷ 12 = 8 e resto 4

291 O resto não é importante, mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo: M(3)

33 – 8 = 28

M(4)

8

25 – 8 = 17

Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 3 e nem de 4,ok! Assim a probabilidade será: 50/100 = 50% Alternativa A

2. Probabilidade de um Evento Qualquer: Problema da Moeda Probabilidade de um evento qualquer No lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara, sabendo-se que esta é o dobro da probabilidade de sair coroa? Solução: Temos p(c) = 2p(k) e p(c) + p(k) = 1. Portanto: 1 2p(k) + p(k) = 1 ⇒ p(k) = 3 Portanto: p(c) =

2 3

Matemática

Ainda no exemplo anterior, se jogássemos 03 vezes consecutivas este dado, qual a probabilidade de sair 02 caras e 01 coroa?

292 Resolução: As possíveis maneiras são: CCK, CKC ou KCC, portanto teremos: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 x x + x x + x x = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 Adição de Probabilidades Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que: P(A * B) = P(A) + P(B) — P(A) B) “A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da interseção de A com B.” Exemplos: »» Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde? Solução A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada por: P(B ∪ V) = P(B) + P(V) – P (B) V) Porém, P (B ∩ V) = 0, pois o evento bola branca e o evento bola verde são mutuamente exclusivos. Logo, P(B ∪ V) = P(B) + P(V) P(B ∪ V) = 2/9 +/3/9 =5/9

Matemática

»» Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par? Solução O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1. O número de elementos do evento número par é n(B) = 3. Observando que n(A ∩ B) = 1, temos: P (A ∩ B) = 1/6 +3/6 – 1/6 =3/6 P (A ∩ B) = ½

293

3. Eventos Complementares e Exclusivos Eventos Complementares O evento “” é complementar do evento “E”, quando constituído por todos os elementos do espaço amostra que não pertencem ao evento “E”. Exemplo: No lançamento de um dado honesto, o evento número ímpar {1, 3, 5} é o evento complementar do evento número par {2, 4, 6}. Então: E = {2, 4, 6} = {1, 3, 5} Eventos Mutuamente Exclusivos Os eventos exclusivos jamais ocorrem simultaneamente. Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3, 6} são mutuamente exclusivos porque jamais ocorrem simultaneamente.

Exercício 222. (TRT/2004) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. a. (  ) A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005. b. (  ) As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos sejam de professor é superior a 80%. c. (  ) O número de possíveis grupos contendo 1 processo de bancário,1 processo de professor e 1 processo de médico é inferior a 55. Resposta: C – C - C.

4. Probabilidade Equiprovável

Um espaço amostral é chamado equiprovável quando seus eventos elementares têm iguais probabilidades de ocorrência. Observamos a seguinte situação: No lançamento de um dado não viciado e observação da face superior, temos as seguintes possibilidades: Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equiprováveis, ou seja, têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Matemática

Probabilidade Amostrais Equiprováveis

294 Utilizando um raciocínio semelhante ao de Fermat, observamos que temos uma possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado, por exemplo, o aparecimento do número 5 na face superior do dado — num total de 6 possibilidades. Diremos então que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6. Generalizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p(E), será dada por:

P(E) =

Número de possibilidades favoráveis Número total de possibilidades

5. Exercício de Conjunto Ex. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: »» 210 pessoas compram o produto A; »» 210 pessoas compram o produto B; »» 250 pessoas compram o produto C; »» 20 pessoas compram os 3 produtos; »» 100 pessoas não compram nenhum dos 3; »» 60 pessoas compram os produtos A e B; »» 70 pessoas compram os produtos A e C; »» 50 pessoas compram os produtos B e C. Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn: A

B 100

40

120

20 Matemática

50 100

30 150 C

295 Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados. Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja: a) Consumidora de apenas um dos produtos? 370 37 P1 = = 610 61 b) Consumidora de no mínimo 02 produtos? 140 14 P2 = = 610 61

6. Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Analisemos a seguinte situação: Retirando-se sucessivamente, e sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrerem 3 de espada? Solução: Chamemos de E o evento ”ocorrerem 3 cartas de espadas”. Na 1ª retirada, a probabilidade de ocorrer carta de espadas é 13/52 (num baralho de 52 cartas, há 13 de espadas; tendo sido obtida 1 carta de espadas, a probabilidade de ocorrer outra é12/51; obtidas 2 cartas de espadas nas duas primeiras retiradas, a probabilidade de ocorrer outra na 3ª retirada é 11/50. Usando a fórmula da probabilidade condicional, temos: 13 12 11 11 = . . 52 51 50 850

Matemática

()

p E =

296 Curiosidade: Num jogo de Pôquer, qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma dupla? (considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez) Solução: A 1ª carta é aleatória: 52/52 A 2ª carta terá probabilidade: 3/51 A 3ª carta terá probabilidade: 2/50 A probabilidade da 4ª: 48/49 E a da 5ª: 3/48 Daí teremos o seguinte: 5! 3 !.2 !

= 10

NNNPP em qualquer ordem, ou seja: 52

x

3

x

2

x

48

x

3

52 51 50 49 48

x10 =

6 4.165

10 maneiras diferentes disto acontecer. Logo a probabilidade desejada será: Que corresponde a 0,00144 = 0,1%!!!

7. Eventos Independentes Eventos Independentes Dizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de terem ou não ocorrido os outros. Para n eventos independentes temos:

Exemplo:

p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) . p(E2) . p(E3) . ... . p(En)

Matemática

No lançamento de 2 moedas não viciadas, qual é a probabilidade de ocorrerem 2 caras?

297 Solução: Vamos chamar de E1 o evento “ocorrer cara na 1ª moeda” e de E2 o evento “ocorrer cara na 2ª moeda”. Aplicando a fórmula da probabilidade dos eventos independentes, temos:

(

)

( ) ( )

p E1 e E2 = p E1 . p E2 =

1 1 1 . = 2 2 4

Exemplo: (FCC) Em um setor de fabrica trabalham 10 pessoa que serão divididas em dois grupos de 5 pessoas para cada realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas. Nesse caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é a. b. c. d. e.

Inferior a 0,36. Superior a 0,36 e inferior a 0,40.            Superior a 0,40 e inferior a 0,42. Superior a 0,42 e inferior a 0,46. Superior a 0,46

Comentário: João e Pedro participando: 8 7 6 J, P, x x = 56 x 2 = 112 (Eles podem ficar junto nos dois grupos) 3 2 1 Total de comissões: 10 9 8 7 6 x x x x = 252 5 4 3 2 1 Probabilidade: 112 252

=

4 9

= 0, 4444

Até mesmo a Famosa lei de Murphy: Ao tentarmos abrir uma porta temos em mãos uma penca com 05 chaves e não sabemos qual delas abrirá a porta. Então tentamos a 1ª e se não conseguirmos

Matemática

8. Lei de Murphy

298 (separamos esta), tentamos a segunda, e assim por diante até chegar à última, sempre separando a que já tentamos. Segundo Murphy a probabilidade de acertarmos a chave na última tentativa é maior que na primeira e ele está certo ou errado? Responda você. Ele está errado, pois é a mesma probabilidade: Temos que analisar o problema da seguinte maneira: P(a) = acertar a chave = 1/5 e P(e) = errar a chave 4/5 1ª tentativa: 1/5 2ª tentativa:

4 3 1 1 . . = 5 4 3 5

3ª tentativa:

4 3 1 1 . . = 5 4 3 5

4ª tentativa:

4 3 2 1 1 . . . = 5 4 3 2 5

5ª tentativa:

4 3 2 1 1 1 . . . . = 5 4 3 2 1 5

9. Probabilidade de não Ocorrer um Evento Probabilidade de ocorrer a união de eventos Na representação deste item, vamos analisar dois exemplos: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de essa carta ser uma figura (valete, dama ou rei)?

