Aula 13 - MMC e MDC

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MATEMÁTICA MMC e MDC Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

MMC E MDC NÚMEROS PRIMOS • Os números primos têm como únicos divisores eles mesmos e a unidade (número 1), os números que têm outros divisores além deles mesmos e a unidade são chamados de compostos. • Números primos: –– Um número será primo se tiver apenas dois divisores: ele mesmo e a unidade. Um número primo “x” só pode ser expresso como produto dele mesmo pela unidade: x=x.1 –– O número 2 é primo porque só tem dois divisores: {2, 1}. –– O número 2 só pode ser expresso sob a forma: 2 = 2 . 1. –– O número 7 é primo porque só tem dois divisores: {7, 1}. –– O número 7 só pode ser expresso como: 7 = 7 . 1. • Números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23,…}. D(2):{2,1} D(3):{3,1} D(5):{5,1} D(7):{7,1} D(11):{11,1} D(13):{13,1} NÚMEROS COMPOSTOS • Um número será composto se tiver outros divisores além dele mesmo e da unidade. Um número composto pode ser decomposto como produto de outros fatores. O número 6 é composto porque seus divisores são: {1, 2, 3, 6}. O número 18 é composto porque seus divisores são: {1, 2, 3, 6, 9, 18}. • O número 6 pode ser expresso como produto de fatores primos: 6 = 6 . 1 ou 6 = 2 . 3. • O número 18 pode ser expresso como produto de fatores: 18 = 1 . 18 ou 18 = 2 . 9 ou 18 = 3 . 6. ANOTAÇÕES

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D(6):{1, 2, 3, 6} D(18):{1, 2, 3, 6, 9, 18} COMO IDENTIFICAR SE UM NÚMERO É PRIMO OU COMPOSTO? 1. Deve-se dividir o número por sucessivos números primos: 2, 3, 5, 7, … 2. Caso se obtenha uma divisão exata, o número será composto. 3. Caso se obtenha uma divisão em que o quociente seja igual ou menor que o divisor, sem chegar previamente a uma divisão exata, o número será primo. • Exemplo: Vamos verificar se os números abaixo são primos: a) 101: –– Não é divisível por 2, pois não termina em número par. –– Não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos não é divisível por 3. –– Não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. –– Fazendo divisões: 101 7 31 14 3 101 11 99 9 2

O cociente é maior que o divisor.

O cociente é menor ou igual ao divisor. Logo, 101 é um número primo.

b) 263: –– Não é divisível por 2, pois não termina em número par. –– Não é divisível por 3, pois a soma dos algarismos não é divisível por 3. –– Não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. –– Fazendo divisões: 263

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O cociente é maior que o divisor.

ANOTAÇÕES

53 37 4

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263 11 43 22 10

O cociente é maior que o divisor.

263 13 3 20 263

17

17 93 15

15

O cociente é menor ou igual ao divisor. Logo, 263 é um número primo.

Direto do concurso 1. (2017/MPE-GO/MPE-GO) Quais dos números a seguir são primos? b. 13. c. 30. d. 49. e. 65. f. 87.

Comentário O único número que só é divisível por 1 e por ele mesmo é o 13. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI • Dois números serão primos entre si (ou primos relativos) se o único divisor comum de ambos for a unidade (número 1). • Exemplo: –– Para verificar se os números 8 e 15 são primos entre si: 1. Calcular os divisores de 8: {1, 2, 4, 8}. 2. Calcular os divisores de 15: {1, 3, 5, 15}. ANOTAÇÕES

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• Como o único divisor comum de ambos é 1, os números 8 e 15 são números primos entre si.

Direto do concurso 2. (2017/IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR) Assinale a alternativa correta referente à quantidade de números primos distintos que encontramos ao decompor o número 360 em fatores primos. a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 9

Resolução • Decompor é fragmentar. • A forma mais utilizada de fragmentar é em números primos: 360 2 180 2 90 2 45 3

menor maior

15 3 5 5 2

23 . 32 . 5

ANOTAÇÕES

3. (2017/IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR) Dentre os números descritos nas alternativas, o único que não é divisível por 9 é: a. 1359 b. 21744 c. 8766 d. 123456 e. 23130

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Resolução Sabe-se que um número é divisível por 9 quando a soma dos algarismos é divisível por 9 também. a. 1 + 3 + 5 + 9 = 18. 1359 é divisível por 9. b. 2 + 1 + 7 + 4 + 4 = 18. 21744 é divisível por 9. c. 8 + 7 + 6 + 6 = 27. 8766 é divisível por 9. d. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. 123456 não é divisível por 9. 4. (2017/IBFC/POLÍCIA CIENTÍFICA-PR) Fatorando o número 420, a soma dos expoentes dos fatores primos será igual a: a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

Resolução 420 2 210 2 105 3 35 5

soma: 5

7 7 1 22 . 31 . 51 . 71 MÚLTIPLOS • Múltiplos são os resultados de multiplicações. • Exemplos:

ANOTAÇÕES

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M(2): {± 2, ± 4, ± 6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ...} → 2 . K, K Є Z M(3): {± 3, ±6, ±9, ±12, ±15, ±18, ±21, ...} → 3 . K, K Є Z M(4): {±4, ±8, ±12, ±16, ±20, ±24, ...} → 4 . K, K Є Z M(5): {±5, ±10, ±15, ±20, ±25, ...} → 5 . K, K Є Z

GABARITO 1. 2. 3. 4.

a c d b

ANOTAÇÕES


�Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

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