Matemática

Chamemos de E1, o evento “a carta retirada ser de um valete”, de E2 o evento “a carta retirada ser de uma dama”, e de E3 o evento “a carta retirada ser de um rei”. Aplicando a fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos, temos: = p(E1 e E2 e E3) = p(E1) . p(E2) . p(E3) 4 52

+

4 52

+

4 52

=

1 13

+

1 13

+

1 13

=

3 13

299 Probabilidade de não ocorrer um evento Dois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasileiros e 2 italianos. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro? Ser premiado pelo menos um brasileiro implica não serem premiados 2 italianos. Chamemos de E o evento “serem premiados 2 italianos”. Usando a fórmula da probabilidade condicional, verificamos que a probabilidade de serem premiados 2 italianos é:

()

p E =

2 1 1 . = 5 4 10

Aplicando agora a fórmula da probabilidade de não ocorrer o evento E, obtemos a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro:

( )

p ≈ E = 1 - p(E) = 1 -



1 10

=

9 10

(UFMG ) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param: »» se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; »» se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá.



Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18. Então é correto afirmar que o outro cubo tem: a. Quatro faces brancas. b. Uma face branca c. Duas faces brancas. d. Três faces brancas.

Comentário: X ⇒ número de faces pretas do segundo cubo. Logo teremos:

Matemática



300 1 x 5 (6 − x) 11 . + . = 6 6 6 6 18 x + 30 − 5x = 22 x=2

Resposta: Alternativa A.

10. Distribuição Binomial Generalizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório a probabilidade de ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas K das n alternativas é dada por:

 n k n−k . (P ) . (1 − P )   k

Pn =  Exemplo

Um casal tem 8 filhos, sendo que não há gêmeos entre eles. Qual é a probabilidade de esses filhos serem: a. 8 homens? b. 7 homens e 1 mulher? c. 4 homens e 4 mulheres? Solução Aplicando a fórmula da distribuição binominal, temos: A probabilidade de que ocorram 8 homens é: 8 0 1  8  1   1  P8 =   .   .   =  8  2   2  256

Matemática

b) A probabilidade de que ocorram 7 homens e 1 mulher é: 7

P7

 8  1   1  =   .  .   7  2   2 

1 =

8 256

301 c) outra maneira: HHHHMMMM que é o mesmo que um anagrama com 8 letras, sendo 4 Hs e 4Ms, portanto usando o da ARARA, teremos: 8! 4 !.4 !

= 70 possíveis resultados.

Agora sabemos que temos duas opções de sexo: homem ou mulher, e como são 08 filhos, o total de possibilidades será 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256 Assim a probabilidade desejada, será: P=

70 256

=

35 128



(Cesgranrio/Controlador/Aeronáutica/2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é: a. 1/12 b. 1/6 c. ¼ d. 1/3 e. 5/12



Comentário: Solução:

B = 2(2 / 3) B = 1(1 / 3) U1 =  U 2=  P = 2(2 / 3)  P = 1 ( 1 / 3 )  Ao retirarmos uma bola qualquer que pode ser branca ou preta da urna U1, a probabilidade de se retirar uma branca da urna U2, será: »» Se a bola retirada for branca teremos: BB »» Se a bola retirada for preta teremos: PB

Matemática

11. Exercício da CESGRANRIO-ESAF

302

Daí pode acontecer: BB ou PB, donde: 2 2 1 1 5 ⋅ + ⋅ = 3 4 3 4 12

Resposta: alternativa E.

(ANA/ 2002) Antônio, Bruno, César, Dário e Ernesto jogam uma moeda idônea 11, 12, 13, 14 e 15 vezes, respectivamente. Apresenta a menor chance de conseguir mais caras do que coroas: a. Antônio b. Bruno c. César d. Dário e. Ernesto



Comentário: A menor chance de conseguir mais caras do que coroas significa a menor probabilidade de obter mais caras que coroas. Portanto, temos que analisar caso a caso:



a) Antônio — 11 vezes

Matemática

6 = 0,5 = 50% 12 caras

coroas

11

0

10

1

9

2

8

3

7

4

6

5

5

6

4

7

3

8

2

9

1

10

0

11

303 b) Bruno — 12 vezes 6 = 0, 4615 = 46,15% 13 Caras

Coroas

12

0

11

1

10

2

9

3

8

4

7

5

6

6

5

7

4

8

3

9

2

10

1

11

0

12

E assim por diante, logo: c) Cesar — 13 vezes: Serão 7 em 14, ou seja, 50% d) Dário — 14 vezes: Serão 7 em 15, ou seja, 46,66% e) Ernesto — 15 vezes: Serão 8 em 16, ou seja, 50% Resposta: alternativa B.

12. Propriedades da Condicional Propriedades: P( A ∩ B) = P( A ∪ B)

Comentário: Em outra unidade de estudo abordamos o tema Negação de uma conjunção de uma disjunção, este assunto esta diretamente ligado às propriedades acima, veja o lembrete:

Matemática

P( A ∪ B) = P( A ∩ B)

304

Proposição

Equivalente da Negação

AeB

Não A ou não B

A ou B

Não A e não B

Ou seja: A negação do E é OU e a negação do OU é E.

(FGV) Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos é 0,04. Portanto, a probabilidade de Ligia parar em um posto de gasolina e não pedir pra verificar nem o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é de: a. 0,25 b. 0,35 c. 0,45 d. 0,15 e. 0,65 Oléo

0,24

Pneu

0,04

0,07

1 – ( 0,11 + 0,04 + 0,24) = 0,65

Matemática

13. Teorema de Bayes Se A1, A2, A3, ..., Ai são eventos mutuamente exclusivos de maneira que A1 ∪ A2 ∪... = S P(Ai) = prob conhecidas dos eventos

305 B = um evento qualquer de s, conhecendo-se todas as probabilidades de P(B/A) Então, P( A i / B) =



P( A i ).P(B / A i ) P( A1).P(B / A1 + P( A 2 ).P(B / A 2 ) + ...)

Questão

Urnas Cores

U1

U2

U3

Pretas

3

4

2

9

Brancas

1

3

3

7

Vermelhas

5

2

3

10

9

9

8

26

Escolheu-se uma urna ao acaso e tirou-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Deseja-se determinar a probabilidade da bola ter vindo da urna 2. Da urna 3.

P(U1) = 1/3 P(U2) = 1/3 P(U3) = 1/3 P(Br/U1)=1/9 P(Br/U2)=3/9=1/3 P(Br/U3)=3/8

(eventos equiprováveis)

11 . 24 33 = P(U2 / Br) = 1 1 1 1 1 3 59 . + . + . 3 9 33 3 8

Matemática

Faça você agora para a urna 3. Resposta: 27/59

306

14. Questões





(ICMS/RJ) O enunciado a seguir refere-se às questões de nºs 46 e 47. Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: a. 0 b. 1/6 c. 1/4 d. 1/3 e. 1/2

Comentário: 2 1 1 1 x x = 3 2 1 3 Resposta: D.

A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$1000,00 é igual a: a. 3/4 b. 2/3 c. 1/2 d. 1/6 e. 0

Matemática

Resposta: E, pois se ele acerta duas, ele acerta 03, portanto não tem como ele ganhar exatamente 1000,00.

307

Exercícios 223. (CEF/CESGRANRIO) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par? a. 15 b. 20 c. 23 d. 25 e. 27 Resposta: C. 224. (CEF/CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é a. 150/216 b. 91/216 c. 75/216 d. 55/216 e. 25/216 Resposta: D.

225. (ESAF/MPOG/2005) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a: a. 1/2 b. 1/3 c. ¼ d. 2/3 e. 3/4

Matemática

15. Problema do Filme Quebrando a Banca

308

Matemática

226. (Cesgranrio/Téc. Adm./MP-RO/2005) Pedro e Paulo estavam brincando com dados perfeitos. Um dos meninos lançava dois dados e o outro tentava adivinhar a soma dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima. Pedro lançou os dados sem que Paulo visse e disse: “Vou te dar uma dica: a soma dos pontos é maior que 7”. Considerando que a dica de Pedro esteja correta, Paulo terá mais chance de acertar a soma se disser que esta vale: a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12 Resposta: D.

Matemática

310